1951年高考数学试题
1951年全国统一高考数学试卷
1951年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共24小题，满分0分）1．设有方程组，求x，y．考点：二元一次不等式组；不定方程和方程组。
专题：计算题。
分析：通过将两个式子相加求出x，将x的值代入一个方程求出y得到不等式组的解集．解答：解：两式相加得x=5将x=5代入①得y=3∴方程组的解为．点评：本题考查在解方程组组时常用的方法是加减消元法与代入消元法．2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？考点：三角形的形状判断。
专题：探究型。
分析：利用等腰三角形的中线与高重合，得到AF、BE、CD为三角形的高；利用全等三角形的判定定理得到两边相等，判断出三角形的形状．解答：证明：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（如图）∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在Rt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△ACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形．点评：本题考查三角形的外心的性质、重心的性质、三角形全等的判定定理、据三角形的边角的关系判断出三角形的形状．考点：三角形中的几何计算。
专题：计算题。
分析：把旗杆的影子和旗杆为两直角边建立数学模型，通过解三角形求解．解答：解：旗杆长为：1×tan60°=丈．故旗杆长为丈点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了分析问题和解决问题的能力．4．若，而a，b，c各不相等，求x+y+z的值．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：本题根据，设出=t，从而将x，y，z用a，b，c，t来表示即可解答：解：设=t，则有x=（a﹣b）t，y=（b﹣c）tz=（c﹣a）t由此可得：x+y+z=（a﹣b）t+（b﹣c）t+（c﹣a）t=0．点评：本题考查了换元的解题思想方法，属于基础题．5．试题10道，选答8道，则选法有几种？考点：组合及组合数公式。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn kn nP k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
1951～1982高考数学试题及解答
第一辑（1951~1965）1951年..............................3 1959年 (29)1952年..............................7 1960年 (32)1953年...........................11 1961年 (36)1954年...........................13 1962年 (39)1955年...........................16 1963年 (43)1956年...........................18 1964年 (47)1957年...........................21 1965年 (52)1958年 (25)第二辑（1977年）北京市（理科）..................60 河北省 (74)北京市（文科）..................63 福建省（理科） (78)上海市（理科）..................64 福建省（文科） (84)上海市（文科）..................68 黑龙江省 (88)天津市..............................71 江苏省 (91)第三辑（1978~1982）1978年...........................97 1980年（文科） (118)1978年（副题）...............101 1981年（理科） (121)1979年（理科）...............105 1981年（文科） (126)1979年（文科）...............110 1982年（理科） (130)1980年（理科）...............113 1982年（文科） (135)第四辑（1983~1994）1983年（理科）..................140 1987年（理科） (186)1983年（文科）..................147 1987年（文科） (192)1984年（理科）..................151 1988年（理科） (198)1984年（文科）..................160 1988年（文科） (204)1985年（理科）..................165 1989年（理科） (208)1985年（文科）..................171 1989年（文科） (214)1986年（理科）..................176 1990年（理科） (219)1986年（文科）..................182 1990年（文科） (227)1991年（理科）..................234 1993年（新考理） (272)1991年（文科）..................241 1993年（新考文） (279)1992年（理科）..................246 1994年（理科） (286)1992年（文科）..................253 1994年（文科） (293)1993年（理科）..................259 1994年（新考理） (299)1993年（文科）..................266 1994年（新考文） (307)第五辑（1995~1999）1995年（理科）..................314 1997年（文科） (356)1995年（文科）..................324 1998年（理科） (363)1996年（理科）..................332 1998年（文科） (372)1996年（文科）..................341 1999年（理科） (382)1997年（理科）..................348 1999年（文科） (391)制作人：过士功第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y 。
1951年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y. 解略：⎩⎨⎧==35y x 2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r sin7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法答：略9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．（x +x1)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.699019．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在1EBA 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3， 由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫ ⎝⎛此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x ky 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得：.2,2121kp y kp x ==由①，③可得：x 2=2pk 2, y 2=-2pk设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得：B④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p k p y +-=。
四十年前高考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共20分）1. 若方程 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) 的两个根分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，则 \( x_1 + x_2 \) 等于：A. 2B. 4C. 3D. 12. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = 2x \)C. \( f(x) = -x^2 \)D. \( f(x) = x^3 \)3. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \cos A \) 等于：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C. \( \frac{5}{4} \)D. \( \frac{5}{3} \)4. 若 \( a, b, c \) 为等差数列，且 \( a + b + c = 18 \)，则 \( 3a + 3b + 3c \) 等于：A. 54B. 27C. 18D. 95. 下列不等式中，恒成立的是：A. \( x^2 + 1 > 0 \)B. \( x^2 - 1 < 0 \)C. \( x^2 + 1 < 0 \)D. \( x^2 - 1 > 0 \)二、填空题（每小题4分，共16分）6. 若 \( \sqrt{3} + \sqrt{2} = a \)，则 \( a^2 - 2\sqrt{3} \) 等于______。
