2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二高考解答题的审题与答题示范五解析几何类解答题学
2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一5高考解答题的审题与答题示范一学案
⑦得出f′(x)≤0得1分；
⑧判断出函数f(x)在区间 的单调性得1分；
⑨求出最大值得1分；
⑩求出最小值得1分.
满分心得
(1)牢记求导法则的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题就涉及对函数的求导．
(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解．
典例
(本题满分12分)已知函数f(x)＝excosx－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.
审题路线
(1)要求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程⇒需求f′(0)及f(0)的值⇒利用点斜式求切线方程．
(2)要求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值⇒需求函数f(x)在区间 上的极值及端点处的函数值⇒比较极值与端点处的函数值即可求出最大值和最小值.
标准答案
阅卷现场
(1)因为f(x)＝excosx－x，
所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，①
又因为f(0)＝1，f′(0)＝0，②
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
③
(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，
则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)
⑩
2
1
1
2
1
1
2019年高考数学(文科)二轮复习专题透析10解答题常见问题与答题模板
m=2,此时 l 过椭圆右顶点,
,x1x2=
������ 1
4 ������ 2 -4
则������������2 ������ +������������2 ������ =
4 (2017 年山东卷)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择 2 个国家去旅游. (1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家 的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包 括 A1 但不包括 B1 的概率.
2 (2017 年全国Ⅱ卷)已知等差数列 ������������ 的前 n 项和为 Sn,等比数列 ������������ 的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求 ������������ 的通项公式; (2)若 T3=21,求 S3.
【分析】 对等差、等比数列的定义、通项公式理解不彻底 导致错误;对数列的前 n 项和的求解方法掌握不够全面导致错误; 不能采用分类讨论的方法分别求和. n-1 【解析】 (1)由题意知,an=a1+(n-1)d,bn=b1q , ������2 + ������2 = 2, -1 + ������ + ������ = 2, ������ = 1, ⇒ ⇒ 2 ������3 + ������3 = 5 -1 + 2������ + ������ = 5 ������ = 2. 所以 bn=2 . 2 (2) 因为 T3=21,所以 b1+b2+b3=1+q+q =21,解得 q=-5 或 q=4. 当 q=-5 时,因为-1+d+q=2,所以 d=8. 3×2 此时,S3=3a1+ d=21; 当 q=4 时,因为-1+d+q=2,所以 d=-1. 3×2 此时,S3=3a1+ d=-6.
2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题六2第2讲统计与统计案例课件20190218156
C．160，170
D．180，160
2019年7月3日
你是我心中永远的宝你是我心中永
12
远的宝
解析：选 A.用电量为 180 度的家庭最多，有 8 户，故这 20 户 家庭该月用电量的众数是 180，排除 B，C；将用电量按从小到 大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是 160，180，故这 20 户家庭该月用电量的中位数是 170.故选 A.
人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富
小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合
理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了
40 名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成 6 段：[20，
30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到
400∶1 600＝6∶9∶8∶2，
所以每类人中应抽选出的人数分别为6＋9＋6 8＋2×100＝24，
6＋9＋9 8＋2×100＝36，6＋9＋8 8＋2×100＝32，6＋9＋2 8＋2×
100＝8，故选 D.
2019年7月3日
你是我心中永远的宝你是我心中永
8
远的宝
“双图”“五数”估计总体(基础型)
2019年7月3日
你是我心中永远的宝你是我心中永
7
远的宝
解析：选 D.法一：因为抽样比为20100000＝2100， 所以每类人中应抽选出的人数分别为
4 800×2100＝24，7 200×2100＝36，6 400×2100＝32，1 600×2100 ＝8.故选 D.
