【青岛版】初中数学九年级上册：2.5《解直角三角形的应用》ppt课件(21页)
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青岛版(五四制)九年级上册数学课件2.5解直角三角形的应用(第2课时)
A
60°
30°
B 12 D F
学以致用
1.如图，一艘海轮位于灯塔P
的北偏东45°方向，距离灯塔
45° A
80海里的A处，它沿正南方向 P
C
航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东30°方向上的B
30°
处，这时，海轮所在的B处距
离灯塔P有多远？
B
2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果 渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 危险？
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
知识铺垫
观测点与目标位置的连线与正南或正北方 向所形成的小于900的角叫做方位角。
点A在O的北偏东30°方向
点B在点O的南偏西45°方向（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北
射线OA OB OC OD H（2）西北方向:_射__线__O_E___ 西南方向:______射__线_O_ F
北 东 A
60º
由题意，△ABC是
直角三角形，其中
∠C=90º，∠A=60º，
∠A所对的边
BC=2400m，求Байду номын сангаасC=？
B
C
合作探究
一轮船以30海里/时的速度由南向北航行，在 A处看见灯塔S在船的北偏东30°方向上， 半小时后航行到B处，看见灯塔S在船的东 北方向，求灯塔S与B的距离。
60°
30°
B 12 D F
学以致用
1.如图，一艘海轮位于灯塔P
的北偏东45°方向，距离灯塔
45° A
80海里的A处，它沿正南方向 P
C
航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东30°方向上的B
30°
处，这时，海轮所在的B处距
离灯塔P有多远？
B
2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果 渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 危险？
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
知识铺垫
观测点与目标位置的连线与正南或正北方 向所形成的小于900的角叫做方位角。
点A在O的北偏东30°方向
点B在点O的南偏西45°方向（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北
射线OA OB OC OD H（2）西北方向:_射__线__O_E___ 西南方向:______射__线_O_ F
北 东 A
60º
由题意，△ABC是
直角三角形，其中
∠C=90º，∠A=60º，
∠A所对的边
BC=2400m，求Байду номын сангаасC=？
B
C
合作探究
一轮船以30海里/时的速度由南向北航行，在 A处看见灯塔S在船的北偏东30°方向上， 半小时后航行到B处，看见灯塔S在船的东 北方向，求灯塔S与B的距离。
九级数学上册(青岛版)课件：2.5 解直角三角形的应用 (共21张PPT)
航线的距离是否大于30km．如果大于30km， 则
安全，否则不安全． 解： 作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km.
在Rt△ACD中， ∴ AD
∵ tanCAD
CD , AD
CD x . tanCAD tan30
初中数学
《高效课时通》
同理，在Rt△BCD中， ∵ AB AD BD, ∴
初中数学
《高效课时通》
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m，
坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角 α （长度精 确到0.1m，角度精确到1°）.
α
D
初中数学
《高效课时通》
2. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向； B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离 比它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精 确到0.1km）.
i= h = tanα. l
坡度越大，山坡越陡．
初中数学
《高效课时通》
例2
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿
山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小
刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）
i=1:2
初中数学
《高效课时通》
解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得
初中数学
《高效课时通》
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备
估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B
处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
初中数学
《高效课时通》
解直角三角形课件PPT课件(青岛版)
感悟新知
一个直角三角形中，若已知五个 A
元素中的两个元素(其中必须有一个元 b
c
素是边)，则这样的直角三角形可解.
解直角三角形：
Ca B
由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫作解
直角三角形．
A
2
C
6
在Rt△ABB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？
A
b c
，求 ∠A
课堂小结
今天的课到此结束。如果你有任 何问题，你可以问老师。我相信 每个人都能学会这节课的内容， 对今后的学习会有很大的帮助
已知斜边和直角边：
已知斜边和直角边： 先利用勾股定理求出 另一直角边，再求一 锐角的正弦和余弦值， 即可求出一锐角，再 利用直角三角形的两 锐角互余，求出另一 锐角．
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
B α
30米30°
D
β
45°
x
Cx
A
提高练习
B
解直角三角形：(如图)
在⊿ABC中，∠C=900，
C
1.已知∠A，a. 则b=
c=
A
a
2.
