2018-2019苏教版高中数学苏教版必修二学案：2.1.5 平面上两点间的距离

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苏教版高中数学必修二课件2.1.5平面上两点间的距离

小结
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上任意两点． 1．平面内两点间距离公式． AB＝ 2．中点坐标公式．设线段AB的中点是P(x0，y0)， x0＝则： y0＝
作业
课本94页习题2．1(3)第1，2，4．
B
O A C
x
数学应用
例1．(1)求(－1，3)，(2，5)两点间的距离； (2)若(0，10)，(a，－5)两点间的距离是，求实数a的值．
(1)已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________． (2)若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则M的坐标为 ______．
Q1
N1 M2
y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)的距离．
|Q1Q2|＝|y2－y1|．推广：
M1 P1 O
P2
x
M1(x1，a)，M2(x2，a)的距离|M1M2|＝|x2－x1|． N1(0，y1)，N2(0，y2)的距离|N1N2|＝|y2－y1|．
Q2
N2
数学建构
平面内任意两点间的距离．平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ y
数学应用
已知点A(1，2)，B(2，)，试在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求此时PA的值．
Hale Waihona Puke 数学应用已知A，B两点都在直线y＝2x＋1上，且A，B两点的横坐标之差为，A， B两点之间的距离为__________．
数学应用
例4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标系，证明：AM＝BC．
数学应用
例2．已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，证明：四边形 ABCD为平行四边形？ y D A M

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.5 平面上两点间的距离》8

平面上两点间的距离教学设计一、教学内容分析本节课是苏教版高中数学必修二中第二章平面解析几何初步第一部分内容直线与方程的的第五小节，是平面解析几何中应用性极强的章节。

两点间的距离对于学生来说并不陌生，从小学时候学习测量和计算线段长度到初中数轴上任意两点间的距离及勾股定理等，再到高中阶段向量模的求解，两点间的距离一路伴随着同学们的数学学习，由于前期的丰富多样的铺垫，平面两点间的距离学习起来相对容易。

而平面两点间的距离又是本章应用性较强的部分，在高考中解析几何中是必不可少的工具之一，同时在解决一些日常生活问题中起到十分重要的作用。

通过本节课的学习，可以让学生掌握平面上两点间的距离公式及中点坐标公式，从而进一步深化对坐标作用的认识与理解，为下一部分学习点与圆，圆与圆位置关系及空间两点间的距离作好准备。

同时，通过平面上两点间的距离的学习，培养学生相互联系、相互转化的思想，和学生的逻辑思维能力，体会温故知新和一问多解的乐趣。

二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有较强依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧。

通过直线方程与位置关系的学习，学生已多次体会了深化学习、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。

因此，学生已具备了探索发现研究两点间距离公式与中点坐标公式的基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法得出结论。

三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。

为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从一维坐标系出发，从特殊到一般地去总结两点间的距离公式，自主预习讨论，得出中点坐标公试，在提示的前提下用向量坐标运算再次得出中点坐标公式，并作相应的练习，体会学习本章节两个公式的必要性。

