分数与循环小数(教师版)
第8讲 分数与循环小数—完整版
第8讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1．把下列分数化为小数：（1）34，138，1325； （2）29，311，433；（2）56，522，790； （4）27，313，437；答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) .0.2 ，0.27,0.12(3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.1082．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255.答案：(1)23100，479100(2) 325，512003．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1∙，0.4∙；(2)0.01∙∙，0.35∙∙； (3)0.08∙，0.38∙.答案：(1)19,49(2)199,3599(3)445，7184．把下列循环小数转化为分数：0.7∙，0.12∙∙，0.123∙∙，0.123∙∙答案：79，433，41333，614955.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++（4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。
答案：(1)23 (2)1 (3)213(4)107300 (5)39110解析：（1）123620.10.20.399993++=++==。
（2）23490.20.30.419999++=++==。
（3）3571520.30.50.7199993++=++==。
（4）112112312321390.10.120.123990900900110--++=++==；（5）12123351390.120.239099990110-+=+==。
6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。
第三单元《循环小数》教案方案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了循环小数的基本概念、分类、表示方法以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对循环小数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《循环小数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过小数点后面一直重复的数字？”（例如：购物时找零1.333...元）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索循环小数的奥秘。
（3）解决实际问题：将循环小数应用于实际问题的解决，学生可能会在理解题意和运用知识点上遇到困难。
难点举例：在购物找零等实际场景中，如何运用循环小数的知识进行计算。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，运用生动形象的教学方法，结合实际例子进行讲解，以帮助学生更好地理解和掌握循环小数的知识。同时，加强课堂互动和练习，及时解答学生的疑问，提高教学效果。
在课堂总结环节，我发现学生对循环小数的认识和应用有了明显的提高，但仍有一些学生对知识点掌握不够牢固。为了巩固学生的学习成果，我打算在课后加强个别辅导，关注学生的个体差异，帮助他们弥补知识漏洞。
4.循环小数与分数的关系：探索循环小数与分数之间的转换方法，提高学生解决问题的能力。
5.解决实际问题：运用循环小数的知识解决生活中的问题，增强学生的应用意识。
二、核心素养目标
《循环小数》教学旨在培养学生以下核心素养：
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
第8讲。分数与循环小数—完整版
第8讲。
分数与循环小数—完整版第8讲分数与循环小数本节课程的目标是掌握分数与小数的互相转化方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用。
同时，我们还要学会通过分数的形式判断相应的小数类型，并注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1.把下列分数化为小数：1) $\frac{31}{41}$，$\frac{32}{19}$，$\frac{13}{25}$；2) $\frac{1}{5}$，$\frac{3}{11}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{5}{43}$。
答案：(1) 0.7561，1.6842，0.52；(2) 0.2，0.2727，0.12，0.1163.2.把下列小数化成分数：1) 0.23，0.479；2) 0.12，0.255.答案：(1) $\frac{23}{100}$，$\frac{479}{1000}$；(2) $\frac{3}{25}$，$\frac{51}{200}$。
3.把下列循环小数转化为分数：1) 0.1，0.4；2) 0.01，0.35；3) 0.08，0.38.答案：(1) $\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{1}{99}$，$\frac{7}{20}$；(3) $\frac{2}{25}$，$\frac{19}{50}$。
4.把下列循环小数转化为分数：0.7，0.12，0.123，0.123.答案：$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{41}{333}$。
