4第二章 第二、三节 极限的运算与无穷小量无穷大量
无穷小无穷大极限运算法则
看下 表
X 1, 0.1 , 0.001 , 0.00001 ,… 2x 2, 0.2 , 0.002 0.00002 ,… 5x 5, 0.5 , 0.005 , 0.00005 ,… x3 1, 0.001,0.000000001,0.000000000000001,…
为了比较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以 下几个概念：设 ( x) 0, ( x) 0 是同一过程的无穷小量 1. ( x)是比 ( x)高阶无穷小 ( x) 0 称 ( x)是比 ( x)高阶无穷小 若 lim
1 1 3 2 x x lim 解：原式= x 1 2 5 2 x x
例5.求
x
lim ( x 1 x )
解：原式= xlim
x 1 x x 1 x
300 500 3 5
lim
x
1 x 1 x
=0
2 x lim1 1. lim(2 x 1) lim x 1 x 1
x 1
2.lim
x 2
2 lim x lim1
x 1 x 1
x 30 x2 ( x 2 5 x 3) x 2 5 x 3 lim x2
5
lim( x 5 30)
=2×1-1 =1
( x)
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度快
2. ( x)是比 ( x)低阶的无穷小 若 lim
( x) ( x)
称 ( x)是比 ( x)低阶的无穷小
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度慢
3. ( x)与 ( x)是同阶的无穷小
∴当x→0时
x 2 3x 5与x 2
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
无穷大量与无穷小量极限的运算法则
无穷大量与无穷小量极限的运算法则第五讲Ⅰ 授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。
Ⅱ 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。
Ⅲ 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。
Ⅳ 讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数 1 1)(-==x x f y ，当1→x 时的变化趋势。
当1→x 时，11-x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?Ex 11<-，也即：+∈?R E ，01>?E ，当 Ex 11<-时，有：E x >-11。
定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。
如：∞=-→11lim1x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→tgx x 2lim π。
注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：xx f y sin 1)(== 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。
例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当+∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？解用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取22ππ+=n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。
第二章 第四讲 无穷小量与无穷大量[1]
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第二章极限与连续第四讲无穷小量与无穷大量《高等数学》精品课程教学团队1一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量阶的比较四、无穷小量代换原理五、小结、思考题23一、无穷小量定义以零为极限的变量称为无穷小量. 例1 .x x ⇒→∞是时的无穷小量0limsin 0sin 0 .x x x x →=⇒→是时的无穷小量1lim 0lim e 0lim e 0x x x x x x →∞→−∞−→+∞===e .x x ⇒→−∞是时的无穷小量e .x x −⇒→+∞是时的无穷小量lim 0(1) .n nn q q q n →∞=<⇒→∞是时的无穷小量0000lim()0 .x x x x x x x x →−=⇒−→是时的无穷小量1lim(2)1,12.x x x x →−=−→−时不是无穷小量4注1. 很小很小的非零常量不是无穷小量, 但数“0”是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为0.无穷小量的性质性质1. i 0(1,2,,),i n α→= 设在某一极限过程下有则在此极限过程下有注2. 无穷小量与自变量的变化过程有关.1(1).0;n i i α=→∑1(2).0.ni i α=→∏性质2. 有界变量ƒ(x)与无穷小量α(x)之积仍为无穷小量.5例011lim sin 0,lim sin 1.sin (1)lim 0;lim 0.x x n x n x x x xx x n→→∞→∞→∞==−==但6定理(函数与其极限间的关系)函数ƒ(x )的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A 与无穷小量α的和. 即ƒ(x )= A + α.设lim ƒ(x )=A,则对0ε∀>""⇒""⇐0ε∀>设ƒ(x )= A +α,且α为无穷小量, 则对证明故lim ƒ(x )=A .总存在一个时刻,在此时刻.以后,就恒有|ƒ(x )–A|<ε, 从而ƒ(x )−A 为无穷小量, 记为α,则ƒ(x )=A+α总存在一个时刻, 在此时刻以后,就恒有| α|= |ƒ(x )–A|< ε,7定义若对, 函数ƒ(x )在其自变量的变化过程中, 总存在一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有|ƒ(x )| >M, 则称函数ƒ(x )为该变化过程下的无穷大量. 记为0M ∀>0lim () lim ()x x x f x f x →→∞=∞=∞（或）注1.无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不是一个很大的常量. 当ƒ(x )取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).lim () lim ()f x f x =+∞=−∞（或）记为二、无穷大量8注2.通常lim () f x =∞{(1)}n −011lim 0 .x x x x→=∞⇒→是时的无穷大量例lim .x x x e e x →+∞=+∞⇒→+∞是时的无穷大量是极限不存在的记号; 但它又不同于变量(无限增大的趋势).9无穷小量与无穷大量的关系：定理在自变量的同一变化趋势下, 无穷大量的倒数为无穷小量;非零无穷小量的倒数为无穷大量.例求2213lim .54x x x x →−−+222211543lim =0,lim 354x x x x x x x x →→−+−∴=∞−−+∵解10无穷小量都是以0为极限, 但它们趋于0的“速度”却不一定相同.例20 ,,2, ,x x x x →当时都是无穷小量y =2xy =x 220 ,0 .x x x x →→但的速度比“慢”的速度比“快”三、无穷小量阶的比较11(1).若为了描述这种情况, 有下述定义:设α(x ), β(x )是同一极限过程中的两个无穷小量,()lim 0()x x αβ=,则称α(x )是比β(x )更高阶的无穷小量,记为α(x )= o (β)(3).若,则称α(x)是比β(x)更低阶的无穷小量,记为()lim0()x C x αβ=≠()lim ()x x αβ=∞(2).若,则称α(x )与β(x )是同阶的无穷小量,特别地, 当C = 1时, 则称α(x )与β(x )是等价的无穷小量, 记为α(x )~ β(x )α(x )= O (β(x )).12例011.lim .22x x x →=故当x →0时, x 与2x 是同阶的无穷小量.故当x →０时, x 2是比x 更高阶的无穷小量.故当x →∞时, 1/x 是比1/x 更高阶的无穷小量.故当x →0时,sin x 与x 是等价的无穷小量.0sin 4.lim 1.x x x→=202.lim 0.x x x→=213.lim 0.1x x x →∞=四、无穷小量代换原理定理α与β是等价的无穷小量的充要条件是α= β+ o(β).定理若在同一极限过程中, α, β, γ均为无穷小量, 则(1). α~ α; (反身性)(2).若α~ β; 则β~ α; (对称性)(3).若α~ β, β~ γ; 则α~ γ; (传递性)(4).若α~ β; 则αγ~ γβ.1314定理(等价代换原理) 设α, α１, β, β１, 为同一极限过程11lim αβ11lim lim .ααββ=注1:由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:中无穷小量且α～α1，β～β1, 若存在,则150 x →当时1. sin x ~ x;2. tan x ~ x;3. ln(1+x )~ x;4. arcsin x ~ x;6. 1~ln ,xa x a −27. 1cos ~;2xx −18. (1)1~.naax x n+−e 1~;xx −5. a rctan x ~ x;16例求下列函数的极限0tan 2(1).lim ;sin 3x xx→tan 22,sin 33(0)x x x x x ∼∼→∵解(1) 00tan 222limlim sin 333x x x x x x →→∴==32011(2).lim ;1cos x x x→−−−223211~(),1cos ~(0)32x xx x x −−−−→∵解(2)2322001123 lim lim 1cos 32x x x x x x →→−−−∴==−−17tan 20(1cos )(3).lim ;(1)sin x x x x e x→−−tan 221~tan ,sin ~(0)xex x x x x −→∵∼解2tan 2200(1cos )12lim lim (1)sin 2x x x xx x x e xx x →→⋅−∴==−⋅30tan sin (4).lim ;x x xx→−3300tan sin lim lim .x x x x x x x x→→−−≠注意:183300201sin (1)tan sin cos lim lim sin (1cos )limcos x x x x x x x x xx x x x x →→→−−=−=⋅解2200sin sin 12lim lim cos 2cos x x xx x x x x x x→→==00sin 11lim lim 2cos 2x x x x x →→==19121cos 0(5).lim(1sin ).xx x −→+222001lim sin lim 21cos 2x x xx x x→→⋅==−∵解1221cos 0lim(1sin )xx x e−→∴+=201sin lim221cos 1cos 0(5)1.lim(1sin )x x xxx x ee→∞−−→+==属于型（重要极限）也可直接求极限.注2. 使用无穷小量的等价替换, 是求解函数的极限的常用方法. 在求乘除运算的极限时, 可以大胆使用; 而在求和差运算的极限时, 则须慎用, 如上例中的(4); 因为代换, 会使无穷小量之比的“阶数”发生变化.20第二章极限与连续数第四讲无穷小量与无穷大量四、小结21《高等数学》精品课程教学团队。
2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算
lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).
微积分教学大纲
《微积分》教学大纲一、使用说明（一）课程性质《微积分》是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一，它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。
