1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质
第一章 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
π 求函数y＝tan2x－3 的单调区间．
π π x在x∈－2＋kπ，2＋kπ
1.3.2（二）
跟踪训练2
解 ∵y＝tan
本 课 时 栏 目 开 关
(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋kπ<2x－ < ＋kπ，k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即－ ＋ <x< ＋ ，k∈Z. 12 2 12 2
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.2（二）
1＋tan x≠0， 只需 π x≠2＋kπ
(k∈Z)．
∴函数的定义域为 π π x|x∈R，x≠kπ＋ 且x≠kπ－ ，k∈Z. 2 4 (2)由 3－tan x>0，得tan x< 3. π π 根据正切函数图象，得－ ＋kπ<x< ＋kπ (k∈Z)， 2 3 π π x|－ ＋kπ<x< ＋kπ，k∈Z. ∴函数的定义域是 2 3
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280° )与tan 1 680° ； (2)tan 1，tan 2，tan 3.
本 课 时 栏 目 开 关1. Nhomakorabea.2（二）
解 (1)∵tan(－1 280° )＝tan(－4×360° ＋160° ) ＝tan(180° －20° )＝tan(－20° )， tan 1 680° ＝tan(4×360° ＋240° ) ＝tan(180° ＋60° )＝tan 60° ，
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（二）
(3)正切函数的奇偶性： 从正切函数的图象来看， 正切曲线关于 原点 对称； 从诱导公式
数学人教B必修4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 课件
题型二 余弦、正切函数的性质
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)求函数 y＝3－2cos2x＋3π，x∈－π3，π6的最值． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x －π4整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)由 x 的范围先确定 2x＋π3的范围，然后根据余弦函数的单调 性求出最值．
解 (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4， 由 kπ－2π<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)， 得 2kπ－2π<x<2kπ＋32π，k∈Z， ∴函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是 2kπ－2π，2kπ＋32π，k∈Z.
(2)因为 x∈－π3，π6， 所以 2x∈－23π，π3，2x＋3π∈－π3，23π， 从而－12≤cos2x＋π3≤1，－2≤－2cos2x＋3π≤1， 1≤3－2cos 2x＋π3≤4. 故 y＝3－2cos2x＋3π，x∈－π3，π6的最大值为 4，最小值为 1.
名师点睛 1．余弦函数图象性质的理解 (1)余弦函数的图象可由正弦函数的图象平移得到． (2)余弦函数的周期性、最值与正弦函数一致，单调性求法与 正弦函数单调性求法一样． (3)余弦曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称轴 x ＝kπ，k∈Z，对称中心kπ＋π2，0，k∈Z.
2．对正切函数图象与性质的理解
1．3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
【课标要求】 1．掌握余弦函数的图象及性质． 2．能利用余弦函数的图象及性质解决问题． 3．能画出 y＝tan x 的图象． 4．理解正切函数在－π2，π2上的性质． 【核心扫描】 1．余弦函数的图象及性质．(重点) 2．正切函数的性质．(重点、难点) 3．正切函数定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
7
[预习导引] 函数y＝tan x的性质与图象见下表(表中k∈Z)
y＝tan x
图象
定义域
π {x|x∈R，且 x≠kπ＋2}
8
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
值域 周期
R 最小正周期为 π 奇函数
奇偶性 单调性 对称性 在开区间
π π kπ－ ，kπ＋ 2 2 kπ 对称中心： ，0 2
k∈Z.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
15
(2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
解
∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0，
π π 显然－2<2－π<3－π<1<2，
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
14
要点二
例
正切函数的单调性及应用
解
1 π 2 (1)求函数 y＝tan－2x＋4的单调区间； 1 1 π π y＝tan－2x＋4＝－tan2x－4，
π 1 π π 由 kπ－2<2x－4<kπ＋2，k∈Z， π 3 得 2kπ－2<x<2kπ＋2π，k∈Z， 1 π π 3 ∴ 函数 y ＝ tan －2x＋4 的单调递减区间是 2kπ－2，2kπ＋2π ，
当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
1.3.2余弦、正切函数的图象与性质
π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ， ）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周 期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数 性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱 导公式、正切线等）研究性质，根据性质探 究正切函数的图象.
