浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷一、单选题 (共10题；共20分)1．（2分）已知集合A=[0,4]，B={x∈R||x|≤1}，则(∁R A)∩B=（）A．[−1,0)B．[−1,0]C．[0,1]D．(1,4]2．（2分）椭圆x22+y2=1的离心率是（）A．12B．13C．√23D．√223．（2分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．323B．4C．163D．84．（2分）明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）A．21B．22C．23D．245．（2分）函数f(x)=(e x+e−x)ln|x|的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（2分）若实数x ，y 满足约束条件 {x −2y +3≥02x −y −3≤0x +y ≥0 ，则 2x +3y 的取值范围是（ ）A ．[−1,15]B ．[1,15]C ．[−1,16]D ．[1,16]7．（2分）若 a >,b >0 ，则“ ab ≤4 ”是“ ab a+b≤1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2分）已知任意 a ∈[−1，2] ，若存在实数b 使不等式 |x 2−ax|≤b 对任意的 x ∈[0，2] 恒成立，则（ ） A ．b 的最小值为4 B ．b 的最小值为6 C ．b 的最小值为8D ．b 的最小值为109．（2分）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值. B ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值.C ．|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 是定值.D ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2是定值. 10．（2分）对任意的实数 x >0 ，不等式 2ae 2x −lnx +lna ≥0 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2√eB ．12√eC ．2eD ．12e二、填空题 (共3题；共3分)11．（1分）若复数 z =21+i（i 为虚数单位），则 |z|= . 12．（1分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点M 是双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若 k OM ⋅k l =13，则双曲线离心率 e 等于 .13．（1分）已知函数 f(x)=x 2+ax +a ， A ={x ∈R|f(x)≤x} ， B ={x ∈R|f[f(x)]≤f(x)} ， A ≠∅,A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .三、双空题 (共4题；共8分)14．（2分）在数列 {a n } 中， S n 为它的前 n 项和，已知 a 2=1 ， a 3=6 ，且数列 {a n +n} 是等比数列，则 a n = ， S n = .15．（2分）二项式 (1x −x 2)6 的展开式的各项系数之和为 ， x 4 的系数为 ．16．（2分）已知直线 l:mx −y =1, 若直线 l 与直线 x −my −1=0 平行，则m 的值为 ，动直线 l 被圆 x 2+y 2−2y −8=0 截得的弦长最短为 .17．（2分）已知随机变量X 的分布列如下表：其中 a >0，b >0 .且 E(X)=2 ，则b= ， D(2X −1) = .四、解答题 (共5题；共50分)18．（10分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a,b,c 已知 tan(π4+A)=3 .（1）（5分）求 sin2A +cos 2A 的值；（2）（5分）若 △ABC 的面积 S =1 ， c =2 ，求 a 的值.19．（10分）如图，已知四棱锥 A −BCDE ，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，BC// 平面 ADE ，且 BC =2 ， DE =1 .（1）（5分）求证： BC//DE ；（2）（5分）若 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值. 20．（10分）已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =a n 2+2a n 4，且 a n >0(n ∈N ∗) .（1）（5分）写出 a 1，a 2，a 3 的值，并求出数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）设 b n =√S n ， T n 为数列 {b n } 的前n 项和；求证： n 2+n 2<T n <n 2+2n 2.21．（10分）如图，设抛物线方程为 x 2=2py (p ＞0)，M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B.（1）（5分）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）（5分）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点 C ， D ，记 λ=S△EAB S △MCD，问 λ 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22．（10分）已知 f(x)=(x 2−a)e −x ， g(x)=a(e −x +1)（1）（5分）当 a =1 时，判断函数 f(x) 的单调性；（2）（5分）当a>−1时，记f(x)的两个极值点为x1,x2(x1<x2)，若不等式x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]恒成立，求实数λ的值.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题意∁R A=(−∞,0)∪(4,+∞)，B={x∈R||x|≤1}={x∈R|−1≤x≤1}，则(∁RA)∩B=[−1,0).故答案为：A.【分析】先计算出集合∁RA与B，再利用集合交集的概念即可得解.2．【答案】D【解析】【解答】由题意该椭圆a2=2，b2=1，由椭圆性质可得c2=a2−b2=1，所以离心率e=√c2a2=√12=√22.故答案为：D.【分析】由椭圆的一般式求得a2=2、b2=1、c2=1，利用e=√c2a2即可得解.3．【答案】C【解析】【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以V＝13×2×4×2＝163.故答案为：C.【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．4．【答案】C【解析】【解答】由题意可得70×2+3×21+2×15=233，则233−105×2=23.故答案为：C.【分析】由题意先计算出70×2+3×21+2×15=233，再计算233−105×2=23即可得解.5．【答案】D【解析】【解答】根据题意，函数的定义域 {x|x ≠0} ，因为 f(x)=(e x +e −x )ln|x| ，所以 f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除B 项， 当 x >1 时， f(x)>0 ，当 0<x <1 时， f(x)<0 ，排除 A,C 选项， 当 x →0 时， f(x)→−∞ ，所以D 项是正确的， 故答案为：D.【分析】根据题意，求出函数的定义域 {x|x ≠0} ，分析可得 f(x) 为偶函数，进而分析可得当 x >1 时， f(x)>0 ，当 0<x <1 时， f(x)<0 ，当 x →0 时， f(x)→−∞ ，分析选项，从而选出正确的结果.6．【答案】A【解析】【解答】由题意画出可行域，如图所示，令 z =2x +3y ，转化可得 y =−23x +z 3，数形结合可得，当直线 y =−23x +z3分别过点 A 、点 B 时， z 取最小值和最大值，由 {2x −y −3=0x +y =0 可得点 A(1,−1) ，由 {2x −y −3=0x −2y +3=0 可得点 B(3,3) ， 所以 z min =2−3=−1 ， z max =2×3+3×3=15 . 所以 2x +3y 的取值范围是 [−1,15] . 故答案为：A.【分析】由题意画出可行域，设 z =2x +3y ，数形结合即可得解.7．【答案】A【解析】【解答】 ∵ a >0 ， b >0 ，若 ab ≤4 ，则ab a+b ≤ab2ab =√ab 2≤1 ，当且仅当 a =b =2 时取等号，所以 ab a+b≤1 ； 当 a =1 ， b =5 时， ab a+b =56≤1 ，但 ab =5>4 ； ∴ “ ab ≤4 ”是“aba+b≤1 ”充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由基本不等式可得：若 ab ≤4 ，则aba+b ≤1 成立；举出反例可得若 ab a+b≤1 ，则 ab ≤4 不一定成立，由充分条件和必要条件的概念即可得解.8．【答案】B【解析】【解答】由题意 |x 2−ax|≤b ⇔−b ≤x 2−ax ≤b ，设 f(x)=x 2−ax ， x ∈[0，2] ，其图象为开口向上，对称轴为 x =a2 的抛物线的一部分，当 a ∈[−1，0] 即 a 2∈[−12，0] 时， f(x)min =f(0)=0 ， f(x)max =f(2)=4−2a ≤6 ；当 a ∈(0,2] 即 a2∈(0,1] 时， f(x)min =f(a 2)=−a 24≥−1 ， f(x)max =f(2)=4−2a <4 ；若要 |x 2−ax|≤b 对于任意 a ∈[−1，2] ， x ∈[0，2] 均成立， 则 {b ≥6−b ≤−1 即b ≥6 ，所以b 的最小值为6.故答案为：B.【分析】转化条件得 −b ≤x 2−ax ≤b ，设 f(x)=x 2−ax ， x ∈[0，2] ，根据 a ∈[−1，0] 、 a ∈(0,2] 分类，分别求出函数 f(x) 的最值即可得解.9．【答案】C【解析】【解答】如图建立直角坐标系，设正方形边长为为 2a ，圆的半径为 r ，设点 P(x,y) ，则 A(a,a) ， B(−a,a) ， C(−a,−a) ， D(a,−a) ， x 2+y 2=r 2 ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,a −y) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −x,a −y) ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −x,−a −y) ， PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,−a −y) ，对于A ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(x 2+y 2)−4a 2=2r 2−4a 2 ，A 正确，不符合题意； 对于B ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4(x 2+y 2)=4r 2 ，B 正确，不符合题意； 对于C ，不妨令 a =1 ， r =2 ，当点 P(0,2) ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√(2−1)2+12+2√(2+1)2+12 =2√2+2√10 ；当点 P(√2,√2) ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−√2+2+√2+2√2+22=4+2√6 ； C 错误，符合题意.对于D ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2(a −x)2+2(a +x)2+2(a −y)2+2(a +y)2 =8a 2+4(x 2+y 2)=8a 2+4r 2 ，D 正确，不符合题意. 故答案为：C.【分析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，表示出各点坐标，利用坐标运算即可判断A 、B 、D ，举出反例即可判断C ，即可得解.10．【答案】D【解析】【解答】设 f(x)=2ae 2x −lnx +lna ，则 f′(x)=4ae 2x −1x.当 a ≤0 时， f′(x)<0 ，故 f(x) 单调递减，当 x →+∞ 时， f(x)→−∞ ，不成立； 当 a >0 时，取 f′(x)=4ae 2x −1x=0 ，根据图像知，方程有唯一解设为 x 0 ，则函数在 (0,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，故 f(x)min =f(x 0)=2ae 2x 0−lnx 0+lna ≥0 ，且 4ae 2x 0−1x 0=0 ，代换得到： 12x 0−2lnx 0−2x 0−2ln2≥0 ，易知函数 g(x)=12x −2lnx −2x −2ln2 在 (0,+∞) 上单调递减，且 g(12)=0 ，故 x 0≤12 . a =14x 0⋅e2x 0≥12e ，故当 x 0=12 时，有最小值为 12e . 故答案为： D .【分析】排除 a ≤0 的情况，存在唯一解 x 0 ，使则函数在 (0,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，故 f(x)min =f(x 0) ， 4ae 2x 0−1x 0=0 ，代换得到 x 0≤12 ，代入计算得到答案.11．【答案】√2【解析】【解答】由题意 z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，所以 |z|=√12+12=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由复数的运算法则得 z =1−i ，由复数模的概念即可得解.12．【答案】2√33【解析】【解答】当 y >0 时，由 x 2a 2−y 2b2=1 可得 y =√(x 2a 2−1)⋅b 2 ，求导得y ′=12⋅b2a2⋅2x ⋅1√(x 2a2−1)⋅b =b 2x a 2⋅1√(x 2a2−1)⋅b =b 2x a 2y ， 所以在双曲线上点 (x 0,y 0) 处的切线方程为 y −y 0=b 2x0a 2y 0⋅(x −x 0) ，化简得 x 0a 2x −y 0b2y =1 ，同理可得当 y ≤0 时依然成立；设点 M(m,n) ，则 k l =b 2m a 2n ， k OM =n m ， 由 k OM ⋅k l =13 得 b 2m a 2n ⋅n m =13 ，所以 b 2a 2=13 ， 所以双曲线离心率 e =√1+b 2a 2=√1+13=2√33 .故答案为： 2√33.【分析】利用导数证明在双曲线上点 (x 0,y 0) 处的切线方程为 x 0a 2x −y 0b 2y =1 ，转化条件得 b 2m a 2n ⋅n m =13，再利用 e =√1+b 2a 2即可得解. 13．【答案】0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6【解析】【解答】由 A ≠∅ ，可设 x 1 ， x 2(x 1≤x 2) 是方程 f(x)=x 即 x 2+(a −1)x +a =0的两个实根，则 A ={x ∈R|f(x)≤x}={x ∈R|x 1≤x ≤x 2} ， f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x 1 或 x 2 ， 则 f(x)−x =(x −x 1)(x −x 2) ，f[f(x)]−f(x)=[f(x)−x 1][f(x)−x 2] = [f(x)−x +x −x 1][f(x)−x +x −x 2]=[(x −x 1)(x −x 2)+(x −x 1)][(x −x 1)(x −x 2)+(x −x 2)]=(x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1) .由 A ⊆B 可得对任意 x 1≤x ≤x 2 ，均有 f[f(x)]−f(x)≤0 ，即 (x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1)≤0 对任意 x 1≤x ≤x 2 均成立，由 x −x 1≥0 ， x −x 2≤0 ， x −x 1+1>0 可得 x −x 2+1≥0 对任意 x 1≤x ≤x 2 均成立，所以 x 1−x 2+1≥0 ，所以 {Δ=(a −1)2−4a ≥0x 1−x 2+1=−√(x 1+x 2)2−4x 1x 2+1≥0 即 {(a −1)2−4a ≥0(a −1)2−4a ≤1 ， 解得 0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6 . 故答案为： 0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6 .