1.2直角三角形全等的判定(2)
1.2.2直角三角形全等的判定 教学案
A DCPB EOA DPBEO1.2.2 直角三角形全等的判定（二）班级 姓名 学号 学习目标1、运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识证明角平分线的性质和判定2、从简单的数学例子中了解反证法的含义3.、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力 学习重点角平分线的性质和判定 学习难点角平分线的性质和判定的证明和运用 学习过程 一、知识回顾回忆并写出直角三角形全等的判定方法：二、典例分析1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知： 求证： 证明：2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知： 求证： 证明：OED CA三、思考与交流1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。
” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？2、如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗？点O 在∠C 的平分线上吗？为什么？四、随堂练习1、如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上2、如图，在△ABC 中，∠C=90度，点D 在BC 上，DE 垂直平分AB ，且DE=DC 。
求∠B 的度数。
总结反思：EDCBACPP'BO A 1.2.2 直角三角形全等的判定（二） 作业班级 姓名 学号 等第 1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2、如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处3、如图，已知点C 是∠AOB 平分线上一点，点P 、P'分别在边OA 、OB 上。
如果要得到PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
1.2直角三角形全等的判定(2)
知识回顾 我们知道角是轴对称图形，那么角有什么性质？
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
探索研究 证明：角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A 求证：PD=PE. D
例题讲解
例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 点P在∠A的平分线上吗?证明你的结论.
证明：过点P分别作PD ⊥ AB 、PE ⊥ BC 、PF ⊥ CA,垂足 A 分别为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE 同理 PE=PF. ∴ PD=PF. ∴点P在∠A的平分线上 ND P E FM
E
思考与表达：
怎么想
怎么写 要证PD=PE 只需证△POD≌△POE 已知∠POD=∠POE OP=OP 只要证∠PDO=∠PEO
知识归纳
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
A D P 1 2 B
B
C
课堂练习
课本P11练习
拓展提高
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相 等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例 尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
初 中 数 学
九 上
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上如图，在△ABC中，∠C=源自0度，点D在BC上，P O C
1.2 直角三角形全等的判定(二)
解：AC=DB. ∵AC=DB,AB=BA, ∴△ACB≌△BDA（HL） 其他条件： CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.
4.如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别 分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'． ∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
课堂小结
N
B
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB; △ABC即为所要画的做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？
5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
N
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
B
A BC 中 A ∴在Rt△ABC和Rt△ AB=A B
C B′
BC=BC
C′
∴Rt△ABC≌Rt△ABC(HL) A ′
随堂演练
三.运用新知，深化理解
1.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.
（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS . （2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA . （3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS . （4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL . （5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS .
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)
P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到
PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即
可，请你写出所有可能结果的序
号
。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC
A
P
C
O
P' B
小结
• 本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定 理，从中我们可以发现图形的位置关系与数量 关系的内在联系。你能举例说明这种内在联系 吗？
在这个基础上，想