高中数学：三角函数
高中数学：三角函数三角函数是高中数学中重要的一个章节，也是很多同学感觉比较困难的部分之一。
它是研究角和角的函数关系的一门数学分支。
在高中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，以及它们之间的性质和基本解析式。
一、正弦函数1. 正弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其对边与斜边的比值称为正弦，即sinA = 对边/斜边。
在坐标系中，以一单位长度的线段在y轴上向上方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的正弦值为y，即y=sinα。
2. 正弦函数的性质（1）定义域：D={α | α∈R}。
（2）值域：[-1, 1]。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-α)=-sinα。
（4）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(α+2π)=sinα。
（5）单调性：在[0, π]上，正弦函数单调递增，在[π, 2π]上单调递减。
3. 正弦函数的图像练习题：1. 求sin 120°和sin (-45°)的值。
2. 若α∈[0, 2π]，求证：sin(π-α)=sinα。
3. 若cosα=4/5，α∈[0, π/2]，求sinα的值。
4. 已知sinα=-1/5，α∈[π/2, π]，求cosα的值。
5. 求证：sin(π/2-α)=cosα。
参考答案：1. sin 120°=sin(120°-360°)=sin(-240°)=-sin240°=-√3/2；sin(-45°)=-sin45°=-1/√2。
2. sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=-sinα。
3. sinα=3/5。
4. cosα=-√24/5。
5. sin(π/2-α)=cosα。
二、余弦函数1. 余弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其邻边与斜边的比值称为余弦，即cosA = 邻边/斜边。
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
张喜林制1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质教材知识检索考点知识清单1．把正弦函数x y s i n =的图象 个单位就得到余弦函数的图象．用“五点法”作]2,0[,cos π∈=x x y 的图象，五点坐标为2．余弦函数的定义城是 ，值域是 ，周期是 ，奇偶性是 函数，单调增区间是 ，单调减区间是 3．一般地，函数,)(cos(R x x A y ∈+=ϕω其中ϕω、、A 为常数且)0,0>=/ωA 的周期为 4．正切函数x y tan =的定义域是 ，值域是 ，周期是 ，单调区间是 ，单调性是 函数，奇偶性是 函数．)tan(5ϕω+=⋅x A y 的最小正周期为要点核心解读1．余弦函数的图象),)(2sin(cos R x x x y ∈+==π由此可知，余弦函数x y cos =图象与正弦函数=y )2(π+x n 的图象形状相同．于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象．余弦函数x y cos =的图象叫做余弦曲线．由图1-3 -2 -1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是：⋅-)1,2()023(1)0,2).(1,0(ππππ、、）、、（我们可利用这5个点画出余弦函数的简图． 2．余弦函数的性质(1)余弦函数的定义域与值域．余弦函数的定义域为R ，值域从图象上可以看出是[ -1，1]． (2)余弦函数的周期性．①余弦函数的周期可参照诱导公式：x k x cos )2cos(=+π),(z k ∈因而周期是⋅=/∈)0(2k Z k k 且π 最小正周期是2π .②一般地，函数ϕωϕω、、A x A y <+=)cos(为常数且,0=/A )0>ω的最小正周期为⋅=ωπ2T(3)余弦函数的奇偶性，①由图象可以看出余弦曲线关于y 轴对称，因而是偶函数． ②也可由诱导公式x x cos )cos(=-知，余弦函数为偶函数， (4)余弦函数的单调性．由余弦曲线可以知道：余弦函数x y cos =在每一个闭区间)](2,)12[(z k k k ∈-ππ上，都从-1增大到1，是增函数，在每一个闭区间)]()12(,2[Z k k k ∈+ππ上，都从1减小到-1，是减函数，也就是说，余弦函数R x x y ∈=,cos 的单调区间是]2,)12[(ππk k -及).]()12(,2[Z k k k ∈+ππ3．正切函数的性质正切函数x y tan =有以下主要性质： (1)定义域：},2|{z k k x x ∈+=/ππ(2)值域：从图1-3 -2 -2的正切线可以看出，在区间)2,2(ππ-内，当x 小于,2π并且无限接近2π时，x tan 可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况记作.tan +∞→x 读作x tan *趋向于正无穷大”；当戈大于,2π-并且无限接近2π-时，x tan 无限减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作.tan -∞→x 读作x tan 趋向于负无穷大”．这就是说，tanx 可取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数x y tan =的值域是实数集R ．(3)周期性：周期是π．(4)奇偶性：由,tan )tan(x x -=-知正切函数是奇函数，它的图象关于原点成中心对称． (5)单调性：正切函数在每一个开区间)2,2(ππππk k ++-)(z k ∈内都是增函数．4．正切函数的图象用单位圆上的正切线来作正切函数x y tan =在开区间)2,2(ππ-内的图象（如图1-3 -2 -3）．