【分析】设 x 1 ， x 2(x 1≤x 2) 是方程 f(x)=x 的两个实根，则可得 f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x 1 或 x 2 ，进而可得 f[f(x)]−f(x) =(x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1) ，由 A ⊆B 可得对任意 x 1≤x ≤x 2 ，均有 f[f(x)]−f(x)≤0 ，即可得 x 1−x 2+1≥0 ，由韦达定理和根的判别式列出不等式组即可得解.14．【答案】3n−1−n ；3n2−n 2+n+12【解析】【解答】设 b n =a n +n ，数列 {b n } 的公比为 q ，则由题意 b 2=a 2+2=3 ， b 3=a 3+3=9 ，∴ q =b 3b 2=3 ， b 1=b 2q =1 ， ∴ b n =b 1q n−1=3n−1 ，∴ a n =b n −n =3n−1−n ，∴ S n =1−1+3−2+32−3+⋅⋅⋅+3n−1−n =(1+3+32+⋅⋅⋅+3n−1)−(1+2+3+⋅⋅⋅+n)=1⋅(1−3n)1−3−(1+n)n 2=3n2−n 2+n+12. 故答案为： 3n−1−n ， 3n2−n 2+n+12.【分析】设 b n =a n +n ，由等比数列的性质先求得 b n =3n−1 ，进而求得 a n =3n−1−n ；再利用分组求和法即可求得 S n .15．【答案】164；−316【解析】【解答】令 x =1 ， (1x −x 2)6=(1−12)6=164，故该二项式的展开式的各项系数之和为 164；二项式 (1x −x 2)6的展开式的通项公式为 T r+1=C 6r ⋅(1x )6−r ⋅(−x 2)r =C 6r ⋅(−12)r ⋅x 2r−6 ， 令 2r −6=4 即 r =5 ， C 65⋅(−12)5=−316，故 x 4 的系数为 −316 . 故答案为：164 ， −316.【分析】令 x =1 即可求得该二项式的展开式的各项系数之和；写出该二项式展开式的通项公式 T r+1=C 6r ⋅(−12)r ⋅x2r−6 ，令 2r −6=4 即可求得 x 4 的系数. 16．【答案】−1；2√5【解析】【解答】 ∵ 直线 l:mx −y =1 与直线 x −my −1=0 平行，∴m 1=−1−m ≠−1−1，解得 m =−1 ； 由题意可知直线 l:mx −y =1 恒过点 P(0,−1) ，圆 x 2+y 2−2y −8=0 的圆心 C(0,1) ，半径 r =3 ， CP =2 ， 易知当 CP ⊥l 时，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为 2√r 2−CP 2=2√9−5=2√5 . 故答案为： −1 ； 2√5 .【分析】由直线平行的性质可得 m 1=−1−m ≠−1−1 ，解方程即可得 m =−1 ；由题意知直线 l 恒过点 P(0,−1) ，圆的圆心 C(0,1) ，半径 r =3 ，由圆的性质即可得所求弦长最小值为 2√r 2−CP ；即可得解.17．【答案】14；24 【解析】【解答】由题意 {12+b +14=1E(X)=0×12+2b +14a =2 ，解得 b =14， a =6 ； 所以 D(X)=(0−2)2×12+(2−2)2×14+(6−2)2×14=6 ，所以 D(2X −1)=22⋅D(X)=24 . 故答案为： 14， 24 .【分析】由概率和为1即可的 b =14，由题意结合期望公式可得 a =6 ，根据方差公式求得 D(X)后利用 D(2X −1)=22⋅D(X) 即可得解.18．【答案】（1）解：由题意 tanA =tan[(π4+A)−π4]=tan(π4+A)−tan π41+tan(π4+A)⋅tan π4=12 ， 所以 sin2A +cos 2A =2sinAcosA+cos 2A sin 2A+cos 2A=2tanA+1tan 2A+1=85（2）解：由（1） tanA =12 可得： tanA =sinA cosA =12即 cosA =2sinA ，又 sin 2A +cos 2A =1 ， A ∈(0,π) ，所以 sinA =√55 ， cosA =2√55；又 S =12bcsinA =1 ， c =2 可得 b =√5 ；a 2=b 2+c 2−2bccosA =5+4−8=1所以 a =1 .【解析】【分析】（1）由两角差的正切公式可得 tanA =12 ，转化条件 sin2A +cos 2A =2tanA+1tan 2A+1即可得解；（2）由同角三角函数的关系结合题意可得 sinA =√55 ， cosA =2√55，由三角形面积公式S =12bcsinA 可得 b =√5 ，再由余弦定理即可得解.19．【答案】（1）证明：因为 BC// 平面 ADE ， BC ⊂BCED ，且平面 BCED ∩ 平面 ADE =DE ， 所以 BC//DE（2）解：取 AB 中点O ，连接EO ，CO ，由题意可得OC 、OB 、OE 两两垂直， 如图所示建立空间直角坐标系，各点的坐标分别为 A(−1,0,0) ， B(1,0,0) ， C(0,√3,0) ， E(0,0,√3) ，..所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,0) ，所以 D(−12,√32,√3) ， AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,√3) . 所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,√33,2√33) ，所以 F(−23,√33,2√33). 所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,−2√33,2√33) ， 因为平面 ABE 的一个法向量是 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√3,0) 设CF 与平面ABE 所成的角为 θ ，则 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−23⋅2√73=√217 ， 所以CF 与平面ABE 所成角的正弦值为 √217.【解析】【分析】（1）由线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而可得平面 ABE 的一个法向量是 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和直线 CF 的方向向量 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF⃗⃗⃗⃗⃗ 〉| 即可得解.20．【答案】（1）解：因为 a n >0 ，当 n =1 时， a 1=S 1=a 12+2a 14 ，所以 a 1=2 ，当 n =2 时， S 2=a 1+a 2=a 22+2a 24 ，所以 a 2=4 ，当 n =3 时， S 3=a 1+a 2+a 3=a 32+2a 34 ，所以 a 3=6 ，当 n ≥2 时， a n =S n −S n−1=a n 2+2a n 4−a n−12+2a n−14 ，化简得 (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 ， 因为 a n >0 ，所以 a n −a n−1−2=0 ； 所以数列 {a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，a n =2+2(n −1)=2n（2）证明：由（1）可得 S n =2+2n2⋅n =n(n +1) ， b n =√n(n +1) ；所以 b n >n ，所以 T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n >1+2+⋅⋅⋅+n =n 2+n 2；又 b n =√n(n +1)<n+(n+1)2=n +12；所以 T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n <(1+12)+(2+12)+⋅⋅⋅+(n +12)=n(n+1)2+n 2=n 2+2n 2 ；综上可得 n 2+n 2<T n <n 2+2n 2【解析】【分析】（1）分别令 n =1 、 n =2 、 n =3 即可得 a 1 、 a 2 、 a 3 的值；当 n ≥2时，利用 a n =S n −S n−1 可得 (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 ，则数列 {a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，即可得解；（2）由等差数列前n 项和公式结合题意可得 b n =√n(n +1) ，根据b n >n 即可得 T n >n 2+n 2 ，根据 b n <n+(n+1)2 即可得 T n <n 2+2n 2，即可得证.21．【答案】（1）解：设 A(x 1,x 122p ) ， B(x 2,x 222p) ，抛物线方程 x 2=2py(p >0) 可变为 y =x 22p ，所以 y ′=xp ，所以 k AM =x 1p， k BM =x 2p ，直线 AM 的方程为 y −x 122p =x 1p (x −x 1) ，直线 BM 方程为 y −x 222p =x2p (x −x 2) ，则 {y −x 122p =x 1p (x −x 1)y −x 222p =x 2p (x −x 2) 解得 x M =x 2+x 12 ， y M =x 1x 22p ， 又k AB=x 222p −x 122px 2−x 1=x 2+x 12p ，所以直线 AB 的方程为 y −x 122p =x 2+x 12p(x −x 1) ，化简得 (x 1+x 2)x −2py −x 1x 2=0 ， 令 x =0 ， y =−x 1x 22p ， 又 y M =x 1x 22p=−2p ， 所以 y =2p ， 所以直线AB 与 y 轴的交点坐标为 (0,2p)（2）解：记 x M =x 1+x 22 ，设点 E(x 3,x 322p ) ， 可得直线 CD 的方程为 y −x 322p =x3p(x −x 3) ，由 {y −x 122p =x 1p (x −x 1)y −x 322p =x 3p (x −x 3) 可得 x C =x 1+x 32 ，同理 x D =x 2+x 32 ， 所以 |ACCM |=|x C −x 1x M −x C |=|x 1+x32−x 1||x 1+x 22−x 1+x 32|=|x 3−x 1x 2−x 3||CEED |=|x 3−x C x D −x 3|=|x 3−x 1+x32x 2+x 32−x3|=|x 3−x 1x 2−x 3| ， 所以 |AC CM |=|CEED | ，同理 |MD DB |=|x 3−x 1x 2−x 3| ， 所以 |AC CM |=|CE ED |=|MDDB| ， 设 |AC CM |=|CE ED |=|MD DB |=t ，记 S △MCE =S ，则 S △ACE =tS ， S △MDE =S t ， S △BDE =S t2 ， S △MAB S △MCD =|MA||MB||MC||MD|=t+11⋅t+1t =(t+1)2t， S △MCD =t+1t ⋅S ， 于是 S △MAB=(t+1)2t S △MCD =(t+1)2t ⋅t+1t ⋅S =(t+1)3t2S ，所以 S △EAB =S △MAB −S △MCD −S △ACE −S △BDE=(t+1)3t 2S −t+1t ⋅S −tS −S t 2=2(t+1)t ⋅S ，所以 λ=S△EAB S △MCD=2【解析】【分析】（1）设 A(x 1,x 122p ) ， B(x 2,x 222p) ，求导后可得直线AM 的方程与直线BM 方程，联立方程组可得yM =x1x22p，写出直线AB的方程为y−x122p=x2+x12p(x−x1)，令x=0即可得解；（2）设点E(x3,y3)，联立方程组可得x C=x1+x32，x D=x2+x32，进而可得|ACCM|=|CEED|=|MDDB|，设|ACCM|=|CEED|=|MDDB|=t，记S△MCE=S，表示出各三角形面积后，即可得解.22．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=(x2−1)e−x，所以f′(x)=(−x2+2x+1)e−x，令f′(x)=(−x2+2x+1)e−x=0，得−x2+2x+1=0，所以x1=1−√2，x2=1+√2，所以f(x)单调递减区间为(−∞,1−√2)，(1+√2，+∞)，单调递增区间为(1−√2,1+√2)（2）解：因为f′(x)=(−x2+2x+a)e−x，a>−1，所以−x2+2x+a=0有两个不等实根，由题意x1，x2为方程(−x2+2x+a)e−x=0即x2−2x−a=0的两相异根，则{x1+x2=2 x1x2=−a−x i2+2x i+a=0，所以f′(x2)−g(x1)=0−a(e−x1+1)=−a(e−x1+1)，x2f(x1)=x2(x12−a)e−x1=x2⋅2x1e−x1=2x1x2e−x1=−2ae−x1所以x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]可以转化为−2ae−x1≤−aλ(e−x1+1)，所以上式可化为(x12−2x1)[λ(e−x1+1)−2e−x1]≤0，则(x12−2x1)(λ−21+e x1)(e−x1+1)≤0即(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0，①当a∈(−1,0)时，由0<x1x2<1、x1+x2=2、x1<x2可得x1∈(0,1)，所以x12−2x1<0，所以λ−21+e x1≥0恒成立，因为此时21+e x1∈(21+e,1)所以λ≥1；②当a=0时x1=0，x12−2x1=0，显然(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0恒成立，即λ∈R；③当a∈(0,+∞)时，由x1x2<0可得x1∈(−∞,0)，x12−2x1>0，所以λ−21+e x1≤0恒成立，因为此时21+e x1∈(1,2)，所以λ≤1；综上可知：λ=1【解析】【分析】（1）求出导函数后，找到f′(x)>0、f′(x)<0的解集即可得解；（2）由题意结合韦达定理可知{x1+x2=2 x1x2=−a−x i2+2x i+a=0，原条件可化为(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0，根据a∈(−1,0)、a=0、a∈(0,+∞)分类讨论，即可得解.。
浙江三地市2020年4月高三教学质量检测数学试卷(含答案)
浙江省衙少I队丽水、 湖州三地市教学质量检测试卷高三数学（2020.04)本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答本试题卷分第I卷〈选择题） 和第H卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效．参考公式z若事件A B互斥，则柱体的体积公式P(A +B) = P(A) +P(B)V =Sh若事件A B相互独立，则其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高P(AB) = P(A)P(B)锥体的体积公式若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次V=±Sh独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高乓（k)= c;p k c1-p)'1-k(k = 0,12，…，n) 球的表面积公式台体的体积公式y个（s，＋�+s2)其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高S=4πR2球的体积公式V＝生π·R33其中R表示球的半径第I卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每「小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知集合A=[ 0, 4] , B = { x ER I lxl斗，则（飞A)nB=A. [-1,0)B.[-1,0]C.[0,1]D.(1,4]2椭圆号＋y2 = 1的离心率是A. 2:.B. 2:. c主 D.�3.己知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是32 16 - c. 4 D.82 正视图3 3 24.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：俯视图2224侧视图第3题图二人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
2020年4月学考选考高2020届高2017级浙江省衢州湖州丽水三地市高三教学质量检测试卷数学试题参考答案
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 1 ;
所以 a = 1 ...................................................14 分
19.（本题满分 15 分）
解：（Ι）因为 BC / / 平面 ADE ， BC �BCED ，且
平面B平C面ED I
l
恒成立，求实数
的值.