微积分作为一学年的课程，是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习专业课打下坚实的基础。
（二）教学目的通过本课程的学习，使学生较好地掌握微积分特有的分析思想，并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其手法解决实际问题中的简单课题。
（三）教学时数本课程共132学时，8学分。
（四）教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。
（五）面向专业经济学、管理学所有本科专业。
二、教学内容第一章函数（一）教学目的与要求[教学目的]使学生正确理解函数的定义。
理解函数的各种表示法，特别是分析表示法。
了解函数的几何特性及图形特征，了解反函数、复合函数概念。
熟练掌握基本初等函数的性质及图形，掌握初等函数的结构并能确定其定义域，能列出简单的实际问题中的函数关系。
[基本要求]1、理解实数与实数的绝对值的概念。
2、理解函数、函数的定义域和值域，熟悉函数的表示法。
3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。
4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。
5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。
6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。
7、了解分段函数的概念。
8、会建立简单应用问题的函数关系。
（二）教学内容函数的定义，函数的几何特性，反函数，复合函数，初等函数，经济中的常用函数。
教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形。
2、初等函数的概念，复合函数的复合步骤的分解方法。
微积分教学大纲
微积分教学大纲一、使用说明一课程性质微积分是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一,它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用;微积分作为一学年的课程,是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的,制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解,为进一步学习专业课打下坚实的基础;二教学目的通过本课程的学习,使学生较好地掌握微积分特有的分析思想,并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解,并能运用其手法解决实际问题中的简单课题;三教学时数本课程共132学时,8学分;四教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;五面向专业经济学、管理学所有本科专业;二、教学内容第一章函数一教学目的与要求教学目的使学生正确理解函数的定义;理解函数的各种表示法,特别是分析表示法;了解函数的几何特性及图形特征,了解反函数、复合函数概念;熟练掌握基本初等函数的性质及图形,掌握初等函数的结构并能确定其定义域,能列出简单的实际问题中的函数关系;基本要求1、理解实数与实数的绝对值的概念;2、理解函数、函数的定义域和值域,熟悉函数的表示法;3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征;4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数;5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法;6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质;7、了解分段函数的概念;8、会建立简单应用问题的函数关系;二教学内容函数的定义,函数的几何特性,反函数,复合函数,初等函数,经济中的常用函数;教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形;2、初等函数的概念,复合函数的复合步骤的分解方法;3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数;教学难点：1、复合函数的复合步骤的分解方法;2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法;第一节预备知识一、实数二、绝对值三、区间四、邻域五、集合第二节函数概念一、常量与变量二、函数的定义与表示法三、函数定义域的求法第三节函数的几何特性一、函数的单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四节反函数一、反函数的定义及其图形二、反三角函数及其主值第五节复合函数一、复合函数的定义二、运算及举例第六节初等函数一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形二、初等函数的定义第七节分段函数一、分段函数的概念二、分段函数的图形特征第八节建立函数关系的例子一、总成本函数、总收入函数、总利润函数二、需求函数、供给函数三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数6学时;第二章极限与连续一教学目的与要求教学目的通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则,了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质; 基本要求1、了解数列极限与函数极限概念;关于数列极限与函数极限分析定义不做要求;2、了解无穷小量的概念与基本性质,掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系;3、知道两个极限的存在性定理,并能用于求一些简单的极限;夹逼定理,单调有界数列的极限存在性定理;4、熟练掌握两个重要极限,两个重要极限的证明不作要求;5、了解函数连续性的概念,函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法;6、了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论;7、了解闭区间上连续函数的基本定理,基本定理的证明不作要求;8、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法;二教学内容数列极限,函数极限,极限的基本性质,无穷小及无穷大,极限的四则运算,极限存在准则及两个重要极限,函数连续的概念及性质;教学重点：1、极限概念、极限的运算法则;2、两个重要极限,求极限的一些基本初等方法;3、函数连续性的概念、间断点的分类;教学难点：1、极限的概念;2、分段函数的连续性;3、间断点的分类;第一节 数列的极限一、数列的概念二、数列极限的定义与几何意义三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性第二节 函数的极限一、0x x →时,函数()f x 的极限二、x →∞时,函数()f x 的极限三、函数极限的几何解释四、单边极限第三节 极限的基本性质一、唯一性二、有界性三、保号性四、不等式性第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量的定义与基本性质二、无穷小量的比较三、无穷大量的定义四、无穷小量与无穷大量的关系第五节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限的存在性定理一、夹逼定理二、单调有界数列的极限存在性定理第七节两个重要极限一、0sin1lim xx x→=二、1(1)lim xxex→∞+=第八节函数的连续性一、函数的改变量二、函数的连续性,左连续与右连续三、函数的连续性与极限的关系四、函数的间断点及其分类五、连续函数的和、差、积、商的连续性六、反函数与复合函数的连续性七、初等函数的连续性七、分段函数的连续性第九节闭区间上连续函数的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零点定理三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第三章导数与微分一教学目的与要求教学目的让学生理解导数与微分的概念,导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系;掌握导数四则运算法则,初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法,会求简单的n阶导数;基本要求1、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系;2、熟练掌握基本初等函数的导数公式;3、熟练掌握导数的四则运算法则;4、掌握反函数的导数公式证明不作要求;5、熟练掌握复合函数的链式求导公式证明不作要求6、掌握隐函数求导法与对数求导法;7、了解高阶导数概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法;8、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性;9、知道边际与弹性的概念,会求解简单的经济应用问题;二教学内容导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用;教学重点：1、导数定义,利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数;2、复合函数的导数;3、微分的定义以及计算方法;教学难点：1、导数概念的建立;2、复合函数的导数;3、微分概念的建立,微分形式不变性;第一节导数的概念一、变速直线运动的速度二、平面曲线的切线斜率三、导数的定义与几何意义四、可导与连续的关系第二节基本初等函数的导数公式推导基本初等函数的导数公式;第三节导数的四则运算导数的和、差、积、商的求导法则;第四节反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、隐函数的导数四、对数求导法第五节高阶导数的概念与求法一、高阶导数的概念二、高阶导数求法第六节微分一、微分的定义与几何意义二、可导与可微的关系三、微分法则与微分基本公式四、微分形式的不变性第七节导数与微分的简单应用一、边际与弹性概念二、边际与弹性经济学意义三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数16学时;第四章中值定理与导数的应用一教学目的与要求教学目的使学生掌握中值定理的条件和结论;会用中值定理进行简单的推理论证,熟练运用洛必达法则求不定式的极限,掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法,并会描绘简单函数的图形,会用到书分析一些简单的经济问题;基本要求1、能叙述Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理,知道这些定理之间的联系,会利用这些定理证明一些简单的证明题如证明不等式;有关这些定理的证明不作要求;2、熟练掌握00型、∞∞型的洛必达法则,了解其它未定式的定值方法;注意洛必达法则适用的条件;3、熟练掌握函数单调性的判别法;4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题;5、掌握曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法;6、掌握函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形;二教学内容中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的判定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘;教学重点：1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式;2、用洛必达法则求0,∞∞型的极限化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为型或∞∞型;3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性;4、经济应用问题:最大利润,最小成本等;教学难点：1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进;2、化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为型或∞∞型;3、利用单调性和极值证明不等式;第一节中值定理一、Rolle 