已知∠A，c.
则a=
c •sin
A
b=
c •cosA a
3.已知∠A，b. 则a=
的
4.已知a,c.则通过
sin A a c
，求 ∠A
5.已知b,c.则通过
c
os
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
秋青岛版九年级上2.5解直角三角形的应用课件
视线
例1 如图，一架直升飞机执行海上搜救任务， 在空中A 处发现海面上有一目标B ，仪器显示 这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km。 求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1 ' ）.
α
A
B
C
甲、乙两幢楼，从甲楼底部B处测得乙 楼顶部C的仰角为45º，从乙楼顶部C测得 甲楼顶部A的俯角为30º；已知甲、乙两楼 的距离BD=60m，求甲、乙两楼的高。
青岛版数学九年级上册第二章第五节
解直角三角形的应用（1）
1.了解仰角、俯角的意义。
2.能应用解直角三角形的知识解决实际 问题．
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
1. 从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成 的锐角叫做仰角；
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角叫做俯角．
2.会根据题意把实际问题转化为数学问题，然后利用 解直角三角形的知识，明确已知量和未知量，选择合 适的三角比，从而求得未知量.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
青岛版-数学-九年级上册-2.5 解直角三角形的应用第2课时 课件
2.5 解直角三角形的应用第2课时
探索新知 1.什么叫坡度？
坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值.
2.什么叫坡角？
坡角是斜坡与水平线的夹角．
3.坡角和坡度的关系？ i＝ ＝h tanα 显然，l 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
情境创设
1.如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC , 斜坡AB＝
AE FD 3CF 6 3. A
B
C
4
6
E
F
i 1: 3
α D
AD AE EF FD 4 12 3.
tan CF 1 , 30.
FD 3
答:坡角为30,坝底宽AD为 4 12 3 米.
sin15 o = CE ，CE BC 160
∴CE=160sin15 o ≈160×0.26≈39.6(m)，
∴CD=CE+DE=BF+CE=20.4+39.6≈60.0(m)，
答：点C相对于起点A升高了60.0m．
活动2:学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC＝30o,斜 坡AB长为12m.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的 坡比是1:3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅 垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.
解:（1）作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F.
在Rt△ABE中, ∠AEB=90°,BE=25m
由 tan A BE 1,得AE=3BE=3×25=75(m)
AE 3
∴ AB AE2 BE2 752 252 79.06(m)
在Rt△CDF中, ∠CFD=90°,CF=25m 由 tan D CF 1 , 得DF=2.5CF=2.5×25=62.5(m)
探索新知 1.什么叫坡度？
坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值.
2.什么叫坡角？
坡角是斜坡与水平线的夹角．
3.坡角和坡度的关系？ i＝ ＝h tanα 显然，l 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
情境创设
1.如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC , 斜坡AB＝
AE FD 3CF 6 3. A
B
C
4
6
E
F
i 1: 3
α D
AD AE EF FD 4 12 3.
tan CF 1 , 30.
FD 3
答:坡角为30,坝底宽AD为 4 12 3 米.
sin15 o = CE ，CE BC 160
∴CE=160sin15 o ≈160×0.26≈39.6(m)，
∴CD=CE+DE=BF+CE=20.4+39.6≈60.0(m)，
答：点C相对于起点A升高了60.0m．
活动2:学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC＝30o,斜 坡AB长为12m.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的 坡比是1:3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅 垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.
解:（1）作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F.
在Rt△ABE中, ∠AEB=90°,BE=25m
由 tan A BE 1,得AE=3BE=3×25=75(m)
AE 3
∴ AB AE2 BE2 752 252 79.06(m)
在Rt△CDF中, ∠CFD=90°,CF=25m 由 tan D CF 1 , 得DF=2.5CF=2.5×25=62.5(m)
解直角三角形的应用第1课时课件青岛版数学九年级上册
2
在Rt△ABD中，
由 cos B BD
AB
,得AB BD 50 57.7(m)
cos B cos 30
由 tan B AD ,得AD BD tan B 50 tan 30 28.9(m)
BD
所以,钢索AB的长约为57.7 m,直立塔AD的高约为28.9 m.
