4.3_齐次线性方程组解的结构
线性代数 齐次线性方程组解的结构(2)
齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2)齐次线性方程组解的结构例1设A 为m ×n 矩阵, B 为n ×k 矩阵. 若AB =0,证明R (A )+R (B )≤n .证12,,,k AB A B B B 典型例题设B =(B 1,B 2,…,B k )由AB = 0,则12=,,,k AB AB AB 0齐次线性方程组解的结构从而B 的列向量B 1,B 2,…,B k 均为齐次线性方程组AX =O 的解向量.即12,,,k AB AB AB 000齐次线性方程组解的结构若R (A )=r <n ,1212,,,,,,k n r R B B B R ，即R B n r n R A ，所以 .R A R B n 则方程组AX=0有基础解系a 1, a 2, …, a n -r ,于是B 1, B 2,…, B k 都可由a 1, a 2,…,a n -r 线性表出,由定理3.3.2齐次线性方程组解的结构若R(A) = n,则AX = 0只有零解,=…= B k= 0,此时B1即B=0,从而R(B)=0,结论依然成立.齐次线性方程组解的结构例2设A 是m ×n 阶实矩阵,证明: R (A T A )=R (A ).证AX =0或A T A X=0其中X=(x 1, x 2,…, x n )T作齐次线性方程组显然,AX =0的解必定是A T AX =0的解.齐次线性方程组解的结构反之,00T A A X 从而000T T X A AX 若X 0是A T AX =0的解,则即0)()(00 AX AX T齐次线性方程组解的结构由于a 1,a 2,…,a m 都是实数，设AX 0=(a 1,a 2,…,a m )T ,022221 ma a a 021 m a a a 即00 AX 因此X 0也是AX =0的解.所以由上式齐次线性方程组解的结构于是AX =0与A T AX =0同解,由上面的两个例子可以看出,把矩阵的求秩问题转化成线性方程组来讨论是十分方便的. )()(A A R A R T 由于同解线性方程组的基础解系中含有相同个数的解向量,所以。
线性代数 齐次线性方程组解的结构(1)
齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
线性方程组解的结构
性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs
r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2
1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0
0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )
3-4齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
x 1 b1, r 1 k 1 b1, r 2 k 2 b1 n k n r x 2 b 2 , r 1 k 1 b 2 , r 2 k 2 b 2 n k n r x r b r , r 1 k 1 b r , r 2 k 2 b rn k n r 即有： x k1 r 1 x k2 r2 x knr n
解：对系数阵 A 作行初等变换：
1 3 A 0 5
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 2 3
1 1 3 0 0 6 1 0
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 2 2
1 6 6 6
信息系 刘康泽
解系。
证 明 ： 设 1 , 2 , , t 是 A x 0 的 一 个 基 础 解 系 ， 而
1 , 2 , t 是 A x 0 的 任 意 t 个 线 性 无 关 的 解 向 量 ， 因 此
只 需 证 明 A x 0 的 任 意 一 个 解 可 由 1 , 2 , t 线 性 表 示 即可。
封闭的。
信息系 刘康泽
二、齐次线性方程组解的结构
【定理】设 A 是 m n 矩阵， r ( A ) r n ，则方程组
Ax 0 必有 n r 个线性无关的解向量 1 , 2 , , n r ，
使得 Ax 0 的任意一个解都是 1 , 2 , , n r 的线性组 合，并且当 k 1 , k 2 , , k n r 遍取任何数时，
故 1 , 2 , 3 为 所 求 的 基 础 解 系 。
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性代数 齐次线性方程组解的结构
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 1. 解的性质 P118 定理4.3 章 (1) 若 1 , 2 为 A X 0 的解，则 1 2 也是 A X 0 的解。 线 (2) 若 为 A X 0 的解，则 k 也是 A X 0 的解。 性 方 证明 (1) 由 A1 0, A 2 0 有 程 组 A(1 2 ) A1 A 2 0 , 故 1 2 也是 A X 0 的解。 (2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 , 即 k 也是 A X 0 的解。 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 2
