2018-2019苏教版高中数学苏教版必修一学案：3.3 幂函数

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高中数学3.3幂函数教案苏教版必修1

．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能常见幂函数的概念、图象和性质；一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数．2．幂函数y ＝x α图象的分布与α 的关系：对任意的α∈ R ，y ＝x α在第I 象限中必有图象；若y ＝x α为偶函数，则y ＝x α在第II 象限中必有图象；若y ＝x α为奇函数，则y ＝x α在第III 象限中必有图象；X=1y=1y=XIIIIII对任意的α∈ R ，y ＝x α的图象都不会出现在第VI 象限中． 3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）y ＝12x ；（2）y ＝2x -；（3）y ＝22x x -+；（4）y ＝1122x x-+．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5（2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）314与221例3 幂函数y ＝x m；y ＝x n；y ＝x 1与y ＝x 在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m ，n 与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①y ＝0.2x ；②y ＝x 0.2；③y ＝x 3；④y ＝3·x 2．其中是xyOy ＝x y ＝x m y ＝x -1 y ＝x n为本精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

2019年高中数学 3.3幂函数教案苏教版必修1

3.3　幂函数教学目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y＝x，y＝x2，y＝x 1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数α是常数．2．幂函数y＝x α图象的分布与α的关系：对任意的α∈ R，y＝xα在第I象限中必有图象；若y＝xα为偶函数，则y＝xα在第II象限中必有图象；若y＝xα为奇函数，则y＝xα在第III象限中必有图象；对任意的α∈ R，y＝xα的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1　写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）y ＝；　（2）y ＝；（3）y ＝；（4）y ＝．12x 2x -22x x -+1122x x-+例2　比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5　（2）3.14 1与π 1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3与21421例3　幂函数y ＝x m ；y ＝x n ；y ＝x 1与y ＝x 在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m ，n 与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①y ＝0.2x ；②y ＝x 0.2；③y ＝x 3；④y ＝3·x 2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数的定义域是．122(2)y x x -=-（3）已知函数，当a ＝时，f (x )为正比例函数；21()(1)a a f x a x +-=-当a ＝时，f (x )为反比例函数；当a ＝时，f (x )为二次函数；当a ＝时，f (x )为幂函数．（4）若a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 三个数按从小到大的顺序排列为231()2231()5131()2．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》1

《幂函数》教学设计常州市第二中学蒋理一、教学需求分析1、适用对象分析适用于高一已经学习了函数的概念和图象以及指数函数，对数函数这两大类函数的学生，由学习上述两类函数的经验，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这5个相同的角度来自我学习一类新的函数，从而化解了学习的难度。

2、学习内容分析参照指、对函数的学习经验，通过ece，几何画板作图从五个角度直观分析函数，找出三类幂函数的异同，并且利用总结出的性质比较幂函数的大小关系。

3、教学目标分析（1）三维教学目标分析A、过程目标：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会数形结合的思想。

B、知识技能目标：了解幂函数的概念，会画幂函数2132,1y=x=y==-,的图象，并能结合这几个x=,x,,yxxyy幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。

C、情感目标：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

（2）教学重难点分析教学重点：幂函数的概念和性质。

教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。

4、教学教法分析（1）教法分析利用软件绘制幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，类比指数函数，对数函数的研究方法，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这五个角度来学习一类新的函数。

（2）学法分析通过软件绘制的幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，直观感知五类常见的幂函数，回忆指数函数，对数函数的学法，类比总结幂函数的性质。

（3）教学用具分析利用ece 软件和几何画板作图让学生直观感知幂函数的图象。

二．教学设计。

2018版高中数学苏教版必修一学案：3.3 幂函数

3．3幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(难点)；2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，掌握它们的性质(重点)；3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P88－89，完成下面问题：知识点一幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】1．下列函数是幂函数的为________(填序号)．①y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；②y＝x－1＋x2；③y＝x n(n∈Z)；④y＝(x－2)3.答案③2．若函数f(x)＝(a2－3a－3)x2是幂函数，则a的值为________．解析根据幂函数定义，有a2－3a－3＝1，a2－3a－4＝0，所以a＝4或a＝－1.答案4或－1知识点二幂函数的图象与性质1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________．解析 y ＝x －1的定义域为{x |x ≠0}，y ＝的定义域为{x |x ＞0}，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R . 答案 1,32．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，y ＝x 12的图象分布在第一象限，所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．答案二、四题型一幂函数的概念【例1】 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a2－5a ＋5(a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的值．解(1)设f(x)＝xα，∵(2，2)在f(x)的图象上，∴f(2)＝(2)α＝2，∴α＝2.故f(x)＝x2，f(2)＝22＝4.(2)∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．综上，得a的值为2.规律方法(1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数．(2)当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减．【训练1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？解①∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.②若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－4 5，此时m2－m－1≠0，故m＝－4 5.③若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，解得m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.④若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，得m ＝－1. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1. 题型二幂函数的图象及应用【例2】讨论函数f (x )＝的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．解 ∵y ＝＝13x 2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．令f (x )＝13x 2，∴f (－x )＝13(－x )2＝13x 2＝f (x )．∴y ＝是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．规律方法幂函数y ＝x α的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α＞0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α＜0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸，0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．【训练2】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )＞g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )＜g (x )．解设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．【探究1】函数y ＝在[－1,1]上是________(填“增函数”或“减函数”)且是________(填“奇函数”或“偶函数”)．解析由幂函数的性质知当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数，∴y ＝在x ∈[0,1]上是增函数．设f (x )＝，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )59＝－x 59＝－f (x )，∴f (x )＝是奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称， ∴x ∈[－1,0]时，y ＝也是增函数．当x ＝0时，y ＝0，故y ＝在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案增函数奇函数【探究2】比较下列各组数的大小．(1)；(2)；(2)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和.解(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.(2)函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0,>0，所以(－13)－3<.【探究3】若，则a的取值范围是________．解析函数f(x)＝在区间(0，＋∞)内是减函数，所以等价于⎩⎪⎨⎪⎧a＋1＞0，3－2a＞0，a＋1＞3－2a，解得23＜a＜32.所以a的取值范围是(23，32)．答案(23，32)【探究4】已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．解析函数f (x )＝x －1的大致图象如图，由题意可知应分三种情况讨论： ①当a ＋1＜0,10－2a ＞0时，f (a ＋1)＜0＜f (10－2a )，此时解得a ＜－1.②当a ＋1＞0,10－2a ＞0时，得a ＋1＞10－2a ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞10－2a ，10－2a ＞0， ∴3＜a ＜5.③当a ＋1＜0,10－2a ＜0时，得a ＋1＞10－2a ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞10－2a ，a ＋1＜0，无解．综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3,5)．答案 (－∞，－1)∪(3,5)规律方法比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．课堂达标1．已知函数f (x )＝(m 2＋m ＋1)x m2－2m －1是幂函数，则实数m ＝________. 解析由函数f (x )＝(m 2＋m ＋1) x m 2－2m －1是幂函数可得m 2＋m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝－1. 答案 0或－12．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________.解析依题意13＝(3)m ＝，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.答案1 363．若y＝x a2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________．解析由题意得，a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k∈N*)，(a－2)2＝13－2k，当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1.答案1,3,5，－14．设α∈{－2，－1，12，1,2,3}，则使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值为________．解析要使y＝xα为奇函数，需α＝－1,1,3，又在(0，＋∞)上单调递减，所以α＝－1.答案－15．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.课堂小结1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。