由诱导公式,,2,,tan )tan(z k k x R x x x ∈+=/∈=+πππ且知道正切函数是周期函数，并且π是它的一个周期，又可证明π是它的最小正周期．根据正切函数的周期性，我们可把图象向左、向右连续平移，得出z k k k x x y ∈++-∈=),2,2(,tan ππππ的图象正切曲线（如图1-3 -2 -4），可以看出，正切曲线是由通过点))(0,2(z k k ∈+ππ且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的．典例分类剖析考点1图象及其应用命题规律(1)作图象并研究其性质．(2)借助图象解三角不等式．[例1] 画出函数x x y tan |tan |+=的图象，并指出定义域、值域、最小正周期和单调区间． [解析] 先根据绝对值定义去掉绝对值符号，再作图象，)(),2,[,tan 2],,2(,0tan |tan |z k k k x x k k x x x y ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∈-∈=+=ππππππ故可作如图1-3 -2 -5所示的图象，由图象可知，定义域为R x x ∈|{且},,2z k k x ∈+=/ππ值域为),,0[+∞周期,π=T 单调增区间为+ππk k ,[).)(2z k ∈π1．根据正切函数的图象，写出下列不等式的解集：;1tan )1(-≥x .12tan )2(-≤x考点2定义域问题 命题规律求含有x x tan cos 的函数的定义域． [例2] 求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=;tan 11)2(x y += .tan 3)3(x y -=[解析] (1)要使函数有意义，则有,21cos ,0cos 21≤≥-x x 则其定义域为⋅∈+≤≤+},35232|{z k k x k x ππππ (2)要使函数x y tan 11+=有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅∈+=/=/+)(2,0tan 1z k k x x ππ即,4ππ-=/k x 且⋅∈+=/)(2z k k x ππ 所以函数的定义域为,|{R x x ∈且⋅∈+=/-=/},2,4z k k x k x ππππ,3tan ,0tan 3)3(≤∴≥-x x⋅∈+≤<-∴)(32z k k x k ππππ∴ 其定义域为⋅∈+≤<-},32|{z k k x k x ππππ2．求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=⋅-+=)tan 1lg(tan )2(x x y考点3单调性问题 命题规律(1)求单调区间．(2)比较大小．[例3] (1)求x y 2cos =的单调区间．(2)比较 138tan 与o 143tan 的大小． [解析] (1)函数x y 2cos =的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定⋅∈+≤≤∈≤≤-)(222),(222z k k x k z k k x k ππππππ⋅∈+≤≤∈≤≤-∴)(2),(2z k k x k z k k x k ππππππ∴ 函数x y 2c o s =的单调递增区间、单调递减区间分别为⋅∈+∈-)](2,[)](,2[z k k k z k k k N ππππππ,27014313890)2( <<<而x y tan =在,90( ∈x )270o 上是增函数，.143tan 138tan <∴[点拨] (1)形如)tan(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中)0,0>=/ωA 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把”“)0(>+ωϕωx 视为一个“整体”；)0(0<>A A ②时，所列不等式的方向与=y )(cos ).(tan R x x y R x x ∈=∈的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．如，函数)12cos(+-=x y 的递减区间可以由不等式)(2122z k k x k ∈≤+≤-πππ确定． 课本上研究x y cos =的单调区间为++ππππk k k 2[],2,2[⋅∈+)](22,z k k πππ(2)利用三角函数的单调性进行三角函数的大小比较，一般来说有以下两种情况：①比较同名三角函数值的大小，首先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数，运用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小．②比较不同名的三角函数的大小时，应先运用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性，或数形结合或用三角函数图象作比较． 3．(1)求下列函数的单调区间：);46tan(3;cos 1x y x y -=-=π②①⋅∈=/+=),2)(22tan(z k k x x y ππ③ (2)比较下列各数的大小．⋅--)815cot(),76cot(,513tan ,56tanππππ 考点4周期性与奇偶性 命题规律(1)求给定函数的周期．(2)判断给定函数的奇偶性． [例4] (1)函数)0(cos=/=ab x aby 的周期为(2)函数x x x y cos 2tan +⋅=为____（填“奇”或“偶”）函数．[解析] .|2|||2)1(ππb aab T ==(2)函数定义域},42|{z k k x x ∈+=/ππ关于原点对称， 又)cos()2tan()(x x x x f -+-⋅-=-⋅=+⋅⋅=)(cos 2tan x f x x x∴ 此函数为偶函数． [答案] π|2|)1(ba(2)偶 4．（1)函数)33ta n(π+=ax y 的周期为,2π则a 的值为 (2)判断函数xxx y tan 1cos tan 2--=的奇偶性．