数学：3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》课件(新人教A版-选修2-1)
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高中数学人教A版选修2-1课件3.1.2 空间向量的数乘运算ppt版本
又������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������
=−
1 2
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ ,
∴2������������
=
1 2
分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)如图所示, ������������ = ������������ + ������������,
由向量加法的平行四边形法则可得������������
=
1 2
(������������
+
������������ ),
,
������
=
−
12.
(2)∵ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 2������������
= ������������ + 2(������������ − ������������) = ������������ + 2������������ − 2������������.
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 3 ������������
1 = ������������ + 3 (������������ + ������������)
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.2空间向量的数乘运算1()
运 算 律
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) c a (b c)
数乘分配律
•
(a b) a＋ b
(a b) a＋ b
•
a
D A B
•
C
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
D1 A1 B1
C1
D A B
加法交换律：
ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k (a b) k a＋k b
•
（6）平面向量加法结合律：
(a b) c a (b c)
O O
a
A
a
b
C
A
+
c
C
b
B
c
(平面向量)
•
b
B
c
（6）空间向量加法结合律：
D
A
C B
(4)设M是线段CC1的中点,则
1 AM CM AB AD CC1 AC • 2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG
(a b) c a (b c)
O O
a
C
A
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件
B1C 所成角的大小为( C ).
A.π
B.π
C.π
D.π
6
4
3
2
【解析】因为
A1B·B1C=(A1A+AB)·(B1C1+C1C)=A1A·B1C1+A1A·C1C+AB·C1C
+AB·B1C1=A1A2.设异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 θ ,则 cos
θ
= A1B·B1C =
|A1B||B1C| (
用向量法计算二面角
如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2,D为CC1的中点,求二面角A—A1D—B的余弦值.
【解析】如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.因为△ABC 是 正三角形,所以 AO⊥BC,因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平 面 ABC⊥平面 BCC1B1,所以 AO⊥平面 BCC1B1.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
所以AB1·BD=-2+2=0,AB1·BA1=-1+4-3=0,
所以AB1⊥BD,AB1⊥BA1,又 BD∩BA1=B,所以 AB1⊥平面 A1BD,
所以AB1是平面 A1BD 的一个法向量,
所以
cos<n,AB1
>= n·AB1
|n |·|A B 1
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
1 2 1 D. (a+b-c) 2
答案:C
【做一做 1-2】 在空间四边形 ABCD 中, ������������ =a-2c, ������������ = 5a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别是 E,F,则������������ = .
解析:如图所示,取 AD 的中点 P,连接 EF,EP,FP,结合图形用������������ 和������������表示������������ . ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = (5a+6b-8c) + (a-2c)=3a+3b-5c.
(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
【做一做2-1】 下列说法正确的是( ) A.a(a≠0)与λa方向相同 ������ B.若 a=λb(b≠0),则 λ= ������ C.直线l的方向向量一定在直线l上 D.平行于同一平面的向量,叫做共面向量 解析:选项A中若λ<0,则λa与a反向; 选项B中,两向量不能作除法; 选项C中,方向向量与直线可能平行,不在同一直线上. 答案:D
【做一做2-2】 下列说法正确的是( ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 答案:D
1.向量共线的充要条件及其应用 剖析:(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们 说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条 直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b, 则b∥a. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上. (4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实 数 λ,使������������ = ������������������ (或������������ = ������������������ )即可;也可用“对空间任意一点 O,有 ������������ = ������������������ + (1 − ������)������������”来证明三点共线.
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算课件(55张)
(1 ) A B B C ( 2 ) A B A D A A1 1 (3 ) A B A D C C 1 2 1 ( 4 ) ( A B A D A A1 ) 3
A A1
D1 B1ຫໍສະໝຸດ C1D BC
例题:
•
P课本 97
习题 3.1
A组
第1题
如图, 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式， D1 并在图中标出化简结果的向量： C
bba b ) c a (b c ) b ) k a＋ k b
加法结合律： ( a
数乘分配律： k ( a
4、平面向量的加法的推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量；
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka ( k > 0 ) ka ( k < 0 )
CA OA OC
空间向量的加减法 空间向量的数乘
新课：一 、空间向量的数乘运算及运算律
1、定义： 实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 λ a，并规定： ① λ a 的长度 | λ a | = | λ | · | a |； ② 当 λ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；
线段的起点和终点字母表示.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.