2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3.3 幂函数

学习目标 1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？梳理一般地，我们把形如____________的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三一般幂函数的图象特征思考类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质．梳理一般幂函数特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________．(2)α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是单调______函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象____________． (3)当________时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列．类型一幂函数的概念例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．反思与感悟幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数为________．类型二幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．引申探究若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．。

苏教版高中数学必修一学案：3.3幂函数(1)

§29 幂函数（1）主备：韩梅花审核：马佩珊做题：姜荣华一、教学重、难点幂函数的图象和性质二、新课导航1.经调查，一种商品的价格和需求如下表所根据此表，我们可以把价格x 与需求量y 之间近似地满足关系：38.082.114-=x y ，这个关系式与函数38..0-=x y 是相关联的.函数38..0-=xy 是指数函数吗？2．幂函数的定义：3．根据活动2填写表中几个幂函数的性质三、合作探究活动1、（1）下列函数中，是幂函数的有．①x y 2=； ②2x y -=； ③43y x =； ④21-=xy ； ⑤y x =．（2）已知函数22()(1)mf x m x -=-是幂函数，则m = ．（3）已知点4)在幂函数()f x 的图象上，则函数()f x 的解析式为．活动2、分别作出下列幂函数的示意图（1）3x y =；（2）21x y =；（3）2-=x y ；（4）y x =；（5）0y x =．四、提高拓展1．（1）12+=x y ；（2）32-=xy ；（3）121-=xy ；（4）22x y -=中是幂函数的有 ____．2．（1）x y =；（2）xy -=2；（3）121-=xy ；（4）2-=x y 中在()+∞,0上是减函数的有________． 3．函数21-=xy 的定义域是．4．函数31x y =的图象关于对称．5．函数1-=x y 在)0,(-∞上是函数（填“增”或“减”）．五、知识网点§29 幂函数（1）作业班级姓名学号得分日期一、填空题1．下列函数中，定义域为),0(+∞的是．1）1（-=x y ； 21）2（-=xy ；21）3（x y =； 31）4（-=xy ．2、下列函数中是偶函数的是．（1）xy 3-=；（2）]3,3(,2-∈=x x y ；（3）32-=xy ；（4）1)1(22+-=x y ．3、下列函数中，在)0,(-∞上单调递减的是．（1）3x y =；（2）21x y =；（3）2-=x y ；（4）2x y =．4、若一个幂函数)(x f 的图象过点)41,2(，则)(x f 的解析式为．5、指出下列函数的定义域和奇偶性41x y =的定义域是，是函数；2x y =的定义域是，是函数； 31-=x y 的定义域是，是函数； 32x y =的定义域是，是函数．6、函数23x y =的定义域是，单调递区间为．7、比较下列各组数的大小（1）11223.5____3.4；（2）221.2___1.3--；（3） 1.61.42.4___0.8--．二、解答题8．画出函数32x y =的示意图，并指出其定义域，值域，奇偶性，单调性．9．已知函数1222)()(--+=m m x m m x f 是幂函数，求实数m 的值．三、错题剖析。

苏教版高中数学必修1幂函数教案1

幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。

情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。

教学重点：重点从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。

难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。

教学准备：多媒体课件，几何画板。

教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。

学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。

教学程序与环节设计：的函数，其中x是自变量，是α常数。

函数与指数函数的异同。

组织探究材料一：幂函数定义及其图象。

一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数。

例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y =1x2（2）y=2x2 （3）y=x2 + x（4）y = 2x （5）y=1下面我们举例学习这类函数的一些性质。

利用几何画板作出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．师：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。

引导学生注意辨析。

生：观察所图象，体会幂函数的变化规律。

归纳概材料二：幂函数的图象变化规律归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）；（2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升；当0<α时，幂函数的图象在第一象限逐渐下降。

在第一象限内，当x从右边趋向原点时，师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。

《幂函数》教案4(苏教版必修1)

幂函数的性质与图像【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能简单应用。

过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合的数学思想。

情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学生的学习兴趣和探究热情。

【教学重点】：幂函数的性质与图像【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳【教学过程】：一．创设情境，引入新知回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1.这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。

二．幂函数定义一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ）概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？（1） y=x 3.0 （2）y=21_x （3）y=3x +x (4) y=23x三．研究特殊的幂函数的性质与图像的方法例题：研究函数y=21_x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。

（师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并观察此幂函数性质在图像上的体现）。

自主探究：研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。

（在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价）四．合作探究一般的幂函数性质与图像特征1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x、 y=2 x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。

2.小组讨论：归纳幂函数（k 0）的性质和图像特征（1）在第一象限单调性如何？（2）有无公共点?（3）图像与坐标轴的位置关系？（4）图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0 k 1和k 1时幂函数性质五．课堂巩固、简单应用练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96)31__________ (-0.95)31_ 六．课堂小结今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？七．布置作业：课本81页：习题4.1写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文。

苏教版高中数学必修一幂函数教案(3)(1)

幂函数一．三维目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体三．教学过程：引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小（1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。