(3)判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期：;,2cos 3R x x y ∈=① .|tan |x y =②考点5值域与最值命题规律求含有x x tan cos ≡的函数式的值域或最值． [例5] (1)求1tan 4tan 2-+=x x y 的值域； (2)若)23tan(],3,6[x k y x -+=∈πππ的值总不大于零，求实数后的取值范围， [解析] (1)设,tan x t =则转化为关于t 的二次函数求最值(2)由0≤y 得),23tan(x k --≤π因此，只要求出)23tan(x -π的范围即可．[答案] (1)设,55)2(14,tan 221-≥-+=-+==t t t Jy x t λ1tan 4tan 2-+=∴x x y 的值域为).,5[+∞-(2)由,0)23tan(≤-+=x k y π得⋅-=--≤)32tan()23tan(ππx x k⋅∈-∴∈]3,0[32],3,6[ππππx x由正切函数的单调性得.3)32tan(0≤-≤πx∴ 要使)32tan(π-≤x k 恒成立，只要0≤k 即可，即k 的取值范围为].0,(-∞[点拨] (1)与二次函数有关的三角问题，常常使用“换元法”． (2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”，5.（1） 求函数1tan tan 1tan tan 22+++-=x x x x y 的最大值与最小值．(2)如果函数)0(cos 1>-=b x b a y 的最大值是,23最小值是,21-求函数bx a y 3sin 42-=的最大值．优化分层测训学业水平测试)252cos(1π+=⋅x y 的一条对称轴为( )． 0.=x A 4.π=x B 8.π=x C 83.π=x D 2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是( )．2.π=x A 2.π-=x B 4.π=x C 8.π=x D3．下列点中，能成为函数R x x y ∈+=)(5tan(π且,103ππ+=/k x )z k ∈的一个对称中心的是( )． )0,0(⋅A )0,5.(πB )0,54.(πC )0,.(πD4．将x y cos =的图象向____平移____个单位得到=y )3cos(π-x 的图象．5．直线m m y <=为常数）与函数)0(tan >=ωωx y 的图象相交且相邻两交点间的距离为2π ，则=ω6．利用五点法作出下列函数的简图（只作一个周期长度）：;cos 1)1(x y +=).62cos(3)2(π-=x y高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分） 1．要得到函数)621cos(π+=x y 的图象，可将x y cos =的图象( )． A ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 B ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移⋅3π个单位C ．向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍D ．向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍2．（2009年广东高考题）函数1)4(cos 22--=πx y 是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 3．（2009年全国高考题）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为( )．6π⋅A 4π⋅B 3π⋅C 2π⋅D4．（2009年四川高考题）已知函数),)(2sin()(R x x x f ∈-=π下面结论错误的是( )．A ．函数)(xf 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数5．（2009年江西高考题）函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为( )．π2.A 23.πB π.C 2π⋅D 6．（2008年浙江高考题）在同一平面直角坐标系中，函数=y ])2,0[)(232cos(ππ∈+x x 的图象和直线21=y 的交点个数是( )．0.A 1.B 2.C 4.D )tan(sin 7x y =⋅的值域为( )．]4,4.[ππ-A ]22,22.[-B ]1tan ,1tan .[-c D ．以上均不对 8．（2011年山东理）函数x xy sin 22-=的图象大致是( )．二、填空题（5分×4 =20分） 9．函数)42tan(π-=x y 的单调递增区间是10．已知函数)2tan()(φ+=x x f 的图象的一个对称中心为),0,3(π若,2||πϕ<则P 的值为11.给出下列命题：①函数x y sin =在第一、四象限都是增函数； ②函数)cos(ϕω+=x y 的最小正周期为;2ωπ③函数)2732sin(π+=x y 是偶函数； ④函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到)42sin(.π+=x y 的图象，其中正确的命题的序号是12．（2010年福建高考题）已知函数>-=<ωπω)(6sin(3)x x f )0和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的对称轴完全相同，,0[∈x ],2π则)(x f 的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分） 13.求下列函数的定义域：;)sin(cos )1(x y = .lgcos 36)2(2x x y +-=11 / 1114．已知函数b x a y += cos 的最大值为1，最小值为-3，求)3tan()(π+=ax b x f 的单调区间．15.（2010年广东高考题）已知函数,0)3sin()(><+=A x A x f ϕ)0),,(πϕ<<+∞-∞∈x 在12π=x 时取得最大值4．(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 的解析式．16.（2011年北京理）已知函数.1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f (1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值和最小值，。
