拉格朗日插值教学提纲
插值法及拉格朗日插值多项式
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
f
(
x2
)
(
(x
x2
− −
x0 x0
) )
( (
x − x1)
x2 − x1
)
以类似的方法教师可以推导三次多项式。为了学生的
兴趣，教师也可以引入「拉格朗日乘数函数」。
最后教师可帮助学生引出 pn (x) , n = 1, 2, 3 的次数是 n 及在 n + 1 个表列点到 xi 上， pn (xi ) = f (xi ) 的结论， 但不须要将其引伸至一般情况。
作为进一步的说明，一些常用函数如正弦及余弦函数 是值得作为课堂上示范的。教师可要求学生将利用拉格朗 日插值多项式估计的中间函数值与由计算器算得的数值 作一比较。教师亦可举出一些实际例子如经济走势图表及 人口数据表并要求学生估计其中缺掉的一些数据。
3.4 插值各项式的误差估计
3
在此阶段，教师应提醒学生拉格朗日插值多项式只是
学生应知道多项式逼近函数是数值法最常用的一种。 利用多项式 p(x) 替代函数 f(x) 是因为多项式容易计算， 它只涉及整数幂；而其导数及积分本身又为多项式，并不 难求得；况且多项式方程的根亦很容易确定。
3.2 拉格朗日播值多项式的 构造
3
作为引入，教师可展示拉格朗日插值多项式 pn(x) 在
n = 1 的情形。以下的图解可帮助学生了解插值法的实际
3.3 拉格朗日插值多项式的 2
教师应展示拉格朗日插值多项式的应用例子。
应用
例一
下表列出在 0, 1, 2, 4 点上的四个函数值。
xk
012源自4yk11
2
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。
对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。
可求得lk三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：形参与函数类型参数意义intn节点的个数doublex[n]（double*x）存放n个节点的值doubley[n]（double*y）存放n个节点相对应的函数值doublep指定插值点的值doublefun()函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值#include<iostream>#include<math.h>usingnamespacestd;#defineN100doublefun(double*x,double*y,intn,doublep);voidmain(){inti,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;doublex[N],y[N],p;cout<<"pleaseinputxiangliangx="<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"pleaseinputxiangliangy="<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"pleaseinputLagelangrichazhiJieDianp="<<endl;cin>>p;cout<<"TheAnswer="<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause");}doublefun(doublex[],doubley[],intn,doublep){doublez=0,s=1.0;intk=0,i=0;doubleL[N];while(k<n){if(k==0){for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];returnz;}四．运行结果测试：五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
人教版高中选修(B版)4-63.4拉格朗日插值公式课程设计
人教版高中选修(B版)4-63.4拉格朗日插值公式课程设计一、引言拉格朗日插值公式是一种用已知数据点插值出未知数据点的方法，它具有较高的精度和稳定性。
在数学、物理学、计算机等领域都有广泛的应用。
本次课程设计旨在通过教授拉格朗日插值的原理和实现方式，提高学生的数学素养和实现一定的应用能力。
二、教学目标通过本次课程的学习，目标如下：1.理解拉格朗日插值公式的原理；2.掌握利用拉格朗日插值公式进行数据插值的方法；3.能够应用拉格朗日插值公式解决简单的实际问题；4.培养学生的分析和解决问题的能力。
三、教学内容一、拉格朗日插值公式原理1.描述拉格朗日插值公式的定义；2.探讨拉格朗日插值公式的构造方法；3.分析拉格朗日插值公式的误差及其限制。
二、拉格朗日插值公式的实现1.讲解拉格朗日插值公式的计算方式；2.给出拉格朗日插值公式实现的示例；3.基于案例进行实际应用训练。
三、实际问题的解决1.将拉格朗日插值与实际问题结合起来；2.尝试解决一些实际问题，如利用拉格朗日插值求解车速、温度变化等。
四、教学活动一、对拉格朗日插值公式原理的讲授1.通过PPT展示，讲解拉格朗日插值公式的定义和构造方法；2.分析拉格朗日插值公式的误差及其限制；3.进行例题练习，加深学生对拉格朗日插值原理的理解。
二、拉格朗日插值公式的实现1.讲解拉格朗日插值公式的计算方式；2.授予Python等计算工具多种实现方式；3.给出拉格朗日插值公式实现的示例；4.指导学生完成相应的编程训练。
三、实际问题的解决1.将拉格朗日插值与实际问题结合起来；2.多元测试拉格朗日插值在实际问题中的应用，如利用拉格朗日插值求解车速、温度变化等。
五、教学方法1.讲授和演示相结合；2.计算操作与编程操作相结合；3.鼓励学生大胆发言，激发他们的兴趣和想象力。
六、教学评估1.布置理论知识检验题；2.布置编程作业；3.参考实际问题的解决成果。
七、总结通过本次课程设计，学生得以充分了解拉格朗日插值公式及其应用。
第2章 拉格朗日插值
n
li(x) 每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn f 无关, 与 有关，而与 节点 l ( x) C ( x x )...(x x )...(x - x ) C
i i 0 i n
i
