2018年秋新课堂高中数学北师大版选修2-1导学案第3章 2.2抛物线的简单性质
高中数学 3.2.2《抛物线的几何性质》导学案 北师大版选修21
2.4.2《抛物线的几何性质》导学案【学习目标】1.抛物线的性质及其灵活运用；2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.【导入新课】复习导入1.抛物线的定义；2.抛物线的方程的推导.新授课阶段1.抛物线的几何性质(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．具体归纳如下表：特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线;2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有顶点、焦点、准线;4.抛物线的离心率是确定的且为1.), 求它的标准例1. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, 22方程.解：例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解：课堂小结（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.作业见同步练习部分拓展提升1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP →=0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．y 2=4xD ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2，则点M的轨迹方程是（ ）A ．y=6x 2―31B ．x=6y 2－31C ．y=3x 2+31 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=23 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.⑴ 点A 的轨迹C 的方程；⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.参考答案新授课阶段特征 没有 一条 一个 、一个 、一条 例1.例2解：抛物线的焦点 F(1 , 0),1l y x =-直线的方程为：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 1212322322 222222x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩或221212AB =(x -x )+(y -y )=8拓展提升1．B 【解析】用抛物线的定义.2．B 【解析】坐标代入.3．B 【解析】用坐标转移法.4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是6π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M （52,42）或（52,42-）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.8． 解：(1)设A （x,y ），则22p x 2y )2p x (22+=+-, 化简得：y 2=2px（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2p ） 而1)2p (2p0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+4p 2=0,∆=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切.（3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 22-，则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t y 2--=；直线BM 2：)2px (2p p 2t t y 2++-=联立方程组解得M 点坐标为23t 2p (，)t p 2-， 经检验，)2(2)(2322t pp t p =- ，∴点M 在曲线C 上.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 2-2 抛物
2.2抛物线的简单性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的简单性质思考1类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？思考2参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：类型一抛物线简单性质的应用例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB 的面积是_____________________________________________________．反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．反思与感悟(1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为_____________________________________________________．类型三与抛物线有关的最值问题例3设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)．求|PB|＋|PF|的最小值．反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．2 C. 5D.921．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p2B ．pC ．2pD ．无法确定 2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．123．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．615．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考2 因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大． 梳理 (0,0) 1 题型探究例1 解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F (m 2，0)．直线l ：x ＝m 2，所以A ，B 两点坐标为 (m 2，m )，(m2，－m )， 所以|AB |＝2|m |.因为△OAB 的面积为4， 所以12·|m 2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究 4p 2解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.跟踪训练1 解 设抛物线的方程为 y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6， 所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0，②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.跟踪训练2 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意． 所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.例3 解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |. 所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4.跟踪训练3 A [如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ | ＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值． 又A (0,2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]当堂训练1．C 2.B 3.B 4.B5．解 如图OAB 为正三角形，设|AB |＝a ，则OD ＝32a ，∴A (32a ，a2)代入y 2＝2px ， 即a 24＝2p ×32a ， 解得a ＝43p .∴正三角形的边长为43p .。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线
2.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点一 抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 知识点二 抛物线标准方程的几种形式思考 (1)2(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ 答案 (1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线.题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0). 跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0). 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题型二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|P A |＋d 的最小值的问题. 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.∴点P 坐标为(2,2).反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.2C.5D.92答案 A解析 如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |， 则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值. 又A (0，2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.题型三 抛物线的实际应用例3 如图所示，一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4， 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，∵a 取整数， ∴a 的最小整数值为13.反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，如图所示，因为点C (5，－5)在抛物线上，解得p ＝52，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高h 米，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.1.抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A.x ＝132B.x ＝12C.y ＝2D.y ＝4答案 C解析 将y ＝－18x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A.8B.16C.32D.61 答案 B解析 由y 2＝8x 得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －2联立得x 2－12x ＋4＝0， 设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由方程知x 1＋x 2＝12，∴弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝±8x答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.2B.3C.115D.3716答案 A解析 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线， 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度， 其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点. 由图可知，距离和的最小值， 即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.5.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为(－3＋p 216，0)， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).。
北师大版高中数学(选修2-1)2.2《抛物线的简单性质》word教案
§2.2抛物线的几何性质设计人：赵军伟审定：数学备课组【学习目标】1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力【学习重点】理解并掌握抛物线的几何性质【学习难点】能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质【知识衔接】1.平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l 上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.2. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。
3.已知抛物线的标准方程是y2=8x，求它的焦点坐标和准线方程4.已知抛物线的焦点是F(-2，0)，求它的标准方程【学习过程】一、抛物线的几何性质：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．二、举例应用：例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：【巩固练习】【学习反思】【作业布置】见教材习题二。
高中数学 3.2.1《抛物线及其标准方程》导学案 北师大版选修2-1