法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为 4 800∶7 200∶6
2019年7月3日
专题5 导数中的点关于线对称问题-2019届高考数学二轮复习压轴题突破例题讲解与专题训练含答案
专题05 导数中的点关于线对称问题导数中的存在点关于线的对称问题在平时的练习中比较常见，一开始很多同学无法下手，但是其实根据对称思想确定对称点的坐标，转化为一个函数是否存在零点的问题，再利用导数分析函数的单调性，确定最值，数形结合即可求解。
【题型示例】1、已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数与的图象在上存在关于直线对称的点，所以问题转化为方程在上有解，即在上有解.令，则，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，即，故选A.2、已知函数的图象上存在两点关于轴对称，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设是上一点，则点关于y轴的对称点为，于是，∴，令，则，∴在上是增函数，在与上是减函数，又时，，，，∴，故选D.3、已知函数，，若存在使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B4、已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知有解，令，，故函数在递减，在递增，所以，解得.【专题练习】1、已知函数, ,若图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，在上有两解，即有两解，整理得．设，则．令，得，解得或（舍）．当时，，函数递减，当时，，函数递增，则当时，取得极小值，当时，，有两解，．的取值范围是．故选D．学=科网2、已知函数与的图象在上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，存在，使成立，即，在上有解.令，则.因为在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.3、已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B4、已知函数(,是自然对数的底)与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意,若函数(,是自然对数的底)与的图象上存在关于轴对称的点,则方程在区间上有解,,即方程在区间上有解,设函数,其导数,又由,在有唯一的极值,分析可得:当时,,为减函数,当时,,为增函数,故函数有最小值,又由,，比较可得:,故函数有最大值,故函数在区间上的值域为;若方程在区间上有解,必有,则有,即的取值范围是.5、若平面直角坐标系内的两点满足：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”（点对与可看作同一个“姊妹点对”）.已知函数则的“姊妹点对”的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B。
2019高考数学二卷答案
2019高考数学二卷答案2019年高考数学二卷是中国高中生们所面对的一项重要考试。
考试结束后，很多学生都非常关注答案的公布。
本文将为大家详细解析2019年高考数学二卷的答案，帮助大家全面了解考试的内容和答题技巧。
第一部分：选择题答案解析第一部分的选择题主要考察学生对基础数学知识的掌握和运用能力。
本部分共有15道题。
下面是每道题的答案及解析：1. A解析：根据题目中的条件，可以得到一个方程，通过求解这个方程可以得出答案。
2. B解析：本题需要利用几何知识来解决，通过画图可以得到三角形的一些特性。
3. D解析：通过分析题目可以看出，可以利用排列组合的方法来解决这道题。
4. C解析：本题需要利用平面几何的知识，通过构造一些几何图形可以快速解答。
5. A解析：通过代入法，我们可以将等式两边的方程进行化简，并得到解。
6. B解析：本题考察对数学中的函数概念的理解，需要对函数的性质进行分析。
7. D解析：通过对题目中所给的图形进行分析，我们可以判断出正确的答案。
8. C解析：本题考察了对立体几何的理解，通过分析立体图形可以解出正确的答案。
9. A解析：本题通过构造不等式，可以解得正确答案。
10. D解析：通过利用数学中的一些方法可以快速求解这种类型的题目。
11. B解析：通过分析解题思路可以找到解决这道题的关键。
12. C解析：本题通过建立方程，求解出方程的根，可以得到答案。
13. A解析：本题运用了三角函数的一些特性，需要对基本的三角函数进行分析。
14. D解析：本题通过对数学中的一些公式进行运用，可以得到正确的答案。
15. B解析：通过分析数列中的规律可以求解这种类型的题目。
通过以上的答案解析，我们可以看到，对于选择题来说，掌握基础的数学知识非常重要，同时也需要对题目进行分析，并找到解决问题的方法。
第二部分：解答题答案解析第二部分是解答题，主要考察学生的推理和解决实际问题的能力。
本部分共有5道题。
下面是每道题的答案及解析：16. 解析：在解这道题之前，我们需要分析一下题目的条件和要求。
2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一1第1讲函数的图象与性质学案
第1讲函数的图象与性质年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ利用图象研究零点问题·T9 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10题或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大.卷Ⅱ图象的识别·T3函数性质与求值·T11卷Ⅲ图象的识别·T72017卷Ⅰ利用函数的单调性、奇偶性求解不等式·T5卷Ⅲ分段函数与不等式的解法·T152016卷Ⅰ函数图象的判断·T7函数及其表示(基础型)分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[考法全练]1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax2＋x－1，x>2，ax－1，x≤2是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( ) A．－14≤a<0 B．a≤－14C．－1≤a≤－14D．a≤－1解析：选D.因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax2＋x－1，x>2，ax－1，x≤2是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.当x ≤0时，因为f (x )min ＝f (0)，所以f (x )＝(x －a )2在(－∞，0]上单调递减，故a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a (当且仅当x ＝1时取等号)，因为f (x )min ＝f (0)，所以2＋a ≥f (0)＝a 2，解得－1≤a ≤2.综上可知，0≤a ≤2.故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：选C.函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．解析：由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2.答案：25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋ 2 ]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ 2 ]．答案：(－∞，－1＋ 2 ]函数的图象及应用(综合型)函数图象变换的4种形式(1)平移变换(上加下减，左加右减)y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向左(右)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x ＋a )(y ＝f (x －a ))的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向上(下)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x )＋a (y ＝f (x )－a )的图象．(2)伸缩变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 不变，y 变为原来的k 倍y ＝kf (x )的图象； y ＝f (x )的图象错误!y ＝f (kx )的图象．(3)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )的图象． (4)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方的部分翻折到上方y ＝|f (x )|的图象， y ＝f (x )的图象―――――――――――→y 轴右侧的部分翻折到左侧y ＝f (|x |)的图象．[典型例题]命题角度一 函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)当x <0时，因为e x－e －x<0，所以此时f (x )＝e x －e－xx2<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e>2，故排除C ，选B.(2)因为f (－x ＋1)＝f [－(x －1)]，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB ＝tan x ，所以BP ＝tan x ，所以AP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C. 当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP＝BC 2＋CP 2＋AD 2＋DP 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，3π4≤x ≤π，则AP OA＝tan(π－x )＝－tan x ，所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝4＋tan 2x ， 所以f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B.