B A C D
一 、平面向量：2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
人教A版高中数学选修2-1课件《3.1.2空间向量数乘》
一对实数，使 1
z· `````· xx`````· · k
2
a 1e1 2e2
p 如果空间向量与两不共线向量，共 面，那么可将三个向量平移到同一平面，则 有 p x yb
a b
a b 反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么 p 向量与向量 p x ,有什么位 yb a b 置关系？
P
对空间任一点O,有OP OA x AB y AC
p
③
C b A a B
O
P
填空：OP (_____) 1-x-yOA (____) x OB (____) y OC
式称为空间平面 ③ ABC的向量参数方程，空间中任意平 面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。
由此可判断空间任意四点共面
① 即有 O P O A AP O A t a a 非零向量叫做直线 L的方向向量.
在L取AB a,得OP OA t AB
O
②
量唯一确定
L ①、②都称为空间直线的向量表示式。 P A 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 B
a
O P O A t AB
思考：设M是底面ABCD的中心，N是侧面A1ADD1对角线 、、 MN AB AD AA A1D上的3/4分点，设，试求 的值。
A1 B1
N
D1 C1
A
M
D C
B
a
b
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， 则x OM xOA ＋ OB ＋ ,OC 3 3 的值为：
z· `````· xx`````· · k
2
a 1e1 2e2
p 如果空间向量与两不共线向量，共 面，那么可将三个向量平移到同一平面，则 有 p x yb
a b
a b 反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么 p 向量与向量 p x ,有什么位 yb a b 置关系？
P
对空间任一点O,有OP OA x AB y AC
p
③
C b A a B
O
P
填空：OP (_____) 1-x-yOA (____) x OB (____) y OC
式称为空间平面 ③ ABC的向量参数方程，空间中任意平 面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。
由此可判断空间任意四点共面
① 即有 O P O A AP O A t a a 非零向量叫做直线 L的方向向量.
在L取AB a,得OP OA t AB
O
②
量唯一确定
L ①、②都称为空间直线的向量表示式。 P A 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 B
a
O P O A t AB
思考：设M是底面ABCD的中心，N是侧面A1ADD1对角线 、、 MN AB AD AA A1D上的3/4分点，设，试求 的值。
A1 B1
N
D1 C1
A
M
D C
B
a
b
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， 则x OM xOA ＋ OB ＋ ,OC 3 3 的值为：
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.2空间向量的数乘运算(1) (2).pptx
r
3a
8
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结
合律
rr r r
即：(a b) a b
rrr
（ ）a a a
r
r
(a) ()a
A
B
E
D
F
9
C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
uuur uuur (1) AB BC
D1
向量．
ar
平行于
r b
记作
r a
//
r b
．
r
r
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
ar
//2br.的共充线要向条量件定是理存：空在间实任数意两，个使向ar 量 abr、.b（
r b
≠
r 0
），
17
思考:如图,
l
为经过已知点
A
且平行非零向量
r a
的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
r
A•
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
rr rr 加法交换律 a b b a
加r 法结r 合律r r r r (a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、 减法实质是一样的.
3
如图，在平行六面体ABCD A' B'C' D'，分别标出
uuur uuur r
则点 P 在直线 l 上 uu唯ur 一r实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
uuur uuur uuur
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
∴������������ − ������������=y(������������ − ������������)+z(������������ − ������������),
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》课件
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为 …….
4
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
5
定义:
例如:
6
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
A
D F
7
B
E
C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》
1
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 数乘运算. • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. • 教学重点：空间向量的数乘运算及运算律. • 教学难点：用向量解决立几问题.
2
复习回顾
数乘运算
思考1
向量的平 行
3
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 加法结合律
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
10
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
11
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 M C1
G
D A B C
8
平行六面体
思考2
D1 A1 B1
C1
a
D A B C
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张)
探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量既可能共面，也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且 只有一对实数 ， 使
C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
例如:
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则 这 些向量叫做共线向量或平行向量.
若P为A,B中点, 则
P
aB Alຫໍສະໝຸດ OA lP B
O
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
O
DC
A
B
H
G
E
F
证明
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}. (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
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r uuu uuu uuuu r r = 2( AD + AB + AA1 ) r uuuu = 2AC1
D1 A1 B1 C1
r uuu uuuu uuuu r r (3) AC + AB1 + AD1
uuur uuuu uuuu r r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
A
P96 练习 1 1 （）、（2）、（3 ）
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。 uuur uuuu r
D1 A1 B1
C1
D A B
C
∴ x = 1.