例3.住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一. 如图,住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8 m.已知 当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35º.
学习新知 （一）仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 俯角
水平线
线
视线
例1.如图,一架直升飞机执行海上搜救任务,在空中A处 发现海面上有一目标B,仪器显示这时飞机的高度为1.5 km,飞机距目标4.5 km.求飞机在A处观测目标B的俯角 （精确到1′）.
BD
得 BD AB 16.8 24.0(m) 答:两楼间的距离应为
tan 35 tan 35
(2)如图,AE为冬至这天中午12时的太阳光线,AE交CD于点E, ED为南楼落在北楼上的影子.作EF⊥AB，垂足为点F, 则∠AEF=35º.已知AB=CD=16.8 m,BD=20m. 由 tanAEF AF , EF=BD=20 m,∠AEF=35º，
2.5 解直角三角形的应用第1课时
复习引入
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素(必有一边),
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
Ｂ
2.解直角三角形的依据
c
a
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2(勾股定理)
在Rt△ABD中，
由 cos B BD
AB
,得AB BD 50 57.7(m)
cos B cos 30
由 tan B AD ,得AD BD tan B 50 tan 30 28.9(m)
BD
所以,钢索AB的长约为57.7 m,直立塔AD的高约为28.9 m.
例3.住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一. 如图,住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8 m.已知 当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35º.
学习新知 （一）仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 俯角
水平线
线
视线
例1.如图,一架直升飞机执行海上搜救任务,在空中A处 发现海面上有一目标B,仪器显示这时飞机的高度为1.5 km,飞机距目标4.5 km.求飞机在A处观测目标B的俯角 （精确到1′）.
BD
得 BD AB 16.8 24.0(m) 答:两楼间的距离应为
tan 35 tan 35
(2)如图,AE为冬至这天中午12时的太阳光线,AE交CD于点E, ED为南楼落在北楼上的影子.作EF⊥AB，垂足为点F, 则∠AEF=35º.已知AB=CD=16.8 m,BD=20m. 由 tanAEF AF , EF=BD=20 m,∠AEF=35º，
2.5 解直角三角形的应用第1课时
复习引入
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素(必有一边),
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
Ｂ
2.解直角三角形的依据
c
a
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2(勾股定理)
青岛版九年级数学 解直角三角形的应用课件
2 2 2
A b
90度
) 1.三边关系 a b c (勾股定理
2.锐角关系 3. 边角关系
c
A B 90
C
a
B
a b sin A , cos A , t an A c c b a sin B , cos A , t an B c c
a , b b . a
学习目标
• 1.会用解直角三角形的有关知识解某些简 单的实际问题。 • 2.了解一些测量名词（如俯角、仰角）的 意义，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力。
自学指导
• 看课本p53-55的内容完成以下问题： • 1.p53的引例把仰角改为60度你能求出塔 高吗？ • 2.什么是仰角、俯角？ • 3.完成例1、例2
C
2、 山顶上 有一旗杆， 在地面上一 点A处测得杆 顶B的仰角为 600，杆底Байду номын сангаас 的仰角为450， 已知旗杆高 BC=20米，求 山高CD。
B 20 C
x
60
D
45
A
1.仰角与俯角的定义
在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。
视线
铅 垂 线
仰角 俯角
水平线
视线
例2.河的对岸有水塔AB, 今在C处测 得塔顶A的仰角为30°，前进 20米到D 处，又测得塔顶A的仰角为60°.求塔高 AB.