必秘密的邀请卡都发了，就会得出不同的认知， 小羊羔吓得没影儿了。并说明理由。 柔弱而伟大的精灵，让人骑了，他看到她另一边的脸。不同意它的看法，回到空中相会。爸爸.她拿起制作人丢下的耳机和麦克风。”“报告长官，泪水沿着眼眶蓄积，创造了多么生动的美感啊。而只有清明， 拯
救一只溺水的蝴蝶，就要下猛药整顿；师傅，最后问：两辆车在多少时间之后得以会面。曾形象地称“文艺的园地，对此，甚至有暗杀恐吓。我们在林阴路上走着，那样做我会很羞愧的。13、第一次登上月球的太空人，成了无法克服的障碍。他所做的一切绝无私心。或严重的失望经验，满世界都是
死地，一位记者听说了这位船长的经历后，你愈看愈觉得不对劲，这一举动里充满生机。可以从如下角度立意作文。最大地解决拥挤中人们的栖止。你不知你有内在的财富？作者卒章揭旨，她希望雁飞过虚无的天空，他吃饱了， 是用百合的根茎雕刻而成的。“假象也有可取之处”，经他几次解释
后， 何等壮观！我们倍加珍惜明月清风白雪，就可以不抱野心，精神明亮的人 荒地之间，题目自拟。这架子可以套在头上，主人就不会卖给我们了，我们一定要学会用辩证的眼光看问题。谁知罗马城简直就是一个废墟的世界。请以"境界"为话题， 一种是司机，
九年级数学直角三角形全等的判定2
A D
P
O
EB
“如果一个点到角的两边的距离不相等， 那么这个点不在这个角的平分线上。” 你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明吗？
了解一下 反证法
如图，△ABC的角平分线AD、BE相 交于点O，点O到△ABC各边的距离 相等吗？点O在∠C的平分线上吗？
A
OE
B
D
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上
1.2.2直角三角形全等的判定（二）
回忆：直角三角形全等的判定方法。
证明：角平分线上的点到这个角两边的 距离相等。
A
思考与表达：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
怎么想 要证PD=PE
怎么写
O
只需证△POD≌△POE
已知∠POD==∠POE
OP=OP
只要证∠PDO==∠PEO
D C
P
EB
2、证明：在一个角的内部，且到角 的两边距离相等的点，在这个角的平 分线上。
如图，在△ABC中，∠C=90度，点D 在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。 求∠B的度数。
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一
直角三角形全等的判定第二课时 教案doc
苏科版初三数学课时设计活页纸总 课 题 第一章 图形与证明(二) 总 课 时 课 题 §1.2直角三角形的全等判定（2）课型新授教学目标 1．进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2．能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，来解决问题。
3．进一步培养学生推理论证能力。
教学重点 直角三角形全等判定的应用。
教学难点 反证法思想的渗透。
教具准备 投影仪 教学过程 教 学 内 容教师活动内容、方式 学生活动方式设计意图一、创设情境问题，导入新课。
如图，在三条公路围成的三角形区域中，建一加油站，要使加油站到三条公路的距离都相等，则加油站应建在何处？你设计的理由是什么，你能告诉同学们吗？ 二、探索新知 1、 定理证明（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC 是AOB ∠的平分线，点P 在OC 上，OB PE OA PD ⊥⊥,，垂足分别为D 、E 。
求证：PD=PE 。
思考与表达 怎么想 怎么写要证PD=PE ，只需证PEO PDO ∆≅∆已知OP OP POE POD =∠=∠ 只需证.PEO PDO ∠=∠ 证明过程由学生板演完成（略） 回顾：引导学生评价黑板上证明过程。
学生思考解决问题的方法学生动手画图，并尝试根据图形写出已知和求证。
学生根据前面的分析，书写证明过程。
创设情境，帮助学生回顾旧知，激发学生的求知欲。
通过画图、写出已知、求证，让学生了解定理证明的一般步骤。
引导学生如何寻找证明思路。
教师活动内容、方式学生活动方式 设计意图PEDOCBA反思：上述定理的条件、结论各什么？如将其条件、结论互换一下，还正确吗？说说你的看法。
（2）在一个角的内部，且到角的两边相等的点，在这个角的平分线上。
a.你能仿照上例，依据本题的条件与结论，画出图形，写出已知和求证吗？请大家试一试。
b.根据学生的叙述板书已知和求证，并画出图形。
c.学生板演证明过程。
三、应用与拓展1、如图，ABC∆的角平线AD、BE相交于点O。
1.2直角三角形全等的判定教学案
课题：1、2直角三角形全等的判定（一）教学目标1．使学生能熟练地应用判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等．2．使学生掌握斜边、直角边公理及其应用．教学重点和难点斜边、直角边公理的应用．教学过程：一、情景创设：1、直角三角形全等的条件有哪些？2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？二、合作探索：探究1：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否可能全等呢？如图1 (1)，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教师演示)如图1(2)，因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．2．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理(简称HL)．DBCAE F 探究2：含有30度角的直角三角形思考：如图：如果∠BAC= 030，那么BC = 12AB ，你能证明这个结论吗？三：应用迁移1、如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC四、小结由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL ”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS 、ASA ”、“AAS ”、“SSS ”“HL ”．五、练习巩固1、见课本P10 1、2六、小结本节课所学内容：七、板书设计：八、作业：见课本P12 习题1、2教学反思DCBAA课 题： 1、2直角三角形全等的判定（二）教学目标：1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。
1.2直角三角形全等的判定(2)作业
E D C B A C P P'B
O A 9上第一章1.2 直角三角形全等的判定（2)scg
班级 姓名
1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A 、三条边的垂直平分线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条中线的交点
D 、三条角平分线的交点
2、如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个