定理二、Lagrange 定理三、Cauchy 定理第二节 洛必达法则一、洛必达法则二、洛必达法则的条件及其应用第三节 函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性及其判别法二、函数的凹凸性及其判别法、拐点第四节 函数的极值与最值一、函数极值的定义二、函数取极值的必要条件与充分条件三、函数最值的概念四、求函数最值的基本步骤第五节 函数作图一、曲线的渐进线二、函数作图第五节 经济应用举例一、最大利润二、最小成本三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数18学时;第五章 不定积分一教学目的与要求教学目的通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分;基本要求1、了解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质;2、熟悉基本积分公式;3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法;4、会计算三种简单的分式的不定积分：A dx x a -⎰, ()m A dx x a -⎰,22(40)Mx N dx p q x px q +-<++⎰ 二教学内容不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分;教学重点：1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式;2、换元法,分部积分法教学难点：1、第一换元法,第二换元法,分部积分法;2、有理函数式化部分分式代数和;第一节不定积分的概念一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义三、不定积分的基本性质第二节基本积分表基本积分公式;第三节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法第四节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式应用第五节有理函数的积分一、简单分式的不定积分二、真分式的分解三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第六章定积分一教学目的与要求教学目的使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题;基本要求1、了解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理;2、会求变上限积分的导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式;3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式;4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用问题;5、了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法;知道广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的收敛条件;知道Γ函数的定义、性质与递推公式;二教学内容定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分;教学重点：1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算;2、定积分的换元法及分部积分法;3、平面图形的面积计算;教学难点：1、定积分几何意义,变上限定积分;2、广义积分的敛散性;3、”微元法”的基本思想;第一节定积分的概念与性质一、曲边梯形的面积二、定积分的定义与几何意义三、定积分的基本性质四、积分中值定理第二节微积分基本定理一、变上限积分与原函数存在定理二、变上限积分的求导方法三、牛顿——莱布尼兹公式第三节定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法第四节定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、简单的经济应用问题第五节广义积分初步一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算三、广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的敛散性判别四、Γ函数的定义、性质与递推公式五三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第七章多元函数微积分学一教学目的与要求教学目的使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标系去计算积分;基本要求1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离;了解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念;2、了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法;3、知道二元函数的极限与连续性的概念;4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法;5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法;6、了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的方法;7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法,会计算一些简单的二重积分二教学内容多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用;教学重点：1、偏导数的运算;2、复合函数的偏导数和全微分;3、条件极值与拉格朗日乘数法;4、二重积分定义,性质;5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分教学难点：1、二元函数极限的概念;2、高阶偏导数的运算;3、复合函数的偏导数;4、极值应用问题的求解;5、二重积分定义;6、二重积分的定限第一节预备知识一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念第二节多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域与几何意义三、二元函数的极限与连续性第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义与计算方法二、全微分的定义与计算方法第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数概念与微分法二、隐函数微分法第五节高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、高阶偏导数的求法第六节多元函数的极值与最值一、二元函数极值的定义二、极值的必要条件与充分条件三、条件极值与拉格朗日乘数法四、多元函数最值的概念与求法第七节二重积分一、曲顶柱体体积二、二重积分的定义与基本性质三、二重积分的计算法四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数28学时;第八章无穷级数一教学目的与要求教学目的使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间的求法.基本要求1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念;2、掌握几何级数与P级数敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性;3、掌握级数收敛的条件,以及收敛级数的基本性质;4、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法;5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法;6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法;二教学内容常数项级数的概念与性质；正项级数的判别法；任意项级数的判别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间;教学重点：1、正项级数收敛性的判别;2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念;3、幂级数的收敛半径和收敛区间教学难点：1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法;2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念;第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数及其一般项与部分和的概念二、无穷级数收敛与发散的定义三、收敛级数和的概念四、几何级数与调和级数的收敛性五、无穷级数收敛的必要条件六、收敛级数的基本性质第二节正项级数一、正项级数收敛的概念二、正项级数收敛的充分必要条件三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法四、P级数的敛散性第三节任意项级数一、交错级数的概念二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念四、绝对收敛与条件收敛的判别法第四节广义积分的敛散性判别法一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法二、广义积分的绝对收敛性三、Β函数的定义四、Β函数与Γ函数的关系第五节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数的概念三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念四、幂级数敛散性判别法五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法六、幂级数的基本性质第六节函数的幂级数展开一、泰勒公式及其余项二、泰勒级数与麦克劳林级数三、幂级数展开定理四、将函数展成幂级数的方法直接展开法、间接展开法五、基本初等函数的幂级数展开三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第九章微分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应用问题.