A
30°
60°
D B
预习检测 1、 在升旗仪式上，一位同学站在离旗 杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆 顶端时，该同学视线的仰角恰为30度， 若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是否 可求？若可求，求出旗杆的高，若不可 求，说明理由.（精确到0.1米）
A b
90度
) 1.三边关系 a b c (勾股定理
2.锐角关系 3. 边角关系
c
A B 90
C
a
B
a b sin A , cos A , t an A c c b a sin B , cos A , t an B c c
a , b b . a
学习目标
• 1.会用解直角三角形的有关知识解某些简 单的实际问题。 • 2.了解一些测量名词（如俯角、仰角）的 意义，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力。
自学指导
• 看课本p53-55的内容完成以下问题： • 1.p53的引例把仰角改为60度你能求出塔 高吗？ • 2.什么是仰角、俯角？ • 3.完成例1、例2
C
2、 山顶上 有一旗杆， 在地面上一 点A处测得杆 顶B的仰角为 600，杆底Байду номын сангаас 的仰角为450， 已知旗杆高 BC=20米，求 山高CD。
B 20 C
x
60
D
45
A
1.仰角与俯角的定义
在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。
视线
铅 垂 线
仰角 俯角
水平线
视线
例2.河的对岸有水塔AB, 今在C处测 得塔顶A的仰角为30°，前进 20米到D 处，又测得塔顶A的仰角为60°.求塔高 AB.
A
30°
60°
D B
预习检测 1、 在升旗仪式上，一位同学站在离旗 杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆 顶端时，该同学视线的仰角恰为30度， 若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是否 可求？若可求，求出旗杆的高，若不可 求，说明理由.（精确到0.1米）
【数学课件】2017年九上《2.5解直角三角形的应用》ppt课件(青岛版)
3500 - 1600 0.8391,即AC 2264 （m ) AC
因此， Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
例题探究
例1 如图所示， 在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的A 处， 用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°， 仪器距地面高AE 为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到 1 m）.
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m，
坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角 α （长度精 确到0.1m，角度精确到1°）.
α
D
2. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向； B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离 比它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精 确到0.1km）.
2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边， 就可以求出其他的边和角 3. 有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰 当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直 角三角形的问题.
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
青岛版九年级上册数学《解直角三角形》课件PPT模板
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
拓展延伸
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
由sin B = b ,得b = c ·sin B = 128 ·sin52°= 100.87; c
由cos
B
=
a c
, 得a
=
c
·cos
B
= 128
·cos 52°=
78.80
巩固练习
1．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ． 解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
c 62.5
所以B = 90° - A = 90° -16°15'37"= 73°44'23".
例2在 RtDABC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52° .
解这个直角三角形 (边长精确到0.01).
B
a
A
b
C
解：A = 90°- B = 90°- 52°= 38°；
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
拓展延伸
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
由sin B = b ,得b = c ·sin B = 128 ·sin52°= 100.87; c
由cos
B
=
a c
, 得a
=
c
·cos
B
= 128
·cos 52°=
78.80
巩固练习
1．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ． 解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
c 62.5
所以B = 90° - A = 90° -16°15'37"= 73°44'23".
例2在 RtDABC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52° .
解这个直角三角形 (边长精确到0.01).
B
a
A
b
C
解：A = 90°- B = 90°- 52°= 38°；
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2.5 解直角三角形的应用
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第3章 对圆的进一步认识
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3.1 圆的对称性
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3.2 确定圆的条件
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3.3 圆周角
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2.2 30°，45°，60°角的三角比
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2.3 用计算器求锐角三角比
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2.4 解直角三角形
第1章 图形的相似
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1.1 相似多边形
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1.2 怎样判定三角形相似
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1.3 相似三角形的性质
青岛版九年级数学上册全套精美 课件目录
0002页 0037页 0097页 0158页 0207页 0231页 0268页 0298页 0300页 0329页 0356页 0401页 0415页 0451页
第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.4 图形的位似 2.1 锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.5 解直角三角形的应用 3.1 圆的对称性 3.3 圆周角 3.5 三角形的内切圆 3.7 正多边形与圆 4.1 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.5 一元二次方程的应用 4.7 一二次方程的应用
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1.4 图形的位似
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第2章 解直角三角形
2.5 解直角三角形的应用
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第3章 对圆的进一步认识
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3.1 圆的对称性
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3.2 确定圆的条件
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3.3 圆周角
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2.2 30°，45°，60°角的三角比
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2.3 用计算器求锐角三角比
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2.4 解直角三角形
第1章 图形的相似
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1.1 相似多边形
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1.2 怎样判定三角形相似
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1.3 相似三角形的性质
青岛版九年级数学上册全套精美 课件目录
0002页 0037页 0097页 0158页 0207页 0231页 0268页 0298页 0300页 0329页 0356页 0401页 0415页 0451页
第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.4 图形的位似 2.1 锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.5 解直角三角形的应用 3.1 圆的对称性 3.3 圆周角 3.5 三角形的内切圆 3.7 正多边形与圆 4.1 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.5 一元二次方程的应用 4.7 一二次方程的应用
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1.4 图形的位似
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第2章 解直角三角形
2.5解直角三角形的应用+课件 +2024—2025学年青岛版数学九年级上册
∠ ACD=136°，测得CD=500 m，DE ⊥ AE， 点A，
C，E 在同一直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是
(
A )m.