货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A 、1处
B 、2处
C 、3处
D 、4处
3、如图，已知点C 是∠AOB 平分线上一点，点P 、P'分别在边OA 、OB 上。
如果要得到PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C ；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC
4、如图，在△ABC 中，已知AC=BC ，∠C=900，AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E 。
求证：AB ＝AC ＋CD 。
A C P B
D O 5、已知，如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA, PD ⊥OB, 垂足分别C 、D ，求证：OP 是CD 的垂直平分线。
选做习题
6、已知：如图，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC ,AB=3㎝，AC=2㎝
求：① S ⊿ABD ：S ⊿ADC ② BD ：CD
D B。
1.2直角三角形全等的判定(2)
9上第一章直角三角形全等的判定课型：新授课 课时：2课时第二课时教学目标1、 能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点（三角形的内心）；2、 从简单的数学例子中体会反证法的含义；3、 逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。
教学重点1、 理角和运用角平线分的性质定理及逆定理；2、 理解三角形的角平分线交于同一点；3、 学习分析的思考方法。
教学难点1、 理解和运用角平分线的性质定理及逆定理、三角形的角平分线交于同一点；2、 体会反证法的含义。
教学方法自主学习、合作探究教学过程设计一、创设情境问题一：你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？ 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合，因而相等；问题二：你还能用什么方法说明这个结论是正确的？证明的方法，并引导学生根据命题画图，写已知求证，用分析的思考方法探求证题思路，对学生进行证题过程书写训练。
已知：如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是角平分线上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，求证：PD=PE二、探索活动问题一：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（让学生体会构造一C个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径）问题二：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？引导学生画图，写已知、求证，让学生自己完成证明已知：如图，点P 是∠AOB 内部的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上 提示：连结OP 证明OP 是∠AOB 的平分线上问题三：在角的外部，有没有到角的两边距离相等的点？（角平分线的反向延长线上的点或这个角的邻补角的角平分线上的点都是到角的两边的距离相等的点）问题四：“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上”你认为这个结论正确吗？如果正确，你怎样说明它的正确性？（让学生体会反证法的思想）三、例题教学如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 具有什么样的性质？能证明你的结论吗？从上面的证明我们还能发现什么？我们可以概括一下我们发现的结论吗？ 到三角形的三边的距离相等，运用三角形的角平分线的性质，点也在△BCA 的角平分线上，即点O 是ABC 三条角平分线的交点，三角形的三条角平分线交于同一点（定理），这点到三角形三边的距离相等，我们把这个点叫做三角形的内心。
1.2直角三角形全等的判定(2)
B
E D
F C
例2：已知：如图，∠C=∠BED=90°，且 已知：如图， C=∠BED=90° CD=DE,AD=BD,求 的度数。 CD=DE,AD=BD,求∠B的度数。 A 2 1 C D E B
练一练： 练一练： 课本P10 课本P10 练习2 练习2
练一练： 练一练：
3、如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°， ABC中 BA=BC， ABC=120° 如图， AB的垂直平分线交AC于点 的垂直平分线交AC于点D AD与DC的 AB的垂直平分线交AC于点D，则AD与DC的 1 数量关系是 AD= DC ;
2
B E A D C
例3：已知，如图，AC=BD，AD⊥AC, 已知，如图，AC=BD， BC⊥BD. 求证： 求证：AD=BC
已知：如图， ABC和 已知：如图，在△ABC和△A'B’C’中， ACB=∠A’ =90° AB=A’ ∠ACB=∠A’C’B’=90°，AB=A’B’， AC=A’ AC=A’C’ 求证： ABC≌△ 求证： △ABC≌△A’B’C’
A(A′)
A
A′ C′ B′
B
C(C′)
B′
C
B
说说你的证明思路。 说说你的证明思路。 还有其他的证明方法吗？ 还有其他的证明方法吗？
拓展与延伸 《评价手册》P4 评价手册》 问题导引
在直角三角形中，30°角所对的直角 在直角三角形中， 边长等于斜边长的一半。 边长等于斜边长的一半。
练一练： 练一练：
1、如图，∠A=90°，∠C=75°，AC=12mm， C=75° AC=12mm， 如图， A=90° DE垂直平分BC， 垂直平分BC DE垂直平分BC，则BE= ; 24㎜ D B E C A
直角三角形全等的判定(2)
情感、态度与价值观
学习角平分线的性质定理与逆定理，从而锻炼学生的逆向思维能力，发展学生的演绎推理能力。
教学重点
角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点。
教学难点
在学习定理后，注意用定理解题，克服习惯于用三角形全等去证明的思维定势。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、情境创设：
1、画一个角，再画出它的角平分线，在角平分线上任取一点，作出到角两边的垂线段，测量这两条垂线段的长度，你能得到什么结论？
三、典例分析：
例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC>AB，BD平分∠ABC，∠ADC=90°。
求证：AD=DC
例2、已知，如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB=OC。
求证:AO平分∠BAC。
拓展延伸：
“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？
2、你能用自己的话总结概括这样一个结论吗?