2.4.1《抛物线及其标准方程》导学案【学习目标】1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．2．了解抛物线简单应用．【导入新课】问题导入回忆平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹， 当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 新授课阶段1.抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 .2.抛物线标准方程的推导过程由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号.例1 ⑴ 已知抛物线的标准方程是26y x ，求它的焦点坐标和准线方程.⑵ 已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.解：例2 已知抛物线的焦点坐标为(),0a ，()0a ≠ 写出它的方程.解：例3.一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m ，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解：课堂小结1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2.进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法；提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．作业见同步练习部分拓展提升1．顶点为原点，抛物线对称轴为y 轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为（ ）A ．y=－45B ．y=45C ．x=－45D ．x=452．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是（ ） A ．112B ．4C ．92D ．5 3．过点（－1，0）作抛物线y=x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为 （ ）A ．2x ＋y ＋2=0B ．3x －y ＋3=0C ．x ＋y ＋1=0D ．x －y ＋1=04．抛物线型拱桥的顶点距水面2m 时，水面宽8m ，若水面升1m ，此时水面宽为 .5．过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点， 则△OAB 的重心的坐标为 .6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点Ｐ（２，－４）的抛物线的方程.参考答案新授课阶段相等 焦点 准线.例1解：因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程28x y =-. 例2解：根据抛物线的定义，可得 它的标准方程为：24y ax = .例3.解： 在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是 y 2=2px (p>0) ， 由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5,2.4) ，代入方程，得2.42=2p×0.5, ∴p=5.76∴所求抛物线的标准方程是 y 2=11.56 x ，拓展提升1．A 【解析】用待定系数法先求出抛物线的方程.2．C 【解析】联想抛物线定义.3．D 【解析】设出过定点的直线方程与抛物线方程联列，用△法求解.4． 2 【解析】建立坐标系，写抛物线方程.5．83【解析】由|AB|=10，求出A ，B 两点横坐标之和. 6．解：由于Ｑ（２，－４）在第四象限且坐标轴是对称轴，可设抛物线方程为)0(22>=p px y 或)0(22>=p py x 将Ｑ点的坐标代入，得4=p 或21=p .所以所要求的抛物线的方程为x y 82=或y x -=2.。
高中数学(北师大版)选修2-1教案：第3章 抛物线 第一课时
抛物线及其标准方程【学习目标】：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形【学习过程】：一、课前准备复习1：点M与定点30F（，）的距离和它到定直线的距离253x=的比是35，则点M的轨迹是什么图形？复习2：点M与定点0F（5，）的距离和它到定直线的距离95x=的比是53，则点M的轨迹是什么图形？二、新课导学学习探究：若一个动点M到一个定点F和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？如何才能作出满足条件的M点的轨迹呢？F新知1：抛物线平面内与一个定点F和一条定直线的距离的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的；直线叫做抛物线的。
抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线的距离的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的；直线叫做抛物线的。
设定点F到定直线的距离为p（0p ）新知2：抛物线的标准方程类比椭圆与双曲线，请建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程。
解：建立____________________坐标系。
F得到抛物线的标准方程：_______________________________焦点为______________ 准线为_________________在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程。
那么，抛物线的标准方程有那些不同的形式？图形标准方程焦点坐标准线方程三、知识巩固【自主展示】：（1）已知抛物线的标准方程是26y x =求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F -,求它的标准方程；（3）已知抛物线的准线方程是3y =,求它的标准方程；【自主练习，小组互批】求下列抛物线的焦点坐标与准线方程（1）228y x=（2）24x y=（3）220y x+=【自我提高】求抛物线的标准方程（1）焦点的坐标是(3,0);（2）准线的方程是14x=；（3）抛物线经过(4,2)--;（4）焦点到准线的距离是3. 这节课我学到了那些新知识？。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线与方程 2-2 抛物线的简单性质 含答案 精品
2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一抛物线的几何性质x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.答案322解析 由题意设A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0). 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0). 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程.解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意.所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离. 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴. 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离. 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点.反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值. 证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解. ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C ＝k (8k 2＋2k 2－8)－8kk 2＝－14.所以直线BC 的斜率为定值.1.以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A.y 2＝8xB.y 2＝－8xC.y 2＝8x 或y 2＝－8xD.x 2＝8y 或x 2＝－8y答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2.若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.(14，±24) B.(18，±24) C.(14，24) D.(18，24) 答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B. 3.抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A.(1,2) B.(0,0) C.(12，1) D.(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1).4．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1答案 C解析 如图，由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 最大值，不妨设y 0>0.则＝＋＝＋13＝＋13(－)＝13＋23＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立．故选C.5.已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果. (2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0).相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.。
高中数学选修2-1北师大版 抛物线的简单性质教案
课题 3.2.2抛物线的简单性质（一）学习目标1.掌握抛物线的性质，理解焦点弦的概念，理解抛物线性质与标准方程的关系.2.通过对抛物线标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想3.会用方程的思想研究直线与抛物线的位置关系．4.结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质；由抛物线的方程研究性质，巩固数形结合思想．学习重点：抛物线的性质，理解抛物线性质与标准方程的关系.学习难点：由抛物线的方程研究性质学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1．抛物线的几何性质2、抛物线的通径：3、抛物线的离心率：二、新课学习问题探究一抛物线的几何性质1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．,3 ），并以坐标轴为轴的抛物线的标准方程。
（理科）例1、求顶点在原点，通过点（6例2、点M到点F（4,0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M满足的方程。
（文科）学后检测1：文科：1--1书P37页练习1,2,3；理科2--1书P75页练习1,2问题探究二直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例2 已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1 (k∈R)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．三、当堂检测：1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为 ( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或22．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 ( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．325．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于 ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16四、课堂小结五、课后作业。
北师大版选修2-1高中数学3.2.1《抛物线及其标准方程》word导学案
课题 3.2.1 抛物线及其标准方程（一）第一课时学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．3.从实例中认识抛物线，利用方程研究抛物线，进一步运用坐标法，提高“数学应用”意识．学习重点：.会求简单的抛物线的方程．学习难点：标准方程的推导学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1．椭圆的定义？怎样画椭圆？二、新课学习：问题探究一抛物线的定义1 我们已经知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点满足什么条件呢?2 在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？抛物线定义：例1. 方程2[(x＋3)2＋(y－1)2]＝|x－y＋3|表示的曲线是( )A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线学后检测1若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 ( ) A．椭圆B．双曲线C．抛物线 D．直线问题探究二抛物线的标准方程1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？3 归纳求抛物线标准方程的方法？例2.根据下列条件求抛物线的标准方程：（1） 已知抛物线的焦点坐标是F （2,0） （2）已知抛物线的准线是x=23。
学后检测2 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；例3、已知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，焦点到准线的距离是2。
求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。
学后检测3 (1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p 2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p 2 B ．a －p 2C ．a ＋pD ．a －p三、当堂检测1．抛物线y ＝18x 2的准线方程是 ( ) A ．y ＝－2 B ．y ＝2 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．经过点(2,4)的抛物线的标准方程是 ( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定3．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________．四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思课题2． 1 抛物线及其标准方程（二）第二课时教学目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．教学重点：会求简单的抛物线的方程．教学难点：标准方程的应用。
高中数学北师大版选修2-1 3.2.2.2抛物线的简单性质习题课 课件(33张)
1
∴b=0 或 b= 2.
