中考专题—猜想性专题
含答案 数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝ ，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝ CD，求CF+FG+GA的最小值．
3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点逆时针旋转°得到 ．
(2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且 ．
∵∠GDF=90°，
∴∠FDM=∠GDN．
∴ FDM≌ GDN．
∴DF与DG的数量关系是④．
(2)猜想论证：当∠B=30°时，如图2，试猜想DF与DG的数量关系并证明你的结论．
(3)拓展运用：若 ，BF=5，如图3，求BC的长．（直接写出结果不说明理由）
11．如图1，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ．
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题．
九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
中考数学试题精选系列汇编-猜想规律
中考数学试题精选系列汇编《猜想、规律与探索》一 选择题1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A .28B .56C .60D . 124【答案】C3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．【答案】)2(+n n4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n ++或24n n ++5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ……（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形第 18题图【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+---1=-.6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；（3）求第n 行各数之和． 【解】（1）64，8，15； （2）2(1)1n -+，2n ，21n -；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.二 填空题1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
中考数学专题知识点45 规律猜想型问题2021
一、选择题16．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．m2﹣m【解析】由题意得2100+2101+2102+…+2199＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299）＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100＝m2﹣m.10．(2021·济宁) 按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．{答案}D{解析}观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝．11．(2021·玉林)观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24B {解析}由第1个图可知是Y1=1，第2个图可知Y2=1+2=3，第3个图Y3=1+2+22=7,第4个图Y4=1+2+22+23=15，可知Y n=2n-1.即Y9=29-1.因此Y9﹣Y4＝29-1-（24-1）=29-24=24（25-1）=31×24．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形B【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形．16．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）2n（n+1）【解析】∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.6．（2021•云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+l B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a nA【解析】∵第1个单项式a2＝12•a1+1，第2个单项式4a3＝22•a2+1，第3个单项式9a4＝32•a3+1，第4个单项式16a5＝42•a4+1，……∴第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．14．（2021•临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年C【解析】由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的14=122，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的18=123，...，∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的125=132，此时32×132=1mg．12．（2021•烟台）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°．若OA ＝16，则OG 的长为（ ）A ．274B ．14C ．9√32D ．27√3812．A ． 解析：由图可知，∠ABO ＝∠BCO ＝…＝∠LMO ＝90°，∵AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°，∴∠A ＝∠OBA ＝∠BCD ＝…＝∠OLM ＝60°，∴AB =12OA ，OB =√3AB =√32OA ，同理可得，OC =√32OB ＝（√32）2OA ，OD =√32OC ＝（√32）3OA ，…OG =√32OF ＝（√32）6OA ＝（√32）6×16=274．故选：A ．9．（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB 如图放置，点A 的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O 逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A 1OB 1，第二次旋转后得到△A 2OB 2，…，依次类推，则点A 2021的坐标为（ ）A ．（﹣22020，−√3×22020）B ．（22021，−√3×22021）C ．（22020，−√3×22020）D ．（﹣22021，−√3×22021）C 【解析】由已知可得：第一次旋转后，A 1在第一象限，OA 1＝2， 第二次旋转后，A 2在第二象限，OA 2＝22， 第三次旋转后，A 3在x 轴负半轴，OA 3＝23， 第四次旋转后，A 4在第三象限，OA 4＝24， 第五次旋转后，A 5在第四象限，OA 5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH=12OA2021＝22020，A2021H=√3OH=√3×22020，∴A2021（（22020，−√3×22020）.9．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019B【解析】由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023．故选B．9．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169B 【解析】通过观察可得规律：p ＝n 2，q ＝（n +1）2﹣1，∵q ＝143，∴（n +1）2﹣1＝143，解得：n ＝11， ∴p ＝n 2＝112＝121.6．(2021·鄂州) 已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23- B ．13 C ．12- D ．23D{解析}把13a =代入211121133a a =-=-=，把223a =代入321112a a =-=-，把312a =-代入43113a a =-=，把43a =代入得523a =，……，由此发现这几个结果是4个一循环，2021÷4=505……1， 2021a 的值与2a 的值相同，为23．二、填空题 22．(2021·绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n 个图形中三角形个数是 ．22． n 2＋n －1解析：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律: 第①个图形: 12＋0， 第②个图形: 22＋1， 第③个图形: 32＋2， 第④个图形: 42＋3， . ……第n 个图形: n 2＋n －1. 故答案为: n 2＋n －1.16．