7. 若 \( \sin A = \frac{1}{2} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \tan A \) 等于______。
8. 已知等比数列 \( a_1, a_2, a_3, \ldots \) 的公比为 \( q \)，若 \( a_1 = 2 \)，\( a_3 = 8 \)，则 \( q \) 等于______。
9. 若 \( \triangle ABC \) 中，\( \sin A = \frac{1}{2} \)，\( \sin B =\frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \sin C \) 等于______。
1954-1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b abb a ---解：原式=.)()(3231231272321223a b a b ba ba==--乙、解cb a x lg lg 2lg 31lg 61++=解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r ar a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx +=-+)(0sin4,1,0sin cos ,0sin)sin (cos 20)sincos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x xx x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ.2)2(),()(2,).()(222222222ah L a hL a a L hL a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以Lh aa L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lh a a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1， 又，α 2 +β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β 2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高， 于是ACBC BC BC BC ACAB BCACABA ⋅⋅-+=⋅-+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BDB BCBC 同理AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450AO=a22∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD 的高SO=a22丁、写出二面角的平面角的定义 略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5S C3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBED EFEA ⋅=⋅=即但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程xx x sin cos2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=-，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π-ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=-∴=-=-+π-π=∴-==+=+=--+=+--+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F CB因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==-+=+----=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。
1951-1965全国数学
一九五一年第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 。
在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 。
由此可知△ABC 为等边三角形。
3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈。
)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x ta c tz cb y t b a x t ac z cb y ba x z y x cb a ac z c b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 解略：45810=c6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r θsin 。
7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法。
答：略。
9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程。
解略：bx-ay=011．（x +x 1)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T 4=20。
12．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个。
1951高考数学真题试卷
1951高考数学真题试卷1951年，中国高考制度尚未建立，因此并没有所谓的“高考数学真题试卷”。
然而，为了满足您的要求，我们可以设想一个1951年的数学试卷，并模拟一些可能的题目。
以下是一份模拟的1951年高考数学试卷：1951年高考数学模拟试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的面积公式是：A. \( A = r^2 \)B. \( A = 2\pi r \)C. \( A = \pi r^2 \)D. \( A = \pi d \)3. 一个直角三角形的两直角边分别为3和4，其斜边长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个表达式等价于 \( (x+y)^2 \)？A. \( x^2 + y^2 \)B. \( x^2 + 2xy + y^2 \)C. \( x^2 - 2xy + y^2 \)D. \( x^2 + y^2 + 2xy \)5. 一个数的平方根是它自己，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根是它自己，这个数可以是______。
7. 一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式是 \( \Delta = ______ \)。
8. 如果一个函数 \( f(x) \) 是奇函数，那么 \( f(-x) = ______ \)。
9. 根据勾股定理，如果直角三角形的斜边长度为 \( c \)，两直角边分别为 \( a \) 和 \( b \)，那么 \( a^2 + b^2 = ______ \)。
10. 圆的周长公式是 \( C = ______ \)。
三、解答题（共65分）11. 解方程 \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)。
（10分）12. 证明：如果一个三角形的两边长分别为 \( a \) 和 \( b \)，且\( a + b > c \)，那么这个三角形是锐角三角形。
1950年全国高考数学试题
1950年高考数学试题甲组 第一部分（A ）将下列各题正确的答案填入括号内1.322240x x x --+=的一根为2，其它两根为A.两个0B.一个0，一个实根C.两个实根D.一个实根，一个虚根E.两个虚根2.已知0lgsin 26201.6470'=，0lgsin 26301.6495'=，若lgsin 1.6486x =，则x 的近视值为A.02623'B.02624'C.02625'D.02626'E.02627'3.若()ρθ，为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线E.二平行直线 4. 22220x xy y x y ++++-=之图形为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线E.二平行直线5.展开二项式()17a b +，其中第15项为A.152238a bB.314680a bC.143736a bD.()15+a bE.87a b（B ）将正确答案填在虚线上1.二直线40x y ++=，520x y -=相交之锐角之正切为2.设x 、y都是实数，i =，且()(84)()(1)x yi i x yi i +-+=++，则x = y = . 3. 555a da db eb ec f c f++=+ 4.已知x 在第四象限内，且21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 . 5.参数方程12(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 . 甲组 第二部分1.证明：21sin (tan sec )1sin x x x x+=+-. 2.设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t 及s 之值.3.用数学归纳法证明公式1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⋅+⋅+〉+++=++L . 4.设111(,)p x y 及222(,)p x y 为二定点，过1p 作直线交y 轴于B ，过2p 作直线。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试51