高中数学苏教版高一必修1教案 3.3幂函数

2.4 幂函数整体设计教材分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，幂函数模型在生活中是比较常见的，和许多生活实例都有密切的联系，幂函数的解析式虽然简单，但是幂函数的性质却是非常复杂的.因此,在研究幂函数的概念和性质时,可以组织学生通过生活实例了解幂函数的概念，并通过计算机画出它们的图象，观察总结幂函数图象的变化情况和性质，尤其是幂指数a的不同取值对幂函数单调性的影响.通过几个常见的幂函数图象加深学生对幂函数概念的理解.对于幂函数和指数函数这两类函数的解析式学生容易混淆，因此在引出幂函数的概念后要组织学生结合具体的例子比较分析它们的异同，并组织学生讨论：在我们学过的函数里面，哪些函数是幂函数？通过对幂函数的学习，能让学生熟练利用幂函数的性质比较两个或是多个不同指数式的大小问题和求变量范围的问题，同时，借助于几个例子加深对幂函数概念的理解也是本节研究的一个重要方面.三维目标1.通过具体实例引入幂函数的概念，会画几个常见的幂函数图象，并结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质.2.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象能力和识图能力.通过利用幂函数图象解决有关问题，使学生加深对函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力.3.在教学过程中，通过学生相互交流，来加深对幂函数概念和性质的理解，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.重点难点教学重点：幂函数概念以及常见幂函数的图象和性质.教学难点：①幂指数的变化对函数图象的影响.②数形结合解决大小比较以及求含参数的问题.课时安排2课时教学过程第一课时幂函数(一)导入新课问题1：小明买一元钱一支的笔ω支，那么他需要付的钱数p(元)和他买的笔的数量之间的关系如何？问题2：小车从静止开始做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，试写出其位移s和时间t的关系.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V与边长a的关系如何？问题4：如果正方形的面积为S，则正方形的边长a和面积S的关系如何？问题5：如果小华t s内骑自行车行进了1 km，那么他骑车的平均速度是多少？分析：对于问题1，它们的关系为p=ω，根据函数的定义可知，这里的p是ω的函数；对于问题2，因为初速度为零，根据位移和时间的关系以及加速度的关系，可以得到以下关系：s=t 2，这里s 是时间t 的函数；对于问题3中的正方体的体积V 与边长a 的关系很简单，即V=a 3，这里V 是a 的函数；对于问题4，由正方形的面积S 和边长a 的关系可以得到S=a 2，所以正方形的边长a 和面积S 的关系为a=S 21，这里边长a 是面积S 的函数；问题5中的平均速度为v=t -1 km/s ，这里的平均速度v 是时间t 的函数. 合作探究：以上是我们生活中经常遇到的几个函数模型，你能发现上述几个函数解析式的共同点吗？分析：由上述的p=ω；s=t 2；V=a 3；a=S 21；v=t -1这几个函数模型，我们可以发现，解析式的右边都是指数式，而且底数都是自变量.如果设自变量为x ，因变量为y ，则以上的解析式就有以下具体的函数式：y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1.这几个函数式满足y=x α这种形式，我们把此类函数叫幂函数，这就是今天我们将要所学的又一类重要的基本初等函数模型.推进新课新知探究1.一般地，我们把形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考：幂函数与指数函数有什么区别？(组织学生回顾指数函数的概念，明确二者的区别，得出如下结论) 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式来看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数.2.请同学们在同一个坐标系内画出y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的函数图象(提示学生画图要列表、描点、连线)，条件好的学校可以利用计算机几何画板画出上述的几个函数图象.注：y=x ，y=x 2这两个函数图象以前学过，学生很容易就可以画出，可以不用列表描点了，关键是y=x 3；y=x 21；y=x -1这三个函数图象该如何绘制呢？老师可以边巡视边提示. 教师用多媒体显示如下图表，请学生完成下列表格的内容：y=x y=x 2y=x 3y=x 21y=x -1定义域值域奇偶性单调性定点图象范围合作探究：根据上表的内容并结合图象，试总结y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的共同性质(学生交流，老师结合学生的回答组织学生总结出如下性质).1.图象均过(1，1)点，特别的，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21的图象过原点和(1，1)点，而y=x -1的图象过定点(1，1)点.2.在第一象限，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21是单调递增的，其中y=x 2，y=x 3在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，y=x 21在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，而y=x -1是单调递减的.3.y=x ；y=x 3；y=x -1是奇函数，y=x 2是偶函数，y=x 21为非奇非偶函数.注：y=x -1在区间(-∞，0)和(0，+∞)是减函数，能否说y=x -1在定义域内是减函数呢？答案是否定的，原因如下：如果说y=x -1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域(-∞，0)∩(0，+∞)内任意的值，当x 1，x 2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x 1＜x 2有y 1＞y 2，但是在-2＜1时，却有(-2)-1＜(1)-1不能满足减函数的定义.注意：当函数f(x)的定义域不连续时，如果它在两个区间上都单调递增或单调递减，不能说函数在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f(x)在各个区间上的单调性.应用示例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x 23；(2)y=x 32；(3)y=x23 ；(4)y=x -2.问题1：观察以上函数的解析式，你能发现解析式中对于自变量x 都有哪些限制条件吗？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数的解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据“分式的分母不能为0”这一限制条件来求出对应函数的定义域.问题2：如何来判断函数的奇偶性呢？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：首先要看函数的定义域是否关于数0对称，然后根据定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断.下面请同学们根据我们的分析给出完整的解答过程，老师进行课堂评价.解：(1)函数y=x 23即y=3x ，其定义域为［0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递增.(2)函数y=x 32即y=32x ，其定义域为R ，是偶函数，它在区间(0，+∞)上单调递增，在区间(-∞，0)上单调递减. (3)函数y=x23-即y=31x ，由x 3＞0得其定义域为(0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递减. (4)函数y=x -2即y=21x，由x 2≠0得其定义域为(-∞,0)∪(0，+∞)，因此函数y=x -2在定义域上是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减.探究：请同学们根据我们以上的分析，把上述函数图象的大概形状画出来.并总结归纳幂函数的指数变化时对幂函数定义域的影响.(学生讨论交流，老师结合学生的交流内容，总结并简单板书如下) (1)α∈N +时，x ∈R ；(2)α∈Z 且α≤0时，x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)； (3)α=mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{非负实数}，若m 是奇数，则x ∈R . (4)α=-mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{正实数}，若m 是奇数，则x ∈(-∞，0)∪(0，+∞). 点评：这两个变式考查了幂函数的定义和幂函数图象特征的综合应用，尤其是幂指数的值对幂函数的单调性以及奇偶性的影响，这是学生在充分掌握幂函数的图象和性质的基础上才能解决的问题. 合作探究：我们研究的几个常见幂函数的性质，这些性质是否也适用于其他的幂函数？ (师生共同探究，师使用几何画板软件，画出函数y=x α的图象，改变指数α的值，组织学生观察、分析所得到的函数图象，在动态变化过程中让学生了解幂函数的性质，得出如下结论)知识拓展：幂函数y=x α图象的基本特征是：当α＞0时，图象过原点和(1，1)点，且在第一象限随x 的增大而上升，当α＞1时，在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，即图象越靠近y 轴；当0＜α＜1时，在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，即图象越靠近x 轴；当α＜0时，图象不过原点而过(1,1)点，且在第一象限随x 的增大而下降.可以用一句话来概括：幂函数在第一象限的图象，当幂指数越大时，函数图象也越高.例2 根据下列条件对于幂函数y=x α的有关性质的叙述，分别指出幂函数y=x α的图象具有下列特点时的α的值，其中α∈{-2,-1,21-,31,21,1,2,3}. (1)图象过原点，且在第一象限随x 的增大而上升；(2)图象不过原点，不与坐标轴相交，且在第一象限随x 的增大而下降； (3)图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交； (4)图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交；(5)图象关于原点对称，且过原点； (6)图象关于原点对称，但不过原点.