（2021·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P 1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P 2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P 3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的坐标为 ．①第n个图形(-1011,-1011)【解析】先根据点坐标的平移变换规律求出点P 2(1,1),P 3(-2,-2),P 4(2,2),P 5(-3,-3)，归纳类推得：点P 2n -1(-n ,-n )，其中n 为正整数， ∵2021=2×1011-1，∴点P 2021的（-1011，-1011）.13．（2021•嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ． n 2﹣（n ﹣1）218．（2021•泰安）如图，点B 1在直线l ：y =12x 上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形A n B n B n +1∁n 的边长为 （结果用含正整数n 的代数式表示）．√52×(32)n ﹣1【解析】设直线y =12x 与x 轴夹角为α，过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ，如图：∵点B 1的横坐标为2，点B 1在直线l ：y =12x 上，令x ＝2得y ＝1,∴OH ＝2，B 1H ＝1，OB 1=√OH 2+B 1H 2=√5，∴tanα=B 1H OH=12,Rt △A 1B 1O 中，A 1B 1＝OB 1•tanα=√52，即第1个正方形边长是√52，∴OB 2＝OB 1+B 1B 2=√5+√52=√52×3，Rt △A 2B 2O 中，A 2B 2＝OB 2•tanα=√52×3×12=√52×32， 即第2个正方形边长是√52×32， ∴OB 3＝OB 2+B 2B 3=√52×3+√52×32=√52×92， Rt △A 3B 3O 中，A 3B 3＝OB 3•tanα=√52×92×12=√52×94，P 1 P 3P 2P 4即第3个正方形边长是√52×94=√52×（32）2， ∴OB 4＝OB 3+B 3B 4=√52×92+√52×94=√52×274，Rt △A 4B 4O 中，A 4B 4＝OB 4•tanα==√52×274×12=√52×278， 即第4个正方形边长是√52×278=√52×(32)3，.....． 观察规律可知：第n 个正方形边长是√52×(32)n ﹣1． 18．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 ．1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：(1+2)×22=3， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：(1+3)×32=6， 第④个图形中的黑色圆点的个数为：(1+4)×42=10，…第n 个图形中的黑色圆点的个数为n(n+1)2，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2＝16…1，16×3+2＝50， 则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50×512=1275．16．(2021·铜仁)观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 12nn +{解析}此题属于数字类规律问题。
中考数学风向标 专题一 归纳与猜想
2
1 1 n1 1 1 π 8 ＝4.第 n 个半圆的面积为 π 2 ＝π22n－5. 2 2 2 2
答案：4 p22n－5 小结与反思：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部
分发生了变化，再探索变化的部分是按照什么规律变化的．
a)， ∴左边＝右边，原等式成立． 小结与反思：解这类数字猜想题，最好在草稿纸上按顺序
排好每个数字，然后写多几个，找到规律就可以了.
几何图形中的猜想
例题：(2012 年广东广州)如图 Z1－1，在标有刻度的直线 l 上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆； 以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径 画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4
个半圆„„按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第
3 个半圆面积的 _____ 倍 ， 第 n 个 半 圆 的 面 积 为_______ (结果保留p)．
图 Z1－1
解析：根据规律找出每个半圆的半径，第 n 个半圆的直径 为 2n 1.
－
1 1 π 16 : 第 4 个半圆的面积∶第 3 个半圆面积＝ 2 2
第四部分 中考专题突破
专题一 归纳与猜想
归纳与猜想问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、
图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜
想，得出结论，进而加以验证的数学探索题．
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综
合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生
思维的深刻性和创造性．
式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称
初三专题---找规律
中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。
（1）请你利用这个几何图形求的值为。
（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。
【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。
若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。
则第10圈的长为。
【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。
在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。
依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。
三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第七个数据是 。
【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。
【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。
中考数学复习：猜想证明综合题
中考数学复习：猜想证明综合题1．（1）如图1，若ABC 是直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接CE ，可以得到ABD △≌ECD ，求证：ACE 是直角三角形；（2）如图2，ABC 是直角三角形，90BAC ∠=︒，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥．试说明222BE CF EF +=；（3）如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、P 分别为AD ，BC 边上的点，若3AG =，4BF =，90GEF ∠=︒，求GF 的长．2．在矩形ABCD 中，AB=3， BC=4，点O 为矩形ABCD 对角线的交点，点P 为AD 边上任意一点．（1）如图1，连接PO 并延长，与BC 边交于点Q ．求证: AP=CQ ；（2）如图2，连接BP 、DQ ，将△ABP 与△CDQ 分别沿BP 与DQ 翻折，点A 与点C 分别落在矩形ABCD 内的点A′、C′处，连接PA′、QC′，试求证:四边形PA ′QC′是平行四边形；（3）在（2）的条件下，请直接写出:当点A′、C′同时落在矩形ABCD 的对角线上时A′C′的长．3．如图1，在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点分别为(0,2)A ，(1,0)B -，将线段AB 向右平移3个单位长度，得到线段CD ，连接AD(1)直接写出点C 、点D 的坐标(2)如图2，延长DC 交y 轴于点E ，点P 是线段OE 上的一动点，连接BP 、CP ，猜想ABP ∠、BPC ∠、ECP ∠之间的数量关系，并说明理由(3)在x 轴上是否存在点Q ，使QBD ∆的面积与四边形ABCD 的面积相等，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，请说明理由4．如图所示，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是线段DE 上一点（不与点D 重合），AB ∥DE ，AE ∥DC ．