在教学重难点上，我由浅至深步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。

2.1.5平面上两点间的距离学案1高中数学必修二苏教版Word版

2.1.5平⾯上两点间的距离学案1⾼中数学必修⼆苏教版Word版2.1.5 平⾯上两点间的距离平⾯⼏何问题.1．平⾯上两点间的距离公式(1)x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)之间的距离可以表⽰为P 1P 2＝|x 2－x 1|，当点P 1在点P 2的左侧时，P 1P 2＝x 2－x 1.P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2两点间的距离P 1P 2＝x 1＝x 2时，P 1P 2＝|y 2－y 1|；当y 1＝y 2时，P 1P 2＝|x 2－x 1|. (1)平⾯内两点间的距离公式与两点的先后顺序是否有关？答案：平⾯内两点间距离公式与两点的先后顺序⽆关，仅与点的位置有关，即P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (2)算术平⽅根a 2＋b 2的⼏何意义是什么？答案：①a 2＋b 2可视为以a ，b 为直⾓边的直⾓三⾓形的斜边长(前提是a ＞0，b ＞0)．②若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2的⼏何意义是点(a ，b )(或点(－a ，b )，(a ，－b )，(－a ，－b )，(b ，a )，…)到原点的距离．2．线段的中点坐标公式⼀般地，对于平⾯上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.预习交流2已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若M (x 0，y 0)是线段P 1P 2的中点，你能⽤P 1点与M 点的坐标表⽰P 2点的坐标吗？答案：能．由x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22得x 2＝2x 0－x 1，y 2＝2y 0－y 1.∴P 2点坐标为(2x 0－x 1,2y 0－y 1)．预习交流3求下列两点间的距离：(1)A (0,1)，B(－3,1)；(2)A (2,5)，B (2，－5)；(3)A (0,0)，B (－2，－1)．答案：(1)AB ＝(－3－0)2＋(1－1)2＝3； (2)AB ＝(2－2)2＋(5＋5)2＝10； (3)AB ＝(－2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.⼀、两点间距离公式的应⽤(1)已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直⾓三⾓形．(2)已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求⼀点P ，使P A ＝PB ，并求P A 的长．思路分析：(1)由两点间的距离公式分别求出三边，再⽤勾股定理的逆定理判断，也可以⽤两直线的位置关系判断．(2)利⽤公式及已知列出⽅程，然后再求解．(1)证明：(⽅法⼀)∵A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，∴AB ＝(1－5)2＋(1－3)2＝20＝25， AC ＝(1－0)2＋(1－3)2＝5， BC ＝(5－0)2＋(3－3)2＝25＝5.∵AB 2＋AC 2＝BC 2，且A ，B ，C 三点不共线，∴△ABC 为以A 为直⾓顶点的直⾓三⾓形．(⽅法⼆)∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .⼜AB ＝(1－5)2＋(1－3)2＝20＝25，AC ＝(1－0)＋(1－3)2＝5，∴AB ≠AC ，∴△ABC 为直⾓三⾓形．(2)解：设所求点P 的坐标为(x,0)，则P A ＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， PB ＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由P A ＝PB ，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1，所以P 点坐标为(1,0)，且P A ＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.1．设点A (1,2)，在y 轴上求⼀点B ，使AB ＝5，则点B 的坐标是__________．解析：设点B 的坐标为(0，y )，则(0－1)2＋(y －2)2＝5，y ＝2±2 6. ∴B 点坐标为(0,2±26)．答案：(0,2±26)2．到点A (4,0)，B (0,4)距离相等且到原点的距离为10的点P 的坐标是__________．解析：由于P 点到(0,4)与(4,0)点距离相等，∴P 点⼀定在y ＝x 上，于是可设P (x ，x )．∵x 2＋x 2＝10，∴x 2＝5.∴x ＝±5. ∴P (5，5)或(－5，－5)．答案：(5，5)或(－5，－5)对平⾯内两点间距离公式的理解：(1)当A ，B 中有⼀个为原点时，公式变为AB ＝x 2＋y 2.(2)如果AB ∥x 轴，则AB ＝|x 2－x 1|；如果AB ∥y 轴，则AB ＝|y 2－y 1|.特别地，如果能确定A ，B 的先后顺序，则上式中的绝对值号均可以去掉．⼆、线段中点坐标及应⽤已知ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对⾓线的交点为E (－3,4)．求另外两个顶点的坐标．思路分析：由平⾏四边形的性质知点E 为AC ，BD 的中点，根据中点坐标公式，即可求得另外两个顶点的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∵E 为AC 的中点，∴4＋x 12＝－3，2＋y12＝4，解得x 1＝－10，y 1＝6，∴C 点坐标为(－10,6)．⼜∵E 为BD 的中点，∴5＋x 22＝－3，7＋y22＝4，解得?x 2＝－11，y 2＝1.∴D 点坐标为(－11,1)．1．过点P (3,2)的直线与x 轴正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，且点P 为线段AB 的中点，则该直线的⽅程为__________．解析：设点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则3＝a ＋02，2＝0＋b2，解得?a ＝6，b ＝4.所以直线AB 的⽅程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.答案：2x ＋3y －12＝02．已知点A (1，－4)，B (3,2)，⼜P 点在线段AB 上，且2AP ＝PB ，求P 点坐标．解：设P 1(x 1，y 1)平分线段PB ，P (x 0，y 0)为线段AP 1的中点，于是x 0＝1＋x 12，y 0＝－4＋y12.①⼜由P 1为线段PB 的中点，得x 1＝3＋x2，y 1＝2＋y2.②联⽴①②组成⽅程组，解得x 0＝53，y 0＝－2，故点P 的坐标为53，－2.与线段中点有关的问题是常见的题型，解题时常借助数形结合的思想，利⽤线段中点特征加以研究．线段的中点坐标公式是⼀个重要的基本公式，要熟记并能灵活应⽤．依据题意⽤中点坐标公式列出⽅程或⽅程组求点的坐标的⽅法是解析⼏何中常⽤的⽅法．三、解析法的应⽤⽤坐标法证明：三⾓形的中位线长为其对应边长的⼀半．思路分析：(1)⽤坐标法证明需要建⽴适当的平⾯直⾓坐标系；(2)要证明三⾓形的中位线长与其对应边长的关系，需应⽤坐标表⽰出三⾓形的中位线长及对应边长，再找其对应关系．解：已知△ABC ，D ，E 分别是边AC 和BC 的中点．求证：DE ＝12AB .证明：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，如图所⽰，则A (0,0)．设B (c,0)，C (a ，b )(a ＞0，b ＞0，c ＞0)，由D ，E 分别是边AC 和BC 的中点可知D a 2，b 2，E a ＋c 2，b 2.由两点间的距离公式得DE ＝a 2－a ＋c 22＋b 2－b 22＝c2.⼜AB ＝c ，所以DE ＝12AB .所以三⾓形的中位线长为其对应边长的⼀半．1．已知A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最⼤值时的点P 的坐标是__________．解析：如图，点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B 交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的⽅程是y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13.所以P 点坐标为(13,0)．答案：(13,0)2．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，试建⽴适当的直⾓坐标系，证明：对⾓线AC ＝BD .证明：分别以AB 所在直线、AB 的垂直平分线为x 轴、y 轴，建⽴如图所⽰的坐标系．设A (－a,0)，D (－b ，c )，则B (a,0)，C (b ，c )．∴AC ＝(a ＋b )2＋c 2，BD ＝(a ＋b )2＋c 2，∴AC ＝BD .1．对解析法的认识解析法是建⽴平⾯⼏何与代数运算关系的桥梁，是它们之间相互转化的纽带．平⾯⼏何中求线段长度、判断点的位置、证明线段成⽐例等问题，都可以通过解析法转化为代数问题来解决．2．解析法证明⼏何问题的步骤(1)建系：根据题⽬条件建⽴适当的平⾯直⾓坐标系； (2)运算：进⾏有关的代数运算；(3)“翻译”：把代数运算结果“翻译”成⼏何关系．1．已知点A (－1,3)，B (3，－2)，则AB ＝__________. 解析：AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(－1－3)2＋[3－(－2)]2＝41.答案：412．已知A(－1,3)，B(3，b)两点间的距离为4，则实数b＝__________. 解析：由两点间的距离公式得AB＝(－1－3)2＋(3－b)2＝4，解得b＝3.答案：33．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线⽅程是__________．解析：k AB＝3－11＋5＝13，AB中点为(－2,2)，∴AB的垂直平分线⽅程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.答案：3x＋y＋4＝04．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三⾓形是__________三⾓形．(填“直⾓”“等边”“等腰”“等腰直⾓”)解析：∵A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，∴AB＝(1－5)2＋(4－5)2＝17，AC＝(4－5)2＋(1－5)2＝17，BC＝(4－1)2＋(1－4)2＝18＝3 2.⼜A，B，C三点不共线，显然△ABC为等腰三⾓形．答案：等腰5．求下列两点间的距离：(1)A(6,0)，B(－2,0)；(2)C(2,1)，D(5，－1)．解：(1)AB＝[6－(－2)]2＋(0－0)2＝82＝8；(2)CD＝(2－5)2＋[1－(－1)]2＝9＋4＝13.。

苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系教案(1)

1.2.1平面的基本性质及推论（一）教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用教学过程：（一）公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内1、直线与平面的位置关系2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,点A 在平面α内,记作α∈A ,直线a 在平面α内,记作α⊂a（二）公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.（三）公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四）问题：(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?(五)给出几个正方体作出截面图形课堂练习：教材第40页练习A 、B 小结：本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.课后作业：略1.2.1平面的基本性质及推论（二）教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用教学过程：（一）推论1：直线及其外一点确定一个平面（二）推论2：两相交直线确定一个平面（三）推论3：两平行直线确定一个平面（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内．求证：AB 和CD 既不平行也不相交．证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ， α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．求证：c b a 、、交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ．因为，β⊂a ，故β∈A ，同理，γ∈A ，故c A ∈．所以c b a 、、交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线．证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，所以R Q P 、、三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证：这六点共面．证明：连结BD 和KF ，因为 L E 、是CB CD 、的中点，所以 BD EL //．又矩形11B BDD 中BD KF //，所以 EL KF //，所以 EL KF 、可确定平面α，所以 L K F E 、、、共面α，同理 KL EH //，故 L K H E 、、、共面β．又平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，A B C PQRαCA A BB C D D EFGH KL1111故平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证α∈G ，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面．卡片：证明共面问题常有如下两个方法：(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( ) (2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( ) (4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( ) (5)矩形是平面图形. ( ) 2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件． 3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 . 4.空间四个平面把空间最多分为部分． 5.空间五个点最多可确定个平面．6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用课后作业：略1.2.2空间中的平行关系（1）教学目标：1、理解公理42、掌握等角定理及其应用教学重点：1、理解公理4 2、掌握等角定理教学过程：（五）复习平面几何中有关平行线的传递性的结论（六）公理4：平行于同一直线的两条直线平行（应指出：此“公理”并不是真正的公理，可以证明，但不一定给学生证明）（七）异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线（八）异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线（注：第（三）、（四）两条课标均未设计，但应重视）（九）等角定理：见教材（十）空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。