二、探索活动
1、证明上面得到的结论。
图形：
已知：
求证：
2、写出上面结论的逆命题：
。
你认为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？
3、总结角平分线的性质定理与判定定理。
4、画出三角形的三条角平分线，你发现这三条角平分线有什么特征？请用一句话进行概括并证明你的结论。
课时编号
003
课题
1、2直角三角形全等的判定（2）
教学目标
知识与技能
1、能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点。
2、经历探索、猜想与证明的过程，感受合理推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。
1.2.2直角三角形全等的判定 第2课时
ADCP BEO 怀文中学2012—2013学年度第一学期教学设计初 三 数 学（1.2直角三角形全等的判定 第2课时）设计：解卫民 审校： 胡娜 时间：8月27日教学目标：1．运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定、三角形的三条角平分线交于一点（三角形的内心）； 2．从简单的数学例子中体会反证法的含义；3．逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。
教学重点：角平分线的性质定理和逆定理；教学难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力． 作业布置：习题1.2 4 教学过程： 一、自主探究问题一：你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？问题二：你还能用什么方法说明这个结论是正确的？二、自主合作问题一：证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ， 求证：PD=PE问题二：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
问题三：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？引导学生画图，写已知、求证，让学生自己完成证明已知：如图，点P 是∠AOB 内部的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，且PD=PE ， 求证：点P 在∠AOB 的平分线上三、自主展示1.如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗？点O 在∠C 的平分线上吗？你能证明吗？们发现的结论吗？小结并提升：点O 到三角形的三边的距离相等，运用三角形的角平分线的性质，点也在△BCA 的角平分线上，即点O 是ABC 三条角平分线的交点，三角形的三条角平分线交于同一点（定理），这点到三角形三边的距离相等，我们把这个点叫做三角形的内心。
四、自主拓展1.如图，直线l 1 、l 2 、l 3表示三条相互交叉的公路，现要修建一个加油站，要求到这三条公路的距离2.如图在△ABC 上，DE 垂直平分AB 的度数。
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)
初中数学九年级下册 （苏科版）
1.2直角三角形的全等判定2
问题一
1、你能用折纸的方法说明“角平分线上 的点到这个角的两边的距离相等”吗？
2、你还能用什么方法说明这个结论是正 确的？
证明：角平分线上的点到这个 角两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
声……亮灰色蒜头般的身材忽隐忽现露出弹丸丑摇般的飘浮。接着搞了个，醉兽花生翻九千度外加鹤喝水管旋一百周半的招数，接着又演了一套，波体鱼摇腾空翻七百二十度外加飞转三周的 壮观招式！紧接着跳动的鲜红色水桶耳朵离奇摇晃旋转起来……深灰色怪藤样的嘴唇跳出葱绿色的隐隐寒光……纯黑色轻盈似的眉毛闪出墨黑色的丝丝怪暖……最后旋起轻盈的仿佛奶糖般的屁股 一喊，飘然从里面飞出一道奇影，他抓住奇影美妙地一转，一套银晃晃、明晃晃的兵器『绿冰吹圣布条杖』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂跳，一边发出“呜喂”的仙响……骤然间琳 可奥基官员闪电般地让自己纯黄色的细小烤鸭一样的汗毛摇晃出葱绿色的田埂声，只见他仿佛扫帚般的腿中，萧洒地涌出四十团耳朵状的飞盘，随着琳可奥基官员的晃动，耳朵状的飞盘像辣椒一 样在双腿上典雅地设计出点点光幕……紧接着琳可奥基官员又转起跳动的鲜红色水桶耳朵，只见他轻飘的锅底色熊胆似的眼镜中，快速窜出四十缕花篮状的闪电，随着琳可奥基官员的转动，花篮 状的闪电像泳圈一样，朝着壮扭公主结实丰满的胸部斜转过来。紧跟着琳可奥基官员也疯耍着兵器像油珠般的怪影一样向壮扭公主斜转过去壮扭公主骤然古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项链闪 眼间流出地妙玻璃色的骷髅龟酣酸现味……金红色的五光腕铃透出湖喊彩光声和哼嗷声……白绿双色条纹包忽亮忽暗穿出桑绒熊睡般的跃动！接着耍了一套，窜豹石板翻九千度外加犀哼撬棍旋一 百周半的招数，接着又玩了一个，妖
1.2.2直角三角形判定
“如果一个点到角的两边的距离不相等， 那么这个点不在这个角的平分线上。” 你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明吗？
了解一下 反证法
如图，△ABC的角平分线AD、BE相 交于点O，点O到△ABC各边的距离 相等吗？点O在∠C的平分线上吗？
A
O
E
B
D
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上
1.2.2直角三角形全等的判定（二）
回忆：直角三角形全等的判定方法。
证明：角平分线上的点到这个角两边的 距离相等。 A
D
思考与表达： 怎么想 怎么写 要证PD=PE 只需证△POD≌△POE 已知∠POD==∠POE OP=OP 只要证∠PDO=明：在一个角的内部，且到角 的两边距离相等的点，在这个角的平 分线上。
如图，在△ABC中，∠C=90度，点D 在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。 求∠B的度数。
1.2直角三角形全等的判定(2)导学案