当 b=0 时 ,A,B 两点有一个点与原点 O 重合 ,不符合条件,∴b=2. 答案 :2
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第2课时 抛物线的简单性质习题课
题型一 题型二 题型三 题型四
Hale Waihona Puke M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做1】 与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为 ( ) A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 解析:设与直线2x-y+4=0平行的直线为2x-y+m=0,联立y=x2得x22x-m=0. 由Δ=4+4m=0,得m=-1, ∴所求切线方程为2x-y-1=0. 答案:D
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第2课时 抛物线的简单性质习题课
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做 2】 直线 y=x+b 交抛物线 y= x2 于 A,B 两点,O 为抛 物线的顶点,OA⊥OB,则 b 的值为 ������ = ������ + ������, 解析 :由 1 2 得 x2-2x-2b=0, ������ = ������
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第2课时 抛物线的简单性质习题课
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
2018年秋新课堂高中数学北师大版选修2-1导学案第3章 2.1抛物线及其标准方程
§2抛物线2．1抛物线及其标准方程1．理解抛物线的定义及其标准方程的形式．(重点)2．了解抛物线的焦点、准线．(重点)3．掌握抛物线标准方程的四种形式，并能说出各自的特点，从而培养用数形结合的方法处理问题的能力及分类讨论的数学思想．(难点)[基础·初探]教材整理1抛物线的定义阅读教材P71“动手实践”与“思考交流”之间的部分，完成下列问题．平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．到直线x＝2与定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线【解析】∵点(2,0)在直线x＝2上，∴所求的点的轨迹应是一条直线．【答案】 D教材整理2抛物线的标准方程阅读教材P71“思考交流”以下～P72“例1”以上的部分，完成下列问题．1．抛物线x2＝－3y的准线方程是()A．y＝－34B．y＝34C．x＝－112D．x＝112【解析】由已知得p＝32，又∵该抛物线开品向下，∴其准线方程为y＝3 4.【答案】 B2．焦点坐标为(0，－1)的抛物线的标准方程为________．【导学号：32550073】【解析】由题意知p2＝1，开口向下，∴抛物线方程为x2＝－4y.【答案】x2＝－4y[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________[小组合作型](1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.【精彩点拨】 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程． 【自主解答】 (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y . (2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y .故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．[再练一题]1．(1)过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线【解析】 如图，设P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，以y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，即所求圆心的轨迹为抛物线．【答案】 D(2)已知抛物线的准线方程为y ＝23.则抛物线的标准方程为________． 【解析】 ∵准线在y 轴正半轴上且p 2＝23 ∴p ＝43，∴标准方程为x 2＝－83y .【答案】 x 2＝－83y(1)y 2＝4x ； (2)x 2＝－3y ； (3)4x ＋5y 2＝0;(4)x ＝ay 2(a ≠0)．【精彩点拨】 (1)(2)由抛物线方程确定开口方向及p 值；(3)(4)需将方程化为标准方程，再求解．【自主解答】 (1)抛物线y 2＝4x 的开口向右，且2p ＝4，则p ＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.(2)抛物线x 2＝－3y 的开口向下，且2p ＝3，则p ＝32，所以抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34，准线方程为y ＝34.(3)将抛物线方程化为标准方程y 2＝－45x ，可知抛物线的开口向左，且2p ＝45，则p ＝25，所以抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0，准线方程为x ＝15.(4)将抛物线方程化为标准方程y 2＝1a x ， 其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需化方程为标准方程．依据标准方程，(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；(2)由一次项的系数确定2p (大于0)的值，求出p ，进而得到p2.由此可得焦点坐标和准线方程．[再练一题]2．将本例(4)的方程改为“x 2＝ay (a ≠0)”， 求其焦点坐标和准线方程．【解】 抛物线x 2＝ay (a ≠0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．【精彩点拨】 本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的方法解决问题．【自主解答】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－a 4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴m ＝－a . 即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－0.82a .欲使卡车通过隧道，应有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＞3，即a 4－0.82a ＞3.∵a ＞0，∴a ＞12.21.∴a 应取13.1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．[再练一题]3．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．【解】如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，y B)，代入x2＝－25y，得y B＝－4 25.