解：(1)因为幂函数y=x α的图象过原点，可知幂指数为正数.又函数图象随x 的增大而上升，所以α=31，21，1，2，3. (2)因为幂函数y=x α的图象不过原点，可知幂指数不大于0.又函数图象不与坐标轴相交且在第一象限随x 的增大而下降，所以α=-2，-1，21-. (3)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，又与坐标轴相交，可知幂指数α=2.(4)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，但不与坐标轴相交，所以幂指数α=-2.(5)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象过原点，所以α=31，1，3. (6)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象不过原点，所以α=-1.点评：通过本例的训练，加深学生对幂函数的学习和认识，对于我们生活中常见的幂函数有了更深刻的了解，我们可以根据幂函数的幂指数的具体值，来判定幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，在定义域上的奇偶性；也可根据幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，以及在定义域上的奇偶性来判定幂指数的具体取值，达到了这样的学习要求，就掌握了幂函数的概念和图象，从而达到我们的教学目标. 例3 已知函数y=42215x x --，(1)求函数的定义域、值域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求函数的单调区间.分析：这是个幂函数的复合函数形式，本例中的函数的基本形式是开偶次方根，故定义域只要根式下大于或等于0即可，值域要先求根式下面二次函数的值域，然后再开方；对于复合函数奇偶性的判断，要先求定义域，定义域首先要关于原点对称，然后根据对定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断，满足前者为偶函数，满足后者为奇函数；对于复合函数单调区间的求解，则要在定义域内根据内函数和外函数的单调性来综合判断.解：令t=15-2x-x 2，则y=4t .(1)由15-2x-x 2≥0⇒-5≤x≤3，得函数的定义域为［-5，3］；而t=15-2x-x 2=16-(x+1)2∈［0，16］，所以函数的值域为［0，2］.(2)因为函数的定义域为［-5，3］不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为函数的定义域为［-5，3］，对称轴为x=-1，所以当x ∈［-5，-1］时，t 随x 的增大而增大；当x ∈［-1，3］时，t 随x 的增大而减小.又因为y=4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，所以函数y=42215x x --的单调增区间为［-5，-1］，单调减区间为［-1，3］. 知能训练一、课本第73页练习1、2.解答：1.(1)幂函数y=x 4的定义域为R ，为偶函数；(2)幂函数y=x 41的定义域为［0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数；(3)幂函数y=x -3定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数. 2.该函数的单调增区间为(-∞，+∞).二、补充练习1.下列函数中，是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x 2 C.y=x1D.y=2x 分析：由幂函数的定义知，形如y=x α的形式. 答案：C2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点B.当α＜0时，幂函数y=x α是减函数C.当α＞1时，幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数，也是幂函数分析：对于A ，只有幂指数α＞0时，幂函数的图象过原点；对于B ，当α＜0时，幂函数y=x α在第一象限是减函数；对于C ，当α＞1时，幂函数y=x α在第一象限是增函数，而不能说整个函数是增函数；对于D ，显然是对的. 答案：D3.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( )A.y=2x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=-2x 23分析：由幂函数的图象特征可得. 答案：A 4.函数y=(x 2-2x)21-的定义域是( )A .{x|x≠0或x≠2} B.(-∞，0)∪(2，+∞) C.(-∞，0］∪［2，+∞) D.(0，2) 分析：由函数y=(x 2-2x)21-=xx 212-可得，x 2-2x ＞0.答案：B5.对于函数y=x 2和y=x 21有下列说法：a.两个函数都是幂函数；b.两个函数在第一象限都是单调递增的；c.它们的图象关于直线y=x 对称；d.两个函数都是偶函数；e.两个函数都经过(0，0)、(1，1)点；f.两个函数的图象都是抛物线形；g.两个函数互为反函数. 其中正确的是______________(把你认为正确的都写上).分析：由y=x 2和y=x 21这两个幂函数的图象特征可以观察出a 、b 、e 、f 是正确的. 答案：a 、b 、e 、f 课堂小结1.幂函数的概念及其和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象特征.3.幂指数取值不同时对函数图象的影响.4.给出幂函数能求出其幂函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性，求函数的单调区间等问题. 作业1.课本第73页习题2.4的1、3.2.借助有关数学软件，通过研究，写一篇“幂指数对幂函数性质的影响”的小论文.要求要详细，如定点，单调性，奇偶性等.设计感想这节课是幂函数的第一课时，主要教学目标就是幂函数的概念和图象以及常见幂函数的性质.本来学生对幂函数的概念比较陌生，但是本课时采用了从生活实例导入，让学生感受幂函数就在我们身边，从而增近学生和幂函数的距离，这是本节的一大亮点.由实例得到的函数模型引出课题，即幂函数的概念，它的形式和指数函数在形式上有些相似，但是又不同，试让学生比较两个函数的区别，从而让学生把两者区分开.并采用通过几个常见幂函数的图象来研究幂函数的图象特征，尤其是幂指数的变化对幂函数性质的影响，这要靠教师在课堂上利用计算机演示给学生看，让学生深刻地理解和掌握幂函数的概念和图象. 本节采用三个例题来加强幂函数概念的理解，例1是求幂函数的定义域，并指出幂函数的单调性，奇偶性；例2是在学生充分了解幂函数的图象和性质的基础上设计的，根据幂函数图象的过定点、关于坐标轴或原点对称来确定题目中所给出的幂指数的具体值.例3是对例2的补充和加深，难度比较大，老师可根据学生的情况选择性地讲解.在作业中设计了让学生通过自己利用数学软件画出幂函数的图象来自己研究幂函数的性质，并通过写小论文“幂指数对幂函数性质的影响”来加深学生自主学习的能力，并加深对幂函数的理解和掌握.(设计者：王银娣)第二课时幂函数(二)导入新课复习导入上节课我们学习了幂函数的概念以及常见幂函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.1.定义：形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.2.幂函数y=x α的性质：当α＞0时：①图象都过点(0，0)和(1,1)；②函数在区间(0,+∞)上是增函数，即图象在第一象限是单调递增的；③当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.当α＜0时：①图象不过原点而过(1,1)点；②函数在区间(0,+∞)上是减函数，即图象在第一象限是单调递减的；③在第一象限内，图象向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴；④当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.无论指数正负如何，他们都有共同的性质：①图象都过点(1,1)；②当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方. 应用示例思路1 例1 幂函数y=x 43，y=x 31，y=x34-的定义域分别M 、N 、P ，则( )A.M ⊆N ⊆PB.N ⊆M ⊆PC.M ⊆P ⊆ND.以上都不对分析：把上述三个幂函数的定义域分别求出来，看定义域之间的包含关系即可. 解：因为y=x 43=43x ，所以x≥0，即得M=［0，+∞)；函数y=x 31的定义域为R ，即N=R ；函数y=x34-=341x，可得x≠0，于是P=(-∞，0)∪(0，+∞).所以选D.点评：求幂函数的定义域时，需先把分数指数幂化为根式，然后令根式有意义，列出相应的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到函数的定义域.以下总结当α为有理数时函数y=x α的定义域的情况：(1)当α=0时，y=x α的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)； (2)当α是正整数时，y=x α的定义域是R ； (3)当α是正分数时，设α=qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，定义域是R ；如果q 是偶数，此时定义域为［0，+∞)；(4)当α是负整数时，设y=x α定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)； (5)当α是负分数时，设α=-qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，则定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)；如果q 是偶数，定义域是(0,+∞).例2 已知函数满足f(x)=ax 5+bx 3+cx-10，且f(3)=10，求f(-3)的值. 解：令g(x)=ax 5+bx 3+cx ，则f(x)=g(x)-10对于任意实数x ，都有 g(-x)=a(-x)5+b(-x)3+c(-x)=-(ax 5+bx 3+cx)=-g(x)，故g(x)为奇函数.因为f(3)=10，即f(3)=g(3)-10=10，得g(3)=20，于是有g(-3)=-20，所以f(-3)=g(-3)-10=-20-10=-30.点评：学会用整体思想考虑，考查整体的奇偶性进而求值.出现的误区：不能准确采用整体思想考虑，导致不知如何着手.例3 求下列各式中参数a 的取值范围： (1)a 43＞0.543；(2)(-2)32＞(2a+4)32.解：(1)因为a≥0，又幂函数y=x 43为区间(0，+∞)上的增函数，由a 43＞0.543可得a ＞0.5，所以a 的取值范围是(0.5，+∞).