2019学年苏教版高中数学必修2全册学案

高中数学必修2全册学案目录1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4直观图画法1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.2.3 第1课时直线与平面平行的判定1.2.3 第2课时直线与平面平行的性质1.2.3 第3课时直线与平面垂直的判定1.2.3 第4课时直线与平面垂直的性质1.2.3 第5课时线面垂直的综合应用1.2.4 第3课时两平面垂直的性质1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积2.1.1直线的斜率2.1.2 第1课时点斜式2.1.2 第2课时两点式2.1.2 第3课时一般式2.1.3 第1课时两条直线的平行2.1.3 第2课时两条直线的垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2.1 第1课时圆的标准方程2.2.1 第2课时圆的一般方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2习题课圆的方程的应用2习题课直线与方程章末复习课1章末复习课21.1.1棱柱、棱锥和棱台学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.知识点一棱柱的结构特征思考观察下列多面体，有什么共同特点？梳理棱柱的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：平移起止位置的两个面，侧面：多边形的边平移所形成的面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与底面的公共顶点底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……思考观察下列多面体，有什么共同特点？梳理棱锥的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱锥当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面，侧面：有公共顶点的各个三角形面，侧棱：相邻侧面的______，顶点：由棱柱的一个底面收缩而成按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……知识点三棱台的结构特征思考观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？梳理棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个______的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面，下底面：原棱锥的底面，侧面：其余各面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台、……知识点四多面体思考一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？梳理类别多面体定义由一些______________围成的几何体图形相关概念面：围成多面体的各个________，棱：相邻两个面的________，顶点：棱与棱的公共点类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征命题角度1棱柱的结构特征例1下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是________.反思与感悟关于棱柱的辨析(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.特别提醒：求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.跟踪训练1关于棱柱，下列说法正确的是__________.(填序号)①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.命题角度2棱锥、棱台的结构特征例2(1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？(2)如图所示的多面体是不是棱台？反思与感悟棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.类型二棱柱、棱锥、棱台的画法例3画出一个三棱柱和一个四棱台.反思与感悟在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.跟踪训练3画一个六面体.(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是由两个三棱锥组成；(3)使它是五棱锥.类型三空间问题与平面问题的转化例4如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值.反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.跟踪训练4如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.1.有下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有________个.2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个.3.下列说法错误的是________.(填序号)①多面体至少有四个面；②九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形；③长方体、正方体都是棱柱；④三棱柱的侧面为三角形.4.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台.(仅填相应序号)5.下图中不可能围成正方体的是________.(填序号)1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行.②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形.②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.答案精析问题导学知识点一思考(1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形．知识点二思考(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．梳理公共边知识点三思考(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．梳理平行于棱锥底面知识点四思考多面体是由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点．梳理平面多边形多边形公共边题型探究例1③④跟踪训练1②例2(1)解该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥．(2)解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行．即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图②中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图③中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．跟踪训练2①②例3解(1)画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．(2)画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去(如图所示)．跟踪训练3解如图所示．图1是一个四棱柱．图2是一个由两个三棱锥组成的几何体．图3是一个五棱锥．例4解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示．线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可知AD＝3，则AA1＝6.即截面△AEF周长的最小值为6.跟踪训练410当堂训练1．0 2.4 3.④ 4.①③④⑥⑤ 5.④1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球是如何形成的？梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的________、_______、____________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.如图所示：知识点二球思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？梳理球的结构特征球定义相关概念图形及表示球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球球心：半圆的______，半径：半圆的______，直径：半圆的______ 如图可记作：球O知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的____________旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为__________.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.类型一旋转体的基本概念例1判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.反思与感悟(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误.跟踪训练1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上.类型二旋转体中的有关计算例2一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练2圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.类型三复杂旋转体的结构分析例3直角梯形ABCD如图所示，以DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.引申探究若本例中直角梯形分别以AB、BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.跟踪训练3如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.1.下列说法正确的是________.(填序号)①圆锥的母线长等于底面圆的直径；②圆柱的母线与轴平行；③圆台的母线与轴平行；④球的直径必过球心.2.可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________.3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.4.下列说法正确的有________个.①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.5.如图所示的平面图形绕轴l旋转一周后，形成的几何体是由哪些简单几何体构成？1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.答案精析问题导学知识点一思考将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．梳理一边一直角边垂直于底边的腰圆柱OO′圆锥SO圆台OO′知识点二思考以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．梳理圆心半径直径知识点三一条定直线旋转体题型探究例1解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．跟踪训练1④⑥例2解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 跟踪训练2 h 1∶h 2＝2∶1例3 解以AD 为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．引申探究解以AB为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以BC为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体．如图②所示．跟踪训练3解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．当堂训练1．②④ 2.④ 3.103 4.25．解过原图形中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转后的图形如图所示，由一个圆柱O1O2、一个圆台O2O3和一个圆锥OO3组成．1.1.4直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点斜二测画法思考1边长为2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？思考2正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置.跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________.命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________.类型三简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图.反思与感悟直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段.(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)1.利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________.3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm.4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm)1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.答案精析问题导学知识点思考1 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′， A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 没有都画成正方形．梳理 45° 135° 水平面 x ′轴或y ′轴的线段保持原长度不变一半题型探究例1 解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②.(3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究解画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示．(3)所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③所示．跟踪训练12 2例2解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．跟踪训练2菱形例3解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.跟踪训练32例4 解 (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．跟踪训练4 解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P －ABCDEF 的顶点．在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′. (3)成图．连结P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3)．当堂训练1．③ 2.16或64 3.5 4.③5．解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC ＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连结AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．。