∴|AB|＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．[探究共研型]探究1是抛物线吗？【提示】不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；当l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．探究2抛物线的定义经常被归纳为“一动三定”，其指的是什么？【提示】一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1)，定值实现了距离间的转化．即涉及到抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为到准线的距离；抛物线上的点到准线的距离可化为与焦点之间的距离，这样可使问题简单化．探究3抛物线标准方程中的参数P的几何意义是什么？它有什么作用？【提示】(1)抛物线标准方程中参数P的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离．所以参数P称为焦准距或焦参数，P的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现P＜0的情况．(2)可根据P求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数P.探究4如何记忆抛物线的四种标准方程？【提示】(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．(3)焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝mx(m≠0)，m＞0时焦点在x轴正半轴上，m＜0时焦点在x轴负半轴上．(4)焦点在y 轴上的抛物线方程为x 2＝my (m ≠0)，m ＞0时焦点在y 轴正半轴上，m ＜0时焦点在y 轴负半轴上．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．【精彩点拨】 设P (x ，y )则|PF |＝|x |＋1，直接化简求解或转化为距离相等，利用抛物线定义求解．【自主解答】 法一：设P 点的坐标为(x ，y )， 则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |. ∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x ＜0.即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[构建·体系]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( ) 【解析】 (1)由定义知p 的几何意义是焦点到准线的距离． (2)√.(3)若定点在定直线上其轨迹是直线而不是抛物线． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 2．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18【解析】 把y ＝2x 2化为x 2＝12y ， ∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.【答案】 D3．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x【解析】由题意得2＋p2＝4，∴p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x.【答案】 C4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．【导学号：32550074】【解析】把抛物线方程y＝ax2化为标准方程x2＝1a y，∴－14a＝2，∴a＝－1 8.【答案】－1 85．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．(2)焦点到准线的距离为5 2.【解】(1)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.(2)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：3.2.2 抛物线的简单性质 精品
【提示】 (1)x1x2＝p42； (2)y1y2＝－p2； (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2 ＝p，即当x1＝x2时，焦点弦最短，是 通径，为2p； (4)弦长|AB|＝si2np2α(α为AB的倾斜角)； (5)以AB为直径的圆必与准线l相切； (6)|A1F|＋|B1F|＝2p.
[再练一题]
1．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的
抛物线方程是( )
A．y2＝
3 6x
B．y2＝－
3 6x
C．y2＝± 63x
D．y2＝± 33x
【解析】 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，如图所示， ∵△OAB为等边三角形，且边长为1.
∴A 23，12. 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
显然，当点P为直线AF与抛物线的交点时，和取得最小值，最小值为|AF|＝
1＋12＋1＝ 5.
(2)法一：设与直线4x－y－5＝0平行的直线方程为y＝4x＋b，与抛物线方程y
＝4x2联立并消去y，得4x2－4x－b＝0.
由Δ＝(－4)2－4×4×(－b)＝16＋16b＝0，得b＝－1，
∴切线方程为y＝4x－1. 再由4x2－4x＋1＝0，得x＝12，y＝4×12－1＝1.
(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，
Q是直线PF与C的一个交点．若F→P＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
【自主解答】 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4. 过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|. 由题意，得△PHQ∽△PMF， 则有||HMQF||＝||PPQF||＝34， ∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.
2018-2019学年北师大版选修2-1 3.2.2抛物线的简单性质 课件(24张)
几何意义:
1 点M（x,y）到点 0 , 的距离 4
O
1 y 4
x
1 等于它到直线 y 的距离. 4 2
x 2 py x y
2
例1 抛物线 y=ax2的准线方程是 y=2,则a的值为(
1 (A) 8
y
1 (B) 8
B)
(C) 8
2
(D) - 8
O
1 抛物线可化为x y a 0 a 2 x 2 py p 0 y2 1 2 p a x 准线方程y p 1 2 2 4a
l
| MF | d
M
F
理解：(1)定点F---焦点； (2)一条不过该定点F的定直线l---准线； 思考：若定点F在定直线l上,那么动点的轨迹是什么图形？ 是过点F,且与直线l垂直的一条直线. (3)动点M到定点F的距离|MF|； (4)动点M到定直线l的距离d； (5)|MF|=d； (6)动点M的轨迹——抛物线.