法二：当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22<1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A ，故选B.【答案】 (1)B (2)B (3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二 函数图象的应用若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示，若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．[对点训练]1．(2018·湖南湘东五校联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx 的图象的大致形状是( )解析：选 B.因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，所以f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋e x －1<0，cos x >0，所以f (x )<0，可排除选项D ，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.3.某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.4．若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]函数的性质及应用(综合型)与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期．(2)若f (x ＋T )＝1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (3)若f (x ＋T )＝－1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (4)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a <b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的任意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.与函数对称性有关的3条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )． (2)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．[典型例题]命题角度一 函数单调性的应用(1)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b(2)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B.(2)当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，1)∪(2，＋∞)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)对于x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，若(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数．(3)若函数f (x )在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式．命题角度二 函数的奇偶性与周期性(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8【解析】 (1)因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.(2)f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x32|x |＋1， 因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数， 所以g (x )max ＋g (x )min ＝0. 因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 【答案】 (1)C (2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质f (|x |)＝f (x )．(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[对点训练]1．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：选C.由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.故选C.2．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a解析：选B.由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .3．(2018·山西八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________． 解析：因为f (x ＋2)＝－1f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.答案：52新定义函数(创新型)新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．[典型例题](2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.【答案】 B解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．[对点训练]1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A.对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，因为e 2>1，所以e x f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e xf (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x，因为e 3<1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e xf (x )＝e xcos x ，则[e xf (x )]′＝e x(cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e xf (x )＝e xcosx 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2．(2018·西安模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A.因为a ＋b ＝1，所以－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ，因为a >0，b >0，所以b 2a ＋2a b ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以－12a －2b ≤－52－2＝－92，所以－12a－2b 的上确界为－92，故选A.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ， 所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或 x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln(x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln(x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12 C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则下列结论正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－611＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B. 11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg(－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝________．解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －3，x ≥0ln(－2x )，x <0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y ＝g (x )相切的切点为(m ，ln(2m ))，由g ′(x )＝1x ，得k ＝1m.又ln(2m )＝km －3，解得m ＝12e2，则k ＝2e 2.由图象可得0<k <2e 2时，g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e 2)。
2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题六3高考解答题的审题与答题示范六概率与统计类
——审图表、审数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，认真观察分析图表、数据的特征的规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．
典例
(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
③写出随机变量的分布列得2分.
第(2)问踩点得分说明
④正确写出在300≤n≤500时的各关系式得1分；
⑤正确写出在300≤n≤500时E(Y)＝640－0.4n得1分；
⑥正确写出在200≤n＜300时的各关系式得1分；
⑦正确写出在200≤n＜300时E(Y)＝160＋1.2n得1分；
⑧得出n＝300时，Y的数学期望达到最大值，并求出最大值得2分.