（1）如图1，当点F 与E 重合时，求证：四边形AFCD 是平行四边形； （2）如图2，当点F 不与E 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，当∠BCD =90°，且CD =CE ，F 恰好运动到DE 的中点时，直接写出AB 与DC 的数量关系．5．现有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．（1）DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，①F、C两点间的距离逐渐；连接FC，∠FCE的度数逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；（2）DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（3）能否将DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．6．如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，BE⊥AD于点E，AE=6，且BE交对角线AC于F，连接DF，点P是DC上一点，BP交AC于M．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）如图1，若P为CD中点,求CMMF的值；（3）如图2，若S△BFM＝S△CPM，求PC，并直接判断BP与CD是否垂直（不必说明理由）．7．如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，F 是AC 边上的一个动点（点F 与A 、C 不重合），以CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF ，连接BF 、AD ．（1）①猜想图1中线段BF 、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形CDEF ，绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形ABC ，90ACB ∠=︒，正方形CDEF 改为矩形CDEF ，如图4，且4AC =，3BC =，34CD =，1CF =，BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，连接BD 、AF ，求22BD AF +的值．8．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，AB ＝3E 为对角线AC 上的动点（点E 不与A ，C 重合），连接BE ，将射线EB 绕点E 逆时针旋转120°后交射线AD 于点F ． （1）如图1，当AE ＝AF 时，求∠AEB 的度数；（2）如图2，分别过点B ，F 作EF ，BE 的平行线，且两直线相交于点G ． ①试探究四边形BGFE 的形状，并求出四边形BGFE 的周长的最小值；②连接AG ，设CE ＝x ，AG ＝y ，请直接写出y 与x 之间满足的关系式，不必写出求解过程．9．如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝10，DE＝3EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，DE⊥DC交AB于E．（1）求证：DE平分∠ADB；（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，设∠F=α．①若α＝50°，求∠A的值；②若∠F＜12ABC，试确定α的取值范围．11．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，CD ＝4，连接AC ．若AC ＝AB ，求sin∠CAD 的值；（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD ⊥BD ，当2CD 2+CB 2＝CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A （﹣1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于△ABC 内部，∠AEC ＝90°+∠ABC ．设AEBE＝u ，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．12．如图，矩形OABC 的顶点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(1521)，，一次函数3155y x =-+的图象与边OC AB 、分别交于D E 、两点，点M 是线段DE 上的一个动点．（1）求证：OD BE =；（2）连结OM ，若三角形ODM 的面积为752，求点M 的坐标； （3）在第（2）问的基础上，设点P 是x 轴上一动点，点Q 是平面内的一点，以O M P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q 的坐标．13．在平面直角坐标系中，A （6，a ），B （b ，0），M （0，c ），P 点为y 轴上一动点，且()22660b a c -+--=．（1）求点A 、B 、M 的坐标；（2）当P 点在线段OM 上运动时，试问是否存在一个点P 使S △PAB ＝13，若存在，请求出P 点的坐标与AB 的长度；若不存在，请说明理由．（3）不论P 点运动到直线OM 上的任何位置（不包括点O 、M ），∠PAM、∠APB、∠PBO 三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明；如果没有，请说明理由．14．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ． （1）如图，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数：（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系为__________；（3）当120α=︒时，若631AB BP =，D 到CP 的距离为__________．15．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值．16．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．17．已知：在ABC 中AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，BAE BDF ∠=∠ ，点M 在线段DF 上，ABE DBM ∠=∠．（1）如图1，当45ABC ∠=︒时，求证：2AE MD =；（2）如图2，当60ABC ∠=︒时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为：__________. （3）在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若7,27AB AE ==BP 值．18．综合与实践：问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 为ACB ∠的角平分线CD 上一动点但不与点C 重合，作点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接AE 并延长交CB 延长线于点H ，连接FB 并延长交直线AH 于点G ． 探究实践：（1）勤奋小组的同学发现AE BF =，请写出证明； 探究发现：（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG ，EG 与CE 存在数量关系，请写出他们的发现并证明； 探究拓展：（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC ，得到三条线段GE ，GC 与GF 存在一定的数量关系，请直接写出．9．如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．20．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．。
中考专题十：猜想、动态问题
中考专题十：猜想、动点问题一、选择题1．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20O，再前进5米后又向右转20O，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米2．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（）粒。