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学卷参考答案（2020.04）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
D
B
C
D
A
A
B
C
D
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
( ) uuur
所以 BC = -1, 3, 0 ，
uuur ED
=
1 2
uuur BC
=
� � � �-
1 2
,
3 2
,
0
� � � �，
所以
D
� � � �-
1 2
,
3 2
,
3
� � � �，
uuur AD
=
�1 � � �2
,
3 2
,
3
� � � �.........9
分
高三数学试题卷（共四页）第 9 页
f ( f (x)) - f (x) = ( f (x) - x1)( f (x) - x2 ) = [ f (x) - x + x - x1][ f (x) - x + x - x1]
浙江省衢州湖州丽水三地市高三4月教学质量检测试题 数学【含答案】
浙江省衢州湖州丽水三地市高三4月教学质量检测试题数学第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()RA B =A ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,4 2.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323B ． 163 C ．4 D ．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。
《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。
”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. A. 21 B. 22 C. 23 D. 245.函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为6. 若实数满足约束条件，则的取值范围是A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D.[1, 16]7. 若0,0a b >> ,则“”是“1aba b≤+”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 已知，若存在实数b 使不等式对任意的恒成立，则A. b 的最小值为4B. b 的最小值为6C. b 的最小值为8D. b 的最小值为109.如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述 不正确．．．的是A. PD PB PC PA ⋅+⋅是定值.B. PA PD PD PC PC PB PB PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C. PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意>0,不等式恒成立，则实数a 的最小值为A ．B ． C. D ．第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.若复数，则|.12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知，，且数列{}n a n +是等比数列,则n a =n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ．14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆截得的弦长最短为 _.15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 aPb其中.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 .17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤, B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.19.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1.（Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）aa 已知数列{}n a 的前n 项和，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. （本小题满分15分） 如图，设抛物线方程为 (p ＞0),M 为直线 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. （本小题满分15分）已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBCDAABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 12. ， 13.136416-， 14. -1,15. , 2416.17. 2230-≤≤a 或6223≤≤+a解析：方法一：设[]x x f x f f x f n n ==-)(,)()(01，由题意方程x x f =)(的存在实根，且都在函数)(x f y =的对称轴右侧（含对称轴）.因此有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥--02).1(204)1(22a a a a a a ； 解得2230-≤≤a 或6223≤≤+a方法二：设21,x x （21x x ≤）是方程x x f =)(的两个实根，则))(()(21x x x x x x f --=-))()()(()())((21x x f x x f x f x f f --=-=[][]11)()(x x x x f x x x x f -+--+-=)1)(1)()((2121+-+---x x x x x x x x .由题意，对任意21x x x ≤≤时，0)())((≤-x f x f f 即0121≥+-x x ，即可解得. 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ） 214tan ).4tan(14tan)4tan()4(tan tan =++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=πππππA A A A A ..........3分 581tan 1tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=++=++=+A A A A A A A A A .......7分 （Ⅱ）由（1）21tan =A 可得：552cos ,55sin ==A A ；............9分又1sin 21==A bc S ,2=c 可得5=b ；......................11分 1cos 2222=-+=A bc c b a ;所以1=a ...................................................14分19.（本题满分15分）解：（Ι）因为//BC 平面ADE ，BC BCED ⊂，且BCED ADE DE =平面平面，..........3分所以//BC DE ...................5分a（Π）解法1如图所示建立空间直角坐标系，设2AB =各点的坐标分别为()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,3,0C ，()0,0,3E ，..........7分所以()1,3,0BC =-，113,,0222ED BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,,322D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 13,,322AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.........9分所以21323,,3333AF AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2323,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭F .........11分 所以22323,,333⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭CF ，因为面ABE 的一个法向量是()03,0OC =，.....13分 设CF 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,OC CF OC CF OC CFθ⋅==⋅ a所以21sin 7=θ.........15分 解法2如图所示，延长,CD BE 交于P ，连接PA ,延长CF 交AP 于G ，显然G 为PA 的中点，OC ABE ⊥面,,.......7分所以CGO ∠即为设CF 与平面ABE 所成的角.......11分 因为32OC OG ==，,所以7=CG ,.........13分所以21sin 7∠=CGO .........15分20.（本题满分15分） 解：（I ）当1=n 时，，又因为0>n a ，所以，，6------------------------------------------------------------------------3分当2≥n 时，因为0>n a ，所以；-------------------------------------5分 所以数列{}n a 是等差数列，.----------------------7分（Ⅱ）由（1）题可得)1(+=n n b n ； -----10分所以 n b n >，22nn T n +>；--------------------------------12分又 212)1()1(+=++<+=n n n n n b n ； 所以2222)1(2nn n n n T n +=++<； ---------------------14分 综上可得22222nn T n n n +<<+. ---------------------15分 21.（本题满分15分）过A 点的切线方程为，过B 点的切线方程为，联立这两个方程可得,化简得(=0, 令x=0,y2, ∴y ∴直线AB 过(0,2p)点.（Ⅱ）记,,,,=设=t ,记,则,同理，,,,于是, ----------12分∴=---S,S,∴λ== 2 -------------------------------15分22.（本题满分15分）解：（Ι）当1a =时,()()21x f x x e -=-, ----------1分 所以()()2'21x f x x x e -=-++ ----------3分 令()()2'21=0x f x x x e -=-++，得221=0x x -++所以1212,12x x ==----------4分x(),12-∞-12-()12,12-+12+()12++∞， ()'f x -0 +0 -()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以()f x 单调递减区间为(,12-∞，()12+∞，单调递增区间为(12,12+ ----------7分 （Π）因为()()2'2x f x x x a e -=-++，1a >- ----------8分 所以12,x x 为方程()22=0x x x a e --++化简后即22=0x x a --的两相异根，此时，12122+=2=20i i x x x x a x x a ⎧⎪-⎨⎪-++=⎩， ----------9分所以()()()121'0+1x f x g x a e --=-()11x a e -=-+ ()()()1111221212112=2=22x x x x x f x x x a e x x e x x e ae ----=-=- ----------10分 所以()()()()2111'x f x f x g x λ≤-可以转化为 ()1121x x ae a e λ---≤-+，因为()2120,1i i x x a x -++=∈-∞，所以上式可化为()()()112112120x x x x e e λ---+-≤ 化简得：()12112201x x x e λ⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-11分 ①当()1,0a ∈-时()10,1x ∈，21120x x -<， 所以1201x e λ-≥+恒成立，因为此时12211x e e ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭,1 所以1λ≥；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-12分②当=0a 时10x =，21120x x -=，所以※显然恒成立，即R λ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-13分③当()0,a ∈+∞时()1,0x ∈-∞，21120x x -> 所以1201x e λ-≤+恒成立，因为此时()1211x e∈+,2,所以1λ≤；┄┄┄┄┄┄14分 综上①②③可知：1λ= ----------15分。
衢州、丽水、湖州三地市2020年高三数学教学质量检测试卷
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷(第6稿)（2020.04）一、选择题1. 已知集合[]0,4A=，{}R|1B x x=∈≤，则BACR⋂)(（）A．[)1,0- B.[]1,0-C．[]0,1 D. (]1,42.椭圆x22+y2=1的离心率是（）A. 12B. 13C.√23D.√223. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．323B．163C．4 D．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。
《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。
”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. （）A. 21B. 22C. 23D. 245.函数()()lnx xf x e e x-=+的图象大致为（）6.若实数满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y≥0，则2x+3y的取值范围是（）A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D. [1, 16]7.若0,0a b>>,则“ab≤4”是“1aba b≤+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.任意a∈[−1,2]，若存在实数b使不等式|x2−ax|≤b对任意的x∈[0,2]恒成立，则（）A. b的最小值为4B. b的最小值为6C. b的最小值为8D. b的最小值为109.如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确．．．的是（）第3题图DB CA第9题A. ⋅+⋅是定值.B. ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C.PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意x >0,不等式2ae 2x −lnx +lna ≥0恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．√eB ．2√eC. 2e D ．12e 二、填空题11.若复数z =21+i (i 为虚数单位），则|z|= . 12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知a 2=1，a 3=6，且数列{}n a n +是等比数列,则n a = n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ． 14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆x 2+y 2−2y −8=0截得的弦长最短为 . 15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 a P12b14其中a >0,b >0.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 . 17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤,B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：18.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为.已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.ABC ∆,,a b c19.如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1. （Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.已知数列{}n a 的前n 项和S n =a n 2+2a n4，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设b n =√S n ，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. 如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=SΔEAB S ΔMCD,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. 已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.。
浙江省三市2020届高三4月教学质量检测数学试卷Word版
高三数学本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=()1213V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()R A B =I ðA ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,42.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323 B ． 163C ． 4D ．8 4.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
浙江省衢州、湖州、丽水三地市高三4月教学质量检测英语试题及答案
衢州、湖州、丽水2020年4月三地市高三教学质量检测试卷英语本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至8页，第II 卷9至10页。