称为n次插值基函数。 1 li ( xi ) 1 Ci j i ( xi xj )
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) Ln ( x ) p( x ) ( x - xi ) 也是一个插值
i 0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
2.2 插值余项及误差估计
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C [a, b] , f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) f ( x) - L ( x) n n
插值法
§2.拉格朗日插值
2.1 拉格朗日插值
2.2 插值余项及误差估计
2.1 拉格朗日插值
n 求 n 次多项式 Ln ( x) a0 a1x an x 使得 Ln ( x i ) y i , i 0 , ... , n xi x j 条件：无重合节点，即 i j
n=1
f ( n 1) ( x ) M n 1, x(a,b)
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f
( n1)
( x) 0 ,
可知 Rn ( x ) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的。
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
拉格朗日(Lagrange)插值
( n 1) !
i0
( ( 1 0 (x Rolle’s f ( x ) Ln (若)至少个有 n+1根 ( x 0 ) Rnx)x )K ( x)，则 xi ) R n ( x ) Theorem: x ( x ) 充分光滑， i 0 n 存在 ( x 0 , x 1 ) 使得 ( ) 0 。 任意固定 x xi (i = 0, 求导 考察 ( t ) Rn ( t ) K ( x ) ( t x i ) 注意这里是对 t …, n), 0 ( x 0 , x 1 ), 1 i ( 0 1 , x 2 ) x 推广：若 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 0 (x)有 n+2 个不同的根x0) …0xn x ( , ( n) 1 ) ( x ) 0(, ) ( a , b ) x 0 使得 ( 0 ) ( 1 0 1 使得
于是 : L 2 ( x )
再利用 l 0 ( x 0 ) 1 C
1 ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l ( x) y
i i0
2
i
l 0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y1 l 2 ( x ) y 2
i0 n
[证明]上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合 系数均为1。显然，函数f(x) 1在这n +1个节点取值 为1，即yi=f (xi) 1 (i=0,1,…,n)， 它的n次Lagrange插值多项式为：
Ln ( x ) l i ( x ) y i l i ( x )
几种插值法的应用和比较教学提纲
几种插值法的应用和比较插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 132710381格朗日插值法在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：)()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ， 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0.例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：•10)4(=f ， •25.5)5(=f ， • 1)6(=f ，要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式：())64)(54()6)(5(0----=x x x l ； ())65)(45()6)(4(1----=x x x l ； ())56)(46()5)(4(2----=x x x l ； 然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x )13628(412+-=x x ， 此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x K 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ，而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj j j x l y x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()(ΛΛ，在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+-ΛΛ，它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ΛΛ.由于已经假定i x 两两互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--∏ΛΛ， 这就是拉格朗日基本多项式.唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x ---Λ的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.1.3性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10Λ（由某一组n x x x <<<Λ10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的一组基底.