A、12+n B、12-n C、n2D、2+n3．（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P 的运动时间t之间的函数图象大致为（）4．（2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．22n+B．44n+C．44n-D．4n5.（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，MNR△的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当9x=时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处6．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）．（图1）……第1个第2个第3个O20o20oA ．π5168 B ．π24 C ．π584 D ．π127．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+318．（2009 年佛山市）将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )A ．1圈B ．1.5圈C ．2圈D ．2.5圈二、填空题1．（2009仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为________________．2.（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时4=1+3 9=3+616=6+10图7…针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．3．（2009年桂林市、百色市）如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝ ．4．（2009重庆綦江）观察下列等式：221.4135-=⨯；222.5237-=⨯；223.6339-=⨯224.74311-=⨯；…………则第n （n 是正整数）个等式为________.5．（2009年益阳市）图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．-6．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ★ ． （用n 的代数式表示s ）……n =1 n =2 n =3B AC D第18题图 A 1A 2AEC (F )B 图（1） E A G BC (F )D 图（2） 图6(1)(2) (3) ……7．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．【答案】3三、 解答题1.（2009年崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2009仙桃）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB ＝k ·AC(k ＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．（第1４题）3．(2009年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从A,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△P Q F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△P QF 为等腰三角形?请写出解答过程．4.（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题1规律探索猜想类试题(2021-2022学年)
专题一规律探索猜想类规律探索与猜想是中考中常见题型之一,它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力,既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限,方法灵活,主要有数式规律、图形规律、坐标规律等,解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键.纵观遵义近五年中考,每年都会涉及一道规律探索问题，一般难度不大，预计20１８年遵义中考也有可能命一道中基础（选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破）数字规律【例1】（临夏中考)古希腊数学家把数1，3，6,１0,15,２1,…叫做三角形数,它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为ｘ2,…第n个三角形数记为x n，则x n＋x n+1＝____＿_＿_．【解析】根据三角形数得到ｘ1＝1，x2＝3=1+2，x3＝6=１＋２＋３,x4=10＝1＋２＋３＋4,ｘ5＝１5=1+2＋3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即ｘｎ＝１＋2+3+…+n=错误!未定义书签。
，xｎ＋1=错误!,然后计算ｘn＋ｘｎ＋1可得.【答案】(n＋1)2◆模拟题区1．（２017遵义二中二模)计算下列各式的值:92+１9;错误!;错误!；错误!.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得错误!未定义书签。
+１99…9,２０15个9））＝_＿102__0１5＿_.2．（2017遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列第二列第三列第一行１４ 5…第二行 2 3 ６…第三行98７………表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1)对应;数5与(１,3)对应；数１4与（3,4)对应；根据这一规律,数2 014对应的有序数对为＿_(４５，１2)_＿.3．（2０17遵义十一中三模)已知：错误!未定义书签。
＝＼ｆ（1，3)；错误!=错误!;计算:错误!未定义书签。
=__错误!__；猜想：错误!未定义书签。
＝__错误!未定义书签。
_＿.4．（天水中考)观察下列运算过程:S=1＋3＋32＋33+…＋3２ 012+32 01３①，①×3得3S=3+32＋33+…+32 ０１3+32 014 ②,②－①得2S＝32014－1,S＝错误!未定义书签。
2021年数学中考数学专题-猜想、探索型专项训练及答案A
猜想、探索型专项训练A总分120分：时间90分钟一、细心填一填（每题3分：共30分）1．（2006年海南）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板：则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块：第n 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含n 的代数式表示）.2．（2006年南昌）用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 张3．（2006年浙江）如图：点B 在AE 上：∠CAB =∠DAB ：要使△ABC ≌△ABD ：可补充的一个条件是： (写出一个即可）．4．（2006年泰州）如图：每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵：根据图中提供的信息：用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律 ．ABCD E …… ……（1）（2）（3）……211＝ 213＋＝2 23＋6＝3 29＋10＝45．（2006年邵阳）图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成：其序号依次为①、②、③、④、⑤……：则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。
6．（2005年山东枣庄）100个数排成一行：其中任意三个相邻数中：中间一个数都等于它前后两个数的和：如果这100个数的前两个数依次为1：0：那么这100个数中“0”的个数为 ____________个．7．（2006年湖北荆门）如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆2006根火柴棒时,共需要摆________根火柴棒.8．（2005年连云港）右图是一回形图：其回形通道的宽和OB 的长均为1： 回形线与射线OA 交于,,,321A A A …．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈（长为7）：从1A 点到2A 点的回形线为第2圈：…：依此类推．则第10圈的长为 ．BA 3A 2A 1AO9．（2006年广西贵港）观察下列各等式：111111111121223233434=-=-=-⨯⨯⨯，，，根据你发现的规律：计算：2222122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯⨯+ （n 为正整数）10．（2006年芜湖）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律：写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。
专题复习-中考数学归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
中考数学复习专题讲座教案：归纳猜想型问题
中考数学复习专题讲座七：归纳猜想型问题（一）一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1（沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．考点：多项式。
810360专题：规律型。