第1卷注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.Where does the conversation take place?A.In a shop.B.In a restaurant.C.In a supermarket.2.How did the man spend his free time with his friends'A.They played sports.B.They watched TV programs.C.They played computer games.3.What does the man think of the seats on the plane?A.Wide.fortable.C.Small.4.What are the speakers mainly talking about?A.The whales.B.The weather.C. A voyage.5.When was Tim born?A.On February 24.B.On February 28.C.On February 29.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
衢州、湖州、丽水2020 年4 月三地市高三教学质量检测试卷化学答案
衢州、湖州、丽水2020 年4 月三地市高三教学质量检测化学参考答案一、选择题（本大题共25小题，共50分）二、非选择题（本大题共6小题，共50分） 26.（4分） （1）（1分）（2）乙醇分子间形成了氢键，而甲醚却不能（1分）（3）① N 2H 4 + H 2O NH 2NH 3+ + OH -（1分）② N 2H 6(HSO 4)2（1分） 27．（4分）（1）1:16)(:)(23=--CO n OH n （2）4.00%28.（10分）Ⅰ．（1）AlCl 3·2FeSO 4 (1分)（2）Al 3＋＋2H ＋＋6OH －===AlO －2＋4H 2O(2分)（3）将气体通入足量NaOH 溶液中，收集余气，把一条带火星的木条伸入其中，若复燃，则说明是O 2(需先通过NaOH 溶液除去SO 2，否则不得分，其他合理答案也可)(2分)Ⅱ．（1）Cl 2+SO 2+2H 2O= 4H ++2Cl -+SO 2－4 (2分) 防止倒吸(1分)（2）向其中加入过量的Ba(NO 3)2溶液，产生白色沉淀,则含有SO 2－4，过滤后取少量滤液,加入AgNO 3溶液，产生白色沉淀，加入稀硝酸后沉淀不消失则含有Cl - (2分)29.（10分）（1）①H 2O 2(l)+IO -(aq)==H 2O(l)+ I -(aq) + O 2(g)（2分）； -（a-b ） （1分）②（2分）（有两个波峰，第一个活化能较大（1分）；两波峰间的波谷高于反应物的能量（1分）） （2）5（2分）（3）C （1分）； 因该反应是不可逆反应，不考虑温度对平衡移动的影响。
温度升高反应速率加快，因而经过相同反应时间后测得的O 2体积随温度升高而增大（2分）30.（10分）Ⅰ．NaCl ＋H 2O=====通电NaClO ＋H 2↑(2分)Ⅱ．（1）过滤(1分) 冷凝管(1分) （2）B(1分)（3）Fe 会被过氧化氢氧化，且生成的Fe 3＋会催化过氧化氢分解(1分)（4）①cdba(1分) ②A(1分) ③VW18920(2分) 31.（12分）（1）AD （2）（5）（CH 3)3C-CH 2-NH 2（CH 3)3C-NH-CH 3（CH 3)2CH-N(CH 3)2 (CH 3CH 2)2 N-CH 32NHCH 2CH(CH 3)2（3）CH 2CH(CH 3)2O O —C 2-CH CH-CH -N-CH -OH +NH 2OHCH 2CH(CH 3)22-CH - CH-CH 2-N-CH 2O O —C —O —N OO+ HO —NOOCH 2NHCH 3 CH=NCH CH 2OH Cu/O 2 △CHO（4）。
2020.11-衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测数学试卷
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷 高三数学（2020.11）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}|1P x x =>-， {}|5Q x x =<，则PQ =A.(),-∞+∞ B.{}|5x x < C. {}|15x x -<< D.{}|1x x >- 2.已知R a ∈，若复数()2i z a a a =-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则a = A. 0B. 1C.1-D.23.若实数,x y 满足200x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则2z x y =-A. 有最小值1，无最大值B. 有最小值1-，无最大值C. 有最大值2-，无最小值D. 有最大值1-，无最小值4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.453 B. 43C. 45D. 835.已知()f x 是定义在R 上的函数，则“()00f =”是 “()f x 是奇函数”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件6.m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若//m α，//n β，//αβ，则//m n B. 若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥ C. 若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥D.若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ 7.已知函数()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是8.已知双曲线:C 22221(0,x ya b a b -=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线l 与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若原点到直线l 的距离为a ，1260F PF ∠=，则双曲线C的离心率为 A.7233- B. 2C.31+D.7233+俯视图侧视图正视图5112第4题图 0 1 2 xy第7题图012x y 012xy102xy 012xyABCD9.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列； ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列；③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有A. 1个B. 2个C. 3个D.4个10.已知空间向量,,a b c 两两的夹角均为60，且||||1a b ==，||2c =.若向量,x y 满足()x x a x b ⋅+=⋅，()y y a y c ⋅+=⋅，则||x y -的最大值是A.1+ B.1+ C.12+ D.12+二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为1,3,6,10,的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第n 个“三角形数”是()12n n +，则第5个“三角形数”是 ▲ ，前6个“三角形数”的和是 ▲ .12.已知()12nx -展开式中第三项的二项式系数是10，则n = ▲ ，展开式中最大的系数是 ▲ .13.已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ，单调递增区间是 ▲ .14.已知直线:2l y x b =+()0b ≠被圆()()221:319C x y -+-=所截得的弦长为4，且与圆心为()2,1-的圆2C 相切，则b = ▲ ；圆2C 的半径长是 ▲ . 15.已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ， 若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角 的余弦值是 ▲ .16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球， 记取出的球的颜色有ξ种，则()E ξ= ▲ . 17.若实数,x y满足(24x y +=，则x y +的最小值是 ▲ .FC 1B 1A 1ECBA第15题图三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2222sin 6b c a bc A π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求sin cos B C ⋅的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=，2PA AD PD ===，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点.（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）当AP BD ⊥时，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()211*n n n S S a n +++=∈ N . （Ⅰ）求2a ，3a 的值，并写出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：312n T <≤()*n ∈N .BFEDCAP21.（本小题满分15分）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（Ⅰ）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（Ⅱ）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.22.（本小题满分15分）已知函数()1xf x e x =--，2()g x ax =（a ∈R ）. （Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ）当(),a t ∈+∞时，函数()()()2F x f x g x =-+有三个不同的零点，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()()()()ln 1f x x x g x ++≥恒成立，求a 的取值范围.G O。
衢州、丽水、湖州2022年4月三地市高三教学质检数学试卷及解析
衢州、丽水、湖州2022年4月三地市高三教学质量检测数学 试题卷考生须知：1．全卷分试卷和答题卷,考试结束后,将答题卷上交. 2．试卷共4页,22题.满分150分,考试时间120分钟.3．答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.4．请将答案写在答题卷的相应位置上,写在试卷上无效. 参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 为柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 为锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式 台体的体积公式 24S R π=()112213V h S S S S =++ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|13A x x =≤≤，集合{}|24B x x =≤≤，则A B =A.{}|23x x ≤≤B.{}|34x x <≤C.{}|12x x <≤D.{}|12x x x <≥或2.已知i 是虚数单位，则13i1i++＝ A . 2i - B. 2i + C. 2i -+ D. 2i -- 3.已知直线l 平面α，点P ∈平面α，那么过点P 且平行于直线l 的直线 A. 有无数条，仅有一条在平面α内 B.只有一条，且不在平面α内 C. 有无数条，均不在平面α内 D.只有一条，且在平面α内4.若实数x ，y 满足不等式组40,2++30,10,x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥≥-+≤ 则32x y +的最小值是A.143-B.0C.1D.1925.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图是6.已知等比数列{}n a 满足10a <，则“14a a >”是“35a a >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线在第一象限交点为P ，直线1F P 与另一条渐近线交于点Q ．若点Q 是线段1F P 中点，则双曲线C 的离心率是B.2D.38.已知函数()()ln cos 3f x x x α=⋅+.则当[0,]απ∈时，()f x 的图象不可能是 ③22log log 2m n +≤-恒成立； ④222m nn m m n+++1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知{}n a 为非常数数列且0n a ≠，1a μ=，()1sin 2n n n a a a λ+=++（,,*R N n μλ∈∈），下列命题正确的是A. 对任意的λ，μ，数列{}n a 为单调递增数列；B. 对任意的正数ε，存在λ，μ，0n （*0n ∈N ），当0n n >时，1n a -<ε；C. 存在λ，μ，使得数列{}n a 的周期为2；D. 存在λ，μ，使得2122n n n a a a +++->.D.C. B.A.侧视第5题图第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案是 ▲ 平方步.12.设a ∈R ，函数()()()330,log 0.ax x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则()9f = ▲ ；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13.设()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++.若01234532a a a a a a +++++=，则实数m = ▲ ，3a = ▲ ．14.袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次.设拿出的白球个数为ξ，则(1)=P ξ= ▲ ，()E ξ= ▲ . 15.在ABC ∆中，D 为AB 的中点，若1CD =，4ACD π∠=，3cos 5BDC ∠=，则AD = ▲ ，sin BCD ∠= ▲ ．16.已知平面向量a ，b ，c 满足1a b ==，a b ⊥，4a c a c ++-=， 则()()()112c a a b a a b λλ-+-++--（λ∈R ）的最小值是 ▲ . 17.已知函数()k f x x ka =-（0,1,2,3a k >=），函数()()()()123g x f x f x f x =.若对任意[]0,3x a ∈，()()()122g f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲.三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分14分）已知函数()1cos 2f x x x +，R x ∈. （I ）求函数()f x 的单调递增区间； （II ）求函数()22332y f x fx π⎡⎤⎛⎫=+++-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. （本题满分15分）如图，已知三棱台111ABC A B C -中，二面角1A AC B --的大小为60，点1A 在平面ABC 内的射影D 在BC 上，1=4AA AB =，130A AC ∠=，90BAC ∠=. （I ）证明：AC ⊥平面11A B D ；（II ）求直线1A B 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20. （本题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，420S =.数列{}n b 满足11b =，()()2122111n n n b b n ++=++，*N n ∈． （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 满足11n n n c S b +=⋅，*N n ∈，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，若111112n T ≥， 求n 的最小值．21.（本题满分15分）如图，拋物线22y px （0p）上的点()1,A m （0m）到其准线的距离为2.过点()3,2M 作直线l 两点，直线AB 与直线3y x 交于点P ．（I ）求证：直线PC y ⊥轴；（II ）记ABC ∆，PBC ∆的面积分别为1S ,2S 若1254S S ⋅=，求直线AB 的方程.22.（本题满分15分）已知函数()2f x x a =+（I ）若2a =-，求函数()f x 的极小值点；（II ）当(]0,2x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数()222y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．1AB第19题图衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷参考解析（2022.04）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDCCABDCB9．【解析】：①选项：11222224m n m n +++≥⋅=，“=”取到时1m n =+，解得1,0m n ==，与题设矛盾，故1224m n ++>，无最小值. ②选项：sin 1n m n m +<+=恒成立，故B 正确. ③选项：12n m mn =+≥，14mn ≤，那么22221log log log log 24m n mn +=≤=-，C 正确. ④选项：()()222222122111n m n n nn m m n n n n nn n --+=+=+++-+--+，令2t n =-，则12t << 则原式=212333332333t t t t t+=≤=-+-+-（“=”取到时3t D 正确. 综上故选C.10.【解析】：对于选项A ：若数列{}n a 为单调递增数列，则()1sin 20n n n a a a λ+-=+>恒成立，得1λ>，所以A 错误.对于选项B ：本选项是考查数列的极限，由不动点知识，对sin2x x x λ++=中令1x =得sin2λ=-，当sin2λ=-带入不动点方程时，又可得1x k π=+或者12x k ππ=-+所以取sin2λ=-，1,12u π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以由蛛网图可知B 正确.对于选项C ：要使得{}n a 是周期2的周期数列，有递推关系图像可知，在该图像上应存在不同的两点关于y x =对称，则递推函数图像与y x m =-+图像应有两不同的交点，且两交点关于y x =对称。
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题(含答案解析)
