05薛震-概率统计-D4几类重要的概率分布-中北大学
05概率统计-D4几类重要的概率分布-薛震
第四章
几类重要的概率分布
二项分布
泊松分布
正态分布
其他重要的概率分布
二维正态及二维均匀分布
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伯努利
泊松NORTH UNIVERSITY OF CHINA
)可得:
NORTH UNIVERSITY OF CHINA 高斯
测量误差、
某地区年降雨量等绝大多数随机现象都服从正态分布.
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().
Eλ
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第四章几类重要的概率分布是平面上的一个有界区域,其面积为A,若二
这是组合数学与概率论史
书中给出的伯努利数在很多地方有用,
此外, 他对
级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创
在对天文学、大地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、
恪守这样的问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.。
中北大学 概率统计 答案
第一章 随机事件与概率1、（1）{3,4,,18}Ω=，{4,6,,18}A =；（2）Ω={（正，反），（正，正），（反，正），（反，反）}，B ={（正，反），（正，正）}。
2、（1）表示三门炮中至少有一门炮击中目标 （2）表示三门炮中至少有两门炮击中目标 （3）表示三门炮都击不中目标（4）表示三门炮中至少有一门击不中目标 或表示三门炮中至多有两门炮击中目标 （5）ABC ABC ABC ++ （6）ABC ABC ABC ++ （7）ABC（8）A B C ++ 3、（1）18（2）16 （3）724（4）344、m n5、（1）0.00539（2）0.037956、⑴1221146252212P C C C C C C =＝3316（2）33177、8541999nnnn n n --+8、17259、0.2510、（1）0.2； （2）0.4； （3）0.8； （4）0.7。
11、（1）0.85（2）0.941 12、178013、2112mm M m m C C C C -+或222mM M mC C C -- 14、（1）22p p +；（2）21p p +；（3）2322p p -15、(1)512（2）82516、0.042；0.02317、设A =“甲机床需要看管”； B =“乙机床需要看管”； C =“丙机床需要看管”； A B C 、、相互独立， （1）0.003； （2）0.388 18、独立 19、0.99420、 (1) D ； (2) D ； (3) C ； (4) B 21、(提示：先求出击不沉的概率)1283/1296 22、150010.9980.95-≈第二章 随机变量及其概率分布2、（1）17C =；（2）67。
3、（1）0,11/3,14()1/2,465/6,6101,10x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2) {26}P X <≤12=；{4}P X <13=；{15}P X ≤<12=。
高校统计学专业概率论知识点整理思维导图
高校统计学专业概率论知识点整理思维导图概率论是统计学中重要的基础学科，它研究的是不确定事件的数量关系和规律性。
对于高校统计学专业的学生来说，掌握概率论知识是非常重要的。
本文将通过整理概率论的知识点，并以思维导图的形式展示，帮助读者更好地理解和记忆。
一、概率基本概念1. 随机试验- 随机试验的定义- 试验的分类- 样本空间和样本点2. 事件与事件的关系- 事件的定义- 事件的运算- 事件关系的性质3. 概率的定义与性质- 古典概型- 几何概型- 组合概型二、概率分布1. 随机变量- 随机变量的定义- 随机变量的分类- 随机变量的分布函数2. 离散型随机变量及其分布- 离散型随机变量的定义- 二项分布、泊松分布等常见分布 - 离散型随机变量的期望和方差 3. 连续型随机变量及其分布- 连续型随机变量的定义- 均匀分布、正态分布等常见分布 - 连续型随机变量的期望和方差三、概率密度函数与分布函数1. 概率密度函数- 概率密度函数的定义- 连续型随机变量的概率计算2. 分布函数- 分布函数的定义- 连续型和离散型随机变量的分布函数性质 - 分布函数的计算方法四、多维随机变量1. 二维随机变量- 二维随机变量的定义- 二维随机变量的概率密度函数和分布函数 2. 边缘分布与条件分布- 边缘分布的定义与计算- 条件分布的定义与计算3. 相关性与独立性- 相关性与协方差的关系- 独立性的定义与判定五、大数定律与中心极限定理1. 大数定律- 弱大数定律与强大数定律- 大数定律的应用2. 中心极限定理- 中心极限定理的定义- 中心极限定理的应用六、抽样与统计推断1. 抽样方法- 简单随机抽样- 分层抽样- 系统抽样2. 参数估计- 点估计与区间估计的概念 - 极大似然估计- 置信区间估计3. 假设检验- 假设检验的原理- 单侧与双侧假设检验- 显著性水平与p值总结：概率论作为统计学的基础学科，对于高校统计学专业的学生来说是非常重要的。
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)