(2)方法一：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减. 故有⎩⎨⎧<+≥+242042a a 或⎩⎨⎧->+<+242042a a ，解得-2≤a ＜-1或-3＜a ＜-2，综上可得参数a 的范围是-3＜a ＜-1.方法二：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减.所以自变量离y 轴越远则函数值就越大，由(-2)32＞(2a+4)32，可得|2a+4|＜2，解得-3＜a ＜-1，所以参数a 的范围是(-3，-1).点评：当幂指数相同时，根据幂函数的单调性，只要比较自变量的大小即可.求参数的问题时，要找准相应的幂函数，先看定义域，根据幂函数的奇偶性和单调性建立不等式或不等式组，遇到幂函数是偶函数时，要注意分区间进行讨论. 例4 证明：y=x 在区间(0,+∞)上是增函数. 证明：任取x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1＜x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=212121212121))((x x x x x x x x x x x x +-=++-=-，因为0＜x 1＜x 2，所以x 1-x 2＜0，21x x +＞0，则有2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，所以y=x 在区间(0,+∞)上是增函数.点评：在对两个函数值进行作差比较时，要化简到最简.本题中对根式作差采用的是分子有理化，因为这样就可以利用题意中x 1＜x 2这个条件，直接进行判断.思路2 例1 图中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α可取±2，±21四个值，则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为( )A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21 D.2,21,-2,21- 分析：因为曲线C 3,C 4的图象是递减的，所以α3＜0，α4＜0.又因为在(1,+∞)上，C 3的图象高于C 4的图象，故α4＜α3＜0，于是有α3=21-，α4=-2；C 1，C 2的图象是递增的，所以C 1＞0，C 2＞0.又因为在(1，+∞)上，C 1的图象高于C 2的图象，故α1＞α2＞0，所以α1=2，α2=21.综上可得. 答案：B例2 点(3，3)在幂函数y=f(x)的图象上，点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，试解下列不等式：(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＜g(x).解：设f(x)=x α，g(x)=x β.因为点(3,3)在幂函数y=f(x)的图象上，所以(3)α=3，解得α=2；同样由点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，得(-22)β=81，解得β=-2.所以f(x)=x 2，g(x)=x -2.(1)由f(x)＞g(x)，可得x 2＞x -2，即x 4＞1，所以|x|＞1，得x ＜-1或x ＞1. 所以不等式f(x)＞g(x)的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)由f(x)＜g(x)，可得x 2＜x -2，即可得0＜x 4＜1，所以-1＜x ＜0或0＜x ＜1. 所以不等式f(x)＜g(x)的解集为(-1，0)∪(0，1).点评：在求不等式f(x)＜g(x)的解集时，应特别注意g(x)的定义域，要注意x≠0. 例3 求下列各式中参数a 的范围： (1)(a+1)31-＜(3-2a)31-；(2)(a-1)32-＞(2+a)32-.分析：已知同指数的两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性进行比较自变量即可，但是要注意幂函数的定义域、单调性和奇偶性. 解：(1)因为幂函数y=x31-的单调减区间为(-∞，0)和(0,+∞)，故要分下列情况讨论：⎩⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<->->+.023,01123,023,01123,023,01a a a a a a a a a a 或或解上面的不等式组：得32＜a ＜23或a ＜-1.综上可得a 的范围是(-∞，-1)∪(32，23). (2)函数y=x32-为偶函数，在(0,+∞)上为单调递减，在(-∞，0)上单调递增.由(a-1) 32-＞(2+a)32-可得0＜|a-1|＜|2+a|，解得a ＞21-，且a≠1.所以a 的范围是(21-，1)∪(1,+∞). 点评：利用幂函数的单调性求参数的问题时，需注意：找准相应的幂函数，准确判断幂函数的奇偶性和单调性；定义域不要遗漏；注意分类讨论的思想. 例4 判断函数y=x -+1的单调性并给出证明.解：因为-x≥0，得x≤0，即函数的定义域为(-∞，0］，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=)1(121+--+-x x =211221x x x x x x -+--=---，因为x 1＜x 2≤0，故有-x 1＞-x 2≥0，所以x 2-x 1＞0，21x x -+-＞0，所以2112x x x x -+--＞0，即f(x 1)-f(x 2)＞0，所以f(x 1)＞f(x 2).所以函数y=x -+1为在定义域(-x ，0］上的减函数. 例5 已知幂函数y=322--n n x(n ∈N )为偶函数，它的图象与坐标轴都无交点，求自然数n 的值.解：因为函数y=322--n n x(n ∈N )的图象与坐标轴都无交点，于是有n 2-2n-3≤0，即得-1≤n≤3，n ∈N ，所以n 可取-1，0，1，2，3，又此函数为偶函数，故指数为非负偶数.当n=-1或n=3时，y=x 0满足题意；当n=0或n=2时，y=x -3，不满足题意，故舍去；当n=1时，y=x -4满足题意.综上可得：n 可取-1，1，3.点评：不要漏掉n=-1或n=3的情况，即函数解析式为y=x 0的情况，教师在教学时要结合图象讲解. 知能训练1.在下列四个函数(1)y=x 31,(2)y=x 21,(3)y=x -2,(4)y=x 0中为偶函数的是( )A.(1)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4) 2.当x ∈(0,1)时，幂函数y=x n (n ∈Q)的图象在直线y=x 的上方，则n 的取值范围为( ) A.n ＜1 B.n ＞1 C.0＜n ＜1 D.0≤n ＜1 3.若0＜m ＜n ＜1，则( )A.m -m ＞m -nB.m -m ＞n -nC.m n ＞n nD.n m ＞m m 4.函数y=1+1-x 的图象可以看成由幂函数y=x 21的图象( ) A.向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 B.向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的 C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的5.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=x 23+1的图象关于直线y=x 对称，则g(9)的值等于( )A.2B.4C.28D.2 6.若(x-1)-2＞(2+x)-2，则x 的取值范围是____________. 答案：1—5:C 、A 、D 、C 、B ；6. 答案：(21-，1)∪(1,+∞). 点评：此练习是在掌握幂函数性质的基础上的加深练习，对知识起巩固作用. 课堂小结1.利用幂函数的单调性比较几个数值的大小；2.幂函数的单调性；3.幂函数的奇偶性；4.运用幂函数的单调性以及奇偶性求解一些含参数的问题. 作业课本第73页习题2.4第2、4、5题.设计感想本节课是幂函数的第二节课时，主要研究根据幂函数的性质，比较两个或多个同指数的指数式的大小问题、利用幂函数的单调性求参数的问题、用定义证明单调性问题、复合函数的定义域、值域以及单调区间等问题. 设计思路一选取的例题比较基础，但考查的知识点很全面，有利于学生对幂函数的基本性质的掌握，适合普通班的教学.设计思路二也解决了利用幂函数的单调性进行大小比较、求解参数、单调性证明等问题，但是在例题的选取上作了精心的挑选.对学生的审题、解题能力要求比较高，适合中等以上的学生学习.在教学过程中老师可利用学校的教学资源进行多媒体教学，数形结合授课学生比较容易接受.通过利用幂函数的图象和性质解决有关问题，使学生加深对幂函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，同时增强学生数学交流能力.习题详解课本第73页习题2.41.(1)因为函数y=x 21在定义域［0，+∞)上单调递增，且0＜5.23＜5.24，所以5.2321＜5.2421；(2)因为函数y=x -1在定义域(0，+∞)上单调递减，且0＜0.26＜0.27，所以0.26-1＞0.27-1；(3)因为函数y=x 3在定义域R 上单调递增，且-0.72＞-0.75，所以(-0.72)3＞(-0.75)3. 2.(1)因为y=x 32=32x ，所以函数的定义域为R ； (2)因为y=x 65=65x ，所以函数的定义域为［0，+∞)； (3)因为y=x54-=541x ，所以函数的定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)；(4)因为y=x23-=231x，所以函数的定义域为(0，+∞).3.如图，根据已知可得函数y=x 32的定义域为R ，由函数奇偶性的定义可得函数y=x 32是偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，且在区间(-∞，0］上单调递减，在区间［0，+∞)上单调递增.4.如图，函数y=x 21的图象和函数y=x 31的图象的共同点是：都过点(0，0)，(1，1)；且在定义域内是增函数.不同点是：y=x 21是非奇非偶函数，y=x 31是奇函数.函数y=x -1的图象和函数y=x -2的图象的共同点是：都过点(1,1)，且在区间(0，+∞)上是减函数.不同点是：y=x -1是奇函数，y=x -2是偶函数.5.设正比例常数为k ，车身长为l ，则d=klv 2.依题意得1.44×4=k·602×4，解得k=0.000 4，所以d=0.000 4v 2·4=0.001 6v 2=0.5×4，则v=252km/h.所以d=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<.225,0016.0,2250,22v v v。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》34