A. 500sin44°
C. 500tan44°
B. 500cos44°
D.
°
感悟新知
知1－练
2-2.[模拟·武汉] 如图， 沿AB 方向架桥修路，为加快施工
∴ QH=BC，BH=CQ.
由题意可得AP=80 米，∠ PAH=60 °，∠ PCQ=30 °，
AB=70 米，∴ PH=AP·sin60°=80× =40 (米)，
感悟新知
知2－练
AH=AP·cos6
0°=80× =4
0(米).
∴CQ=BH=70－40 =30(米). ∴PQ=CQ·tan30°=10 米.
学习目标
第2章 解直角三角形
2.5 解直角三角形的应用
感悟新知
知识点 1
解直角三角形在实际中的应用
知1－讲
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解
直角三角形的问题.
(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角比等知识解直
角三角形.
(3)得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.
感悟新知
知1－练
例 1 京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为
了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图2.5－1
所示，在岸边分别选定了点A，B 和点C，D，先用卷
尺量得AB=160 m，CD=40 m，再
用测角仪测得∠ CAB=30 °，∠
DBA=60 °，求该段运河的河宽
C，E 在同一直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是
(
A )m.
A. 500sin44°
C. 500tan44°
B. 500cos44°
D.
°
感悟新知
知1－练
2-2.[模拟·武汉] 如图， 沿AB 方向架桥修路，为加快施工
∴ QH=BC，BH=CQ.
由题意可得AP=80 米，∠ PAH=60 °，∠ PCQ=30 °，
AB=70 米，∴ PH=AP·sin60°=80× =40 (米)，
感悟新知
知2－练
AH=AP·cos6
0°=80× =4
0(米).
∴CQ=BH=70－40 =30(米). ∴PQ=CQ·tan30°=10 米.
学习目标
第2章 解直角三角形
2.5 解直角三角形的应用
感悟新知
知识点 1
解直角三角形在实际中的应用
知1－讲
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解
直角三角形的问题.
(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角比等知识解直
角三角形.
(3)得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.
感悟新知
知1－练
例 1 京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为
了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图2.5－1
所示，在岸边分别选定了点A，B 和点C，D，先用卷
尺量得AB=160 m，CD=40 m，再
用测角仪测得∠ CAB=30 °，∠
DBA=60 °，求该段运河的河宽
九年级数学上册第2章解直角三角形：解直角三角形的应用同步ppt课件新版青岛版
不能求AD.
在Rt△ABD中,知道
∠BAD=55°,虽然知道
B
BC＝20海里,但它不是
Rt△ABD的边,也不能求出AD.
CD
（6）那该怎么做呢?是不是可以将它们结合起来,站在一个 更高的角度考虑?
这两个三角形有联系,AD 是它们的公共直角边.而 且BC是这两个直角三角 形BD与CD的差,即BC＝ BD-CD.BD，CD的对角 是已知的,BD，CD和边 AD都有联系.
CD
（3）货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁 来决定?
根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的
方向如果到A的最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小
于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作
AD⊥BC,D为垂足,即AD的长度.我们需根据题意,计算出AD
DE的长.
tan 40 = BC , BC = BD tan 40.
E
BD BE = BC + 2 = BD tan 40 + 2 ≈ 6.1955(m).
2m
tan BDE = BE = 5 tan 40 + 2 ≈ 1.24.
C
BD
5
BDE ≈ 51.12 .
cos 51.12 = DB ,
答:楼梯多占约0.61 m一段地面.
课堂练习，检测新知
1.钢缆长几何
如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角，
且DB=5 m.现再在CD上方2 m处加固另一根钢缆ED，那么，
钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m).