5.计算：1) 0.1 + 0.2 + 0.3；2) 0.2 + 0.3 + 0.4；3) 0.3 + 0.5 + 0.7；4) 0.1 + 0.12 + 0.123；5) 0.12 + 0.23.答案：(1) 0.6；(2) 1；(3) 1/2；(4) 0.39；(5) 0.35.解析：(1) $0.1 + 0.2 + 0.3 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$；2) $0.2 + 0.3 + 0.4 = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} +\frac{4}{10} = \frac{9}{10} = 1$；3) $0.3 + 0.5 + 0.7 = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} +\frac{7}{10} = \frac{15}{10} = \frac{1}{2}$；4) $0.1 + 0.12 + 0.123 = \frac{1}{10} + \frac{12}{100} + \frac{123}{1000} = \frac{321}{825}$；5) $0.12 + 0.23 = \frac{12}{100} + \frac{23}{100} =\frac{35}{100} = 0.35$。
第6课时循环小数与分数的互化(老师)
第6课时 循环小数与分数的互化知识精要一、循环小数与分数的互化1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。
2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。
4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。
5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
二、分数与小数的大小比较比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。
精解名题例题1：将下列分数化成循环小数：338)1( 125)2( 600832)3( 解：（1）42.0 （2）641.0 （3）3138.2例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。
解：从左到右依次是：33386,9953,95 例题3：将926.0,3051.0,277.0 化成分数。
解：22179907659907772277.0==-= 49957519990150299990115033051.0==-= 9906239906629926.0=-=巩固练习1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414…循环小数：0.567567…，2.0123123…，14.141414…非循环小数： 0.333， 4.18576…，0.2020020002…2、循环小数4.25656…的循环节是_56___，用简便方法写作652.4 保留三个小数写作4.257. 3、分数化为循环小数：=1514139.1 . 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,1211 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是619.0 排在末位的是0619.0 5、循环小数4832.0 与427.0 在小数点后面第___12___位时，在该位上的数字都是4.当堂总结1、 循环小数与分数的互化2、 分数与小数的互化自我测试1、将下列分数化成小数：74， 45， 1312 ， 724 解：从左到右依次是：128574.3,623079.0,871425.02、将下列循环小数化成分数：•8.0 •8.1 78.0 7823.0 解：从左到右依次是：825197,9987,917,983、用“<”符号连结下面一组数中的各个数. 58.0 ，85，58.0 ，8049. 解：8049<85<58.0 <58.04、在234.0,500117,2.1,722.0,722.0,32.1,225,911 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来. 解：234.0500117,722.0225,2.1911===5、把小数0.987654321变成循环小数.(1)如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数第200位上的数字是几？(2)如果要使第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？ 解：（1）∵（200-9）÷7=27 (2)∴是6（2）循环节肯定包括5∵100-9=91 91÷5=18 (1)∴循环节的两个点加在5和1上面。
人教版循环小数教案
人教版循环小数教案教案标题：人教版循环小数教案教案目标：1. 理解循环小数的概念及其表示方法。
2. 掌握将循环小数转化为分数的方法。
3. 能够进行循环小数的加减乘除运算。
教学重点：1. 循环小数的概念及其表示方法。
2. 将循环小数转化为分数的方法。
教学难点：1. 循环小数的加减乘除运算。
教学准备：1. 教材：人教版小学数学教材。
2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入循环小数的概念：请学生回忆小数的定义，引导学生思考循环小数与非循环小数的区别。
2. 引发问题：举例说明循环小数的概念，例如0.3333...、0.6666...等。
3. 引导学生思考：如何将循环小数表示为分数？二、讲解与示范（15分钟）1. 讲解循环小数的表示方法：使用白板或PPT演示，以具体例子说明循环小数的表示方法。
2. 指导学生转化循环小数为分数：以简单的循环小数为例，引导学生按照步骤进行转化，如0.3333... = 1/3。