因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n，⑦
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．⑧
第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
1
3
2
1
1
1
1
2
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①正确写出X所有可能取值得1分；
2019届二轮复习 高考解答题突破6 课件(24张)(全国通用)
古典概型概率问题的关注点 求古典概型的概率，关键利用列举法求解基本事件数，求解 时要避免“重”和“漏”．要做到正确理解题意，明确一些常见 的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，还要熟练使用常用 的列举方法，如表格法，树图法等．只有有规律地列举基本事件， 才能避免“重”和“漏”．
[对点训练] 1．某校拟从高二年级 2 名文科生和 4 名理科生中选出 4 名 同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相 等． (1)求被选中的 4 名同学中恰有 2 名文科生的概率； (2)求被选中的 4 名同学中至少有 1 名文科生的概率．
[对点训练] 2． (2018· 东北三校联考)为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久 性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了 60 个样本，得到了 相关数据如下表：
(1)根据表中数据，求出 s，t 的值，利用独立性检验的方法判 断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为使用淡化海砂 与混凝土耐久性是否达标有关？ (2) 若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个，现从这 6 个样本中任取 2 个，则取出的 2 个样本混凝土耐久 性都达标的概率是多少？
第 二 篇
ห้องสมุดไป่ตู้
专题整合、突破篇
专 题 七
概率与统计
高考解答题突破(六)
概率与统计
突破“两辨”——辨析、辨型 [思维流程]
[技法点拨] 概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模 型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分 析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不 准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型 中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回 和不放回试验的区别，合理划分复合事件．
2019届高考数学突破热点分层教学专项：二专题三高考解答题的审题与答题示范三
2019年4月29日
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标准答案 由此可得 an＝3n－2.④ 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2， 数列{bn}的通项公式为 bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，b2n－1＝ 2×4n－1，得 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，⑤ 故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，(*)⑥ 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， (**)⑦
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标准答案 (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12， 而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0.① 又因为 q＞0，解得 q＝2，所以 bn＝2n.② 由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8(ⅰ)． 由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16(ⅱ)． 联立(ⅰ)(ⅱ)，解得 a1＝1，d＝3，③
专题三 数 列
高考解答题的审题与答题示范(三) 数列类解答题
2019年4月29日
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[审题方法]——审结构 结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中
常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加 工和转化，以实现解题突破．
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2019届高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 专题二 3 高考解答题的审题与
(3)计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cosBcosC－sinBsinC＝－ 化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.
审题路线
标准答案
阅卷现场
(1)由题设得 acsinB＝ ，①
即 csinB＝ .②
由正弦定理得 sinCsinB＝ .③
故sinBsinC＝ .④
(2)由题设及(1)
得cosBcosC－sinBsinC＝－ ，⑤
即cos(B＋C)＝－ ，所以B＋C＝ ，故A＝ .⑥
由题设得 bcsinA＝ ，⑦
即bc＝8.⑧
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝ .⑨
故△ABC的周长为3＋ .⑩
第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
2
1
2111源自1111
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①写出 acsinB＝ 得2分，如果没有记0分；
②正确变形，得出 csinB＝ 得1分，越过此步不扣分；
③正确写出 sinCsinB＝ 得2分；
④正确叙述结论得1分．
第(2)问踩点得分说明
⑤写出cosBcosC－sinBsinC＝－ 得1分；
⑥正确求出A得1分；
⑦正确写出 bcsinA＝ 得1分；
2019-2020年高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题三3高考解答题的审题与答题示范三课件
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍 自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对 讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
标准答案 由此可得 an＝3n－2.④ 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2， 数列{bn}的通项公式为 bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，b2n－1＝ 2×4n－1，得 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，⑤ 故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，(*)⑥ 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， (**)⑦
专题三 数 列
高考解答题的审题与答题示范(三) 数列类解答题
[审题方法]——审结构 结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中
常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加 工和转化，以实现解题突破．
(本题满分 12 分)已知{an}为等差数列，前 n 项和为 典 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2 例 ＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
2019年高考数学高分突破复习 专题二 第2讲