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1)
2
4
小结：最值的取得点 余弦函 数的值域
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值 1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=sin(x+ )=cosx, xR 2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
((00,,111))
3
((22,1,1))
-
(-o122 ,0)
( 2 ,0)
2
((,,--11))
函数
2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( D )
（A）{0}
(B) [－1,1]
(C) [0,1]
(D) [－2,0]
3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、
b、c的大小关系是 ( )A
(A) c> a > b
(B) a > b> c
(C) a >c> b
减函数；
当 2k
3
x
3
2k
2
时，
23
即4k 4 x 4k 10 时，原函数为
38581_《余弦函数、正切函数的图像与性质》教案1 新人教B版必修4
1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质(第一课时)余弦函数的图象及性质一、教学目标1.知识目标（1）学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象；（2）根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2、能力目标（1）让学生进一步学会作图；（2）引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质；（3）培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。
3、情感目标（1）渗透数形结合的数学思想；（2）培养学生静与动的辨证思想；（3）培养学生欣赏数学美的素质。
二、教学重、难点重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。
难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。
三、教学方法结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。
适当借助多媒体等教学辅助手段。
四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、正弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线（几何画法）。
2、“五点描图法”作图。
3、)2sin(cosπ+=xx1、教师提问，学生回答；2、学生在草稿纸上推理。
1、引导学生复习巩固“五点描图法”作图；2、回顾诱导公式；3、回顾平移。
概念形成1、利用五点描图法画出]2,0[),2sin(ππ∈+=xxy的图象。
2、图象向两边延伸于是得到余弦函数的图象。
余弦函数xy cos=的图象叫做余弦曲线。
通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，(2π，0)、(π，－1)，(23π，0)，(2π，1).3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图象，得余弦函数图象的性质：(1)定义域：y=cos x的定义域为R(2)值域：①引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|cos x|≤1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论：值域为[－1，1]②对于y=cos x当且仅当x=2k?k?Z时y ma x=1当且仅当x=2k?+?k?Z时y min=－1③观察R上的y=cos x的图象可知当2k?－2π<x<2k?+2π(k?Z)时y=cos x>0当2k?+2π<x<2k?+23π(k?Z)时y=cos x<0(3).周期性：（观察图象）①余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；②规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）③这个规律由诱导公式cos(2k?+x)=cos x也可以说明余弦函数的最小正周期是T=2π.(4).奇偶性由诱导公式:cos(－x)=cos x得余弦函数是偶函数。
第一章 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
函数值由－1增大到1； 当x∈ [2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z 时，余弦函数y＝cos x是减函数， 函数值由1减小到－1. 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有： 当且仅当x＝ 2kπ，k∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x＝ (2k＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1.