分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．解答：解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，第2个多项式为：a2﹣b2×2，第3个多项式为：a3+b2×3，第4个多项式为：a4﹣b2×4，…∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，∴第10个多项式为：a10﹣b20．故答案为：a10﹣b20．点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．例2（珠海）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．考点：规律型：数字的变化类。
中考数学热点探究一 归纳猜想型试题的分析与预测
中考数学热点探究一归纳猜想型试题的分析与预测热点综述归纳猜想型问题就是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察、归纳，发现共同特征，或者发展变化的趋势，大胆猜想，据此去预测估计它的变化规律或者与其变化趋势一致的相关结论，并能够应用此结论．由于归纳猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养学生的创造性思维，所以备受命题专家的青睐．而且此类问题能够较全面地考查学生的探索研究、归纳猜想能力，所以在近几年各地中考中此类型题目逐步成为中考试卷中的必考内容之一．其解题的具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或说明结论是否正确．现以近几年我省的几道中考题为例，来和大家一起探讨一下此类问题．热点呈现例1（河北）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图1给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（）析解：首先要从题设的文字叙述中把规律搞懂：每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，这样就省掉了总结归纳的过程；再观察“河图”中，涉及到的就是一条对角线和最下面一行的点；应用规律：对角线的点数之和等于最后一行的点数之和，两者有一个共同的点（左下角），故可得：2+5=1+P，很容易算出P处应有6个点，选（C）．本题直接告诉了规律，重在考查学生的观察分析问题的能力，考查学生建立方程模型的意识．例2（河北）用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图2（1）～图2（4）是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（）．析解：本题首先要观察图2（1）～图2（4），归纳总结出M ，N ，P ，Q 各代表了正方形、正三角形、圆、线段，尤其是P ，Q 所代表的图形，这样P &Q 表示的必然是圆和线段．故答案选（B ）．本题考查了学生的观察、推理和归纳的能力．例3 （2006河北课改）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：（2）通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．析解：本题的求解首先通过直接观察①、②、③图和分析其后面的各式的特点，不难发现：依次在点阵图形的外部增加一层，即增加四个点，旁边的等式的结果表示的是点的个数，等号左边是4乘以一个整数（从零开始的连续整数）再加1，此整数比对应的图序数小1；等号右边是4乘以一个整数（从1开始的连续整数）再减去3，此整数等于对应的图序数．由此可得第④个图对应的等式为：431443⨯+=⨯-；第⑤个图对应的等式为：441453⨯+=⨯-．第n 个图对应的等式为：4(1)143n n -+=-．此题在非课改区同时以选择题的形式出现，试题如下：（ 河北非课改区）观察图3给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为 （ ）（A ）32n - （B ）31n -（C ）41n + （D ）43n -例4（河北课改）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．析解：解答本题，首先要通过直接观察①、②、③中的三个图和分析其下面的各式的特点，不难发现：上面各式的左边分别是从1开始的连续奇数的和，其奇数的个数等于其相应的图序数，而等号的右边则为相应的图序数的平方，由此可知第④、⑤个式子分别为：213574+++=，2135795++++=．进一步观察上面各式不难发现以上各式的等号的左边的最后一个数与相应的图形序数n的关系为：21n-，由此可得第（2）问的答案为：2135(21)n n++++-=．2005年课改实验区的第18题是和上题相类似的一道题目，在这里不再详细分析，试题如下：（2005年课改）观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．解答：（1）55 5566⨯=-．（2）11n n n n n n ⨯=-++． 热点预测综上所述，归纳猜想问题每年都会出现在河北省的中考试题中，也可以称之为一个热点问题．2007年中考是全省完全实施新课标的第一年，归纳猜想问题除了保持了试题的稳定性外，更加注重考查学生的思维能力和识图探究的能力，其呈现方式也由原来的解答题（课改区试卷中）改为选择题，估计在08年的河北省的中考试卷中会继续选用07年的模式考查学生的归纳猜想能力．模拟练习1．有一列数1a ，2a ，3a ，…，n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2007a 为（ ）（Ａ）2007 （Ｂ）2（Ｃ）12（Ｄ）1- 2．观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中a ，b ，c 的值分别为（ ）（A ）20，25，24 （B ）25，20，24（C ）18，25，24 （D ）20，30，253．数字解密：第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是17=9+8，…，观察并猜想第六个数是（ ）（Ａ）64 （Ｂ）65（Ｃ）66 （Ｄ）674．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状如图4所示：第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……请你根据这堆罐头排列的规律猜想，第n （n 为正整数）层共有________听罐头（用含n 的式子表示）．5．如图5，等腰直角三角形ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形ADE ；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形AFG ；…以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为____________．6．以边长为a 的正方形ABCD 的对角线AC 长为半径，以点A 为圆心作弧交AB 边的延长线于点E ，交AD 边的延长线于点F ，得扇形AECF ，把扇形AECF 的面积称为正方形ABCD 面积的扩展；再以线段AE 为一边作正方形AEGH ，以对角线AG 的长为半径，点A 为圆心画弧交AE 边的延长线于点M ，交AH 边的延长线于点N ，得扇形AMGN ，则扇形AMGN 的面积是正方形AEGH 面积的扩展，按此法依次进行到如图6所示，叫做正方形ABCD 面积的第一次扩展．按这种方法可进行第二次扩展，直到第n 次扩展．（1）求第一次扩展中扇形面积1S ；（2）求第二次扩展中扇形面积2S （第二次扩展的第一个正方形是以第一次扩展的最后一个扇形半径为边长的正方形）；（3）求第n 次扩展中扇形面积n S ．7．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1231++++=经过研究，这个问题的一般性结论是(1)1232n n n +++++= ，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 1223(1)?n n ⨯+⨯+++=观察下面三个特殊的等式：（1）112(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯； （2）123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯； （3）134(345234)3⨯=⨯⨯-⨯⨯． 将这三个等式的两边相加，可以得到1122334345203⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯=． 读完这段材料，请你思考后回答：（1）1223100101⨯+⨯++⨯= _______________；（2）1223(1)n n ⨯+⨯+++= __________；（3）123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯++++= __________．（只需写出结果，不必写中间的过程）8．1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．图７是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为___________．。
