必修1-第三章函数的应用经典例题讲解
新课程标准数学必修1第三章课后习题解答[唐金制]
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新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章函数的应用3．1函数与方程练习（P88）1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x 1=-0.5,用计算器可算得f (-0.5)=3.375.因为f (-1)·f (-0.5)<0,所以x 0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x 2=-0.75,用计算器可算得f (-0.75)≈1.58.因为f (-1)·f (-0.75)<0,所以x 0∈(-1,-0.75).同理,可得x 0∈(-1,-0.875)，x 0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x -1-lnx =0,令f (x )=0.8x -1-lnx ,f (0)没有意义，用计算器算得f (0.5)≈0.59,f (1)=-0.2.于是f (0.5)·f (1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x -1=lnx 在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x 1=0.75,用计算器可算得f (0.75)≈0.13.因为f (0.75)·f (1)<0,所以x 0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x 2=0.875,用计算器可算得f (0.875)≈-0.04.因为f (0.875)·f (0.75)<0,所以x 0∈(0.75,0.875).同理,可得x 0∈(0.812 5,0.875)，x 0∈(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.843 75.5.由题设有f (2)≈-0.31<0,f (3)≈0.43>0,于是f (2)·f (3)<0,所以函数f (x )在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f (x )=lnx x 2-在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f (2.5)≈0.12.因为f (2)·f (2.5)<0,所以x 0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x 2=2.25,用计算器可算得f (2.25)≈-0.08.因为f (2.25)·f (2.5)<0,所以x 0∈(2.25,2.5).同理,可得x 0∈(2.25,2.375)，x 0∈(2.312 5,2.375),x 0∈(2.343 75,2.375),x 0∈(2.343 75,2.359 375),x 0∈(2.343 75,2.351 562 5),x 0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.B 组1.将系数代入求根公式x 2a得x =223(3)42(1)22±--⨯⨯-⨯=4173+, 所以方程的两个解分别为x 1=4173+,x 2=4173-.下面用二分法求方程的近似解. 取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f (x )=2x 2-3x -1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f (1.775)=-0.023 75,f (1.8)=0.08.于是f (1.775)·f (1.8)<0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.2.原方程即x 3-6x 2-3x +5=0,令f (x )=x 3-6x 2-3x +5,函数图象如下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5).由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.图3-1-2-10(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.第三章复习参考题A组（P112）1.C2.C3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=200100,02,100200,2 5.t tt t-≤≤⎧⎨-<≤⎩图3-24.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形;(3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.图3-35.令f (x )=2x 3-4x 2-3x +1,函数图象如图3-3所示:函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x 3-4x 2-3x +1=0的最大的根应在区间(2,3)内.取区间(2,3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f (2.5)=-0.25.因为f (2.5)·f (3)<0,所以x 0∈(2.5,3). 再取(2.5,3)的中点x 2=2.75,用计算器可算得f (2.75)≈4.09.因为f (2.5)·f (2.75)<0,所以x 0∈(2.5,2.75).同理,可得x 0∈(2.5,2.625),x 0∈(2.5,2.5625),x 0∈(2.5,2.53125),x 0∈(2.515625,2.53125),x 0∈(2.515625,2.5234375).由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的最大根约为2.523 437 5.6.令lgx =x 1,即得方程lgx x 1-=0,再令g (x )=lgx x 1-,用二分法求得交点的横坐标约为2.5.图3-47.如图,作DE ⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.因为AD=x ,AB=4,于是AD 2=AE×AB,即AE=AB AD 2=42x .所以CD=AB-2AE=4-2×42x =422x-. 于是y =AB+BC+CD+AD=4+x +422x -+x =22x -+2x +8.由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x >0,42x >0,422x ->0,解得0<x <22.所以所求的函数为y =22x -+2x +8,0<x <22.8.(1)由已知可得N=N 0(λe 1)t .因为λ是正常数,e >1,所以e λ>1,即0<λe 1<1. 又N 0是正常数,所以N=N 0(λe 1)t 是在于t 的减函数. (2)N=N 0e -λt ,因为e -λt =0N N,所以-λt =ln 0N N ,即t =λ1-ln 0N N .(3)当N=20N 时,t =λ1-002N N =λ1-ln 2.9.因为f (1)=-3+12+8=17>0,f (2)=-3×8+12×2+8=8>0,f (3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始. B 组1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.2.函数的解析式为y =f (t)=22,01,22)12,22.t t t t t <≤⎪⎪⎪--+<≤⎨>⎪⎩ 函数的图象为图3-5备课资料［备选例题］【例】对于函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b -2(a ≠0)，若存在实数x 0，使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.（1）当a =2,b =-2时，求f (x )的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围. 解：(1)f (x )=ax 2+(b +1)x +b -2(a ≠0),当a =2,b =-2时,f (x )=2x 2-x -4,设x 为其不动点,即2x 2-x -4=x ，则2x 2-2x -4=0,解得x 1=-1,x 2=2,即f (x )的不动点为-1,2．(2)由f (x )=x ,得ax 2+bx +b -2=0.关于x 的方程有相异实根,则b 2-4a (b -2)>0,即b 2-4ab +8a >0. 又对所有的b ∈R,b 2-4ab +8a >0恒成立,故有(4a )2-4·8a <0,得0<a <2.。
新教材人教A版高一数学必修一知识点总结与经典例题 第三章函数的概念与性质
新教材人教A版高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质【考纲要求】序号考点课标要求1函数的概念在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域了解在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
了解通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
理解2函数的性质借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值，理解它们的作用和实际意义理解结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义了解3幂函数通过具体实例，结合，，,，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
了解4函数的应用（一）理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
掌握3.1 函数的概念及其表示知识点总结3.1.1 函数的概念一、函数的概念1.一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任何一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值。
函数值的集合叫做函数的值域。
（1）判断一个对应关系是不是函数：①两个集合均为非空数集；②对集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。
注意：可以一对一，多对一，不可一对多。
（2）判断一个图形是不是函数的图象作垂直于轴的直线，在定义域内左右平移直线，根据直线与图形是不是仅有一个公共点来判断，若是，则为函数图象，反之不是。
2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。
3.相等函数：如果两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，则这两个函数相等。
二、区间的概念及函数定义域的求法1.区间的表示方法2.函数的定义域求法（1）具体函数的定义域①如果是整式，则定义域为；②如果是分式，则定义域是使分母不为的实数集合；③如果是偶次根式，其定义域是使根式内的式子不小于的实数集合；④如果是由以上几部分数学式子组成，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（2）抽象函数和复合函数的定义域①已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围为，求的取值范围。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题单选题1、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B2、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5) 答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ） A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞) C ．(−3,3)D ．(−3,+∞) 答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞). 故选：B.4、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可.由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0， 所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0， 对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3 ，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞). 故选：A5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图像如图所示，直线x =m 2，x =m (0<m <1)与y =x a ，y =x b 的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |=|CD |，则m a +m b =（ ）A．1B．1C．√2D．22答案：B分析：表示出|AB|,|CD|，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得(m2)a>(m2)b，m a>m b，再由|AB|=|CD|，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，|AB|=(m2)a−(m2)b，|CD|=m a−m b，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a> (m2)b，m a>m b，因为|AB|=|CD|，所以m2a−m2b=(m a+m b)(m a−m b)=m a−m b，因为m a−m b>0，可得m a+m b=1.故选：B,则f(x)（）7、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 8、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)={1,x>0−1,x<0，g(x)={1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，f(t)=|t−1|与g(x)=|x−1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(−∞,4)C．f(1)=3D．若f(x)=3，则x的值是√3E．f(x)<1的解集为(−1,1)答案：BD解析：根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(−∞,4)，故B正确；当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；当x≤−1时，x+2=3，解得x=1（舍去），当−1<x<2时，x2=3，解得x=√3或x=−√3（舍去），故D正确；当x≤−1时，x+2<1，解得x<−1，当−1<x<2时，x2<1，解得−1<x<1，因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)；故E错误.故选：BD.小提示：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.11、已知幂函数f(x)图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若x ≥9，则f (x )≥3D ．若x 2>x 1>0，则f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x 12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x ≥9时，可得√x ≥3可判断C ，利用(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x α将点(4,2)代入函数f(x)=x α得：2=4α，则α=12.所以f(x)=x 12，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A 正确.f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B 不正确. 当x ≥9时，√x ≥3，即f(x)≥3，所以C 正确. 当若0<x 1<x 2时， (f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)24<0.即f (x 1)+f (x 2)2<f (x 1+x 22)成立，所以D 不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2，化简得到−(√x 1−√x 2)24，从而判断出选项D 的正误，属于中档题.填空题12、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=2⋅3x ，则函数f(x)=_____． 答案：3x +3−x分析：由已知可得f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，结合两函数的奇偶性可得f (x )−g (x )=2⋅3−x ，利用方程组的思想即可求出f (x ).解：因为f(x)+g(x)=2⋅3x ，所以f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，又f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (−x )=f (x ),g (−x )=−g (x )； 所以f(−x)+g(−x)=f (x )−g (x )=2⋅3−x，则{f (x )+g (x )=2⋅3x f (x )−g (x )=2⋅3−x，两式相加得，2f (x )=2⋅3x +2⋅3−x ，所以f (x )=3x +3−x . 故答案为:3x +3−x . 小提示：关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到f (x )−g (x )=2⋅3−x ，从而可求出函数的解析式. 13、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.“对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2， 综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞) 解答题15、已知二次函数f (x )=ax 2−2x (a >0) （1）若f (x )在[0,2]的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2．求a的取值范围．答案：（1）2；（2）[8,+∞).分析：由解析式可知f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数；（1）分别在1a ≥2和0<1a<2两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，分别在1a ≤t、1a≥t+1、t<1a≤t+12和t+12<1a<t+1，根据f(x)单调性可得f(x)max−f(x)min，将f(x)max−f(x)min看做关于t的函数，利用恒成立的思想可求得结果.由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数，（1）当1a ≥2，即0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=0，不合题意；当0<1a <2，即a>12时，f(x)在[0,1a]上单调递减，在[1a,2]上单调递增，∴f(x)max=max{f(0),f(2)}，又f(0)=0，f(2)=4a−4，f(x)在[0,2]的最大值为4，∴f(x)max=f(2)=4a−4=4，解得：a=2；综上所述：a=2.（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2，则f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，①当1a≤t时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(t)=2at+a−2≥2，当t≥1a时，y=2at+a−2单调递增，∴(2at+a−2)min=2a⋅1a+a−2=a，∴a≥2；②当1a ≥t+1，即t≤1a−1时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+1)=−2at−a+2≥2，当t≤1a−1时，y=−2at−a+2单调递减，∴(−2at−a+2)min=−2a(1a−1)−a+2=a，∴a≥2；③当t<1a ≤t+12，即1a−12≤t<1a时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(1a )=a(t+1)2−2(t+1)+1a≥2，当1a −12≤t<1a时，又a>0，12<1a+12≤t+1<1a+1，令m=t+1，则y=am2−2m+1a 在[1a+12,1a+1)上单调递增，∴a(1a +12)2−2(1a+12)+1a≥2，解得：a≥8；④当t+12<1a<t+1，即1a−1<t<1a−12时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(1a )=at2−2t+1a≥2，当1a −1<t<1a−12时，y=at2−2t+1a在(1a−1,1a−12)上单调递减，∴a(1a −12)2−2(1a−12)+1a≥2，解得：a≥8；综上所述：a的取值范围为[8,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。
人教版数学高一-必修1教师用书 第三章 函数的应用