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2022届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}13A x x =≤≤，集合{}24B x x =≤≤，则A B =（ ） A ．{}23x x ≤≤B ．{}34x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{|1x x <或}2x ≥2．已知i 是虚数单位，则131ii+=+ A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --3．已知直线∥l 平面α，点P ∈平面α，且P 不在l 上，那么过点P 且平行于直线l 的直线（ ）A ．有无数条，仅有一条在平面α内B ．只有一条，且不在平面α内C ．有无数条，均不在平面α内D ．只有一条，且在平面α内4．若实数x ，y 满足不等式组4023010x y x y x y +-≥⎧⎪++≥⎨⎪-+≤⎩，则32x y +的最小值是（ ）A ．143-B ．0C ．1D ．1925．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知等比数列{}n a 满足10a <，则“14a a >”是“35a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线在第一象限交点为P ，直线1F P 与另一条渐近线交于点Q ．若点Q 是线段1F P 中点，则双曲线C 的离心率是（ ）AB ．2C D ．38．已知函数(()ln cos(3)f x x x α=+⋅+．则当[0,]απ∈时，()f x 的图象不可能．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知0m >，0n >，且1m n +=，则下列结论正确的个数是（ ） ①122m n ++的最小值是4； ①sin 1n m +<恒成立；①22log log 2m n +≤-恒成立； ①222m n n m m n +++1． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知{}n a 为非常数数列且0n a ≠，1a μ=，()()*1sin 2,,n n n a a a n λμλ+=++∈∈R N ，下列命题正确的是（ ）A ．对任意的λ，μ，数列{}n a 为单调递增数列B ．对任意的正数ε，存在λ，μ，()*00n n ∈N ，当0n n >时，1n a ε-<C ．存在λ，μ，使得数列{}n a 的周期为2D ．存在λ，μ，使得2122n n n a a a +++-> 二、填空题11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.12．已知平面向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，a b ⊥，||||4a c a c ++-=，则|()|c a a b λ-+-+1(1)()()2a ab λλ+--∈R 的最小值是________． 13．已知函数()||(0,1,2,3)k f x x ka a k =->=，函数123()()()()g x f x f x f x =．若对任意[0,3]x a ∈，()12()()2g f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、双空题14．设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________．15．设542345012345(2)(1)x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++．若01234532a a a a a a +++++=，则实数m =________，3a =________．16．袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次．设拿出的白球个数为ξ，则(1)P ξ==________，()E ξ=________． 17．在ABC 中，D 为AB 的中点，若1CD =，4ACD π∠=，3cos 5BDC ∠=，则AD =________，sin BCD ∠=________． 四、解答题 18．已知函数1()cos 2x x f x +=，x ∈R ． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数22[()3]32y f x fx π⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域． 19．如图，已知三棱台111ABC A B C -中，二面角1A AC B --的大小为60，点1A 在平面ABC 内的射影D 在BC 上，14AA AB ==，130A AC ∠=，90BAC ∠=．(1)证明：AC ⊥平面11A B D ；(2)求直线1A B 与平面11ACC A 所成角的正弦值．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，420S =．数列{}n b 满足11b =，()21221(1)1n n n b b n ++=++，*n ∈N ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设数列{}n c 满足11n n n c S b +=⋅，*n ∈N ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，若111112n T ≥，求n 的最小值．21．如图，抛物线22(0)y px p =>上的点(1,)(0)A m m >到其准线的距离为2．过点(3,2)M 作直线l 交抛物线于B ，C 两点，直线AB 与直线3yx交于点P ．(1)求证：直线PC y ⊥轴；(2)记ABC ，PBC 的面积分别为1S ，2S ．若1254S S ⋅=，求直线AB 的方程． 22．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．参考答案：1．A 【解析】 【分析】由交集运算直接求出两集合的交集即可. 【详解】由集合{}13A x x =≤≤，集合{}24B x x =≤≤ 则{}|23A B x x =≤≤ 故选：A 2．B 【解析】利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】由复数的运算法则有：13(13)(1)422(1)(11)2i i i ii i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式. 3．D 【解析】 【分析】根据过直线外一点作与直线平行的直线只有一条.可排除AC.再由线面平行的性质定理即可选出答案. 【详解】过直线l 与点P 的平面有且只有一个,记该平面为β. 又因直线∥l 平面α，点P ∈平面α所以过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且这条线为平面α与平面β的相交线.【点睛】本题考查线面平行的性质定理.属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】作出可行域,利用几何法求出最小值. 【详解】作出可行域如图所示：记32z x y =+，可化为3122y x z =-+，看成斜率为32-的直线l ，平移直线l 经过点A 时，纵截距最小，此时A 满足40230x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得：711x y =-⎧⎨=⎩，即()7,11A -，代入32x y +可得：()372111⨯-+⨯=. 即32x y +的最小值是1. 故选：C 5．C 【解析】 【分析】根据侧视图(左视图)的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虚线. 【详解】将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对角线()DB E 被几何体左侧面遮挡，应当为虚线，6．A 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a >，即311a a q >，又10a <，则31q <，即1q >则当1q >时，由()24223511110a a a q a q a q q -=-=->，此时35a a >即由“14a a >”可得到“35a a >”成立.由35a a >，即2411a q a q >，即21q >，即1q >或1q <-()33111141a a a q q a a -=-=-若1q >时，()311410a a a q =->-，14a a >成立 若1q <-时，()311410a a a q =-<-，则14a a >不成立所以若“35a a >”则“14a a >”不成立. 所以“14a a >”是“35a a >”的充分不必要条件 故选：A 7．B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质及双曲线的对称性求出2POF ∠即可计算作答. 【详解】如图，点Q 是以12F F 为直径的圆的弦1PF 中点，则1OQ PF ⊥，于是得1FOQ POQ ∠=∠，因直线,OP OQ 是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知21POF FOQ ∠=∠，因此有23POF π∠=，则有直线OP 的斜率tan 3b a π=2e =， 双曲线C 的离心率是2 故选：B 8．D 【解析】 【分析】 取0,,2παπ=，分别判断出函数的奇偶性，再分析函数的函数值的符号可得到不成立的选项，从而得出答案. 【详解】设()(ln g x x =，由0x x x +≥，则()g x 的定义域为R()))()lnlng x x x g x -===-=-所以函数()g x 为奇函数由选项A,B 可得其图像关于原点成中心对称，则函数()f x 为奇函数. 则函数cos(3)y x α=+为偶函数，又[0,]απ∈，则0α=或π由06x π<<时，032x π<<则cos30x >，11x x >+>，则(ln 0x >当0α=，06x π<<时，(()ln cos30f x x x =⋅>，故选项B 有可能成立.当απ=，06x π<<时，(()ln cos30f x x x =-⋅<，故选项A 有可能成立.由选项C,D 可得其图像关于y 轴对称，则函数()f x 为偶函数. 则函数cos(3)y x α=+为奇函数，又[0,]απ∈，则2πα=当2πα=时，(()ln sin3f x x x =-⋅，此时()f x 为偶函数当03x π<<时，03x π<<则sin30x >，11x x >+>，则(ln 0x >则当03x π<<时，(()ln sin30f x x x =-⋅<，则选项C 有可能成立，显然选项D 不成立. 故选：D 9．C 【解析】 【分析】①利用基本不等式求解判断；①令sin 1=+-y n m ，得到()sin =-f m m m ()0,1m ∈，用导数法判断；①利用基本不等式结合对数运算求解判断；①由()()222222122111--+=+=+++-+--+n m n n n n m m n n n n n n n ，令()()22,0,11-=∈+-n f n n n n，用导数法求解判断. 【详解】①1224++≥=m n ,当且仅当122+=m n ，即1m n =+，即0,1n m ==等号成立，而0n >，故错误；①令sin 1=+-y n m ，因为0m >，0n >，且1m n +=，所以()sin =-f m m m ，()0,1m ∈，则()cos 10'=-≤f m m ，所以()f m 在()0,1上递减，则()()00<=f m f ，即sin 1n m +<，故正确；①因为0m >，0n >，且1m n +=，所以124+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭m n mn ，当且仅当12==m m 时，等号成立，则22221log log log log 24+=≤=-m n n m ，故正确；①因为()()222222122111--+=+=+++-+--+n m n n nn m m n n n n nn n ，令()()22,0,11-=∈+-n f n n n n ，则()()()()22223,0,11--'=∈+-n f n n n n ，令()0f n '=，解得()()20,1,20,1==n n当02<<n ()0f n '>，当21<<n 时，()0f n '<，所以当2n =222m n n m m n +++1，故正确． 故选：C 10．B 【解析】 【分析】对于A 选项：取1λ<-.即可判断数列{}n a 为单调递减数列.对于B 选项：令sin 2λ=-，记()sin 2sin 2g x x x =+-,根据()g x 的单调性结合其与()h x x =的交点，即可说明总能找到一个1a ，使得n a 的极限为1.即可判断出结论. 对于C 选项：先假设存在，利用2n n a a +=化简后即可说明矛盾. 对于D 选项：利用等式表示出212n n n a a a +++-,即可判断结论. 【详解】当1λ<-时：()1sin 20n n n a a a λ+-=+<恒成立.此时数列{}n a 为单调递减数列.A 错误. 令sin 2λ=-，记()sin 2sin 2g x x x =+-，()h x x =，则(1)1g =，(1)1h =.()12cos 2g x x '=+，令1()12cos 20cos 22g x x x '=+=⇒=-，取3x π=则()g x 在[0,1]上单调递增. 令()()12g x h x x π=⇒=-或1x =.如图所示：在区间1,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭内总能找到一个1a ，使得n a 的极限为1.B 正确.假设存在λ，μ，使得数列{}n a 的周期为2，即2n n a a +=. 则()()1211sin 2sin 2n n n n n n a a a a a a λλ++++=++⎧⎪⎨=++⎪⎩①② ①-①：()()2111sin 2sin 2n n n n n n a a a a a a ++++--=-+，又2n n a a +=. 化简得：()()112sin 2sin 22n n n n a a a a ++++=. 记()sin f x x x =+,()1cos 0f x x '=+≥恒成立. 故()sin f x x x =+在R 上单调递增. 要使()()112sin 2sin 22n n n n a a a a ++++=，则需122n n a a +=.与{}n a 为非常数数列矛盾.C 错误. 因为()1sin 2n n n a a a λ+=++ 所以()211sin 2n n n a a a λ+++=++则()()2121112sin )sin(2)(22n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++-=----=≤. 不存在λ，μ，使得2122n n n a a a +++->.D 错误. 【点睛】本题考查递推关系.属于难题.本类题型常常借助函数的单调性来说明问题. 11．120 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求解. 【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8， 所以扇形的面积为：1130812022S lr ==⨯⨯=， 故答案为：120 1212【解析】【分析】建立平面直角坐标系，使()()1,0,0,1a b ==，求出向量(),c x y =满足22143x y +=.设()()1,0,0,1OA a OB b ====，(),OC x y c ==，()1OD a b λλ=-+，11,122OE a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到A 、B 、C 、D 、E 的坐标，求出E 关于直线AB 的对称点F ，把|()|c a a b λ-+-+1(1)()2a a b λ+--转化为CD ED CD FD +=+，利用几何意义得到：当C 位于短轴上顶点时，1CF =最小. 【详解】由1==a b ，a b ⊥，不妨建立平面直角坐标系，使()()1,0,0,1a b ==.设(),c x y =4=，整理化简得：22143x y +=.不妨设()()1,0,0,1OA a OB b ====，(),OC x y c ==，则()()1,0,0,1A B ,(),C x y . 因为|()|c a a b λ-+-+1(1)()2a ab λ+--=()()11|1|(1)|1|(1)22c a b a b a b c a b a b a b λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤---++---=--+++--+⎣⎦⎣⎦. 记()()11OD a b OA OB λλλλ=-+=-+,所以A 、B 、D 三点共线.由()()1,0,0,1A B 可得：直线AB 为10x y +-=，所以点D 落在直线AB 上. 记11,122OE a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则1,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以()|1|c a b λλ⎡⎤--+⎣⎦表示CD 间的距离，1(1)2a b a b λλ⎡⎤+--+⎣⎦表示DE 间的距离，所以()1|1|(1)2c a b a b a b λλλλ---++---表示CD ED +.设(),F x y 为E 关于直线AB 的对称点，则11112112122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎪⎨⎪++⎪+=⎪⎩，解得：012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以ED FD =.所以CD ED CD FD CF +=+≥.如图示，当C 位于直线直线AB 右上方的椭圆上时，CD ED +能取得最小值. 由椭圆的几何性质，可知：当C位于短轴上顶点时，12CF =最小，所以最小值为12.12. 【点睛】距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 13．0a <≤【解析】 【分析】由题意()()()()23g x x a x a x a =---，设()()()()23h x x a x a x a =---，利用导数得出()h x 的单调性，作出其大致图像，从而得出()g x 的大致图像，得出()g x 的最大值，当[0,3]x a ∈时，得出12()()f x f x +的范围，即由max ()2g x ≤即可得出答案.【详解】12320()()222323a x x a f x f x x a x a a a x a x a a x a -≤<⎧⎪+=-+-=≤<⎨⎪-≤≤⎩当0x a ≤<时，323a a x a <-≤ 当2a x a ≤<时，12()()f x f x a +=当23a x a ≤≤时，233a x a a ≤-≤所以当[0,3]x a ∈时，[]12()(),3f x f x a a +∈()()()123()()()()23g x f x f x f x x a x a x a ==---，设()()()()23h x x a x a x a =---则()()()()()22232531211h x x a x a x a x a x ax a '=--+--=-+令()0h x '=，解得1,223x a ⎛⎫=± ⎪⎝⎭所以()h x 在,2a ⎛-∞- ⎝⎭单调递增，在2a a ⎛ ⎝⎭上单调递减，在2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增.