3. 指导学生转化复杂的循环小数为分数：以0.6666...为例，引导学生将其转化为分数。
三、练习与巩固（20分钟）1. 分组练习：将学生分成小组，每组完成若干道循环小数转化为分数的练习题。
2. 整体操练：随机抽取几道题目进行整体操练，检查学生的掌握情况。
3. 提问与解答：针对学生容易出错的问题进行提问和解答，帮助学生理解和掌握循环小数的转化方法。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：如何进行循环小数的加减乘除运算？2. 演示加减乘除运算：以简单的循环小数为例，演示循环小数的加减乘除运算过程。
3. 练习与巩固：让学生进行一些循环小数的加减乘除运算练习，检查他们的运算能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结：回顾本节课的重点内容，强调循环小数的概念和转化方法。
2. 反思：让学生思考本节课的学习收获和存在的问题，并给予适当的指导和建议。
教学延伸：1. 引导学生探究无限不循环小数的概念和表示方法。
循环小数(挑战题)---教师版
分数与循环小数（挑战级）1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?解：１７＝0.142857，2 ７＝0.285714 ，3７＝0.428571，4 ７＝0.571428，5 ７＝0.714285， 6 ７＝0.857142 ，因此，真分数a７化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27， 又因为1992÷27＝73（组）……21,而21＝8＋5＋7＋1，所以a7＝0..857142，即a ＝6．评注：a7的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?解：由题意得：1.23 a －1.23a ＝0.3，即：0.003 a ＝0.3，所以有：3900a −a ＝31０。
解得a ＝ 90，所以1.23 a ＝1.23 × 90＝123−2 90×90＝11190×90＝1113．计算：0.1 ＋0.125＋0.3 ＋0.16 ，结果保留三位小数。
解： 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16 ≈0.1111＋0.1250＋0.3333＋0.1666＝ 0.7359 ≈0.736方法二：.1 ＋0.125＋0.3＋0.16 = 1 9+ 1 8+3 9 + 1590=55 90+ 1 8 = 11 18+ 18=53 72=07361 ≈0.7364．计算：0.01＋0.12＋0.23＋0.34＋0.78＋0.89解：方法一：原式＝ 190+ 12−190+ 23−290+ 34−390+ 78−790+ 89−890＝ 190+ 1190+ 2190+ 3190+ 7190+ 8190＝ 21690=2.4方法二：原式＝（0.0＋0.1＋0.2＋0.3＋0.7＋0.8）＋（0.01+0.02+0.03+＋0.04+0.08+0.09＝2.1＋0.01×(1＋2＋3＋4＋8＋9) ＝2.1＋190×27＝2.1＋0.3 ＝2.4方法三：如下式，0.011111…0.122222．．．0.233333．．．0.344444．．．(1＋2＋3＋4＋8＋9＝27)0.788888．．．＋ 0.899999．．．2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…＝2.39＝2.4．评注：0.9＝99＝1 ,0.09＝919010．5．将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?解：原式＝ 27999× 179672999999=137× 179672999999= 4856999999=0.004856循环节有6位，100÷6＝16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9。
循环小数与分数的转化教案
循环小数与分数的转化教案一、教学目标1、了解循环小数和分数的概念。
2、掌握将循环小数转化成分数的方法。
3、掌握将分数转化成循环小数的方法。
4、能够熟练地应用所学知识，解决实际问题。
二、教学重点1、掌握将循环小数转化成分数的方法。
2、了解将分数转化成循环小数的方法。
三、教学难点1、如何将分数转化成循环小数。
2、如何通过循环小数判断其对应的分数为何。
四、教学方法1、讲授法：通过讲解理论知识来使学生初步了解循环小数和分数的概念，并介绍相应的转化方法。
2、举例法：选取相关的例子，进行实际操作，使学生更深刻的理解循环小数和分数的转化方法。
五、教学内容1、循环小数和分数的概念循环小数是指小数部分无限重复循环的数，例如，0.6666…，0.2857142857…等。
可以表示为a.bbb…（循环的小数部分）。
分数是指一个数可以表达为两个整数的比值的数，其中分母不等于零，例如，1/2，3/4等。
2、将循环小数转化成分数的方法步骤一：设循环数为x。
步骤二：将x乘以10的n次方，n为循环节长度。
步骤三：将x乘以10的n次方减去x，记作y。
步骤四：设分数为a/b（最简分数）。
步骤五：根据步骤三的y，列式子a/b=y/10的n次方-1。
步骤六：将步骤五中的a/b化简得到分数的形式。
例如，将循环数0.666…转化成分数。
步骤一：设循环数为x=0.666…步骤二：x*10=6.666…步骤三：y=6.666...-0.666 (6)步骤四：分数为a/b（最简分数）。
步骤五：6/10的1次方-1=6/9步骤六：将6/9化简得到分数2/3。
所以，0.666…=2/3。
3、将分数转化成循环小数的方法步骤一：设分数为a/b（最简分数）。
步骤二：将a/b约分，保证分母为2的整数次幂或5的整数次幂。
步骤三：对分子b用除数法，求出其商和余数。
步骤四：将商写小数点右侧，余数乘以10，作为下一次的被除数。
步骤五：根据步骤三的余数，进行第四步和第五步，直到余数为0或者循环节出现。