E
2m C
40°
D
5m B
解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°，EC=2 m，DB=5 m.求
九级数学上册(青岛版)课件：2.5 解直角三角形的应用 (共21张PPT)
解得 x 20 3 .
又
2 03 3 4 . 6 4 ＞ 3 0 ,
因此，该船能继续安全地向东航行．
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17
课堂练习
1.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN所形成的夹角∠ABN， ∠ACN分别为8°和15°， 大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC （不考虑其他因素，结果精确到0.1m）．
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8
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =100m，
因此
B C B C t a n 2 5 = = . A C 1 0 0 0
C 1 0 0 0 t a n 2 5 4 6 6 . 3 （m）. 从而 B
因此，上海东方明珠塔的高度
B D 4 6 6 . 3 + 1 . 7 = 4 6 8 （m）.
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3
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备
估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B
处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
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4
如右图所示，BD表示点B的海拔，AE 表示点 A 的海拔， AC⊥BD ，垂足为点 C. 先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然
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18
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m，
坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角 α（长度精 确到0.1m，角度精确到1°）.
α
D
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19
2. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向； B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离 比它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精 确到0.1km）.
青岛版九年级上册数学第二章解直角三角形... 《2.5.1解直角三角形的应用》课件
AC≈5.2米 AD＝3.0米 C 6米
A
D
B
C组
如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子 顶端到地面的距离BC = 4 米，底 端到墙根的距离 AC = 3 米． (1)求梯子的长度； (2) 如果把梯子的底端到墙角的距 离减少0 . 5米，那么梯子与地面 所成的角是多少？
A
B
A
C
拓展延伸
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度
解直角三角形常用到的关系有哪些？
三边关系：a2+b2=c2
B
c a
两锐角关系：∠A+∠ B＝90°
解直角三角 形常用关系
边、角 关 系
a b sin A ,sin B c c b a cos A , cos B c c a b tan A , tan B b a
A
b
┌ C
a=c· sinA
例1、如图，一架飞机执行海上搜救任务，在 空中A处发现海上有一目标B，仪器显示这时 飞机的高度为1.5km，飞机距目标3km，求 飞机在A处观测 目标B的俯角. a A3km Nhomakorabea.5km
B
?
变式一：如图，某飞机于空中A处探测到目标C，
此时飞行高度AC=1500米，从飞机上看地平面控 制点B的俯角α=30°，求飞机A到控制点B的距离.
分 享 2.你还有什么疑问与困惑？与同学交流。 共 赢
学后检测 A组
两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看 乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高 35米，那么乙楼的高为多少米？（精 确到1米，tan26≈ 0.4877）
A 甲 35 楼 D
A
D
B
C组
如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子 顶端到地面的距离BC = 4 米，底 端到墙根的距离 AC = 3 米． (1)求梯子的长度； (2) 如果把梯子的底端到墙角的距 离减少0 . 5米，那么梯子与地面 所成的角是多少？
A
B
A
C
拓展延伸
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度
解直角三角形常用到的关系有哪些？
三边关系：a2+b2=c2
B
c a
两锐角关系：∠A+∠ B＝90°
解直角三角 形常用关系
边、角 关 系
a b sin A ,sin B c c b a cos A , cos B c c a b tan A , tan B b a
A
b
┌ C
a=c· sinA
例1、如图，一架飞机执行海上搜救任务，在 空中A处发现海上有一目标B，仪器显示这时 飞机的高度为1.5km，飞机距目标3km，求 飞机在A处观测 目标B的俯角. a A3km Nhomakorabea.5km
B
?
变式一：如图，某飞机于空中A处探测到目标C，
此时飞行高度AC=1500米，从飞机上看地平面控 制点B的俯角α=30°，求飞机A到控制点B的距离.
分 享 2.你还有什么疑问与困惑？与同学交流。 共 赢
学后检测 A组
两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看 乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高 35米，那么乙楼的高为多少米？（精 确到1米，tan26≈ 0.4877）
A 甲 35 楼 D
青岛版九年级数学上册解直角三角形的应用(1)课件
1. 从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成 的锐角叫做仰角；
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角叫做俯角．
2.会根据题意把实际问题转化为数学问题，然后利用 解直角三角形的知识，明确已知量和未知量，选择合 适的三角比，从而求得未知量.
