[原创]2013年《随堂优化训练》数学人教版下册第二十八章锐角三角函数解直角三角形[配套课件]

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人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩展3倍失掉Rt △A′B′C′，那么锐角∠A 、∠A′的余弦值的关系是( )A ．cosA ＝cosA′B ．cosA ＝3cosA′C ．3cosA ＝cosA′D ．不能确定2. 以下式子错误的选项是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2s in30°3. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，那么sinA 的值为( ) A.513 B ．1213 C.512 D ．1255. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么tanA 的值是( ) A.34 B ．43 C.35 D ．456. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定sinA ＝513，那么cosA 的值为( ) A.512 B ．813 C.23 D ．12137. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么cosB 的值为( ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，假定AC ＝2，BC ＝1，那么sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．△ABC 中， ∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，那么BC 的长______. 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.那么sinA ＝______，cosA ＝_______，tanA ＝_______.11. 假定0＜∠A ＜90°，那么0____sinA_____1,0_____cosA_____1.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，那么AB ＝______. 15．假定α为锐角，且cosα＝1－3m 2，那么m 的取值范围是_______________. 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，那么tan ∠BOD 的值等于____.17. α是锐角，化简：cos 2α－4cosα＋4－|1－cosα|.18. ：sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n.试确定m 、n 之间的关系．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(2,1)和点B(3,0)．求sin ∠AOB ，cos ∠ABO 的值．20. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)假定∠B ＝α，求BD 的长．21. 小明在某次作业中失掉如下结果：sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin 245°＋sin 245°≈(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：关于恣意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1能否成立？(2)小明的猜想能否成立？假定成立，请给予证明；假定不成立，请举一个反例．参考答案;1---8 BDCBB DBC9. 2710. BC AB BC AC BC AC11. ＜＜＜＜12. 3513. 1 sinαcosα14. 1715. －13＜m ＜1316. 317. 解：原式＝cosα－22－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.18. 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n ，∴m 2－2n ＝1.19. 解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,0)，∴OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1.∴OA ＝OC 2＋AC 2＝5，AB ＝AC 2＋BC 2＝ 2.∴sin ∠AOB ＝AC OA ＝15＝55，∴cos ∠ABO ＝BC AB ＝12＝22.20. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 21. 解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，那么∠B ＝90°－α，∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.。

人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用教学辅导及例题

第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用（1）教学目标：理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系；能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形；能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用.（2）教学建议：结合教材中的“探究”活动，让学生全面梳理直角三角形中元素之间的关系. 教学时应引导学生分别从边与边之间的关系、角与角之间的关系、角与边之间的关系等方面进行总结.对于解直角三角形条件的探究，本质是探究确定直角三角形的条件，可以从直角三角形全等的判定定理入手. 这个探究可以根据学生的基础和认知能力灵活安排，可以安排在本节教学中，也可以安排在章、节小结中进行.解直角三角形在实际中有着非常广泛的应用. 在解决实际问题时，关键是借助图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，并分析问题中的数量关系，将其归结为直角三角形中元素之间的关系. 因此在教学中，要注意引导学生画出示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反应出来，把数和形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力.在解决实际问题时，本节的例题涉及到仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念，也涉及到圆的切线的性质、弧长的计算公式等知识，教学中要注意复习相关内容.在“应用举例”一节中，可以整合本章数学活动2的内容，培养学生的综合能力. （3）知识点和例题：① 解直角三角形（课时1）直角三角形的性质：如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =b ，BC =a ，AB =c .(i)边的关系：a 2+b 2=c 2； (ii)角的关系：∠A +∠B =90°； (iii)边角关系：c a B A ==cos sin ；cbB A ==sin cos ； b a B A ==tan 1tan ；a b A B ==tan 1tan ； (iv)面积关系：ch ab S ABC 2121==∆ 解直角三角形：一般地，直角三角形中,除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角a AB形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．例题：解直角三角形（课时1）类型一：解直角三角形例1.（教材例题）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2， BC =6，解这个直角三角形.例2. 已知，如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D .(i)若AD =3，BD =1，求解△ABC ； (ii)若AD =h ，∠ACD =β，求解△ABC ； (iii)若AD :BD =3:1，求∠A ； (iv)sin ∠BCD =32，CB =4，求AC 的长. 类型二：利用直角三角形解斜三角形例1. 在△ABC 中，AB =5，∠B =60°. 分别在下列条件下，求BC 的长. (i)AC =7；(ii)AC =29； (iii)AC =4； (iv)AC =8.例2. 已知：如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，sin ∠CAD =54，AB =13，CD =12，求AD 的长和tan ∠CBD 的值.例3.已知：如图，△ABD 中，AC ⊥BD 于C ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，tan D =2，CE =1，求sin ∠ECB 和AD 的长．类型三：利用圆的性质和相似求解.例1. 如图，C 、D 是半圆O 上两点，BD =8，115=AB CD ，求cos ∠CEB 和tan ∠CEB 的值.例2. 如图，已知A 、B 两点的坐标分别为)0,32(，(0,2)， P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP =45°，则点P 的坐标为______________.实际应用（2-3课时）仰角和俯角方位角坡角和坡度铅直线水平线CDExy PABOE A类型一：熟悉概念，体会从实际问题中抽象出数学模型的过程.例1. 如图，山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A的俯角β=45°，已知塔高BC=60米，求山高.例2. 在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为m．类型二：更真实的背景，根据题意画图并求解（需要借助计算器）.例1.（教材习题28.2第10题）海中有一个小岛P，在以P为圆心、半径为216n mile 的圆形海域内有暗礁. 一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A、P之间的距离为32n mile. 若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明. 如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？例2. 由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A 市位于台风中心M北偏东15°的方向上，距离612千米，B市位于台风中心M正东方向603千米处. 台风中心以每小时30千米的速度沿MF向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响.（i）A市、B市是否会受到此次台风的影响？说明理由；（ii）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?ME北AB ME北AB类型三：实践活动.教材中数学活动2，内容略.。