1. 设随机变量X 的分布列为解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯10.120.21+⨯+⨯=()22E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：{} 3,2,1,1===-k pqk X P k ,其中p 为常数，01p <<，1q p =-。
求(),()E X D X 。
解：11()k k E X kpq+∞-==∑()111k k k q q+∞-==-∑111k kk k kqkq +∞+∞-===-∑∑()011k k k k k q kq +∞+∞===+-∑∑01111k k q q p+∞====-∑ 2211()k k E X k pq +∞-==∑()11211k k k k k k pqkpq+∞+∞--===-+∑∑()()122111k k k k k k q k k q p +∞+∞-===---+∑∑()()12111kk k k k k q k k q p+∞+∞===+--+∑∑ 112k k kq p+∞==+∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p=+ 所以，()()22()D X E X E X =-222211q qp p p p =+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为1()exp{}2x f x μλλ-=-，其中0λ>为常数，求()E X 。
解：1e d 2x EX x x μλλ--+∞-∞=⎰()11e d e d 2211e d e d 22x x ttx x xt t x μμλλλλμμλλμμλλ----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰⎰⎰注：关于绝对收敛性01e d 211ed e d 2211e d e d 22x x x ttx xx x xt x t x μλμμλλλλλμμλλμμλλ--+∞-∞----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞≤-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ λμ=+或1e d 2x x x μλλ--+∞-∞⎰||1e d ()2t x t t t μλμλ+∞--∞-=+=⎰当0μ≥时()||e d e d t t t t t t μλλμλμ+∞---∞-∞+=-+⎰⎰()()0e d e d tt t t t t μλλμλμ+∞--++++⎰⎰()ee μμλλλμλλλμ--⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2e2μλλμ-=+当0μ<时()0||e d e d t tt t t t λμλμ+∞--∞-∞+=-+⎰⎰()()0ed ed ttt t t t μλμλλμλμ-+∞---++++⎰⎰()e e μμλλλμλμλλ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭2e 2μλλμ=-综上所述，我们有()||1||e d ||2x E X x x e μμμλμλλ---+∞-∞==+⎰4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它1)(b x a ab x f ，求圆的周长L 和面积S 的数学期望。
大学概率论知识点归纳总结
大学概率论知识点归纳总结概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的发生规律和概率的计算方法。
作为大学数学课程中的一门核心内容，概率论具有广泛的应用领域，如统计学、金融、物理学等。
本文将对大学概率论的知识点进行归纳总结，以帮助读者系统地理解和掌握这一学科。
一、概率的基本概念及性质1.1 随机试验和样本空间在概率论中，随机试验是指具有不确定性的实验，样本空间是指所有可能结果的集合。
1.2 事件和事件的关系事件是样本空间的子集，包含了几个样本点。
事件之间有包含关系、互斥关系等。
1.3 概率的定义与性质概率是描述某个事件发生可能性大小的数值，它具有非负性、规范性、有限可加性等性质。
二、概率的计算方法2.1 古典概型古典概型是指各个基本事件发生的可能性相等的情况，如掷骰子、扑克牌等。
2.2 几何概型和计数原理几何概型是指基于几何图形的概率计算问题，计数原理用于计算可行结果的数量。
2.3 频率与概率的关系频率是通过实验统计得到的事件发生的相对次数，当试验次数增多时，频率趋于概率。
2.4 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，乘法定理用于计算条件概率。
2.5 独立性与乘法定理的应用两个事件的独立性意味着其相互不影响，乘法定理可用于计算独立事件联合发生的概率。
三、随机变量及其分布3.1 随机变量的概念随机变量是指具有随机性的数值变量，可以是离散型或连续型。
3.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量只取有限或可列个值，其分布由概率质量函数描述，如二项分布、泊松分布等。
3.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量可取任意实数值，其分布由概率密度函数描述，如均匀分布、正态分布等。
3.4 期望与方差期望是随机变量取值的平均数，方差描述了随机变量取值的离散程度。
四、常见概率分布及其性质4.1 二项分布与泊松分布二项分布描述了n重伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)知识讲解