π x x π y＝3cos3－2＝3cos2－3.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
小结 确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的 基本思想是整体换元思想．即将 ωx＋φ 看作一个整体，利用基
本 课 时 栏 目 开 关
本 课 时 栏 目 开 关
π x y＝3cos3－2的单调递增区间．
1.3.2（一）
解
x π 由 2kπ－π≤2－3≤2kπ(k∈Z) 4 2 解得 4kπ－3π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， π x 4 2 ∴函数 y＝3cos 3－2 的单调递增区间为 4kπ－3π，4kπ＋3π (k∈Z)．
利用上述结论解决下列问题： x π ①函数 f(x)＝sin2＋2 的一条对称轴方程是 A．x＝－π
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.2（一）
( D )
π B．x＝－ 2
π D．x＝2π 2 x x 解析 y＝cos .由 ＝kπ，k∈Z 得 x＝2kπ，k∈Z.故选 D. 2 2 π ②函数 f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点－6，0中心对称，则 φ 的一 C．x＝
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
小结 求三角函数最值的两种基本类型： (1)将三角函数式化为 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的形式，结合有界性
课件8：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（二）
2.解正切不等式的两种方法： (1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角， 再写出符合条件的角的集合； (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的 正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条 件的区域.要特别注意函数的定义域.
跟踪训练
1.求函数 y＝ tatnanx＋x－π61 的定义域.
(1)【解析】由于 ω＝3，故函数的周期为 T＝|ωπ |＝π3.
【答案】
π 3
(2)解：①由x≠kπ＋π2，k∈Z，
tan
x≠1，
得 f (x)的定义域为x|x≠kπ＋2π且x≠kπ＋π4，k∈Z， 不关于原点对称，所以函数 f (x)既不是偶函数，也不是奇函数.
②函数定义域为x|x≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z， 关于原点对称， 又 f (－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4＝－f (x)， 所以函数是)＝tan2x＋π3的周期； (2)判断 y＝sin x＋tan x 的奇偶性. 解：(1)∵tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3， 即 tan2x＋π2＋3π＝tan2x＋π3， ∴f (x)＝tan2x＋π3的周期是π2.
(2)定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z
所以函数的定义域为xx∈R且x≠kπ－4π，x≠kπ＋π2，k∈Z
.
(2)因为 3－tan x>0，所以 tan x< 3.
又因为 tan x＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象(图略)，
得 kπ－π2<x<kπ＋π3(k∈Z)，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋3π，k∈Z
名师指导 1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点： (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域 的一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有意义即 x≠π2＋ kπ，k∈Z；
三角函数的图象与性质总结
三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
课件4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
答案：A
3.试比较
23
cos－ 5 π与
17
cos－ 4 π的大小．
23
解：cos－ 5 π＝cos
17
cos－ 4 π＝cos
23
3
3
5 π＝cos(4π＋5π)＝cos 5π，
的图象也可由 y＝cos x 的图象通过变换得到，变换规
律相同．
3.研究函数 y＝Acos (ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的
思想．如当 ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时，它取得最大值；当 ωx＋φ
＝2kπ＋π(k∈Z)时，它取得最小值.
4.正切函数的图象
π
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋ ，k∈Z，相邻
∴函数
1
π
π
3
y＝tan－2x＋4的单调递减区间是2kπ－2，2kπ＋2π(k∈Z)，
最小正周期 T＝
π
1＝2π.
－
2
小结 函数 y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把
π
π
ωx＋φ 看成一个整体，解－2＋kπ<ωx＋φ<2＋kπ，k∈Z
即可．当 ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调
(
π
A.6
π
B.4
π
C.3
π
D.2
)
解析：由
f
4π
，0
y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
10
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一
余弦函数的单调性
π x y＝3cos3－2的单调递增区间．
3－2＝3cos2－3.
x π 由 2kπ－π≤2－3≤2kπ(k∈Z)， 4 2 解得 4kπ－3π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， π x 4 2 － ∴函数 y＝3cos 3 2 的单调递增区间为[ 4kπ－3π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5
2．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ 答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的
图象关于y轴对称．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
6
[预习导引]
正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
12
跟踪演练 1
解
求函数 y＝log
π x cos3－2的单调递增区间．
x π y＝cos2－3的
根据复合函数“同增异减”的规律， 即求函数
单调递减区间，
同时 x 应使
x π cos2－3>0.