基本要求1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法;3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用;教学重点：1、微分方程的概念;2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法;教学难点：1、各种类型的微分方程的判别;2、建立实际问题的微分方程第一节微分方程的基本概念一、微分方程的定义二、微分方程的阶、解通解、特解、定解条件三、微分方程的初值问题第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第三节高阶微分方程一、n阶微分方程的一般形式二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法三、几种特殊的高阶微分方程的解法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;第十章差分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解差分方程的基本概念;掌握一阶,二阶常系数线性齐次差分方程的解法;会解一些特殊的一阶,二阶常系数线性非齐次差分方程;了解差分方程在经济学中的简单应用;基本要求1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法;3、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容差分方程的基本概念；一阶与二阶差分方程的解法；差分方程在经济学中的应用;教学重点：1、差分与差分方程的概念;2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解;教学难点：二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;第一节差分方程的基本概念一、差分与差分方程的概念二、差分方程的阶、解通解、特解第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶齐次差分方程的通解二、一阶非齐次差分方程的特解与通解第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶齐次差分方程的通解特征根解法二、二阶非齐次差分方程的特解与通解第四节 n阶常系数线性差分方程一、n阶齐次差分方程的通解特征根解法二、n阶非齐次差分方程的特解与通解第五节差分方程在经济学中的简单应用一、“筹措教育经费”模型二、价格与库存模型三、国民收入的稳定分析模型三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;三、考核方式闭卷笔试;四、教材选用1、朱来义：微积分第二版,高等教育出版社,2004年3月第2版;。
无穷小量与无穷大量极限运算法则
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.
注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
4
注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。
本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。
一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。
严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。
无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。
2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。
4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。
二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。
严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。
无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。
2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。
3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。
4. 无穷大量与零的积为无穷小量。
三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。
当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。
根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。
1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。
2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。
四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。
导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。
2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。
高等数学第二章极限与连续
x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ ≥ xn ≥ xn+1 ≥
那么称数列为单调递减数列. 那么称数列为单调递减数列 单调递减数列
xn
x 4 x 3 x 2 x1
x
单调递增和单调递减数列统称为单调数列 单调递增和单调递减数列统称为单调数列. 单调数列
二,有界性
如果存在M>0,对于任何正整数 ,恒有 对于任何正整数n 如果存在 对于任何正整数 那么称数列 {xn }为有界的;否则称为无界的. 有界的 否则称为无界 无界的 如果数列所有的项都不超过某一个常数,即 如果数列所有的项都不超过某一个常数,
x2 4 x2 4 lim =2 或 →2 x → 2 2( x 2) 2( x 2)
(x →2).
3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
x2 4 f ( x) = 2( x 2)
x →2 ← x
4
定义3 的某个去心邻域有定义, 定义 设函数在点 x 0的某个去心邻域有定义,如果当 x源自xn = n ,3
1,8, ,, n 3 , (1) 27
1 1 1 1 , , , , n , 2 4 8 2
1 xn = n , 2
(2)
xn = (1)
n 1 xn = n
n1
1 , n
1 1 n 1 1 1, , , , ( 1 ) , 2 3 n
(3) (4) (5)
x n = (1)
x → +∞
lim f ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → +∞).
例如,由函数 的图形可见, 例如 由函数 f ( x) = arctanx 的图形可见 y
π
2
y = arctan x
极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限
定 理 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 , 如 果 f( x )为 无 穷 大 , 则
1为 无 穷 小 ; 反 之 , 若 f(x )为 ( 非 零 ) 无 穷 小 , 则 1为 无 穷 大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理 设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都 是 无 穷 小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要 慢 得 多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则 称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；
记作 a~;
微积分 第二章 第三节 无穷小量和无穷大量
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 说明：
1.称一个变量为高阶或同阶无穷小量，是没有意义
的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小量比较时，
才能说它们阶的高低或是否同阶.
2.在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能
比较阶的高低的.
3. 如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0), 则称是x的k阶
无穷小量.
4. 利用等价无穷小量，可简化某些极限的求解过程.
M
即证得 lim f (x)g(x) 0 . x x0 3
例1 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小, x
而sin x是有界函数.
y sin x x
lim sin x 0. x x
错误解法: lim x sin 1 lim x limsin 1 0 .
3. lim f (x) A _______ f (x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4.在同一过程中,若 f (x) 是无穷大,
则 ______是无穷小.
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二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 . 三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当
13
五、小结 思考题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1. 主要内容: 三个定义;一个定理;三个性质. 2. 几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是 无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
14
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
无穷大量与无穷小量
① x2 x2 1
③1 x3
② 3x 1 x2
④1 x2
⑤ log 2 x
18
若 lim 0, 则称 是 的 高阶无穷小, 记作 o( )
若 lim C 0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 limk C 0, 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
12
例3：判断下列变量是高阶的、同阶的还是等价 的无穷小量.
而函数 x 是 x 0 时的无穷小, 故由定理2
1
lim( x sin ) 0
x0
x
同理：lim x2 arctan 1 0
x0
x
9
讨论： 下列论断是否正确？ 1）1 是无穷小量。
x 2）无穷小量的代数和仍为无穷小量。
10
三、无穷小的比较（无穷小量的商）
两个无穷小的和、差、积仍是无穷小. 但是关于两个无穷小的商则会出现不同的结果 .
关系：无穷大量的倒数是无穷小量 无穷小量的倒数是无穷大量
即： 若 lim f (x) ，则 lim 1 0
f (x)
若lim f (x) 0( f (x) 0) ，则 lim 1
f (x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
17
例4：判断下列变量当 x ?是无穷大量.
lim f (x) A f (x) A
xx0
其中， 为 x x0 时的无穷小量.
重要意义: 将一般极限问题转化为无穷小(等式)问题;
5
二、无穷小量的性质
性质1：有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量； 性质2：有限个无穷小量之积仍为无穷小量； 性质3：无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量； 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 性质4：无穷小量除以极限不为零的变量仍为无
大专-高等数学--第二章-(1)
定理 3 (单调有界原理) 单调有界数列必有极限．
三、极限的性质
性质 性质 1 (惟一性) 则A B.