第2讲 数列求和及综合应用高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2， 又a n >0，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n， 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n. 考 点 整 合1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误.2.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一 a n 与S n 的关系问题【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列.【训练1】 (2018·安徽江南名校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3.(1)解 2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n ，① 当n ≥2时，2(S n －1＋1)＝(n ＋2)a n －1，② ①－②得，(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1， 所以a nn ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，又∵a 11＋2＝13，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2是首项为13的常数列.所以a n ＝13(n ＋2).(2)证明 由(1)知，b n ＝1a n a n ＋1＝9（n ＋2）（n ＋3）＝9⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝9⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3 ＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋3＝3－9n ＋3<3.热点二 数列的求和 考法1 分组转化求和【例2－1】 (2018·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2.因此{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1) ＝2×4n ＋(－1)n·(2n ＋1)，∴T n ＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝8（4n －1）3＋G n .当n 为偶数时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8（4n－1）3＋n ；当n 为奇数时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8（4n －1）3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8（4n －1）3＋n （n 为偶数），8（4n －1）3－n －2 （n 为奇数）.探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 考法2 裂项相消法求和【例2－2】 (2018·郑州调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2＋5n . (1)求证：数列{3an }为等比数列； (2)设b n ＝2S n －3n ，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n a n b n 的前n 项和T n .(1)证明 ∵S n ＝2n 2＋5n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n ＋3. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝7也满足a n ＝4n ＋3. 故a n ＝4n ＋3(n ∈N *). 由a n ＋1－a n ＝4，得3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝34＝81.∴数列{3a n }是公比为81的等比数列. (2)解 ∵b n ＝4n 2＋7n ， ∴n a n b n ＝1（4n ＋3）（4n ＋7）＝14⎝⎛⎭⎪⎫14n ＋3－14n ＋7，∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋111－115＋…＋14n ＋3－14n ＋7 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－14n ＋7＝n7（4n ＋7）. 探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2018·成都二诊)设正项等比数列{a n }，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为32(a 1＋a 2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n ＝14S n －1，T n 为数列{c n }的前n 项和，若T n <λn 恒成立，求λ的取值范围. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3＝81，a 1q ＋a 1q 2＝3（a 1＋a 1q ），解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3n .(2)由(1)得b n ＝log 332n －1＝2n －1，S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2∴c n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1.若T n ＝n 2n ＋1<λn 恒成立，则λ>12n ＋1(n ∈N *)恒成立，则λ>⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1max ，所以λ>13.考法3 错位相减求和【例2－3】 (2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，且a 1，a 3，a 9成等比数列. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公差为d ，由题设得⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝10，a 23＝a 1·a 9，∴⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝10，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋8d ）. 解之得a 1＝1，且d ＝1. 因此a n ＝n .(2)令c n ＝n3n ，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n3n ，① 13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1，② ①－②得：23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12－12×3n －n3n ＋1，∴T n ＝34－2n ＋34×3n.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式.所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ， 由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]. 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.热点三 与数列相关的综合问题【例3】 设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，∴q ＝3. ∴b n ＝3n －1.∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －13－1＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】 (2018·长沙雅礼中学质检)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值. 解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2). 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n .(2)由(1)可得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000， 即2n >1 000，又∵n ∈N *，因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.1.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项得到的数列{a n ·b n }求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.2.裂项求和的常见技巧(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . (3)1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1. (4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.一、选择题1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n 为( ) A.－n B.－2n C.nD.2n解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝(－1)n －1(2n －1)，∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n . 答案 B2.(2018·衡水中学月考)数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A.－10 B.－9 C.10D.9解析 由于a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1.因此1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案 B3.已知T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024D.1 023解析 因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210， 又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C4.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9B.15C.18D.30解析 ∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列. ∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7. 数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2－6n .令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案 C5.