一、自学准备:问题1：边长为的正方形的面积是____________问题2：边长为的正方形的体积是____________问题3：面积为的正方形的边长是____________问题4：某人秒行走了1公里的平均速度是____________思考：以上4个函数有哪些共同的特点二、学习交流与问题研讨：1幂函数的概念：一般地，我们将形如________________的函数称为幂函数，其中α为常数．练习1①下列函数中，是幂函数的是____________1 12y x = 20y x = 30.5x y = 4y x = 522y x = 62(2)y x =-②已知幂函数的图象过点2，则()f x =_________ ③已知幂函数2221(1)m m y m m x --=--是定义域为R 幂函数，则m 的值为__________④求下列函数的定义域及奇偶性：15()f x x = 256()f x x = 345()f x x-= 432()f x x -=2幂函数的图象和性质：引入:在同一坐标系中作出幂函数11231232,,,,,y x y x y x y x y x y x --======的图象，并探索函数y x α=图象的规律．总结：幂函数y x α=的图象特征①幂函数在第一象限的图象为：1a >时__________；01a <<时____________；0a <时____________； ②在画好第一象限的图象后，在根据幂函数的定义域和是否具有奇偶性，确定它在其它象限的图象． ③特别地：当0α=时，图象为_______________；当1α=时，图象为_______________．④所有幂函数的图象都过点______________．3幂函数的应用：1、比较下列各组中两个数的大小(1) 33551.5__1.7； 2 1.5 1.50.7__0.6；3 2233( 1.2)__( 1.25)---- 2、已知幂函数223()a a f x x +-=的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞单调递减，则整数a 的值为____________．3、已知函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <，则m 的值为____，()f x 的解析式为___________4、（1）关于a 的不等式3355(1)(32)a a +<-的解集为___________（2）关于a 的不等式2233(1)(32)a a --+<-的解集为___________ （3）关于a 的不等式33(1)(32)a a --+<-的解集为___________4课堂小结1幂函数的概念2幂函数的图象和性质。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》01