《循环小数》(教学设计)-2023-2024学年人教版五年级数学上册
除了以上评价方式，还可以采用学生自评、互评等方式，鼓励学生主动参与评价，培养学生的评价能力和自我认知能力。通过多种评价方式的结合，全面了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解循环小数的基本概念。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
- 提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
最后，我将更加注重学生的反馈和评价，通过及时的反馈和指导，帮助学生发现自己的不足，并提出改进的建议，促进学生的自我提升。
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕“循环小数”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
《循环小数》（教学设计）-2023-2024学年人教版五年级数学上册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教材分析
《循环小数》（教学设计）- 2023-2024学年人教版五年级数学上册，本节课主要内容是让学生理解循环小数的概念，掌握循环小数的简便记法和求值方法。通过本节课的学习，学生能理解循环小数的意义，能找出一个循环小数的循环节，并会利用循环小数进行实际问题的计算。
循环小数(教案)2023-2024学年数学五年级上册 人教版
教案：循环小数课程名称：数学年级：五年级教材版本：人教版授课时间：2023-2024学年【教学目标】1. 让学生理解循环小数的概念，掌握循环小数的表示方法。
2. 培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学知识的欲望。
【教学内容】1. 循环小数的概念2. 循环小数的表示方法3. 循环小数的性质【教学重点】1. 循环小数的概念和表示方法2. 循环小数的性质【教学难点】1. 循环小数的表示方法2. 循环小数的性质【教学过程】一、导入1. 利用多媒体展示生活中的循环小数现象，如1.3333……，让学生初步感知循环小数。
2. 提问：你们在生活中还遇到过哪些循环小数？二、新课1. 讲解循环小数的概念- 循环小数：一个无限小数的小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字。
- 举例：1.3333……，2.6666……2. 讲解循环小数的表示方法- 在循环小数中，将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点作答。
- 举例：1.3333……表示为1.3，2.6666……表示为2.63. 讲解循环小数的性质- 循环小数是无限小数，但循环小数的位数是有限的。
- 循环小数的循环节是重复出现的数字。
- 循环小数可以进行四则运算。
三、巩固练习1. 让学生举例生活中的循环小数，并尝试用循环小数的表示方法表示出来。
2. 让学生进行循环小数的四则运算，如1.3 2.6，1.3 - 2.6等。
四、课堂小结1. 总结本节课学习的循环小数的概念、表示方法和性质。
2. 强调循环小数在实际生活中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
【教学反思】本节课通过生活中的实例导入，让学生初步感知循环小数，然后通过讲解、举例、练习等方式，让学生掌握循环小数的概念、表示方法和性质。
在教学中，要注意激发学生的学习兴趣，培养学生的观察、分析、归纳能力，提高学生的数学思维水平。
六年级秋 - 第5讲- 循环小数-教师版
循环小数下列各数中哪些是循环小数？哪些不是循环小数？（如是循环小数请改写成简便方法表示；如不是循环小数，请在它的右边打“×”。
）(1)0.666······(2)1.2777······(3)2.54836······(4)0.1212······(5)0.57373······(6)232323······(7)0.564564(8)3.01230123······【答案】略.【解析】知识纵横例1分数化小数：1、分数化成小数，直接用分子除以分母。
2、分数化成最简分数后，若分数的分母只含素因数2或5，则分数可以化成有限小数；若分数的分母不含素因数2和5，则分数可以化成纯循环小数；若分母既含有素因数2或5，还有其它素因数，则分数可以化成混循环小数。
循环小数化分数：1、纯循环小数化分数：2、混循环小数化分数：...0=，0=，0，999999···a ab abc a a b a bc ∙∙∙∙∙=（1）指出哪些分数可以化成有限小数？哪些可以化成纯循环小数？哪些可以化成混循环小数？【答案】略。
【解析】（2）指出下列分数哪些可以化为有限小数？纯循环小数？混循环小数？①2513②113③④【答案】略【解析】把下列各循环小数化成分数：【答案】略.【解析】试一试1例2374907把下列各分数化成循环小数：【答案】略.【解析】【答案】【解析】【答案】1【解析】试一试2例3试一试3321、【答案】82.【解析】【答案】300.【解析】划去0.5738367981的小数点后的六个数字（剩下四个数字相对顺序不变），再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数，这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？【答案】略.【解析】例4试一试4例5【答案】172.【解析】（补充题）【答案】2；4.【解析】1、将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数。
小学奥数教师版-1-3-3 循环小数计算
【考点】循环小数的认识
【难度】3 星
【题型】计算
【关键词】小希望杯，4 年级
【解析】0.6+0.06+0.006+……= 0.6 = 6 2 =2002÷3003 93
【答案】 3003
【例 4】 下面有四个算式：
..