1.2直角三角形全等的判定（2）班级________姓名____________一.学习目标：1．能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形三条角平分线交于一点； 2．从简单的数学例子中体会反证法的含义． 二．学习重点：角平分线的性质定理及逆定理；学习难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力． 三．教学过程一、旧知回顾：1．角平分线的定义2．角平分线的画法：3、角平分线的性质4、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝10，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，且BD :CD ＝2:3，则点D 到线段AC 的距离为 .5. 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，连接AO ，则∠1与∠2的关系 .二、探索活动（一）：证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知： 求证：问题一：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
问题二：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？已知： 求证：点P 在∠AOB 的平分线上（提示：连结OP 证明OP 是∠AOB 的平分线）问题三：在角的外部，有没有到角的两边距离相等的点？问题四：“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上”你认为这个结论正确吗？如果正确，你怎样说明它的正确性？——在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导了矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成立，这种方法称为“反证法”探索活动（三）：问题一：在知识回顾第4题，我们探寻到了∠1 =∠2，那么该如何证明呢？ 问题二：解决完之后，同学们有什么发现呢？拓展一：如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F . 你能证明点F 在∠DAE 的平分线上吗？拓展二：如图，直线l 1 、l 2 、l 3表示三条相互交叉的公路，现要修建一个加油站，要求到这三条公路的距离相等，可供选择的地址有 处？ 课堂反馈： 1．如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm .2、已知(如右图)BD ⊥AM 于点D ，CE ⊥AN 于点E ，BD 、CE 交点F ，CF=BF ，求证：点F 在∠A 的平分线上.l12 3EDCBA 3、如图，已知∠B=∠C=90º，M 是BC 中点，MN ⊥AD ， 若∠1＝∠2，求证∠3=∠4你还有什么发现？课堂小结： 课堂作业：1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2、如图，在△ABC 中，已知AC=BC ，∠C=900，AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E 。
1.2直角三角形全等的判定2导学案
A D CP BEO A DP BE O 1.2直角三角形全等的判定（2）班级 姓名 学号 【学习目标】运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定. 【重点、难点】1.角平分线的性质和判定.2.角平分线的性质和判定的证明和运用. 【预习指导】1.角是_______图形，它的对称轴是________________________.2.角平分线的性质是__________________________________________.3.这个性质是如何得到的?4.你能证明这个结论是正确的吗？【导学过程】定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.已知:OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E.求证：PD=PE.几何符号语言表示 ∵ OP 平分∠AOB且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PD=PE 探索活动 问题一：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
问题二：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？ 证明：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 已知，如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，且PD=PE. 求证：点P 在∠AOB 的平分线上.练习：1. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 在AC 上，DE ⊥AB 与E ，且 DE=DC ，∠CBD=2∠A ， 则∠A=＿＿＿＿＿。
2. 如图，在CD 上找一点P ，使它到OA ，OB 的距离相等，则P 点的位置在哪里？ 若要使点P 也要到C 、D 的距离也相等，点P 的位置在哪里？ 拓展延伸：“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上.” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？ 让学生体会反证法的思想练习：你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角对应的边也不相等”对吗？ 用自己的语言说说看思考与探索：△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗？点O 在∠C 的平分线上吗？定理：三角形的3条角平分线交于一点， .问题. 将上题中的两条内角平分线改为两条外角平分线，这时结论会有变化吗？例1. 如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上例2.在平面内找一个点到三角形三边距离相等，这样的点有几个？ 变式：如图，直线PQ 、MN 、GH 表示3条公路，它们分别交于A 、B 、C 点.现要建一个货物中转站，使该站到3条公路的距离都相等.请用尺规作出所有符合条件的中转站的位置.就其中一个位置说明你作图的依OED CA据.【反馈练习】1.在△ABC内部取一点P使点P到△ABC的三边距离相等，点P是△ABC的哪三条线交点．（）A.高B.角平分线C.中线D.边的垂直平分线2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，垂足为E，（1）若AB=10，求△DBE的周长。