π x π ∴2kπ≤2－3<2kπ＋2(k∈Z)．
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破
当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1．如何快速做出余弦函数的图象？ π 答 (1)依据诱导公式 cos x＝sinx＋2，要得到 y＝cos x 的图象， π 只须把 y＝sin x 的图象向左平移2个单位长度即可．余弦函数的图
课件3：1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质
（5）单调性：
在开区间 k , k k z 内，函数单调递增。
2
2
例1、比较
tan 13
4
与
tan 17 5
的大小。
解：
tan
13
4
tan
4
tan
17
5
tan
2
5
又 0 2 ,
45
y
tan
x在
0,
2
内单调递增，
tan tan 2 , tan tan 2 ,
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
y
--
-
4 3 2
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
对称轴 对称中心
1
-
o
-1
2
R
34
5 6x
[-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
34
3 42
2sin(1 x )
34
小结：
所以这个函数的周期为2
1
6
3
一般地，函数 y Acos(x )( x R)(其中A,,
为常数，且 A 0, 0)的周期为 T 2 .
1、知识要点
定义域 值域 周期 奇偶性
R [-1,1]
2
偶函数
单调性 单调递增区间： [2k , 2k ] (k Z ) 单调递减区间： [2k ,2k 2 ] (k Z)
(A) y=tan 1 x
课件5：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
例 2.求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解:由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在 x∈(－π2，2π)时，x 的范围为[－π4，4π)． 又 y＝tan x 的周期为 π， ∴函数的定义域为[kπ－4π，kπ＋π4)，k∈Z.
课堂小结 1．余弦函数图象的两种画法 (1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将 y＝cos x 写成 y＝ sin(x＋2π)，然后利用图象平移得到 y＝cos x 的图象． (2)“五点法”：在已知函数图象特征的情况下，找出函数图 象的关键点，画出草图．这种方法对图象的要求精度不高， 是比较常用的一种画图方法． 余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方 法(如与正弦函数类似的几何法等)．
知识点1：余弦函数的图象 问题导思 根据 y＝sin x 和 y＝cos x 的关系，你能利用 y＝sin x，x∈R 的图象得到 y＝cos x，x∈R 的图象吗？ 能，根据 cos x＝sin(π2＋x)只需把 y＝sin x，x∈R 的图象向左 平移π2个单位长度，即可得到 y＝cos x，x∈R 的图象．
总结 (1)余弦函数的性质
函数 定义域
值域 奇偶性
y＝cos x
R [－1,1] 偶函数
周期性 以 2kπ 为周期(k∈Z，k≠0)， 2π 为最小正周期
单调性
当 x∈ [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) 当 x∈ [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
时，递增； 时，递减
最大值与 当 x＝ 2kπ (k∈Z)时，最大值为 1 ；
(2)函数 y＝tan x 的最小正周期为 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的最小正周期为|ωπ |. (3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在(－π2＋kπ，2π ＋kπ)(k∈Z)上递增，正切函数无单调减区间．
课件6：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
2．余弦函数的性质 (1)定义域：余弦函数y＝cosx的定义域是___R_____． (2)值域：余弦函数y＝cosx，x∈R的值域是__[－__1_,_1_]_，当x＝ ___2_k_π_(k_∈__Z_)___时，y取最大值1，当x＝__2_k_π_＋__π_(_k_∈__Z_)__时，y 取最小值－1. (3)周期性：y＝cosx，x∈R是周期函数，周期是___2_k_π___(k∈Z， k≠0)，最小正周期为___2_π____．
例 2.比较下列各数的大小： (1)cos－1π8与 cos1π0； (2)cos515°与 cos530°.
解：(1)cos－1π8＝cos1π8. ∵0<1π8<1π0<π，而 y＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos1π8>cos1π0，即 cos－1π8>cos1π0.