_3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．函数零点的判断[提出问题]函数f (x )＝x 2－4x ＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3.问题2：判断f (0)·f (2)与f (2)·f (4)的符号． 提示：∵f (0)＝3，f (2)＝－1，f (4)＝3， ∴f (0)·f (2)<0，f (2)·f (4)<0. [导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．求函数的零点[例1] (1)(1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4；(3)f (x )＝2x －3；(4)f (x )＝1－log 3x .[解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是x ＝－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23. 所以函数f (x )＝2x －3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝x －1x 2－4x ＋3x －3；(3)f (x )＝4x ＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．解：(1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2，所以函数的零点为x ＝－2. (2)令x －1x 2－4x ＋3x －3＝0，解得x ＝1，所以函数的零点为x ＝1.(3)令4x ＋5＝0，则4x ＝－5<0，即方程4x ＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点． (4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，所以函数的零点为x ＝0. 3.1 函数与方程 第三章 函数的应用判断函数零点所在的区间[例2] (1)x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10)[解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x 的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 构造函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝⎝⎛⎭⎫120－0>0，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213－⎝⎛⎭⎫1313>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212－⎝⎛⎭⎫1213<0，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫1223－⎝⎛⎭⎫2313<0，所以f ⎝⎛⎭⎫13·f ⎝⎛⎭⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝⎛⎭⎫13，12，即方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝⎛⎭⎫13，12.判断函数零点的个数[例3] (1)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.[答案] C(2)[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点，又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x 的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点． [类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行判断； 法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]判断函数f (x )＝x －3＋ln x 的零点个数． 解：法一：令f (x )＝x －3＋ln x ＝0， 则ln x ＝3－x ，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象， 如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x 只有一个零点． 法二：因为f (3)＝ln 3>0， f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e<0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点．又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．10.因函数图象不连续造成判断失误[典例] 函数f (x )＝x ＋1x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点，故选A.[答案] A [易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f (－1)<0，f (1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f (a )·f (b )<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0有2个零点．[随堂即时演练]1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：选A 观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点． 2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________． 解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2、3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ， 即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12、－13，即为函数g (x )的零点．答案：－12，－134．方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析：令f (x )＝ln x ＋2x －8，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (3)＝ln 3－2<0，f (4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k ＝3. 答案：35．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表x12345 6 7f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0解析：选B函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：选B在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析：令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案：27．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0，f1>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0. 答案：(－1,0)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？ 解：因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f 1＝5－2a >0，a >1，解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>52.(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝4>0，f1＝5－2a<0，f6＝40－12a<0，f8＝68－16a>0，解得103<a<174.3．1.2用二分法求方程的近似解二分法[提出问题]在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？提示：应猜400与800的中间值600.问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？提示：能．[导入新知]1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．[化解疑难]利用二分法求方程近似解的过程图示二分法的概念[例1] (1)A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x －1 C ．y ＝log 3xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－x(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )[解析] (1)A × 解方程x ＋7＝0，得x ＝－7B × 解方程5x －1＝0，得x ＝0C × 解方程log 3x ＝1，得x ＝1 D√无法通过方程⎝⎛⎭⎫12x －x ＝0得到零点(2)根据二分法的思想，函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )·f (b )<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A ，B ，D 都符合条件，而选项C 不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．[答案] (1)D (2)C [类题通法]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[活学活用]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3解析：选D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.用二分法求函数的零点[例2]求函数f(x[解]由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(－3，－2)－2.5 1.25(－2.5，－2)－2.250.062 5(－2.25，－2)－2.125－0.484 4(－2.25，－2.125)－2.1875－0.214 8(－2.25，－2.187 5)－2.218 75－0.077 1由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.[类题通法]利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[活学活用]证明函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又函数f (x )在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1,2]．下面用二分法求解.(a ，b ) (a ，b ) 的中点 f (a ) f (b ) f (a ＋b 2) (1,2) 1.5 f (1)<0 f (2)>0 f (1.5)>0 (1,1.5) 1.25 f (1)<0 f (1.5)>0 f (1.25)>0 (1,1.25) 1.125 f (1)<0 f (1.25)>0 f (1.125)<0 (1.125,1.25) 1.187 5f (1.125)<0f (1.25)>0f (1.187 5)<0因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.用二分法求方程的近似解[例3] [解] 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x ＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75) 0.6875f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． [类题通法]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f (x )＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[活学活用]求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．解：分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)；因为2.625－2.562 5＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.11.对精确度的理解不正确导致错误[典例]用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[解析]因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．[答案]0.75(答案不唯一)[易错防范]1．由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.75－0.625|>0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误．2．利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(a n，b n)的长度应小于精确度．[活学活用]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060解析：由表中数据可知：f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.而|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.1.∴零点x0∈(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)．答案：1.556 2或(1.562 5)[随堂即时演练]1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：选C因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：选A∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．A.3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f (2.25)＝－0.437 5<0， ∴2.25<x 0<2.5； 如此继续下去，有f (2.375)<0，f (2.5)>0⇒x 0∈(2.375,2.5)； f (2.375)<0，f (2.437 5)>0⇒x 0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x 2＝2x ＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课时达标检测]一、选择题1．下列关于函数f (x )，x ∈[a ，b ]的命题中，正确的是( ) A ．若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则x 0是f (x )的一个零点 B ．若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0的近似值C ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B 不正确；f (x )＝0的根也一定是函数f (x )的零点，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．2．用二分法求图象是连续不断的函数f (x )在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：选B 因为f (1.5)>0，f (1.25)<0，所以f (1.5)·f (1.25)<0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)． 3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：选A ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0.25)．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375D ．1.437 5解析：选D 由参考数据知，f (1.406 25)≈－0.054，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.406 25)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.5．已知曲线y ＝(110)x 与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A ．(0，12)B.12 C ．(12，1)D ．(1,2)解析：选A 设f (x )＝(110)x －x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12－12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然有f (0)·f (12)<0.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由3－12n <0.1，得2n －1>10，∴n －1≥4，即n ≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：48．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确到0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝0.073>0.∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.3.2函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型指数函数、对数函数、幂函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：x 12345678910 f(x)＝2x2481632641282565121024 2x＋1－2x2481632641282565121024 g(x)＝x2149162536496481100 (x＋1)2－x23579111315171921h(x)＝log2x 011.58522.32192.5852.80743 3.16993.3219log2(x＋1)－log2x 10.5850.4150.32190.26310.22240.19260.16990.15200.1375问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长的最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有log a x<x n<a x(a>1，n>0)．[化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异[例1]1234x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于[解析]从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案]y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n (n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A ．v ＝log 2t B ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较[例x 11(x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 011)，g (2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2. 从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴f (2 011)>g (2 011)． 又g (2 011)>g (6)，∴f (2 011)>g (2 011)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).函数模型的选取[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012 产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例]下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝1100ex B．y＝100ln x C．y＝x100D．y＝100·2x [解析]指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴1100ex比100·2x增大速度快．[答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100ex增大速度快的错误结论．2．函数y＝a·b x＋c(b>0，且b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关。
新教材人教B版必修一第三章3.3函数的应用(一)
第三阶梯
300 以上
5.83
记户年用水量为 x m3 时应缴纳的水费为 f (x) 元. （1）写出 f (x) 的解析式； （2）假设居住在上海的张明一家 2015 年共用水 260 m3，则张明一家 2015 年应缴纳水费多少
元？
二、例题讲解、学以致用
【交流与讨论 1：】 ① 何为阶梯水价？能否举例说明？
例 2：（课本 123 页例 5）已知某产品的总成本 C 与年产量 Q 之间的关系为 C aQ2 3000 ，且当年产量是 100 时，总成本是 6000.设改产品年产量为Q 时的平 均成本为 f (Q) . （1）求 f (Q) 的解析式； （2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值.
【交流与讨论3】：什么是平均成本？
答：当年产量为 100 时，平均成本最小，最小值为 60.
三、课堂练习、深化理解
1. （课本P124页练习A组第1题） 2. （课本P124页练习A组第2题） 3. （课本P124页练习B组第1题）
四、课堂小结、回顾反思
运用函数解决实际问题，关键在“审题”，这 是建立函数模型的重要一步，通过审题，理清问题 中的数量关系和因果关系，同时在审题的时候注意 准确理解有关概念，如利润，成本，平均成本等.
二、例题讲解、学以致用
（2）
分析：由 f (Q) C 3Q 3000 ,Q 0 可知：3Q 和 3000 均为正数且乘积为定值.可以运用
Q 10 Q
10 Q
均值不等式求最小值.
f (Q) C 3Q 3000 2 3Q 3000 60
Q 10 Q
10 Q
当且仅当 3Q 3000 ，即 Q 100 时，取等号. 10 Q
所以：
第三章 函数(考点串讲)高一数学上学期期中考点(人教B版2019必修第一册)
则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数
集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，
x∈A}称为函数的值域．
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x 2 .