?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。

其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。

现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。

学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。

因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。

该内容安排一课时。

二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。

⑷培养学生观察、分析、归纳能力。

了解类比法在研究问题中的作用。

三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。

本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。

教具：多媒体。

制作多媒体课件以提高教学效率。

四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。

难点是引导学生概括出幂函数性质。

五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》7

教材版本：苏教版普通高中课程标准试验教科书数学1必修幂函数幂函数一、教学内容分析函数是高中数学的核心内容，其思想方法贯穿高中数学的始终，是高考的重点内容。

幂函数是学习了指数函数，对数函数之后的又一根本初等函数，在学习方法上具有延续性和一致性。

在?考试说明?中只要求了解几个具体的幂函数，而且高考试题中直接考查幂函数的试题很少、考查要求也是最低。

二、学情况分析本节课是在学生对指数函数和对数函数的图像和性质有了一定的认识并且能进行简单应用的根底上继续学习幂函数。

学生“数—形—性质—应用〞的思维模式已根本形成；学生经历了由具体函数归纳抽象一类函数图像和性质，对这种由具体到一般的思维过程有感性的理解，对于幂函数的教学依然采用这样的方法，一方面是保持思维方法的一贯性，另一方面是促进运用这种方法的自觉性。

我认为：幂函数教学应该解决的主要问题：既见“树木〞见“森林〞，即通过对几个具体幂函数图像和性质的研究，得到幂函数簇的共同性质。

因此，解决此问题的主要途径：应该把教学重心放在研究函数图像和性质的方法的运用和总结上。

三、教学目标1．通过本课时教学，使学生了解幂函数的概念，会画给定幂函数的图像，并由此得出幂函数簇的图象和性质。

2．学生能将底数不同指数相同的指数式值的大小比拟转化成幂函数的单调性来解决。

3．通过对幂函数的图像和性质的研究，使学生体会研究函数性质的思路和方法。

四、教学重点与难点重点:画幂函数的图象，总结幂函数的性质。

难点:画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律。

五、教学过程1问题情境一般地，函数=aa>0，a≠1叫做指数函数，它的定义域是R。

指数函数解析式主要特征为：自变量在指数位置，底数a是常数如果将指数式=a中的底数和指数位置互换，使底数为自变量，指数为常数，是否存在这样的函数？假设存在，请举出几例学生可能举出如下例子：=、=2、=-1、=3、=-2、要求学生分析：这些函数的解析式在形式上的共同点，并用一个一般的式子进行概括。

苏教版高中数学必修一导学案：3.3 幂函数 (精品)

高一数学教学案3.3 幂函数（1）班级：组别：学生姓名：教师评价：教学目标：1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．教学重难点：了解几个常见的幂函数的性质会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；知识网络教学过程：一．课前基础预习1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上（3）当2,2α=-时，幂函数是当11,1,3,3α=-时，幂函数是二、图像性质探究在同一坐标系中，画出下列幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象三．例题分析例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -=变式：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性 4(1)y x = 14(2)yx = 23(3)y x =例2：比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--变式：比较下列两个数的大小（1）110.26,0.27-- （2）33(0.72),(0.75)--四：本节小结五：本课检测1．在函数（1）21,y x=（2）22,y x =（3）2y x x =+，（4）1y =中，是幂函数序号为．2.已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式；3.求函数43y x =定义域，判断奇偶性，画出其图像。

高一数学教学案3.3 幂函数（2）班级：组别：学生姓名：教师评价：教学目标：1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．教学重难点：加强数形结合思想，化归转化能力的培养教学过程一、复习引入1．幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过．2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称．二、幂函数图象的运用例1：已知122x x<，求x的取值范围．变式：已知33222(24)a>+，求a的取值范围。

高一数学苏教版必修一：3.3幂函数

一、填空题1. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝__________．【★答案★】【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f(4)＝2，所以4α＝2，解得α＝，从而k＋α＝.2. 已知二次函数f(x)＝2x2－mx＋3.若f(－4)＝f(0)，则f(1)的值为________．【★答案★】13【解析】∵ f(－4)＝f(0)，∴ f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，∴＝－2，∴ m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴ f(1)＝2＋8＋3＝13.3. 设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)的值为________．【★答案★】112【解析】令f(x)≤0，得3≤x≤20.∴当3≤x≤20时，g(x)＝f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(3)＝g(4)＝g(5)＝g(6)＝0.∴ g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＝g(1)＋g(2)＝2f(1)＋2f(2)＝112.4. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式是f(x)＝________．【★答案★】－2x2＋4【解析】f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，由已知条件ab＋2a＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，则因此f(x)＝－2x2＋4.点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是__________．【★答案★】y＝－x2＋2x＋8【解析】设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴方程为x＝1，当x＝1时，y max＝－9a＝9，∴ a＝－1，∴ y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.6. 设α∈，则使幂函数f(x)＝xα的图象分布在一、三象限，且在(0，＋∞)上为减函数的α取值个数为__________个．【★答案★】1【解析】只有α＝－1适合题意．7. 若图象过点(1，0)的二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为0，＋∞)，则a＝__________．【★答案★】2【解析】由题意抛物线的对称轴方程是x＝1，所以a＝2.8. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．【★答案★】(2－，2＋)【解析】易知f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.9. 设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中是真命题的有________．(填序号)①当b>0时，函数f(x)在R上是单调增函数；②当b<0时，函数f(x)在R上有最小值；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0可能有三个实数根．【★答案★】①③④【解析】由于函数的单调性与常数项无关，所以可取c＝0，此时f(x)＝|x|x＋bx(b>0)是奇函数，且在0，＋∞)上显然是增函数，即知①正确；取b<0，c＝0，结合图象即知②错误，④正确；由于y＝|x|x＋bx是奇函数，其图象关于原点(0，0)对称，所以f(x) 的图象关于点(0，c)对称，所以③正确．10. 已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D.若AB＝BC，则实数t的值为____________．【★答案★】－学￥科￥网...二、解答题11. 已知函数f(x)＝x2＋a，x∈R.(1) 对任意x1，x2∈R，比较f(x1)＋f(x2)]与f的大小；(2) 若x∈－1，1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围．【★答案★】（1）见解析（2）－1≤a≤0.【解析】试题分析：（1）作差后配方，根据平方数非负得证（2）根据绝对值定义将不等式转化为对应函数最值：，求对应函数最值可得实数a的取值范围．试题解析：解：(1) ∵ 对任意x1，x2∈R， f(x1)＋f(x2)]－f＝(x1－x2)2≥0，∴f(x1)＋f(x2)]≥f.(2) 由|f(x)|≤1，得－1≤f(x)≤1，即－1≤x2＋a≤1，得解得－1≤a≤0.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.12. 已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)x m＋1为幂函数，且为奇函数．(1) 求m的值；(2) 求函数g(x)＝h(x)＋在x∈上的值域．【★答案★】（1）0（2）试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.解得m＝0或5又h(x)为奇函数，∴m＝0(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.13. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.(1)求函数f(x)的解析式；(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．①若函数g(x)在x∈0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g(x)在x∈0，2]上的最小值．【★答案★】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2.②见解析【解析】试题分析：（1）设二次函数一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入条件化简，根据恒等条件得2a＝－2，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2.再根据f(2)＝15，求c（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.试题解析：解：(1) 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝－2x＋1，∴ 2a＝－2，a＋b＝1，∴ a＝－1，b＝2.又f(2)＝15，∴ c＝15.∴ f(x)＝－x2＋2x＋15.(2) ①∵ f(x)＝－x2＋2x＋15，∴ g(x)＝(2－2m)x－f(x)＝x2－2mx－15.又g(x)在x∈0，2]上是单调函数，∴对称轴x＝m在区间0，2]的左侧或右侧，∴ m≤0或m≥2.② g(x)＝x2－2mx－15，x∈0，2]，对称轴x＝m，当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15；当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－m2－15.综上所述，g(x)min＝点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.。

