数值计算方法思考题
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)绪论（12）1、设x 0，x的相对误差为，求lnx的误差。
[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为r*(x) ，绝对误差为*(x) x*，从而lnx的误差为*(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为(lnx)*r1*x ，x**(lnx)lnx*lnx*。
2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为r*(x) 2%，绝对误差为*(x) 2%x*，从而x的误差为(lnx) (x) 相对误差为(lnx)*rn*nx x*(x) n(x)**n 12%x 2n% x**n，*(lnx)(x)*n2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。
***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。
****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4的数。
***（1）x1；x2 x4f *******e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) xk 1 k [解]；11110 4 10 3 10 3 1.05 10 3222n****（2）x1x2x3；f***e*(x1x2x3)k 1 xkn ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k***-*****3*1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；2220.***** 10 3 212.***** 10 3 0.***-***** 10 3213.***-***** 10 3 0.***-*****255**（3）x2。
《数值计算方法》课后题答案(湖南大学曾金平)
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程设计思考题
数值分析课程设计思考题一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数值分析的基本概念和方法，培养学生运用数值分析解决实际问题的能力。
具体来说，知识目标包括：了解数值分析的基本概念、原理和方法；掌握常用的数值计算算法及其优缺点。
技能目标包括：能够运用数值分析方法解决实际问题；能够使用相关软件进行数值计算和数据分析。
情感态度价值观目标包括：培养学生对数值分析的兴趣和好奇心，提高学生学习的积极性；培养学生的团队合作意识和科学精神。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括数值分析的基本概念、原理和方法。
具体来说，教学大纲如下：1.数值分析的基本概念：数值分析的定义、特点和意义。
2.数值计算算法：插值法、最小二乘法、数值积分和数值微分。
3.误差分析：误差的定义和来源、误差的估计和减少方法。
4.稳定性分析：稳定性的定义和判定方法。
5.实际应用案例：利用数值分析方法解决实际问题。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我们将采用多种教学方法进行教学。
具体来说，包括以下几种：1.讲授法：通过讲解数值分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析实际应用案例，使学生了解数值分析在解决实际问题中的应用。
3.讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和科学精神。
4.实验法：让学生利用相关软件进行数值计算和数据分析，提高学生的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：1.教材：数值分析教材，用于引导学生学习基本概念和原理。
2.参考书：提供额外的学习资料，帮助学生深入理解数值分析方法。
3.多媒体资料：制作PPT、视频等多媒体资料，生动展示数值分析的原理和应用。
4.实验设备：计算机和相关软件，供学生进行数值计算和数据分析实践。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。
计算方法思考题
第1章绪论[内容提要]1．数值分析的对象和特点。
2．误差和有效数字。
3．算法的数值稳定性（稳定性定义和举例）。
[说明与要求]1．了解绝对误差、相对误差和有效数字等概念。
2．了解截断误差、舍入误差及其对数值计算的影响。
[教学重点与难点] 误差和有效数字，算法的稳定性[思考题]1. 计算方法的研究对象和内容是什么？它有什么主要特点？学习该课程应注意什么？2. 误差为什么是不可避免的，用什么标准来衡量近似结果是准确的？3. 误差的主要来源有哪几方面？计算方法中主要讨论哪几种误差？4. 什么叫绝对误差、相对误差？什么叫绝对误差和相对误差值？什么叫有效数字？它们之间的关系如何？5. 算法的数值稳定性是指什么？理论上等价的公式，其数值稳定性是否都相差不多？算法的数值稳定性对计算结果有什么影响？6. 数值计算中应普遍遵循的原则有哪些？举例加以说明。
第2章非线性方程的数值解法[内容提要]1．二分法。
2．迭代法及迭代的基本思想。
3．牛顿法和弦截法。
[要求与说明]1．掌握方程求根的二分法。
2．掌握迭代法敛散性判别，了解收敛的阶的概念。
3．熟练掌握牛顿法、弦截法。
[教学重点与难点] 逐次迭代法，牛顿法，二分法[思考题]1. 什么叫二分法，它的优点是什么？如何估计误差？在什么情况下不能用二分法求根？2. 什么是简单迭代法？它的收敛条件是什么？3. 迭代格式的收敛速度是如何定义的？如何判别一个迭代格式是几阶收敛的？4．牛顿迭代格式是什么？它是怎样导出的？有何几何意义？有什么优缺点？与割线法有何区别？第3章线性方程组的数值解法[内容提要]1．向量范数和矩阵范数。
2．Gauss消去法、Gauss列主元消去法。
3．直接三角分解法 Doolittle分解法，Cholesky分解法；追赶法。
4．Jacobi迭代，Gauss-Sedel迭代法。
5．迭代过程的收敛性。
[要求与说明]1．了解线性方程组高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法第七章习题2013
4．什么是f在[a，b]上的n次最佳平方逼近多项式?什么是数据 的最小二乘曲线拟合?
