【瀚海导航】2012高考数学总复习第五单元 第七节 正、余弦定理练习
正弦定理和余弦定理练习
正弦定理和余弦定理班级_________ 姓名___________ 学号________ 得分_________一、选择题1. 在厶ABC 中，已知b = 4 丿3, c= 2 J3，/ A = 120° 贝V a 等于............... .()A . 2丁21B . 6 C. 2姑或6 D . 2«156*22. 在△ ABC 中，已知三边a、b、c 满足(a + b+ c)(a+ b-c) = 3ab,则/ C 等于…..( )A . 15°B. 30°C. 45°D. 60°3 .已知在△ ABC中，si nA : si nB : si nC = 3 : 5 : 7 那么这个三角形的最大角是•••()A . 135°B . 90°C . 120°D . 150°4 . 在△ ABC 中，若c4-2(a2+ b2)c2+ a4+ a2b2+ b4= 0,则/ C 等于................. .( )A . 90°B . 120°C . 60°D . 120° 或60°5.已知A、B、C是厶ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为................ •••()A . sin2A= sin2B + sin2C + 2sinBsinCcos(B + C)B . si n2B= sin2A + sin2C + 2si nAsi nCcos(A + C)C . si n2C= si n2A + sin 2B-2si nAsi nBcosCD . si n2(A + B)= si n2A+ sin 2B-2si nBsi nCcos(A+ B)6* .在厶ABC 中，AB= 5, BC = 7, AC = 8,贝U AB BC 的值为 ...................... ( )A . 79B . 69C . 5D . -5二、填空题7.已知△ ABC中，A= 60°最大边和最小边是方程X2-9X+ 8 = 0的两个正实数根，那么BC边长是 ________ .13&在厶ABC中，已知a= 7, b= 8, cosC= 14，则最大角的余弦值是___________________ .a b9.在厶ABC 中，/ C = 60° a、b、c 分别为/ A、/ B、/ C 的对边，则b c a c = ____________________ ._ _9_10* .在厶ABC 中，若AB = <5 , AC= 5,且cosC = 10，贝U BC= _______________ .三、解答题11.已知a= 3^3 , c= 2, B= 150° 求边b 的长及S^ .Ab c 912 .在△ ABC 中，cos 2 22c10 , c = 5,求厶ABC 的内切圆半径a 、b 、c 和面积S 满足S = a 2-(b-c)2,且b + c = 8,求S 的最大值.14* .已知a 、b 、c ABC 的三边，且 内角. § 1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案13.已知△ ABC 的三边长a 2-a-2b-2c = 0, a + 2b-2c + 3= 0,求这个三角形的最大一、 选择题A D C D D D二、 填空题1J--------7.呵'57& - 79. 1 10. 4 或 5三、 解答题- _ <111.解:b 2= a 2 + c 2-2accosB = (3、3 )2+ 22-2 2 3 2 (- 2 ) = 49.b = 7,1 1S A = 2 acsinB = 2 X3 ■■- 3 >2 x 2 =b 2c 2a 2△ ABC 的内切圆半径 r = 2 (b + a-c) = 1.12.解：Ic = 5,2c10 b = 4又 cos 2 22ccosA = c 又 cosA = 2bcb 22c2bca 2cb 2 +c 2-a 2 = 2b 2： a 2+ b 2= c 2△ ABC 是以角 C 为直角的三角形.a = ■ c 13.解：IS = a 2-(b-c)2又S =2 bcsinA 「. 2 bcsinA = a 2_(b_c)2b 2c 2a 22bc4 (4-sinA)：cosA = 4 (4-sinA)「.sinA = 4(1-cosA)A Acos — 2sin 2 8 si n 2 2 •••tan 24 •. sinA =—A2ta n 2_2A 1 tan -28171S bC si nA2 S 4 (b c)2 17 4—bc 17 64 6417c = b = 4 时, S 最大为171 cos A14•解：T a2-a-2b-2c= 0, a+ 2b-2c+ 3 = 0由上述两式相加，相减可得1 1c= 4 (a2+ 3), b= 4 (a-3)(a + 1)c-b = 2(a+ 3)a+ 3 > 0,「. c> bc-a= 4 (a2+ 3)-a= 4(a2-4a+ 3) = 4 (a-3)(a-1)1b= 4 (a-3)(a + 1) >0,「. a> 314 (a-3)(a-1) > 0c> ac边最大，C为最大角a2b2c2cosC= 2ab2 1 2 2 1 2 2a2^(a 3)2(a 1)2未(『3)211 22a -(a 3)(a 1) 24•••△ ABC的最大角C为120°。
老高考适用2023高考数学一轮总复习第五章三角函数第七节正弦定理和余弦定理及其应用课件北师大版
π
4.三角形中最大内角的取值范围是[ ,π),最小内角的取值范围是(0, ].
3
3
5.三角形中的射影定理:bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,
acos B+bcos A=c.
6.三角形中判断内角范围的方法:(1)若b2+c2>a2,则角A为锐角;(2)若
b2+c2=a2,则角A为直角;(3)若b2+c2<a2,则角A为钝角.
则(sin Acos B+sin Bcos A-sin A)cos A=0,所以[sin(A+B)-sin A]cos A=0,所以
[sin(π-C)-sin A]cos A=0,
即(sin C-sin A)cos A=0,所以sin C=sin A或cos A=0,即c=a或A=
的形状是等腰三角形或直角三角形,故选D.
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
对点训练 1(1)(2021 吉林长春高三月考)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C
7.在锐角三角形ABC中,必有sin A>cos B,sin B>cos C,sin C>cos A等.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C.( × )
高考数学一轮复习专题训练—正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理和余弦定理及其应用考纲要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数一解两解 一解 一解 无解(1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．4．测量中的几个术语 (1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解．1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ．3．在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔ cos A <cos B ．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比． (3)已知三角时，不可求三边．(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 不一定为锐角三角形．2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则cos B ＝( ) A.1116 B ．1316C ．1114D ．1314答案 A解析 由余弦定理知cos B ＝22＋42－322×2×4＝1116.3.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得 AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA，又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB ＝AC sin ∠ACBsin ∠CBA ＝50×2212＝502(m)．4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B ．π3C ．π4D ．π6答案 C解析 因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1. 又C ∈(0，π)，故C ＝π4.5．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A. 5 B ．2 5 C ．4 5 D ．8 5答案 C解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，得AB ＝3，所以AB ＝BC .过点B 作BD ⊥AC ，交AC 于点D ，则AD ＝12AC ＝2，BD ＝32－22＝5，所以tan ∠ABD ＝AD BD ＝25＝255，所以tan ∠ABC ＝2tan ∠ABD1－tan 2∠ABD＝4 5.故选C.6．(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________. 答案1225 7210解析 如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC，∴BD ＝BC ·sin ∠Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( ) A ．2B ．3C ． 2D ． 3答案 (1)75° (2)D解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，所以B ＝45°或135°，因为b <c ，所以B <C ，故B ＝45°，所以A ＝75°.(2)由正弦定理及b sin 2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.故选D.感悟升华 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 【训练1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则 sin C 的值为________．