苏教版高中数学必修2课件 2.1.5 平面上两点间的距离课件4

课
主导
推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的
时作
学
业
数学能力．对于两平行直线之间的距离，由于两平行线间的
课堂
距离处处相等，故教学时，可采用类比化归的思想，将其转
互
动化为点到直线的距离来解决问题．
探
究
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法
方
分
法
析
技
教
求点 P(1,2)到下列直线的距离：
巧
学
当
方案
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
堂双
设
基
计
达
【思路探究】
标
课
前
自ห้องสมุดไป่ตู้主
【自主解答】 (1)将直线方程化为一般式为：x－y－3
课时
导
作
学＝0，
业
课堂互动
由点到直线的距离公式得 d1＝ |11－ 2＋2－－31|2＝2 2.
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苏教版数学必修2第二章2.1.5平面上两点间的距离课件(共21张PPT)

变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。
分析
l
：证明：设MN中点为O，由中点坐标公式得O（3,0）,
M
Байду номын сангаас
（3,0）在直线l上,所以MN被l平分；
O
所以：
N
所以点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称
例3、求证：点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称
变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。
分析
：
l M
O
N
所以点M关于直线l的对称点N为（1,1）
本课小结：
1、平面上P1（x1,y1）,P2（x2,y2）两点间的距离：
2、平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,线段P1P2的中点是M（x0,y0）
3、数学思想：从特殊到一般的数学思想，方程的思想
问题情境
已知A（-1,3），B（3，-2），C（6，-1），D（2,4），四边形ABCD是否是平行四边形？
证明对角线互相平分
证明两条对边平行证明两条对边相等
……
M
A1
M1
C1
由A1M1=M1C1，得
所以线段AC的中点M坐标为同理可得线段BD中点的坐标也为
一般地：对于平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）, 线段P1P2的中点是M（x0,y0），则
例2：已知△ABC 的顶点坐标为A（-1,5），B（-2，-1）， C（4,7），求BC边上的中线AM的长。
解：设M（x,y）
由两点间距离公式得：
即M（1，3）
会求点A关于点 B的对称点D吗？

苏教版高中数学(必修2)1.2《点、线、面之间的位置关系》(空间中的平行关系)word教案3篇

2、要求学生完成第五题
学生先列式后思考:要求平均每班借书多少本?应先算什么?怎样列出综合算式?
3、要求学生完成第六题
学生先算，再比较
说说你发现了什么？
3、算一算，比一比
用自己的语言总结规律
学生思考独立完成。
学生思考后独立完成并交流。
学生计算并交流。
学生计算并交流规律。
三、巩固练习。
让学生完成课堂作业：第三题
让学生感知明确有小括号的混合运算的运算顺序。组织讨论在自学过程中你明白了什么？学到了什么？
问：有小括号的混合运算的运算顺序先算什么后算什么，并让学生完成“试一试”，
学生讨论：解决例题中的问题。
学生交流自己的想法
学生交流。
学生同桌讨论运算顺序并指名交流。
学生独立完成。
三、巩固练习。
1、要求学生完成“想想做做”第1题；任意选择2题完成在自己的本子上，然后集体校对；
评讲思考题。
让学生自己尝试通过同桌讨论来解决问题；并交流解决的方法，形成一定的认知水平。
学生独立做在课堂作业本上，然后交流评讲。
同桌讨论并汇报。
四、评价总结。
今天的练习，你又获得了什么？在以后学习中要注意些什么？
学生自己总结。
教后反思：
设计理念：通过生活中的实例，理解用小括号的必要性和作用。
教学步骤
教师活动
学生活动
一、导入新课。
1、谈话导入，同学们，昨天杭老师到大润发大卖场买了一件80元的衬衫，我一共带了100元，你们帮老师算算剩下的钱我还可以买5元一双的袜子几双？
2、根据学生可能列出的算式进行灵活的引入，同学们都是用分步的方法进行计算的，那么我们能否用一个算式来解决这个问题呢？今天我们将学习新的知识，板书课题。

高中数学必修2教案苏教版

高中数学必修2教案苏教版
教学重点：直线与平面的位置关系、直线与平面的夹角关系。

教学难点：直线与平面的方程。

教学准备：教材、教学课件、黑板、教具等。

教学步骤：
一、导入：通过引入一个实际生活中的问题来引起学生的兴趣，如：一个飞机在空中飞行时，飞机的飞行轨迹与地面的关系是怎样的呢？
二、讲解直线与平面的位置关系：首先，向学生介绍直线与平面的基本概念，然后讲解直线与平面的相互位置关系，即直线与平面可能相离、相切或相交。