高考数学普通高等学校招生全国统一考试51本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥；那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立；那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分. 在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ；则集合N M ⋂=（ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x } 2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x yB ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xyD ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1；－1）处的切线方程为（ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称；则圆C 的方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径； 球的体积公式 V=334R π； 其中R 表示球的半径A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π；则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1；则侧棱与底面所成的角为 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 7．函数x e y -=的图象（ ）A ．与x e y =的图象 关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称8．已知点A （1；2）、B （3；1）；则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1；|b |=2；|a －b |=2；则|a +b |= （ ）A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1；A 、B 、C 三点都在球面上；且每两点间的球面距离均为2π；则 球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1；2；3；4；5组成的所有没有重复数字的5位数中；大于23145且小于43521 的数共有 （ ）A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在题中横线上.13．已知a 为实数；10)(a x +展开式中7x 的系数是－15；则=a . 14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点；且它们的离心率互为倒数；则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面；则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面；则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等；则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等；则该四棱柱为直四棱柱其中；真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }；.21,952==a a （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）令n an b 2=；求数列}{n b 的前n 项和S n .18．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中；.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3；求AB 边上的高.19．（本小题满分12分） 已知8支球队中有3支弱队；以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组；每组4支. 求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 20．（本小题满分12分） 如图；直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中；∠ACB=90°；AC=1； CB=2；侧棱AA 1=1；侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ； B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1；4）内为减函数；在区间 （6；+∞）上为增函数；试求实数a 的取值范围.22．（本小题满分14分）给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点；过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1；求OB OA 与夹角的大小；（Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若AF FB ；求l 在y 轴上截距的变化范围.普通高等学校招生全国统一考试（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题C A B C A CD B D B B C二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在题中横线上.13．21- 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质；考查运算能力；满分12分. 解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ；依题意得方程组 ⎩⎨⎧=+=+,214,911d a d a 解得.4,51==d a所以}{n a 的通项公式为.14+=n a n（Ⅱ）由,21414+=+=n n n b n a 得所以}{n b 是首项512=b ；公式42=q 的等比数列.于是得}{n b 的前n 项和 .15)12(3212)12(24445-⨯=--⨯=n n n S 18．本小题主要考查三角函数概念；两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力；满分12分. （Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2；,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ；将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B解得262tan ±=B ；舍去负值得262tan +=B ； .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.622tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3；得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念；相互独立事件和互斥事件等概率的计算；运用 数学知识解决问题的能力；满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148354815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C（Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1；由于对A 组和B 组来说；至少有两支弱队的概率是相同的；所以A 组中至少有两支弱队的概率为.2120．