(2)cos515°＝cos(515°－360°)＝cos155°， cos530°＝cos(530°－360°)＝cos170°， ∵90°<155°<170°<180°而y＝cosx在[90°，180°]上是减 函数． ∴cos155°>cos170°即cos515°>cos530°.
【答案】[－tan1，tan1]
解：(1)如图所示．
由图象可知，满足不等式的 x 的取值范围为(2kπ＋π2，2kπ＋56π) ∪(2kπ＋76π，2kπ＋32π)，k∈Z.
(2)如图所示．
由 3tanx－
3≥0，得
tanx≥
3 3.
由图象可知，满足不等式的 x 的取值范围为[π6＋kπ，2π＋kπ)，k∈Z.
例 1.画出函数 y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图象.
课件7：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）
所以函数的值域为1，1＋2 2.
【答案】
1，1＋2
2
探究点 与正弦、余弦函数图象有关的零点问题 探究1 方程sin x＝x的实根个数有多少个？
【提示】 在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图 象可知在x∈[0,1]内，sin x<x没有交点，当x>1时不会 相交，所以方程只有一个实根为0.
预习自测
用“五点法”作函数 y＝cos 2x，x∈R 的图象时，首先应描
出的五个点的横坐标是( )
A.0，π2，π，32π，2π
B.0，π4，π2，34π，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，π6，π3，π2，23π
【解析】 令 2x＝0，π2，π，32π和 2π，得 x＝0，π4，π2，34π，π， 故选 B.
跟踪训练 4.求下列方程解的个数： (1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________. (2)方程sin x＝lg x的解的个数是__________.
【解析】 (1)作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.
(2)建立坐标系 xOy，先用五点法画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π] 的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 的图象.描出点110，－1，(1,0)，(10,1)，
探究 2 函数 f (x)＝ x－cos x 在[0，＋∞)内有多少个零点？
【提示】 令 f (x)＝0，所以 x＝cos x 分别作出 y＝ x， y＝cos x 可知两函数只有一个交点，所以 f (x)在[0，＋∞) 内只有一个零点.
例 4 判断方程4x－cos x＝0 根的个数. 解：设 f (x)＝4x，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出 f (x) 与 g(x)的图象，如图：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质》导学案 学习目标：
1、知识与技能目标：
(1)理解余弦和正切函数的性质，理解周期函数和最小正周期的意义。
(2)能正确使用“几何法”、“五点法”、“图像变换法”画出余弦函数、正弦函数的简图。
学习过程：
一、基本概念的自主学习
【知识回顾】
1、我们能否利用描点法、几何法及五点法作出余弦函数、正弦函数的图像？
2、根据三角函数的诱导公式，我们能否利用正弦函数图像得到余弦函数图像？
3、余弦函数是周期函数。
结合自己的认识，判断余弦函数是否具有周期性？
1、根据所学的正弦函数内容，从图像中解读出余弦函数的定义域、值域、周期、单调性、奇偶性、对称性等函数的基本性质。
【典例讲练】
例1、求下列函数的最大值或最小值：
(1)1cos 3+-=x y (2)321cos 2-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=x y
例2、判断下列函数的奇偶性：
(1)
2cos +=x y (2)x x y cos sin =
例3、求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43
1cos 2πx y 的周期。
【思考探究】函数
()ϕω+=x A y cos 的周期怎么求
1、用单位圆上的正切线作出正切函数
x y tan =在一个周期上的函数图像。
2、正切函数的性质。
例4、求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=3tan πx y 的定义域。
例5、求函数x y 3tan =的周期。
1：【作图】作函数x x
y sin tan 1⋅-=在[]ππ22，-上的简图。
2：【定义域】【值域】设求函数x
x y cos 3cos 3+-=的最值，并求取最值时x 取值范围。
3：【周期性】求下列函数的周期。
①x y 2cos -= ② ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=621tan 2πx y
4： 【单调性】不通过求值，比较πππ5
3tan 53cos 53sin ，，的大小。
二、能力提高的思维拓展 已知函数的：x x x
y 22sin cos 1sin 2-+=
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断函数奇偶新；
(3)作出函数[]ππ,22-的图像；
(4)求函数的单调性及最小正周期。