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数随堂演练教学课件（共8份打包）

∵DH＝49.6 cm， ∴DF＝DH－FH≈49.6－34.6＝15(cm)．在 Rt△CDF 中，sin∠DCF＝DCDF≈1350＝12， ∴∠DCF＝30°. ∴此时台灯光线为最佳．
13．图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线 B－ A－O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面 OE 于点 O，点 B 为旋转点，BC 可转动，当 BC 绕点 B 顺时针旋转时，投影探头 CD 始终垂直于水平桌面 OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm， AB＝30 cm， BC＝35 cm.
又∵sin∠DCB＝sin37°＝DCDE， ∴CD＝sinD3E7°≈20.6.61≈4.4(m)．答：此时 CD 的长度约为 4.4 m.
12．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂 AC＝40 cm，灯罩 CD＝30 cm，灯臂与底座构成的∠CAB ＝60°.CD 可以绕点 C 上下调节一定的角度．使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30°时，台灯光线最佳．现测得点 D 到桌面的距离为 49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳(参考数据： 3≈1.73)．
cm，参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，tan67°≈2.36)．
8．(2020·宁波中考)图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条 AB＝AC＝50 cm，∠ABC＝47°(参考数据：sin47° ≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)．

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时坡度、

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方向角与解直角三角形课时训练（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方向角与解直角三角形课时训练（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时坡度、方向角与解直角三角形关键问答①将方向角转化成三角形内角的方法有哪些？②坡角和坡度的关系是什么?1．①如图28－2－30，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）图28－2－30A．40 错误!海里 B．40 错误!海里C．80海里 D．40 错误!海里2．②如图28－2－31是某拦水坝的横断面示意图,斜坡AB的水平宽度AC的长为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( ）图28－2－31A．4 3米 B．6 错误!米C．12 5米 D．24米命题点 1 方向角在海面上的应用［热度：93%]3.③如图28－2－32,一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇上渔船，那么救援船航行的速度为（)图28－2－32A．10 3海里/时 B．30海里/时C．20 错误!海里/时 D．30 错误!海里/时解题突破③由两个方向角的和及平行线的性质定理可得△ABC各内角的度数，进而求解即可。

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定将各边长度都扩展为原来的2倍，那么∠A 的正弦值( D )A ．扩展2倍B ．增加2倍C ．扩展4倍D ．不变2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝45，那么AC ∶BC ∶AB ＝( A )A ．3∶4∶5B ．4∶3∶5C ．3∶5∶4D ．5∶3∶43. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，假定AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 的值为( A ) A.53 B.255 C.52 D.234．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，那么tan A ＝( D )A.35B.45C.34D.435．计算sin30°·tan45°的结果是( A )A.12B.32C.36D.246．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 7．如图，AC 是电杆的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，那么拉线AC 的长为( D )A.6sin52°米B.6tan52°米 C ．6·cos52°米 D.6cos52°米 8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，那么斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米9．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝34，那么cos B 的值是( C ) A.45 B.34 C.35 D.4310．如图，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正西方向飞行了12海里抵达B 处，在B 处看到灯塔C 在正南方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是( D )A ．123海里B ．63海里C ．6海里D ．43海里11．如图，为测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，那么B 点到河岸AD 的距离为( B )A ．100米B ．503米 C.20033米 D ．50米 12．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( B )A ．(600－2503)米B ．(6003－250)米C ．(350＋3503)米D ．5003米13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AC ＝3，AB ＝5，那么cos B 的值是 __45__． 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，那么AC 的长是__5__． 15．如图，在空中上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，那么树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示),第13题图) ,第14题图) ,第16题图) ,第17题图)16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，那么△ABC 的面积是__12__cm 2.17．在△ABC 中，假定∠A ，∠B 满足|cos A －12|＋(sin B －22)2＝0，那么∠C ＝__75°__．18．长为4 m 的梯子搭在墙上与空中成45°角，作业时调整为60°角(如下图)，那么梯子的顶端沿墙面降低了__(23－22)__m.19．如图，在修建平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，平台CD 的高度为5 m ，那么大树的高度为3)__m ．(结果保管根号)20．规则：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判别以上等式成立的是__②③④__．(写出一切正确的序号)①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ； ④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y . 21．计算：(1)sin 230°＋cos 245°＋3sin60°·tan45°；解：94(2)cos 230°＋cos 260°tan60°·tan30°＋sin 245°. 解：3222．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，c ＝20，解这个直角三角形．解：∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝10 323．假设是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此结构出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米．求∠ACD 的余弦值．解：衔接AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝152千米，在Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝15，∴∠ACD 的余弦值为1524．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD .求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝12，∴AC ＝4.设AD ＝x ，那么BD ＝x ，CD ＝8－x ，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2.解得x ＝5.∴cos ∠ADC ＝DC AD＝3525．如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示衔接缆车站的钢缆．A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1区分为160米，400米，1000米，钢缆AB ，BC 区分与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB 和BC 的总长度．(结果准确到1米)解：依据题意知BD ＝400－160＝240米，CB 2＝1000－400＝600米，在Rt△ADB 中，sin30°＝BD AB ，∴AB ＝BD sin30°＝480米，在Rt △BB 2C 中，sin45°＝CB 2BC ，∴BC ＝CB 2sin45°＝6002米，AB ＋BC ＝(480＋6002)米≈1329米 26．如图，某高速公路树立中需求确定隧道AB 的长度．在离空中1500 m 的高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A ，B 两点处的俯角区分为60°和45°.求隧道AB 的长．(3≈1.73) 解：∵OA ＝1500×tan30°＝5003，OB ＝OC ＝1500，∴AB ＝1500－5003≈1500－865＝635(m)。