首先，如果存在一组系数：n λλλ,,,10Λ使得，01100=+++=n n l l l P λλλΛ，那么，一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100Λ的拉格朗日插值多项式，另一方面p 是零多项式，所以取值永远是0.所以010====n λλλΛ，这证明了n l l l ,,,10Λ 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10Λ 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.1.4优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中，运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---=Λ，图（2）拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）可以将拉格朗日基本多项式重新写为：∏≠=--=kj i i i j j j x x x x x l x l ,0)(1)()(，定义重心权∏≠=-=kj i i i j j x x ,0)(1ω， 上面的表达式可以简化为：jjj x x x l x l -=ω)()(， 于是拉格朗日插值多项式变为：j k j j j y x x x l x L ∑=-=0)()(ω ， （1）即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重心权1+k ω，计算复杂度为)(n O ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：∑=-=∀k j j j x x x l x g x 0)()(,ω，因为1)(≡x g 是一个多项式.因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：∑∑==--=kj j j k j j j x x x x x L 00)(ωω， （2）这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小.3.分段线性插值对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.3.1问题的重诉已知211)(x x g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下：（1）利用已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值（本题采用3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.（2）分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进行对比.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量，叙用插值函数计算.（2）为了得到理想的对比函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<=Λ10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k Λ==；求一个分段函数)(x I k ,使其满足：(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k Λ=；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k Λ=1111)(++++--+--=k kk k k k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其一阶导数是不连续的.于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x x x x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解 在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’) 函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是一个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法，包括：linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线让选取对应插值点的数.nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值.spline ：3次样条插值.在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码，并分别画出图形如下： (一)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值（二）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值3.6 分段插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下，阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点： 优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍入误差影响不大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
拉格朗日插值讲解
特征提取
在计算机视觉中，拉格朗日插值可以用于提 取图像中的特征点，为后续的图像识别和分 析提供基础。
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02
它是由意大利数学家约瑟夫·拉格 朗日于18世纪提出的一种数学工 具，广泛应用于科学、工程和经 济学等领域。
拉格朗日插值的重要性
拉格朗日插值方法为数据分析和预测提供了一种重要的工具 ，特别是在数据量较小或数据分布不均匀的情况下，可以通 过插值方法来填补数据空白或提高数据精度。