d
F O B
1 y 2
点P的坐标为P 2 , 2
2
巩固练习
1.根据抛物线的标准方程，说出抛物线的焦点坐标和 准线方程. 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 8 x
6y x
2
2, 0
1 24 , 0 1 0 , 10 4 0, 5
2 点P x0 , y0 在抛物线x2 2 py p 0的内部 x02 2 py0 p 0
2.点在抛物线外 2 1 点 P x , y 在抛物线 y 2 px p 0 的外部 0 0
2 2 点 P x , y 在抛物线 x 2 py p 0 的外部 0 0 x02 2 py0 p 0
北师大版高中数学选修2-1第3章2.2.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 抛物线的简单性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做______________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_________，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝__________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x 1＋x 2＋______.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( ) A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4a题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．已知抛物线y 2＝2px (p>0)的一条焦点弦AB 被焦点F 分成m ，n 两部分．求证：1m ＋1n为定值．能力提升12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16 13.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．抛物线的焦点弦可以借助于直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解，还要结合抛物线的定义．2．2 抛物线的简单性质知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p24－p 2作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F|－p 2＋|P 3F|－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F|－p 2， 所以|P 1F|＋|P 3F|＝2|P 2F|.]3．A [设PF 1的中点为A ，因为A 在y 轴上， 所以OA 为△F 1PF 2的中位线，即有|PF 2|＝2|AO|，因为F 2(3,0)，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，±32，即|PF 2|＝32.∴|PF 1|＝43－32＝7×32＝7|PF 2|.]4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a|4×|a|2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的 直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF|＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4＝a 2， |QF|＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .]7．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax. 将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x. 8．2解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x. 将其代入y 2＝4x ，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝4 2.又F(1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0， 解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF||FB|＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y. 11．证明 (1)当AB ⊥x 轴时，m ＝n ＝p ， ∴1m ＋1n ＝2p. (2)当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 所在的方程为：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∵|AF|＝m ，|BF|＝n ，∴m ＝p 2＋x 1，n ＝p2＋x 2.将直线AB 的方程代入抛物线方程得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋k 2p 24＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p24.∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2p. 综上可知1m ＋1n 为定值2p.12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A(－2,43)．设P(x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF|＝x 0＋2＝8，选B .]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1,0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以|AB|≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
数学北师大版选修2-1导学案3.2.1抛物线及其标准方程
§3.2.1 抛物线及其标准方程【学习目标】1．理解抛物线的定义及其标准方程的形式．(重点)2．了解抛物线的焦点、准线．(重点) 3．掌握抛物线标准方程的四种形式，并能说出各自的特点，从而培养用数形结合的方法处理问题的能力及分类讨论的数学思想．(难点)一、知识记忆与理解【自主预习】自主预习教材7371P P -结合课本动手实践了解抛物线的定义，结合思考交流及课本例题了解抛物线的标准方程及求法，并完成下列问题：1、抛物线的定义：平面内与__________和_________________的距离相等的点的集合叫作抛物线，这个定点F 叫作抛物线的_________，这条定直线l 叫作抛物线的_____________. 2、抛物线的标准方程：结合课本3634P P -思考交流内容，完成下图像标准方程 焦点 坐标 准线方程（1）在抛物线的定义中，如果去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？ （2）抛物线的定义经常被归纳为“一动三定”，其指的是什么？（3）抛物线的标准方程中的参数p 的几何意义是什么？它有什么作用？【预习检测】1、已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程.2、焦点是)0,3(的抛物线的标准方程是_________；准线方程是2-=x 的抛物线的标准方程是________________；3、抛物线y x 32-=的 准线方程是_______； 4、焦点坐标是)1,0(-的抛物线的标准方程是________.二、思维探究与创新【问题探究】探究一：求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点)2,3(-；（2）焦点在直线042=--y x 上； （3）已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.整理 反思变式训练1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点),3(m M 到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m .探究二：抛物线定义的应用设P 是抛物线x y 42=上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若)2,3(B ，求PF PB +的最小值.变式训练2：点M 与点)0,4(F 的距离比它到直线05:=+x l 的距离小1，求点M 的轨迹.【归纳总结】1、抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离往往互相转化求解.2、抛物线的标准方程中只有一个未知数，所以只需通过已知条件求出p 的值，即可写出方程.抛物线只有焦点在坐标轴上时，才有标准方程【当堂检测】 1.抛物线ay x =2的准线方程2=y ，则实数a 的值为 （ ）8.A 8.-B 81.C 81.-D2.抛物线2x y =的准线方程是（ ）012.=+x A 012.=+y B 014.=+x C 014.=+y D3.抛物线x y 42=上的点P 到焦点的距离是5，则P 点的坐标是________；4.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是________；5.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，如果21x x +6=，求AB 的值.【拓展延伸】一辆卡车高3米，宽6.1米，欲通过横断面为抛物线的隧道，已知隧道口的宽恰好是高的4倍，若宽为a 米，求使卡车通过的a 的最小正数值.整理反思。
2018-2019数学北师大版选修2-1课件：第三章2.2 抛物线的简单性质(二)
第三章 圆锥曲线与方程
(3)假设存在以 EF 为底的等腰△PEF， ∴点 P 在线段 EF 的垂直平分线上，
∴2x3＝－1＋－1－k22，
∴2·k2k－2 2＝－2－k22，解得 k＝±22， ∴△PEF 可以成为以 EF 为底的等腰三角形，此时 k 值为±22.
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第三章 圆锥曲线与方程
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第三章 圆锥曲线与方程
(2)已知点 P(x0，y0)，抛物线 C：x2＝2py(p>0)，则 x20＝2py0⇔点 P 在抛物线 C 上； x20>2py0⇔点 P 在抛物线 C 外； x20<2py0⇔点 P 在抛物线 C 内． (点 P 与抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的关系与(2)类似)
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第三章 圆锥曲线与方程
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线上顶点到其焦点的距离最小( √ ) (2)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线一定相 切( × ) (3)若点P在抛物线上，过P与抛物线只有一个公共点的直线有 两条( √ ) (4)若点P在抛物线内，过点P的直线与抛物线均不相切( √ )
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第三章 圆锥曲线与方程
方法归纳 判定直线与抛物线位置关系的两个方法 (1)几何法． 利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有 误差影响判断的结果． (2)代数法． 设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次 方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
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第三章 圆锥曲线与方程
相交：①有两个交点：A≠0， Δ >0.
2017_2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程2_2抛物线的简单性质学案北师大版选修2_1
连接PA，
在Rt△PAN中，
sin∠PAN
＝ ，
当 ＝ 最小时，
sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
现在，PA为抛物线的切线，
设PA的方程为y＝k(x＋1)，
联立
得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
因此Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线概念知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
因此x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－ ，
因此M到准线的距离等于3＋ ＝ .
例3 解 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
引申探讨
将本例改成“假设抛物线的核心F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，假设△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.
反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 已知抛物线的极点在座标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2 ，求抛物线方程.
梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
[0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0]
知识点三
两 一 没有 平行或重合 1
题型探讨
例1 解 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).