答案 (1)B (2)66解析 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵0°<B <180°，A ＝45°，b >a ，∴B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有2个． (2)设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ， ∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a3. 在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33， ∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.考点二 正弦定理、余弦定理的应用角度1 判断三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形． 角度2 三角形面积的计算【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，解得c ＝23，所以a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.角度3 以平面几何为背景解三角形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ， AB ＝3k ，k >0.又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以在△ABD 中，由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， 所以sin ∠DBC ＝277，在△BCD 中，因为BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC ，所以CD ＝7×27732＝433.感悟升华 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化． 3．求解几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示． (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【训练2】 (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．(2)(2021·西安模拟)如图，在锐角△ABC 中，D 为边BC 的中点，且AC ＝3，AD ＝322，O 为△ABC 外接圆的圆心，且cos ∠BOC ＝－13.①求sin ∠BAC 的值； ②求△ABC 的面积． 解 ①如图所示，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴cos ∠BOC ＝cos2∠BAC ＝1－2sin 2∠BAC ＝－13，∴sin 2∠BAC ＝23，sin ∠BAC ＝63.②延长AD 至E ，使AE ＝2AD ，连接BE ，CE ， 则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE ＝AB ， 在△ACE 中，AE ＝2AD ＝32，AC ＝3， ∠ACE ＝π－∠BAC ， cos ∠ACE ＝－cos ∠BAC ＝－1－⎝⎛⎭⎫632＝－33，由余弦定理得，AE 2＝AC 2＋CE 2－2AC ·CE ·cos ∠ACE ，即(32)2＝(3)2＋CE 2－2×3·CE ×⎝⎛⎭⎫－33， 解得CE ＝3，AB ＝CE ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC＝12×3×3×63＝322. 解三角形应用举例一、测量距离问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 【例1】如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°， 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 二、测量高度问题测量高度问题一般涉及方位角、仰角、俯角等，因而所画图形为立体图形．在画图时，要注意运用空间想象力，解题时要尽可能地寻找其中的直角三角形，利用直角三角形中的特征关系解决问题，避免复杂的运算．【例2】如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.答案30＋30 3解析在△P AB中，∠P AB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．三、测量角度问题与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角，解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，利用正、余弦定理将这些边、角联系起来从而求解．【例3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ， 又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝3052＋20102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A ．1 B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B ． 5C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C ．12D ．23答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．6．(2021·郑州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( ) A.π12 B ．π6C ．π4D ．π3答案 B解析 由题意得A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ，又a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，故cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π2－π6＝π6. 二、填空题7．(2021·北京西城区模拟改编)在锐角三角形ABC 中，若a ＝2，b ＝3，A ＝π6，则cos B ＝________. 答案74解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin Aa ＝3×122＝34，又△ABC 为锐角三角形，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－916＝74. 8.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，AD ＋AC ＝BD ＋BC ＝2，CD ＝2，则cos A ＝________.答案 0解析 设BD ＝x (x >0)，则AD ＝3x ，AC ＝2－3x ，BC ＝2－x ， 易知cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC . ∴9x 2＋2－2－3x 22×2×3x＝－x 2＋2－2－x22×2x，解得x ＝13，故AD ＝1，AC ＝1，∴cos A ＝AD 2＋AC 2－CD 22·AD ·AC＝0.9．(2020·长春二模改编)在△ABC 中，C ＝30°，cos A ＝－23，AC ＝15－2，则AC 边上的高为________． 答案5解析 依题意得sin A ＝1－cos 2A ＝53，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53×32－23×12＝15－26. 由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC ·sin A sin B ，所以AC 边上的高为BC ·sin C ＝AC ·sin A ·sin C sin B＝15－2×53×1215－26＝ 5.三、解答题10．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C . 解 (1)由题设及余弦定理， 得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°， 解得c ＝－2(舍去)或c ＝2，从而a ＝2 3. 因此△ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ， 所以sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )， 故sin(30°＋C )＝22. 而0°<C <30°，所以30°<30°＋C <60°， 所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.11．(2021·成都诊断)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a －c )sin(A ＋B )＝(a －b )(sin A ＋sin B )． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，求a ＋c 的最大值．解 (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴(a －c )sin C ＝(a －b )(sin A ＋sin B )． 由正弦定理，得(a －c )c ＝(a －b )(a ＋b )，整理，得c 2＋a 2－b 2＝ac . ∴c 2＋a 2－b 22ac ＝12，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵b ＝4，∴a 2＋c 2－16＝ac ， 即(a ＋c )2－16＝3ac . ∵ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴(a ＋c )2－16≤3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴14(a ＋c )2≤16， ∴a ＋c ≤8，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴a ＋c 的最大值为18.B 级 能力提升12．(2021·西安一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝a tan A ＋btan B ，则角C ＝( ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．