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 定义 设 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解， 线 性 P118 满足： 方 定义 4.3 (1) 1 , 2 , , t 线性无关； 程 组 (2) A X 0 的任何一个解都可以由 1 , 2 , , t 线性表出。 称 1 , 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基， 线 因此基础解系是不惟一的。 性 方 (2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的， 程 组 其个数即为解空间的维数。 (3) 如果 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的 一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
线性代数齐次线性方程组解的结构
线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数中，齐次线性方程组是由一系列未知数的线性方程组成，其中所有方程的右边都为零。
齐次线性方程组的解的结构是线性无关的向量的线性组合，它们构成了解空间。
首先，考虑一个例子：```2x+3y-z=04x-y+2z=03x+2y=0```我们可以将这个齐次线性方程组写成矩阵的形式：```23-14-12320xyz```将这个矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵如下：```0-7400-2xyz```由阶梯形矩阵可知，z是自由变量，而x和y是基础变量。
基础变量是由自由变量表示的。
因此，解的结构可以用自由变量和基础变量的关系表示。
设z=k，则有：```-7y+4z=0-2z=0```由此可得到z=0.5k，y=-0.5k。
最后，带入原方程组得到x=0.25k。
因此，解的结构可以表示为：```x=0.25ky=-0.5k```可以看出，解是一个形如k倍数的向量，其中k为任意实数。
这说明齐次线性方程组的解空间是一个无限维空间，其中解向量是在基础解向量上的线性组合。
总结起来，齐次线性方程组解的结构可以通过以下步骤得到：1.将方程组写成矩阵形式；2.将矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵；3.根据阶梯形矩阵的形式，确定基础变量和自由变量；4.根据自由变量和基础变量的关系，得到解的表达式。
需要注意的是，齐次线性方程组的解空间要么是一个零向量，要么是一个由基础解向量生成的无限维空间。
这就是齐次线性方程组解的结构。
齐次线性方程组解的结构
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
齐次线性方程组解的结构
,n-r 满足：
① 1 ,2 , ,n-r 线性无关.
§3.6 线性方程组解的结构
事实上，若 k11 k22 即
(, , , , k1 , k2 ,
kn-rn-r 0,
k11 k22 …… kn rnr
, kn r ) (0,0,
§3.6 线性方程组解的结构
4 基础解系的存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数
r R( A) . 等于 n r，其中n是未知量的个数，
§3.6 线性方程组解的结构
证： 若 R( A) r n ， 不妨设
a11 a12 ……a1r a21 a22 ……a2r 0, ……………… ar 1 ar2 ……arr
且 i 可由 1 ,2 , 所以 i也为（1）的解向量 ( i 1,2,
任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1，2， ，t 线性表出， 从而 可由 1 , 2 , , t 线性表出.
1 , 2 , , t 也是（1）的基础解系.
§3.6 线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构
1 1 1 7 5 4 14 10 8 3 2 0 7 7 5 4 1 7 7 0 0 0
原方程组的解为
2 3 x1 7 x3 7 x4 5 4 x 2 x 3 x4 7 7
2 5 ( x 1, x 0, 令 3 得 1 7 , 7 ,1,0) 4 3 4 ( 令 x3 0, x4 1, 得 1 7 , 7 ,1,0)
cr 11 …… cnn r 也为（1）的解，即 cr 11 cnnr (, , , , cr 1 , , cn )
齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
S k1X1 k2 X2 L kt Xt | k1, k2,L , kt P 5
正好就是AX=0的解集合, 称 k1X1+k2X2+...+ktXt 为AX=0的通解. 例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系
1 0 0 1 20
初等 行变换
0
1
0
1
0 0 1 0
5
B
2
Jordan阶梯形
7
现解AX=0的同解齐次线性方程组 BX=0. Jordan阶梯形B有3行不为零， 故rB=3，
首元所在的列为B的第1,2,3列, 故对x4, x5 的任意值代入BX=0都能解出x1, x2, x3. 把BX=0的含x4, x5的项移到等式右边得到
A*=0，也即 (3) 若rA=n－1,
则rA可* 知0.|A|=0，所以
AA*=|A|E=0, 根据前面的例题可知
rA rA* n， 所以 rA* 1.
但 rA* 0,
因为A中至少有一个n－1阶子式不为零.
所以 rA* 1.