..
①0.6+0.133 0.733;
②0.625= 5 ； 8
③
5 14
+
3 2
2 0.625= 5 是正确的； 8
3 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过 3 ﹥ 1 即可判断出其不正确； 22
4 3 3 × 4 1 = 24 × 21 = 72 =14 2 ，所以④不正确。 7 57 5 5 5
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为 B。 【答案】 B
【巩固】（2009 年学而思杯 4 年级第 6 题） 6 7 所得的小数，小数点后的第 2009 位数字是
．
【考点】循环小数的认识
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 6 0.857142857142 …… 6 个数一循环， 2009 6 334 ……5，是 4 7
【答案】4
【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
此一定是 0.1998 ，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是 0.1998 ．其后添加
的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998 ，而次大数为 0.1998 ，于是得到不等式：
小升初第3讲：循环小数与分数互化、定义新运算(教师版)
1.已知x=010000000009999999999100099910099109+++，求x 的整数部分.知识点一（循环小数的认识） 【知识梳理】1. 循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。
前者是有限小数，后者是无限小数。
把循环小数的小数部分化成分数的规则①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字3⨯,这个最简分数的分母应小于337=999【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈0.1+0.125+0.3+0.1611315=+++11=某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23，使乘积比正确结果减少【解析】由题意得：1.23a •，即：0.003•么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数<051<0.51<<<2591352<0.51<0.51<<<2590.9080807181216(1+2+3+4+8+9)12.127=+⨯ 2.10.3 2.4=+=1②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 定义新运算分类 1、直接运算型 2、反解未知数型 3、观察规律型 4、其他类型综合【例题精讲】例1.对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：x ◆y = 22x y x y ++，3x yx y x y ⨯⊗=+÷ .如：1◆2= 212122⨯++⨯，1212123⨯⊗=+÷.由此计算：..0.36◆141__________.2⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭例2.用{}a 表示a 的小数部分，[]a 表示不超过a 的最大整数。
循环小数教案
循环小数教案教学目标：1. 掌握循环小数的概念和特点。
2. 能够将循环小数转化为分数形式。
3. 熟练进行循环小数的加减乘除运算。
教学准备：1. 循环小数和分数转化表格。
2. 循环小数运算习题。
教学步骤：一、引入循环小数的概念（5分钟）1. 向学生提问：你们学过分数了吗？分数是由哪两个数表示的？2. 引导学生想一想：如果分子除以分母不是整数，而是一个无限循环的数字，该怎么表示呢？3. 解答学生的疑问：这就是循环小数。
二、循环小数的特点（10分钟）1. 提示学生：循环小数的特点是有一个或多个数字循环出现。
2. 举例说明：如1/3=0.3333...，其中的“3”不停地循环出现。
3. 让学生思考：那么如何将循环小数转化为分数形式呢？三、循环小数转化为分数（15分钟）1. 出示循环小数和分数转化表格，让学生根据表格进行转化练习。
2. 指导学生的思路：设循环节的长度为n，循环节部分的数值为x，那么循环小数就可以表示为x/99...9（共n个9）。
3. 通过例题和练习巩固学生的掌握程度。
四、循环小数的加减乘除（15分钟）1. 提示学生：循环小数的加减乘除运算与分数的运算很类似。
2. 指导学生的操作方法：将循环小数转化为分数，然后进行分数的加减乘除运算。
3. 进行例题和练习，帮助学生熟练掌握运算方法。
五、综合练习与拓展（10分钟）1. 提供综合练习题，包括循环小数的转化和运算题目，让学生进行自主练习。
2. 鼓励学生思考拓展问题：如何将无限不循环小数转化为分数形式？六、总结与反思（5分钟）1. 总结循环小数的概念和转化方法。
2. 学生互相交流，分享他们在解答题目中的思路和难点。
3. 教师给予反馈和指导。
教学扩展：1. 给学生更多的循环小数转化和运算题目进行巩固练习。
2. 鼓励学生进行课外拓展，了解循环小数在现实生活中的应用。
循环小数与分数的互化(老师)第六次课
源于名校，成就所托
标准教案
初中数学备课组教师班级预初学生
学生情况：
张三--------
李四--------
王五--------
主课题：循环小数与分数的互化