视线
例1 如图，一架直升飞机执行海上搜救任务， 在空中A 处发现海面上有一目标B ，仪器显示 这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km。 求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1 ' ）.
α
A
B
C
甲、乙两幢楼，从甲楼底部B处测得乙 楼顶部C的仰角为45º，从乙楼顶部C测得 甲楼顶部A的俯角为30º；已知甲、乙两楼 的距离BD=60m，求甲、乙两楼的高。
例2 武汉长江二桥为斜拉索桥，AB和AC，
分别是直立塔AD左右两边的两根最长的钢 索。已知AB=AC，BC =100m,AB与BC的夹 角为30°。求钢索AB的长及直立塔AD的高.
A
30°
B
D
C
1.菱形ABCD的对角形AC=10cm，BD=6cm，那
么
tan
A 2等于（
）
2．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，那么 底角的余弦等于（ ）
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午8时54分21.11.820:54November 8, 2021
九年级数学上册 第2章 解直角三角形 2.5 解直角三角形的应用(第1课时)课件 (新版)青岛版
精选ppt
5
为了测量东方明珠塔的高 度，小亮和同学们在距离东方 明珠塔200 米处的地面上，用 高1.20 米的测角仪测得东方明 珠塔顶的仰角为60°48 ′．
根据测量的结果，小亮画 了一张示意图，其中 AB 表示 东方明珠塔， DC 为测角仪 的支架，DC= 1.20 米，
CB= 200米，∠ADE=60°48.'
根据在前一学段学过的长 D 方形对边相等的有关知识，你 C 能求出AB 的长吗？
精选ppt
A
E B
6
解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB． A
在Rt△ABC中，∠AED=90°， ∠ADE= 60°48′. 由tan ∠ADE = AE ,得
DE AE=DE·tan ∠ADE =200·tan60°48 ′
9
1．如图，在电线杆上离地面6 米处用拉
C
线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角 为60° , 求拉线AC 的0 . 1 米）.
AC≈5.2米 AD＝3.0米
A
D
B
2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端 到地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙根的距 离AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大 小(精确到1 ' ) ; AB＝4.0米, ∠BAC≈53°8′ (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米，那么梯子与地面所成的角是多少？
11
1.利用直角三角形的三角比解决实际问题 2.完成习题2.5的相关习题
精选ppt
12
α
A
C
解:设经过B点的水平线为BC，作AC⊥BC，垂足为C ． 在Rt△ABC中，AC=1500 米，∠ABC＝∠α= 18°23 ' .
( 青岛版 ) 数学九上2.5《解直角三角形的应用》PPT课件1
温故知新
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元 素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
A组 1、2、8题 A组 3题
同学们, 再见!
1、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 2、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。——佚名
3、在希望与失望的决斗中，如果你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。——普里尼 4、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。——爱因斯坦 5、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。——佚名
上海东方明珠塔于 1994 年10 月1 日建成，在 各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第 一、世界第三．与外滩的 “万国建筑博览群”隔江 相望．在塔顶俯瞰上海风 景，美不胜收．运用本章 所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？
小 资 料 在实际测量中的角
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
33、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。——贝弗里奇 34、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉 35、一个有决心的人，将会找到他的道路。——佚名 36、意志坚强，就会战胜恶运。——佚名
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元 素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
A组 1、2、8题 A组 3题
同学们, 再见!