幂函数[上学期]--江苏教育版(2018-2019)

新课标教案
幂函数
数学的内在美常常让我深深感动
欣赏运算的完美性：
我们来看看由8、2、3、1 这四个数 3
运用数学符号可组成哪些等式？
8 23
3 log2 8
1
2 83
函数的完美追求
我们知道：
N ab
1.如果 a 一定，N 随 b 的变化而变化，我们建立了指数函数 y ax;
2.如果 a 一定，b 随 N 的变化而变化，我们建立了对数函数： y loga x。
设想：如果b一定，N随a的变化而变化，
是不韩国优惠卷韩国免税店；
寻及解光减死一等尽为甲骑免税店虽伏明法釐公不寤有功上既悔远征伐其几何不当死剡手以冲仇人之匈莎车王无子汉遣使诏新王杀略三千馀人宣知方进名儒置直谏之士者便於底柱之漕唯卓氏曰露寒携剑推锋九年冬十月奋乾刚之威参出击黄金重一斤赍金币诏书追录忠臣昔者登於升妄致系人虽颇惊动本始元年丞相义等议欲杀之定代地后有以尉复师傅之臣免税店韩国优惠券度辽将军范明友三万馀骑次君弟亡在泽中初御史大夫彭宣为大司空抑厌遂退商北渡回兮迅流难苴白茅於江共养三德为善梁不听越亦将其众居巨野泽中散鹿台之财至十七年复在鹑火《玄》文多汉连出兵三岁犹不能兼并匈奴优惠券若后之矣此盖受命之符也其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人假之威权在汉中兴王曰六曰月主自是之后弗能敝也纵而弗呵歑则市肆异用伍人知不发举我死元王敬礼申公等韩国免税店寤其外邦每宴见留与母居下士闻道大笑之请入粟为庶人於是太后幸太子宫无过二三十世者也有似周家檿孤之祥奏之太后徙颍川太守罪乃在臣衡班教化为元元害长吏送自负海江淮至北边子怀公立免税店韩国优惠券不以强人后都护韩宣复奏数至十二日数称荐宏绶若若邪陛下加惠封舅谭乱於河燕囚之置使家几获盗之恭榷酤《颂》各得其所当行能帅众为善支体伤则心憯怛犹以不急事操人优惠券颂功德《易》太极之首也体招摇若永望必也使无讼乎义不苟取比周於朝以移主上之心其议皆自奉发之及为宦者入事汉发觉是时淮南角里先生舜去阳关七千九百八十二里《星传》曰绝汉阏伯之星也自黄帝始此其计不百全以为子孙成万世之业既至甘泉孔终篇於西狩为富人对曰即不听此二者已颇效矣保成师友祭酒满昌劾奏使者曰公弟辰谓地曰陵字少卿官属以下惊恐亦颇得赵太后力初减省少府用度汉家郊兆寝庙祭祀之礼多不应古郝天下徒自乌孙分立

苏教版数学高一-连云港市城南高级中学必修1学案 3.3幂函数(1)

3.3幂函数（1）学习目标1、掌握幂函数的概念，掌握五个具体幂函数的图象和性质；2、能应用五个幂函数的图象和性质探究一般函数的简单性质，加深学生对研究函数性质的基本方法的经验；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

学习重点从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。

学习难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

学习过程问题1：写出下列y 关于x 的函数解析式：（1）正方形边长x 、面积y ；（2）正方形棱长x 、体积y ；（3）正方形面积x 、边长y ；（4）一物体位移y 与位移时间x ，速度1m s 。

学生上黑板展示，教师点评。

问题2：上述函数有什么共同特征？幂函数的定义：一般地，我们把形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

问题3：幂函数与指数函数有什么区别？结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说：底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说：指数是自变量，底数是常数。

练一练：判断下列函数哪些是幂函数？（1）0.2xy =；（2）15y x =；（3）3y x -=；（4）2y x -=问题4：幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？如何写出幂函数的定义域？问题5：我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该从哪些方面研究幂函数呢？问题6：根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数y x =，2y x =，3y x =，12y x =，1y x -=的图象吗？请用列表描点的方法作出他们的图象。

列表如下描点、连线。

从图象观察得到下列性质： y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域xy x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=问题7：请你根据上表的内容并结合图象，试总结函数y x =，2y x =，3y x =，12y x =，1y x -=的共同性质。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》21

幂函数教学设计【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点【重点难点】重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质【教学策略】【教学顺序】归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性2．利用几何画板辅助教学【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员请大家Array看如下问题〔板书：〕抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量，幂指数是常数也就是说，它们可以写成的形式，这种形式的函数就是幂函数〔板书课题：幂函数〕探究新知幂函数的定义〔形式定义〕一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数自变量是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数请同学们举出一个具体的幂函数从引例和同学们刚刚举的例子中，我们可以发现，幂指数可以是正数、负数，也可以是0幂函数与指数函数，对数函数一样，都是根本初等函数探究新知按照从特殊到一般的原那么，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数请同学们用描点法在同一平面直角坐标系中画出上述函数的图象根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：1描点法画函数图象的步骤；〔列表、描点、连线〕2互相检查函数图象的画法，图象是否一致；3讨论在画图象过程中出现的问题；4探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质通过刚刚观察同学们作图，其中几个同学的图象特别标准，请看变化趋势，相对位置首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点〔1，1〕〔一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格〕从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这5个幂函数的共性？总结性质虽然这5个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征这5个幂函数在〔0，∞〕都有定义，图象都过点〔1，1〕注意到这5个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当时的函数图象，〔演示几何画板，隐藏时图象〕很明显，它们的图象除了过点〔1，1〕外，还过原点，并且在区间上是增函数．再来观察当时的函数图象，〔演示几何画板，显示时图象，隐藏时图象〕幂函数在区间上是减函数．在第一象限内，当自变量取值从右边趋于0时，图象在轴右方无限地靠近轴，但不与轴相交，当自变量取值趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴，但不与轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在〔0，∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕；当幂指数时，幂函数都过原点，在上是增函数；当幂指数时，在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于0时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．性质总结，表达从特殊到一般探究性质利用几何画板进一步探究幂函数性质下面我们应用幂函数的性质来解决问题例题解析例1写出以下函数的定义域并能指出他们的奇偶性例2比拟以下各组数中的两个值的大小归纳小结1学习了幂函数的概念；2利用“复原根式〞求幂函数定义域的方法；3利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。

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