教学目标：
1.理解分数乘法的意义规定，掌握分数乘法的法则，并利用规定进行分数乘法的计算。
2.会解简单的分数乘法应用题。
3.引导学生理解倒数的意义。
4.掌握分数除法的法则，并能利用法则进行计算
5.会把分数化为有限小数或循环小数，理解循环小数的意义。
教学重点：
1.分数与循环小数的互化
2.分数乘法的意义规定，掌握分数乘法的法则，并利用规定进行分数乘法的计算
3.解简单的分数乘法应用题
4.理解倒数的意义
教学难点：
1.分数乘法的意义规定，掌握分数乘法的法则，并利用规定进行分数乘法的计算
2.解简单的分数乘法应用题
3.理解倒数的意义
4.把分数化为有限小数或循环小数，理解循环小数的意义
考点及考试要求：
1.分数乘法的意义规定，掌握分数乘法的法则，并利用规定进行分数乘法的计算
2.解简单的分数乘法应用题
3.理解倒数的意义
4.把分数化为有限小数或循环小数，理解循环小数的意义
教学内容。
小学数学 循环小数计算.教师版
2 0.625= 5 是正确的； 8
3 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过 3 ﹥ 1 即可判断出其不正确； 22
4 3 3 × 4 1 = 24 × 21 = 72 =14 2 ，所以④不正确。 7 57 5 5 5
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为 B。 【答案】 B
的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998 ，而次大数为 0.1998 ，于是得到不等式：
0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】 4 5606 224775
【例
9】
将
5.4 25
0.63
5
425 999
0.63
的积写成小数形式是____.
【考点】循环小数计算
【难度】2 星
【题型】计算
4
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
5.425
0.63
5
425 999
0.63
5 999
425
999
0.63
34146 9990
【难度】3 星
【题型】计算
2
【解析】我们知道形如 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 6 位数字组成，2009 6 3345 ， 7
因此只需判断当 a 为几时满足循环节第 5 位数是 7，经逐一检验得 a 3 。 【答案】 a 3
【巩固】（2009 年学而思杯 4 年级第 6 题） 6 7 所得的小数，小数点后的第 2009 位数字是
循环小数教师版0
• 3. 4141111.....1÷3的商从左到右第300位是几（300个1）？ • 300÷3=100或者（300-3）÷3=99 所以商的第300位是7
有趣的整数循环
• 1.有一列数1.2.4.7.11.16.22.29.37.46...........这列数左起 第2014个数除以5的余数是几？ • 解析：找出这列数除以5的余数规律是本题的关键 • 让这列数除以5余数分别是：1.2.4.2.1.1.2.4...... • 2014÷5=402.....4 所以余数是2
• 例、若A=0.2424…+2.814814…，则循环小数A的每个循环 节有几位数字，循环节的首位数字和末尾数字分别是多少？ • 解题方法：把两个加数循环节多写几组，利用小数加法得 出结果。
小数的近似数
• 例、将□/999+2.154的近似结果四舍五入到小数点后第2 位，是2.20，则□中填写的自然数是几，最大的自然数 是几？ • 解题方法：这两个数的和是介于2.195和2.204之间的某 个数字让它们分别和2.154做差就有0.041<□/999<0.05 进而计算出 • 可以填 41-49之间的自然数，最大是49
循环小数
知识点
• 1.定义：有限小数、无限小数、循环小数，不循环小数、 纯循环小数、混循环小数、循环节 • 2、近似数 • 3、小数和分数的互化 • 4、有关循环小数的计算 • 5.整数的循环
循环小数
• 在无限小数中，如果从小数部分的某一位或者某几位数 字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
已知和求循环小数
• 例、真分数a/7化成循环小数后，如果从小数点后第一位 的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少？ • 解题方法：无论a等于几，循环节都是142857这几个数 字，它们的和都是27，用1992除以27得到73个循环余21， 验证是8+5+7+1=21，所以a=6
循环小数(教案)2023-2024学年数学五年级上册 人教版
教案：循环小数课程目标：1. 理解循环小数的概念和特点；2. 能够将循环小数转化为分数；3. 能够判断循环小数和无限不循环小数的区别；4. 能够运用循环小数进行计算和解决实际问题。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学习的分数和小数的知识；2. 提问：分数和小数之间有什么关系？二、新课导入（10分钟）1. 讲解循环小数的概念和特点；2. 通过实例演示循环小数的表示方法；3. 引导学生观察循环小数和无限不循环小数的区别。
三、实践操作（10分钟）1. 让学生将循环小数转化为分数；2. 引导学生通过计算器验证转化的正确性；3. 提供一些实际问题，让学生运用循环小数进行计算。
四、巩固练习（10分钟）1. 给学生发放练习题，巩固循环小数的概念和计算方法；2. 引导学生通过练习题加深对循环小数的理解。