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1. 设随机变量X 的分布列为解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯ 10.120.21+⨯+⨯=()22E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：{}Λ3,2,1,1===-k pqk X P k ,其中p 为常数，01p <<，1q p =-。
求(),()E X D X 。
解：11()k k E X kpq +∞-==∑()111k k k q q +∞-==-∑111k k k k kqkq +∞+∞-===-∑∑()011kk k k k q kq +∞+∞===+-∑∑01111k k q q p+∞====-∑ 2211()k k E X k pq +∞-==∑()11211k k k k k k pqkpq+∞+∞--===-+∑∑()()122111k kk k k k qk k q p +∞+∞-===---+∑∑()()12111kkk k k k q k k q p +∞+∞===+--+∑∑112k k kq p+∞==+∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p=+ 所以，()()22()D X E X E X =-222211q qp p p p=+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为1()exp{}2x f x μλλ-=-，其中0λ>为常数，求()E X 。
解：1e d 2x EX x x μλλ--+∞-∞=⎰()11e d e d 2211e d e d 22x x ttx x xt t x μμλλλλμμλλμμλλ----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰⎰⎰注：关于绝对收敛性01e d 211ed e d 2211e d e d 22x x x ttx xx x xt x t x μλμμλλλλλμμλλμμλλ--+∞-∞----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞≤-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ λμ=+或 1e d 2x x x μλλ--+∞-∞⎰||1e d ()2t x t t t μλμλ+∞--∞-=+=⎰当0μ≥时()||e d e d t t t t t t μλλμλμ+∞---∞-∞+=-+⎰⎰收集于网络，如有侵权请联系管理员删除()()0e d e d tt t t t tμλλμλμ+∞--++++⎰⎰()ee μμλλλμλλλμ--⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2e2μλλμ-=+当0μ<时()0||e d e d t t t t t t λμλμ+∞--∞-∞+=-+⎰⎰ ()()0ed e d ttt t t t μλμλλμλμ-+∞---++++⎰⎰()e e μμλλλμλμλλ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭2e 2μλλμ=-综上所述，我们有()||1||e d ||2x E X x x eμμμλμλλ---+∞-∞==+⎰4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它1)(b x a ab x f ，求圆的周长L 和面积S 的数学期望。
02薛震-概率统计-D1随机事件与概率-中北大学
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第一章 随机事件与概率
样本空间Ω的某个子集. " A, B, C , " 5. 随机事件： 例如:在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点 A 2, 4, 6 基本事件：由一个样本点构成的集合 复合事件：由多个样本点构成的集合 6. 事件的发生: A 发生
A
B
A B
若A与B满足 A B 且 AB ,
称 A与B互逆. 注: ①事件互斥与互逆的区别 ② A B AB
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A
B
BA
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第一章 随机事件与概率
四、事件的运算律
AB
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第一章 随机事件与概率
三、事件的运算
1.和:(并) A,B中至少有一个发生的事件.
A B A B
或
A
B
A B
2.积:(交) A ,B 同时发生的事件.
A B AB
A
且
B
A B
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
1.确定性现象与不确定性现象 确定性现象: • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 不确定性现象:(随机现象) • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数. 2.随机现象的统计规律性 随机现象的各种结果会表现出一定的规律性, 这种 规律性称之为统计规律性.