若 lim f (x) A， lim f (x) B，
xx0
xx0
性质 2
(有界性)
若 lim xx0
f (x)
A ，则存在
x0
的
某一空心邻域N (xˆ0,) ，在N (xˆ0, ) 内函数f (x) 有界．
定义２ 设函数 f (x) 在 x0 的右半邻域(x0 , x0 ) 内 有定义，当自变量x 在此半邻域内无限接近于 x0 时，相应 的函数值 f (x)无限接近于常数 A ，则称 A 为函数 f (x) 在 x0 处的右极限，记为
lim
xx0
f
(x)
A
，f
(x0 )
A
或
f (x) A(x x0 ).
(4)
因为
lim x
1 4
x
0，所以当 x
时，
1 4
x
为
无穷小．
2． 极限与无穷小量之间的关系
设 lim xx0
f
(x)
A，即 x
x0 时，函数值
f
(x)无限接
近于常数 A，也就是说 f (x) A无限接近于常数零，即
x x0时， f (x) A以零为极限，也就是说 x x0时，
1． 无穷小量的定义
定义 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小．
说明（1）数零是惟一可作为无穷小的常数. （2）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大
小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外 的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量．
例 4 自变量 x在怎样的变化过程中，下列函数为无
高数极限概括.
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则
lim
n
xn
a
想想：如何证明夹逼定理?
因为
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
所以
0, N1 0, 当 n N1 时, | yn a | ,
正小数的 , | xn1 | 总会小于这个 , 条件是只要
n充分的大。究竟要取多大呢？下面来分析：
事实上,
|
xn
1 |
1 n
,给 1
1000
, 很小,
要
|
xn
1 |
1 n
1 1000
, 只须n>1000 即可,
也即在这个
数列中,从第1001项开始,以后各项都有|
xn
1|
1 1000
.
又给 1 , 则从第10001项开始,
10000
以后各项都有
|
xn
1 |
1 10000
.
一般,
任给
>0,
不论多么小,
要使 |
xn
1|
1 n
只须 n
1
. 因此, 从第
1
1
项开始, 以后各项都有
| xn 1| . 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,
xn会越来越接近于1.
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
如果固定 ,则似乎可以得到
{xn} 有界的结论?
定理2（有界性定理）
若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界.
5-无穷小量与无穷大量、极限的运算汇总
0 | x x0 | (| x | X ) 时, | f ( x) |
成立, 则称 f ( x) 当 x x0 ( x ) 时,
为无穷小量 .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 lim f ( x) a , 则 0 , 当 0 | x x0 | 时 ,
取 N [log 2 M ] , 则当 n N 时, 有
| (2)n | M
故
n
lim xn lim (2) .
n n
无穷大量是按绝对值定义的.
例6
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ?
n (1) n 例如, {xn } : 0, 2, 0, 4, , 0, 2n, 0, , xn . 2 不论 N 取多么大 , 当 n N 时, 总有等于0 的项使
f ( x) a a a a a b a , (b 0) . g ( x) b b b b b b(b )
由此你能不能写出极限四则运算公式？
和的极限等于极限的和.
乘积的极限等于极限的乘积.
?
商的极限等于极限的商(分母不为零).
二. 无穷大量
一、无穷小量及其运算性质
简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量.
例1
(1) lim x 2 0, x 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x 0
(2) lim sin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
x0
结论: 在某个极限过程中,
无穷大量一定是无界量, 但无界量 不一定是无穷大量. 两个无穷大量的和不一定是无穷大量.
04-第4讲数列极限收敛准则
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第四讲数列极限收敛准则、无穷小量、极限运算第二章 数列的极限与常数项级数 的含义。
和极限。
正确理解》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念， N N εε-念和性质。
量的概收敛准则。
熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和。
极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。
件以及收敛级数的基本必要条性质。
掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。
掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛－级数的敛散性。
数、熟悉等比级数、调和级P 本章学习要求：第二章数列的极限与常数项级数第二节数列极限收敛准则第三节数列极限的运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量请点击三、极限的运算四、施笃兹定理及其应用一、数列极限收敛准则1.单调收敛准则2.数列极限的夹逼定理请点击3. 柯西收敛准则1.单调收敛准则单调增加有上界的数列必有极限 .单调减少有下界的数列必有极限 .通常说成：单调有界的数列必有极限.. 11 收敛证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 由中学的牛顿二项式展开公式 +⋅--+⋅-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=321! 3)2)(1(1! 2)1(1! 1111n n n n n n n n n n x n n n nn n n n n 1! ))1(()1(⋅---+ +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n 2111! 3111 2111！ , 112111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n 例1 证类似地, 有11111++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n n x 111121111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+n n n n n 11121111! )1(1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++n n n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=121111! 31111 2111n n n ！除前面的展开式可以看出与比较 , 1+n n x x 并且的对应项的每一项都小于两项外 , ,1+n n x x 因此一项还多了最后的大于零的 , 1+n x 1+<n n x x .}{ 是单调增加的即n x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n x n 2111! 3111 2111！ , 112111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n 11121111! )1(1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++n n n n n 111121111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+n n n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+121111! 31111 21111n n n x n ！+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n x n 2111! 3111 2111！ 112111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n 又 !1! 31! 2111n +++++< 1221212111-+++++<n ,321321121111<-=--+=-n n 等比数列求和放大不等式 . }{ 有界从而n x 每个括号小于 1 .综上所述, 数列{x n }是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它纪为 e , 即. 11lim e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→e 称为欧拉常数.590457182818284.2=e .ln : , , x y e =记为称为自然对数为底的对数以!! 