三、讲解直线与平面的夹角关系：介绍直线与平面之间的夹角，包括直线与平面的垂直、平行和倾斜的夹角关系，并讲解相关理论知识。

四、解题演练：通过几个实例让学生进行实际问题求解，巩固所学知识，培养学生的解题能力。

五、作业布置：布置相关练习题，巩固学生所学内容，并激发他们对数学的兴趣。

六、小结：对本节课学习的重点知识进行总结，并提醒学生注意相关知识点。

教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和实际运用知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

同时，要根据学生的实际情况灵活调整教学方法，提高教学效果。

苏教版2018-2019学年高中数学必修2- 2.1.5平面上两点间的距离教案

两点间的距离公式．
教学难点：
运用解析法证明平面几何问题．
教学方法：
研究学习法．
教学过程：
一、问题情境
情境问题：已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，四边形ABCD是否为平行四边形？
二、学生活动
1．回顾初中判定四边形为平行四边形的方法，分别尝试用对边平行、对边相等、对角线互相平分进行判断；
2.1.5平面上两点间的距离
教学目标：
1．理解两点间的距离公式推导方法；
2．运用两点间的距离公式解决实际问题．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究两点间的距离公式的推导和应用，让学生体验推导过程，体会数形结合的优越性，进一步感受数形结合的魅力．在解题中渗透函数和方程思想，是本节内容的关键．
教学重点：
2．小组交流讨论(构造直角三角形，利用勾股定理求解)：让学生感受从初中所学数轴上两点间的距离求法到两点间的距离求法之间的联系；
3．讨论归纳：总结出两点间的距离公式（）．
三、建构数学
1．由学生回忆初中知识并小组研讨提出的问题（考察学生的转化能力和对已有知识的使用和实践能力）；
2．指导总结两点间的距离公式，并从形式上分析记忆公式；
C(－3，－1)，求第四个顶点D的坐标．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．两点间的距离公式；
2．两点间的距离公式的应用（方程思想在解题中的应用）；
3．数形结合思想的使用．
3．运用两点间的距离公式解决实际问题，在解题中遇到的方程思想和函数思想及时进行总结，时刻渗透各种数学思想．
四、数学运用
1．例题．
例1（1）求(－1，3)，(2，5)两点间的距离；

苏教版2018-2019学年高中数学必修2- 2.3.2空间两点间的距离教案

2.3.2 空间两点间的距离
教学目标：
1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式；
2．理解推导公式的方法；
3．通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．
教材分析及教材内容的定位：
本节是在学习了空间直角坐标系的基础上来研究空间两点间的距离问题，是空间直角坐标系的加深与拓宽，进一步让学生体会用坐标法来解决问题的思想．
教学重点：
空间两点间的距离公式．
教学难点：
空间两点间的距离公式的推导．
教学方法：
，－3。

高中数学苏教版必修二学案：2.1.5 平面上两点间的距离

2.1.5平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题.3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.知识点一两点间的距离已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).思考1当x1≠x2，y1＝y2时，P1P2＝？思考2当x1＝x2，y1≠y2时，P1P2＝？思考3当x1≠x2，y1≠y2时，P1P2＝？请简单说明理由.梳理(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).(2)结论：_______________________________________________________.(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP＝______.知识点二中点坐标公式思考已知A(－1,3)，C(6，－1)，怎样求AC的中点呢？梳理一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则{x0＝，y0＝.类型一两点间的距离公式例1如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积.申探究若本例中的三个点的坐标改为A(2,3)，B(2t，3t)，C(5,1)，对任意t<1，试判断△ABC的形状.反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.(3)利用平面上两点间的距离公式可以求点的坐标，方法：根据已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足的条件，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.跟踪训练1已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使P A＝PB，并求P A的值.类型二运用坐标法解决平面几何问题例2在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练2已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD.1.过点A(4，a)和点B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________.2.已知点M(m，－1)，N(5，m)，且MN＝25，则实数m＝________.3.已知点M(－1,3)和点N(5,1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是______________.4.若三角形的顶点分别为A(2，－3)，B(－2，－5)，C(6,4)，则AB边上的中线长为________.5.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为________.1.坐标平面内两点间的距离公式是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.2.解析法证明几何问题的步骤答案精析问题导学知识点一思考1P 1P 2＝|x 2－x 1|.思考2P 1P 2＝|y 2－y 1|.思考3如图，在Rt △P 1QP 2中，P 1P 22＝P 1Q 2＋QP 22，所以P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.梳理(2)P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (3)x 2＋y 2知识点二思考如图，设线段AC 的中点M 的坐标为(x ，y )，过点A ，M ，C 向x 轴作垂线，垂足分别为A 1，M 1，C 1，则A 1，M 1，C 1的横坐标分别为－1，x,6.由A 1M 1＝M 1C 1，得x －(－1)＝6－x ，解得x ＝－1＋62＝52，同理得y ＝3＋(－1)2＝1，所以线段AC 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，1.梳理x 1＋x 22y 1＋y 22题型探究例1解(1)∵AB ＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，AC ＝(1＋3)2＋(7－1)2 ＝52，又BC ＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，且AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．(2)S △ABC ＝12AC ·AB ＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26. 引申探究解根据题意可得AB ＝(2t －2)2＋(3t －3)2 ＝13(1－t )，AC ＝(5－2)2＋(1－3)2＝13，BC ＝(5－2t )2＋(1－3t )2 ＝13(2－2t ＋t 2)，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．跟踪训练1解设P (x,0)，则P A ＝(x ＋1)2＋(－2)2，PB ＝(x －2)2＋(－7)2，∵P A ＝PB ， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，解得x ＝1，∴P (1,0)，∴P A ＝(1＋1)2＋4＝2 2.例2证明设BC 所在边为x 轴，以D 为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．∵AB 2＝(a ＋b )2＋c 2，AC 2＝(a －b )2＋c 2，AD 2＝b 2＋c 2，DC 2＝a 2，∴AB 2＋AC 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，AD 2＋DC 2＝a 2＋b 2＋c 2，∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋DC 2)．跟踪训练2证明如图所示，建立直角坐标系，设A (0,0)，B (a,0)，C (b ，c )，则点D 的坐标是(a －b ，c )，∴AC ＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2，BD＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故AC＝BD.当堂训练1.22.1或33.3x－y－4＝0 4．105.10。

苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系教案三

1．早读课时，需要将书本打开一定的角度．如何刻画两个平面所形成的这种“角”呢？二面角的概念：2．一般地，____________________________________，那么就说这两个平面互相垂直．（1）两个平面垂直的判定定理：语言表示：符号表示：（2）两个平面垂直的性质定理：语言表示：符号表示：例题剖析例1 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，(1)求二面角D 1-AB-D 的大小； (2)求二面角A 1-AB-D 的大小．例2 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，求证：平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1．A 11A 1巩固练习. 1．如图正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1-BD-C 的值_____________．2．如图，已知AB 是平面α的垂线，AC 是平面α的斜线，CD ⊂α，CD ⊥AC ，则面面垂直的有___________________________________________________________________． 3．如图，∠AOB 是二面角α-CD-β的平面角，AE 是△AOB 的OB 边上的高，回答下列问题，并说明理由．(1)CD 与平面AOB 垂直吗? (2)平面AOB 与α、β垂直吗? (3)AE 与平面β垂直吗?课堂小结二面角的平面角；两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用．课后训练班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题中正确命题的序号是______________________．①若m ⊥α，n //α，则m ⊥n ； ②若α//β，β//γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m //α，α⊥β，则m //α； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．2．已知平面α⊥β，α∩β= l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为_____________ ．二提高题3．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的任一点．求证：平面PAC ⊥平面PBC ．4．如图，α⊥β，α∩β= l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，BC ⊂β，DE ⊂A 11第1题图 A B CDα第2题图BACO BDαβE求证：AC ⊥DE ．三能力题5．在四棱锥P-ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 是菱形，求证：平面PAC ⊥平面PBD ． A B EC Dα β l。

苏教版高中数学必修二学案精品第课时——平面上两点间的距离

让学生学会学习第9课时平面上两点间的距离【学习导航】知识网络学习要求1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．自学评价（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = _________________________．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y 则中点坐标公式为【精典范例】例1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．【解】例2：已知三角形ABC 的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C -，试判断ABC ∆的形状．例3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．例4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =． 111222(,),(,)P x y P x y中点坐标1212(,)22x x y y ++22122121()()PP x x y y =-+-让学生学会学习追踪训练一1.式子22(1)(2)a b++-可以理解为()()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离()C两点(a,b)与(1,2)间的距离()D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为()()A2x+y-5=0 ()B2x+y+6=0()C x-2y=0 ()D x-2y-8=03.线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是．4．已知点(2,3),A-，若点P在直线70x y--=上，求取最小值．【选修延伸】对称性问题例5:已知直线1:12l y x=-，（1）求点(3,4)P关于l对称的点Q；（2）求l关于点(2,3)对称的直线方程．例6：一条光线经过点(2,3)P,射在直线10x y++=上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y间的距离公式为222121()()x x y y-+-，线段12PP中点坐标为1212(,)22x x y y++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.追踪训练二1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为() ()A(1,4) ()B(-1,4) ()C(1,-4) ()D(-1,-4) 2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形．让学生学会学习4。