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.2B.2nC.2n ＋1－2D.2n －1－2解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 C 二、填空题6.(2018·昆明诊断)数列{a n }满足a n ＝n （n ＋1）2，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018等于________. 解析 a n ＝n （n ＋1）2，则1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12 018－12 019 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 019＝4 0362 019.答案4 0362 0197.记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且a n ＋1＝2S n ，则S 2 018＝________. 解析 由题意得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，a 1＝1， 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，②①－②得a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0， 又a n >0，所以a n －a n －1＝2，则{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以a n ＝2n －1，S 2 018＝2 018（1＋2×2 018－1）2＝2 0182.答案 2 01828.(2018·贵阳质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N ＋，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________.解析当1≤n≤9时，a n＝[lg n]＝0.当10≤n≤99时，a n＝[lg n]＝1.当100≤n≤999时，a n＝[lg n]＝2.当1 000≤n≤2 018时，a n＝[lg n]＝3.故S2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947.答案 4 947三、解答题9.(2018·济南模拟)记S n为数列{a n}的前n项和，已知S n＝2n2＋n，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1anan＋1，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由S n＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1. 又a1＝3满足上式.所以a n＝4n－1(n∈N*).(2)b n＝1anan＋1＝1（4n－1）（4n＋3）＝14⎝⎛⎭⎪⎫14n－1－14n＋3.所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫14n－1－14n＋3＝14⎝⎛⎭⎪⎫13－14n＋3＝n12n＋9.10.(2018·南昌调研)已知数列{a n－n}是等比数列，且a1＝9，a2＝36.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n－n2}的前n项和S n.解(1)设等比数列{a n－n}的公比为q，则q＝a2－2a1－1＝6－23－1＝2.从而a n－n＝(3－1)×2n－1，故a n＝(n＋2n)2.(2)由(1)知a n－n2＝n·2n＋1＋4n.记T n＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，则2T n＝23＋2·24＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，两式作差，得－T n＝22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝2n＋2－4－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－4，∴T n＝(n－1)·2n＋2＋4，故S n＝T n＋4－4n＋11－4＝(n－1)·2n＋2＋4n＋1＋83.11.若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n＋b n ＝nb n＋1.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足c n＝an＋1bn＋1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式(－1)nλ<T n＋n2n－1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解(1)∵数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n＋b n＝nb n＋1. ∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.又数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nb n＝nb n＋1，化为2b n＝b n＋1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n＝2n－1.(2)由数列{c n}满足c n＝an＋1bn＋1＝2n2n＝n2n－1，数列{c n}的前n项和为T n ＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，∴12Tn＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，两式作差，得∴12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－n＋22n，∴T n＝4－n＋22n－1.不等式(－1)nλ<T n＋n2n－1，化为(－1)nλ<4－22n－1，n＝2k(k∈N*)时，λ<4－22n－1，取n＝2，∴λ<3.n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－22n－1，取n＝1，∴λ>－2.综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).。
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高考解答题的审题与答题示范(五) 解析几何类解答题
——审方法
[审题方法]
数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
典例(本题满分12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过点M作x轴
x2
2
的垂线，垂足为N，点P满足＝.
NP→2NM→
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过
OP→PQ→
C的左焦点F.
审题路线(1)要求P点的轨迹方程⇒求点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y的关系式⇒利用条件
＝求解．
NP→2NM→
(2)要证过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F⇒证明⊥⇒·＝0.
OQ→PF→OQ→PF→标准答案阅卷现场
(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，＝(x －x 0，y )，NP → ＝(0，y 0)，①NM → 由＝ ，
NP → 2NM → 得x 0＝x ，y 0＝y ，②2
2因为M (x 0，y 0)在C 上，
所以＋＝1，③x 22y 2
2因此点P 的轨迹方程为
x 2＋y 2＝2.④
(2)证明：由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，
则＝(－3，t )，＝(－1－m ，－n )，⑤OQ → PF
→ ·＝3＋3m －tn ，⑥
OQ → PF → ＝(m ，n )，＝(－3－m ，t －n )，⑦OP → PQ → 由·＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，⑧OP → PQ
→ 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以·＝0，即⊥，⑨
OQ → PF → OQ → PF → 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点
P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .⑩
第(1)问
第(2)问
得分点①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩122
1
1
1
1
1
1
1
6
分
6分
第(1)问踩点得分说明
①设出点P 、M 、N 的坐标，并求出和的NP → NM
→ 坐标得1分；
②由＝ ，正确求出x 0＝x ，y 0＝y NP → 2NM
→
22得2分；
③代入法求出＋＝1得2分；x 22y 2
2④化简成x 2＋y 2＝2得1分．第(2)问踩点得分说明⑤求出和的坐标得1分；OQ → PF
→ ⑥正确求出·的值得1分；OQ → PF
→ ⑦正确求出和的坐标得1分；
OP → PQ
→ ⑧由·＝1得出－3m －m 2＋tn －n 2＝1得OP → PQ
→ 1分；
⑨得出⊥得1分；OQ → PF
→ ⑩写出结论得1分.
满分心得
(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，
N (x 0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m －m 2＋tn －n 2＝1就得分．
(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出
x 0＝x ，y 0＝y ，没有则不得分；第(2)问一定要写出·＝0，即2
2OQ → PF
→ ⊥，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.
OQ → PF →。