1、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 2、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。——佚名
3、在希望与失望的决斗中，如果你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。——普里尼 4、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。——爱因斯坦 5、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。——佚名
上海东方明珠塔于 1994 年10 月1 日建成，在 各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第 一、世界第三．与外滩的 “万国建筑博览群”隔江 相望．在塔顶俯瞰上海风 景，美不胜收．运用本章 所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？
小 资 料 在实际测量中的角
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
33、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。——贝弗里奇 34、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉 35、一个有决心的人，将会找到他的道路。——佚名 36、意志坚强，就会战胜恶运。——佚名
青岛版九年级数学上册解直角三角形的应用(3)课件
31
跟踪训练
1. 一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米， 此时钢球距地面的高度是（ ）米 Ａ．5sin 31 Ｂ．5cos31 Ｃ．5 tan 31
31
2.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡
的坡度为1: 3 ，坡面 的水平宽度为 3 3 m ，基面
AD宽为 2m，则AE=
，
，
BC=
．
青岛版数学九年级上册第二章第五节
解直角三角形的应用（3）
学习目标
1.理解坡度、坡角的意义； 2.能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
温故知新
如图是一段
精讲点拨
例4 某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝。大坝的横断
面ABCD是梯形，坝顶宽BC=6m，坝高25m，迎水坡AB的 坡度i=1:3，背水坡CD的坡度i。他在A处仰望 塔顶，测得仰角为45゜，再往塔的方向前进50m至 B处，测得仰角为60゜，那么该塔有多高？ （小明的身高忽略不计）
课堂小结
1. 抽象出实际问题中的直角三角形，或通过作辅助线构造直 角三角形.
2. 在两个或多个直角三角形中，根据它们之间的边角关系, 利用解直角三角形的知识解决实际问题.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午8时54分21.11.820:54November 8, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时54分54秒20:54:548 November 2021
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
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因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂练习
1.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN所形成的夹角∠ABN， ∠ACN分别为8°和15°，大 灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不 考虑其他因素，结果精确到0.1m）．
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m ，坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角α （长度 精确到0.1m，角度精确到1°）.
分析：在直角三角形中，已 知一角和它的邻边，求对边 利用该角的正切即可.
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =100m，
因此
tan25=
BC AC
=
BC 1000.
从而 BC 1000 tan25466.3（m）.
因此，上海东方明珠塔的高度 BD 466.3+1.7 = 468（m）. 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
解： 作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km.
在Rt△ACD中，
∵
tanCAD
CD AD
,
∴
AD
CD tanCAD
x tan30
.
同理，在Rt△BCD中，
AD
CD tanCAD
x tan30
.
∵ AB AD BD,
∴
x tan30
x tan60
40.
解得 x 20 3 .
又 20 3 34.64＞30,
α
D
2. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向； B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离 比它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精 确到0.1km）.
能力提升
1．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面 成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处 的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．(结果保留根 号)
1. 在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有 关，而与直角三角形的大小无关. 2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边 ，就可以求出其他的边和角
3. 有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰 当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直 角三角形的问题.
如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰
角 ΒAC 40 ,求出A，B两点之间的水平距离
AC（结果保留整数）.
解 ∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
：
AC⊥BD， ∠BAC = 40°，
在Rt△ABC中，
tanBAC = BC = BD - AE = tan400 AC AC
i=1:2
解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得
tanα
=
1 2
=
0.5.
因此 α ≈26.57°.
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，
∠A=26.57°，AC=240m，
因此
sinα = BC BC . AC 240
从而 BC 240 sin26.57 １07.3 （m）．
ห้องสมุดไป่ตู้
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
在上图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的
夹角），记作 α ，显然，坡度等于坡角的正切，即
i = h = tanα. l
坡度越大，山坡越陡．
例2 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿 山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小 刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备 估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B 处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
如右图所示，BD表示点B的海拔，AE 表示点A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点C. 先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然 后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两 点之间的水平距离AC．
3500 - 1600 0.8391,即AC 2264（m) AC
因此， Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
例题探究
例1 如图所示， 在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的A 处， 用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°， 仪器距地面高AE 为 1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到 1 m）.
2.5 解直角三角形的应用
教学重点难点
重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为 直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识 把实际问题解决．
难点：根据实际问题构造合适的直角三角形.
新课引入
在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形 有关的实际问题.对于这些问题，我们可以用所学的解 直角三角形的知识来加以解决.
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得 灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得 灯塔C在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30km内有暗 礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
分析 ：
这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB 航线的距离是否大于30km．如果大于30km， 则 安全，否则不安全．
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与BD，问哪条 路比较陡？
右边的路BD 陡些．
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
α
如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点B时，升高的 高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC 的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即
i=
h l
（坡度通常写成1:m
的形式）．