π2答案 D 解析 ∵a ＋b ＝a tan A ＋b tan B， ∴a ＋b ＝a cos A sin A ＋b cos Bsin B ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝sin A cos A sin A ＋sin B cos Bsin B，即sin A －cos A ＝cos B －sin B ， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－B ， ∴A －π4＝π4－B 或A －π4＋π4－B ＝π，即A ＋B ＝π2或A －B ＝π(舍)，∴C ＝π2，故选D.13．(2020·太原调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ，则a ＋c 的最大值为________． 答案 8解析 由cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ， 得(1－sin 2C )－(1－sin 2B )＝sin 2A ＋sin A sin C ， 即sin 2B －sin 2C ＝sin 2A ＋sin A sin C ，结合正弦定理，得b 2－c 2＝a 2＋ac ，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ， 所以由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3，则A ＋C ＝π－B ＝π3，C ＝π3－A ，且0<A <π3.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由条件得πR 2＝16π， 解得R ＝4，所以由正弦定理，得a sin A ＝c sin C＝2R ＝8， 所以a ＝8sin A ，c ＝8sin C ，所以a ＋c ＝8sin A ＋8sin C ＝8sin A ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝8sin A ＋8⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝4sin A ＋43cos A ＝8sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为π3<A ＋π3<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝1， 即A ＝π6时，a ＋c 取得最大值8.14．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC中线AD 的长．解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32， ∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝⎛⎭⎫722－2×5×72×17＝1294， 因此△ABC 的中线AD ＝1292.。
完整版高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题在观察，灯塔A与海洋观察站C的距离都等于．(2010·a广东六校km)两座灯塔A 和B1的距离为A与灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔站C的北偏东20°，灯塔B) ()km.( B.2a A．aD.3 a C．2aD答案][. ＝120°][解析依题意得∠ACB由余弦定理222AB＋BC－AC＝cos120°BC·2AC222AC·BC＝AC cos120°＋BC－2∴AB1??－2222a －a＝a2＝3a＋??2D.故选＝∴AB3a.π3”是“∠A>”的(sin(2．文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“A>) 23 B．必要不充分条件．充分不必要条件AD．既不充分也不必要条件C．充要条件A[答案]ππ33，则∠中，若][解析在△ABC sin A>A>，反之∠A>时，不一定有sin A>，如A2332π5π5π1. sin＝＝sin＝时，A sin＝2666) (Bb＝cos”的Aaba，、所对的边长为、角ABC)(理在△中，ABab则“＝”是“cos ．必要不充分条件B A．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件．充要条件DA]答案[ BA时，ba解析[]当＝＝，cos bA cos a∴＝B；＝Aa当cos Bb cos时，由正弦定理得A cos A sin··B sin＝，cos B含详解答案．高考总复习∴sin2sin2，AB＝，－2B2B或∴22AA＝＝ππ.＝A＋B∴A＝B或2222.＝b或ac＋b则a＝，cos B”“a cos A＝b所以“a＝b”?A.b”，故选”?/ “a＝“a cos A＝b cos B，ABC＝120°B、C两地的距离为20km，观测得∠3．已知A、B两地的距离为10km，)(则AC两地的距离为3km B. 10kmA．7kmD C．105km ．10D[答案]，由余弦20，∠B＝120°[解析]如图，△ABC中，AB＝10，BC＝定理得，222 cos120°AC·＝ABBC＋BC·－2AB1??－22×＝700，＝1020＋202－×10×??2D.7km.∴选∴AC＝10b－cA2的a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC文4．()在△ABC 中，sin(＝c22)形状为( ．直角三角形BA．正三角形．等腰直角三角形CD．等腰三角形B答案][bAc－1－cos bA2＝，cos＝＝，∴A[解析]sin c2c22222a＋bc－b222B.b，故选＝∴＝，∴ac＋cbc222的最大值为CB＋cos＝1，则cos A＋在△(理)(2010·河北邯郸)ABC 中，sincos A＋cos B)(5 2 B. A. 43 D. C．1 2D答案[]2222B，∴sin，A＝sin∵[解析]sin＋A cos＝B1. A＝B，∴AB0<A，<π，∴sin＝sin B∵cos2A ＝cos B＋cos故A cos＋C2cos－A含详解答案．高考总复习3122，＋A＋1＝－2(cos A－＝－2cos)A＋2cos22π31.时，取得最大值A＝<，∴0<cos A<1，∴cos∵0<A222的对边分别为、CABC的外接圆半径为R，角A、B5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△22)(b)sin B，那么角(sin CA－sin C)＝的大小为(2a－a、b、c，且2Rππ B. A. 232ππ D. C. 34C][答案222b，＝2a[解析]由正弦定理得，ab－c－222ca－＋b2 ＝＝，∴cos C22ab π.＝，∴C∵0<C<π4122，＝AA－cos的对边，且三内角A、B、CA为锐角，若sin理()已知a、b、c是△ABC2)(则B．b＋ca≤2a A．b＋c<2D ．c＝2a b＋c≥2a＋C．b B[答案]1122＝－A解析[]∵sincos A－，A＝，∴cos222 ＝为锐角，∴又AA＝60°，∴B＋C120°，CCB－B＋cos2sin22Cb＋c＋sinsin B∴＝＝Aa2sin23B－C＝cos≤1，∴b＋c≤2a.253，sin B＝，则cos C的值为() cos(2010·6．北京顺义一中月考)在△ABC中，已知A＝1355616 A. B.6565161656C.或D．－656565[答案]A 5123[解析]∵cos A＝，∴sin A＝>＝sin B，∴A>B，1313534∵sin B＝，∴cos B＝，∴cos C＝cos[π－(A＋B)]55含详解答案．高考总复习16.＝A sin BA cos)sincos＝－B cos(A＝＋－B65.B?A>ABC中，有sin A>sin B[点评]在△，又测得塔100m测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进7．在地面上一点D)．(尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m 227 B．A．237257C．247 D ．A][答案＝15°，100[解析]如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝，∠DAC sin45°DC·AC＝，∵sin15°·sin60°∴AB＝AC sin60°sin45°·100·＝sin15°32×100×22A.∴选＝≈237.2－64π＝成等差数列，且ac、b、c青岛市质检)在△ABC中，∠B＝，三边长a．8(文)(2010·3)，则b的值是(6 B.3 A.26D. C.5D]答案[22222＋122ac＝ac4由条件[解析]2b＝a＋c，∴b＋＝a，＋c＋222222b＋bcaa＋c－－1 ，cos又B＝，∴＝12ac22222，6＋∴ab＋c＝226.，∴b∴4b＝＝18＋b，a的对边分别为、Ca、b、c.若、b、c成等比数列，且c＝a2、△(理)ABC 的内角AB)cos则B＝(31 B.A.4422 C. D. 43B][答案2 2＝a成等比数列，∴cb，＝ac，又∵c、][解析∵ab、222222ab2a＋4a－ca＋－322. cos，∴B＝＝＝a2b∴＝42aca×2a2含详解答案．高考总复习在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，[点评]三角函数等内容等比数列等基础知识．同时也体现了数列、集中考查正弦定理、余弦定理、是高考中的热点问题，复习时要注意强化．的双曲线，若△AB、C为焦点，且经过点9．如图所示的曲线是以锐角△ABC的顶点3Ac sin)＝，则此双曲线的离心率为ABC(的内角的对边分别为a、b、c，，且a＝4b＝6，2a7＋73－3 B. A. 22 7 ．3＋7C3D－．D [答案]π3ccc sin A3a[解析]＝，因为C为锐角，所以?sin CC＝＝?＝，＝C3sin a2sin A2321222227c＝2×4×6c2＝ab＋×－2ab cos C＝4＝＋628，∴－由余弦定理知26a7.3＋∴e＝＝＝cb－7－2622yx在双曲P>0)－＝1(a>0，的两个焦点，b是双曲线10．(文)(2010·山东济南)设F、F2122ba→→→→)(2ac(c为半焦距)PF线上，若PF·PF＝0，||·，则双曲线的离心率为|PF|＝2112113＋3－ A.B. 2215＋CD.．2 2D][答案22222＝－||)，根据双曲线定义得：4aPF＝(|PF|[解析]由条件知，|PF||＋PF|F＝|F|2212112222－4ac，4 ac＝4－2||PF|·|PF＝|FF|c－||PFPF＋||222111222＝0，＋e－ae＋ac－c＝0，∴1∴5＋1. >1，∴e＝∵e2C1→→→→→(理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC中，tan＝，AH·BC＝0，AB·(CA ＋CB)＝0，22经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()含详解答案．