判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是
否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系
来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对
应相同即可．
考点3.同一函数
解析：
序号
是否相同
(1)
不同
(2)
不同
原因
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义
为f(x0)(记作f x min ＝f(x0))，而x0 称为f(x)的最小值点．最大值和最小
值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
考点8.直线的斜率,函数的平均变化率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当
y2 − y1
x 2 − x1
x1＝x2
x1≠x2 时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；
(3)关键是根据x的取值去绝对值．(3)y＝|1－x|.
考点8.函数图像
解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐
标为整数的点，如图(a)所示．
形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(
必修一数学《函数的应用》经典习题(含答案解析)
必修一数学(第三章函数的应用)单元检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=03.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内4.(2020·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点5.(2020·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.(2020·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=07.(2020·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅11.(2020·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727) 20.(12分)(2020·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2020·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?参考答案与解析1【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.3【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.4【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选 C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7【解析】选 B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.8【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.11【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.13【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5)14【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k 的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).答案:[0,1)∪(2,+∞)15【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.答案:216【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:217【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].19【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解. 用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.157(2,2.5)2.25-0.993(2.25,2.5)2.375-0.438(2.375,2.5)2.437 5-0.145 5由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.22【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多。
高中数学必修一课件：第三章 函数的应用(共18张PPT)
元，. 元， 元， 元，
设成本为y元，则y可看作是x的函数， x y=a(1-p ％ ) 解析式为 ；
函数的定义域为 {x|x∈N*且x≤m}
平均增长率的问题
• 在实际问题中，常常遇到有关平均增 长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增 长率为p，则对于时间x的总产值y，可以 用下面的公式表示 .
变式1 若小强心目中的大学按正常收费的话，学费包 括生活费每年需要15000元，问小强的爸爸每次 要存入多少钱才可以在小强高考结束时攒够小 强大学四年的费用？ x(1+5%)6+x(1+5%)5+···+x(1+5%)=60000
变式2 2008年高考结束后,小强发挥出色,同时凭着自 己过硬的综合素质,过关斩将,赢得了全省唯一 一个去英国舰乔大学就读大学的名额,不过,四 年的学费和生活费初步预算要50万元,小强决 定向银行贷款40万元,大学毕业回国工作一年 后开始还款(假设其毕业后马上就找到了称心 的工作),计划在工作6年后还清贷款,假设银行 的年利率为3%,问小强每次应向银行还多少钱? 才可以达到工作6年后还清贷款的目标?
40(1+3%)10=x(1+3%)5+x(1+3%)4+···+x(1+5%)+x
课堂练习
1.某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价多少？ 2.某服装个体户在进一批服装时，进价时按标价打了 七五折，他打算标一新价出售，并按新标价降价 20% 销售．这样，他可获利 25% ．求这个体户给这批服装 定的新标价与原标价之间的函数关系．
y=N(1+p)x
其中P的值可以为正，也可以为负
例3 小强的爸爸从2002年，小强六年级开始，每年6月
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质函数的应用一讲义
最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.知识点几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋b k≠0反比例函数模型y＝错误!＋b k≠0二次函数模型一般式：y＝ax２＋bx＋c顶点式：y＝a错误!２＋错误!a≠0幂函数模型y＝ax n＋b a≠0，n≠１错误!建立函数模型解决实际问题的基本思路[教材解难]建立函数模型应把握的三个关口（１）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．（２）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．（３）数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．[基础自测]１．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y＝５x＋４000，而手套出厂价格为每副１0元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）Ａ．２00副Ｂ．４00副Ｃ．600副Ｄ．800副解析：利润z＝１0x—y＝１0x—（５x＋４000）≥0．解得x≥800．答案：D２．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选Ｃ．答案：C３．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L１＝５．06x—0．１５x２和L２＝２x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售１５辆车，则能获得的最大利润为（）Ａ．４５．606万元Ｂ．４５．6万元Ｃ．４５．５6万元Ｄ．４５．５１万元解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售（１５—x）辆，总利润S＝L１＋L２，则总利润S＝５．06x—0．１５x２＋２（１５—x）＝—0．１５x２＋３．06x＋３0＝—0．１５（x—１0．２）２＋0．１５×１0．２２＋３0（0≤x≤１５且x∈N），所以当x＝１0时，S max＝４５．6（万元）．答案：B４．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝错误!其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y＝60，若４x＝60，则x＝１５>１0，不合题意；若２x＋１0＝60，则x＝２５，满足题意；若１．５x＝60，则x＝４0<１00，不合题意．故拟录用人数为２５人．答案：２５题型一一次、二次函数模型[经典例题]例１某商人将进货单价为8元的某种商品按１0元一个销售时，每天可卖出１00个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨１元，销售量就减少１0个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】设每个提价x元（x≥0，x∈N），利润为y元．每天销售总额为（１0＋x）（１00—１0x）元，进货总额＝8（１00—１0x）元，显然１00—１0x>0，即x<１0，则y＝（１0＋x）（１00—１0x）—8（１00—１0x）＝（２＋x）（１00—１0x）＝—１0（x—４）２＋３60（0≤x<１0，x∈N）．当x＝４时，y取得最大值，此时销售单价应为１４元，最大利润为３60元．答：当售价定为１４元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为３60元.可根据实际问题建立二次函数模型解析式．方法归纳１．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：（１）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．（２）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．２．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．跟踪训练１某列火车从北京西站开往石家庄，全程２77 km.火车出发１0 min开出１３km，之后以１２0 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京２h时火车行驶的路程．解析：因为火车匀速行驶的总时间为（２77—１３）÷１２0＝错误!（h），所以0≤t≤错误!.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为１２0t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝１３＋１２0t错误!.离开北京２h时火车匀速行驶的时间为２—错误!＝错误!（h），此时火车行驶的路程s＝１３＋１２0×错误!＝２３３（km）．求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．题型二分段函数[教材P9４例２]例２一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，（１）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（２）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为２00４km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．【解析】（１）阴影部分的面积为５0×１＋80×１＋90×１＋7５×１＋6５×１＝３60．阴影部分的面积表示汽车在这５h内行驶的路程为３60 km.（２）根据题图，有s＝错误!这个函数的图象如下图所示．当时间t在[0,５]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,１），[１,２），[２,３），[３,４），[４,５]内行驶的平均速率分别为５0 km/h，80 km/h,90 km/h，7５km/h，6５km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．教材反思（１）分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．（２）若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．跟踪训练２为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入—管理费用）．（１）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域．（２）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？解析：（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５>0，解得x>２．３．因为x∈N*，所以x≥３，所以３≤x≤6，x∈N*.当x>6时，y＝[５0—３（x—6）]x—１１５．令[５0—３（x—6）]x—１１５>0，得３x２—68x＋１１５<0．解得２≤x≤２0，又x∈N*，所以6<x≤２0，x∈N*，故y＝错误!定义域为{x|３≤x≤２0，x∈N*}．（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈N*），显然当x＝6时，y max＝１8５，对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!２＋错误!（6<x≤２0，x∈N*）．当x＝１１时，y max＝２70，因为２70>１8５，所以当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使日净收入最多．（１）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．（２）利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．一、选择题１．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示，则杯子的形状是（）解析：从题图中看出，在时间段[0，t１]，[t１，t２]内水面高度是匀速上升的，在[0，t]上升慢，在[t１，t２]上升快，故选Ａ．１答案：A２．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为２000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．8元，普通车存车费是每辆一次0．５元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）Ａ．y＝0．３x＋800（0≤x≤２000，x∈N*）Ｂ．y＝0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）Ｃ．y＝—0．３x＋800（0≤x≤２000，x∈N*）Ｄ．y＝—0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）解析：由题意知，变速车存车数为（２000—x）辆次，则总收入y＝0．５x＋（２000—x）×0．8＝0．５x＋１600—0．8 x＝—0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）．答案：D３．某类产品按工艺共分１0个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加２元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产３件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是（）Ａ．7 Ｂ．8Ｃ．9 Ｄ．１0解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋２（k—１）][60—３（k—１）]＝—6k２＋１08k＋３78（１≤k≤１0），配方可得y＝—6（k—9）２＋86４，∴当k＝9时，获得利润最大．答案：C４．已知A，B两地相距１５0千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B 地，在B地停留１小时后再以５0千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数解析式是（）Ａ．x＝60tＢ．x＝60t＋５0tＣ．x＝错误!Ｄ．x＝错误!解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选Ｄ．答案：D二、填空题５．某电脑公司的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为４00万元，占全年经营总收入的４0%.该公司预计经营总收入要达到１690万元，且计划从到，每年经营总收入的年增长率相同，预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x，则有错误!×（１＋x）２＝１690，１＋x＝错误!，因此预计经营总收入为错误!×错误!＝１３00（万元）．答案：１３006．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）．一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值．