新人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形

8．(4 分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 的坐标为( 3，1)，若将△OAB 逆时针旋转 60°后，B 点到达 B′后，则 B′点的坐标是_( 23，32) _．
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)
9．如图所示，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则 AC＝( B )
解：∵tanA＝ABCC＝4123＝ 3，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， AB＝2AC＝8 3
已知一边一锐角解直角三角形
4．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则 BC 的长为( A )
A．4
B．2 5
18 13 C. 13
12 3 D. 13
,第 4 题图)
,第 5 题图)
5．(4 分)如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧
的河岸边选定一点 C，测出 AC＝a 米，∠A＝90°，∠C＝40°，则 AB 等于( C )
A．asin40°米 B．acos40°米
C．atan40°米 D.tan4a0°米
解：连接 AE，在 Rt△ABE 中，已知 AB＝3，BE＝ 3，∴AE＝ AB2＋BE2＝2 3，又 ∵tan∠EAB＝ABEB＝ 33，∴∠EAB＝30°，在 Rt△AEF 中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°， ∴EF＝AE·sin∠EAF＝2 3×sin60°＝2 3× 23＝3(m)．答：木箱端点 E 距地面 AC 的高度是 3 m.
6．(4 分)如图，在△ABC 中，若∠A＝75°，∠C＝45°，AB＝2，则 AC 的长等于( C )
A．2 2
B．2 3
C. 6

