数值计算方法思考题

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？

2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？

6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。

（2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。

（3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。

（4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。

（6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。

7．考虑二次代数方程的求解问题

ax 2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

a

ac b b x 242-±-=. 与之等价地有

ac b b c x 422--=

.

对于 a = 1, b = -100 000 000 , c = 1

应当如何选择算法？

8．指数函数有著名的级数展开

++++=!3!213

2x x x e x

如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？

9．考虑数列x i , i = 1,…, n , 它的统计平均值定义为

∑==n i i x x x 1

1 它的标准差

21

12)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑-n i i x x n σ 数学上它等价于

2

1

12211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=n i i x n x n σ 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？

第二章 非线性方程求根

1．判断如下命题是否正确：

(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；

(b) Newton 法的收敛阶高于割线法；

(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton 法；

(d) Newton 法总是比割线法更节省计算时间；

(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；

(f) Newton 法是有可能不收敛；

(g) 考虑简单迭代法x k +1 = g (x k )，其中x * = g (x *)。如果| g '(x *) | <1，则对任意的初

始值，上述迭代都收敛。

2．什么叫做一个迭代法是二阶收敛的？Newton 法收敛时，它的收敛阶是否总是二阶

的？

3．求解单变量非线性方程的单根，下面的3种方法，它们的收敛阶由高到低次序如何？ (a) 二分法

(b) Newton 方法

(c) 割线方法

4．求解单变量非线性方程的解，Newton 法和割线方法，它们每步迭代分别需要计算几

次函数值和导数值？

5．求解某个单变量非线性方程，如果计算函数值和计算导数值的代价相当，Newton

法和割线方法它的优劣应如何评价？

第三章 解线性方程组的直接法

1．用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

2．高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？

3．乔列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？

4．哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

5．什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

6．何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

7．何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (a i j )的三种范数|| A ||1，|| A ||2，|| A ||∞，|| A ||1与|| A ||2哪个更容易计算？为什么？

8．什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？

9．满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？

（1）矩阵行列式的值很小。

（2）矩阵的范数小。

（3）矩阵的范数大。

（4）矩阵的条件数小。

（5）矩阵的元素绝对值小。

10．判断下列命题是否正确：

（1）只要矩阵A 非奇异，则用顺序消去法或直接LU 分解可求得线性方程组Ax = b 的解。

（2）对称正定的线性方程组总是良态的。

（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。

（4）如果A 非奇异，则Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的决定的。

（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。

（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

（8）如果矩阵对称，则|| A ||1 = || A ||∞ 。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

（11）|| A ||1 = || A T ||∞ 。

（12）若A 是n ⨯ n 的非奇异矩阵，则

)(cond )(cond 1-=A A 。

（13）一个奇异的矩阵不可能有LU 分解；

（14）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky 分解。

11．假设矩阵A 有cond(A) = 1，从而A 是好条件的。问下面的哪些矩阵条件数也一定是1？

（a ）cA ，其中c 是任意的非零常数； （d ）QA ，其中Q 是任意的正交矩阵；

（b ）DA ，其中D 是非奇异的对角矩阵； （e ）A 的逆矩阵；

（c ）BA ，其中B 是任意的非奇异矩阵； （f ）A 的转置矩阵。

第四章 解线性方程组的迭代法

1．写出求解线性方程组Ax = b 的迭代法的一般形式。并给出它收敛的充分必要条件。

2．给出迭代法f Bx x k k +=+)()1(收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。

3．写出解线性方程组Ax = b 的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的计算公式，它们的基本区别是什么？

4．何谓矩阵A 严格对角占优？何谓A 不可约？

5．将雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代和具有最优松弛参数的SOR 迭代，按收敛快慢排列。

6．判断下列命题是否正确。

（1）雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快。

（2）高斯-塞德尔迭代是SOR 迭代的特殊情形。

（3）A 对称正定则SOR 迭代一定收敛。

（4）A 为严格对角占优或不可约对角占优，则解线性方程组Ax = b 的雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代均收敛。

（5）A 对称正定则雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代都收敛。

（6）SOR 迭代法收敛，则松弛参数0< ω < 2。

点。