高考总复习15＋1 －B. 5 A. 21－5 D. ＋1 C.52A]答案[→→BC，·BC＝0，∴AH⊥[解析]∵AHC2tan2AH4C1 tan，∴C＝＝＝，∵tan＝CH22C32tan1－2→→→CA0，∴＝CB，又∵AB·(CA＋CB)＝C180°－AHC??＝2tan＝，＝cot＝∴tan B??BH223ABa＝C＝AH＝2x,2，由条件知双曲线中CH＝BHx，则AH＝2x，∴＝x，AB＝5x2设2 ，(BH＝5－1)x－1＋52c A.＝∴e＝＝，故选2a15－二、填空题CABB和对岸标记物，测得∠C11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，________米．45°CBA＝，AB＝120米，则河的宽度为30°＝，∠1)－[答案]60(3＝CAB，又∵∠－＝，＝，则＝，设于⊥点作过][解析CCDABDBDxCDxAD120x 30°，含详解答案．高考总复习3x．3－∴1)＝，解之得，x＝60(3x－120位于A，B，灯塔12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距B5海里的两座灯塔相距A的北偏西75°方向，与灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A则两艘轮船处．5海里的C乙船位于灯塔32海里的D处；B的北偏西60°方向，与B相距海里．之间的距离为________13答案][ AB＝BC，60°[解析]如图可知，∠ABC＝，45°，60°，从而∠DAC∴AC＝＝5，∠BAC＝32又AD＝，∴由余弦定理得，2213.2AD·ACCD＝AD·cos45°＋AC＝－，、ca、b、文)(2010·山东日照模拟)在△ABC中，三个内角A、BC所对的边分别是13．(π________.＝a＋b＝已知c＝2，C，△ABC的面积等于3，则34[答案]π1 ，ab＝4[解析]由条件知，ab sin＝3，∴32224－a＋bπ∵cos，＝ab3222222＝16，＝＋2ab8，∴＝8(a＋b)a＝＋＋ba∴8＋b4.＋b＝∴a1222，a＝c10－a若)，＝caB中，理()在△ABC角A、、C的对边分别为、b、，面积S(b ＋4 ______．的最大值是则bc250100答案]＋[11222，ab＝sin由题意得，][解析bcA(＋c－)42含详解答案．高考总复习π222，又根据余弦定理得＝A，∴∠∴Aa－2bc＝sin bA，结合余弦定理得，sin＋Ac＝cos4100222.100＋50≥2bc－2bc，∴bc100＝b≤＋c＝－2bc22－海里的灯塔恰一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10．14(文)(2010·山东日照)方向上，另一60°好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西小时．海里/灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________10[答案]v3 v，＝v海里AC/小时，如图由题意知，AD＝，[解析]设该船的速度为22tan30°＋tan45°，＝2＋3∵tan75°＝tan30°tan45°1－v3＋102AB10. ＝＝，解得v又tan75°＝，∴2＋3vAD2的方位角为M如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛(理)(2010·合肥质检)范围已知该岛周围n kmkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，北偏东α角，前进m ________时，该船没有触礁危险．当α与β满足条件内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．)－ββ>n sin(α[答案]m cosαcos，∴∠AMB90°－α＋∠β＝90°－＝∠MAB＋∠AMB＝90°[解析]∠MAB＝－α，∠MBC，＝α－βAMBαcos BMmm，BM，解得＝由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝?－β?－β?sinα?sin?90°－αsin?αβαcos m cosαsin(β>n满足α与βm cosαcos所以＝sin(90°要使船没有触礁危险需要BM－β)>n，?α－βsin? )时船没有触礁危险．－β三、解答题A cos bBa所对的边，、、分别是角、、中，在△河北唐山．15(2010·)ABCabcABC且cos＋1.＝含详解答案．高考总复习c(1)；求→→的最大值．3，求CA·(2)CB若tan(A＋B)＝－＝b cos A1及正弦定理得，[解析](1)由a cos B＋Bc sin Ac sin cos A＝1，·cos B＋·C sin C sin )＝sin C，∴c sin(A＋B C，≠0B)＝sin(π－C)＝sin又sin(A＋1.＝∴c2π，A＋B＝3，0<A＋B<π，∴tan((2)∵A＋B)＝－3π.＝A＋B)∴C＝π－(3 由余弦定理得，22222ab－ab＝－ab≥2＋b cos－2abC＝aab＋b1a＝1→→→→CB≤，CA·CB，∴CA·＝22 ＝”号．b＝1时取“当且仅当a＝1→→.CB的最大值是所以，CA·2由于地形的C的距离，如图，要计算西湖岸边两景点B与)16．(文)(2010·广东玉湖中学＝BADAB＝14km，∠，两点，现测得AD⊥CDAD＝10km，限制，需要在岸上选取A和D＝3＝1.414，C的距离(精确到0.1km)．参考数据：2，求两景点60°，∠BCD＝135°B与2.236.，1.7325＝＝x，]在△ABD中，设BD[解析222，cos AD·∠＝BDAD＋BDA－2BD·则BA222·cos60°，＋1010－2·x即14＝x2 0，10x－96＝整理得：x－)，舍去x＝解之得，x16，＝－6(21由正弦定理得，BDBC＝，BCD sin∠sin CDB∠含详解答案．高考总复习1611.3(km)≈＝82sin30°∴BC＝·sin135°11.3km.的距离约为B与C答：两景点经规划调理长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．)(2010·湖南十校联考)(是原ABCD研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面．该圆的内接四边形＝2万米．万米，棚户建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4BC＝6万米，CD的面积及圆面的半径R的值；(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD可以调整．为了提高、BC(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB，使得棚户区改造的新建筑用地上设计一点P棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC的面积最大，并求出其最大值．APCD，由余AC[解析]＝(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC180°，连接弦定理：222ABC ＋6－2AC×＝44×6cos∠22.＝4∠＋2－2×ADC2×4cos1.60°.∠ABC＝∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝∴cos211 ×6×sin60°＋××2×4sin120°S则＝×4ABCD四边形22 ．＝83(万平方米) ABC中，由余弦定理：在△222∠·－2AB·BCACABC＝ABBC＋cos17.＝2×46×＝28，故16＝＋36－AC2×2 由正弦定理得，21212AC274 万米)．＝，∴R＝(＝2R＝33ABC sin∠32＝S＋S(2)S，APCAPCDADC△四边形△1S＝AD·CD·sin120°＝23.ADC△2设AP＝x，CP＝y，13则S＝xy·sin60°＝xy.APC△24222－2xyyAC又由余弦定理：＝x＋cos60°含详解答案．高考总复习2228.xy＋＝－＝xy22.xy≥2－xy∴x＝＋yxy－xy 28，当且仅当x＝y时取等号．∴xy≤33时面积最大，其最大面积y，即当x∴S＝23＋＝28xy≤23＋×＝93APCD四边形44 万平方米．为93处各有一个C、B17．(2010·上海松江区模拟)、如图所示，在一条海防警戒线上的点A收到发自静止50千米．某时刻，BC水声监测点，B、两点到点A的距离分别为20千米和同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度C秒后A、目标P的一个声波信号，8 1.5千米/秒．是P的距离，并求xP(1)设A到的距离为x千米，用x表示B的值．、C到0.01千米．(2)求P到海防警戒线AC的距离)(结果精确到PC＝x，解析[](1)依题意，有PA＝12. －8＝－PB＝x1.5x ×20AB＝PAB中，在△222222?－PBxx－AB＋1220－PA?＋＝PAB＝cos∠20·AB2x2PA·323x＋＝x550 AC中，AC＝同理，在△P222222x－PCxAC－＋PA50＋25 ＝，＝cos＝∠PACx502x·2PA·AC PAC，∠PAB＝cos∠cos∵323x＋2531. x＝＝∴，解之得，x5x中，，在△AC于DADP(2)作PD⊥25 得，∠PAD＝由cos312142＝，－cos∠PAD＝sin∠PAD131214 千米，18.33＝APD＝31·421≈∠A＝∴PDP sin31 千米．的距离为到海防警戒线答：静止目标PAC18.33含详解答案．高考总复习含详解答案．。