r uuu uuu r uuuu uuu r r uuuu uuu r r = ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1 选修
3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 数乘运算. • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. • 教学重点：空间向量的数乘运算及运算律. 教学重点： • 教学难点：用向量解决立几问题. 教学难点：
a
定义: 定义 数乘空间向量的运算法则
r 仍然是一个向量. λ a 仍然是一个向量. r 与平面向量一样, 与平面向量一样 , 实数 λ 与空间向量 a 的乘积
r r 的方向相同; ⑴当 λ > 0 时, λ a 与向量 a 的方向相同; r r 的方向相反; ⑵当 λ < 0 时, λ a 与向量 a 的方向相反; r 是零向量. ⑶当 λ = 0 时, λ a 是零向量.
r uuur 1 uuuu uuuu uuu r r ( 4 ) A B + A D + C C 1＝ A M . 2
平行六面体
思考2 思考
D1 A1 B1
C1
a
D A B C
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 对角线所示向量
A A1
D1 B1
C1
D B
C
(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC uuuu uuuur uuuu r r 解(1) AB1 + A1 D1 + C1C
r uuuu uuuur uuuu r = AB1 + B1C1 + C1C uuur = AC
A1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。 uuur uuuu uuuur uuuu r r
课外思考题: 课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 uuu r uuur r uuur r r AB = a , AC = b , AD = c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为 r r r 的重心, 表示下列向量: △BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量: uuuu r uuur ⑵ AG ⑴ DM r r r
D F B E C
思考1 已知平行六面体ABCD思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 平行六面体ABCD 表达式，并标出化简结果的向量.(如图) .(如图 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
r uuu uuu r D1 C1 (1) AB + BC uuu uuur uuuu r r (2) AB + AD + AA1 A1 B1 r r M 1 uuu uuur uuuu (3) ( AB + AD + AA1 ) 3 G uuu uuur 1 uuuu r r (4) AB + AD + CC 1 D C uuu uuu 2 uuur r r (1) 解 ： AB + BC＝ AC ; uuu uuur uuuu uuur uuuu uuur uuuu uuuu r r r r A B r (2) AB + AD + AA1 = AC + AA1 = AC + CC 1 = AC 1 r r 1 uuu uuur uuuu 1 uuur uuur (3) ( AB + AD + AA1 ) = AC = AG 3 3
1 r r r （ + b) − c a 2
B
A
1 （ + b + c) a 3
D
G M C
作业: 作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题 、
b b a
结论： 空间任意两个向量都是共面向量。 结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。 涉及空间任意两个向量问题， 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地, 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。
r uuuu uuuur uuuu r uuur (1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC
r uuuu uuuu r uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 = x AC 1 uuur uuuu uuuu r r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。
∴ x = 2.
向量的平行
A
D B
C
向量的平行与重合
定义: 定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量 共线向量.(或平行向量) 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) r r r r 思考⑴ 思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a = λ b , 那 r r 有什么关系?反过来呢? 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? r r r r 类似于平面,对于空间任意两个向量 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), r r r r a // b ⇔ ∃ λ ∈ R , a = λ b . r c r b
r a
思考(2) 思考
r 如图, 的直线, 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 那么如何表示直线 l 上的任一点 P ? 如何表示
A•
•
l
r a
P
r 注:非零向量 a 叫做 方向向量. 直线 l 的方向向量.
作业: 作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题 、
空间向量及其运算( 空间向量及其运算(二)
复习回顾 数乘运算
思考1 思考1
向量的平 行
作业: 作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题 、
上一节课, 上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运 到了空间. 算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 加法交换律 r r r r a+b= b+a 加法结合律: 加法结合律: r r r r r r (a + b ) + c = a + (b + c ) 空间向量
空间向量及其运算( 空间向量及其运算(二)
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 r r r r 加法交换律 a + b = b + a
r r (a + b) + c = a + (b + c )
加法结合律 r r r r
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的. 的加、减法实质是一样的.因为 ……. 奇妙, 很奇妙, 这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点. 在运算律方面 1.
A
D B
C
r uuuu uuuu r uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 = x AC 1 uuur uuuu uuuu r r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
uuuu r uuuu r r uuuu uuuu r uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
r uuuu uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 uuuu uuuu uuuu r r r = AD1 + AD1 − BD1 uuuu uuuu uuuu r r r = AD1 + ( BC1 − BD1 ) uuuu uuuur r = AD1 + D1C1 uuuu r = AC1
D1 A1 B1 C1
r uuu uuuu uuuu r r (3) AC + AB1 + AD1
uuur uuuu uuuu r r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
A
P96 练习 1 1 （）、（2）、（3 ）
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。 uuur uuuu r
D1 A1 B1
C1
D A B
C
∴ x = 1.