薛震-概率统计-主界面-中北大学
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引言
2020/9/14
1. 什么是概率统计
概率论与数理统计是数学的两个重要分支.
概 率 论 — 起源于博弈问题, 是研究和揭示自然界与人 类社会随机现象规律的一门学科, 是统计理 论和方法的基础.
数理统计 — 研究对象为随机现象, 它是通过对个体所包 含数据信息的收集来分析和推断总体.
第一节 参数估计的概念 第二节 点估计量的求法 第三节 估计量的评选标准 第四节 区间估计
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第八章 假设检验
2020/9/14
第一节 假设检验的基本思想 第二节 单个正态总体期望与方差的假设检验 第三节 两个正态总体参数的假设检验 第四节 总体分布的假设检验
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第五章 基本极限定理
2020/9/14
第一节 切比雪夫不等式和大数定律 第二节 中心极限定理
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第九章 回归分析与方差分析
第一节 回归分析 第二节 方差分析
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06薛震-概率统计-D5基本极限定理-中北大学
p
(n )
注: 辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.
第二节
第五章
中心极限定理
一、独立同分布中心极限定理 二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
引言
1.背景:
若一个量受到大量独立的随机因素综合影响,
而每一因素在总影响中所起的作用并不大,
则这个量通常
近似服从正态分布.
2.内容: 设独立随机变量序列
件 { X E( X ) } 发生的概率进行估计.
切比雪夫
对事
例1. 已知我校有1万盏电灯, 均为0.8, 且它们开关与否相互独立,
夜晚每一盏灯开灯的概率 试用切比雪夫不等式
估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率.
解: 设X表示夜晚开灯数,
则 X ~ B10000,0.8 ,
又因为E(X)=8000,
每袋净重的期望为100g,
标
准差为4g,
一箱装100袋,
求一箱净重大于10100g的概率.
解: 设 X i 表示第i袋食品的净重,
则 X1, X 2,L X100 独立
同分布, 且 E( Xi ) 100 , D( Xi ) 16 , 而一箱净重
100
X Xi ,
i 1
由独立同分布的中心极限定理可知:
Xi ~ B(1, p)
un p p (n ) n
注: 该结论的实际意义在于, 用事件发生的频率来代替其概率.
当试验次数很大时,
便可以
3.辛钦大数定律
定理4: 设相互独立的随机变量
X1,L , X n,L
服从相同的分布,
且 E( Xi ) , i 1, 2,L , 则有
辛钦
1
n
高考数学中的概率统计中的概率分布
高考数学中的概率统计中的概率分布在高考数学中，概率统计是一道必考题。
而在这道题里，概率分布也是一道非常重要的题目。
那么，什么是概率分布呢？在这篇文章里，我们将会深入探讨概率分布的知识。
一、概率分布的定义概率分布是指一个随机变量在各个取值间的分布规律，也就是随机变量的取值与它的概率之间的对应关系。
如果一个随机变量X的所有取值为x1,x2,……,xn，那么X在取到xi这个值的概率为P(X=xi)，其中，P(xi)表示事件“X=xi”发生的概率，也就是概率分布。
二、离散概率分布在离散概率分布中，随机变量只能取到有限个或可数个不同的取值。
比如，扔一次骰子，它有可能落在1,2,3,4,5,6这6个数字上。
那么，每个数字出现的概率就是1/6。
这时，可以用离散概率分布来表示各数字出现的概率。
另一个例子是二项分布。
当我们进行一系列的试验，每次实验只有两种结果，成功或失败。
比如，投掷一枚不均匀的硬币，如果硬币正面朝上，称为“成功”，反面朝上则被称为“失败”。
设p表示出现成功的概率，q表示出现失败的概率，则在n次试验中，成功出现k次的概率为：其中，C(n,k)表示在n次试验中，成功出现k次的组合数，也就是从n次试验中选择k次成功的方案数。
这便是二项分布的概率分布。
三、连续概率分布另一种概率分布是连续概率分布。
在连续概率分布中，随机变量可以在一定的区间内取到任意值。
比如身高、体重等连续变量就是典型的例子。
在这种情况下，不能用数列的方式来表示各数出现的频率。
而需要使用概率密度函数。
概率密度函数是连续概率分布的核心概念。
在一个区间[a,b]内，概率密度函数$f(x)$的图像下垂线与$x$轴之间的面积就代表了$[a,b]$区间内$X$取到的概率。
概率密度函数有以下两个性质：1. $f(x)\ge 0$，即概率密度函数的值必须非负；2. 在所有可能的取值范围内，概率密度函数的面积为1，即$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$。
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
中北大学概率论与数理统计习题答案