2024年中考化学命题猜想—物质的变化和性质、基本反应类(考前必看)
2024年中考化学命题猜想—物质的变化和性质、基本反应类（考前必看）【满分备考演练】命题点1：化学变化与物理变化1．（2024·湖南怀化·一模）湖南怀化溆浦的“蒿子粑粑”驰名省内外，下列制作过程涉及到化学变化的是A．清洗蒿子B．淘洗糯米C．糯米磨浆D．生火煮粑【答案】D【解析】A、清洗蒿子过程中没有新物质生成，属于物理变化，不符合题意；B、淘洗糯米过程中没有新物质生成，属于物理变化，不符合题意；C、糯米磨浆过程中没有新物质生成，属于物理变化，不符合题意；D、生火煮粑，燃烧过程中有新物质生成，属于化学变化，符合题意。
故选：D。
2．（2024·广东汕头·一模）《茶经》记载茶叶制作过程：“晴采之，蒸之，捣之，拍之，焙之，穿之，封之，茶之干矣”。
以下涉及化学变化的是A．采B．拍C．焙D．封【答案】C【解析】A、采茶的过程中，没有新物质生成，属于物理变化，不符合题意；B、拍的过程中，没有新物质生成，属于物理变化，不符合题意；C、烘焙加热过程中，有新物质生成，属于好变化，符合题意；D、封装的过程中，没有新物质生成，属于物理变化，不符合题意；故选：C。
3．（2024·河南驻马店·二模）下列工艺品的成型过程中，明显经历化学变化的是A．刺绣B．竹雕C．剪纸D．陶瓷【答案】D【解析】A、刺绣过程中，只是物质的形状发生了改变，并没有新物质生成，属于物理变化，该选项不符合题意；B、竹雕过程中，只是物质的形状发生了改变，并没有新物质生成，属于物理变化，该选项不符合题意；C、剪纸过程中，只是物质的形状发生了改变，并没有新物质生成，属于物理变化，该选项不符合题意；D、制陶瓷过程中，涉及到燃烧，有新物质生成，属于化学变化，该选项符合题意。
故选D。
4．（2024·重庆·三模）下列是重庆三峡博物馆的藏品，其制作工艺属于化学变化的是A．雕花B．石刻C．炼铜D．刺绣【答案】C【解析】A、雕花过程没有新物质产生，属于物理变化，该选项不符合题意；B、石刻过程没有新物质产生，属于物理变化，该选项不符合题意；C、炼铜有新物质铜生成，属于化学变化，该选项符合题意；D、刺绣过程没有新物质产生，属于物理变化，该选项不符合题意；故选C。
中考数学 专题一 规律探索与猜想复习1
专题一 规律探索与猜想
规律探索与猜想问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一 系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题．在中考中主要包括 “数字规律探索”、“代数式规律探索”和“图形规律探索”及“坐 标规律探索”四种类型． 解决规律探索问题的策略是：通过对所给的一组(或一串)式子及结论进 行全面细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想 出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用．
分析：由图可知：第1个图案中有5＋1＝6根小棒，第2个图案中有2×5 ＋1＝11根小棒，第3个图案中有3×5＋1＝16根小棒，…由此得出第n个 图案中有(5n＋1)根小棒．
坐标规律
【例3】(2015·成都)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对 角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在 直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形 B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形 B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按 此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则 点An的坐标为___(_3_n－__1，__0_)__． 分析：由题意，点A1的坐标为(1，0)，点A2的坐标为(3，0)，即(32－1， 0), 点A3的坐标为(9，0)，即(33－1，0)，A4的坐标为(27，0)，即(34－1，0) ，…，∴点An的坐标为(3n－1，0)．
1000a＋100b＋10c＋d 11
＝
1000a＋100b＋10b＋a 11
＝
1001a＋110b 11＝Leabharlann 91a＋10b
2022年中考数学专题复习：猜想与证明解答题训练
2022年中考数学专题复习：猜想与证明解答题训练1．在学习完“图形的旋转”后，某数学兴趣小组做了如下探究ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合．将DEF绕点E作逆时针旋转，该过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CM相交于点Q．(1)问题提出：如图∠，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，BPE和CQE是否全等．如果全等，写出证明过程；若不赞同，请说明理由．(2)问题解决：如图∠，当点Q在线段CA的延长线上时，BPE和CQE是否有存在与第（1）问相同的关系，如果相同写出证明过程；如果不同，请说明它们的关系．当BP＝a，CQ92a时，求P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．2．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N 分别是BD，BC的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE ∆绕点A 旋转时，连接BE ，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC ＝5时，在ADE ∆绕点A 旋转过程中，以D ，E ，M ，N 为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD 的长．3．问题背景：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，将CAE 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBF ，AD 的延长线交边BF 于点P ．问题探究：(1)探究EP ，FP 之和与BP 之间的数量关系．∠先将问题特殊化，如图2，当CE AD ⊥时，直接写出EP ，FP 之和与BP 之间的数量关系；∠再探究一般情形，如图1，当CE 不垂直AD 时，证明∠中的结论仍然成立； (2)拓展探究：如图3，若AD 的延长线交BF 的延长线于点P 时，直接写出一个等式，表示EP ，FP ，BP 之间的数量关系．4．如图，已知CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，C 点在D 点上方，∠BAC ＝30°，P 是直线CD 上一动点，E 是射线AC 上除A 点外的一点，PB ＝PE ，连接BE ．(1)如图1，若点P 与点C 重合，求∠ABE 的度数；(2)如图2，若P 在C 点上方，试猜想线段PD ，AC ，CE 的数量关系并说明理由； (3)若AC ＝6，CE ＝2，则PD 的值为 ．（直接写出结果）5．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论 ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ∠，上述结论是否仍然成立 【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．6．如图1，在平面直角坐标系中，()0,4A ，()2,2C --，且∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）求点B 的坐标；（2）如图2，若BC 交y 轴于点M ，AB 交x 轴与点N ，过点B 作BE y ⊥轴于点E ，作BF x⊥轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt∠BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．7．在Rt∠ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是∠ABC外一动点（点B，点E位于AC 异侧），连接CE，AE．(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当∠ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；(2)当∠AEC=135°时，∠如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；∠如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出∠CEF面积的最大值．8．在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：(1)如图∠，在ABCD中，BE AD⊥，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若EF BF=，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．