它可以帮助我们更好地理解数据的内在规律和趋势，为决策 提供科学依据。
基于拉格朗日插值拟合出的多项 式，可以进一步预测未来数据点 的趋势和走向，为决策提供依据 。
工程计算与设计
工程建模
在工程计算中，拉格朗日插值可以用 于建立数学模型，模拟复杂系统的行 为和性能。
优化设计
通过拉格朗日插值，工程师可以对设 计方案进行优化，提高产品的性能和 效率。
图像处理与计算机视觉
图像修复
多项式插值的精度较高，适用于数据 点之间变化较大的情况，但构造多项 式的过程较为复杂，需要选择合适的 基函数和节点。
拉格朗日插值公式
拉格朗日插值公式是利用拉格朗日多 项式进行插值的方法，通过已知数据 点构造拉格朗日多项式，然后利用这 个多项式计算出需要插值的点的值。
拉格朗日插值公式的优点是构造简单、 精度较高，适用于任意数据点的情况， 但当数据点较多时，计算量较大，可 能会出现龙格现象。
拉格朗日插值的历史背景
拉格朗日插值方法的发展经历了漫长的历史过程。最早的插值方法可以追溯到古 希腊时期，而现代的插值方法则是在17世纪和18世纪随着数学的发展而逐步完善 的。
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法拉格朗日多项式插值法是一种数值计算方法，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它的基本思想是通过一些已知点的函数值来逼近未知函数值，这些已知点可以是离散的或连续的函数值。
在本文中，将详细阐述拉格朗日多项式插值法的步骤和实现过程。
Step 1：确定插值点和插值函数拉格朗日多项式插值法的第一步是选择插值点。
插值点是已知函数值的一组点，通常为离散的。
在选择插值点时，需要根据实际问题进行选择。
选择的插值点应尽可能分布均匀，以提高插值的精度。
然后，在这些插值点上构建插值函数，也就是通过这些点拟合出一条曲线。
Step 2：计算拉格朗日插值多项式的每一项然后，我们需要计算拉格朗日插值多项式的每一项。
拉格朗日插值多项式是一个多项式函数，用来拟合已知函数值的曲线。
在计算多项式的每一项时，需要用到插值点的坐标和函数值。
Step 3：将每一项相加得到拉格朗日插值多项式将每一项相加得到拉格朗日插值多项式，从而得到一个函数与原函数的误差最小。
Step 4：用拉格朗日插值多项式拟合未知函数值用拉格朗日插值多项式拟合未知函数值，将插值函数代入拉格朗日插值公式中计算即可得到未知函数值的近似值。
以上就是拉格朗日多项式插值法的基本步骤，下面将具体介绍如何利用这些步骤实现拉格朗日插值多项式的算法。
实现过程：1.定义插值点的坐标和函数值；2.计算拉格朗日多项式的每一项系数，每一项系数由插值点的函数值和坐标决定；3.将每一项系数相加，得到拉格朗日插值多项式；4.用拉格朗日插值多项式拟合未知函数值，即将未知函数的自变量带入拉格朗日插值多项式中计算。
在实现过程中，需要注意以下几点：1. 插值点的数量要足够多，以保证插值的精度；2. 插值点要均匀分布，尽可能覆盖整个函数区间；3. 对于高次多项式，容易产生龙格现象，需要进行截断。
拉格朗日多项式插值法的优点是计算简单，容易理解，可以应用于一些简单的数学问题的解决；缺点是插值点的选取与插值函数相关，且插值点的数量和位置对插值精度影响较大。
拉格朗日插值法讲义
拉格朗日插值多项式1 基函数要求通过),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 共n+1个节点的插值多项式)(x P n ，可以通过求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=nn n n n nn n n n x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a y 22101212110102020100 的解n a a a ,,,10 得到。
但这样不但计算复杂，且难于得到)(x P n 的简单表达式。
考虑简单的插值问题：设函数在区间［a ，b ］上n ＋1个互异节点n x x x ,,,10 的函数值为⎩⎨⎧≠===,,0,1i j i j y ij j δ （j = 0, 1, …, n ）求插值多项式)(x l i ，满足条件 ij i x l δ=)( j = 0, 1, …, n ； i = 0, 1, …, n由上式知，n i i x x x x x ,,,,,,1110 +-是)(x l i =1的根，且)(x l i ∈n H ，可令i i A x l =)())...()()...()((1110n i i x x x x x x x x x x -----+-再由)(x l i =1得))...()()...()((11110n i i i i i i i i x x x x x x x x x x A +----=+-于是))...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-n+1个n 次多项式)(,),(),(10x l x l x l n 称为以为n x x x ,,,10 节点的n 次插值基函数。
n=1时的一次基函数为,)(1010x x x x x l --=0101)(x x x x x l --=n=2时的二次基函数为))(())(()())(())(()())(())(()(120210221012012010210x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l ----=----=----=2 拉格朗日插值多项式现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b ］上n+1个互异节点n x x x ,...,10上的函数值分别为n y y y ,...,,10，求n 次插值多项式)(x p n ，满足条件,)(j j n y x p = j=0,1,…n令 ∑==+++=n i i i n n n x l y x l y x l y x l y x L 01100)()(...)()()(（5.2.3）其中)(),...,(),(10x l x l x l n 为以n x x x ,...,10为节点的n 次插值基函数，则)(x L n 是一次数不超过n 的多项式，且满足j j n y x L =)(， j=0，1，…，n再由插值多项式的唯一性，得)()(x L x p n n =式（5.2.3）表示的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange ）插值多项式。