答案：１87．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）＝错误!（A，c为常数）．已知工人组装第４件产品用时３0分钟，组装第A件产品用时１５分钟，那么c和A的值分别是____________．解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为错误!＝１５，故组装第４件产品所需时间为错误!＝３0，解得c＝60，将c＝60代入错误!＝１５得A＝１6．答案：60 １6三、解答题8．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：（１）求y与x的函数解析式；（２）要使该游乐场每天的盈利额超过１000元，每天至少卖出多少张门票？解析：（１）由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,２00]时，过点（0，—１000）和（２00,１000），解得k＝１0，b＝—１000，从而y＝１0x—１000；x∈（２00,３00]时，过点（２00,５00）和（３00,２000），解得k＝１５，b＝—２５00，从而y＝１５x—２５00，所以y＝错误!（２）每天的盈利额超过１000元，则x∈（２00,３00]，由１５x—２５00>１000得，x>错误!，故每天至少需要卖出２３４张门票．9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为２0 000元，每生产一台仪器需增加投入１00元，已知总收益满足函数：R（x）＝错误!其中x是仪器的月产量．（１）将利润表示为月产量的函数f（x）；（２）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）解析：（１）设月产量为x台，则总成本为２0 000＋１00x，从而f（x）＝错误!（２）当0≤x≤４00时，f（x）＝—错误!（x—３00）２＋２５000．∴当x＝３00时，f（x）的最大值为２５000；当x>４00时，f（x）＝60 000—１00x是减函数，f（x）<60 000—１00×４00＝２0 000<２５000．∴当x＝３00时，f（x）的最大值为２５000，即每月生产３00台仪器时，利润最大，最大利润为２５000元．[尖子生题库]１0．某租赁公司拥有汽车１00辆，当每辆车的月租金为３000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加５0元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费１５0元，未租出的车辆每月需要维护费５0元．（１）当每辆车的月租金定为３600元时，能租出多少辆车？（２）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：（１）租金增加了600元，所以未租出的车有１２辆，一共租出了88辆．（２）设每辆车的月租金为x元（x≥３000），租赁公司的月收益为y元，则y＝x错误!—错误!×５0—错误!×１５0＝—错误!＋１6２x—２１000＝—错误!（x—４0５0）２＋３07 0５0，当x＝４0５0时，y max＝３07 0５0．所以每辆车的月租金定为４0５0元时，租赁公司的月收益最大为３07 0５0元．。
人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx
3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质解题技巧总结(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质解题技巧总结单选题1、函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，且a为实数，则有（）A．f(a)<f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2+1)<f(a)D．f(a2−a)<f(a)答案：C分析：利用a=0可排除ABD；根据函数单调性和a2+1>a恒成立可知C正确.当a=0时，ABD中不等式左右两侧均为f(0)，不等式不成立，ABD错误；∵a2+1−a>0对于a∈R恒成立，即a2+1>a恒成立，又f(x)为R上的减函数，∴f(a2+1)<f(a)，C正确.故选：C.2、已知函数f(x)的定义域为(3,5)，则函数f(2x+1)的定义域为（）A．(1,2)B．(7,11)C．(4,16)D．(3,5)答案：A分析：根据3<2x+1<5求解即可∵f(x)的定义域为(3,5)，∴3<x<5，由3<2x+1<5，得1<x<2，则函数f(2x+1)的定义域为(1,2)故选：A.3、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（）A．−3B．−2C．0D．1答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f(x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的f(1),f(2),⋯,f(6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(−y)=2f(y)，即f(y)=f(−y)，所以函数f(x)为偶函数，令y=1得，f(x+1)+f(x−1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． [方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cos x cos y ，可设f (x )=a cos ωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,a cos ω=1，解得cosω=12，取ω=π3， 所以f (x )=2cos π3x ，则f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3x cos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0， 由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.4、下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f (x )=x ，g (x )=√x 33B ．f (x )=1，g (x )=x 0C ．f (x )=x +1，g (x )=x 2−1x−1D ．f (x )=√x 2，g (x )=(√x)2答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A ，两个函数的定义域都是R ，3=x，对应关系完全一致，g(x)=√x3所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，函数g(x)=x2−1的定义域为{x|x≠1}，x−1故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数f(x)=√x2的定义域为R，函数g(x)=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.5、已知f(x+1)=x−5，则f(f(0))=（）A．−9B．−10C．−11D．−12答案：D分析：根据f(x+1)=x−5，利用整体思想求出f(x)的解析式，求得f(0)，从而即求出f(f(0))．解：因为f(x+1)=x−5=(x+1)−6，所以f(x)=x−6，f(0)=−6，所以f(f(0))=f(−6)=−12.故选：D．6、已知三次函数f(x)=2x3+3ax2+bx+c(a,b,c∈R)，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)= 2022，则f(2023)=（）A．2023B．2027C．2031D．2035答案：D分析：根据题意，构造函数g(x)=f(x)−x，根据g(2020)=g(2021)=g(2022)=0可以知道g(x)=2(x−2020)(x−2021)(x−2022)，进而代值得到答案.设g(x)=f(x)−x，则g(2020)=g(2021)=g(2022)=0，所以g(x)=2(x−2020)(x−2021)(x−2022)，所以g(2023)=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035.故选：D.7、函数f(x)=√−x2+5x+6x+1的定义域（）A．(−∞,−1]∪[6,+∞)B．(−∞,−1)∪[6,+∞)C．(−1,6]D．[2,3]答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x+6≥0x+1≠0得出定义域.{−x 2+5x+6≥0x+1≠0，解得−1<x⩽6即函数f(x)的定义域(−1,6]故选：C8、若函数f(x)=x2−mx+10在(−2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2,+∞)B．[−4,+∞)C．(−∞,2]D．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.函数f(x)=x2−mx+10的对称轴为x=m2，由于f(x)在(−2,1)上是减函数，所以m2≥1⇒m≥2.故选:A多选题9、函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是（）A．函数f(x)在R上是单调递减函数B．f(−2)<f(1)<f(2)C．f(x+1)<f(−x+2)的解为x<1D．f(0)=02答案：BC分析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，可得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以可判断出f(x)在R 上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f(−2)<f(1)<f(2)，所以B对，，所以C对因为f(x)在R上为增函数，f(x+1)<f(−x+2)⇔x+1<−x+2⇒x<12函数R上为增函数时，不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D 错．故选：BC10、已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图像关于直线x=1对称，则下列说法中正确的有（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数B．y=g[f(x)]为奇函数C．y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数答案：ACD分析：本题可根据f(x)为奇函数得出f(−x)=−f(x)，然后根据g(x)关于直线x=1对称得出g(1−x)=g(1+x)，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果.因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，因为g(x)的图像关于直线x=1对称，所以g(1−x)=g(1+x)，A项：g[f(−x)+1]=g[−f(x)+1]=g[f(x)+1]，则函数y=g[f(x)+1]为偶函数，A正确；B项：g[f(−x)]=g[−f(x)]≠−g[f(x)]，不是奇函数，B错误；C项：因为g(1−x)=g(1+x)，所以f[g(1−x)]=f[g(1+x)]，则y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称，C正确；D项：因为g(1−x)=g(1+x)，所以f[g(−x+1)]=f[g(x+1)]，则函数y=f[g(x+1)]为偶函数，D正确，故选：ACD.小提示：关键点点睛：本题考查函数奇偶性和对称性的判断，若函数f(x)为奇函数，则满足f(−x)=−f(x)，若函数f(x)为偶函数，则满足f(−x)=f(x)，若函数f(x)关于直线x=k对称，则f(1−k)=f(1+k)，考查推理能力，是中档题.11、（多选）若函数f(x)在(0,+∞)上满足：对任意的x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，恒有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，则称函数f(x)为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（）A．f(x)=−1B．f(x)=x3+3x2−2xC．f(x)=√x D．f(x)=x2+x答案：ABD分析：先通过分析，得到若y=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，则函数f(x)为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.不妨设x1>x2>0，则由题意可得x2f(x1)>x1f(x2)，即f(x1)x1>f(x2)x2，由单调性定义可知，函数y=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，即若y=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，则称函数f(x)为“理想函数”．A选项中y=f(x)x =−1x，该函数在(0,+∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中y=f(x)x=x2+3x−2，该函数在(0,+∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中y=f(x)x =√xx=√x，该函数在(0,+∞)上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中y=f(x)x=x+1．该函数在(0,+∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．填空题12、对于定义域为D的函数f(x)，若存在x0∈D，使f(x0)=x0，则称点(x0,x0)为f(x)图象上的一个不动点．由此，函数f(x)=4x的图象上不动点的坐标为_________．答案：(−2,−2)、(2,2)分析：由不动点的定义，结合函数解析式求出不动点坐标. 由题设，函数定义域为{x|x ≠0}， 令f(x)=4x =x ，则x =±2，所以函数不动点坐标为(−2,−2)、(2,2). 所以答案是：(−2,−2)、(2,2)13、已知函数f （x ）＝{x +1,x <1x 2−2ax,x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案：(−∞,−12]分析：要使f （x ）在R 上单调递增，必须满足：f （x ）在(－∞，1)上单调递增，f （x ）在(1，＋∞)上单调递增；又x =1时，(x 2－2ax )≥(x ＋1)．要使f （x ）在R 上单调递增，必须满足三条： 第一条：f （x ）在(－∞，1)上单调递增； 第二条：f （x ）在(1，＋∞)上单调递增； 第三条：x =1时，(x 2－2ax )≥(x ＋1)．故有{−−2a2=a ≤1,1−2a ≥2,解得a ≤−12．故实数a 的取值范围为(−∞,−12]． 所以答案是：(−∞,−12]. 14、设函数f （x ）=(x+1)2+ax 132x 2+2，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝__．答案：1分析：令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2，易判断g （x ）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，即可求出M +m 的值. 解：f （x ）=(x+1)2+ax 132x 2+2=x 2+2x+1+ax 132x 2+2=12+2x+ax 132x 2+2，令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2，则g （﹣x ）=−2x−ax 132x 2+2=−g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以g （x ）的最大最小值分别为M −12，m −12， 由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，所以M +m ＝1． 所以答案是：1． 解答题15、函数f(x)对任意的实数m ，n ，有f(m +n)=f(m)+f(n)，当x >0时，有f(x)>0． （1）求证：f(0)=0．（2）求证：f(x)在(−∞,+∞)上为增函数． （3）若f(1)=1，解不等式f(4x −2x )<2．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{x|x <1} 分析：（1）令m =n =0，代入等式，可求得f(0)=0；（2）令n =−m ，代入等式，结合f(0)=0，可得到f(−m)=−f(m)，从而可知y =f(x)是奇函数，然后用定义法可证明f(x)在(−∞,+∞)上为增函数；（3）原不等式可化为f(4x −2x )<f(2)，结合函数f(x)的单调性，可得出4x −2x <2，解不等式即可. （1）证明：令m =n =0，则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，∴f(0)=0. （2）证明：令n =−m ，则f(m −m)=f(m)+f(−m)， ∴f(0)=f(m)+f(−m)=0，∴f(−m)=−f(m)，∴对任意的m ，都有f(−m)=−f(m)，即y =f(x)是奇函数． 在(−∞,+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2−x 1>0，∴f(x 2−x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数y =f(x)在(−∞,+∞)上为增函数.（3）原不等式可化为f(4x −2x )<1+1=f(1)+f(1)=f(2)，由（2）知f(x)在(−∞,+∞)上为增函数，可得4x −2x <2，即(2x −2)(2x +1)<0， ∵2x +1>0，∴2x −2<0，解得x <1，故原不等式的解集为{x|x<1}.小提示：本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.。
第3章-3.1.2-表示函数的方法-3.1.3-简单的分段函数高中数学必修第一册湘教版
≠ −1 ，得 =
≠ −1 ．故选C．
1−
1+
= ,则 =( C
1−
1+
C.