完整word版高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题在观察，灯塔A与海洋观察站C(2010·广东六校的距离都等于)a两座灯塔km A和1B．的距离为A与灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔站C的北偏东20°，灯塔B)()km.( B.2a A．aD.3 a C．2aD答案][. ＝120°][解析依题意得∠ACB由余弦定理ABBC－＋222AC＝cos120°BC·2AC AC·BC cos120°－∴AB＝AC＋BC22221??－a2＝＝3aa＋a－2222??2D.故选＝∴AB3a.π3”是“∠A>”的(sin(2．文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“A>) 23B．必要不充分条件．充分不必要条件AD．既不充分也不必要条件C．充要条件A[答案]ππ33，则∠A>，反之∠A>时，不一定有sin A>，如A＝>[解析A中，若在△ABC sin]2332π5π5π1＝sinsin A时，sin＝＝. 2666) ”的cos bB(＝cos”是“＝则“baBA中，在△理()ABC角、所对的边长为、，abaA．必要不充分条件．充分不必要条件A B D C．充要条件．既不充分也不必要条件A]答案[ ＝A时，＝当]解析[abB，cos＝A cos∴abB；＝cos a当A cos bB时，由正弦定理得A·A sincos·B sin＝B cos，含详解答案．高考总复习AB＝，∴sin2sin2 2B，或2A∴2＝Aπ＝－2Bπ＝A＋B∴A＝B或.2c＋b＝则a＝b或a222.B”，cos A＝b cos所以“a＝b”?“a A.”，故选/ “a＝ba“cos A＝b cos B”?，＝120°C两地的距离为20km，观测得∠ABC．已知A、B两地的距离为10km，B、3)则AC两地的距离为(3km B. A．10km7km5km ．10 DC．10D][答案，由余弦定120°ABC[解析]如图，△中，AB＝10，BC＝20，∠B＝理得，＝AB＋BC－2AB·BC·cos120°222AC1??－×10××2010，＝＋20－2＝70022??2D.∴选＝107km.∴ACbc－A2的ABCB、C的对应边)，则△在△4．(文)ABC中，sin、＝(ab、c分别为角A、c22)形状为(B ．直角三角形．正三角形AC．等腰直角三角形D．等腰三角形B [答案]b－cos Ac1－bA＝cos A，＝＝，∴2sin[解析]c22c2a＋c－222bb B.c，故选，∴a＋b＝∴＝222c2bc22的最大值为cos C＋，则cos A＋cos B中，河北邯郸(理)(2010·)在△ABC sin＋A cos＝B1)(5 2 A. B.43 1 D. ．C2含详解答案．高考总复习D答案][2222，∴sin BA＝sin[解析]∵sin A＋cos，B＝1. ＝B sin A＝sin B，∴A∵0<A，B<π，∴cos2A cos C ＝2cos A－故cos A＋cos B＋31 ，＋＝－2cos22)2(cos A－1A＋2cos A＋＝－22π31时，取得最大值＝0<cos A<1，∴cos A∵0<A<，∴.222的对边分别为C，角A、B、5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R22) ，那么角C的大小为()＝(2a－b)sin a、b、c，且2R(sin－A sin BCππ B. A. 232ππ C. D. 34C[答案] ，2ab－－cb＝222a][解析由正弦定理得，c－＋b222a2 ，cos C＝＝∴22ab π＝，∴C0<C<π∵.4122，cos＝A为锐角，若sin AA－Ba、b、c是△ABC三内角A、、C的对边，且(理)已知2)则(B．b＋c≤2．b＋c<2a a AD ．b C．b＋c＝2a＋c≥2aB][答案11 ，＝－，∴cos2A22＝A][解析∵sin A－cos22 ，120°BA又A为锐角，∴＝60°，∴＋C＝C＋BCB－cos2sin C sin Bcb＋sin＋22＝∴＝Aa2sin23CB－cos＝.≤1，∴a2cb＋≤235) ．6(2010·cos则，B sin＝A已知中，ABC在△)北京顺义一中月考cos，＝C(的值为513含详解答案．高考总复习5616 A. B. 6565561616 C. D．－或656565A答案][3512 B，sin B，∴A>＝，∴sin A＝>∵cos A＝[解析]5131343)]＋B＝cos[π－(AB＝，∴cos B＝，∴cos C sin∵5516＝cos BB－cos A cos(A＋B)＝sin A sin＝－.65.BB?A>A点评]在△ABC中，有sin>sin[，又测得塔100m D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进7．在地面上一点)________m．(尖的仰角为60°，则此电视塔高约为227 ．237 B．A257D247 C．．A][答案＝100，∠DAC＝15°，，∠[解析]如图，∠D＝45°ACB＝60°，DC sin45°DC·＝，∵AC sin15°sin60°＝AC·AB∴sin60°sin45°100·＝sin15°32××10022＝A.237.∴选≈26－4π＝acb、c成等差数列，且B)在△ABC中，∠＝，三边长a、(8．文)(2010·青岛市质检3)b的值是(6，则 B.3 2 A.6C.5D.D][答案a＋＋＝ac2ac＝＋c12＋，22222b＝ba4，∴＋c2解析[]由条件b＋c－＋cb－222222aa1 ＝，，∴B又cos＝122ac2 ，＋＝c＋∴a6b222含详解答案．高考总复习6.4，∴bb＝∴＝18＋b22，ac＝的内角)△ABCA、B、C的对边分别为a、b、、c.若ab2、c成等比数列，且(理)＝(则cos B31 B. A. 4422 C. D.43B][答案，2a＝ac，又∵c＝2bca、b成等比数列，∴、解析[]∵a4a－－b＋2＋c222222aa3＝＝2a，∴cos B＝＝∴b22.42aca×22a在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，[点评]三角函数等内容余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、集中考查正弦定理、是高考中的热点问题，复习时要注意强化．的双曲线，若△为焦点，且经过点A9．如图所示的曲线是以锐角△ABC的顶点B、C3sin Ac)(＝6，＝，b、c，且a则此双曲线的离心率为＝4，b、ABC的内角的对边分别为a2a773－3＋B. A. 22 ．3－7 ．D3 ＋7CD ][答案π33accc sin A，为锐角，所以C＝＝＝＝，因为C＝?[解析]sin C?C23sin Aa2sin3217 228，∴c＝×＋46－2×46×＝cos－a由余弦定理知c＝＋b2abC＝2222226a7.＝3＋＝∴e＝7－26b－c22yx在双曲P的两个焦点，b>01(＝－是双曲线、F))(2010·(10．文山东济南设Fa，>0)2122ba含详解答案．高考总复习→→→→)(c为半焦距)线上，若，则双曲线的离心率为PF·PF＝0，|PF|·|PF|(＝2ac212113＋3－1 A.B. 221＋5 2 D. C ．2D答案][＝PF(|＝|PFF，根据双曲线定义得：4a＝＋|22222|)|由条件知，|PF|－|F||[解析PF]221112，4ac4－ac＝4c－＋|PF－2|PF2222|F||F＝||·|PF||PF212112，－e＝＝00，∴1＋e∴aac＋－c2221＋5＝ee>1，∴∵.21C→→→→→，)＝0AB·(CA＋CB·安徽安庆联考)如图，在△ABC中，tan＝，AHBC＝0，(理)(2010·22)(以A、H为两焦点的双曲线的离心率为经过点B15＋1 5－ A. B. 215－ 1 D.C.5 ＋2A][答案→→，，∴AH⊥BC＝0BC∵]AH·[解析C2tan2AH4C1 ＝＝，C∵tan＝，∴tan＝CH2C322tan1－2→→→CBAB＋又∵，CB0，∴CA·(CA＝)＝??180°－CAHC 2＝，＝cottan∴B＝tan＝??BH2??23＝CH2x，∴＝＝设BHx，则AHAB＝22AHC，由条件知双曲线中5ABx，＝x2＝＝x,a2含详解答案．高考总复习1)x，(－5BH－＝15＋2c A.＝＝，故选∴e＝2a15－二、填空题CABC，测得∠．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物11 ________米．AB＝120米，则河的宽度为30°＝，∠CBA＝45°，1)－]答案60(3[ ＝30°，－＝120x，又∵∠CAB则于⊥ABD，设BD＝x，CD＝x，AD点作][解析过CCD3x 1)．＝，解之得，x60(3－∴＝3x－120位于BA，B，灯塔如图，海岸线上有相距12．(2010·福建三明一中)5海里的两座灯塔相距A的北偏西75°方向，与灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A则两艘轮船处．海里的B相距5C与B海里的32D处；乙船位于灯塔的北偏西60°方向，海里．之间的距离为________13答案][ ，＝，＝如图可知，∠][解析ABC60°ABBC含详解答案．高考总复习DAC45°BAC∴＝AC＝＝60°5，，∠，从而∠AD，∴由余弦定理得，＝3又213. ·cos45°2＝AD·AC＋AC－22AD＝CD，、cC所对的边分别是a、b山东日照模拟)在△ABC中，三个内角A、B、文13．()(2010·π________.b＝的面积等于3，则a＋已知c＝2，C＝，△ABC34][答案π1 4，3，∴ab＝＝sin由条件知，ab[解析]324－＋b22aπ，∵cos＝ab23 ，8＝16b＋2ab ＝8＋＋a∴＋b＝8，∴(a＋b)＝a222224.＝a＋b∴1222，a＝a10)，、c，面积S＝(bc＋若－、)(理在△ABC中，角A、BC的对边分别为a、b4 的最大值是______．则bc2＋50[答案]10011ac－＋222 )b，bc sin A＝([解析]由题意得，42π100又根据余弦定理得A＝，sin A ＝cos A，∴∠bc＝∴ab＋c－2sin A，结合余弦定理得，22241002.＋50，∴bc≤＝1002－＝b＋c2bc≥2bc－bc2222－海里的灯塔恰10)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距文14．(方向上，另一60°好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西小时．________海里/灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10答案][v3＝AC，，v＝[解析]设该船的速度为v海里AD/小时，如图由题意知，22tan30°tan45°＋＋3，2＝∵tan75°＝tan30°－1tan45°含详解答案．高考总复习v3＋102AB10. ＝＝，解得v tan75°＝，∴2＋3又vAD2的方位角为A处测得某岛M)(理)(2010·合肥质检如图，一船在海上自西向东航行，在范围n km角，后在B处测得该岛的方位角为北偏东β已知该岛周围北偏东α角，前进m km 时，该船没有触礁危险．α与满足条件β________内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当)β>n cossin(α－β[答案]m cosαAMBAMB＝90°－α＋∠AMB－∠MAB＝90°α，∠MBC，∴∠＝90°－β＝∠MAB＋∠[解析] ＝α－β，αBMmm cos，BM＝ABM中，根据正弦定理得＝，解得由题可知，在△?－βsin?ααsin?90°－α?sin?－β?βαcos m cos＝)sin(90°－βBM要使船没有触礁危险需要α>n sin(α>n，所以α与β满足m coscosβ?β?αsin－)－β时船没有触礁危险．三、解答题AB＋cos bA、B、C所对的边，且ab15．