5．什么是[a，b]上带权（x）的正交多项式？什么是[ -1，1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质?
6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
0.6
0.75
yi
1.000
1。004
1.301
1。117
1.223
1.422
哪一种拟合曲线的误差最小？
2．由实验给出数据表
x
0.0
0。1
0.2
0。3
0。5
0.8
1。0
y
1。0
0。41
0.50
0。61
0。91
2.02
2。46
试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。
11．证明函数1,x,…，xn线性无关。
12．证明｜｜f–g｜｜≥|｜f｜|—｜｜g|| .
13．对f（x)，g（x）C1[a，b］，定义
（1） ；
（2） 。
问它们是否构成内积。
14．对权函数（x) = 1 +x2，区间[—1 , 1]，试求首项系数为1的正交多项式n(x)，n= 0, 1，2, 3。
由实验给出数据表0001020305081010041050061091202246次多项式的曲线拟合再根据数据曲线形状求一个另外函数的拟合曲线用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线
计算方法第七章习题
复习与思考题
1．设fC[a , b]，写出三种常用范数 及 。
数值分析作业思考题
数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。
求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。
直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。
当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。
对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。
方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。
所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。
希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式re x xex x*****-==141.≈)61∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。
现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。
数值分析思考题1
数值分析思考题11、 讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：若*120....10m n x ααα=⨯（a 1≠0，m 为整数） 绝对误差：*1*102m n e x x -=-≤⨯，那么*x 就有 n 个有效数字。
因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差限与有效数字：*120....10m n x ααα=⨯（a1≠0，m 为整数）相对误差限:*1111110*1210*102m n n r m x x e x αα--+-⨯-=≤=⨯⨯，*1*102m n e x x -=-≤⨯，11*10m x α-≥⨯可见*x 至少有n 位有效数字。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？答：实际情况下真实值 x 是无法得到的，当测量值与真实值之间的误差可以忽略不计时，可用下式代替。
3、 查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
r e x x e x x *****-==答：病态性：数学问题本身性质所决定的，与算法无关，却能引起问题真解很大变化。
同:都是输入数据的微小误差导致输出数据误差的增大。
异：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学模型本身的问题，与算法无关。
4、 取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-答：)631 5.05110-≈⨯ （1）(()333332 1.41 5.83210--≈-⨯≈⨯（2）223(7(75 1.41) 2.510--≈-⨯=⨯（3331 5.07310(32 1.41)-≈≈⨯+⨯（4361 5.10410(1.411)-≈≈⨯+（5）9999700.3-≈-=方法3最好，误差最小141.≈)61。
数值分析思考题
数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。
而共同探讨问题是非常重要的。
由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。
我会在以后的时间中形成新的文档。
第一章 思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。
数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。
误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。
一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。
计算方法课中主要讨论计算误差。
这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。
例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。
下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。
有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。
由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。
有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。
若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。
而相对误差则与有效数位数基本一致。
3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。
例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。
数值分析第一章思考题
数值分析第一章思考题第一章思考题(2012级本科学生作品)1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。
在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。
例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。
用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。
2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。
答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。
具体的不太会了。
3、为什么要设立相对误差的概念？答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。
x=10±1，y=1000±5。
虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。
这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。
4、误差在生活中有什么作用？答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。
5、有效数字以及计算规则答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
数值分析思考题答案
数值分析思考题答案数值分析课程思考题1．叙述拉格朗⽇插值法的设计思想。