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识；同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）如图；连结CA 1、AC 1、CM ；则CA 1=.2∵CB=CA 1=2；∴△CBA 1为等腰三角形；又知D 为其底边A 1B 的中点；∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1；C 1B 1=2；∴A 1B 1=3又BB 1=1；A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形；D 为A 1B 的中点； ∴CD=21A 1B=1；CD=CC 1；又DM=21AC 1=22；DM=C 1M. ∴△CDM ≌△CC 1M ；∠CDM=∠CC 1M=90°；即CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平在BDM 内两条相交直线；所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设F 、G 分别为BC 、BD 的中点；连结B 1G 、FG 、B 1F ；则FG//CD ；FG=21CD. ∴FG=21；FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知BD=B 1D=21A 1B=1； 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形. 于是B 1G ⊥BD ；B 1G=.23∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角； 又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+（2)22=23；∴ .332123223)21()23(2cos 221212211-=⋅⋅-+=⋅-+=∠FGC B FB FG G B GF B即所求二面角的大小为.33arccos -π 解法二：如图；以C 为原点建立坐标系.（Ⅰ）B （2；0；0）；B 1（2；1；0）；A 1（0；1；1）；D （)21,21,22；M （22；1；0）；),21,21,0(),1,1,2(),21,21,22(1-=--==DM B A CD 则,0,01=⋅=⋅DM CD B A CD ∴CD ⊥A 1B ；CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线；所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G ；连结B 1G ；则G （41,41,423）；22(-=BD 、21、21）；),41,43,42(1--=G B .,.,0111面角等于所求的二面角的平的夹角与又θG B BD BD CD G B BD G B BD ∴⊥⊥∴=⋅∴.33||||cos 11-=⋅⋅=∴G B CD G B CD θ所以所求的二面角等于.33arccos-π 21．本小题主要考查导数的概念的计算；应用导数研究函数单调性的基本方法；考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分12分. 解：函数)(x f 的导数 .1)(2-+-='a ax x x f 令0)(='x f ；解得),1(,)1,1(,)1,()(,211,),1()(,211.11+∞---∞>>-+∞≤≤--==a a x f a a x f a a a x x 在内为减函数在上为增函数在函数时即当不合题意上是增函数在函数时即当或为增函数.依题意应有 当.0)(,),6(,0)(,)4,1(>'+∞∈<'∈x f x x f x 时当时所以 .614≤-≤a 解得.75≤≤a所以a 的取值范围是[5；7].22．本小题主要考查抛物线的性质；直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
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知道首次统一高考是那一年的有几个？更何况看过试题了！本人整理了，1951年--2018年全国高考数学试题及分类整理（含解析），还有小初高数学学习方法与技巧，关注我持续分享！看我其它文章，有需要电子版的，关注转发后可以私信我！1952年试题数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x^4-y^4= .[Key] 第一部分(x-y)(x+y)(x^2+y^2).2.若log102x=2log10x,问x= .[Key] 2. 2.3.若方程式x^3+bx^2+cx+d=0之三根为1，-1,1/2，则c=_____.[Key] 3. -1.4.若√（x^2+7）-4=0,则x=______.[Key] 4. ±3.5.[Key] 5. -246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.[Key] 6.4√37.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.[Key] 7. 15.8.正十边形的一内角是度.[Key] 8. 144°9.祖冲之的圆周率π= .[Key] 9.22/7,355/113,3.14159265.10.球的面积等于大圆面积的倍.[Key] 10. 4.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.[Key] 11. 12π.12.正多面体有种,其名称为 .[Key] 12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.13.已知sinx=1/3,求cos2x=______.[Key] 13.7/914.方程式tan2x=1的通解为x= .[Key] 14.0.5(nπ+π/4）15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .[Key] 15.5√3/316.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.[Key] 16. 3.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .[Key] 17. x+y+1=0.18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .[Key] 18. x2+y2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0之距离= .[Key] 19.1/520.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .[Key] 20. (1,-3)第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.[Key] 第二部分1. 2,-6,ω,ω2.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.[Key]3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？[Key] 3.cosC=1/8,sinC=3√7/16,sinA=√7/4.A,B,C皆为锐角。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1951
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．【热点题型】题型一二次函数模型【例1】A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？【提分秘籍】实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．【举一反三】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x －0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元 B．11万元C．43万元 D．43.025万元解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案 C题型二 指数函数、对数函数模型【例2】世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.答案 C 【提分秘籍】在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N(1＋p)x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．【举一反三】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a(1＋10%)n ＝a×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n ＝a×1.1n×0.9n ＝a×(1.1×0.9)n ＝0.99n·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损．答案 B题型三 分段函数模型【例3】 某旅游景点预计1月份起前x 个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x 的关系近似地满足p(x)＝12x(x ＋1)(39－2x)(x ∈N*，且x≤12)．已知第x 个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x 的近似关系是q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x （x ∈N*，且1≤x≤6），160x（x ∈N*，且7≤x≤12）.