概率论与数理统计考试试题一、单项选择题1、对任意事件A、B，下列式子正确的是[单选题] *A 、B、C、*D 、2、A、B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则必有[单选题] *B、C、D、*A、3、[单选题] *A、0.1*B、0.2C、0.3D、0.44、[单选题] *A、B、C、D、*5、将一枚骰子连掷两次，则两次点数之和为5的概率为[单选题] *A、1/6B、1/36C、5/9D、1/9*6、在区间内任取一个数，这个数在区间[0, 10]中点的概率为[单选题] *A、5B、0*C、0.5D、无法确定7、设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球.现在将2个白球放入箱中，然后从箱中任取一个球，则取出的是白球的概率为[单选题] *A、1/5B、4/5C、2/3D、5/6*8、[单选题] *A 、B、C 、D、*9、[单选题] *A、0.4B、0.5C、0.6*D、0.710、[单选题] *A、0.4B、0.5C、0.6D、0.7*11、下列函数为某随机变量密度函数的是[单选题] *A、*B、C、D、12、[单选题] *A、0.3B、0.5*C、0.45D、0.213、[单选题] *A、1B、2C、-1*D、-214、[单选题] *A、1/5B、4/5C、2/3D、1/3*15、[单选题] *A、10B、11C、12*D、1316、[单选题] *A、0.1B、0.2C、0.3*D、0.417、[单选题] *A、a=0.4，B、a=0.1，b=0.4C、a=0.4，b=0.2D、a=0.2，b=0.2 b=0.1*18、[单选题] *A、0.10B、0.15C、0.60*D、0.5519、[单选题] *A、1/6*B、4/5C、5/6D、1/320、[单选题] *A、1/8*B、8C、1/6D、6二、判断题1、[判断题] *对错*2、[判断题] *对错*3、[判断题] *对错*4、[判断题] *对错*5、随机变量是一个定义在样本空间上，以样本点作为自变量的单值函数。
大学概率统计知识点总结
大学概率统计知识点总结一、概率论1. 随机事件和样本空间随机事件是指在一次试验中不能确定具体结果的事件，样本空间是指实验的所有可能结果组成的集合。
在概率论中，我们经常需要描述随机事件发生的可能性，这就会引出概率的概念。
2. 概率的公理化定义在概率论中，概率的公理化定义是基础，它包括三个主要公理：非负性、规范性和可列可加性。
非负性要求概率是非负的，规范性要求样本空间的概率为1，可列可加性要求对于任意可数个两两互斥事件的概率等于这些事件的概率之和。
3. 条件概率和事件的独立性条件概率是指在另一事件已发生的条件下，某事件发生的概率。
事件的独立性是指两个事件的发生互相不影响。
条件概率和独立性是概率论中的两个重要概念，也是很多概率分布和概率模型的基础。
4. 随机变量及其分布随机变量是指随机试验结果的数值表示，它可以是离散的也可以是连续的。
在概率论中，我们经常需要讨论随机变量的分布，包括离散分布和连续分布。
常见的离散分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等，常见的连续分布有正态分布、指数分布、均匀分布等。
5. 随机变量的函数随机变量的函数也是一个随机变量，它的分布可以通过原随机变量的分布来推导。
比如，两个随机变量的和或积也是一个随机变量，它的分布可以通过原随机变量的分布来求得。
6. 大数定律和中心极限定理大数定律指的是当重复独立试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值。
中心极限定理则说明了当随机变量独立同分布，并且总体分布非常靠近正态分布时，它们的和的分布近似于正态分布。
二、数理统计1. 统计量和抽样分布统计量是用来对总体参数进行估计或检验的量，它是样本的函数。
在数理统计中，我们经常需要推导统计量的分布，这就引出了抽样分布的概念。
比如，样本均值的分布可以用中心极限定理来近似，样本方差的分布可以用t分布来近似。
2. 参数估计参数估计是统计学中的一个重要问题，它分为点估计和区间估计。
点估计是指用统计量估计总体参数的值，比如使用样本均值来估计总体均值。
大一经数概率统计知识点
大一经数概率统计知识点概率统计是一门应用数学的学科，用于研究随机现象的规律性，并基于概率理论对事件发生的可能性进行评估和推测。
作为大一经数专业的学生，了解和掌握概率统计的基本知识点是非常重要的。
本文将介绍一些大一经数概率统计的核心知识点。
一、概率论基础1. 试验和样本空间：概率统计研究的对象是试验，试验的所有可能结果构成样本空间。
2. 随机事件和事件的概率：样本空间中的子集称为随机事件，事件的概率表示事件发生的可能性大小。
3. 概率的公理化定义：概率具有非负性、规范性和可列可加性等基本性质。
4. 频率与概率的关系：频率是指在大量重复试验中事件发生的比例，当试验次数趋于无穷大时，频率趋近于概率。
二、离散型随机变量1. 随机变量的概念：随机变量是指将样本空间映射到实数集上的函数。
2. 离散型随机变量和连续型随机变量：离散型随机变量取有限或可列个值，连续型随机变量可取任意实数值。
3. 离散型随机变量的分布律和概率质量函数：离散型随机变量的分布律描述了各个取值对应的概率。
4. 离散型随机变量的数学期望和方差：数学期望是随机变量取值的加权平均，方差衡量随机变量取值的离散程度。