(2010·河北唐山)在△ABC中，a、、cos c分别是角1.＝；求c(1)→→CB的最大值．B)＝－3，求CA·＋(2)若tan(A 1及正弦定理得，＋b cos A＝由[解析](1)a cos BB sin cc sin A 1，＋·cos A·＝cos BC sin C sin ，＝sin CB∴c sin(A＋) 0，)＝sin C≠C)sin(又A ＋B＝sin(π－1.＝∴c2π，＝A<π＋0<3)＋tan((2)∵AB＝－，AB，∴＋B3含详解答案．高考总复习π＝B∴)C＝π－(A＋.3 由余弦定理得，ab－ab≥2ab－ab＝＝＝a＋b－2ab cos Ca＋b2222211→→→→，＝2CA，∴CA≤·CB·CB2 ＝1时取“＝”号．当且仅当a＝b1→→的最大值是CA所以，.·CB2由于地形的C)广东玉湖中学如图，要计算西湖岸边两景点B与16．(的距离，文)(2010·＝14km，∠BAD＝10km，AB＝限制，需要在岸上选取A和⊥D两点，现测得ADCD，AD＝，30.1km)．参考数据：2＝1.414＝，∠BCD135°，求两景点B与C的距离(精确到60°2.236.5＝1.732，，xABD中，设BD＝[解析]在△，cos∠BDAADBD＋AD－2BD·则BA＝222·cos60°，－x＋102·10x14即＝222 0，＝－10x－96整理得：x2x解之得，)，x＝－6(舍去16＝，21由正弦定理得，BDBC，＝BCD∠∠CDB sinsin16＝∴BC11.3(km)82≈·sin30°＝sin135°11.3km.C的距离约为答：两景点B与经规划调长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．理)(2010·湖南十校联考)(是原R的圆面．该圆的内接四边形ABCD研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是2CD6BC4ADAB棚户建筑用地，测量可知边界＝＝万米，＝万米，＝万米．含详解答案．高考总复习R的值；(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径可以调整．为了提高、BC(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB，使得棚户区改造的新建筑用地上设计一点P棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC APCD的面积最大，并求出其最大值．，由余弦ACABCD[解析](1)因为四边形内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接定理：＋＝46－2×4×6cos∠ABC222AC.＝4∠ADC×2×4cos＋2－222＝∠ABC∴cos.＝60°π)，∴∠ABC.∵∠ABC∈(0，211＝S则×sin60°＋sin120°6×4××2×4×ABCD四边形22 ＝83(万平方米)．中，由余弦定理：在△ABC∠ABC·2ABBC·cos AB＝＋BC－222AC17.＝2＝28AC，故＝16＋36－2×4×6×2 由正弦定理得，21212AC724＝R＝＝，∴(2R万米＝)．333ABC sin∠2 ＝S＋S，S(2)APC△APCD△ADC四边形1＝3.2CD·sin120°＝SAD·ADC△2 ＝，y，设AP＝xCP31则S＝xy·sin60°＝xy.APC△24又由余弦定理：AC＝x＋y－2xy cos60°222＝x＋y－xy＝28.22含详解答案．高考总复习.xy－≥2xyxy∴＝x＋y－xy22时取等号．28，当且仅当x＝y∴xy≤33＋＝23S∴时面积最大，其最大面积y，即当x＝＝xy≤23＋×2893APCD四边形44 万平方米．为93处各有一个CB、．17(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A、收到发自静止B50千米．某时刻，水声监测点，B、两点到点CA的距离分别为20千米和同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度CA、目标P的一个声波信号，8秒后秒．千米/是1.5的值．的距离，并求x的距离为(1)设A到Px千米，用x表示B、C到P千米)．(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01 ，PC＝[解析](1)依题意，有PxA＝12. ＝x－1.5PB＝x－×820中，＝AB在△PAB?12?x＋AB－PB＋20－－222222xAP＝＝P cos AB∠20x2·2PAAB323x＋＝x550 ＝AC中，AC同理，在△Px＋PC50－＋AC－222222xPA25 ＝＝，＝AC cos∠Px·50A·AC2x2P，cos∠PACAB∵cos∠P＝32＋3x2531.x＝，解之得，＝∴x5x ADP中，⊥AC于D，在△PD(2)作25 得，PAD＝∠由cos31214 ，AD∠P ＝2cos1ADP∠sin＝－31含详解答案．高考总复习21431·＝421≈∠APD＝18.33千米，sin PPD∴＝A31答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米．含详解答案．。
必修5--正余弦定理专题练习
1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A. 900B. 1200C. 1350D. 1500 2在直角三角形ABC 中，A 、B 为锐角，则sinAsinB 的取值范围是3在ΔABC 中，sinA ︰sinB ︰sinC ＝2︰3︰4，则cos C ＝4给出下列四个命题，则正确的命题为⑴ 若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形 ⑵ 若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形 ⑶ 若cosA·cosB·cosC ＜0, 则△ABC 是钝角三角形⑷ 若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A) = 1, 则△ABC 是等边三角形5. △ABC 中，60B =o ，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形7在△ABC 中，已知边c=10, 又知cos 4cos 3A b B a ==，求边a 、b 的长。
8. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =时，求a9.已知ABC ∆ 的三个内角所对的边分别为,A ∠是锐角,且B a b sin 23⋅=.（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，的面积为，求22c b +的值.10已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 11.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin2A =，且ABC ∆的面积为 （Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值． 12.在ABC ∆中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，c b a ,,是三个内角对应的三边，已知bc a c b 222=-+．,,A B C ,,a b c A ∠7=a ABC ∆310（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若A 2sin C sin B sin 222=+，且1a =，求ABC ∆的面积.12 在中，若，则一定是( )A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形 13在△ABC 中，已知，，试判断△ABC 的形状。
高考数学总复习练习及解析：第五单元 第七节 正、余弦定理.pdf
学习目标 1．了解作者及文体特征。
2．掌握短文中的主要实词和虚词的用法。
3．通过多种形式的诵读，训练学生的文言语感，逐步加深对课文的理解，达到当堂背诵的效果。
重点难点 熟读课文，掌握重点字词解释和重点句的翻译。
课时安排 第一课时 一．预学导航（学情检测） （一）资料助读 1．作者简介：韩愈，字退之，河南河阳人，唐代文学家、思想家。
因其祖籍在昌黎,世称韩昌黎。
他与柳宗元同是古文运动的倡导者，同时，他又是唐宋八大家之首，其散文尤为著名，有“文起八代之衰”的美誉，著有《昌黎先生集》。
2．写作背景：韩愈初登仕途时，很不得志。
曾三次上书宰相请求重用遭冷遇，甚至三次登门被守门人挡在门外。
尽管如此，他仍然申明自己有“忧天下之心”，不会遁迹山林。
后相继依附于节度使董晋和张建封幕下，郁郁不得志，再加上当时奸佞当权，政治黑暗，有才能之士不受重视。
所以作《马说》，发出“伯乐不常有”的感叹。
3．文体简介 ：“说”：是古代的一种议论文体，用以陈述作者对社会上某些问题的观点，“说”的语言通常简洁明了，寓意深刻；写法较灵活，跟现代的杂文大体相似，通常彩以小见大的办法，借讲寓言故事、状写事物等来说明事理，这就是我们所说的“托物寓意”。
“说”就是“谈谈”的意思，“马说”从字面上可以解作“说说千里马”或“说说千里马的问题”，如：《爱莲说》、《捕蛇者说》、《师说》就属这一文体。
（二）自主学习 1．注音。
祗（? ）? 骈（? ） 尽粟（? ） 一石（? ）? 槽枥（? ）2．?解释字词。
祗： 食：虽：? ? 且：? ? 等：? 安： 材： 通： ? 外见： 策之： 执策： ? 3．翻译句子? （1）不以千里称也 （2）且欲与常马等不可得，安求其能千里也 （3）其真无马耶？其真不知马也 （4）策之不以其道，食之不能尽其材 4．学生疑问（归纳整理学生的主要问题）： 二．共学助行（活动设计） (一)初读课文，感知内容 学法指导：采用多种形式反复朗读，让更多的同学得到训练。
高三数学(理)一轮复习讲解与练习3.7正弦定理和余弦定理(含答案解析)
a＞ b 一解
a≤b 无解
[探究 ] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？ ( 以角 A 为例 ) 提示： ∵ cos A 与 b2＋ c2－ a2 同号， ∴当 b2＋c2－a2＞0 时，角 A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三
角形； 当 b2＋ c2－ a2＝0 时，角 A 为直角，三角形为直角三角形； 当 b2＋ c2－ a2＜0 时，角 A 为钝角，三角形为钝角三角形．
[自测 ·牛刀小试 ]
1． (教材习题改编 )在△ ABC 中，若 a＝ 2，c＝ 4， B＝ 60°，则 b 等于 ( )
A． 2 3
B ．12
C． 2 7
D． 28
解析： 选 A 由余弦定理得 b2＝a2＋ c2－2accos B，
即 b2＝ 4＋ 16－ 8＝ 12，所以 b＝ 2 3.