当k≠0时，假设Δ>0，那么直线与抛物线有____个不同的公共点；假设Δ＝0，直线与抛物线有____个公共点；假设Δ<0，直线与抛物线______公共点.
高中数学第三章圆锥曲线与方程 抛物线的简单性质学案含解析北师大版选修2_1
2．2 抛物线的简单性质知识点一 抛物线的简单性质[填一填](1)对称性：抛物线y 2＝2px (p >0)关于x 轴对称,抛物线的对称轴叫作抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．(2)范围：抛物线y 2＝2px (p >0)在y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x ,y )满足不等式x ≥0；当x 的值增大时,|y |也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的方程为标准方程时,抛物线的顶点是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫作抛物线的离心率．可见,抛物线的离心率为e ＝1.(5)通径：通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线y 2＝2px (p >0)两交点的坐标分别为(p 2,p ),(p2,－p ),连接这两点的线段叫作抛物线的通径,它的长为2p . [答一答]你能熟练地写出抛物线y 2＝10x 的焦点坐标、顶点坐标和准线方程吗？ 提示：∵y 2＝10x ,∴p ＝5,∴焦点坐标为(52,0),顶点坐标为(0,0),准线方程为x ＝－52.知识点二 抛物线的四种标准方程形式[填一填][答一答]求顶点在原点,通过点(2,4),且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程．提示：若x 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0),∵点(2,4)在抛物线上,∴16＝4p ,∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .若y 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0), ∵点(2,4)在抛物线上,∴22＝8p , ∴p ＝12,∴抛物线方程为x 2＝y .∴所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y .1．抛物线的几何性质的几个注意点：(1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来,差别较大,它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆为有心圆锥曲线．(2)给出各种标准形式的抛物线方程,能熟练说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程；反过来,也能根据各种类型的抛物线的示意图,说出抛物线的类型．(3)通过抛物线的焦点作垂直于轴而交抛物线于A ,B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”(如图),由A (p 2,p )、B (p2,－p ),可得通径的长|AB |等于2p .从而可以根据顶点和通径的端点A ,B ,作出抛物线的近似图形,要掌握这种画抛物线草图的方法,并且通径越长,抛物线开口越大,即p 越大,开口越大,p 越小,开口越小．2．焦半径公式的作用如下：利用焦半径公式,我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,解题时方便快捷,一般地说,凡涉及过焦点的直线与抛物线的交点问题,利用此公式来解较简单．题型一 由抛物线的方程求几何性质【例1】 已知抛物线的方程x 2＝ay ,求它的焦点坐标和准线方程．【思路探究】 参数a ≠0,a 可能取正值,也可能取负值,不要忽略a <0的情况． 【解】 当a >0时,∵2p ＝a ,∴p ＝a2,∴焦点坐标为F (0,a 4),准线方程为y ＝－a4；当a <0时,x 2＝－(－a )y , ∵2p ＝－a ,∴p ＝－a2.∴焦点坐标为F (0,－(－a4)),即F (0,a 4),准线方程为y ＝－a 4.综上所述,抛物线的焦点坐标为F (0,a 4),准线方程为y ＝－a4.规律方法 在抛物线的几何性质中,应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标,在解题时,应先注意开口方向,焦点位置,选准标准形式,然后运用条件求解．已知抛物线方程y ＝－12x 2,求抛物线的开口方向、对称轴、焦点坐标、准线方程及焦点到准线的距离．解：将该抛物线方程y ＝－12x 2化成标准方程为x 2＝－2y ,可知抛物线开口向下,对称轴为y 轴,∵p ＝1,∴焦点坐标为(0,－12),准线方程为y ＝12,焦点到准线的距离为1.题型二 由抛物线的几何性质求标准方程【例2】 已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (4,－8),求它的标准方程．【思路探究】 由题中条件知抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0),将点M (4,－8)的坐标代入即可得答案．【解】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点M 在抛物线上, ∴(－8)2＝2p ×4,解得p ＝8. 故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .规律方法 已知抛物线的几何性质求抛物线的标准方程的步骤如下：(1)通过确定抛物线的焦点所在的坐标轴和开口方向,确定抛物线的标准方程形式；(2)建立关于p 的方程,并求出p 的值；(3)写出所求抛物线的标准方程．其中最关键的是确定抛物线的焦点所在的坐标轴及抛物线的开口方向．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别是10和6,求点P 的横坐标及抛物线的方程．解：设点P 的坐标为(x ,y ),则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋p2＝10，y 2＝2px ，|y |＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故点P 的横坐标为9或1,相应的抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 题型三 定点、定值、最值问题【例3】 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ,B 及一个定点M ,F 为焦点,已知|AF |,|MF |,|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q .(2)若|MF |＝4,|OQ |＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．【思路探究】 (1)可先求出线段AB 的垂直平分线的方程,再求其所过的定点．(2)求抛物线方程的关键是求p 的值．【解】 (1)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则|AF |＝x 1＋p 2,|BF |＝x 2＋p 2,|MF |＝x 0＋p 2,x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22,则线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t ),其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p (y 21－y 22)＝2p y 1＋y 2＝pt,故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t＝－tp(x －x 0),即t (x －x 0－p )＋yp ＝0,可知其过定点Q (x 0＋p,0)．(2)由|MF |＝4,|OQ |＝6, 得x 0＋p2＝4,x 0＋p ＝6.解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线的方程为y 2＝8x .规律方法 对于定点或定值问题,通常把变动的元素用参数表示,然后计算(找)出需要的结果．若问题中没有给出定值是什么,则应在待定条件下探究变动元素,从而找出定值,然后证明．设而不求法和根与系数的关系是解决圆锥曲线这方面问题的关键,需熟练掌握．(1)已知抛物线方程为y 2＝4x ,直线l 的方程为x －y ＋4＝0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,到直线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是2.解析：(1)由题意得,点P 到准线的距离为d 1＋1,设抛物线的焦点为F ,则d 1＋1＝|PF |,∴d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1,又焦点到直线的距离为d ＝522,∴d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1.(2)本题可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ,使得点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小,易得其最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,即最小值d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.——数学思想—— 抛物线中的数形 结合思想的应用利用抛物线的图形结合所学平面几何知识可以很容易得到所要解决的问题的答案．这种方法在选择题和填空题中经常使用．【例4】 过点P (0,4)与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有________条．