且()()()230h a h a h a ===，当x →-∞时，();h x →-∞当x →+∞时，()h x →-∞ 故函数()h x 的图像如图.则()g x 的图像如图.又322339g a g a ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以当[],3x a a ∈时，()3g x ≤对任意[0,3]x a ∈，()12()()2g f x f x +≤32≤，解得0a <≤故答案为：0a <≤14． 2 [)3,∞-+ 【解析】 【分析】直接将9x =代入即可，先求出13f ⎛⎫⎪⎝⎭，然后再代入通过解解指数不等式即可得出答案.【详解】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+ 15．12##0.5 6【解析】 【分析】令1x =，即可求出m 的值.再分别求出5(1)x +与4(1)x -展开式中的3x 的系数，再求和即为3a 的值.【详解】令1x =，则54012345(12)(11)32m a a a a a a ++-=+++=++解得：12m =. 5(1)x +的第1r +项系数为515r r r T C x -+=.所以5(1)x +展开式中的3x 的系数为2510C =;4(1)x -的第1r +项系数为414(1)r rr r T C x -+⋅-=. 所以4(1)x -展开式中的3x 的系数为144C -=-;31046a =-=故答案为：12；6. 【点睛】本题考查二项式定理.属于基础题. 16．35##0.6 45##0.8【解析】 【分析】依题意ξ可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到ξ的分布列，即可求出ξ的数学期望； 【详解】解：依题意白球的个数为ξ，ξ可能取值为0，1，2． 所以323(0)5410P ξ⨯===⨯，3226(1)5410P ξ⨯⨯===⨯，211(2)5410P ξ⨯===⨯， 可得ξ的分布列所以()36140121010105E ξ=⨯+⨯+⨯= 故答案为：35；4517． 5 【解析】 【分析】由题意可求出ADC ∠的正弦和余弦，由和角公式求出sin A ，利用正弦定理可求出AD ；在BCD △中由余弦定理求出BC ，再由正弦定理可得答案.【详解】由3cos 5BDC ∠=，则4sin 5BDC ∠=则()3cos cos 5ADC BDC π∠=-∠=-，所以4in 5s ADC ∠=所以sin sin sin 4410A ADC ADC πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+∠=+∠=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 在ACD △中，sin sin AD CDACD A=∠所以sin 5sin CD AD ACD A =⨯∠== 在BCD △中，31,5,cos 5CD BD AD BDC ===∠=所以22232cos 125215205CB BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以BC =由sin sin CB BDBDC BCD =∠∠,即45sin sin BD BDC BCD CB ⨯⨯∠∠===故答案为：518．(1)22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)1919⎡-+⎣【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简()f x 的解析式，然后由正弦函数的单调性可得答案.（2）由题意co 2s 6f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入函数解析式化简，由正弦函数的性质可得答案.(1)由1cos ()si 2n 6f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 由22,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为：22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)由()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin cos 6226f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2222sin 3cos 36[()3]326y f x f x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎝⎭⎣⎦⎦⎢⎥22sin 6sin 9cos 6cos 96666x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6sin 6cos 1966x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1912x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由1sin 112x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则19191912x π⎛⎫-≤-+≤+ ⎪⎝⎭所以函数22[()3]32y f x f x π⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为1919⎡-+⎣ 19．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）过D 作//DE AB 交AC 于E ，连1A E ，则四点1A 、1B 、D 、E 共面，通过证明AC DE ⊥、1A D AC ⊥可证AC ⊥平面11A B D ；（2）以E 为原点，,ED EC 分别为,x y 轴，过E 且与1DA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式计算可得结果. (1)过D 作//DE AB 交AC 于E ，连1A E ，因为在三棱台111ABC A B C -中，11//A B AB ，所以11//DE A B ， 所以四点1A 、1B 、D 、E 共面，因为90BAC ∠=，所以AC AB ⊥，所以AC DE ⊥，因为点1A 在平面ABC 内的射影D 在BC 上，所以1A D ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1A D AC ⊥，因为1A D DE D ⋂=，所以AC ⊥平面11A B DE ，即AC ⊥平面11A B D . (2)由（1）可知，AC ⊥平面11A B D ，又1A E ⊂平面11A B D ，所以1A E AC ⊥，结合DE AC ⊥可知，1A ED ∠是二面角1A AC B --的平面角， 所以1A ED ∠60=，在直角三角形1A EA 中，14AA =，130A AC ∠=，所以11122A E AA ==，AE =在直角三角形1A DE 中，有1112DE A E ==，1A D ， 以E 为原点，,ED EC 分别为,x y 轴，过E 且与1DA 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,0)E，(0,A -，(4,B -，1(1A ，所以1(3,A B =-，1(1,A A =--，(0,EA =-， 设平面11ACC A 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n A A n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，得00y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则x =(3,0,1)n =-，所以直线1A B 与平面11ACC A 所成角的正弦值为1|cos ,|n A B <>11||||||n A Bn A B ⋅=⋅==. 20．(1)2n a n =；221nn b n =+；(2)6. 【解析】 【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出列{}n a 的通项公式；用累乘法求出数列{}n b 的通项公式；（2）先用裂项相消法求出()12112n n n T n ++=-+，判断单调性，解不等式求出n的最小值.(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：11264620a d ad +=⎧⎨+=⎩，解得：122a d =⎧⎨=⎩，所以()112n a a n d n =+-=，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；因为数列{}n b 满足11b =，()21221(1)1n n n bb n ++=++，*n ∈N ， 所以 当2n ≥时，()()()()222222221321111211112122221131nnn n bb n b b b b b b n n -⎛⎫+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯⨯⨯⨯， 又11b =满足，所以数列{}n b 的通项公式为221n n b n =+. (2)由（1）可得: ()2112n n n dS na n n -=+=+，所以()()()21121111111122122n n n n n n n n c S b n n n n ++++⎡⎤++===+-⎢⎥⋅⋅+⋅+⋅⎣⎦，所以()()1111111212221212n n n n n T n n ++++=-+-=-++. 所以111112n T ≥，即为()12112112n n n ++≤+⋅. 又因为()0()1f f n n -+<恒成立， 所以()()12,12n n f n n N n *++=∈+⋅单调递减,且()16112f =，所以解()12112112n n n ++≤+⋅得n ≥6, 故n 的最小值为6. 21．(1)证明见解析； (2)x -1=0或1322y x =+. 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线方程为24y x =.设直线AB 的方程为()21t y x -=-，则由()2214t y x y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩解得()()221,42B t t --.由()213t y x y x -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得:124,11t t t t P ---⎛⎫⎪--⎝⎭. 又B ,M ,C 共线,所以//MB MC 求得241C P t y y t -==-,即可证明. （2）分别求出12,S S ，由1254S S =，解得：0=t 或2t =，即可求出直线AB 的方程.(1)由条件可知：122p+=,得p =2.故m =2,即A (1,2).所以抛物线方程为24y x =. 设直线AB 的方程为()21t y x -=-，则由()2214t y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得：24840y ty t -+-=,有()21610,24B t y t ∆=->+=,所以()()221,42B t t --且1t ≠.由()213t y x y x -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得:124,11t t t t P ---⎛⎫⎪--⎝⎭. 又B ,M ,C 共线,所以//MB MC .又()22442,44,3,24C C y MB t t t MC y ⎛⎫⎪=---=-⎭-⎝,则()()()22044224434C C y t t y t -⎛⎫= ⎪⎝--⎭---,化简可得:()()()222144282080C C t y t t y t t ----+-+=,解得:241C t y t -=-或42C y t =- (舍去),所以241C P t y y t -==-,因此PC ①y 轴. (2)由题意可知AM ①y 轴,所以()2111244862422211B C t t t S AM y y t t t --+⎛⎫=⋅-=⨯⨯--=⎪--⎝⎭, ()()()()()22222324321112442221111B C tt t t t S PC y y t t t t t -+----⎛⎫=⋅-=⨯-⨯--=⎪--⎝⎭--,所以()()321242243541t t S S t -+==-，解得：0=t 或2t =，所以所求直线AB 的方程为x -1=0或1322y x =+. 22．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解；（2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x '=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点； (2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ， 则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>，所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a=，即2a =时，()0g x '≥恒成立， 所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点； 当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.。
(湖丽衢二模)2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷+答案解析
【新结构】（湖丽衢二模）2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则A 与B的关系是()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.双曲线的渐近线方程为，则()A. B. C. D.23.复数z满足为虚数单位，则的最小值是()A.3B.4C.5D.64.已知平面向量，满足，若，则与的夹角是()A. B. C. D.5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则()A.3B.9C.10D.136.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则()A. B. C. D.7.已知椭圆，，为左、右焦点，P为椭圆上一点，，直线经过点若点关于l的对称点在线段的延长线上，则C的离心率是()A. B. C. D.8.已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据，，，，，的平均数是，方差是，极差为R，则下列判断正确的是()A.若，，，，，的平均数是，则B.若，，，，，的极差是，则C.若方差，则D.若，则第75百分位数是10.已知直三棱柱中，且，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则()A.线段上存在点D，使得B.线段上存在点D，使得平面平面C.直三棱柱的体积为D.点到平面的距离为11.已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则()A. B.为奇函数 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，BC边上的高等于，则的面积是__________，__________.13.已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则__________.14.已知正四面体的棱长为1，若棱长为a的正方体能整体放入正四面体中，则实数a 的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
浙江省丽水市高三下学期数学四月质量调研检测试卷
浙江省丽水市高三下学期数学四月质量调研检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)1. （1 分） (2016 高一上·上海期中) 已知集合 A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则 A∩B=________．2. （1 分） (2019 高二下·盐城期末) 已知复数，实数，则实数 的值为________．（其中 为虚数单位），若为3. （1 分） (2019 高二下·宁夏月考) 给出一个算法：根据以上算法，可求得 f（-1）+f（2）=________． 4. （1 分） 某学员在一次射击测试中射靶 6 次，命中环数如下：9,5,8,4,6,10， 则： 平均命中环数为________；命中环数的方差为________． 5. （1 分） (2016·四川模拟) 当实数 a 在区间[1，m]（m＞1）随机取值时，函数 f（x）=﹣x2+ax+2 在区间 （1，+∞）上是单调减函数的概率为 ，则实数 m=________． 6. （1 分） (2016 高一上·吉林期中) 以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________ 7. （1 分） 在数列{an}中，a1=2，a3=8．若{an}为等差数列，则其前 n 项和为 Sn=________；若{an}为等比 数列，则其公比为________．8. （1 分） 已知 sinα=﹣ ， α 为第三象限角，则第 1 页 共 15 页等于________ ．9. （1 分） 已知双曲线， 若过右焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________10. （1 分） (2017 高一下·杭州期末) 已知定义域为正整数集的函数 f（x）=，f1（x）=f（x），fn（x）=f[fn﹣1（x）]．若 fn（21）=1，则 n=________；若 f4（x）=1，则 x 所有的值构成的集合为________．11. （1 分） (2018 高一下·四川期中) 在中，，且，则________．，是上一点，12. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 设正数 围是________.满足13. （1 分） (2018 高二下·磁县期末) 若直线 l：相交于 B，被圆截得的弦长为 4，则，则的取值范与 x 轴相交于点 A，与 y 轴 为坐标原点 的最小值为________．14. （1 分） (2020·辽宁模拟) 已知函数 ________.二、 解答题 (共 11 题；共 115 分)15. （10 分） 已知函数 f（x）=2cosx（sinx+cosx）．在上不单调，则实数 的取值范围为（Ⅰ）求 f（ ） 的值；（Ⅱ）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间．16. （10 分） (2018·广东模拟) 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，,平面底面，且是边长为 的等边三角形，，是中点．