(1)写出第x 个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解 (1)当x ＝1时，f(1)＝p(1)＝37， 当2≤x≤12，且x ∈N*时， f(x)＝p(x)－p(x －1)＝12x(x ＋1)(39－2x)－12(x －1)x(41－2x)＝－3x2＋40x ， 验证x ＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x ∈N*，且1≤x≤12)．【提分秘籍】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【举一反三】某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分 5% 超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，则y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x≤800，5%（x －800），800＜x≤1 300，10%（x －1 300）＋25，x ＞1 300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元．解析 若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x ＞1 300. ∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元)． 答案 1 350 【高考风向标】【高考上海，文21】（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米.【高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时 【答案】C【解析】由题意，2219248bk be e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212bk e e⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝(e11k)3·eb ＝31()2×192＝24(小时)（·北京卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p ＝at2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，图1-2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )图1-2A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.8125，即当t ＝3.75时，p 有最大值．（·陕西卷）如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )图1-2A ．y ＝12x3－12x2－x B ．y ＝12x3＋12x2－3x C ．y ＝14x3－x D ．y ＝14x3＋12x2－2x【解析】由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx ，则f′(x)＝3ax2＋2bx ＋c ，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又y ＝ax3＋bx2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1，∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴y ＝f(x)＝12x3－12x2－x.【高考押题】1．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是 ( )x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A ．一次函数模型B ．幂函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.答案 A3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x ＞0，因此x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D.4．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21答案 A5.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k2t ，当t ＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15， t ＝150时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10. 答案 A6. A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 kmh ，经过________小时，AB 间的距离最短．解析 设经过xh ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 答案 2587．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝ae －bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，Smax ＝400.答案 209.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N*)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x －x2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析 当0＜x≤20时，y ＝(33x －x2)－x －100＝－x2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N*)．当0＜x≤20时，y ＝－x2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，ymax ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N*) 1614.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围．解 (1)由题意知最高点为(2＋h ，4)，h≥1， 设抛物线方程为y ＝a[x －(2＋h)]2＋4，当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a(x －3)2＋4， 将A(2，3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a ＝－1. ∴当h ＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y ＝－(x －3)2＋4.(2)将点A(2，3)代入y ＝a[x －(2＋h)]2＋4 得ah2＝－1，所以a ＝－1h2.由题意，得方程a[x －(2＋h)]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 令f(x)＝a[x －(2＋h)]2＋4＝－1h2[x －(2＋h)]2＋4，则f(5)＝－1h2(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－1h2(4－h)2＋4≤0.解得1≤h≤43.达到压水花的训练要求时h 的取值范围为[1，43].高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
中国历届高考数学试卷
一、1977年高考数学试卷1977年是我国恢复高考的第一年，数学试卷如下：1. （1）求函数y=2x-1在x=2时的函数值。
（2）已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。
2. （1）若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a=3，b=4，c=5，求该三角形的面积。
（2）已知函数y=x^2-4x+4，求该函数的顶点坐标。
二、1980年高考数学试卷1980年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求该数列的通项公式。
（2）若等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项。
2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=4，求该圆的面积。
（2）若函数y=3x-2，求该函数在x=1时的导数。
三、1990年高考数学试卷1990年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式。
（2）若等比数列的首项为1，公比为2，求该数列的前4项。
2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=9，求该圆的半径。
（2）若函数y=e^x，求该函数在x=0时的导数。
四、2000年高考数学试卷2000年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。
（2）若等比数列的首项为1，公比为3，求该数列的前5项。