1−
，即
1+
≠ −1
=
1−
，
1+
)
2
+1
D.
≠ −1
例7 (2024·广东省佛山市月考)
（1）已知函数 满足 + 2
1
1
【解析】在已知等式中，将换成 ，得
第3章 函数的概念与性质
3.1 函数
3.1.2 表示函数的方法&3.1.3 简单的分段函数
教材帮丨必备知识解读
知识点1 函数的表示法
例1-1 ［情境题］某大学生应聘到一家企业工作，合同期限为一年，经协商该企业
给这名大学生支付工资的方式是：第一个月3 000 元，以后每个月比上一个月多100
元.若该大学生工作后的第个月的工资为元，则是的函数，分别用解析法、列表
2
2
1,1 ≤ < 2.
图3.1.2-7
【学会了吗丨变式题】
3.根据图3.1.2-8所示的函数 的图象，写出函数的解析式.
图3.1.2-8
【答案】当 ≤ 时，设 = + , ≠ , ≤ .
+ = ,
= −,
将 , , , 代入，得ቊ
法和图象法表示该函数.
【解析】依题意知，以后每个月比上一个月多100元，则可得第个月的工资比第一
个月多100 − 1 元，
又第一个月工资是3 000元，故用解析法表示该函数为
= 3 000 + 100 − 1 = 100 + 2 900， ∈ N+ ，且 < 13.（必须注明函数的定义
必修1第三章函数的应用经典例题讲解
第三章 函数的应用1：函数的零点【典例精析】例题1 求下列函数的零点。
（1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2x －2）（2x －3x ＋2）。
思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。
答案：（1）①当x ≥0时，y=x 2+2x －3，x 2+2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2－2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2+2|x|－3的零点是－1，1。
（2）由（2x －2）（2x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。
∴函数y ＝（x 2－2）（x 2－3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。
点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。
例题2方程|x 2－2x|=a 2+1 （a ∈R +）的解的个数是______________。
思路导航：根据a 为正数，得到a 2+1＞1，然后作出y=|x 2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2+1的图象与y=|x 2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。
∵a ∈R +∴a 2+1＞1。
而y=|x 2－2x|的图象如图，∴y=|x 2－2x|的图象与y=a 2+1的图象总有两个交点。
∴方程有两解。
答案：2个点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。
做题时注意利用数形结合的思想方法。
例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2－ax 的零点是（）A. 0，2B. 0，12C. 0，－12D. 2，－12思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。
令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－12，故选C 。
高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.4 函数的应用
问题1：方程x2－2x－3＝0和x2－2x＋1＝0的根分别是什么？提示：方程x2－2x－3＝0的根分别是－1,3；方程x2－2x＋1＝0的根是1.问题2：作出函数y＝x2－2x－3＝0和y＝x2－2x＋1的图象，指出它们与x轴的交点的坐标：提示：如图所示：函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点是(－1,0)和(3,0)；函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点是(1,0)．问题3：观察函数图象，它们的图象与x轴的交点与相应方程的根有什么关系？提示：函数图象与x轴交点的横坐标分别是相应方程的根．1．函数的零点：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．函数y＝f(x)的零点，图象与x轴交点以及方程f(x)＝0的根之间的关系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点，在[2,4]上也有零点．问题1：计算f(－2)与f(1)，f(2)与f(4)的积，并判断符号．提示：f(－2)f(1)＝－20<0，f(2)f(4)＝－15<0.问题2：在零点附近两侧，对于x的取值，对应函数值的乘积都小于零吗？提示：不一定．如函数y＝x2－2x＋1的零点是1，两侧对应函数值的乘积大于零．问题3：如果图象是连续不断的，函数y＝f(x)在[a，b]上，有f(a)f(b)<0，那么在[a，b]上一定有零点吗？有多少个？提示：有，个数不确定．函数的零点存在性定理：一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.1．函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零．2．函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．[例1]求下列函数的零点：(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数零点与方程根的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根． [精解详析] (1)法一：令f (x )＝0，即x 2－x －6＝0. ∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，∴方程x 2－x －6＝0有两个不相等的实数根x 1＝－2，x 2＝3. ∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点是x 1＝－2，x 2＝3. 法二：由f (x )＝x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)＝0， 得x 1＝－2，x 2＝3.∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点为x 1＝－2，x 2＝3. (2)∵x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)， ∴令f (x )＝0得x (x －1)(x ＋1)＝0. ∴f (x )的零点为x 1＝0，x 2＝1，x 3＝－1. (3)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝(12x －1)(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2. 当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝2.∴f (x )的零点为1a，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2.[一点通] 根据函数零点的定义，求函数f (x )的零点就是求使f (x )＝0的x 的值，即方程f (x )＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f (x )＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标即为函数的零点．1．函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为________．解析：由f (x )＝x 3－3x ＋2＝0得x 3－x －(2x －2)＝0，即(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x ＝1或x ＝－2.★答案★：1或－2 2．求下列函数的零点：(1)f (x )＝4x －3；(2)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (3)f (x )＝x 4－1；(4)f (x )＝log 2x .解：(1)由于f (x )＝4x －3＝0，得x ＝34，所以函数f (x )＝4x －3的零点是34.(2)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，因此方程f (x )＝0的根为－3,1，故函数f (x )＝－x 2－2x ＋3的零点为－3,1.(3)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，故函数f (x )＝x 4－1的零点是－1,1.(4)由于log 21＝0，故函数f (x )＝log 2x 的零点为1.3．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点． 解：∵2和3是f (x )的零点，∴2、3是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个根．由根与系数的关系可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x ＋1＝(3x －1)(2x －1)， 令g (x )＝0，得x 1＝13，x 2＝12.∴g (x )的零点为13和12.[例2] 判断下列函数在给定区间上是否存在零点： (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝x 3－x －1，x ∈[－1,2]； (3)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．[思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．[精解详析] (1)∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点． (2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，∴f (－1)·f (2)<0，∴f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0， f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0.∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．[一点通] 由函数给定的区间[a ，b ]分别求出f (a )和f (b )，判断f (a )f (b )<0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f (a )f (b )>0，并不说明函数在[a ，b ]上没有零点．4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 f (x )1510－76－4－5则函数f (x )解析：根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点． ★答案★：35．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上单调递增． 由已知条件f (0)f (1)<0，得a (a ＋2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0. ★答案★：(－2,0)6．求下列函数零点的个数： (1)y ＝x 3＋x －1；(2)y ＝2x －log 13x .解：(1)∵f (x )＝x 3＋x －1在R 上是单调增函数， 又∵f (0)＝－1<0，f (1)＝1＋1－1＝1>0， ∴f (0)·f (1)<0.∴f (x )在R 上有且只有一个零点．(2)如图，在同一坐标系中作出f (x )＝2x 和g (x )＝log 13x 的图象．由图可知，f (x )＝2x 与g (x )＝log 13x 有且只有一个交点，即方程2x －log 13x ＝0有且只有一个根，也即y ＝2x －log 13x 有且只有一个零点.[例3] 已知二次函数f (x )＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内，试求k 的取值范围．[思路点拨] 本题其实质是方程7x 2－(k ＋13)x －k ＋2＝0的两根分别在(0,1)与(1,2)内，可利用数形结合思想求解．[精解详析] 由题意可知，方程7x 2－(k ＋13)x －k ＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y ＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2的图象与x 轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2>0，7－(k ＋13)－k ＋2<0，28－2k －26－k ＋2>0.解之得－2<k <43.故k 的取值范围是(－2，43)．[一点通] 解決此类问题可设出方程对应的函数，根据题意画出图象的草图，然后根据草图列出限制条件组成不等式组求解．限制条件可从以下几个方面去考虑：①判别式；②对称轴；③所给区间端点的函数值；④开口方向．7．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，若该方程有两根，一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2>0，f (0)＝2m ＋1<0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.★答案★：(－56，－12)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋34， x ≥2，log 2x ， 0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只零y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈(34，1)．★答案★：(34，1)1．判断函数零点个数的主要方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )<0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 2．判断函数y ＝f (x )零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不间断的曲线．(2)由f (a )·f (b )＜0就可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点． 但应用时应注意以下问题：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y ＝x 2的零点在x ＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．②利用上述结论只能判别函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上零点的存在性，但不能确定其零点的个数．一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________． 解析：由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m . ∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx (x ＋12)，由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.★答案★：0和－122．函数f (x )＝x －2－x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝x －2－x ＝0得x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系中作出函数y ＝x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，两函数图象有1个交点，即函数f (x )＝x －2－x 的零点个数为1.★答案★：13．已知方程a x ＝x ＋a (a >0且a ≠1)有两解，则a 的取值范围为________．解析：如图．当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个交点，当a >1时y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象必存在两个交点，故a >1.★答案★：(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：在同一坐标系中画出y ＝2x 和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .★答案★：b >c >a5．已知函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围为__________．解析：∵函数f (x )的图象开口向上，又两个零点分别在1的两侧，∴f (1)＝1＋(a －1)＋(a －2)<0，即2a －2<0.∴a <1. ★答案★：(－∞，1)6．(天津高考改编)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________． 解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点即2x |log 0.5x |－1＝0的解，即|log 0.5x |＝(12)x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5x |和函数h (x )＝(12)x 的图象， 由图象可知，两函数共有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有2个零点． ★答案★：2 二、解答题7．求下列函数的零点： (1)f (x )＝2x ＋7； (2)f (x )＝2x 2－5x ＋1； (3)f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)．解：(1)令f (x )＝2x ＋7＝0，解得x ＝－72.∴函数的零点为x ＝－72.(2)令f (x )＝2x 2－5x ＋1＝0，解得 x 1＝5－174，x 2＝5＋174.∴函数的零点为x 1＝5－174，x 2＝5＋174.(3)令f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2，x 3＝1.∴函数的零点为x 1＝－3，x 2＝2，x 3＝1.8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋3)x ＋4.若y ＝f (x )的两个零点为α，β，且满足0<α<2<β<4，求实数a 的取值范围．解：∵函数y ＝f (x )的两个零点是α，β，且α<β， 则当a ＝0时，显然不可能有两个不同零点．则应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0f (0)＝4>0f (2)＝2a －2<0f (4)＝12a －8>0①或⎩⎪⎨⎪⎧a <0f (0)<0f (2)＝2a －2>0f (4)＝12a －8<0②解①得23<a <1，②无解．综上可知，a 的取值范围为{a |23<a <1}．9．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)试讨论当m 取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；(2)若这个二次函数有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2的倒数和为23，求二次函数的解析式．解：(1)记二次函数对应的方程为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0， 则Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3) ＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根， 即不论m 取何值，这个二次函数必有两个零点．(2)依题意，x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1x 2＝m 2－2m －3. 又1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23，∴2(m－1)m2－2m－3＝23，①解之得m＝0或m＝5.经检验m＝0或m＝5都是方程①的解．故所求二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12.已知函数f(x)＝x2－6.问题1：计算f(2)，f(3)，并判断(2，3)内是否有零点？提示：f(2)＝－2，f(3)＝3，∴f(2)f(3)<0，所以f(x)在(2，3)内一定有零点．问题2：计算f(2.5)，判断零点所在的更小的区间是什么？提示：f(2.5)＝0.25>0.