【解析】 作出抛物线y 2＝2x 的图像如图,可以看出点P 在y 轴上,由图中看出过点P 有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y 轴(斜率不存在的切线),过点P 与x 轴平行的直线以及过点P 与抛物线相切的斜率存在的一条直线．【答案】 3规律方法 抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点,y 轴与抛物线只有一个交点,这是我们解题中容易忽视漏掉的地方．本题通过抛物线的定义借助等腰三角形建立角之间的联系,从而利用平行线的性质解决问题．若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,点P 在抛物线上移动, (1)当|P A |＋|PF |取最小值时,求点P 的坐标,并求这个最小值．(2)求点P 到点M (－12,1)的距离与它到直线x ＝－12的距离之和的最小值．解：(1)如图所示,显然点A (3,2)在抛物线y 2＝2x 的内部,过点P 作准线l 的垂线,垂足为P ′,则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|,由平面几何知识可知,当AP ′⊥l 时,|P A |＋|PF |取最小值．∵准线方程x ＝－12,∴最小值为3－(－12)＝72,此时点P 的纵坐标为2,代入方程y 2＝2x ,得x ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)时,|P A |＋|PF |有最小值,最小值为72.(2)由抛物线定义知点P 到直线x ＝－12的距离等于它到焦点F 的距离．因此问题转化为在曲线上求一点P ,使点P 到点M 的距离与点P 到焦点F 的距离之和最小．显然,连接MF ,则直线MF 与抛物线的交点即为点P ,故最小值为|MF |＝(－12－12)2＋(1－0)2＝ 2.1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP →＝4FQ →,则|QF |＝( B )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：抛物线的焦点坐标是F (2,0),过点Q 作抛物线的准线的垂线,垂足是A ,则|QA |＝|QF |,抛物线的准线与x 轴的交点为G ,因为FP →＝4FQ →,则点Q 是PF 的四等分点,由于三角形QAP 与三角形FGP 相似,所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34,所以|QA |＝3,所以|QF |＝3.2．抛物线x 2＝－4y 的通径为AB ,O 为坐标原点,则( D ) A ．通径AB 的长为8,△AOB 的面积为4 B ．通径AB 的长为8,△AOB 的面积为2 C ．通径AB 的长为4,△AOB 的面积为4 D ．通径AB 的长为4,△AOB 的面积为2解析：|AB |＝2p ＝4,焦点坐标为(0,－1),∴S △AOB ＝12×1×4＝2.3．对于抛物线y 2＝10x ,下列结论正确的是②⑤.①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤抛物线的准线方程为x ＝－52.解析：y 2＝10x 的焦点为(52,0),准线方程为x ＝－52,抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1＋52＝72,通径长为2p ＝10.4．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ,垂足为K ,求△AKF 的面积．解：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线l 的方程为x ＝－1,故与抛物线相交且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1),由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得A 点坐标为(3,23),∴|AK |＝4,∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.。
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2.2 抛物线的简单性质1．了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念．(重点)2．掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质．(重点)3．会用顶点及通径的端点画抛物线的草图．(难点)[基础·初探]教材整理 抛物线的简单性质阅读教材P 74～P 79的部分，完成下列问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线的离心率可以是32.()(3)抛物线的通径为p.()【解析】(1)抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形．(2)抛物线的离心率e＝1.(3)通径为2p.【答案】(1)×(2)×(3)×2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是() A．23B．2C. 3 D．1【解析】抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，则d＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.故选D.【答案】 D3．顶点在原点，对称轴为y轴且过(1,4)的抛物线方程是________．【导学号：32550077】【解析】由题意知抛物线开口向上，设标准方程为x2＝2py，∴1＝2p·4，∴2p＝14，∴x2＝14y.【答案】x2＝1 4y.4．求顶点在原点，焦点在x轴上，且通径长为6的抛物线方程．【解】因为抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设所求抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)．因为通径长为6，所以m＝±6，故抛物线方程为y2＝6x或y2＝－6x.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________[小组合作型](1)OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2【自主解答】 设点A 在x 轴上方，则由抛物线的对称性及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x .由⎩⎨⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )．∴B (2p ，－2p )，|AB |＝4p . ∴S △ABO ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 【答案】 B(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2【自主解答】 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34， ∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3.【答案】 B(3)对称轴是x 轴，焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为________．【导学号：32550078】【自主解答】 由题意知p ＝4，对称轴为x 轴， ∴标准方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x . 【答案】 y 2＝8x 或y 2＝－8x1．求抛物线的标准方程的步骤可用如下框图表示：2．需对焦点在直线上、焦点为椭圆的焦点、准线过椭圆的焦点等予以关注，此时，可能有两个焦点或准线方程，相应的抛物线的标准方程也就有两个．[再练一题]1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36xB ．y 2＝－36xC ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x【解析】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如图所示， ∵△OAB 为等边三角形，且边长为1. ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ，同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x . 【答案】 CA ，B 两点，求线段AB 的长．【精彩点拨】 运用数形结合的方法，将焦点弦长|AB |转化为p 与点A ，B 的横坐标之和．【自主解答】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，|AB |＝p ＋(x 1＋x 2)．由于抛物线y 2＝4x 中，p ＝2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋2.因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，且直线AB 的斜率为1，所以直线AB 的方程为y ＝x －1 ①.将①代入方程y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3＋22，x 2＝3－2 2.于是|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.所以，线段AB 的长是8.1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是F，点A(x0，y0)是抛物线上任一点，则|AF|＝x0＋p 2.2．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点坐标的和还是交点坐标的差．