1! 31! 21 ! 111 n n n e e ⋅++++++=θ的计算公式为. 10 ,<<θ其中点击此处可了解欧拉2.数列极限的夹逼定理设数列 { x n }, { y n }, { z n } 满足下列关系: (2) ,lim lim a z y n n n n ==+∞→+∞→则 ax n n =+∞→lim (1) y n ≤ x n ≤ z n , n ∈ Z + (或从某一项开始) ; 想想：如何证明夹逼定理?,lim lim 所以因为a z y n n n n ==+∞→+∞→, || , ,0 ,0 1εε<->>∃>∀a y N n N n 时当,|| , ,0 ,0 22εε<->>∃>∀a z N n N n 时当, },,max{ 21有时则当取N n N N N >=. || , ||εε<-<-a z a y n n 故有或从某一项开始已知 ),( +∈≤≤Z n z x y n n n )( N n a z x y a n n n >+<≤≤<-εε, , 由极限定义得有时即当εε<-<->a x N n n .lim a x n n =+∞→.12111lim 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n 求11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n , 1lim2=++∞→nn nn 而11lim 2=++∞→n n n 由于112111lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n 故想得通吧？例2解. ,! lim ++∞→∈Z n nn n n 求,11 321! 0 n n n n n n n n nn n ≤⋅-⋅⋅⋅⋅=< 由于 1. 1,,3,2均小于nn n n - ,00lim ,01lim ==+∞→+∞→n n n 而.0! lim =+∞→n n nn 故例3解.)321(lim ,13lim 1nn nn nn ++=+∞→+∞→求已知132313)321(11nnnnn n⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++, 3132311 <+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<nn 而, 33)321(3 11nnn n⋅<++<故, 3)33(lim 1=⋅+∞→nn 又. 3)321(lim , 1=+++∞→nn nn 得由夹逼定理 夹逼定理例4解.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→求, 1 时当>n 1112n n ++ ,11111111 2nn n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+故 ,111lim ,11lim e n e n nn nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→而. 111lim 2e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→故 夹逼定理请自己做!<+n 11 ,111)1(111-+=-++<n n n n 例5解有界数列的重要性质由任何有界数列必能选出收敛的子数列..: }{ b x a x n n ≤≤有界设数列]. ,[ , }{ , ] ,[ 11b a x b a n 记为的无穷多项含有数列间则其中至少有一个小区二等分将区间]. ,[ , ] ,[ 2211b a b a 多项的新的小区间无穷又可得到一个含有数列二等分再将., , 含前一个小区间内且每一个小区间都被包区间无穷多项的小可得到无穷多个含数列如此下去定理[]a b 1a 1b 2a 2b [[3a ]3bn a n b ],[],[],[],[],[112211b a b a b a b a b a n n n n ⊂⊂⊂⊂⊂⊂--[]左端点构成单调增加的数列 右端点构成单调减少的数列,, ] ,[ n k n n x b a 记为中任取数列的一个元素在区间,},{ 且它是原数列的子数列则得到一个数列n k x.lim :c x nk n =+∞→由夹逼定理).( 2 ] ,[ +∈-Z n a b b a n n n n 的区间长度为个小区间第:存在故由单调收敛准则可知cb a n n n n ==+∞→+∞→lim lim,02lim )(lim =-=-+∞→+∞→n n n n n ab a b 即有nk n b x a n ≤≤. }{ 收敛即子数列n k x上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”.: , ]},{[ 它们满足是数轴上的一串闭区间设k k b a (区间套定理)定理 ; ], ,[],[ )1(11+++∈⊂Z k b a b a k k k k 0, ||lim )2(=-+∞→k k k a b) . ],[ || , ( 的长度为区间其中k k k k b a a b -, ], ,[ 且则存在唯一的实数+∈∈Z k b a c k k .lim lim c b a k k k k ==+∞→+∞→3. 柯西收敛准则⇐⇒=+∞→ ) }{ ( lim 收敛即数列n n n x a x . || , , ,0 ,0εε<->>∃>∀n m x x N n m N 时当 满足此条件的数列, 称为“柯西列”. 柯西准则可写为:. }{ }{ 为柯西列收敛数列n n x x ⇐⇒点击此处可了解柯西. } 131211 { 是发散的证明数列n++++ ,1 31211 nx n ++++= 记nn n x x n n 212111|| 2+++++=- 由于 ,212111=+++++>n n n n n , , , 21 0均有时当取何值则不论时故取N n N >=ε0221 ||ε=>-n n x x 由柯西收敛准则可知, 该数列是发散的.例6 证, :R x ∈∀证明 . }2sin 22sin 2sin { 2收敛数列n nx x x +++ , 2sin 22sin 2sin 2有记R x nx x x x n n ∈∀+++= m n n n m mx x n x n x x 2sin 2)2sin(2)1sin( ||21+++++=-++ ,2121211212121211121n n m n m n n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++≤--+++ , , ],1[log ,0 2有时则当取从而N n m N >=>∀εεε<<-n n m x x 21 ||由柯西收敛准则可知, 该数列是收敛的.例7 证 等比数列二、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量请点击2. 无穷大量3. 无穷小量与无穷大量的关系1. 无穷小量我们称之为由数列的定义 , )( :+∈=Z n n f x n . n x 整序变量或变量 对数列极限的描述, 实际上, 就是对整序变量 极限的描述.(1) 无穷小量的定义,0lim 时当则称变量若+∞→=+∞→n x x n n n 简言之： 以零为极限的量, 为该极限过程中的无穷小量. 无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数..为一个无穷小量. 1 ,01lim )1(时为无穷小量当故+∞→==+∞→n nx n n n . 21 ,021lim )2(时为无穷小量当故+∞→==+∞→n x n n n n )1( ,0)1(lim )3(11nx n n n n n +++∞→-==-故 . 时为无穷小量当+∞→n 无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数. 小量：以下几个变量均为无穷时当 , +∞→n 例8(2) 无穷小量的运算性质.0 lim ,0 lim ==+∞→+∞→n n n n y x 设 ) .(.0)(lim 之和仍为无穷小量推广：有限个无穷小量=±+∞→n n n y x ) .( .0)(lim 之积仍为无穷小量推广：有限个无穷小量=⋅+∞→n n n y x 两个无穷小量的商的情况比较复杂, 以后会专门 讨论.. , 仍为无穷小量无穷小量与有界量之积时+∞→n (推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量.)证.0)(lim =++∞→n n n y x 0, , ,0 lim ,0 lim >∀==+∞→+∞→ε所以因为n n n n y x , || , ,011ε<>>∃n x N n N 时当. || , ,022ε<>>∃n y N n N 时当有时则当取 , }, ,max{ 21N n N N N >= ,2 |||| ||εεε=+<+≤+n n n n y x y x .0)(lim =++∞→n n n y x 即 其它性质可仿此进行证明.几个问题结 论.3否一定不是无穷小量？两个非无穷小量的和是0 .2是否为无穷小量？数0, 0, 0, : } 0 { .1是否为无穷小量？数列. ,1 ,1 ,1 :}{ , 1, 1, 1, :}{, . .3 ---n n y x 例如不一定., . .2数不是指一个数值很小的的变化趋势无穷小量描述的是变量不是 .00lim lim . .1==+∞→+∞→n n n x 因为是2. 无穷大量首先要注意到是, 无穷大量与无穷小量一样, 无穷大量不是指的一个很大的数,也是描述的变量的变化趋势.∀M0：以后要用到的记号>任意给定一个正数.,不论它的值多么大(1) 无穷大量的定义定义无穷大量时, 用的是绝对值. ||n x 去掉绝对值符号, 则可以定义正无穷大量和负无穷大量.有时当若 , ,0 ,0N n N M >>∃>∀Mx n > || , ,时的无穷大量为则称成立+∞→n x n . lim ∞=+∞→n n x 记为去掉绝对值符号会怎么样？