三、连续型随机变量1. 连续型随机变量的概率密度函数：连续型随机变量的概率密度函数描述了变量在某个取值范围内的概率密度。
2. 连续型随机变量的分布函数：分布函数是随机变量小于等于某个取值的概率。
3. 连续型随机变量的数学期望和方差：数学期望是随机变量取值的加权平均，方差衡量随机变量取值的离散程度。
四、常见概率分布1. 二项分布：描述了n次重复的独立二元试验中成功次数的概率分布。
2. 泊松分布：描述了单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率分布。
3. 正态分布：又称为高斯分布，是自然界中许多现象的近似分布，具有对称、钟形曲线的特点。
4. 指数分布：描述了独立事件发生时间间隔的概率分布。
5. 均匀分布：描述了在一定范围内各个取值发生的概率相等的概率分布。
中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)教学内容
中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 15 -1. 填空1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX =npq 。
2）设~()X P λ,则EX =λ，DX =λ。
3）设~()X E λ,则EX =1λ，DX =21λ。
4）设[]~,X U a b ,则EX =2a b+，DX =()212b a -。
5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ，DX =2σ。
6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。
7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000,625N 。
2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。
今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。
解：设X 表示5000件产品中的次品数，则()~5000,0.001X B 。
50000.0015λ=⨯=，则()()()2100P X P X P X ≥=-=-=5000499910.99950000.0010.999=--⨯⨯01555510!1!e e--≈--10.006740.033690.95957=--=注：实际上5000499910.99950.9990.95964--⨯=3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且{}707e 0.999!k Nk P X N k -=≤=≥∑查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。
解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ，52EX =；2512DX =。
高数大一概率知识点总结
高数大一概率知识点总结大一高等数学概率知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。
作为大一学生，掌握一些基本的概率知识对于解决实际问题和在后续学习中打下坚实的数学基础非常重要。
本文将为大家总结一些大一概率论的基本知识点。
一、基本概念1. 随机实验：具有明确的实验过程，但结果具有不确定性的实验。
2. 样本空间：随机实验中所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：样本空间中的子集，表示随机实验的某种结果。
4. 频率与概率：频率是指某个事件发生的次数与实验重复次数的比值；概率是指某个事件在无限次重复实验中发生的可能性。
二、概率的运算1. 事件的补事件：对于事件A，补事件是指在样本空间中所有不属于事件A的结果构成的事件，记为A'。
2. 事件的并、交与差：事件A和事件B的并集表示同时包含A 和B的事件，记为A∪B；事件A和事件B的交集表示同时发生A和B的事件，记为A∩B；事件A和事件B的差集表示发生A但不发生B的事件，记为A-B。
3. 条件概率：事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率，记为P(B|A)。
计算方法为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
4. 乘法定理：对于两个事件A和B，乘法定理表示P(A∩B) =P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)。
三、重要的概率分布1. 二项分布：二项分布是指在n次独立重复实验中，事件A发生k次的概率分布。
二项分布的概率公式为P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间单位内，事件发生的平均次数为λ，且事件之间相互独立的概率分布。
泊松分布的概率公式为P(X=k) = (e^-λ × λ^k) / k!，其中e表示自然对数的底数。
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x 0 , ( x) 1 ( x) .