人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案

第28章锐角三角函数专项训练专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能直接利用时作垂线3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝13，求tan A的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝12∠BAC，求tan∠BPC的值．(第4题)专训2巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin18°，cos72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin75°，cos75°，tan75°的值．专训3应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(3取1.73，结果保留整数)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C 的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)(第4题)专训4利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)拦截问题3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离．(结果不取近似值)(第3题)台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动 4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)专训5三角函数在学科内的综合应用名师点金：1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝1 2 .(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A 的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．(第1题)三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x ＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；(第2题)(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2 .(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(第3题)三角函数与方程的综合应用4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x 的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25a sin A.(1)试判断△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分别是多少？5．已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm 且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．三角函数与圆的综合应用6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心、CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，EF FD ＝4 3.(1)求证：点F 是AD 的中点； (2)求cos ∠AED 的值；(3)如果BD ＝10，求半径CD 的长．(第6题)7．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ； (2)求证：AD 2＝AM²AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第7题)三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是边AD 上一点，连接FE 并延长交BC 的延长线于点G ，连接BF ，BE ，且BE ⊥FG.(1)求证：BF ＝BG ；(2)若tan ∠BFG ＝3，S △CGE ＝63，求AD 的长．(第8题)专训6全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧．2个概念概念1：锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．(第1题)概念2：解直角三角形2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝35，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第2题)1个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；(2)14tan245°＋1sin230°－3cos230°＋tan45°cos60°－sin40°cos50°.2个应用应用1：解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a的值．(第4题)应用2：解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏西49°方向，B 位于南偏西41°方向．(1)线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由．(2)求A ，B 间的距离(参考数据cos 41°≈0.75)．(第5题)6.如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)(第6题)2个技巧技巧1：“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧 7．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝23，求AB 的长．(第7题)技巧2：“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第8题)答案专训11．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD²tan B＝x²tan60°＝3x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB ，∴AB＝BDcos B＝1cos60°＝2.(第1题)(第2题)2．解：如图，延长BC ，AD 交于点E. ∵∠A ＝60°，∠B ＝90°，∴∠E ＝30°. 在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan E ＝2tan 30°＝23，在Rt △CDE 中，EC ＝2CD ＝2， ∴DE ＝EC²cos 30°＝2³32＝ 3. ∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ABE －S Rt △ECD＝12AB²BE－12CD²ED＝12³2³23－12³1³3＝332. 点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B ＝90°，∠A ＝60°，不难想到延长BC ，AD 交于点E ，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：如图，过点B 作BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E. ∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝DB.又∵∠ACD ＝∠BED ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ACD ≌△BED ，∴CD ＝DE ，AC ＝BE.在Rt △CBE 中，sin ∠BCE ＝BE BC ＝13，∴BC ＝3BE. ∴CE ＝BC 2－BE 2＝22BE ， ∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC.∴tan A ＝CD AC ＝2AC AC＝ 2. 方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．(第3题)(第4题)4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12³8＝4，∠BAE ＝12∠BAC.∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3， ∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.专训21．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D ＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a ，CD ＝(2＋3)a.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a. ∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24；cos15°＝cos D＝CDBD＝（2＋3）a（6＋2）a＝6＋24；tan15°＝tan D＝BCCD＝a（2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA＝AB，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝2a，∴AD＝2a，DC＝(2＋1)a，∴tan22.5°＝tan D＝BCCD＝a（2＋1）a＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.设AB＝x，则AE＝EF＝2x，∴tan∠FAB＝tan67.5°＝FBAB＝2x＋xx＝2＋1.4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC 于D点，过点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BD＝AD＝a，易得△ABC∽△BCD，∴ABBC＝BCCD，∴ABa＝aAB－a，即AB2－a²AB－a2＝0，∴AB＝5＋12a(负根舍去)，∴sin18°＝sin∠BAE＝BEAB＝5－14，cos72°＝cos∠ABE＝BEAB＝5－14.(第4题)(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD ＝75°， ∴sin 75°＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24，cos 75°＝BC BD＝a （6＋2）a ＝6－24，tan 75°＝CD BC＝（2＋3）aa＝2＋ 3. 方法2：如图，作△ABD ，使∠ADB ＝90°，∠DAB ＝30°，延长BD 到C ，使DC ＝DA ，过B 作BE ⊥AC 于E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE ＝BC²sin 45°＝6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66a ，∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝BEAB ＝32＋66a 233a ＝6＋24， cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE AE＝2＋ 3.专训3(第1题)1．解：根据题意可知AB ＝300 m .如图所示，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D.在Rt △ADB 中，因为∠BAD ＝30°，所以BD ＝12AB ＝12³300＝150(m )．在Rt △CDB 中，因为sin ∠DCB ＝BD BC ，所以BC ＝BD sin ∠DCB ＝150sin 60°＝3003≈173(m )．答：此时游轮与望海楼之间的距离BC 约为173 m .点拨：本题也可过C 作CD ⊥AB 于D ，由已知得BC ＝AC ，则AD ＝12AB ＝150m ，所以在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos 30°＝15032≈173(m )．所以BC ＝AC ≈173 m .2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米， ∴AE ＝20米．在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米， ∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)．∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20³1.732－20＝14.64≈15(米)． AF 的长度约是15米． 3．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米． ∴sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°. ∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan 60°＝103(千米)．在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°， ∴AD ＝DC ＝30千米．∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图②，同理可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米． ∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．4．解：(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米；(第4题)(2)如图，过点D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，则∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°， ∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3(米)，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，BD＝2BF＝2x米，DC＝4米，根据勾股定理得：2x2＝（2x＋4）23＋16，解得：x＝4＋43或x＝4－43(舍去)，则大楼AB的高度为(6＋43)米．专训41．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.依题意，知AB＝24³3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝CD BD ，∴BD＝33CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝CDAD，∴AD＝3CD.又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋33CD，解得CD＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．(第1题)(第2题)2．解：不会穿过风景区．理由如下：如图，过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，则在Rt △ACD 中，AD ＝CD²tan α，在Rt △BCD 中，BD ＝CD²tan β.∵AD ＋DB ＝AB ，∴CD²tan α＋CD²tan β＝AB ，∴CD ＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．3．解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E ＝∠F ＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt △BCE 中，∵∠E ＝90°，∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝12³1 000＝500(米)；在Rt △CDF 中，∵∠F ＝90°，∠DCF ＝45°，CD ＝1 000米， ∴CF ＝22CD ＝5002(米)． ∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．(第3题)(第4题)4．解：(1)100；(60＋10t)(2)不会，理由如下：过点O 作OH ⊥PQ 于点H ，如图．在Rt △POH 中，∠OHP ＝90°，∠OPH ＝65°－20°＝45°，OP ＝200 km ，∴OH ＝PH ＝OP²sin ∠OPH ＝200³sin 45°＝1002≈141(km )．设经过x h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km /h ，则20x ＝1002，∴x ＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10³52≈130.5(km )．台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH ≈141 km ，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为130.5 km ，130.5 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市O 不会受到台风侵袭．专训51．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12. ∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB²y＝12³12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A 在DE 上，∴点A 坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.故抛物线对应的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)依题意有OC ＝3，OE ＝4，∴CE ＝OC 2＋OE 2＝32＋42＝5，当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OC CE， ∴3－t 2t ＝35，解得t ＝1511；当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OCCE ， ∴2t 3－t ＝35，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形． 3．解：(1)先求出A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 纵坐标为32，由点E 在反比例函数y ＝6x 的图象上，求出点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，结合A 点坐标为(2，3)，求出直线AE 对应的函数解析式为y ＝－34x ＋92. (3)结论：AN ＝ME.理由：在解析式y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92.(第3题)方法一：如图，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，OF＝3，∴NF＝ON－OF＝32.根据勾股定理可得AN＝52.∵CM＝6－4＝2，EC＝3 2，∴根据勾股定理可得EM＝5 2，∴AN＝ME.方法二：如图，连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，∵S△EOM ＝12OM²EC＝12³6³32＝92，S△AON＝12ON²AF＝12³92³2＝92，∴S△EOM＝S△AON.∵AN和ME边上的高相等，∴AN＝ME.4．解：(1)∵a，b是关于x的方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，∴a ＋b＝c＋4，ab＝4c＋8.∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2.∴△ABC为直角三角形．又∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝(c＋4)2－4(4c＋8)＝c2－8c－16，∴不能确定(a－b)2的值是否为0，∴不能确定a是否等于b，∴△ABC的形状为直角三角形．(2)∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴sin A＝a c .将其代入9c＝25a sin A，得9c＝25a²ac，9c2＝25a2，3c＝5a.∴c＝53a.∴b＝c2－a2＝⎝⎛⎭⎪⎫53a2－a2＝43a.将b＝43a，c＝53a代入a＋b＝c＋4，解得a＝6.∴b＝43³6＝8，c＝53³6＝10，即△ABC的三边长分别是6，8，10.5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴(－10cosα)2－20(－7cosα＋6)＝0，解得cosα＝－2(舍去)或cosα＝35 .设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k＞0)，∴斜边长为5k，则α的对边长为（5k）2－（3k）2＝4k，∴sinα＝4 5，则菱形一边上的高为10sinα＝8 cm，∴S菱形＝10³8＝80 cm2.6．(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，且∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA.∵ED为⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点．(2)解：如图，连接DM，则DM⊥AE.设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝EF2＋DF2＝5k.∵12AD²EF＝12AE²DM，∴DM＝AD²EFAE＝6k²4k5k＝245k，∴ME＝DE2－DM2＝75k，∴cos∠AED＝MEDE＝725.(3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE BE＝CE AE，∴AE2＝CE²BE，∴(5k)2＝52k²(10＋5k)．∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝52k＝5.(第6题)(第7题)7．(1)证明：如图，连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴AMAD＝ADAB，∴AD2＝AM²AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∴sin∠1＝35，∵AM＝185，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝AB2－AD2＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝35，∴DN＝245，∴BN＝BD2－DN2＝32 5.8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG＝x，则CE＝3x，∴S△CGE ＝32x2＝63，解得x＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC²CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.专训61．思路导引：求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD或CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝10，∴sin∠BCD＝sin A＝BCAB＝45，cos∠BCD＝cos A＝ACAB＝35，tan∠BCD＝tan A＝BCAC＝43.2．思路导引：由sin B＝DEDB＝ACAB＝35，可设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k为未知数的方程，进而求出各边的长．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长，过C作CF⊥AB于点F，再用勾股定理求出CE的长．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B＝DEDB＝ACAB＝35.设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，∴CB＝8k，AC＝6k，AB＝10k.∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9，∴k＝1，∴DE＝3，DB＝5，∴BE＝52－32＝4.过点C作CF⊥AB于点F，如图，则CF∥DE，∴DECF＝BEBF＝BDBC＝58，求得CF＝245，BF＝325，∴EF＝12 5.在Rt△CEF中，CE＝CF2＋EF2＝1255.(第2题)点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．3．解：(1)原式＝33³32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫222³1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14³12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3³⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋112－1＝14＋4－3³34＋2－1＝3.4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°，∴∠APB ＋∠CPE ＝90°，∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC， ∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5³34＝32，即CE＝32，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BF ，∴△AED ∽△FEC ，∴AD CF ＝DECE，∴CF ＝3，易求PC ＝2，∴PF ＝PC ＋CF ＝5.∴PF ＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°，∴AP ＝5＝PF ，∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠QPB ＝90°－24.5°＝65.5°，∠PQB ＝90°－41°＝49°，∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°. ∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ.(2)由(1)，得BQ ＝PQ ＝1 200 m .由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°. 在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°， ∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )．∴A ，B 间的距离约是2 000 m .点拨：证明线段相等常利用全等三角形的对应边相等或等角对等边；计算线段的长度常利用锐角三角函数或勾股定理．6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )， AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m .在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AF tan 36°52′≈x ＋290.75＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋1163(m )，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x ≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m .7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D. 在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3，AD ＝AC ²cos 30°＝23³32＝3.在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32，∴DB ＝2CD 3＝233＝2，∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5.(第7题)方法总结：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，引辅助线的技巧是解此类题的关键．8．解法1：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°.在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC²tan ∠CBE ＝503³tan 30°＝503³33＝50. 在Rt △DEF 中， DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD ＝S梯形ABED ＋S △BCE＝12(AD ＋BE)²AB＋12BC²EC＝12³(130＋100)³303＋12³503³50＝4 700 3.(第8题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB²tan 60°＝303³3＝90，BE＝ABcos60°＝30312＝60 3.∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE中，DC＝CE²tan30°＝1103³33＝110.∴S四边形ABCD ＝S△DCE－S△ABE＝12DC²CE－12AB²AE＝12³110³1103－12³303³90＝4 700 3.。