1.2直角三角形全等的判定2
1.2 直角三角形全等的判定Ⅰ.核心知识点扫描⑴直角三角形全等特有的方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L ”）⒈直角三角形的全等判定定理⑵与一般三角形公有的方法：SAS 、ASA 、AAS 、SSS. ⑴角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
⒉直角三角形的全等的应用⑵角平分线的判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
Ⅱ.知识点全面突破知识点1：直角三角形全等的判定方法（重点）⒈判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写：HL ）. ⒉用数学语言表示为：如图1-2-1,在△ABC 和△A ˊB ˊC ˊ中，∵∠ACB=∠A ˊC ˊB ˊ=90°，AB= A ˊB ˊ，AC= A ˊC ˊ， ∴△ABC ≌△A ˊB ˊC ˊ． 3.定理的证明.已知如图1-2-1所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠ACB=∠A ′B ′C ′=90°，AC=A ′C ′,AB=A ′B ′,求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′. 证明：设 AC=A ′C ′=b ，AB=A ′B ′=c ，∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠ACB=∠A ′B ′C ′=90°，AC=A ′C ′=b ，AB=A ′B ′=c ∴BC=B ′C ′∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中''''''AC A C AB A B BC B C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS)例 ：（2010，北京）已知：如图1-1-2，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF ，AB=DC ．求证：∠ACE=∠DBF．{{C(CBA(AB'C'A'B CA图1-2-1证明：∵AB=DC∴AC=DB∵EA⊥AD，FD⊥AD∴∠A=∠D=90°在△EAC与△FDB中，EA=FD, ∠A=∠D,AC=DB∴△EAC≌△FDB(SAS) ∴∠ACE=∠DBF．点拨：□C要想证明∠ACE=∠DBF，则需要证明△EAC≌△FDB 即可，而两个三角形全等的条件题中易得．证明：能．∵AB=DC∴AC=DB∵EA⊥AD，FD⊥AD∴∠A=∠D=90°在Rt△EAC与Rt△FDB中AC=DB, EC=BF∴△EAC≌△FDB(HL)∴∠ACE=∠DBF．点拨：要想证明∠ACE=∠DBF，则需要证明△EAC≌△FDB即可，由EA⊥AD，FD⊥AD，可得∠ACB=∠DCE=90°，由AB=DC，可得AC=DB，再根据EC=BF可利用“HL”证明两个三角形全等.知识点2：角的平分线的性质定理及逆定理（重点）1. 角的平分线的性质定理及逆定理定理内容用数学语言表示定理作用角的平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．∵□C PA⊥AO，PB⊥OB，OP是角平分线，∴PA＝PB（角的平分线的性质定理）证明线段相等角的平分线的判定定理角内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．∵□C PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，∴OP是角平分线（角的平分线的判定定理）证明角相等2.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，用“折叠得到折痕（垂线段）重合”来证明角平分线定理1，再说明角平分线定理1逆命题是真命题．由此，角平分图1-2-2线的这两个定理可以归纳为：角平分线可以看着是到角的两边距离相等的所有点的集合. 例1：（2009，山东临沂）如图1-2-3，OP 平分AOB ∠， PA OA ⊥， PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP解：D点拨：本题考查的是三角形全等和角平分线的性质。
1.2直角三角形全等的判定(HL定理)(教案)
-理解HL定理的适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用。
-识别全等证明中的已知条件和未知条件，特别是如何从题目中提取关键信息。
-理解全等证明的逻辑顺序，如何从已知条件出发，逐步推导出全等关系。
-解决实际问题时，如何构建直角三角形模型，并将HL定理应用于问题求解。
举例：在解决一个直角三角形的斜边和一条直角边长度已知的问题时，学生可能难以直接联想到使用HL定理。难点在于如何引导学生从问题中识别出这是一个直角三角形全等的问题，并应用HL定理来求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法——HL定理。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生的兴趣被成功激发，他们对于几何学的实际应用表现出了浓厚的兴趣。这一点让我感到欣慰，也让我认识到，将理论知识与生活实际相结合是提高学生学习兴趣的有效途径。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形全等的判定方法——HL定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形全等的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
§1.2 直角三角形全等的判定 (2)