拉格朗日插值方法
拉格朗日插值方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊拉格朗日插值方法。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多有趣的问题呢！你想想看，有时候我们就像在走一条弯弯曲曲的小路，只知道几个关键点，却想知道这条路上其他地方的情况。
拉格朗日插值方法就像是给我们装上了翅膀，让我们能在这些点之间自由翱翔，找到那些我们想知道的信息。
比如说，我们知道了几个地方的温度，那其他地方的温度大概是多少呢？这时候拉格朗日插值方法就大显身手啦！它能通过这些已知的点，构建出一个超级厉害的公式，然后算出其他地方的数值。
是不是很神奇？它其实就跟拼图差不多。
我们有几块拼图，然后通过一些巧妙的办法，把其他缺失的部分给补出来，让整个画面变得完整清晰。
拉格朗日插值方法不就是这样嘛，用已知的点去填补那些未知的空白。
而且啊，这方法特别实用。
就好比你要去一个陌生的地方，你知道了几个标志性的地点，那你就能大概猜到其他地方在哪儿，该怎么走。
拉格朗日插值方法就是我们在数学世界里的导航仪呀！咱再打个比方，拉格朗日插值方法就像是一位超级大厨，那些已知的点就是各种食材，通过大厨的精心烹饪，就能做出一道美味的菜肴，也就是我们想要的结果。
那怎么用这个神奇的方法呢？其实也不难，只要掌握了一些基本的步骤，就跟走路一样简单。
先确定那些已知的点，然后按照公式一步一步来，就像搭积木一样，一块一块地往上搭，最后就能搭出我们想要的东西啦。
这拉格朗日插值方法啊，真的是数学世界里的一颗璀璨明珠！它能让我们在面对那些看似复杂的问题时，找到解决的办法。
它就像是我们的秘密武器，只要我们掌握了它，就能在数学的战场上勇往直前！所以啊，大家可别小瞧了它，好好去研究研究，你一定会发现它的无穷魅力！。
第1章 插值法教案
第二章 插值法教学目的 1. 掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表达式的证明；2. 理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；4. 掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；5. 了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。
教学重点及难点 重点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明； 2. 牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 埃尔米特插值多项式的构造、余项及余项表达式的证明；难点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明； 2. 埃尔米特插值多项式的构造及余项表达式的证明。
教学时数 14学时 教学过程§1 引言数学问题 已知)(x f y =的一张函数表)()()()(1100n x n x f x f x f f x x x xs（1.1）其中，j i x x ≠，当j t ≠，且),,1.0(,)(n t y x f i t ==值比较准确，[]b a ,为包),,1,0(n t xi =的区间或有表达式的函数（但比较复杂）。
寻求一个次数n ≤的多项式n n H x P ≤)(使满足：)2.1(),,1,0(),()(n t xi P x f n i ==解决思路 寻求一个简单且便于计算的函数)(x P 来近似)(x f ，即),()(x P x f ≈当[]),,1,0(,,n i x x b a x i =≠∉，一般)(x P 可选为多项式，三角多项式，有理函数或样条函数等。
次数小于、等于n 的多项式集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑=n j j jj n n a x a x n P x P H 0,)()(实数1. 定义1 （1）如果满足插值条件（1.2）的多项式)(x P n 存在，称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值节点，)(x f 称为被插函数（如图2-1）(2)求插值多项的方法称为插值法。
插值问题教案设计方案模板
课程名称：数学（高中）年级：高一年级课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：理解插值问题的概念，掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的基本原理和步骤。
2. 过程与方法：通过实际问题引入，引导学生自主探究插值方法，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生的数学应用意识，提高学生的创新精神。
教学重点：1. 插值问题的概念和基本原理。
2. 拉格朗日插值法和牛顿插值法的计算步骤。
教学难点：1. 插值法的应用和误差分析。
2. 不同插值方法的比较和选择。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题3. 黑板和粉笔教学过程：第一课时一、导入1. 提出问题：如何根据有限的测量数据预测未知点的值？2. 引入插值问题的概念。
二、新课讲授1. 讲解插值问题的定义和背景。
2. 介绍拉格朗日插值法的基本原理和步骤。
- 以一个简单的例子，展示如何利用拉格朗日插值法求解插值多项式。
- 强调插值多项式的构造和计算过程。
3. 介绍牛顿插值法的基本原理和步骤。
- 以一个例子，展示如何利用牛顿插值法求解插值多项式。
- 强调插值多项式的构造和计算过程。
三、课堂练习1. 学生独立完成几个简单的插值问题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调插值问题的应用和重要性。
2. 布置课后作业，要求学生独立完成。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问学生关于插值问题的概念和插值方法。