2013年数学备课九年级下第二十八章锐角三角函数28.2《解直角三角形》课件(新人教版)

图 28－2－6
解：如图 D71，过点 A 作 AB⊥BO，垂足为 B. 在 Rt△AOB 中，cos∠BAO＝AB，
AO
.∴AB＝AO·cos∠BAO＝400·cos45°＝200 2≈282.8>260. ∴某市 A 不会受到此次台风的侵袭．
图 D71
解直角三角形的应用(知识综合) 例 3：如图 28－2－7，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，CD⊥BC，从点 A 测得点 D 的俯角α为 30°，测得 C 点的俯角β为 60°，已知乙建筑物高 CD＝40 米，试求甲建筑物高 AB.
斜边，一锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA
跟踪训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝6 2，b＝6 6，解直角三角形．
解：∵a＝6 2，b＝6 6，
∴c＝ 6 2 2＋ 6 6 2＝12 2.
∴sinA＝ 6 12
22＝12，∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
两直角边(a，b)
由 tanA＝ab求∠A；∠B＝90°－∠A；c
＝ a2＋b2 斜边，一直角边(c，a) 由 sinA＝ac求∠A；∠B＝90°－∠A；b
＝ c2－a2
一直角边一锐角
锐角，邻边 (∠A，b)
∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝cobsA
锐角，对边 (∠A，a)
∠B＝90°－∠A；b＝taanA；c＝sianA
图 28－2－3
4．坡度与坡角如图 28－2－4，坡面的铅垂高度(h)与水平长度(l)的比叫做
h 坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝____l ____；而坡面与水平面的夹角叫做__坡__角____，记作α，即 i＝____ta_n_α__.

【随堂优化训练】九年级数学下册第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形配套课件新人教版

自主解答：(1)如图 D68，∠C＝90°，a＝2 15，b＝2 5. 由勾股定理，得 c＝ a2＋b2 ＝ 2 15 2＋ 2 5
2
＝4 5. a 2 15 由 tanA＝＝＝ 3，得∠A＝60°， b 2 5
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
图 D68
(2)如图 D69，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°. b b 12 由 cosA＝，得 c＝＝＝8 3. c cosA cos30°
斜边，一锐角(c，∠A) ∠B＝90° －∠A；a＝c· sinA；b＝c· cosA
跟踪训练
1 ．在 Rt △ABC 中，∠C＝ 90°， a＝ 6 2， b ＝6 6 ，解直角三角形．
解：∵a＝6 2，b＝6 6， ∴c＝ 6 2 2＋ 6 6 2＝12 2.
6 2 1 ∴sin A＝＝，∴∠A＝30°， 12 2 2 ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°. (1)a＝2 15，b＝2 5，解直角三角形； (2)b＝12，∠A＝30°，求 c 的值．
思路点拨：本例的两个问题都是已知两边解直角三角形，其中(1)应法度出斜边 c 和两锐角，(2)已知∠A 的邻边 b 和∠A，求 b 斜边 c，故可以由 cosA＝c变形后求解．
BC 在 Rt△ABC 中，tan∠BAC＝tan30° ＝AB， 3 3x ∴3＝，解得 x＝20(米)． 40＋x
∴AB＝40＋20＝60(米)．答：甲建筑物高 AB 为 60 米．
跟踪训练 4．(2010 年广东广州)目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图 28－2－8，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数随堂演练教学ppt（共8份打包）