(2)如图∠，若F是ABCD边CD上一点，连接BF，将CBF沿着边BF所在的直线折=，试判断DF与叠，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，若AG BGCF的数量关系，并加以证明．9．在∠ABC中，CD∠AB于点D．(1)如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．∠按要求补全图1；∠若AB＝AC EB的长．(2)如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．10．如图，在∠ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD∠AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ∠AB交AB于点Q，过点P作PM∠PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）（1）线段CD＝．（2）当点P在线段BC上时，PC＝．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在∠BCD的内部时，求t的取值范围；（4）连结CM，当∠CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．11．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD∠BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，∠连结NG，求线段NG的长；∠连结ND，求∠DNG的大小．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．12．如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，△DAE=△BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，∠求证：△BAD∠△CAE；∠若AC∠DE，求证：BD=DC；（2）当CE∠AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究△ADB的度数（直接写出结果）13．在ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图∠，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图∠，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）．14．如图，以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和等边三角形ADE，连接EB，FD相交于点G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图∠），EB和FD的数量关系是______．（不用证明）（2）当四边形ABCD为矩形时（如图∠），EB和FD具有怎样的数量关系？并加以证明．∠是否（3）四边形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中，EGD∠的度数．发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图∠中求出EGD15．如图，在平面直角坐标系中已知A（2，2），B（6，2），点C是x轴正半轴上一点，连接OA，AB，BC，得到梯形OABC．点P是x轴正半轴上一动点（与点O不重合），AD，AE分别平分∠OAP和∠P AB，且交x轴于点D，E．（1）若梯形OABC的面积为12，直接写出C点的坐标；（2）当点P运动时，∠OP A与∠OEA之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）若∠AOC=44°，当点P运动到使∠ODA=∠OAE时，∠OAD的度数是多少？=，点D为BC边所在直线上的一个动点（不与点B､16．如图，在ABC中，AB ACC 重合），在AD 的右侧作ADE ，使得,AE AD DAE BAC =∠=∠，连接CE ．（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）当点D 为线段BC 的中点时，判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由； （3）探究DAE ∠与DCE ∠的数量关系，直接写出其结果_______．17．如图1，∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝45°，为了探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，现将∠AEC 绕A 顺时针旋转90°后成∠AFB 连接DF ，（1）填空：AFD ∆≅ (填一个三角形)； （2）试判断BD ，DE ，CE 之间的等量关系式；（3）如图2，在∠ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝60°，∠ADE ＝45°，试仿照上面的方法，利用图形的旋转变换，探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，并说明理由18．自主探究：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．（1）当点D在线段BC上时，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图（2），写出线段BC与线段CG的数量关系与位置关系，不必证明；（3）在（2）的基础上，随着点D位置的变化，当G为CF中点，AB正方形ADEF的边长．19．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是；（2）若将图1中的∠CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD 沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．（1）如图1，当AE＝时，A′D∠BE；（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)见详解．(2)见详解．2．(1)12MN BE =；MN BE ⊥ (2)成立；见解析3．(1)∠2EP FP BP +=(2)2EP FP PB -=4．(1)90°(2)PD 12+AC ＝CE ， (3)1或55．【问题背景】EF BE DF =+；【探索延伸】结论EF BE DF =+仍然成立；理由见解析；【学以致用】106．（1）()4,4-（2）MN ME NF =+（3）CH DH ⊥且CH DH =7．(1)∠AEC =135°；(2)∠BE +EA ，∠48．(1)DF CF =(2)DF CF =9．(1)∠见解析；∠(2)4CD 2+AB 2＝AE 2，10．（1）4；（2）()55t -；（3）33<<117t 或19<<211t ；（4）325<<1149t 或7319<<4911t ．11．（1）∠NG =∠120DNG ∠=︒；（2）DNM ∠的大小是定值 12．（2）100°或40°或20°13．（1）CF 与BD 位置关系是垂直（2）AB ＞AC 时，CF ∠BD 的结论成立，（3）24x x CP =-+或24x CP x =+ 14．（1）BE DF =；（2）BE DF =，；（3）（3）不变，60°15．（1）C （8，0）；（2）不变，∠OP A =2∠OEA ，（3）34°． 16．（1）见解析；（2）DE ∠AC ；（3）∠DAE +∠DCE =180°或∠DAE =∠DCE 17．（1）∠AED ；（2）BD 2+CE 2=DE 2，（3）CE 2=BD 2+DE 2，18．（1）BC CG =，BC CG ⊥；（2）BC CG =，BC CG ⊥；（319．（1）AP ；（2）成立；（320．（1）4；（2）725；（3）8-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考系列复习——猜想性专题一、中考要求能够根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、知识网络图如图1所示：图1三、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
四、考点分析1、猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1（云南）观察按下列顺序排列的等式：⨯+=；9011⨯+=；91211⨯+=；9232193431⨯+=； 94541⨯+=；……猜想：第n 个等式（n 为正整数）用n 表示，可以表示成________________. 分析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为 9 × 一个数 + 另一个数 = 结果其中，“另一个数”就是等式的序号n ；“一个数”比它小1，即为n-1；结果的个位为1，个位以前的数字等于“一个数”n-1，所以结果表示为10(n-1)+1. 因此，这个等式为9(n-1) + n = 10(n-1) + 1.这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证。