∴零点在(2，2.5)内．问题3：能否再使零点所在的区间更小一些？提示：能．f(2.25)＝0.0625>0，∴可取区间(2，2.25)．问题4：这种依次取中点的做法，会达到什么目的？提示：会逐步找到零点的近似值．1．二分法的定义若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断两个端点达到题目要求的精确程度后是否相同；若相同，二分法结束，否则重复(2)～(4)．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确程度，用与此区间的两个端点的近似值相等的值近似地表示函数的零点．[例1]如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，不能用二分法求交点横坐标的是________．[思路点拨]利用二分法的定义进行判断．[精解详析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的近似零点，故结合各图象可得②③④满足条件，而①不满足，在①中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．[★答案★]①[一点通]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．1．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________(把序号填在横线上)①f(x)在区间[a，b]是连续不间断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.解析：根据函数零点存在性定理以及二分法的要求，二分法适合的是变号零点，故应填①②.★答案★：①②2．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝3x＋3x－8，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间________内．解析：由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)．★答案★：(1.25,1.5)[例2]求方程2x＋4x＝4的根所在的一个区间．[思路点拨]判断根所在的区间，可以分别画出函数y＝2x，y＝4－4x的图象，根据交点位置，构造函数F(x)＝2x＋4x－4，由零点存在性定理进行判断．[精解详析]令f(x)＝2x，g(x)＝4－4x，在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知方程2x＋4x＝4只有一个解．原方程即为2x＋4x－4＝0，令F(x)＝2x＋4x－4.∴F(0)＝20＋4×0－4＝－3<0，F(1)＝2＋4－4＝2>0，∴F(0)·F(1)<0，∴函数的零点在区间(0,1)内．[一点通]本题构思巧妙，运用了构造函数及数形结合的思想．往往判断方程的根所在的区间，需要多次尝试判断，对于方程f(x)＝g(x)，首先作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两图象交点的位置，而方程的根正是交点的横坐标；再构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用零点存在定理判断即可．3．判断方程ln x＋2x－6＝0的解所在的区间．解：方程可化为ln x＝－2x＋6.分别作出y＝ln x，y＝－2x＋6的图象．如图．构造函数F(x)＝ln x＋2x－6，由图象可知，交点的横坐标大致在(2,3)内，∵F(2)＝ln 2－2＜0，F(3)＝ln 3＞0，∴函数的零点即方程的根在区间(2,3)内．4．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．[例3]证明方程6－3x＝2x在(1,2)内有惟一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)．[思路点拨]构造函数f(x)＝6－3x－2x，利用零点存在性定理证明，根据二分法步骤求解．[精解详析]设f(x)＝6－3x－2x，∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，∴f(1)·f(2)<0又f(x)在定义域内是减函数，故方程在(1,2)内有惟一的解．用二分法逐次计算，列表如下：中点的值中点函数值的符号取区间1＋2f(1.5)＜0(1,1.5)2＝1.51＋1.5f(1.25)＜0(1,1.25)2＝1.251＋1.25f(1.125)>0(1.125,1.25)2＝1.1251.125＋1.25f(1.187 5)＞0(1.187 5,1.25)2＝1．187 51.187 5＋1.25f(1.218 75)＞0(1.218 75,1.25)2＝1．218 751.218 75＋1.25f(1.234 375)＜0(1.218 75，1．234 375) 2＝1．234 375∴6－3x＝2x在(1,2)内的一个近似解是1.2.[一点通]用二分法求方程的近似解，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次及时检验区间端点的值按近似要求是否相等，以决定停止运算还是继续运算．5．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，求经过几次二分后精确度能达到0.01?解：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.6．用二分法求方程x3－2＝0的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x3－2.由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可取区间(1,2)为初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：中点的值中点函数值的符号取区间1＋22＝1.5f(1.5)>0(1,1.5)1＋1.52＝1.25f(1.25)＜0(1.25,1.5)1.25＋1.52＝1.375f(1.375)＞0(1.25,1.375)1.25＋1.3752＝1.312 5f(1.312 5)＞0(1.25,1.312 5) 由于1.2530.1的近似解是1.3.1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)＞0时，在[a，b]上也可能存在零点．2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值x i时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．一、填空题1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.★答案★：4,32．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，∵f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625，根据二分法可知，下一个有解区间为(2,2.5)． ★答案★：(2,2.5)3．为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值，如下表所示：解析：由题表知f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程的一个近似解可取为1.4.★答案★：1.44．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1.5)＝(1.5)3－2×1.5－1＝－0.625<0， f (1)＝13－2×1－1＝－2<0， f (2)＝23－2×2－1＝3>0， ∴f (1.5)·f (2)<0，∴区间为(1.5,2)． ★答案★：(1.5,2)5．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有惟一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．解析：由0.12n ＜0.01，得2n ＞10，∴n 的最小值为4.★答案★：46．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值与0的大小关系恒有________．解析：∵f (1)f (2)＝[(13)1－0]·[(13)2－log 22]＜0，∴1＜x 0＜2.如图所示，当0＜x 1＜x 0时，函数y ＝(13)x 的图象在y ＝log 2x 的上方，即必有(13)x 1＞log 2x 1，∴f (x 1)＞0恒成立．★答案★：f (x 1)＞0 二、解答题7．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1<0，a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －2<0， ∴1<a <2，故实数a 的取值范围为(1,2)． (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)上，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.8．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．解：因为f (1)＝－1＜0，f (1.5)＝0.875＞0，且函数y ＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间 中点值 中点函数近似值(1,1.5) 1.25 －0.3 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.312 5 －0.05 (1.132 5,1.375)1.343 750.08 (1.312 5,1.343 75) 1.328 1250.01因为 1.3.9．求函数y ＝ln x 与函数y ＝3－x 的图象的交点的横坐标(精确到0.1)．解：求函数y ＝ln x 与函数y ＝3－x 的图象交点的横坐标，即求方程ln x ＝3－x 的根．令f (x )＝ln x ＋x －3，因为f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2,3)，列表如下：区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 0.416 3>0 (2,2.5) 2.25 0.060 9>0 (2,2.25) 2.125 －0.121 2<0 (2.125,2.25) 2.187 5 －0.029 7<0 (2.187 5,2.25)2.218 750.015 7>0由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．问题1：目前为止，你学习过的基本初等函数有哪些？提示：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数． 问题2：它们的解析式分别是什么？ 提示：正比例函数：y ＝kx (k ≠0)； 反比例函数：y ＝kx (k ≠0)；一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)； 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 指数函数：y ＝a x (a >0且a ≠1)； 对数函数：y ＝log a x (a >0且≠1)． 幂函数：y ＝x α(α为常数)．问题3：匀速运动的汽车、运动的路程与时间成什么函数模型？人口增长问题属什么模型？提示：正比例函数．指数函数．常见函数模型 解析式 条件 一次函数模型 y ＝kx ＋b k ≠0 反比例函数模型 y ＝k x ＋b k ≠0 常见函数模型解析式条件二次函数模型一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c顶点式：y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24aa ≠0指数函数模型 y ＝b ·a x ＋c b ≠0，a >0且a ≠1 对数函数模型 y ＝m log a x ＋n m ≠0，a >0且a ≠1 幂函数模型y ＝ax n ＋ba ≠0，n 为常数1．一次函数：一次函数模型y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象的增长特点是直线式上升(x 的系数k >0)，通过其图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx (k >0)．2．二次函数：二次函数模型的一般形式是y ＝ax 2＋bx ＋8c (a ≠0)．3．指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)，其增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．4．对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0)，其增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a >1，m >0`)．[例1] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由．[思路点拨] (1)利用待定系数分别求出年数与甲鱼平均只数，年数与甲鱼池数的函数解析式，利用解析式求解即可．(2)分别求出甲鱼的总只数比较即可．(3)甲鱼养殖规模是由总只数衡量的，它是二次函数，利用二次函数的性质解决． [精解详析] (1)由图可知，设直线y 甲＝kx ＋b ，且经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8.∴y 甲＝0.2(x ＋4)． 同理可得y 乙＝4(－x ＋172)．第二年甲鱼池的个数为26个，每个甲鱼池平均出产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)· 4(－x ＋172)＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×(－0.8)＝2 14≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大． 即第二年规模最大，为31.2万只． [一点通]这种解决图形信息的问题，首先要读懂图形，根据图象写出解析式，然后利用求出的解析式解决问题．一次函数、二次函数是大家熟知的函数，也是中学最基础的函数，解题时应牢记它们的图象和性质，以便于解决问题．1．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50 000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．(1)试写出总费用y (元)与销售套数x (套)之间的函数关系式；(2)如果每套定价为700元，那么软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？ 解：(1)总费用y ＝50 000＋200x (x >0)．(2)设软件公司至少要售出x 套软件才能确保不亏本．由题意，得700x ≥50 000＋200x .解得x ≥100. 故软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本．2．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．解：(1)由图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b ，300＝k ×700＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1 000， 所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2＋1 500x －500 000＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)， 故当x ＝750时，S max ＝62 500.即销售单件为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元.[例2] 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)．若牛奶在0 ℃的冰箱中保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中保鲜时间则约是42 h.(1)写出保鲜时间y (单位：h)关于储藏温度x (单位：℃)的函数解析式；(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93)[思路点拨](1)利用题中数据代入函数关系式，解出k 和a 值； (2)利用函数单调性求解．[精解详析] (1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ·a 0＝192，k ·a 22＝42， 解得⎩⎨⎧k ＝192，a ＝22732≈0.93，∴所求函数解析式为y ＝192×0.93x . (2)令f (x )＝y ＝192×0.93x ，∵0<a ＝0.93<1， ∴f (x )是单调减函数，又10>5，∴f (10)<f (5)， ∴把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长． [一点通] 应用已知函数模型解题，有两种题型： (1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题．3．如图，开始时桶1中有a 升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e －nt(n 为常数，t 为注水时间)，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有a 8.解析：由于t ＝5时两桶中的水相等，所以a ·e－n ×5＝a －a ·e－n ×5，所以(e －n )5＝12，即e －n＝(12)15.由条件可得a ·e －nt ＝a 8，即(12)5t＝(12)3，所以t ＝15. ★答案★：154．衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt ，若新丸经过50天后，体积变为49a ，则一个新丸体积变为827a 需经过的时间为________． 解析：由题意知a >0，当t ＝50时，有49a ＝a ·e －50k ，即49＝(e －k )50，得e －k＝5049，所以当V ＝827a 时，有827a ＝a ·e －kt ，即827＝(e －k )t ＝(49)50t ，得(23)3＝(23)25t， 所以t ＝75. ★答案★：75天[例3] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[思路点拨] 第(1)问知v 求Q ，直接求得；第(2)问知Q 求v ，也是直接代入． [精解详析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s .[一点通] 对数函数是一种常见的基本初等函数，但对数函数模型的应用问题不是很多．一般地都是直接给出解析式，应用其解决问题．5．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．解析：由条件知，100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100， ∴x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. ★答案★：3006．分贝是表示声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料列出声压级y 与声压P 的函数关系式； (2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地区为以上所说的什么区？(3)2013年春节联欢晚会上，某小品类节目上演时，现场响起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台大厅的声压是多少帕？解：(1)由已知，得y ＝20lg P P 0＝20lg P2×10－5. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝40，∵y <60， ∴该地区为无害区．(3)设中央电视台大厅的声压是x 帕，则当y ＝90时，有lg x 2×10－5＝9020＝4.5，∴x ＝105，∴此时中央电视台大厅的声压是105帕.[例4] 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． [思路点拨] 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．[精解详析] (1)根据直线匀速增长、指数“爆炸”，对数增长越来越慢可知，应选取二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ×502＋b ×50＋c ＝150，a ×1102＋b ×110＋c ＝108，a ×2502＋b ×250＋c ＝150.解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)由(1)知，Q ＝1200(t －150)2＋100.∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg.。
高中数学必修1第三章函数的应用所有知识点和习题精选
③－④，得 n＝6. 代入 17＝9＋n(4－m)＋a，得 a＝6m－16.