解：如图，延长 BC 交 AD 于点 E，则 DE＝1.6 m， ∴AE＝AD－DE＝0.6 m. 在 Rt△ABE 和 Rt△ACE 中， BE＝tanA1E8°≈1.875 m，
CE＝tanA6E0°≈0.347 m， ∴BC＝BE－CE≈1.528 m. ∴MN＝BC≈1.5 m. 答：小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度约为 1.5 m.
5．(2020·苏州期末)如图，已知点 C 处有一个高空探测气球，从点 C 处测得水平地面上 A，B 两点的俯角分别为 30°和 45°.若 AB＝2 km，则 A， C 两点之间的距离为 (2＋2 3) km.
6．在一场马拉松比赛中，某人在大楼 A 处，测得起点拱门 CD 的顶部 C 的俯角为 35°，底部 D 的俯角为 45°.如果 A 处离地面的高度 AB＝20 米，求起点拱门 CD 的高度(结果精确到 1 米，参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈0.70)．
B．1600 米
C．1800 米
D．2000 米
3．(2020·长春模拟)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度 AB，无人机在离教学楼底部 B 处 16 米的 C 处垂直上升 31 米至 D 处，测得教学楼顶 A 处的
俯角为 39°，则教学楼的高度 AB 为 18.0 米(结果精确
∴CB≈64.5 cm. ∴CB1＝CB＋BB1≈64.5＋80＝144.5(cm)．答：篮筐 C 距地面 B1F1 的高度约为 144.5 cm.
12．小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点 A 处测得汽车
前端 F 的俯角为α，且 tanα＝13.若直线 AF 与地面 l1 相交

《新新练案系列》人教实验版2013-2014学年九年级数学(下)第二十八章锐角三角函数检测题

第二十八章锐角三角函数检测题参考答案1.C 解析： .2.A 解析：如图，3.D 解析：由勾股定理知，所以所以sin.54=ABAC 4.C 解析：设，则，，则，所以△是直角三角形，且∠．所以在△ABC 中，135135==x x AB BC ．5.B 解析：因为∠=90°，，所以.6. B 解析：因为∠=90°，，所以.7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得 8.B 解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以2 9.A 解析：设直角三角形的两直角边分别为则所以斜边10.B 解析：在锐角三角函数中仅当45°时，，所以选项错误；因为45°＜A ＜90°，所以B ＜45°，即A ＞B ，所以BC ＞AC ，所以AB BC ＞ABAC，即，所以选项正确，选项错误;ACBC＞1，＜1，所以选项错误.. 11.45解析：如图， 12.30° 解析：因为23，所以∠ 13.43.3 解析：因为，所以所以所以).14.15°或75° 解析：如图，.在图①中，，所以∠∠；在图②中，，所以∠∠.A BAD第11题答图ABCABC第2题答图15.75° 解析：设两个坡角分别为，，则tan ，tan,得75°． 16.. 解析：利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得,所以.17.76 解析：如图，因为，所以由勾股定理得所以这个风车的外围周长为18.25 解析：设正方形A 的边长为正方形B 的边长为则，所以.19.解:（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--2331-+-=1-=.20.解:∵ ∠90°, ∠45°， ∴ ∵ ，∴ 则，∵ ∠35°,∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理，得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.5 21.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡. 22解:设，则由题意可知，m ．第17题答图AB C D在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE ，即tan 30°＝100+x x∴33100=+x x ，即，解得≈136.6. 经检验50＋503是原方程的解． ∴ CDCEED 136.61.5138.1≈ 故该建筑物的高度约为 23.解：(1)∵，∴ ∠∠.∵∥，∴ ∠∠∠. 在梯形中，∵，∴ ∠∠∠∠ ∵，∴ 3∠ ，∴ ∠30º ，∴ sin ∠ （2）过作于点.在Rt △中，• cos ∠（cm ）；在Rt △中，sin ∠（cm ）； ∴24.解：过作于，则. 因为∠，3003m ，所以300(3－1)即气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)25.解：如图①，若△是锐角三角形，则有222a b c +>.证明如下：过点作，垂足为，设为x ，则有a x -.BACD第23题答图根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==--，即222222b x c a ax x -=-+-.∴2222a b c ax +=+.∵0,0a x >>，∴ 20ax >，∴ 222a b c +>.如图②，若△是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<. 证明如下：过作，交的延长线于.设为x ，则有222BD a x =-，根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=.∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<.ABC①DABC ②D第25题答图。