有时当若 , ,0 ,0N n N M >>∃>∀Mx n > , ,时的正无穷大量为则称成立+∞→n x n . lim +∞=+∞→n n x 记为有时当若 , ,0 ,0N n N M >>∃>∀Mx n -< , ,时的负无穷大量为则称成立+∞→n x n . lim -∞=+∞→n n x 记为.lim , )1(+∞==+∞→+∞→n n x n n n 为正无穷大量：时当 .)2(lim )2( , )2(∞=--=+∞→+∞→nn n n x n 为无穷大量：时当 无穷大量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很大的数.大量：以下几个变量均为无穷时当 , +∞→n .lim , )3(+∞==+∞→+∞→n n x n n n 为正无穷大量：时当例9由无穷大量与无界量的定义是否可得出: 无穷大量一定是无界量,,4 ,0 ,3 ,0 ,2 ,0 ,1 ,0 :}{n x 无穷大量一定是无界量.无界量不一定是无穷大量.几个问题考察例题 结 论 反之,无界量一定是无穷大量?3. 无穷小量与无穷大量的关系,lim 01lim 你有什么想法？和看看∞==+∞→+∞→n n n n 无穷小量与无穷大量互为倒数关系？ , ,0 ,0 :lim 时当若N n N M x n n >>∃>∀∞=+∞→Mx n > ||,1||1 M x n <⇒则有可取的任意性由 ,1 , MM =ε, ,0 ,0时当N n N >>∃>∀ε,||1ε<n x .01lim =+∞→nn x 即 分母不能为零),( , 不为零为无穷大量若变量时当n x n +∞→ . 1为无穷小量则它的倒数nx),( , 不为零为无穷小量若变量时当n x n +∞→ . 1为无穷大量则它的倒数nx利用无穷小量与无穷大量的关系可以将一些无穷大量的运算归结为相应的无穷小量运算, 并可得到有关无穷大量的运算性质.几个问题结论?.1仍为无穷大量两个无穷大量之和是否? .2是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之积? .3是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之和? .4否一定不是无穷大量两个非无穷大量之积是.4..3..2...1不一定是不一定不一定考察例题 )( ,4 ,3 ,2 ,1 : .1无穷大量 n x) ( ,4 ,3 ,2 ,1 : .2无穷大量 ----n y ) ( ,1 , ,31 ,21 1, : .3有界量 nz n ). , ( ),1()1( ),1()1( .41均不是无穷大量与时n n n n n n y x n n n y n n x ∞→--+=--+=-利用这里提供的数列可以得出上面的结论.无穷大量的运算性质.||lim ,lim +∞=∞=+∞→+∞→n n n n x x 则若 .)(lim ,lim ,lim ±∞=+±∞=±∞=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n y x y x 则若 .)(lim ,}{ ,lim ∞=±∞=+∞→+∞→n n n n n n y x y x 则有界若 .lim ,lim ,lim ∞=∞=∞=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n y x y x 则若 .lim ,0lim ,lim ∞=≠=∞=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n y x a y x 则若请同学自己证明.三、极限的运算1. 无穷小量与极限的关系请点击2. 数列 (整序变量 ) 极限的运算1. 无穷小量与极限的关系, ,0 ,0 ,lim 时当则若N n N a x n n >>∃>∀=+∞→εε<--=- |0)(| ||a x a x n n 将它记为是一个无穷小量时即 , , a x n n -+∞→α=-a x n. , α+=>a x N n n 时则当上述过程显然可以反推过去, 于是就可得出 下面的重要定理： 定理怎么写？, , ,0 lim α+=>>∃⇐⇒=+∞→a x N n N a x n n n 时当 .0lim ,=+∞→αn 其中定理). 0lim ( , lim =+=⇐⇒=+∞→+∞→ααn n n n a x a x 或写为2. 数列 (整序变量 ) 极限的运算,lim ,lim 则设b y a x n n n n ==+∞→+∞→ .lim lim )(lim b a y x y x n n n n n n n ±=±=±+∞→+∞→+∞→ .lim lim )(lim b a y x y x n n n n n n n ⋅=⋅=⋅+∞→+∞→+∞→ .lim )(lim a k x k x k n n n n ⋅=⋅=⋅+∞→+∞→ .lim lim , n n n n n n y x y x +∞→+∞→≥≥则若 ).0lim ,( ,lim lim lim ≠===+∞→+∞→+∞→+∞→b y b a y x y x n n n n nn n n n 其中证 .lim lim )(lim b a y x y x n n n n n n n ⋅=⋅=⋅+∞→+∞→+∞→故因为 ,lim ,lim b y a x n n n n ==+∞→+∞→ ),0( , , , ,011+∞→→+=>>∃n a x N n N n αα其中时当 ).0( , , , ,022+∞→→+=>>∃n b y N n N n ββ其中时当 ,))(( αβαββα+++=++=b a ab b a y x n n 于是由无穷小量的运算性质, 可得到,0lim ,0lim ,0lim ===+∞→+∞→+∞→αβαβn n n b a 得由公式从而 ,lim lim )(lim ,n n n n n n n y x y x +∞→+∞→+∞→+=+ .lim lim )(lim )(lim n n n n n n n n y x ab b a ab y x +∞→+∞→+∞→+∞→==+++=αβαβ其余的证明由学生自己完成).13(lim 2+-+∞→n n n 求解 由于两个无穷大量的差不一定是无穷大, 所以 进行变形处理： ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+∞→+∞→+∞→222221131lim 1131lim 131lim n n n n n n n n n n n ,030113lim 1lim 22==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→+∞→n n n n n .)13(lim 2∞=+-+∞→n n n 从而例10).14135115131(lim 2-+++++∞→n n 求=-+=-)12)(12(1141 2n n n )12)(12(175153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211217151513131121n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121n n . 21121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+++++∞→+∞→n n n n 故 部分分式法解 例11. ! lim n n n n +∞→求 . 11lim lim , 11 e n x n x n n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→则有设n n n x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅⋅∆11211111 2121 而 ,! )1(1 342312321n n n n n n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛= 得式由几何平均值的极限公 ,lim lim 21n n n n n x x x x +∞→+∞→=⋅⋅⋅ , lim lim ! 1lim 21e x x x x n n n n n n n n n ==⋅⋅⋅=++∞→+∞→+∞→ . 1! 1lim ! lim e n n n n n n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=+∞→+∞→故 几何平均值极限公式 n n nn n x x x x +∞→+∞→=⋅⋅⋅lim lim 21 解 例12。
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sin x 同理可证 lim1 x 0 x
sin x 这样就证明了 lim 1. x0 x
说明：这个重要极限主要解决含有三角函数的 型极限 0 0
sin x） （ lim 0 x） 1 （ sin x （x） lim 1 x 0 1 x lim x） （ sin 1 x） x） （ （
tan x sin x 解 lim x 0 x3 sin x sin x sin x sin x cos x cos x lim lim 3 x 0 x 0 x x 3 cos x
sin x(1 cos x ) sin x 1 cos x 1 lim lim 3 2 x 0 x 0 x cos x x x cos x
1
1 lim x sin 3 1 x x
3
例6
sin 3x 求 lim . x0 sin 4 x
lim sin 3x sin 3x 3x lim( ) x0 sin 4 x x0 3x sin 4 x
解
sin 3 x 3x lim lim . x 0 3 x x0 sin 4 x 4 x 4x 3 1 3 lim 4 x0 sin 4 x 4 4x
3x 3 解: （1）因为 lim 0 ，所以当 x 0 时， 3x 3 是比 x 高阶的 x 0 x
无穷小量，即 3 x 2 0( x)( x 0) .