28
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r
2
k1n
k2n
M M
M
X1
kr,r 1
1
,
X
2
kr,r2 0
,
...,
X
nr
krn 0
0 1
0
M 0
M 0
M 1
16
为AX=0的一组线性无关的解，要证
明它正好为AX=0的一个基础解系，
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
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1 ,2 ,,t 称为齐次线性方程组Ax 0的 基础解系,
如果
11 ,2 ,,t是Ax 0的一组解;
21 ,2 ,,t是线性无关的;
即
3 Ax 0的任一解都可由 1 ,2 ,,t 线性表出.
X k11 k22 ktt (＊)
例1(1)
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7x 7x 3x x 0 1 2 3 4 的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A作初等行变换，变为行标准形，有
求齐次线性方程组
1 1 1 1 A 2 5 3 2 7 7 3 1
1 3 解： A 2 1
3 1 10 初等行变换 0 0 7 4 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0
r A 3 n,
所以只有零解。
2 3 7 7 5 4 即得基础解系 , , 1 2 7 7 1 0 0 1
2 3 x1 7 7 对应有 及 , x2 5 4 7 7
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵， 它的每一列是 齐次线性方程组 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0 3 x x x 0 1 2 3 的解, 求的值和 B
解:
B 0, B的列向量是齐次方程组 的解， 则该方程组有非零解。 所以该方程组
并由此得到通解 2 3 7 7 x1 x2 C 5 C 4 ,(C , C R ). 1 2 x3 7 7 1 2 1 0 x4 0 1
课堂练习：
1、 设A为n阶方阵， r A n 1，又 1 , 2 是非齐次线性 方程组AX b的两个不同解，则 AX 0的通解是： A k1 , B k 2 ,
C k
1
D k 1 2 , 2 ,
3、 设n阶方阵A的各行元素之和均为零 ，且r A n 1， 则线性方程组AX 0的通解为
答案： 1、D ；2、D；3、 k[1,1,,1]
T
(k R)
1 , 2 , , nr 是 Ax 0 的基础解系，则
x k11 k2 2 kn r n r .
其中k1 , k2 ,, kn r 是任意常数.
3.若r A n, 则dim N A 0,即N A 0 , 仅有
零解. A x 0有非零解 r A n
二、齐次线性方程组解的性质
设 X 1 , X 2 是齐次线性方程组 AX 0的两个解, 定理 4.3: 则X 1和X 2的线性组合k1 X 1 k2 X 2也是AX 0的解
证 : 已知 AX1 0, AX 2 0.对X 1和X 2的任意线性组合
k1 X 1 k2 X 2 , 有
的系数矩阵 A的秩r A 3, 故
1 A 2 3 即 1
又当 1 时, r A 2, dim N A 3 2 1
2 1 1
2
5 5 0
1
所以方程组的基础解系 只有一个解向量 , 从而B的三个列向量线性相关 ,得 B 0
x1 3 x 1 (2) 2 x1 x1
2 x2 6 x2 5 x2 2 x2
2 6 5 2
3 x3 10 x3 7 x3 4 x3
2 1 0 0
0 0 0 0
3 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0
T
2、 要使1 1 0 2 , 2 0 1 1 是齐次线性
T
方程组AX 0的基础解系，则系数矩 阵A可取为 0 1 1 2 0 1 4 2 2 , A , B 0 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 1, C D 0 1 1 ,
A( k1 X 1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX 2 ＝ k1 0 k2 0 0
故k1 X 1 k2 X 2是AX 0的解.
注: 的所有解向量的集合，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。
AX 0
三、基础解系及其求法
第4.3节 齐次线性方程 组解的结构
主要内容
一、齐次线性方程组非零解的存在性
二、齐次线性方程组非零解的存在性
定理1. AX=0有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩r(A)<n 推论1. AX=0只有零解的充要条件是r(A)=n 推论2. 方程个数m小于未知量个数n时,AX=0必有非零解; 当m=n时,AX=0有非零解的充要条件是|A|=0. 推论3. 当m=n时,AX=0只有零解的充要条件是|A|≠0.
1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
便得
2 3 x1 7 x 3 7 x 4 , 5 4 x2 x 3 x4 . 7 7
x3 1 0 令 及 , x4 0 1
(*)式称为方程组的通解公式
注：基础解系是解空间中的一个极大线性无关组.
设 m n型齐次线性方程组 AX 0的系数矩 定理 4.4: 阵的秩为r A, 则AX 0的解空间N A的维数
dim N A n r A
注: １．解空间的基不是唯一的．任意 n r ( A)个线性无 关的解都是基础解系 2． 若 其通解为