等式的左边 = 9n - 9 + n = 10n – 9；等式的右边 = 10n – 10 + 1 = 10n – 9 . 所以，等式的左边 = 等式的右边。
说明所列等式成立。
2、猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例2（河北课改实验区）观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：图2（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式. 分析：（1）本题图形中所反映出来的数字关系已经列出三个，下面就以它们为例，填写后两个。
易得④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52.（2）仿照例1的思路可以猜想：1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .3、猜想数值结果当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。
例3（辽宁大连）阅读材料，解答问题。
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P 1(－3 ，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线2x y =上向右跳动，得到点P 2、P 3、P 4、P 5……(如图3所示)。
过P 1、P 2、P 3分别作P 1H 1、P 2H 2、P 3H 3垂直于x 轴，垂足为H 1、H 2、H 3，则…………①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；④ ；⑤ ；11)14(2114)9(212)19(21 332222113311321=⨯+-⨯+-⨯+=--=∆P H HP P H HP P H HP P P P S S S S 梯形梯形梯形即△P 1P 2P 3的面积为1。
”图3问题：⑴求四边形P 1P 2P 3P 4和P 2P 3P 4P 5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；⑵猜想四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由(利用图4)⑶若将抛物线2xy=改为抛物线cbxxy++=2，其它条件不变，猜想四边形P n－1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案)分析：（1）阅读材料为我们提供了解题思路，可供借鉴。
S四边形P1P2P3P4 = S△P1H1P4– S梯形P1H1H2P2 - S梯形P2H2 H3P3 - S△P3H3P4= 12×9×3 –12(9+4)×1 –12(4+1)×1 –12×1×1= 27/2 – 13/2 – 5/2 - 1/2 = 8/2 = 4.即四边形P1P2P3P4的面积为4.同理，可得四边形P2P3P4P5的面积为4.（2）猜想四边形P n－1P n P n+1P n+2的面积为4. 理由如下：设点P n－1、P n、P n+1、P n+2的纵坐标分别为(x-1)2、x2、(x+1)2、(x+2)2，则S四边形P n－1P n P n+1P n+2= S梯形P n－1H n-1H n+2P n+2– S梯形P n－1H n-1H n P n - S梯形P n H n H n+1P n+1 - S梯形P n+1H n+1H n+2P n+2= 12×[(x-1)2+(x+2)2]×3 –12[(x-1)2+ x2]×1 –12[ x2+(x+1)2]×1 –12×[(x+1)2+(x+2)2]×1= 32(2x2+2x+5) –12(2 x2-2x+1) –12(2 x2+2x+1) –12(2 x2+6x+5)= 12[(6x2+6x+15)- (2 x2-2x+1) –(2 x2+2x+1) –(2 x2+6x+5)]= 8/2 = 4.即四边形P n－1P n P n+1P n+2的面积为4.（3）由于抛物线2xy=改为抛物线cbxxy++=2后，如果其它条件不变，只是抛物线的位置发生了变化，它的形状以及四边形P n－1P n P n+1P n+2的形状都不变，所以猜想四边形P n－1P n P n+1P n+2的面积也不变，仍为4.4、猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。
在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。
例4（江苏连云港）（1）如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，bAB=，aCD=，E 为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：H D C①当1=AE DE 时，有2b a EF +=； ②当2=AE DE 时，有32ba EF +=； ③当3=AEDE 时，有43b a EF +=．当k AEDE =时，参照上述研究结论，请你猜想用k 表示DE 的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD （如图6所示），其中AB ∥CD ，AB AD ⊥，=AB 310米，=DC 170米，=AD 70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想——证明——应用”的思路设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值。
（1）仿照例1、例2的解题思路，不难猜想出关系式：EF =kkb a ++1．证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ． ∵AB ∥CD ，∴AGE ∆∽DHE ∆，∴AEDE AGDH =，又EF //AB //CD ，∴GB EF CH ==， ∵a EF DH -=，EF b AG -=， ∴k EFb a EF =--，可得kkb a EF ++=1．（2）在AD 上取一点E ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，设k AEDE =，则EF=kk++1310170，kk DE +=170，若ABFE DCFE S S 梯形梯形=，则DCFE ABCD S S 梯形梯形2=， ∵梯形ABCD 、DCFE 为直角梯形， ∴)1310170170(212702310170xx+++⨯=⨯+kk +⨯170，图6D CBA化简得0127122=--k k 解得：341=k ，432-=k （舍去），∴40170=+=kk DP ，所以只需在AD 上取点E ，使40=DE 米，作EF ∥AB （或DA EF ⊥），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等． 5、猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。
比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。
这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
例5（山东青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图7)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图7）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAB ·S △OCD .DBO CAE F图7(2)在三角形中（如图8），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.COABDE F图8分析：（1）分别过点A 、C ，做AE ⊥DB ，交DB 的延长线于E ，CF ⊥BD 于F ， 则有：S △AOB 12=BO ·AES △COD 12=DO ·CF S △AOD 12=DO ·AE S △BOC 12=BO ·CF∴S △AOB ·S △COD 14=BO ·DO ·AE ·CF S △AOD ·S △BOC 14=BO ·DO ·CF ·AE∴S △AOB ·S △COD ＝S △AOD ·S △BOC .（2）根据“乘除乘方不改变”能猜想到：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等. 或S △AOD ·S △BOC ＝S △AOB ·S △DOC已知：在△ABC 中，D 为AC 上一点，O 为BD 上一点 求证：S △AOD ·S △BOC ＝S △AOB ·S △DOC证明：分别过点A 、C ，作AE ⊥BD ，交BD 的延长线于E ，作CF ⊥BD 于F ， 则有：S △AOD 12=DO ·AE ，S △BO C 12=BO ·CF S △OAB 12=OB ·AE ，S △DOC 12=OD ·CF∴S △AOD ·S △BOC 14=OB ·OD ·AE ·CF S △OAB ·S △DOC 14=BO ·OD ·AE ·CF∴S △AOD ·S △BOC ＝S △OAB ·S △DOC 五、创新题一隅1、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形。