2. 引入误差分析的概念。
二、新课讲授1. 讲解误差分析的基本原理和步骤。
- 以一个例子，展示如何分析插值误差。
- 强调误差来源和误差估计的重要性。
2. 比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的优缺点。
- 通过实际案例，展示不同插值方法的应用效果。
三、课堂练习1. 学生独立完成几个插值问题的误差分析，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、拓展延伸1. 引导学生思考插值问题在实际生活中的应用，如气象预报、工程设计等。
人教版高中选修(B版)4-63.4拉格朗日插值公式教学设计
人教版高中选修(B版)4-63.4拉格朗日插值公式教学设计一、选修课背景人教版高中选修(B版)4-63.4是数据分析必修学习的一部分，主要涵盖了拉格朗日插值公式在数据分析中的应用。
这门选修课是理工科专业的重要课程之一，学生需要通过对课程知识点和完整的教学实践的掌握，能够在实际工作中灵活运用相关知识。
二、选修课教学目标本教学设计旨在帮助学生：1.掌握拉格朗日插值公式的基本概念和原理；2.理解拉格朗日插值算法的具体实现方法，并能熟练应用该算法模型，解决实际问题；3.学会使用Python等编程语言来实现拉格朗日插值算法模型。
三、选修课内容安排3.1 拉格朗日插值公式的介绍1.拉格朗日插值公式的定义及作用；2.拉格朗日插值公式的优点和不足；3.示例介绍。
3.2 拉格朗日插值算法的具体实现1.拉格朗日插值的多项式形式；2.拉格朗日插值模型的数学推导过程；3.演示算法具体实现过程。
3.3 拉格朗日插值模型的优化方法1.搜索节点的优化方法；2.前向、后向差分法的介绍；3.排列组合法的应用实例。
3.4 Python实现拉格朗日插值算法模型1.Python语言网络编程环境配置；2.Python语言代码规范与格式要求；3.Python语言编写拉格朗日插值算法模型的代码案例。
四、选修课教学方法本门选修课主要采用课堂教学和实践相结合的教学方法。
我们将采用以下具体的教学方式：1.讲解法：通过讲解拉格朗日插值公式的基本概念及其相关算法模型的实现原理，使学生更好地认识该知识点，并能熟练应用该算法模型；2.实践法：通过实例演示，引导学生主动思考和探索知识点的本质特征和基本原理，同时培养学生编程能力；3.合作学习法：学生之间可以组队合作完成编写拉格朗日插值算法模型的项目，培养学生团队合作和沟通协作的意识和能力。
五、选修课教学评估本选修课的评估方式主要由两个部分组成：1.课堂平时表现；2.项目实践成果展示。
课堂平时表现主要考察学生对拉格朗日插值公式的掌握程度，学生该阶段的表现将会占总评定成绩的60%。
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法【实用版】目录1.拉格朗日插值法的概述2.拉格朗日插值法的基本原理3.拉格朗日插值法的应用实例4.拉格朗日插值法的优点与局限性正文【拉格朗日插值法的概述】拉格朗日插值法是一种数学插值方法，由 18 世纪意大利数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）提出。
它是一种基于基函数和待求值点权重的插值方法，可以广泛应用于数值计算、工程技术、物理学等领域。
【拉格朗日插值法的基本原理】拉格朗日插值法的基本原理是：假设已知 n 个自变量 x 的值和相应的因变量 y 的值，构建 n 个线性方程，求解这 n 个线性方程得到 n 个基函数，将这 n 个基函数与 x 的值相乘并求和，得到待求函数在 x 处的近似值。
具体来说，拉格朗日插值法的计算步骤如下：1.确定插值节点：首先，根据已知的自变量 x 的值和相应的因变量 y 的值，选取 n 个插值节点。
2.构建线性方程：对于每个插值节点，构建一个线性方程。
线性方程的形式为：y = a0 + a1x1 + a2x2 +...+ anxn，其中 a0, a1, a2,..., an 为待求系数，x1, x2,..., xn 为插值节点的自变量值，y 为对应的因变量值。
3.求解线性方程：解这 n 个线性方程，得到 n 个基函数：β0(x), β1(x),..., βn(x)。
其中，βi(x) = a0 + a1x1 + a2x2 +...+ anxn，i = 0, 1,..., n。
4.计算插值结果：将 n 个基函数与 x 的值相乘并求和，得到待求函数在 x 处的近似值：y(x) ≈β0(x) + β1(x)x1 + β2(x)x2 +...+ βn(x)xn。
【拉格朗日插值法的应用实例】拉格朗日插值法广泛应用于数值计算、工程技术、物理学等领域。
例如，在计算机图形学中，拉格朗日插值法可以用于计算光线与物体的交点，从而实现光线追踪渲染；在数值分析中，拉格朗日插值法可以用于求解微分方程的数值解等。
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4
插值的几何意义
插值多项式的几何意义
5
插值唯一性定理
定理：(唯一性) 满足 P (x i)yi,i0 ,..,n .的 n 阶插值 多项式是唯一存在的。
6
存在唯一性定理证明
设所要构造的插值多项式为：
P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n 由插值条件
P n ( x i) y i
L 2 ( x ) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L 2 ( x ) L 2 (x ) y 0 l0 (x ) y 1 l1 (x ) y 2 l2 (x )
i 0 ,1 , ,n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02 D 1 x1 x12
x0n
x1n
(xi xj)
0jin
的线性组合得到，其系数分别为 y 0 ，y 1
称 l0(x),l1(x)为节点 x 0 , x 1的线性插值基函数
17
一次Lagrange插值多项式(5)
线性插值基函数 l0(x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 ( x )
1
0
l1 ( x )
0
1
并且他们都是一次函数。 注意他们的特点对下面的推广很重要
19
二次Lagrange插值多项式1
线性插值只利用两对值 及 求得的 近似值，误差较大。