五、总结与拓展（5分钟）1. 让学生总结循环小数的特点和计算方法；2. 提问：循环小数在实际生活中有哪些应用？六、作业布置（5分钟）1. 让学生完成练习题；2. 布置一道拓展题目，让学生深入研究循环小数的性质。
教学反思：本节课通过讲解循环小数的概念和特点，让学生掌握了循环小数的表示方法和计算方法。
通过实践操作和巩固练习，学生能够熟练地将循环小数转化为分数，并能够运用循环小数进行计算。
在教学过程中，要注意引导学生观察循环小数和无限不循环小数的区别，加深对循环小数的理解。
同时，要注重学生的实践操作，通过计算器验证转化的正确性，提高学生的计算能力。
在作业布置中，要注重拓展题目的设计，让学生深入研究循环小数的性质，培养学生的探究能力。
需要重点关注的细节是：循环小数转化为分数的方法和步骤。
补充和说明：循环小数转化为分数的方法和步骤是本节课的重点内容，也是学生需要掌握的关键技能。
在讲解循环小数转化为分数的方法时，教师应该详细解释每个步骤的意义和作用，并通过实例演示来加深学生的理解。
首先，教师需要明确循环小数的概念。
五年级第五讲分数与循环小数教师版
第5讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性性分析循环小数的小数局部。
典型问题兴趣篇1．把以下分数化为小数：答案：(1)0.75 1.625 0.52 (2) 2.0 72.0 21.0 (3)38.0 722.0 70.0 (4 )485712.0 930762.0 801.0 解析：〔1〕43=3÷4=0.75 813=13÷8=1.625 2513=13÷25=0.52 〔2〕92=2÷9=2.0 72.0113113 =÷=334=4÷33=21.0 〔3〕65=5÷6=38.0 225=5÷22=722.0 907=70.0 〔4〕72=2÷7=485712.0 133=3÷13=930762.0 801.0374 = 2．把以下循环小数转化为分数：答案〔1〕9194〔2〕9919935〔3〕454187 解析1〕0.1=91 0.4=94〔2〕0.01=9910.35=9935〔3〕0.08=908=4540.38=903-38=9035=1873．把以下循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7.0 答案：973343334149561解析:0.7=97 0.12=9912=3340.123=999123=33341 0.123=9901-123=49561990122=4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01.0)1( ++++++ 答案： 6.0 1 6.1 635.0 .453.0 解析：3.02.01.0)1( ++=6.096939291 ==++ 4.03.02.0)2( ++=1949392=++7.05.03.0)3( ++=6.1961979593 ==++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341.0 ++++ 答案：6.1 解析：6．计算以下各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068.1)1( ÷⨯ 答案: 56.0 75.0 解析：〔1〕原式=56.0996537139918599935199861==⨯=⨯ 〔2〕75.04314271872714187==⨯=÷=原式7．将算式6.03.06.03.06.03.0 ÷+⨯-+的计算结果用循环小数表示是多少？ 答案：72.1 解析：8．将算式12111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 答案：3538.0 解析：原式3538.0308.090.01.01.0 =+++= 9．冬冬将32.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0.3．那么正确结果应该是多少？答案：111解析：由题意得：1.23 1.230.3a a -=，即：0.0030.3a =，所以有：1039003=a ．解得90a =，所以2321.23 1.239019011190a -⎛⎫=⨯=+⨯= ⎪⎝⎭．10．真分数7a化成小数后，如果从小数点后第一位起连续假设干个数字之和是2000．a 应该是多少？答案：a=2解析：7a化成小数很神奇，都是有142857这六个数字组成，并循环的，而且六个数字从左到右的相对顺序位置是不变的10.1428577=，20.2857147=，30.4285717=，40.5714287=，50.7142857=，60.8571427=．一个循环节的6位数字之和是14285727+++++=，274272000。
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识要点
一. 判断分数化成的小数类型；
二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数；
三. 循环小数四则运算；
四. 分数与循环小混合计算；
五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目．
分数化为循环小数：
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求）
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求）
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
循环小数化分数：