y
书末附表供查阅 ( x) . 为计算方便, 例如:设 X ~ N (0,1) , 则有
P X 2.38 2.38 0.991344 P X 2.38 2.38 1 2.38 0.008656 P X 0 2 0.5 [1 2 ]
解: 设X为参保人员死亡的人数, 则 X ~ B(2500,0.002) , 由二项分布的泊松逼近(此时 np 5 )可得: 5 k 5 e 0.00007 P{公司亏本} P{ X 15} k! k 16 k 5 5 e P{赢利不少于10万} P{ X 10} 1 k! k 11 0.9863
称X服从伯努利分布或两点分布,记为 X ~ B 1, p .
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第四章 几类重要的概率分布
二、二项分布 (Binomial Distribution)
1.n重伯努利试验:将伯努利试验独立重复地进行n次. 例如,连续抛掷一枚均匀的硬币100次,令X表示正面出
P( A1 ) P( A2 ) P( Ak 1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p (1 p) k 1 p.
( k 1)
(k 1,2,)
注: 几何分布用来描述某试验“首次成功”的概率模型.
例3.(几何分布) 设某批产品的次品率为p, 对该批产品
做有放回的抽样检查, 直到第一次抽到一只次品为止(在 此之前抽到的全是正品),求所抽到的产品数X的分布律. 解: X的所有可能取值为1,2,┄, 设 Ai 表示“抽到的第i 则 个产品是正品”, P{ X k} P( A1 A2 Ak 1 Ak )
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第四章 几类重要的概率分布
三、泊松分布的应用
① “流量”问题(电话接到的呼叫次数,车站来到的乘客 数,热电子辐射数等)大都服从泊松分布;
② 作为大量试验中稀有事件(不幸事件,意外事故,非 常见病,自然灾害等)发生的概率模型.
四、二项分布的泊松逼近
3.正态分布的应用: 零件的尺寸、物种的生理特征、 测量误差、 某地区年降雨量等绝大多数随机现象都服从正态分布.
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第四章 几类重要的概率分布
四、有关正态分布的结论
(1) 若 X ~ N ( , 2 ) , 则对任意常数a,b有
样检查,问共取得k件次品的概率.
解: 由于是有放回的抽样,因此过程是n重伯努利试验.
N , 令X为n次抽样检查中抽 记A为“抽到次品”,P( A) 则 M N 到的次品数, 则 X ~ B(n, ) , 由二项分布得 M
P X
k k Cn (
N k N nk ) (1 ) . M M
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第四章 几类重要的概率分布
例2. 设一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答
案,其中只有一个答案是正确的,某学生靠猜测至少能答
对4道题的概率是多少?