Lagrange插值是把函数y=f(x)⽤代数多项式pn(x)代替，构造出⼀组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另⼀种表⽰⽅式，再利⽤插值条件确定其中的待定函数，从⽽求出插值多项式。
2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。
问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂⽽不便于计算希望⽤⼀个简单的函数描述它。
发展脉络：在⼯程中⽤的多的是多项式插值和分段多项式插值。
在多项式插值中，⾸先谈到的是Lagrange插值，其成功地⽤构造插值基函数的⽅法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其⾼次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另⼀种构造插值多项式的⽅法，与Lagrange插值相⽐，具有承袭性和易于变动节点的特点。
如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的⼀阶，⼆阶甚⾄更⾼阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利⽤未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。
为了提⾼精度，加密节点时把节点分成若⼲段，分段⽤低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。
最后，由于许多⼯程中对插值函数的光滑性有较⾼的要求，就产⽣了样条插值。
3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。
数值积分主要采⽤插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。
通常采⽤Lagrange插值。
如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。
数值分析思考题2
数值分析思考题2数值分析思考题⼆1、怎样确定⼀个隔根区间？如何求解⼀个⽅程的全部实根？如：已知⽅程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，⽤⼆分法求它的全部实根，要求误差满⾜210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需⼆分区间多少次？答：（1）已知1020()x f x e x =+-=,作210x e x =-的图像，可得在区间[0,1]之间有交点，即有且仅有⼀个根。
由于()102x f x e x =+-，所以()f x 在区间[0,1]上连续，且()00100210f e =+?-=-p ，()11101280f e e =+?-=+f ，即()()010f f ?p ，⼜()'100x f x e =+f ,根据零点定理得知，在()f x 在区间[0,1]有唯⼀实根。
由⼆分法的估计式()*211102k k x x b a ε-+-≤-=p ，得到()ln 102ln10 4.60511 5.645ln 20.693k -+-≈-≈f，因此取6k =。
1211102 4.6022f e ??=+?-≈f ，⼜()1002f f ??p ，()f x 在区间[0, 12]有唯⼀实根。
1411102 1.8044f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[0, 14]有唯⼀实根。
18111020.38088f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[0, 18]有唯⼀实根。
16111020.3101616f e ??=+?-≈-p ，⼜110816f f ??p ，()f x 在区间[18,116]有唯⼀实根。
332331020.03603232f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[116,332]有唯⼀实根。
56455102.0146464f e ??=+?-=-，故 50.07864=即为所求。
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数值计算方法思考题第一章 预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？6．判断如下命题是否正确：（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
（2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
（3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
（4）高精度运算可以改善问题的病态性。
（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。
（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax 2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的aac b b x 242-±-=. 与之等价地有ac b b c x 422--=.对于 a = 1, b = -100 000 000 , c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开++++=!3!2132x x x e x如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？9．考虑数列x i , i = 1,…, n , 它的统计平均值定义为∑==n i i x x x 11 它的标准差2112)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑-n i i x x n σ 数学上它等价于2112211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=n i i x n x n σ 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章 非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton 法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton 法；(d) Newton 法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton 法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法x k +1 = g (x k )，其中x * = g (x *)。
如果| g '(x *) | <1，则对任意的初始值，上述迭代都收敛。
2．什么叫做一个迭代法是二阶收敛的？Newton 法收敛时，它的收敛阶是否总是二阶的？3．求解单变量非线性方程的单根，下面的3种方法，它们的收敛阶由高到低次序如何？ (a) 二分法(b) Newton 方法(c) 割线方法4．求解单变量非线性方程的解，Newton 法和割线方法，它们每步迭代分别需要计算几次函数值和导数值？5．求解某个单变量非线性方程，如果计算函数值和计算导数值的代价相当，Newton法和割线方法它的优劣应如何评价？第三章 解线性方程组的直接法1．用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？2．高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？3．乔列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？4．哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？5．什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？6．何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
7．何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (a i j )的三种范数|| A ||1，|| A ||2，|| A ||∞，|| A ||1与|| A ||2哪个更容易计算？为什么？8．什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？9．满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（5）矩阵的元素绝对值小。