x＝2.5， 又三月份用水量为 2.5 立方米，若 m＜2.5，将 代入②，得 a＝6m－13， y＝11
2 a －ab，a≤b 16． 对于实数 a 和 b， 定义运算“*”： a*b＝ 2 ， 设 f(x)＝(2x－1)*(x－1)， 且关于 x 的方程 f(x)＝m(m∈R) b －ab，a>b
恰有三个互不相等的实数根，则 m 的取值范围是______． 1 16. 0，4 三、解答题 17．讨论方程 4x3＋x－15＝0 在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由． 17．解 令 f(x)＝4x3＋x－15， ∵y＝4x3 和 y＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f(x)＝4x3＋x－15 在[1,2]上为增函数， ∵f(1)＝4＋1－15＝－10＜0，f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0， ∴f(x)＝4x3＋x－15 在[1,2]上存在一个零点， ∴方程 4x3＋x－15＝0 在[1,2]内有一个实数解．
2
) D．22 10．C
11．用二分法判断方程 2x3＋3x－3＝0 在区间(0,1)内的根(精确度 0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875,0.6253＝ 0.244 14) A．0.25 C．0.635 11．C 12．根据统计资料，我国能源生产自 1998 年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统 计数据：1998 年 8.6 亿吨，5 年后的 2003 年 10.4 亿吨，10 年后的 2008 年 12.9 亿吨，有关专家预测，到 2013 年 我 国 能 源 生 产 总 量 将 达 到 16.1 亿 吨 ， 则 专 家 是 以 哪 种 类 型 的 函 数 模 型 进 行 预 测 的 ？ ( ) B．二次函数 D．对数函数 B．0.375 D．0.825 ( )
人教A版高中数学必修一学第三章函数模型的应用实例讲解与例题新
3.2.2 函数模型的应用实例1．用已知函数模型解决实际问题解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．【例1】我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花．经测定，古莲子出土时14C(半衰期为5 730年)的残余量占原始含量的87.9%，试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定，若14C 的原始含量为Q 0，则经过t 年后的残余量Q 与Q 0之间满足Q ＝Q 0·e －kt )．解析：利用半衰期求出参数k ，再根据出土的古莲子14C 的残余量求出古莲子的生活年代．解：已知残余量Q 与Q 0之间满足Q ＝Q 0·e －kt ，其中Q 0是初始量，t 是时间．因为半衰期为5 730年，即当012Q Q 时，t ＝5 730． 所以e －5 730k ＝12，解得k ≈0.000 12．所以Q ＝Q 0·e －0.000 12t ． 由题目条件得0Q Q ＝87.9%，代入上式，解得t ≈1 075． 故古莲子的生活年代约是1 075年前．2．建立函数模型解决实际问题通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据．第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图．第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．第四步：选择其中的几组数据求出函数模型．第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．【例2则x ，y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝b xC ．y ＝2a x＋b D ．y ＝b x 解析：散点图如图所示：由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A 选项；此函数图象是“上升”的，因此该函数为增函数，排除C ，D 选项，故选择B ．答案：B3．已知函数模型的应用题(1)常用到的函数模型：①正比例函数模型：y ＝kx (k ≠0)；②反比例函数模型：y ＝cx d ax b++(a ≠0)； ③一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)；④二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；⑤指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a ＞0，且a ≠1，m ≠0)；⑥对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a ＞0，且a ≠1)；⑦幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0)．(2)二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型．随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，必将在高考舞台中扮演愈来愈重要的角色．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3－1】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系式为 2 000ln 1M v m ⎛⎫=+⎪⎝⎭．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s? 解：由12 000＝2 000ln 1M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即6＝ln 1M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得M m ≈402． 故当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s ．【例3－2】现有甲、乙两桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系式y ＝a e －nt ，那么乙桶的水就是y ＝a －a e －nt ，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再经过__________min ，甲桶中的水只有8a L ． 解析：由题意可得5 min 时，a e －5n ＝12a ，解得1ln 25n =． 那么剩余水y L 满足的函数关系式为1ln 25t y ae -=．由1ln 251e 8t a a -=，解得t ＝15． 因此，再经过10 min 后，甲桶中的水只有8a L ． 答案：10点技巧 解决已知函数模型应用题的方法 一般来说，若题中已给出了函数模型，通常利用条件列方程(组)，解得解析式中的参数的值，这样已知的函数模型完全确定，再将实际问题转化为求函数的函数值或最值等常见的函数问题来解．4．一次函数模型的应用现实生活中很多事例可以用一次函数模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等．对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数．一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．【例4】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km ．火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．解析：由“匀速行驶”可知总路程s 关于时间t 的函数为一次函数，注意时间t 的范围限制．解：因为火车匀速行驶的时间为27713111205-=(h)，所以0≤t ≤115． 因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t 1105t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． 故离开北京2 h 时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km)． 5．二次函数模型的应用(1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省问题．(2)在应用题中能够列出函数的解析式解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件含有相等关系的关键词，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式．常用的方法有：①待定系数法：题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式．②归纳法：先让自变量x 取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式．③方程法：用x ，y 表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出x ，y 的二元方程，把x 看成常数，解方程得y (即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例5－1】有A ，B 两城相距100 km ，在A ，B 两城之间距A 城x km 的D 地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km ．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A 城供电量为20亿度/月，B 城供电量为10亿度/月．(1)把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A 城多远时，才能使供电费用最小？解：(1)由题意：y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]＝2100500007.533x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．∵x ≥10，且100－x ≥10，∴10≤x ≤90．∴函数的定义域为[10,90]．(2)由二次函数知当1003x =时，y 最小， 因此当核电站建在距离A 城1003 km 时，供电费用最小． 【例5－2】某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后年纯收益为y 万元． (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．(2)当140＜a ≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)解：(1)由题意可知，y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝21140100100100a x x a ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭． ∵a －x ≥34a ，∴x ≤14a ，即x 的取值范围是区间0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭中的自然数． (2)∵2211707010021002a a y x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且140＜a ≤280，∴当a 为偶数时，x ＝2a －70，y 取最大值． 当a 为奇数时，x ＝12a -－70，y 取最大值(∵尽可能少裁人，∴舍去1702a x =-＋)． ∴当员工人数为偶数时，裁员702a ⎛⎫- ⎪⎝⎭人，才能获得最大的经济效益； 当员工人数为奇数时，裁员1702a -⎛⎫- ⎪⎝⎭人，才能获得最大的经济效益． 6．指数函数模型的应用(1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律．(2)当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论．(3)解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型．【例6】有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若该元素最初的质量为50 g ，经过一年后质量变为40 g ．(1)设x (x ≥0)年后，这种放射性元素的质量为y g ，写出y 关于x 的表达式；(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)思路解析：本题属于降低率问题，建立指数函数模型解决．解：(1)由题意可知每经过一年该放射性元素衰减的百分率为504050-＝20%，故y ＝50(1－20%)x ，则y ＝50×0.8x (x ≥0)．(2)由题意知50×0.8x ＝25，即0.8x ＝0.5，则lg 0.8x ＝lg 0.5，从而可知x lg 0.8＝lg 0.5．因此x ＝lg 0.5lg 20.3010lg 0.83lg 210.90301--=≈--≈3.1． 故约经过3.1年这种放射性元素的质量变为原来的一半．析规律 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关增长率(减少率)问题常常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1±p )x ，其中N 为基础数，p 为增长率(减少率)，x 为时间，增长率问题取“＋”，减少率问题取“－”．7．对数函数模型的应用形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的函数是对数函数，a ＞1时，此函数为增函数；0＜a ＜1时，此函数为减函数．虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们要知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例7】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝25log 10Q ，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得0＝25log 10Q ，解得Q ＝10．故燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得v ＝2805log 10＝5log 28＝15(m/s)． 故当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s ．8．分段函数模型的应用由于分段函数与日常生活联系紧密，已成为考查的热点；对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．例如，某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．试写出订购量与实际出厂单价的函数关系式．解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为100＋60510.02-＝550个． 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，当0＜x ≤100时，P ＝60，当100＜x ＜550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－50x ， 当x ≥550时，P ＝51，所以P＝f(x)＝60,0100,62,100550,5051,550.xxxx<≤⎧⎪⎪-<<⎨⎪≥⎪⎩【例8】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4 t，即5x≤4时，乙的用水量也不超过4 t，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，即3x≤4且5x＞4时，y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8；当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x＞4时，y＝24x－9.6．