r uuu uuu r uuuu uuu r r uuuu uuu r r = ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1 选修
3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 数乘运算. • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. • 教学重点：空间向量的数乘运算及运算律. 教学重点： • 教学难点：用向量解决立几问题. 教学难点：
a
定义: 定义 数乘空间向量的运算法则
r 仍然是一个向量. λ a 仍然是一个向量. r 与平面向量一样, 与平面向量一样 , 实数 λ 与空间向量 a 的乘积
r r 的方向相同; ⑴当 λ > 0 时, λ a 与向量 a 的方向相同; r r 的方向相反; ⑵当 λ < 0 时, λ a 与向量 a 的方向相反; r 是零向量. ⑶当 λ = 0 时, λ a 是零向量.
r uuur 1 uuuu uuuu uuu r r ( 4 ) A B + A D + C C 1＝ A M . 2
平行六面体
思考2 思考
D1 A1 B1
C1
a
D A B C
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 对角线所示向量
A A1
D1 B1
C1
D B
C
(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC uuuu uuuur uuuu r r 解(1) AB1 + A1 D1 + C1C
r uuuu uuuur uuuu r = AB1 + B1C1 + C1C uuur = AC
A1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。 uuur uuuu uuuur uuuu r r
课外思考题: 课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 uuu r uuur r uuur r r AB = a , AC = b , AD = c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为 r r r 的重心, 表示下列向量: △BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量: uuuu r uuur ⑵ AG ⑴ DM r r r
D F B E C
思考1 已知平行六面体ABCD思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 平行六面体ABCD 表达式，并标出化简结果的向量.(如图) .(如图 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
r uuu uuu r D1 C1 (1) AB + BC uuu uuur uuuu r r (2) AB + AD + AA1 A1 B1 r r M 1 uuu uuur uuuu (3) ( AB + AD + AA1 ) 3 G uuu uuur 1 uuuu r r (4) AB + AD + CC 1 D C uuu uuu 2 uuur r r (1) 解 ： AB + BC＝ AC ; uuu uuur uuuu uuur uuuu uuur uuuu uuuu r r r r A B r (2) AB + AD + AA1 = AC + AA1 = AC + CC 1 = AC 1 r r 1 uuu uuur uuuu 1 uuur uuur (3) ( AB + AD + AA1 ) = AC = AG 3 3
1 r r r （ + b) − c a 2
B
A
1 （ + b + c) a 3
D
G M C
作业: 作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题 、
b b a
结论： 空间任意两个向量都是共面向量。 结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。 涉及空间任意两个向量问题， 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地, 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。
r uuuu uuuur uuuu r uuur (1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC
r uuuu uuuu r uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 = x AC 1 uuur uuuu uuuu r r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。
∴ x = 2.
向量的平行
A
D B
C
向量的平行与重合
定义: 定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量 共线向量.(或平行向量) 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) r r r r 思考⑴ 思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a = λ b , 那 r r 有什么关系?反过来呢? 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? r r r r 类似于平面,对于空间任意两个向量 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), r r r r a // b ⇔ ∃ λ ∈ R , a = λ b . r c r b
r a
思考(2) 思考
r 如图, 的直线, 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 那么如何表示直线 l 上的任一点 P ? 如何表示
A•
•
l
r a
P
r 注:非零向量 a 叫做 方向向量. 直线 l 的方向向量.
作业: 作业:课本 P
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A 组第 1、2 题 、
空间向量及其运算( 空间向量及其运算(二)
复习回顾 数乘运算
思考1 思考1
向量的平 行
作业: 作业:课本 P
106
A 组第 1、2 题 、
上一节课, 上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运 到了空间. 算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 加法交换律 r r r r a+b= b+a 加法结合律: 加法结合律: r r r r r r (a + b ) + c = a + (b + c ) 空间向量
空间向量及其运算( 空间向量及其运算(二)
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 r r r r 加法交换律 a + b = b + a
r r (a + b) + c = a + (b + c )
加法结合律 r r r r
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的. 的加、减法实质是一样的.因为 ……. 奇妙, 很奇妙, 这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点. 在运算律方面 1.
A
D B
C
r uuuu uuuu r uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 = x AC 1 uuur uuuu uuuu r r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
uuuu r uuuu r r uuuu uuuu r uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
r uuuu uuuu r (2) 2 AD1 − BD1 uuuu uuuu uuuu r r r = AD1 + AD1 − BD1 uuuu uuuu uuuu r r r = AD1 + ( BC1 − BD1 ) uuuu uuuur r = AD1 + D1C1 uuuu r = AC1