解: 记A＝{答对一道题},则 P( A) 1/ 4 . 解答5道题相当 于做5重伯努利试验. 令X表示该学生靠猜测能答对的题 1 目数,则 X ~ B(5, ) , 从而可得 4
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第四章 几类重要的概率分布
2.密度函数f(x)的性质: ① f ( x) 的各阶导数均存在;
② 密度曲线以x轴为渐近线;
f ( x) 1 e 2
( x )2 2 2
③ f ( x) 关于 x 对称;
1 . ④ f ( x) 在 x 取得最大值 2
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k
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第四章 几类重要的概率分布
例2.设某保险公司为社会提供一项人寿保险,已知参保 人死亡概率为0.0020,每年需交120元保险金, 死亡时家属 可领取2万元保险金,现有2500人参保,求该保险公司亏本 以及年赢利不少于10万元的概率?
三、二项分布的数字特征
设 X ~ B(n, p) , 则 E ( X ) np , D( X ) np(1 p) .(自证)
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第四章 几类重要的概率分布
例1. 若在M件产品中有N件次品,现进行有放回的n次抽
第四章
几类重要的概率分布
二项分布
泊松分布 正态分布 其他重要的概率分布 二维正态及二维均匀分布
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第四章 几类重要的概率分布
第一节 二项分布
一、伯努利分布
第四章
二、二项分布
三、二项分布的数字特征
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定理: 设 X ~ B(n, p) , 则当 n 时, X近似服从 P( ) ,
k 即有 C注: 当n很大且p很小时,才能使近似计算的误差较小.
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e
, 其中 np .
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第四章 几类重要的概率分布
例1. 假设儿童在注射“甲流”疫苗产生不良反应的概率
为0.001, 试确定2000个儿童中有3个以及10个以上产生 不良反应的概率. 解: 设X表示注射疫苗的儿童中产生不良反应的个数,
则 X ~ B 2000,0.001 , 因n很大且p很小,所以由二项分布
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第四章 几类重要的概率分布
例4.(超几何分布) 设N件产品中有M件次品, 现从中取
出n件,令X表示取出的这n件产品中的次品数,则X的分布 律为
P{ X k}
k n CM C N kM n CN
布或Gauss分布,记为 X ~ N ( , 2 ) . 特别地,当 0, 1 时, 称X服从标准正态分布, 记 为 X ~ N (0,1) , 其密度函数、分布函数记为 ( x) 和 ( x) .
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定义: 设离散型随机变量X的分布律为
泊松
P{ X k}
k
k!
e , 0, k 0,1,2,,
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P( ) .
二、泊松分布的数字特征
设 X ~ P( ) , 则 E ( X ) , D X . (自证)
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aX b ~ N (a b, a )
2 2
2 (2) 若 X ~ N ( 1 , 12 ) , Y ~ N ( 2 , 2 ) , 且X与Y独立,则 2 X Y ~ N ( 1 2 , 12 2 ).
第二节 泊松分布
一、泊松分布
第四章
二、泊松分布的数字特征
三、泊松分布的应用 四、二项分布的泊松逼近
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第四章 几类重要的概率分布
一、泊松分布 (Poisson Distribution)
k 0,1,,min(M , n)
此时, 就称随机变量X服从参数为n ,N,M的超几何分布, 记为
X ~ h(n, N , M )
注: 超几何分布对应于不放回抽样模型.
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第四章 几类重要的概率分布
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第四章 几类重要的概率分布
一、伯努利分布 (Bernoulli Distribution)
1.伯努利试验
只有两种可能结果的试验称为伯努利试验. 伯努利 通常把这两个结果A和 A 称为“成功”和“失败”.
注: 任一试验均可视为只有结果A和 A 的伯努利试验.
2.定义1:在一次伯努利试验中,设 P( A) p (0 p ) , 记X为A发生的次数,则X的分布列为 X 0 p 1-p 1 p
2 2 的泊松逼近得 P{ X k} e ( np 2) , k 0,1, , k! 3 2 2 故 P{ X 3} e 0.18045 3! 2 k 2 e 0.00001 P{ X 10} P{ X 11} k! k=11
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第四章 几类重要的概率分布
一、正态分布(Normal Distribution)
1.定义: 若随机变量X的概率密度函数为
f ( x) 1 e 2
( x )2 2 2