tan x sin x 1 lim （2） 因为 lim 1 ，所以当 x 0 时， tan x 与 x 是 x 0 cos x x0 x x
x
x
1 1 x
x
1
2
3
4
5
10
100
1000
10000
……. ……
2
2.250
2.370
2.441
2.488
2.594
2.705
2.717
x
2.718
1 从上表可看出,当 x 无限增大时,函数 1 变化的 x x 1 大致趋势,可以证明当 x 时, 1 的极限确实存 x
2
sin x 1 x lim , 0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2 , x0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
2
定义. 设 , 是同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 ,则称 是来自的高阶无穷小, 记作 o( )
通分
A 5、 0
一、两个重要极限
1. sin x lim 1． x0 x
sinx x 0 时， 1 x sinx x 0 时， 1 x
x 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001
sinx/x 0.958851077 0.993346654 0.998334166 0.999983333 0.999999833 0.999999998
在,并且是一个无理数,其值为 e 2.718282828,即
1 lim1 e x x
说明： （1）此极限主要解决 1 型幂指函数的极限．
x
( x) 1 x e lim 1 1 ( x ) ( x) lim 1 e x x 1 lim 1 ( x ) ( x ) e ( x ) 0
x
例 11
解
2 x 求lim . x 3 x
x
所求极限类型是 1 型,
2 x x 3 x 1x 1 x lim lim lim 1 3 x 3 x x 3 x x x
1 cos x 1 由例7知 ( x 0) 2 x 2 tan x sin x 1 故 lim 3 x 0 x 2
1 解释说明：列出 1 的数值表(如下表)，观察其变 x 化趋势.
1 2. lim 1 e ． x x x
若 lim , 则称 是 的低阶无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
例 2. 当 x 0 时比较下列无穷小量 (1) 3x 3 与 x ； （2） tan x 与 x ； （3） sin x 与 x 3 3 x
sin x） （ lim 0 x） 1 （ sin x （x） lim 1 x 0 1 x lim x） （ sin 1 x） x） （ （
sin 2 x lim 1 x 0 2x
lim
x 3
sin x 3 x3
有极限的函数与无穷小量的关系
定理 4
lim f ( x) A 的充分必要条件是 x x0 f ( x) A ( x)
其中 ( x ) 在 x x 0 时为无穷小量, 即 lim ( x) 0 x x
0
无穷小的比较
引例 . x 0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但
x x0 x
这时，我们把函数 f (x) 叫做当 x x0 （或 x ）时 的无穷小或无穷小量.
例如 因为 lim
1
x x 2
0 ，所以
1 x2
是
当 x 时的无穷小.
注意： （1）无穷小量是一个以零为极限的变量， 不能把它与一个很小的数混淆起来. 零是唯一可以看成无穷小量的常数。 （2）某个变量是不是无穷小量一定要与 相应的极限过程联系起来
x x0
lim f ( x) （或 lim f ( x) ）
x
无穷大量与无穷小量的关系
定理 6 如果 f (x) 是无穷大量，则
1 f ( x)
是无穷小量；
1 f ( x)
如果 f (x) 为无穷小量 ( f ( x) 0) ，则
为无穷大量.
1 例如： lim x 0 x
第二节 极限的运算
函数极限的四则运算法则
设 lim f ( x) A ， lim g ( x) B 则 1、 lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B 2、 lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
等价无穷小量，即 tan x ~ x .
sin x 1 1 （3）因为 lim lim 2 x 0 x 0 x 3 3 x x x 3 3
sin x
无穷大量的概念
定义 2 如果当 x x0 （或 x ）时， y f (x) 的对应函数值 的绝对值无限增大，则就说函数 f (x) 当 x x0 （或 x ）时 为无穷大或无穷大量，记作
无穷小量的性质
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 类似可证: 有限个无穷小之差仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 . 常量与无穷小的乘积是无穷小 . 定理3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知
例9
3 求 lim 1 . x x
x
1
解 lim 1 x
3 lim 1 x x
1 lim x
x
3 x
x 3
x 3 3
3 e3 x
3
例 10
一、两个重要极限
sin x 1． 1. lim x0 x 证 明 (1) 令 0 x 2 作 单 位 圆 如 下 图 所 示 , 取 AB AOB x (rad),于是有：BC sin x, x , AD tan x .由 图得 S OAB S 扇形OAB S OAD , D 1 1 1 B 即 sin x x tan x 2 2 2 得 sin x x tan x ,从而 x x 1 1 O C A 有 sin x cos x . lim cos x 1 sin x sin x x 0 1 cos x, lim 1 x 0 lim 1 1 x x x 0
f ( x) lim f ( x) A 3、设 lim g ( x) 0 ，则 lim ( B 0) g ( x) lim g ( x) B
几种不定式的求法
0 1、 消去公共的趋于0的因子 0 A 2、 （A不等于0） 0
0 3、 0 消去分子分母的最高次幂 A 4、 B
1 x 3 3 lim 1 x 3 x 1 x 3 1 3 lim 1 lim 1 e. x 3 x 3 x x
第三节 无穷小量与无穷大量 三、无穷小量与无穷大量
定义 1 当自变量 x x0 （或 x ）时，函数 f (x) 的极限为零，即 lim f ( x) 0 （或 lim f ( x) 0 ）
2 求lim 1 . x x
x
解 所求极限类型是
1 型.
x ( 2) 2
2 2 lim 1 lim 1 x x x x x ( 2) 2 2 2 1 lim e x x
例7
1 cos x 求 lim . 2 x 0 x
2
解
x 2 sin 1 cos x 2 lim lim x 0 x 0 x2 x2
x x sin sin 2 2 2) lim( x 0 x x 4 2 2