故414.4, 0,54420.4 4.80,,534249.6,.3x xy x xx x⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，当x∈40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，y≤45f⎛⎫⎪⎝⎭＝11.52＜26.4；当x∈44,53⎛⎤⎥⎝⎦时，y≤43f⎛⎫⎪⎝⎭＝22.4＜26.4；当x∈4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，因此5x＝7.5，甲户用水量为7.5 t，甲应付费s1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)．3x＝4.5，乙户用水量为4.5 t．乙应付费s2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元)．点技巧分段函数解析式的求法分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，从而写出函数的解析式．要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．9．拟合函数模型的应用(1)此类题目的解题步骤①作图：根据已知数据作出散点图．画散点图时，首先确定自变量和因变量，再以自变量的值为横坐标，以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点．当然，如果条件允许，最好借助于计算机画出最准确的散点图．②选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，利用“假设”，找出比较接近的函数模型．这要求会根据图象形状估计函数模型：图象是直线，那么函数模型是一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)；图象是抛物线，那么函数模型是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；图象位于某条垂直于y轴的直线一侧，与y轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是指数函数模型；图象位于某条垂直于x轴的直线一侧，与x轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是对数函数模型．③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．(2)关于“假设”问题就一般的数学建模来说，是离不开“假设”的，如果在问题的原始状态下不作任何“假设”，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了．“假设”的作用主要表现在以下几个方面：①进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用．通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗．在“假设”时就可以设这些因素不需考虑．②降低解题难度．经过适当的“假设”可以建立数学模型，使问题简单化，从而得到相应的解．一般情况下，最先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．【例9】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：才合算．请你帮助设计一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：观察散点图可以看出：A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15．故y＝－0.15(x－4)2＋2．B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入得0.25, 14,k bk b=+⎧⎨=+⎩解得0.25,0.kb=⎧⎨=⎩故y＝0.25x．因此前6个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x －4)2＋2；前6个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x．设下月投入A，B两种商品的资金分别为x A，x B(万元)，总利润为W(万元)，则212,0.15(4)20.25,A B A B A B x x W y y x x +=⎧⎨=+=--++⎩ 于是W ＝－0.152196A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋0.15×2196⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2.6， 当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元． 此时x B ≈8.8(万元)．故该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．。
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第三章 函数的应用1：函数的零点【典例精析】例题1 求下列函数的零点。
（1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2x －2）（2x －3x ＋2）。
思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。
答案：（1）①当x≥0时，y=x 2+2x －3，x 2+2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2－2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2+2|x|－3的零点是－1，1。
（2）由（2x －2）（2x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。
∴函数y ＝（x 2－2）（x 2－3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。
点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。
例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a ∈R +）的解的个数是______________。
思路导航：根据a 为正数，得到a 2+1＞1，然后作出y=|x 2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2+1的图象与y=|x 2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。
∵a ∈R +∴a 2+1＞1。
而y=|x 2－2x|的图象如图，∴y=|x 2－2x|的图象与y=a 2+1的图象总有两个交点。
∴方程有两解。
答案：2个点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。
做题时注意利用数形结合的思想方法。
例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2－ax 的零点是（ ）A. 0，2B. 0，12C. 0，－12D. 2，－12思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。
令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－12，故选C 。
答案：C【总结提升】1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。
2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一。
函数零点的求法：（1）解方程f （x ）＝0，所得实数根就是f （x ）的零点；（2）画出函数y ＝f （x ）的图象，图象与x 轴交点的横坐标即为函数f （x ）的零点。
3. 函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数f （x ）的零点，就是方程f （x ）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f （x ）＝0是否有实数根，有几个实数根。
4. 函数y=f （x ）的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。
2：二分法【考点精讲】1. 函数零点的存在性判断——二分法如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在x 0∈（a ，b ），使f （x 0）＝0，这个x 0也就是方程f （x ）＝0的根。
2. 逆定理：如果函数y=f （x ）在[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，且x 0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f （a ）·f （b ）<0。
如f （x ）=x 2，在区间[－1，1]上有零点x=0，但f （－1）·f （1）>0。
3. 用二分法求函数零点的步骤：已知函数y =f （x ）定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点x 0的近似值x ，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x －x 0|≤ε。
（1）在D 内取一个闭区间［a ，b ］ D ，使f （a ）与f （b ）异号，即f （a ）·f （b ）＜0。
令a 0=a ，b 0=b 。
（2）取区间［a 0，b 0］的中点，则此中点对应的横坐标为x 0=a 0+21（b 0－a 0）=21（a 0+b 0）。
计算f （x 0）和f （a 0）。
判断：①如果f （x 0）=0，则x 0就是f （x ）的零点，计算终止；②如果f （a 0）·f （x 0）＜0，则零点位于区间［a 0，x 0］内，令a 1=a 0，b 1=x 0； ③如果f （a 0）·f （x 0）＞0，则零点位于区间［x 0，b 0］内，令a 1=x 0，b 1=b 0。
（3）取区间［a 1，b 1］的中点，则此中点对应的横坐标为x 1=a 1+21（b 1－a 1）=21（a 1+b 1）。
计算f （x 1）和f （a 1）。
判断：①如果f （x 1）=0，则x 1就是f （x ）的零点，计算终止；②如果f （a 1）·f （x 1）＜0，则零点位于区间［a 1，x 1］上，令a 2=a 1，b 2=x 1。
③如果f （a 1）·f （x 1）＞0，则零点位于区间［x 1，b 1］上，令a 2=x 1，b 2=b 1。
……实施上述步骤，函数的零点总位于区间［a n ，b n ］上，当|a n －b n |＜2ε时，区间［a n ，b n ］的中点x n =21（a n +b n ）就是函数y =f （x ）的近似零点，计算终止。
这时函数y =f （x ）的近似零点与真正零点的误差不超过ε。
【典例精析】例题1 对于函数f （x ）＝x 2＋mx ＋n ，若f （a ）>0，f （b ）>0，则函数f （x ）在区间（a ，b ）内（ ）A. 一定有零点B. 一定没有零点C. 可能有两个零点D. 至多有一个零点思路导航：若函数f （x ）的图象及给定的区间（a ，b ），如图（1）、图（2）所示，可知A 错；若如图（3）所示，可知B 错、D 错。
故C 对。
答案：C点评：结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。
例题2 用二分法研究函数f （x ）＝x 3＋3x －1的零点时，经第一次计算得f （0）＜0，f （0.5）＞0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________，这时可判断0x ∈________。
思路导航：由题意知x 0∈（0，0.5），第二次计算应取x 1＝0.25，这时f （0.25）＝0.253＋3×0.25－1＜0，故x 0∈（0.25，0.5）。
答案：（0，0.5） f （0.25） （0.25，0.5）例题3 是否存在这样的实数a ，使函数f （x ）＝x 2＋（3a －2）x ＋a －1在区间[－1，3]上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点。
若存在，求出范围，若不存在，说明理由。
思路导航：运用二分法可以求出a 的范围，但是要注意检验。
答案：∵Δ＝（3a －2）2－4（4－1）＝9a 2－16a ＋8＝9⎝⎛⎭⎫a －892＋89＞0，∴若实数a 满足条件，则只需使f （－1）·f （3）≤0即可。
f （－1）·f （3）＝（1－3a ＋2＋a －1）·（9＋9a －6＋a －1）＝4（1－a ）（5a ＋1）≤0。
所以a ≤－15或a ≥1。
检验：（1）当f （－1）＝0时，a ＝1。
所以f （x ）＝x 2＋x 。
令f （x ）＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1。
方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠1。
（2）当f （3）＝0时，a ＝－15，此时f （x ）＝x 2－135x －65。
令f （x ）＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3。
方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠－15。
综上所述，a ＜－15或a ＞1。
【总结提升】本部分内容是高中数学的重难点，也是高考考查的重点，对于本部分内容的备考需注意以下两个方面：一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理，能通过特殊值的函数值判断函数零点所在的区间；二是熟记常见函数的图象，牢记图象的基本特征，灵活运用函数图象解决相关问题。
高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法。
使用二分法求方程的近似解要注意： （i ）要使第一步中的区间[a ，b]长度尽量小；（ii ）区间[a ，b]的长度与一分为二的次数满足关系式||)21(nb a -。
3：函数零点的应用【考点精讲】二次函数零点分布：设)0(,)(2>++=a c bx ax x f 以下研究a>0 的情况，a<0分析方法同理（a ）二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足21x r x <<⇔函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点为21,x x 满足21x r x <<0)(<⇔r f（b ）方程)0(,02>=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足r x x >>12⇔二次函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点21,x x 满足r x x >>12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->-=∆⇔0)(2042r f ra bac b（c ）方程)0(,02>=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足q x x p <<<21时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<>-=∆⇔0)(0)(2-042q f p f q a b p ac b（d ）二次方程)0(02>=++a c bx ax 的两个根满足q x p x <<<21⇔函数c bx ax x f ++=2)(的零点满足q x p x <<<21⎩⎨⎧><⇔0)(0)(q f p f（e ）二次方程)0(02>=++a c bx ax 的两个根有且只有一个根在（p ，q ）内⇔函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的两个零点有且只有一个在区间（p ，q ）内0)()(<⇔q f p f 或检验f （p ）=0，f （q ）=0并检验另一根在（p ，q ）内。