2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=16，求该圆的面积。
（2）若函数y=lnx，求该函数在x=1时的导数。
五、2010年高考数学试卷2010年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为3，6，9，求该数列的通项公式。
（2）若等比数列的首项为2，公比为4，求该数列的前4项。
2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=25，求该圆的半径。
（2）若函数y=sinx，求该函数在x=π/2时的导数。
通过以上历届高考数学试卷，我们可以看出高考数学试卷的题型和难度逐年递增，考察的知识点也越来越广泛。
考生在备考过程中，需要掌握基础知识，提高解题能力，才能在高考中取得优异成绩。
1951高考数学真题讲解
1951高考数学真题讲解1951年高考数学题目共有10道选择题和3道解答题，涉及到了初中数学的各个方面，考查学生的基础知识和解题能力。
下面将对这些数学题目进行讲解，帮助考生更好地理解和掌握。
选择题：1. 如果$\frac{m}{n}=\frac{a}{b}$，则下列各题中有错的是( )A. $\frac{2m+3n}{2n-3m}=\frac{2a+3b}{2b-3a}$B. $\frac{m+n}{m-n}=\frac{a+b}{a-b}$C. $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$D. $\frac{m^2-3m}{n^2-3n}=\frac{a^2-3a}{b^2-3b}$答案：D。
题目中使用了比例的基本性质进行判断，正确选项应使等式成立，而D选项中未满足比例关系。
2. 圆柱坐标架上一点$P$的坐标是$(3, 5, h)$，则通过$P$点的直线所表示的方程是( )A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{1}$B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{1}$C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-h}{1}$D. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-3}{1}$答案：C。
题目考察了三维坐标系中的点和直线的表示方法，通过点$P(3,5,h)$可以得到与该点垂直的三维直线方程。
3. 设$\sqrt{2}-1$的倒数是( )A. $\sqrt{2}+1$B. $-\sqrt{2}-1$C. $\sqrt{2}-1$D. $-\sqrt{2}+1$答案：D。
计算$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$。
中国恢复高考的数学试卷
一、选择题（每小题5分，共25分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 1+1=3B. 1+1=2C. 1-1=0D. 1-1=22. 若等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是多少？A. 29B. 32C. 35D. 383. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(x)的零点。
A. x=1，x=2B. x=1，x=1C. x=2，x=1D. x=2，x=24. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是多少？A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°5. 下列哪个不等式是正确的？A. 2x + 3 > 5B. 2x + 3 < 5C. 2x - 3 > 5D. 2x - 3 < 5二、填空题（每小题5分，共25分）6. 若等比数列{an}的第一项为3，公比为2，则第5项是多少？7. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0，求圆的半径。
8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值。
9. 在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，求sinA的值。
10. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式。
三、解答题（每小题10分，共30分）11. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。
12. （10分）已知等差数列{an}的前三项分别为3，7，11，求该数列的通项公式和前10项的和。
13. （10分）在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求BC和AC的长度。
四、附加题（每小题15分，共30分）14. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求f(x)的导数f'(x)。
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试 附答案1951
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。
高考数学模拟试卷复习试题集合与常用逻辑用语一．基础题组1.（北京市昌平区高三二模文1）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =，则集合()U C MN 中元素的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则)(B A C U 等于（ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c3.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥ B ．:p ⌝x ∀∈R ,sin 1x > C ．:p ⌝0x ∃∈R ,0sin 1x ≥D ．:p ⌝0x ∃∈R ，0sin 1x >4.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（ ） （A ）{}2（B ）{}01， （C ）{}34，（D ）{}0,1,2,3,45.（北京市房山区高三第一次模拟文1）已知全集{12345}U =，，，，，集合{12}{23}A B ==，，，，则)(A C U B =（ ）6.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）文1）设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{|13}A x N x =∈≤≤，则U C A =（ ）A ．UB ．{1，2，3}C ．{4，5，6}D ．{1，3，4，5，6} 7.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文2）已知且1a ≠，命题“x>1，”的否定是（ ）(A) ∃x≤1，log 0a x > (B) ∃x>1，log 0a x ≤ (C)∀x≤1，log 0a x >(D) ∀x>1，log 0a x ≤8.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文1）已知集合2{|2}A x x ==，{2,2}B =，则A ．}3{B ．{45}，C ．{123}，，D ．{2345}，，，A B =（ ）（A ）{2} （B ）{2} （C ）{2,1,2,2}- （D ）{2,1,2,2}-9.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）文1）已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则A B ⋂=（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0,1,2}D ．φ10.（北京市西城区高三二模文1）设集合{|10}A x x =->，集合{|3}B x x =≤，则A B =（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3]C ．[1,3)D ．(1,3]-11.（北京市西城区高三一模考试文1）设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a的范围是（ ）（A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤12.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文1）设集合2{1,0,1},{|}M N x x x =-==,则M N =（ ）A ．{1,0,1}- B.{0,1}C.{1}D.{0}13.（北京市延庆县高三3月模拟文1）若集合{0,1,2}A =，2{|3}B x x =<，则B A =（ ）A. φ B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2}D ．{0,1} 二．能力题组1.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文1）设集合A (1)(2)0x x x ，集合1B x x ，则A B（ ） A ．B ．1x xC ．