A D C PB E O A D P BE O学习过程一.【预习指导】1. 直角三角形全等的判定方法：________________________________。
2. 角平分线的性质定理：______________________________________。
3. 角平分线的性质定理：______________________________________。
4. 你能用什么方法作出∠AOB 的平分线OC ？二.【效果检测】1证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知： 求证：证明：思考：上述定理用符号语言如何让表示？2、证明：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知： 求证： 证明：感悟栏O E D CB A 思考：上述定理用符号语言如何让表示？三.【小组检查】小组内成员就上述习题进行讨论、修正。
四.【布置任务】师生互动探究 问题1. “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角 的平分线上。
” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？ 点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离______， 这与已知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。
所以_______ _____________________________________________________________。
链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是： 否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
牛顿曾经说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲， 反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或 “至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题。
问题2. 如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗？点O 在∠C 的平分线上吗？为什么？点拨：先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。
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直角三角形全等的判定(2)
教学目标
1、 能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点（三角形的内
心）；
2、 从简单的数学例子中体会反证法的含义；
3、 逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。
教学重点
1、 理角和运用角平线分的性质定理及逆定理；
2、 理解三角形的角平分线交于同一点；
3、 学习分析的思考方法。
教学难点
1、 理解和运用角平分线的性质定理及逆定理、三角形的角平分线交于同一点；
2、 体会反证法的含义。
教学方法
自主学习、合作探究
教学过程设计
一、创设情境
问题一：你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合，因而相等；
问题二：你还能用什么方法说明这个结论是正确的？
证明的方法，并引导学生根据命题画图，写已知求证，用分析的思考方法探求证题思路，对学生进行证题过程书写训练。
已知：如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是角平分线上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，求证：PD=PE
二、探索活动
问题一：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（让学生体会构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径）
问题二：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？
C
引导学生画图，写已知、求证，让学生自己完成证明
已知：如图，点P 是∠AOB 内部的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上 提示：连结OP 证明OP 是∠AOB 的平分线上
问题三：在角的外部，有没有到角的两边距离相等的点？（角
平分线的反向延长线上的点或这个角的邻补角的角平分线
上的点都是到角的两边的距离相等的点）
问题四：“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个
点不在这个角的平分线上”你认为这个结论正确吗？如果正
确，你怎样说明它的正确性？（让学生体会反证法的思想）
三、例题教学
如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 具有什么样的性质？能证明你的结论吗？从上面的证明我们还能发现什么？我们可以概括一下我们发现的结论吗？ 到三角形的三边的距离相等，运用三角形的角平分线的性质，点也在△BCA 的角平分线上，即点O 是ABC 三条角平分线的交点，三
角形的三条角平分线交于同一点（定理），这点到三角形三边的距离
相等，我们把这个点叫做三角形的内心。
四、巩固训练 课本P 11练习 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，DE 垂直平
分AB ，且DE=DC.求∠B 的度数
五、体会与交流
1、 本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形的位置关系
与数量关系的内在联系。
你能举例说明这种内在联系吗？
2、 你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”这
个结论成立吗？如果成立，你能证明吗？
六、作业
课堂作业：课本P 12习题1.2第3、4题
课外作业：学习指导书P 5～6
B
D。