第 2 页 共 15 页（1） 求证：平面平面；（2） 证明：，且与的面积相等.17. （10 分） (2019 高一下·成都月考) 一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量 克 随着时间 小时 变化的函数关系式近似为，其中．（1） 若病人一次服用 9 克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2） 若病人第一次服用 6 克的药剂，6 个小时后再服用 3m 克的药剂，要使接下来的 2 小时中能够持续有效治 疗，试求 m 的最小值．18. （15 分） (2018 高三上·广东月考) 已知椭圆 椭圆 上．（1） 求椭圆 的方程；的离心率为 ，且点在（2） 过点任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 点的 ， 两点， 与直线交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ．试探究与的关系，并证明你的结论．19. （15 分） (2018·淮南模拟) 已知函数（ 为自然对数的底数）（Ⅰ）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求 的值；（Ⅱ）对总有≥0 成立，求实数 的取值范围．20. （15 分） (2020 高三上·浦东期末) 定义第 3 页 共 15 页（，）为有限实数列 的波动强度. （1） 求数列 1，4，2，3 的波动强度；（2） 若数列 ， ， ， 满足 是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；，判断（3） 设数列 ， ，， 是数列，，，，的一个排列，求的最大值，并说明理由.21. （5 分） (2016 高二上·襄阳期中) 已知直线 l 经过直线 3x+4y﹣2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P，且垂直 于直线 x﹣2y﹣1=0．（1） 求直线 l 的方程；（2） 求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程．22. （5 分） (2017 高二 下 ·张 家 口期 末) 已知 曲 线 C1 ， C2 的 极坐 标 方程 分 别为 ρ ＝ 2cosθ ，，射线 θ＝φ，，与曲线 C1 交于（不包括极点 O）三点 A，B，C．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当时，求点 B 到曲线 C2 上的点的距离的最小值．23. （ 10 分 ） (2018· 临 川 模 拟 ) 二 次 函 数 成立，设数列 满足的图象过原点，对 .（1） 求证：对，恒有成立；（2） 求函数的表达式；，恒有（3） 设数列 前 项和为 ，求的值.24. （10 分） (2015 高二下·淄博期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，PD⊥x 轴于点 D，记满足=（+）的动点 M 的轨迹为 Γ．第 4 页 共 15 页（Ⅰ）求轨迹 Γ 的方程； （Ⅱ）已知直线 l：y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A，B，点 G 是线段 AB 中点，射线 OG 交轨迹 Γ 于点 Q，且 =λ ，λ∈R． ①证明：λ2m2=4k2+1； ②求△AOB 的面积 S（λ）的解析式，并计算 S（λ）的最大值．25. （10 分） (2017 高二下·中山月考) 已知 而等于它后一项的系数的 ．（1） 求该展开式中二项式系数最大的项； （2） 求展开式中系数最大的项．的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的 2 倍，第 5 页 共 15 页一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)1-1、 2-1、 3-1、参考答案4-1、 5-1、 6-1、7-1、 8-1、 9-1、10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、二、 解答题 (共 11 题；共 115 分)第 6 页 共 15 页15-1、16-1、第 7 页 共 15 页16-2、 17-1、 17-2、第 8 页 共 15 页18-1、 18-2、第 9 页 共 15 页19-1、 20-1、20-2、20-3、第 10 页 共 15 页21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、24-1、25-1、25-2、。
2022年浙江省衢州、丽水、湖州三地市高考数学质检试卷(4月份)(二模)+答案解析(附后)
2022年浙江省衢州、丽水、湖州三地市高考数学质检试卷（4月份）（二模）1.已知集合，集合，则( )A. B.C. D. 或2.已知i是虚数单位，复数( )A. B. C. D.3.已知直线平面，点平面，那么过点P且平行于直线l的直线( )A. 有无数条，仅有一条在平面内B. 只有一条，且不在平面内C. 有无数条，均不在平面内D. 只有一条，且在平面内4.若实数x，y满足不等式组，则的最小值是( )A. B. 0 C. 1 D.5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是( )A. B. C. D.6.已知等比数列满足，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线在第一象限交点为P，直线与另一条渐近线交于点若点Q是线段中点，则双曲线C的离心率是( )A. B. 2 C. D. 38.已知函数则当时，的图象不可能是( )A. B.C. D.9.已知，，且，则下列结论正确的个数是( )①的最小值是4；②恒成立；③恒成立；④的最大值是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知为非常数数列且，，，下列命题正确的是( )A. 对任意的，，数列为单调递增数列B. 对任意的正数，存在，，，当时，C. 存在，，使得数列的周期为2D. 存在，，使得11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为__________平方步．12.设，函数，则______；若，则实数a的取值范围是______.13.设若，则实数______，______.14.袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次．设拿出的白球个数为，则______，______.15.在中，D为AB的中点，若，，，则______，______.16.已知平面向量，，满足，，，则的最小值是______.17.已知函数，函数若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是______.18.已知函数，求函数的单调递增区间；求函数的值域．19.如图，已知三棱台中，二面角的大小为，点在平面ABC内的射影D 在BC上，，，证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值．20.已知等差数列的前n项和为，满足，数列满足，，求数列，的通项公式；设数列满足，，记数列的前n项和为，若，求n的最小值．21.如图，抛物线上的点到其准线的距离为过点作直线l交抛物线于B，C两点，直线AB与直线交于点求证：直线轴；记，的面积分别为，若，求直线AB的方程．22.已知函数若，求函数的极小值点；当时，讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，集合，，故选：根据交集的定义，写出对应的运算结果即可．本题考查了交集的运算问题，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数，故选：3.【答案】D【解析】解：因为直线平面，点平面，即直线l，过P和直线l有且只有一个平面，设为，则平面与平面有一个公共点P，由平面的基本性质可得平面与平面必有一条公共直线，设为m，且，且m只有一条，在平面内．故选：由平面的基本性质和线面平行的性质定理，可得结论．本题考查线面平行的性质定理和两直线平行的条件，考查推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：侧视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有挡住的一条对角线，对角线是由左上角到右下角的虚线．故选：根据三视图的特点，知道侧视图从图形的左边向右边看，看到的图形．本题考查了空间图形的三视图应用问题，重点是侧视图的画法问题，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，通过作差即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、作差法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：，，，，，；反之，，则，或若，，则，，因此不成立．综上可得：“”是“”的充分不必要条件．故选：7.【答案】B【解析】解：如图，点Q是以为直径的圆的弦的中点，则，可得，因为直线OP，OQ是双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知，则直线OP的斜率，离心率，即双曲线的离心率是故选：根据给定条件，利用圆的性质及双曲线的对称性求出即可计算作答．本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：，，恒成立，的定义域为R，①当时，，，为R上的奇函数，又，而，选项B可能；②当时，，由①可知也为R上的奇函数，又，而，选项A也可能；③当时，，由①知为R上的偶函数，又，而，选项C也可能．故选：根据选项均是奇偶函数，所以取，和，，再通过特值排除选项，从而得到正确选项．考查函数奇偶性，及函数图像特殊点，属基础题．9.【答案】C【解析】解：因为，，且，①，当且仅当时成立，而，可得，，与m，n为正数矛盾，所以①不正确；②令，恒成立，因为，所以，所以，即恒成立，所以②正确；③，因为，所以，所以③正确；④，令，，则，令，可得，，当，，单调递增，，，单调递减，所以，，所以④正确；故选：由均值不等式的条件可得①不正确；用函数求导的方法可得②正确；由均值不等式及函数的单调性判断③正确；求导，由函数的单调性判断④正确．本题考查均值不等式的性质的应用及函数求导的方法，求函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：对于选项A，当时，恒成立，此时数列为单调递减数列，故A不正确；对于选项B，令，记，，则，，，令，即，取，则在上单调递增．令，则或如图所示，在区间内总能找到一个，使得的极限为1，故B正确；对于选项C，先假设存在，，使得数列的周期为2，即，则①，②，②-①得：，又，化简得：，记，则恒成立，所以在R上单调递增，要使，则需，与数列为非常数列矛盾，故C不正确；因为，所以，所以，所以不存在，，使得，故D不正确．故选：对于选项A，取，即可判断数列为单调递减数列；对于选项B，令，记，根据的单调性结合其与的交点，即可说明总能找到一个，使得的极限为1，即可判断出结论；对于选项C，先假设存在，利用化简后即可说明矛盾；对于选项D，利用等式表示出即可判断结论．本题考查数列的递推关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．11.【答案】120【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，属于基础题．利用扇形面积公式计算得出．【解答】解：因为圆的直径为16步，所以半径为8步，因为弧长为30步，所以扇形面积，故答案为：12.【答案】【解析】解：函数，，，，即，可得，故答案为：2，利用分段函数求法第一问，通过分类讨论求解指数与对数不等式解答第二问．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，指数以及对数不等式的解法，考查计算能力．13.【答案】 6【解析】解：令，则，解得，所以二项式为，则展开式中含的项为，所以，故答案为：；令，建立方程即可求出m的值，再求出二项式的展开式中含的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可得，白球个数为，则可能的取值为0，1，2，，，，故故答案为：；由题意可得，白球个数为，则可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图：，，，在中，由正弦定理得，，，为AB的中点，，，在中，由余弦定理得，，，，由正弦定理得，，即，，故答案为：5；分别在三角形和中用正弦定理即可解出．本题考查了解三角形，正弦定理，余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，，不妨建立平面直角坐标系，使，，设，则，整理得，设，，，则，，，如图，，记，，B，C三点共线，由，得直线AB为，点D落在直线AB上，设，则，表示CD间的距离，表示DE间的距离，表示，设为E关于直线AB的对称点，则，解得，，，，如图，当C位于直线AB右上方的椭圆上时，能取得最小值，由椭圆的几何性质得当C位于短轴上顶点时，最小，的最小值是故答案为：建立平面直线坐标系，使，，求出向量满足，设，，，，，得到A，B，C，D，E的坐标，求出E关于直线AB的对称点F，把转化为，利用几何意义得到当点C位于短轴上顶点时，最小．本题考查平面向量的运算，考查平面向量坐标运算、椭圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：，当时，，当时，，当时，，所以当时，，，设，则，令，解得，所以在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，，函数的图像如图：则的图像如图：又，所以当时，，对任意，恒成立，即，解得故答案为：由题意，设，利用导数得出的单调性，作出其大致图像，从而得出的大致图像，得出的最大值，当时，得出的范围，即由即可得出答案．本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．18.【答案】解：由于，由，，得，所以函数的单调递增区间为：，由，则，所以，由，则，所以的值域为【解析】由辅助角公式化简的解析式，然后由正弦函数的单调性可得答案．由题意，代入函数解析式化简，由正弦函数的性质可得答案．本题考查了辅助角公式以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．19.【答案】证明：过D作交AC于E，连，因为在三棱台中，，所以，所以四点、、D、E共面，因为，所以，所以，因为点在平面ABC内的射影D在BC上，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，因为，所以平面，即平面解：由可知，平面，又平面，所以，结合可知，是二面角的平面角，所以，在直角三角形中，，，所以，，在直角三角形中，有，，以E为原点，ED，EC分别为x，y轴，过E且与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，得，令，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为【解析】过D作交AC于E，连，则四点、、D、E共面，通过证明、可证平面；以E为原点，ED，EC分别为x，y轴，过E且与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式计算可得结果．本题主要考查线面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：设数列的公差为d，由，，得，解得，，所以，因为，所以…………，当时，满足上式，所以，综上所述，，由，可得，所以，所以……，若，则，即，令，所以恒成立，所以单调递减，而，所以，所以，故n的最小值为【解析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式即可得，利用累乘法，可得；结合中结论和裂项法，推出，再根据等比数列的前n项和公式与分组求和法，可得，然后利用数列的单调性，得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，累乘法，裂项求和法与分组求和法是解题的基础，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．21.【答案】证明：由题意可知，解得，抛物线方程为，，即，设直线AB的方程为，则由得：，，，，，即，且，由，解得，又，M，C共线，，又，，，化简可得，解得或舍去，，即直线轴．由题意可知轴，，，，解得或，所求直线AB的方程为或【解析】先求出抛物线方程为，设直线AB的方程为，则由，解得，由，解得，又B，M，C共线，所以，求出，即可证明．分别求出，，由，解得或，即可求出直线AB的方程．本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数有极小值，函数的极小值点为；，，令，，，①当时，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，当时，，，当时，即时，无解，即函数的图象与函数的图象有没有公共点，当时，即时，有1个解，即函数的图象与函数的图象有1个公共点，当，即时，有1个解，即函数的图象与函数的图象有2个公共点，当，即时，有1个解，即函数的图象与函数的图象有1个公共点，当时，即时，令，解得或，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，取的极大值，当时，取的极小值，且当时，，恒成立，有1个解，即函数的图象与函数的图象有1个公共点，综上所述：当时，函数的图象与函数的图象有没有公共点，当或或时，函数的图象与函数的图象有1个公共点，当时，函数的图象与函数的图象有2个公共点．【解析】根据导数和函数的极值的关系即可求出；问题转化为，与x轴的交点的个数，先求导，分类讨论，求出函数的极值，再比较和0的关系，即可求出．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．。
湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学试题参考答案
湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2014．cos2y x π=(本题为开放题，只要满足图象中点()0,1为其对称中心，y 轴为其对称轴，且周期为4的函数都可以)15．5916．⎦⎤⎢⎣⎡+-374,374四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*N n ∈，11222nnn n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数，，是偶数.（1）求2a ，3a 的值，并证明数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列；（2）设12-=n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ．解（1）1212a a ==，3322210a a =+=．------------------------------------------------------2分题号12345678答案CDACBBCD题号9101112答案ABDBCACABD由题意得2121212+1221212128882+2244332333n n n n n n n n a a a a a ++----⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又128+033a =≠，所以数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列．---------------------------------------5分（若用数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭前3项说明是公比为3的等比数列，但没有严格证明的只得3分）（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b ．---------------------------------------------------7分运用分组求和，可得()n T n n 321498--=．-----------------------------------------10分18．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =．（1）求证：111B C A D ⊥；（2）若2AB =且二面角11A BC B --的余弦值为35，求点1A 到侧面11BB C C 的距离．解；（1）取AB 的中点O ，11B C 的中点E ，连接,,,AO OD AE DE ．因为3CD DB =，在三棱柱111ABC A B C -可得111A E B C ⊥，四边形1A ODE 为梯形，且//OD AE ，12OD AE =．因为2OB BD =，且60OBD ∠=o ，所以OD BC ⊥．------------------------------2分因为11A A A B =，所以1A O AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC I 平面11AA B B AB=所以1AO ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥．----------------------------------------4分因为OD BC ⊥，1A O BC ⊥，1A O OD O =I ，所以BC ⊥平面1A ODE ，所以1BC A D ⊥．又11//B C BC ，所以111B C A D ⊥．--------------------------------------------------6分（2）由（1）知BC ⊥平面1A ODE ，所以BC DE ⊥，又1BC A D ⊥，所以1A DE ∠是二面角11A BC B --的平面角．------------------------------9分所以13cos 5A DE ∠=．作1A G DE ⊥，由（1）知1A G ⊥平面11BCC B ，设1A O h =，则1A A =，在1A DE ∆中，1A D =11BCC B 中，ED =，又1A E =在等腰三角形1A DE 中，解得h =所以15A G =．---------------------------------------------------------------------------12分19．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B --=，且A C ≠．（1）求证：2B C =；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4a =，求线段BD 长度的取值范围．解：（1）由题意得222sin sin sin sin sin sin A C A CC B--=,即21sin sin sin sin A C C B+=．由正弦定理得22b c ac =+，--------------------------------------------------------------2分又由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，---------------------------------------------4分所以2cos c a c B =-，故sin sin 2sin cos C A C B =-，故sin sin()2sin cos C B C C B =+-，整理得sin sin()C B C =-，又ABC ∆为锐角三角形，所以C B C =-，因此2B C =．------------------------------6分（2）在BCD ∆中，由正弦定理得4sin sin BDBDC C=∠，所以4sin sin BDBDC C=∠．-------------------------------------------------------------------8分所以4sin 4sin 4sin 2sin sin 2sin 2cos C C C BD BDC C C C=====∠，因为ABC ∆为锐角三角形，且2B C =，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64C ππ<<．-------------------------------------10分故cos 22C <<，所以3BD <<因此线段BD长度的取值范围．---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛．该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分．两个环节结束后，累计总分高者获胜．由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变．（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况．请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p （01p <<），且每道题的作答情况相互独立．（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p 的取值范围．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中a b c d n +++=．解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()()()()()()222206194 2.4 3.8411051015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯，又()2 3.8410.05P K ≥=；故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关．------------------------------------4分（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，丙在一道抢答题中的得分X 可能为1-，0，2．(1)0.60.20.12P X =-=⨯=，4(0)0.P X ==，(2)0.60.80.48P X ==⨯=故可列出X 的分布列如下：X1-02P0.120.40.48因此()10.1220.480.84E X =-⨯+⨯=．--------------------------------------------------------8分（ii ）在旧赛制下，丙的期望得分为330.84 2.523p p ⨯+⨯=+；在新赛制下，丙的期望得分为420.84 1.684p p ⨯+⨯=+．由题意得0.840.1p -≤，解得p 的取值范围为[0.74,0.94]．-------------------------------------------------------12分21．（本题满分12分）已知双曲线C ：2214x y -=，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为(4,0)．（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆2214x y +=交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.()20P K k ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.024旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020解：（1）由题意得，渐近线的斜率为12±．---------------------------------------1分可得直线PR 的方程为1(4)2y x =-，由221(4)244y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩解得53(,)24R -，同理53(,24S ．----------------------------------3分所以直线RS 的方程为52x =．--------------------------------------------------------4分（2）直线MN 过定点．--------------------------------------------------------5分设直线AD ，AE 的直线方程分别为12x t y =-和22x t y =-．由122244x t y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2211(4)40t y t y +-=，解得12144D t y t =+，则2121284D t x t -=+．同理22244E t y t =+，则2222284D t x t -=+．--------------------------------------------------------7分又P ，D ，E 三点共线，而21122112244(,)44t t PD t t --=++uuu r ，22222222244(,44t t PE t t --=++uuu r 故221221222212212244224404444t t t t t t t t ----⨯-⨯=++++，解得1212t t =．-------------------------9分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程y kx m =+，所以1212122212x x t t y y ++=⋅=．即121212(2)(2)1212()()x x y y kx m kx m ++==++（*）由2244y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得222(14)8440k x kmx m ----=，故212221221408144414k km x x k m x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=-⎪⎪--⎪⋅=-⎩代入（*）化简解得2220m mk k --=，即()(2)0m k m k +-=，故m k =-或2m k =．-------------------------------------------11分当2m k =时，2y kx m kx k =+=+，经过点(2,0)-，不合题意，当m k =-时，y kx m kx k =+=-，经过点(1,0)，满足题意．因此直线MN 过定点(1,0)．-----------------------------------------------------------12分22．（本题满分12分）已知函数()e sin x f x a x bx =-+（0a >）．（1）当0b =时，函数()f x 在(0,)2π上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0b <时，设0x 是函数()f x 的极值点，证明：()0ln(2bf x b ≥--．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）解：（1）由题意知()e sin x f x a x =-在(0,2π上有极小值，则()e cos 0x f x a x '=-=在(0,2π有解，．---------------------------------2分故e cos x a x =，设e ()cos x g x x =（(0,2x π∈），显然e ()cos xg x x=在(0,)2π单调递增，又(0)1g =，2lim ()x g x π→=+∞，所以1a >．--------------------------------4分当1a >时，()e cos x f x a x '=-在(0,)2π单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫ ⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知(0,2πα∃∈，且()0='αf ，此时当(0,)x α∈时，()0f x '<，当(,2x πα∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)α上单调递减，()f x 在(,)2πα上单调递增，故()f x 在(0,2π上有极小值点．因此实数a 的取值范围1a >．--------------------------------------------------------6分（2）由题意知()e cos xf x a x b '=-+，故000()e cos 0x f x a x b '=-+=．()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=-----------------------------8分00000002e (sin cos )2e sin()4x xa x x bxb x bx bπ=-+++=-+++002e x bx b ≥++-．---------------------------------------------------------------10分设()2e x h x bx b =++-（R x ∈），则()2e x h x b '=+，当(,ln(2bx ∈-∞-时，()0h x '<，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,2ln b x 时，()0h x '>，所以()h x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2ln ,b 上单调递减，()h x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2ln b 上单调递增，所以()(ln(ln(22b bh x h b ≥-=--．因此()0ln()2bf x b ≥--成立．---------------------------------------------------------12分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
3.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. B. 4 C. D. 8
4.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.若，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8.已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（）
A. b的最小值为4
B. b的最小值为6
C. b的最小值为8
D. b的最小值为10
9.如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）
A. 是定值.
B. 是定值.
C. 是定值.
D. 是定值.
10.对任意的实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）
A. B. C. D.
二、填空题（共3题；共3分）
11.若复数（i为虚数单位），则________.
12.在平面直角坐标系中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若，则双曲线离心率等于________.
13.已知函数，，，，则实数a的取值范围是________.
三、双空题（共4题；共4分）
14.在数列中，为它的前项和，已知，，且数列是等比数列，则
________ ，=________.
15.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．
16.已知直线若直线与直线平行，则m的值为________，动直线被圆
截得的弦长最短为________.
17.已知随机变量X的分布列如下表：
X 0 2 a
P b
其中.且，则b=________ ，=________.
四、解答题（共5题；共50分）
18.在中，内角A，B，C所对的边分别为已知.
（1）求的值；
（2）若的面积，，求的值.
19.如图，已知四棱锥，正三角形ABC与正三角形ABE所在平面互相垂直，平面，且，.
（1）求证：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
20.已知数列的前项和，且.
（1）写出的值，并求出数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和；求证：.
21.如图，设抛物线方程为(p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与y轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
22.已知，
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当时，记的两个极值点为，若不等式恒成立，求实数的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
三、双空题
14.【答案】；
15.【答案】；
16.【答案】；
17.【答案】；24
四、解答题
18.【答案】（1）解：由题意，所以
（2）解：由（1）可得：即，又，，所以，；
又，可得；
所以.
19.【答案】（1）证明：因为平面，，且平面平面，所以
（2）解：取中点O，连接EO，CO，由题意可得OC、OB、OE两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
各点的坐标分别为，，，，..
所以，，
所以，.
所以，所以.
所以，
因为平面的一个法向量是
设CF与平面ABE所成的角为，
则，
所以CF与平面ABE所成角的正弦值为.
20.【答案】（1）解：因为，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，
化简得，
因为，所以；
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
（2）证明：由（1）可得，；
所以，所以；
又；
所以；
综上可得
21.【答案】（1）解：设，，抛物线方程可变为，所以，所以，，
直线的方程为，直线方程为，
则解得，，
又，所以直线的方程为，
化简得，令，，
又，所以，
所以直线AB与轴的交点坐标为
（2）解：记，设点，
可得直线的方程为，
由可得，同理，
所以
，
所以，同理，
所以，
设，记，则，，，
，，
于是，
所以
，
所以
22.【答案】（1）解：当时，，所以，
令，得，
所以，，
0 0
单调递减极小值单调递增极大值单调递减
所以单调递减区间为，，
单调递增区间为
（2）解：因为，，
所以有两个不等实根，
由题意，为方程即的两相异根，
则，
所以，
所以可以转化为，
所以上式可化为，
则即，
①当时，由、、可得，所以，
所以恒成立，因为此时
所以；
②当时，，
显然恒成立，即；
③当时，由可得，，
所以恒成立，因为此时，所以；
综上可知：。