1．纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
2．混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
例题精讲
1. 将下列分数化为小数：
23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100
． 【分析与解】
20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166
= ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900⨯⨯+==== ．
2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ．
【分析与解】
123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110
-== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495
== ，136130.01369900220-== ．
3. 循环小数运算：
1）0.1230.2310.312++ ；
2）0.1230.1230.1230.123+++ ；
3）0.1230.123⨯ ；
4）98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++．
【分析与解】
1） 原式2
0.6663== ；
2） 原式0.1231230.123230.12330.123=+++
0.492688779= ；
3） 原式413741
3333002700=⨯=；
4） 原式()()0.10.20.80.020.030.09=+++++++ ．
4. 将算式的结果分别用循环小数和分数表示（分数要化为最简）：
1）0.10.1250.0030.16+++ ；
2）1.860.351⨯ ；
3）1
1
1
1
1
1
235689+++++．
【分析与解】
1） 原式0.11110.125250.00330.1666=+++
0.40635= ；
2） 原式18535199=⨯13
9993724053663=； 3） 原式111111
236589⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
10.20.1250.1=+++
0.4361= ．
5. 计算：0.10.1250.30.16+++ ，结果保留三位小数．
【分析与解】
方法一：0.10.1250.30.16+++
≈0.11110.12500.33330.1666+++
=0.7359
≈0.736．
方法二：0.1
0.1250.30.16+++ 1131598990=
+++ 111188
=+ 5372
= 0.7361
= ≈0.736．
6. 真分数7
a 化为小数后，如果从小数点后第1位数字开始连续若干数字之和是2008，那么a 是多少？ 【分析与解】
10.1428577= ，20.2857147= ，30.4285717= ，40.5714287= ，50.7142857= ，60.8571427
= ． 一个循环节的6位数字之和是14285727+++++=，2008277410÷= ，循环节的前几位数字
之和是10的只有0.285714
中2810+=，那么a 就是2．
7. 某学生将1.23
乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少？
【分析与解】
由题意得：1.23 1.230.3a a -= ，即：0.0030.3a = ，所以有：10
39003=a ．解得90a =，所以2321.23 1.239019011190a -⎛⎫=⨯=+⨯= ⎪⎝⎭
． 8. 将循环小数0.027
与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
【分析与解】
27179672117967248560.0270.1796720.00485699999999937999999999999
⨯=⨯=⨯== ． 循环节有6位，1006164÷= ，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第101位是5，这样四舍五入后第100位为9．
9. 小B 写了一个错误的不等式：0.20080.20080.20080.2008>>>．请给式子中每个小数都添加循环
点，使不等号成立．
【分析与解】
把0.2008添加循环点，可以变成4个循环小数：0.2008
，0.2008 ，0.2008 ，0.2008 ． 0.20080.20082008= ，0.20080.2008008= ，0.20080.200808= ，0.2008
0.200888= ．
．
比较小数点后第5、6、7位，可知0.20080.20080.20080.2008
>>>
思考题
10.给小数0.4081923785添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数．并使得这个循环小数的小
数点后第100位数字是8．
【分析与解】
如果第100位数字是0.4081923785中的第一个8，则从它后一位“1”开始到第100位这97个数字，恰好构成若干个完整的循环节，但97是质数，矛盾．因此第100位数字是0.4081923785中的第二个8．从第二个“8”后面的“5”开始，到第100位有91个数字，91713
=⨯，而循环节长度不大于10，
．
只能是7．因此这个循环小数是0.4081923785。