2． (教材习题改编 )在△ ABC 中， a＝ 15， b＝ 10， A＝ 60°，则 cos B 等于 ( )
2012
[归纳 ·知识整合 ]
1． 正弦定理和余弦定理 定理
正弦定理
内容
a ＝ b ＝ c ＝ 2R sin A sin B sin C
变形形式
① a＝2Rsin A， b＝ 2Rsin_B， c＝ 2Rsin_C
② sin A＝ 2aR，sin
B＝ 2bR，sin
C＝
c 2R(
其中
R
是△ ABC 外接圆半径 )
a2＋ c2－b2 cos B＝ 2ac
a2＋ b2－ c2 cos C＝ 2ab
解决三角形的问 题
①已知两角和任一边， 求另一角和其他两条 边． ②已知两边和其中一边的对角， 求另一边和 其他两角 .
【瀚海导航】高考数学总复习第五单元 第七节 正、余弦定理课件
1
23
2
3
规律总结 有关三角形面积的问题，一类是求面
积，另一类是利用三角形面积求其他值．不论哪种 形式的面积问题，都需要借助正余弦定理．
变式训练２ 在△ABC中，角A，B，
C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
＝ A ，2 5
2
5
ABAC. 3
(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的
值．
33 65
.
(2)由S△ABC＝ 33
2
，得
1 2
×AB×AC×sinA＝
33 2
.
由(1)知sinA＝ 33 ，故AB×AC＝65，
又AC＝
＝ 65
ABsin B
20
sin C
13
AB，故
20 13
·AB2＝65，
解得AB＝ 13 ，所以BC＝ ABsin A ＝ 11 .
2
sin C
2
有关三角形的面积
系，要求∠A，需找∠A与三边的关系， 故可用余弦定理．由b2＝ac可变形为 b 2 ＝
c
a，再用正弦定理可求 b sin B 的值．
c
解 ∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.
又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.3分
在△ABC中，由余弦定理得cosA＝
b2
c2 2bc
a2
＝
bc 2 bc
变式训练4 (2010·芜湖模拟)在△ABC中，
角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、
b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和 c ＝ 1 ＋ 3 ，
b
2
求角A和tanB的值．
【解析】 由b2＋c2－bc＝a2，
2012年高考数学 考点17 正弦定理和余弦定理
考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2012·某某高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·BC =1，则BC=（ ）C【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC 的值。
【解析】选A.由1,AB BC1212cos,cos .BC B BBC由余弦定理即2222cos .AC AB BC AB BC B 2944cos BC BC B21542,BC BCBC故选A.233,.BC BC2.（2012·某某高考文科·Ｔ8）在△ABC 中，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）A ．2 B.2C.2D.4【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。
【解析】选B.设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知1132sin 60222h⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =.故选B. 3.（2012·某某高考文科·Ｔ6）在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，，则AC=（）A ．D【解题指南】已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断。
【解析】选B.在ABC 中,由正弦定理知sin ,sin sin sin AC BC BC BAC B A A=∴===4.（2012·某某高考文科·Ｔ8）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（ ） A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4【解题指南】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解答本题的关键是把边a,c 均用b 表示出来,再利用余弦定理把已知化简求值.【解析】选 D.由题意知： a=b+1,c=b-1,∴3b=20a cos A =20(b+1)2222b c a bc +-= 20(b+1)222(1)(1)2(1)b b b b b +----,整理得：2727400b b --=，解之得：b=5,可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.二、填空题5.（2012·某某高考理科·Ｔ11）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若（a+b-c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=______________.【解题指南】本题考查余弦定理,把已知条件展开整理可得结果.【解析】 由（a+b-c ）（a+b+c ）=ab,可知222a b c ab +-=-.又2221cos 22a b c C ab +-==-,所以0120C =. 【答案】0120.6.（2012·某某高考文科·Ｔ13）在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______ 【解题指南】本题知两角一对边，选用正弦定理求另一对边．【解析】选由正弦定理，sin sin AC BCB A =，即sin 2sin 2BC AC B A =⨯=⨯=．7.（2012·某某高考理科·Ｔ15）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ；则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【解题指南】对于①②用余弦定理判断； ③用反证法； ④⑤举反例.【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<.【答案】①②③8.（2012·某某高考文科·Ｔ13）在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若2a =，B=6π，b=【解题指南】已知两边及其夹角，用余弦定理可求第三边. 【解析】由余弦定理得：2222cos 412226b a c ac B π=+-=+-⨯⨯16124=-=，∴2b =.【答案】2.9.（2012·高考理科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=2，b+c=7,1cos 4B =-，则b=【解题指南】对角B 利用余弦定理列式求解. 【解析】7,7b c c b +=∴=-由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得4b =. 【答案】4.10.（2012·高考文科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=3，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【解题指南】利用正弦定理求出B ，再利用内角和定理求C.【解析】在ABC ∆中，由正弦定理得3sin3π=，1sin 2B =，,,6a b A B B π>∴>∴=，362C ππππ∴=--=.【答案】2π.三、解答题11.（2012·某某高考·Ｔ15）（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【解题指南】（1）注意向量积公式的应用，和正弦定理的利用（边角转化）（2）先利用cos 5C =求出tan 2C =再利用两角和的正切公式构造与tan A 有关的方程.【解析】（1）由3AB AC BA BC =得||||cos 3||||cos AB AC A BA BC B = 即为cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =两边同除cos cos A B 得tan 3tan B A = 即tan 3tan B A =成立.（2）因cos 5C =所以C 为锐角，所以tan 2C =由（1）tan 3tan B A =，且A B C π++= 得tan[()]3tan A C A π-+=即tan tan tan()3tan 3tan 1tan tan A CA C A AA C +-+=⇒-=-即tan 23tan 2tan 1A AA +=-所以tan 1A =或1tan 3A =-。
【瀚海导航】高考数学总复习第五单元 第四节 简单的三角恒等计算练习
第五单元 第四节一、选择题1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35 【解析】 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 【答案】 B2．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )A ．－3365 B.6365 C.5665 D ．－1665【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45. 又∵sin β＝－1213，β是第三象限角，∴cos β＝－513， cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝－3365. 【答案】 A3．已知θ2是第四象限角，且cos θ2＝1＋x x，则sin θ的值为( ) A ．－21＋x x B.21＋x xC ．－2－1－x x D.2－1－x x【解析】 θ2是第四象限角，由cos θ2＝1＋x x ，则sin θ2＝－－1x ，∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝－2－1－x x. 【答案】 C 4．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么1＋tan α1－tan α的值为( ) A.1316 B.322 C.1322 D.316【解析】 1＋tan α1－tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 【答案】 B5．已知α和β都是锐角，且sin α＝513，cos(α＋β)＝－45，则sin β的值是( )A.3365 B.1665 C.5665 D.6365【解析】 ∵sin α＝513，∴cos α＝1213.又cos(α＋β)＝－45， ∴π2＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝35.∵sin β＝sin[(α＋β)－α]， ∴sin β＝35×1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝5665. 【答案】 C6．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－22，则sin2α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.34 D.72【解析】 cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝α＋sin αα－sin α22α＋cos α＝cos α－sin α22＝－22， ∴cos α－sin α＝－12，∴1－sin2α＝14，即sin2α＝34. 【答案】 C7．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4，k ∈Z ，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－35，则cos2x 的值是( ) A ．－725 B ．－2425 C.2425 D.725 【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－34π，2k π＋π4，∴cos x －sin x ＞0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22(cos x －sin x )＞0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝45. 又∵cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∴cos2x ＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425. 【答案】 B二、填空题8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.【解析】 已知等式化为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两边平方相加得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 【答案】 －129．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________． 【解析】 由3sin α＋cos α＝0，得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103. 【答案】 10310．设25sin 2x ＋sin x －24＝0，x 是第二象限角，则cos x 2的值为________． 【解析】 ∵25sin 2x ＋sin x －24＝0，∴sin x ＝2425或sin x ＝－1. 又∵x 是第二象限角，∴sin x ＝2425，cos x ＝－725. 又x 2是第一或第三象限角， ∴cos x 2＝±1＋cos x 2＝±1－7252＝±35. 【答案】 ±35三、解答题11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 【解析】 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，3π4≤α＋π4＜7π4，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45. 又cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝35×22－45×22＝－210， sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝－45×22－35×22＝－7210， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210＝－31250. 12．(精选考题·四川高考)(1)①证明：两角和的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C α＋β推导两角和的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，A B →·A C →＝3，且cos B ＝35，求cos C . 【解析】(1)①如图，在直角坐标系xOy 内做单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为Ox ，终边交⊙O 于点P 4，则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得：[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12，即bc sin A ＝1. 又A B →·A C →＝bc cos A ＝3＞0，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由题意知cos B ＝35，得sin B ＝45. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010， ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010.。