人教新版九年级下册《第28章锐角三角函数》2含解析答案

新人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）sin60°的值等于（）A．B．C．D．2．（3分）已知α为锐角，sin（α﹣20°）＝，则α＝（）A．20°B．40°C．60°D．80°3．（3分）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A．B．C．D．24．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b＝a•sin B B．a＝b•cos B C．a＝b•tan B D．b＝a•tan B 5．（3分）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．7．（3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（）A．3米B．6米C．3米D．2米9．（3分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．（3分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）求值：sin60°﹣tan30°＝．12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝度．13．（3分）如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为．14．（3分）△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝6，sin A＝，则S△ABC＝．15．（3分）如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．16．（3分）在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）已知α为一锐角，sinα＝，求cosα，tanα．18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，则sin A＝．19．（8分）如图，已知AC＝4，求AB和BC的长．20．（8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．22．（10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．23．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24．（12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）新人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：sin60°＝．故选：C．2．（3分）已知α为锐角，sin（α﹣20°）＝，则α＝（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：∵α为锐角，sin（α﹣20°）＝，∴α﹣20°＝60°，∴α＝80°，故选：D．3．（3分）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A．B．C．D．2【分析】此题可以根据“角的正切值＝对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα＝2÷1＝2．故选：D．4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b＝a•sin B B．a＝b•cos B C．a＝b•tan B D．b＝a•tan B【分析】根据三角函数的定义即可判断．【解答】解：A、∵sin B＝，∴b＝c•sin B，故选项错误；B、∵cos B＝，∴a＝c•cos B，故选项错误；C、∵tan B＝，∴a＝，故选项错误；D、∵tan B＝，∴b＝a•tan B，故选项正确．故选：D．5．（3分）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．【解答】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据正切的定义得到tan A＝＝，于是可设BC＝x，则AC＝3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．【解答】解：如图，∵tan A＝＝，∴设BC＝x，则AC＝3x，∴AB＝＝x，∴cos A＝＝＝．故选：D．7．（3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．【分析】首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．【解答】解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB＝120°，∴∠DAC＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AB＝4，AC＝2，∴AD＝1，CD＝，BD＝5，∴BC＝＝2，∴sin B＝＝＝．故选：B．8．（3分）如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（）A．3米B．6米C．3米D．2米【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．∴．∴AB＝．∵∠ACD＝60°．∴∠BDO＝60°．在Rt△BDO中，tan60°＝．∵CD＝6．∴AB＝＝6．故选：B．9．（3分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，则tanα＝1：，则α＝30°．故选：A．10．（3分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝60m，∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30≈51（m）．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）求值：sin60°﹣tan30°＝．【分析】根据sin60°＝，tan30°＝得到原式＝﹣，然后通分合并即可．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝．故答案为．12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝30 度．【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，∴cos A＝＝＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．13．（3分）如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为．【分析】根据余弦的定义，cos∠AOB等于邻边比斜边，可以求得cos∠AOB的值．【解答】解：将∠AOB放在一直角三角形中，邻边为1，对边为2，由勾股定理得斜边，则cos∠AOB的值＝＝．14．（3分）△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝6，sin A＝，则S△ABC＝．【分析】根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵斜边上的中线CD＝6，∴AB＝12．∵sin A＝＝，∴BC＝4，AC＝＝8．∴S△ABC＝AC•BC＝16．15．（3分）如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）（2+1.6）m．【分析】已知小丽与树之间的距离为6m即AD＝7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB＝1.6m可得出树的高度．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2，又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．16．（3分）在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成．【分析】过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得小岛A的坐标．【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC＝90°﹣60°＝30°，OA＝14千米，则AC＝OA＝7千米，OC＝7千米．因而小岛A所在位置的坐标是（7，﹣7）．故答案为：（7，﹣7）．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）已知α为一锐角，sinα＝，求cosα，tanα．【分析】根据sinα＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．【解答】解：由sinα＝＝，设a＝4x，c＝5x，则b＝＝3x，故cosα＝＝，tanα＝＝．18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，则sin A＝．【分析】利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：sin A＝＝．故答案是：．19．（8分）如图，已知AC＝4，求AB和BC的长．【分析】作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，CD＝AC＝2，AD＝AC•cos A＝2．在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝45°，∴BD＝CD＝2，∴BC＝2，∴AB＝AD+BD＝2+2．20．（8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）【分析】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB 的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm．在Rt△ABE中，sin ，∴mm在Rt△ADF中，cos ，∴mm．∴矩形ABCD的周长＝2（40+60）＝200mm．21．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．【分析】根据正弦的定义求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在Rt△ABD中，AD＝AB sin45°＝4×＝4．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8．答：新传送带AC的长度约为8米．22．（10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG ＝30°，求出CG的长；根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝5，AF＝5．∴BG＝AF+AE＝5+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG＝30°，∴CG：BG＝，∴CG＝5+5．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，AE＝15，∴DE＝AE＝15，∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+5+5﹣15＝（5﹣5）m．答：宣传牌CD高约（5﹣5）米．23．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD＝AB，即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC＝AF+CF﹣AP，从而求解．【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝3千米．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝3千米，PA＝6千米．∴AB＝BD+AD＝3+3（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝千米，AF＝AB＝千米．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝BF＝千米，∴PC＝AF+CF﹣AP＝3千米．故小船沿途考察的时间为：3÷＝3（小时）．24．（12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°＝，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°＝，求出AE即可【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+25，在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，tan22°＝，则＝，解得：x＝20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME＝BC＝x+25＝20+25＝45．在Rt△AME中，cos22°＝．∴AE＝≈＝48m，即A、E之间的距离约为48m。