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
20
二次Lagrange插值多项式2
设被插函数在插值节点 x0 , x1, x2 处的函数值为
y0 , y1, y2 以过节点 (xi,yi) (i0,1,2) 的二次函数
x x 0 x 1
xn1 xn
y y 0 y 1
yn1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 xxi,i0,1,L,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 yf(x)在n1
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1(x)xx0xx11y0xx1 xx00 y1
18
一次Lagrange插值多项式(6)
• 我们称 l 0 ( x ) 为点 x 0 的一次插值基函数，l 1 ( x ) 为点 x 1 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取 值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 p 1 ( x ) 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系 数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作 为拉格朗日（Lagrange）插值。
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
10
线性插值函数
f(x) (x1，y1) P1(x)
(x0 ，y0)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
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抛物插值函数
p2(x) f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
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N次插值函数
设连续函数 y f (x) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点：
1 xn
xn2
x
n n
范得蒙行列式 ！
当 xi x j i1,2,n; j1,2,n 时，
D 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
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插值方法
一、解方程组法： 类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函
数为 P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n，将n 1 个节点 的函数值代入多项式里，便得到 n 1 个等式，得到一个
关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得 到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机 求解的方法，下面将具体介绍。
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拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，
把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
个互不相同的点处的函数值 y f( x ) i ,0 , 1 , , ，n 为求
i
i
yf(x的) 近似式，自然应当选 n次多项式
P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n
使 P (x) 满足条件 n
P n (x i) y i,i 0 ,1 ,L ,n
f(x)称 为 被 插 函 数 ,pn(x)称 插 值 多 项 式 ,条 件 (33)称 插 值 条 件 , x0,x1,L,xn称 插 值 节 点 o这 种 求 函 数 近 似 式 的 方 法 称 为 插 值 法 o 几 何 上 ,其 实 质 是 用 通 过 n1个 点 (x1,y1)(i0,1,L,n)的 多 项 式 曲 线 ypn(x),当 作 曲 线 yf(x)的 近 似 曲 线 .如 图 所 示 o
Lagrange插值
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主要知识点
• 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； • Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次
Lagrange插值公式）； • 插值余项； • 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。
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插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x) 在某些离散点上的
函数试构造一个次数不超过n的插值多项式
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n 使之满足条件
Pn(xi)yi i = 0, 1, 2,…, n
要求：无重合节点，即 i j xi xj
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一次Lagrange插值多项式(1)
已知函数 y f (x)在点 x 0 , x 1 上的值为 y 0 , y 1 ，要 求多项式y p1(x)，使 p1(x0) y0，p1(x1) y1。其几何意 义，就是通过两点 A(x0,y0),B(x1,y1) 的一条直线， 如图所示。