【瀚海导航】高考数学总复习第五单元 第七节 正、余弦定理练习
第五单元 第七节一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B ＝( ) A ．30° B．45° C．60° D．90°【解析】 ∵sin A a ＝sin B b ＝cos B b，∴tan B ＝1，∴B ＝45°. 【答案】 B2．以4、5、6为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形【解析】 长为6的边所对角最大，设它为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18＞0，∴0°＜α＜90°，故三角形为锐角三角形．【答案】 A3．(精选考题·湖北高考)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63【解析】 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得15s in60°＝10sin B ，解得sin B ＝33.又∵b ＜a ，则B ＜A ，故B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 D4．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【解析】 由余弦定理可将原等式化为b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，即2b 2＝2a 2，∴a ＝b .【答案】 C5．(精选考题·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∴A ＝30°. 【答案】 A6．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】 由题意得cos θ＝－35或2(舍去)，三角形的另一边长为l ＝52＋32－2×5×3×cos θ＝52＝213.【答案】 B7．(精选考题·滨州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34C.32或 3D.32或34【解析】 ∵1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32. ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34. 【答案】 D二、填空题8．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．【解析】 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴sin C ＝22， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×AD ，∴AD ＝ 3. 【答案】 39．在△ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 是________．【解析】 由cos A ＞sin B 得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＞sin B . ∵A 、B 均为锐角，∴π2－A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. ∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， ∴π2－A ＞B ，即A ＋B ＜π2， ∴C ＝π－(A ＋B )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 【答案】 钝角三角形10．(精选考题·中山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________. 【解析】 S ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(2bc cos A )＝12bc cos A ，又S ＝12bc sin A ，∴sin A ＝cos A ，即tan A ＝1.又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π4. 【答案】 π4三、解答题11．(精选考题·安徽高考)若△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，cos A ＝1213. (1)求A B →·A C →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．【解析】 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)A B →·A C →＝bc cos A ＝156×1213＝144. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，∴a ＝5. 12．(精选考题·辽宁高考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，故A ＝120°. (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12. ∵0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．。
[精题分解]正弦定理和余弦定理(复习类).doc
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正弦定理和余弦定理1、（·宁波模拟）在ABC ∆中，7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅=（ ） （A ）19- （B ）19 （C ）38- （D ）38【解析】选A.22222275619cos ,227535BA BC CA B AB BC +-+-===⨯⨯⨯ 19cos 7519.35AB BC BA BC BA BC B ∴⋅=-⋅=-=-⨯⨯=- 2.（·廊坊模拟）已知ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c，a c ==75A =o ，则b =（ ） A.2 B．4＋．4—【解析】选A.000sin sin 75sin(3045)A ==+0000sin 30cos 45sin 45cos30=+=由ac ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 24ab B A=⋅==,故选A3. （·苏州模拟）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .【解析】设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos θθ<<⇒<<，所以2cosAC =∈θ 答案：24、（·镇江模拟）在ABC ∆中，AB =D 是BC 的中点，且1,30AD BAD =∠=︒，则ABC ∆的面积为 ．【解析】如图所示在ABD ∆中，BDAC22202cos303121 1.1, 2.111,sin sin30.sin30sin122111sin22222ABCBD AB AD AB ADBD BCBD AD ADBB BDS BA BC B=+-=+-=∴===∴=⨯=⨯=∴=⨯=⨯⨯=又5.（·广州高三六校联考）ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若60,2,B A b a=+︒=则A= .【解析】260,2,,sin sin sin sin(60)a b a aB A b aA B A A=+︒=+︒由=得=sin(60)2sin.1sin(60)sin ,212sin sin,23sin,tan223(0,),.6A AA A AA A AA A AA Aππ∴+︒=+︒=∴=∴==∈∴=即答案：6π6.（·济南模拟）（本小题满分12分）在cbaABC,,,中∆分别是角CBA,,的对边，)cos,(cos),2,(CBcab=-=，且.//（1）求角B的大小；(2)设)(),(sin)2cos()(xfxBxxf且>+-=ωωω的最小正周期为π，求)(xf在区间]2,0[π上的最大值和最小值。
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第五单元 第七节
一、选择题
1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b
，则B ＝( ) A ．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】 ∵sin A a ＝sin B b ＝cos B b
，∴tan B ＝1，∴B ＝45°. 【答案】 B
2．以4、5、6为边长的三角形一定是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．锐角或钝角三角形
【解析】 长为6的边所对角最大，设它为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18
＞0，∴0°＜α＜90°，故三角形为锐角三角形．
【答案】 A
3．(精选考题·湖北高考)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )
A ．－223 B.223 C ．－63 D.63
【解析】 根据正弦定理a sin A ＝
b sin B ，可得15s in60°＝10sin B ，解得sin B ＝33.又∵b ＜a ，则B ＜A ，故B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63
. 【答案】 D
4．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形为( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
【解析】 由余弦定理可将原等式化为b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 2
2ac
，即2b 2＝2a 2，∴a ＝b .
【答案】 C
5．(精选考题·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b
2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )
A ．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32
，∴A ＝30°. 【答案】 A
6．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )
A ．52
B ．213
C ．16
D ．4
【解析】 由题意得cos θ＝－35
或2(舍去)，三角形的另一边长为l ＝52＋32
－2×5×3×cos θ＝52＝213.
【答案】 B
7．(精选考题·滨州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34
C.32或 3
D.32或34
【解析】 ∵1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32
. ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝60°或120°.
当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32
； 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34
. 【答案】 D
二、填空题
8．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．
【解析】 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴sin C ＝22
， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12
a ×AD ，∴AD ＝ 3. 【答案】 3
9．在△ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 是________．
【解析】 由cos A ＞sin B 得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＞sin B . ∵A 、B 均为锐角，∴π2－A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2. ∵y ＝sin x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， ∴π2－A ＞B ，即A ＋B ＜π2
， ∴C ＝π－(A ＋B )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 【答案】 钝角三角形
10．(精选考题·中山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14
(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________. 【解析】 S ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(2bc cos A )＝12bc cos A ，又S ＝12
bc sin A ，∴sin A ＝cos A ，即tan A ＝1.
又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π4
. 【答案】 π4
三、解答题
11．(精选考题·安徽高考)若△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、
c ，cos A ＝1213
. (1)求A B →·A C →；
(2)若c －b ＝1，求a 的值．
【解析】 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
.
又12
bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)A B →·A C →＝bc cos A ＝156×1213
＝144. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1213＝25，∴a ＝5. 12．(精选考题·辽宁高考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12
.又A ∈(0，π)，故A ＝120°. (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .
又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12
. ∵0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C ，
∴△ABC 是等腰三角形．。