12x xD ．12x x2.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文4）已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与a b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4.（北京市房山区高三第一次模拟文4）设a ∈R ,则 “1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ）5.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）文3）已知a ，b 是两条不同的直线，α是一个平面，且b⊂α，那么“a ⊥b”是“a ⊥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文6）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.（北京市西城区高三二模文3）设命题p ：函数1()x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∧⌝8.（北京市西城区高三二模文7）“3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.（北京市西城区高三一模考试文6）设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件10.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文5）命题:p 20x x -<是命题:02q x <<的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.（北京市延庆县高三3月模拟文6）“x>2”是“22xx >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 三．拔高题组1.（北京市房山区高三第一次模拟文13）已知命题2:,p x x ax a ∃∈++R ＜0.若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是_____．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件2.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文15）若存在0x R ∈,使20020ax x a ++<,则实数a 的取值范围是.3.（北京市延庆县高三3月模拟文12）已知1x ≥，0y ≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤，{(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ⋂≠,则t 的取值范围是.。
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1951年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第一部分：
1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y. 解略：⎩⎨
⎧==3
5
y x 2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在
Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，
BE=CD=R+21
R=2
3R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形
3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈
0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t a
c z
c b y b a x z y x c b a a c z
c b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若
5．试题10道，选答8道，则选法有几种？
解略：458
10=c
6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r sin
7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=1
8．列举两种证明两个三角形相似的方法答：略
9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜2
10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程
解略：bx-ay=0
11．（x +x
1
)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=20
12．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4
为整数k k π±π=θ
13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？
答：最少是一个，最多是三个
14．
解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x
16．三平行平面与一直线交于
A ，
B ，
C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇
?
3455055
42=--
C ＇
解：如图易证:
3011=''∴'
''
'==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积
略：6立方尺
18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.6990
19．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？
解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：
53
20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：
1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行
证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2
由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3，
E
B
2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项
解：由余弦定理可得：
.
C A B A,-B 60)180(60B 21
4)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=
⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pq
q pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.
证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b αβγ=-c
又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ
3
333
3233
a )()()(
b
c c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫
⎝⎛此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根
解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：
⎩
⎨
⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910
或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9
4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线
证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①
过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②
直线OB 的方程为：
x k
y 1
-
=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得：
.2,2121k
p y k
p x =
=
由①，③可得：
x 2=2pk 2, y 2=-2pk
设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤
B
pk k
p
y y y pk k
p x x x -=+=+=+=
22212
221
由⑤可得： ⑥ 由④可知：
px 2222
k p k
p +=,代入⑥
,2p -px y 22222
222222
=-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线
2222
22
2k p p k
p y +-=。