10．判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A 非奇异，则用顺序消去法或直接LU 分解可求得线性方程组Ax = b 的解。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
（4）如果A 非奇异，则Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的决定的。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
（8）如果矩阵对称，则|| A ||1 = || A ||∞ 。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
（11）|| A ||1 = || A T ||∞ 。
（12）若A 是n ⨯ n 的非奇异矩阵，则)(cond )(cond 1-=A A 。
（13）一个奇异的矩阵不可能有LU 分解；（14）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky 分解。
11．假设矩阵A 有cond(A) = 1，从而A 是好条件的。
问下面的哪些矩阵条件数也一定是1？（a ）cA ，其中c 是任意的非零常数； （d ）QA ，其中Q 是任意的正交矩阵；（b ）DA ，其中D 是非奇异的对角矩阵； （e ）A 的逆矩阵；（c ）BA ，其中B 是任意的非奇异矩阵； （f ）A 的转置矩阵。
第四章 解线性方程组的迭代法1．写出求解线性方程组Ax = b 的迭代法的一般形式。
并给出它收敛的充分必要条件。
2．给出迭代法f Bx x k k +=+)()1(收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。
3．写出解线性方程组Ax = b 的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的计算公式，它们的基本区别是什么？4．何谓矩阵A 严格对角占优？何谓A 不可约？5．将雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代和具有最优松弛参数的SOR 迭代，按收敛快慢排列。
6．判断下列命题是否正确。
（1）雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快。
（2）高斯-塞德尔迭代是SOR 迭代的特殊情形。
（3）A 对称正定则SOR 迭代一定收敛。
（4）A 为严格对角占优或不可约对角占优，则解线性方程组Ax = b 的雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代均收敛。
（5）A 对称正定则雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代都收敛。
（6）SOR 迭代法收敛，则松弛参数0< ω < 2。
点。
第五章 矩阵特征值和特正向量的求解1．判断如下命题是否正确：(a) 对应于给定特征值的特征向量是唯一的；(b) 每个n 阶的方阵一定有n 个线性无关的特征向量；(c) 实矩阵的特征值一定是实的；(d) 一个n 阶方阵奇异的充分必要条件是：0是该矩阵的特征值；(e) 任意的n 阶的方阵，一定与某个对角矩阵相似；(f) 如果两个n 阶方阵的特征值相同，这两个矩阵一定相似；(g) 一个n 阶方阵的所有特征值都为0，这个矩阵一定是零矩阵；2．下面各类的任意n 阶矩阵，哪些矩阵的特征值一定可以用有限的代数运算精确求解？ (a)实对称矩阵； (d)上三角矩阵；(b)对角矩阵； (e)上Hessenberg 矩阵；(c)三对角矩阵； (f)没有重特征值的实矩阵。
3．对非奇异的矩阵，将下面各算法的复杂度由低到高排列出来：(a)计算矩阵的所有特征值和特征向量；(b)用列主元Gauss 消去法计算矩阵的LU 分解；(c)计算矩阵的逆；(d)回带求解系数矩阵为上三角的线性方程组。
4．求解特征值问题的条件数与求解线性方程组问题的条件数是否相同，两者分别是什么？实对称矩阵的特征值问题总是良态的吗？第六章 函数插值1．什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？2．什么是牛顿基函数？它与单项式基{1, x , …, x n }有何不同？3．什么是函数的n 价均差？它有何重要性质？4．写出n + 1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式。
它们有何异同？5．用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序。
6．给出插值多项式的余项表达式。
如何用它估计截断误差？7．埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？8．为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？9．三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。
10．确定n + 1个节点的三次样条插值函数要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？11．判断下列命题是否正确？（1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多。
（2）如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。
（3）l i (x ) (i = 0, 1,…, n )是关于节点x i ( i =0, 1, …, n )的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n 的多项式P (x )都有)()()(0x P x P x l i ni i =∑=。
（4）当f (x )为连续函数，节点x i (i = 0, 1,…, n )为等距节点，构造拉格朗日插值多项式L n(x )，则n 越大L n (x )越接近f (x ).（5）同上题，若构造三次样条插值函数S n (x )，则n 越大得到的三次样条函数S n (x )越接近f (x ).（6）高次拉格朗日插值是很常用的。
（7）函数f (x )的牛顿插值多项式P n (x )，如果f (x )的各阶导数均存在，则当x i →x 0 (i = 1, 2,…, n ) 时，P n (x )就是f (x )在x 0点的泰勒多项式。
12．为更好地保持被逼近函数的凸性，你选择下述哪种方法：（a ）Lagrange 插值多项式；（b ）3次样条插值函数；（c ）3次Hermite 插值函数。
13．数据量特别大时，你选择下述哪种方法：（a ）Lagrange 插值多项式；（b ）3次Hermite 插值函数；（c ）3次样条插值函数；（d ）最小二乘拟合。
第七章 函数逼近1．f , g ∈C [a , b ]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ϕ 0, ϕ 1, …, ϕ n }∈C [a , b ]在[a ,b ]上线性无关？2．什么是函数f ∈C [a , b ]在区[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式？3．什么是f 在[a , b ] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}mi f 0的最小二乘曲线拟合？4．什么是[ a , b ]上带权ρ (x )的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？5．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？6．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？7．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？8．计算有理分式R mn (x )为什么要化为连分式？9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？12．判断下列命题是否正确？（1）任何f (x ) ∈C [a , b ]都能找到n 次多项式P n (x ) ∈ H n ，使| f (x ) - P n (x ) | ≤ ε ( ε 为任给的误差限)。