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因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向时，它距离
灯塔 P 大约 130.23 海里．
图 D70
跟踪训练
3．据气象台预报，有一由南向北移动的台风，其中心在南偏东 45° ，离某市 A 400 km 的 O 地登陆(如图 28－2－6)．已知在台风中心 260 km 的范围内的地方都会受到台风侵袭，那么某市 A 会不会受到此次台风的侵袭？为什么(下列数据供参考： 3 ≈1.732， 2≈1.414)?
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°. (1)a＝2 15，b＝2 5，解直角三角形； (2)b＝12，∠A＝30°，求 c 的值．
思路点拨：本例的两个问题都是已知两边解直角三角形，其中(1)应法度出斜边 c 和两锐角，(2)已知∠A 的邻边 b 和∠A，求 b 斜边 c，故可以由 cosA＝c变形后求解．
28.2 解直角三角形
1．解直角三角形 (1)由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形 __________________． (2)在解直角三角形中，一般用到下面的关系：如图 28－2－1. ①三边之间的关系： c2 a2＋b2＝________； ②两锐角之间的关系． 90° ∠A＋∠B＝________； ③边角之间的关系：图 28－2－1 a b a sinA＝_____，cosA＝_____，tanA＝_____. c c b
得塔顶 B 的仰角为 39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离 AC； (2)求大楼的高度 CD(精确到 1 米)．
图 28－2－8
解：(1)AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610(米)，
BE 在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝DE，故 BE＝DE· tan39° .
因为 CD＝AE，所以 CD＝AB－DEtan39°＝610－610×tan39°≈116(米)．
图 28－2－3
4．坡度与坡角如图 28－2－4，坡面的铅垂高度(h)与水平长度(l)的比叫做 h 坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝________；而坡面与水平面 l 坡角的夹角叫做________，记作α，即 i＝________. tanα
图 28－2－4
解直角三角形(重难点)
BC 在 Rt△ABC 中，tan∠BAC＝tan30° AB，＝ 3 3x ∴3＝，解得 x＝20(米)． 40＋x
∴AB＝40＋20＝60(米)．答：甲建筑物高 AB 为 60 米．
跟踪训练 4．(2010 年广东广州)目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图 28－2－8，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测
图 28－2－6
解：如图 D71，过点 A 作 AB⊥BO，垂足为 B. AB 在 Rt△AOB 中，cos∠BAO＝， AO
.∴AB＝AO·cos∠BAO＝400·cos45°＝200 2≈282.8>260. ∴某市 A 不会受到此次台风的侵袭．
图 D71
解直角三角形的应用(知识综合) 例 3：如图 28－2－7，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，CD⊥BC，从点 A 测得点 D 的俯角α为 30°，测得 C 点的俯角β为 60°，已知乙建筑物高 CD＝40 米，试求甲建筑物高 AB.
图 28－2－7
思路点拨：过点 D 作 DE⊥AB，构造 Rt△ADE，通过解 Rt△ADE 和 Rt△ABC 求得 AB.
自主解答：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则∠ADE＝α＝30° . 根据题意，得∠BAC＝90° －β＝30° ， BE＝DC＝40 米，BC＝DE，设 AE＝x. x 在 Rt△AED 中，tan∠ADE＝tan30° DE，＝ ∴DE＝ 3x，∴BC＝DE＝ 3x.
斜边，一锐角(c，∠A) ∠B＝90° －∠A；a＝c· sinA；b＝c· cosA
跟踪训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝6 2，b＝6 6，解直角三角形．
解：∵a＝6 2，b＝6 6， ∴c＝ 6 22＋6 62＝12 2.
6 2 1 ∴sinA＝＝，∴∠A＝30°， 12 2 2 ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
与方向角有关的计算问题(重点)
例 2：如图 28－2－5，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后。
到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处．这时，海轮所在的
B 处距离灯塔 P 有多远(精确到 0.01 海里)?
图 28－2－5
自主解答：如图 D70， Rt△APC 中，在 PC＝PA· cos(90° －65° ) ＝80×cos25° ≈80×0.91＝72.8(海里) 在 Rt△BPC 中，∠B＝34° ， PC ∵sinB＝PB，
PC 72.8 72.8 ∴PB＝sinB＝sin34° 0.559≈130.23(海里)．＝
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝60° ，c＝6，解直角三角形．
解：∵∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝30°， 1 3 ∴cosB＝，sinB＝ . 2 2 a b 又∵cosB＝，sinB＝， c c 1 3 ∴a＝c·cosB＝6× ＝3，b＝c·sinB＝6× ＝3 3. 2 2
自主解答：(1)如图 D68，∠C＝90°，a＝2 15，b＝2 5. 由勾股定理，得 c＝ a2＋b2 ＝ 2 ＝4 5. a 2 15 由 tanA＝＝＝ 3，得∠A＝60°， b 2 5 152＋2 52
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
图 D68
(2)如图 D69，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°. b b 12 由 cosA＝，得 c＝＝＝8 3. c cosA cos30°
2．仰角和俯角的定义视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做
仰角俯角 ________；视线在水平线下方的角叫做_______，如图 28－2－2.
图 28－2－2
3．方向角北偏东 40° 如图 28－2－3，点 A 在点 O 的____________方向上，点 B 西北在点 O 的_______方向上，点 C 在点 O 的____________方向上．东偏南 26°
思路点拨：因为△APB 不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形△ACP 与△PCB.PC 是东西走向
的一条直线．AB 是南北走向的一条直线，所以 AB 与 PC 是相互
垂直的，即∠ACP与∠BCP均为直角．再通过65°角与∠APC 互
余的关系求∠APC；通过 34°角与∠BPC 互余的关系求∠BPC.
图 D69
规律总结：已知条件两直角边(a，b)
解法步骤
a 由 tanA＝b求∠A；∠B＝90° －∠A；c
＝ a2＋b2 a 由 sinA＝c求∠A；∠B＝90° －∠A；b 斜边，一直角边(c，a) ＝ c2－a2 一直角边锐角，邻边 b －∠A；a＝b· tanA；c＝cosA 一锐角 (∠A，b) ∠B＝90° 锐角，对边 a a ∠B＝90° －∠A；b＝tanA；c＝sinA (∠A，a)
答：(1)大楼与电视塔之间的距离 AC 为 610 米．
(2)大楼的高度 CD 约为 116 米．