这是正确解题的关键．[再练一题]2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＋x2＝8，则|AB|的值为()A．10 B．8C．6 D．4【解析】∵y2＝4x，∵2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8＋2＝10.【答案】 A(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)求抛物线y＝4x2上一点，使它到直线l：4x－y－5＝0的距离最短，并求此距离．【精彩点拨】(1)中点A(－1,1)在抛物线外，利用抛物线的定义和几何性质将其转化为两点间的最短距离问题．(2)中的直线与抛物线相离，因此平移直线至与抛物线相切时得切点，切点到直线4x－y－5＝0的距离最短．【自主解答】(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.∵点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F (1,0)的距离，∴点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和等于点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到焦点F (1,0)的距离之和．显然，当点P 为直线AF 与抛物线的交点时，和取得最小值，最小值为|AF |＝(1＋1)2＋1＝ 5.(2)法一：设与直线4x －y －5＝0平行的直线方程为y ＝4x ＋b ，与抛物线方程y ＝4x 2联立并消去y ，得4x 2－4x －b ＝0.由Δ＝(－4)2－4×4×(－b )＝16＋16b ＝0，得b ＝－1， ∴切线方程为y ＝4x －1.再由4x 2－4x ＋1＝0，得x ＝12，y ＝4×12－1＝1. 故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12－1－542＋12＝41717. 法二：设P (x 0,4x 20)是抛物线y ＝4x 2上任一点，则点P 到直线4x －y －5＝0的距离d ＝|4x 0－4x 20－5|42＋12＝|4x 20－4x 0＋5|17＝(2x 0－1)2＋417≥417＝41717 当2x 0－1＝0，即x 0＝12时取“＝”号，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1即为所求的点，此时最短距离为41717.(1)若曲线与直线相离，在曲线上求一点到直线的距离的最小问题，可找与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)利用抛物线的定义将问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决，这种方法在解题中有着广泛的应用，要深刻体会．[再练一题]3．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．【解】 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6＞2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d . 由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为(2,2)． [探究共研型]探究1【提示】 画抛物线时，首先要确定抛物线的焦点和准线的位置，其次是确定过焦点且与抛物线的轴垂直的直线与抛物线两交点的坐标，依据这四个要素，即可画出较为准确的抛物线．对于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，如图，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p .探究2 抛物线y 2＝2px (p ＞0)是有界曲线吗？【提示】 不是．当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线y 2＝2px (p ＞0)位于半个坐标平面内，且抛物线向右上方和右下方无限延伸，因此，抛物线是无界曲线．探究1抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段称为焦半径，记作r＝|PF|.根据抛物线的定义，你能写出焦半径公式吗？【提示】焦半径公式如下：(1)y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋p 2；(2)y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋p 2；(3)x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋p 2；(4)x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋p 2.探究2设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)．你能总结有关焦点弦的结论吗？【提示】(1)x1x2＝p2 4；(2)y1y2＝－p2；(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，焦点弦最短，是通径，为2p；(4)弦长|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)；(5)以AB为直径的圆必与准线l相切；(6)1|AF|＋1|BF|＝2p.探究3过抛物线焦点的直线一定会与抛物线相交形成焦点弦吗？【提示】由于抛物线的焦点一定在抛物线的轴上，因此抛物线的轴也是过抛物线焦点的直线，此时二者只有一个交点，即抛物线的顶点，不存在焦点弦．由此可知，与抛物线的轴平行或重合的直线和抛物线都只有一个交点．探究4已知抛物线y2＝12x，则弦长为定值1的焦点弦有几条？【提示】因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a ＞2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a＜2p，则焦点弦不存在．由y2＝12x知p＝14，则通径长2p＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有两条．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【精彩点拨】 解答本题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．【自主解答】 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2 ＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ， 则d ＝x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 2＋p2，∴d ＝|AB |2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径． ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[构建·体系]1．过抛物线y2＝4x的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝5，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有无穷多条D．不存在【解析】抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p＝4＜5，所以这样的直线有两条．【答案】 B2．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n，则()A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3【解析】结合图像可知，过焦点的斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形．【答案】 C3．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程是()A．y2＝82x B．y2＝±42xC．y2＝±4x D．y2＝±82x【解析】 设抛物线的方程为y 2＝2ax ，根据题意知12×|2a |×|a2|＝4，∴|a |＝22，a ＝±2 2.∴抛物线方程为y 2＝±42x . 【答案】 B4．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．【导学号：32550079】【解析】 由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x ＋9＋x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.【答案】112－15．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．【解】 如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知|AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32. 设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2x ，当x ＝54时，y 1y 2＝－p 2＝－14. ∴(y 1＋y 2)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝x 1＋x 2＋2y 1y 2＝2x －12＝2.∴y 1＋y 2＝±2，即y ＝y 1＋y 22＝±22.∴中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－22.我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。