高中数学 2.1.5 《平面上两点间的距离》导学案苏教版必修2

2.1.5 平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式，掌握中点坐标公式；2.能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题．学习过程一学生活动问题1. 如何求)2,3()3,1(--B A ，两点间的距离？2.如何求),(),,(222111y x P y x P 两点间的距离?二建构知识1．两点间的距离公式：2．中点坐标公式：三知识运用例题已知ABC ∆的顶点坐标为)7,4()1,2()5,1(C B A ，，---，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的方程．一条直线l ：121-=x y ，求点)4,3(P 关于l 对称的点Q 的坐标．例1 例2x例3 已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：BC AM 21=．巩固练习1．已知两点)5,8(),0(-B m A ，之间的距离是17，则实数m 的值为_______________．2．已知两点)2,3()4,1(A P ，-，则A 关于点P 的对称点B 的坐标为_______________．3．已知ABC ∆的顶点坐标为)31,32()0,1()2,3(-+C B A ，，，那么AB 边上的中线CM 的长为_______________．4．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是)1,2(-，求线段AB 的长．四回顾小结两点间的距离公式，中点坐标公式．五学习评价双基训练1.已知点A （7，4），点B （3，2），则AB= ，AB 的中点M 的坐标是2.已知A （1，2），B （-1，1），C （0，-1），D （2，0），则四边形ABCD 的形状为3.点P （2，-3）关于点M （4，1）的对称点Q 的坐标是4.若过点B （0，2）的直线交x 轴于A 点，且4AB =，则直线AB 的方程为5.已知三角形的三个顶点A （2，8），B （-4，0），C （6，0），则AB 边上的中线CD 所在直线的方程为6.若直线l 过点P(2,3),且被坐标轴截得的线段的中点恰为P ，则直线l 的方程为7.已知点A （-1，2），B （27），试在x 轴上求一点P ，使PA=PB ，并求此时PA 的值.O )(A M ),(b B ),0(c C xy拓展延伸8.过点P （3，0）作直线l ，使它被直线1:230l x y --=和2:30l x y ++=所截得的线段恰好被P 平分，求直线l 的方程.9.过等腰三角形底边BC 的中点D 作DE ⊥AC 于E ，设DE 的中点F.求证：AF ⊥BE.2.1.5 平面上两点间的距离1.()53，；2.正方形；3.（6，5）；1122y y =+=；5.47240;6.23120;7.(1,0)150;9.x y x y P x y +-=+-=--=且略。

苏教版2018-2019学年高中数学必修2- 1.2.4平面与平面的位置关系(1)教案

1.2.4 平面与平面的位置关系（1）教学目标：1．了解两个平面的两种位置关系：相交和平行；2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，并能灵活应用；3．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．教材分析及教材内容的定位：空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透．因此本节课具有承上启下的作用．教学重点：两个平面平行的判定定理及性质定理．教学难点：两个平面平行的判定定理及性质定理的灵活应用．教学方法：通过直观观察，猜想，研究面面平行的判定和性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力．教学过程：一、问题情境前面我们研究了空间直线与直线、直线与平面的位置关系，其间也常常涉及两个平面的位置关系．两个平面之间有哪些关系呢？如何判定？二、学生活动利用手中的两本书作为两个平面，探究两个平面的位置关系．观察教室的四个平面间的关系，得到两个平面的位置关系，思考问题．三、建构数学1．面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．如果两个平面有一个公共点，由公理2可知，那么它们相交于经过这个点的一条直线，此时我们说两平面相交．2．两平面的位置关系有以下两种：（1）相交：两平面有一条公共直线（2）平行：两平面没有公共点 3．两平面平行的判定定理：工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，你能解释其中的奥秘吗？如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：},,////,//a b a b A a b αααβββ⊂⊂=⇒图形语言：简记为：线面平行⇒面面平行 4．两平面平行的性质定理：如果两个平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．已知：//,,a b αβαγβγ==求证：//a b证明：因为α∥β，所以α与β没有公共点，因而交线a ，b 也没有公共点，又因为a ，b 都在平面γ内，所以a ∥b ．四、数学运用 1．例题．例1 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证:平面BC 1D ∥平面AB 1D 1．αβAab分析：可考虑证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行．例2 已知：α∥β，β∥γ．求证：α∥γ．例3 求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．已知：α∥β，l ⊥α，求证：l ⊥β．分析：要证l ⊥β，只要证明l 垂直与平面内的任意一条直线或某两条相交直线．变式：求证：垂直于同一条直线的两个平面平行．练习：1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（1）一个平面内的一条直线平行于另一个平面（2）一个平面内的两条直线平行于另一个平面（3）一个平面内有无数条直线平行于另一个平面（4）一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 分别为棱AA 1，A 1B 1，A 1D 1与BC ，CC 1，CD 中点．（1）求证：平面EFG ∥平面MNQ ；（2）求平面EFG 与平面MNQ 间的距离．3．如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，且AB ，CD 不共面，E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，求证：EF ∥β．分析：只要找一个过EF 的平面γ，使得//γβ，DABCA 1D 1C 1B1αβγ或在β内找一条与EF平行的直线五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．空间两平面的位置关系（相交、平行）；2．两个平面平行的判定定理（线面平行⇒面面平行）；3．两个平面平行的性质定理（面面平行⇒线线平行）；4．两个平行平面的公垂线的概念，公垂线段的概念以及两个平行平面间的距离；5．理解数学的化归思想．。

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