高考数学理科考试说明分析1(1)

一、 集合与常用逻辑用语 1、 集合（1） 集合的含义考点：① 元素与集合的属于关系例题：已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a∈-,若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由② 集合中元素的性质例题1：设集合A ＝{a ＋1，a －3，2a －1，a 2＋1}，若－3∈A ，求实数a 的值.例题2：若a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，ba ，b}，求a 和b 的值. （考查元素的确定性和互异性）（2 ） 集合的表示 考点：① 列举法例题：如果集合A ={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ）.A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定本题考察集合的列举法 ② 描述法例题：集合A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={y |y =4k ，k ∈Z }，则A 与B 的关系为（）.A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A =B D ．A ∈B③ 韦恩图法例题：已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U = ，A B ≠ ∅，(){1,2}U A C B = ，求集合A 、B .（3） 集合的基本关系 考点：集合之间的包含关系例题1：满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是.（考察真子集）例题2：已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

（考察子集） （4） 集合的基本运算考点：集合的并集、交集、补集例题1：已知A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a.例题2：若集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A∩B 等于( )A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.例题3：已知集合A ＝[2，log2t]，集合B ＝{x|x2－14x ＋24≤0}，x ，t ∈R ，且A ⊆B.(1) 对于区间[a ，b]，定义此区间的“长度”为b －a ，若A 的区间“长度”为3，试求t 的值；(2) 某个函数f(x)的值域是B ，且f(x)∈A 的概率不小于0.6，试确定t 的取值范围. （本题考察集合语言的运用）2、 常用逻辑用语（1） “若p ，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题 考点：四种命题的写法及真假判断例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1) 若m ，n 都是奇数，则m ＋n 是奇数； (2) 若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2.例题2 已知命题“若p ，则q”为真，则下列命题中一定为真的是( )A.若⌝p ，则⌝qB.若⌝q ，则⌝pC.若q ，则pD.若⌝q ，则p （2） 四种命题的相互关系（3） 充要条件考点：① 充分必要条件探究例题1：设m ＞0，且为常数，已知条件p ：|x －2|＜m ，条件q ：|x2－4|＜1，若⌝p 是⌝q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围. 例题2 已知集合A ＝{x|a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是( )A.0≤a≤2B.－2＜a ＜2C.0＜a≤2D.0＜a ＜2② 充分必要条件的证明例题1设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n ∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an －1an ＝n －1a1an成立的充要条件是{an}为等差数列.例题2设0＜x ＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（4） 简单的逻辑联结词 （5） 全称量词与存在量词考点：① 全称命题和特称命题的真假判断 例题1：判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ，都有x2－x ＋1＞12；(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N ；(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.例题2：已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧⌝q”是假命题C.命题“⌝p ∨q”是真命题D.命题“⌝p ∧⌝q”是假命题考点：② 含有一个量词的命题的否定例题1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.例题2 已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log3x ＞0，则⌝p 为 .考点：③ 命题的真假运用例题1 若r(x)：sin x ＋cos x ＞m ，s(x)：x2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x ∈R ，r(x)为假命题”且“对任意的x ∈R ，s(x)为真命题”，求实数m 的取值范围.例题2 设M 是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝1x ；②f(x)＝2x ；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).二、 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数 1、 函数（1） 函数的概念及表示 考点：① 求函数的解析式例题1 (1) 已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f (x)的表达式；(2) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f (x)的表达式.例题2 已知f (x x+-11)＝2211x x+-，求f (x)的解析式.考点：② 求函数的定义域例题2 (1) 求函数y ＝229)2lg(xx x --的定义域；(2) 已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域.考点：③ 由实际问题给出的函数例题1 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.（求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义）例题2 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是()考点：④ 分段函数 例题1 已知函数(1) 求f(1)＋f(－1)的值； (2) 若f(a)＝1，求a 的值；(3) 若f(x)＞2，求x 的取值范围.例题2 已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2） 映射（3） 单调性与最大最（小）值考点：① 函数单调性的判断和证明 例题1 讨论函数f(x)＝ax ＋1x ＋2 (a≠12)在(－2，＋∞)上的单调性.（运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断.）例题2 已知函数f(x)满足f(π＋x)＝f(π－x)，且当x ∈(0，π)时，f(x)＝x ＋cos x ，则f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是( )A. f (2)＜f (3)＜f (4)B. f (2)＜f (4)＜f (3)C. f (4)＜f (3)＜f (2)D. f (3)＜f (4)＜f (2)考点：② 函数单调区间的求法例题1 试求出下列函数的单调区间.(1) y ＝|x －1|；(2) y ＝x2＋2|x －1|；(3) y ＝3422-+-x x .例题2 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b2.则函数f (x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x ∈[－2,2]的最大值是( ) A.－1B.6C.1D.12考点：③ 函数单调性的应用例题1 已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0.(1) 试判断函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2) 解不等式f(5x －1)＜f(6x2).（抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.） 例题2 已知函数y ＝f(x)是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，给出下列命题：① f(3)＝0；② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴；③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④ 函数y ＝f(x)在[－9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上). （4） 奇偶性考点：① 函数奇偶性的判断 例题1 判断下列函数的奇偶性.(1) f(x)＝lg(1－x2)|x2－2|－2； (2) f(x)＝⎩⎨⎧>+-<+).0(),0(22x x x x x x（判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.） 例题2 若函数f(x)＝3x ＋x-3与g(x)＝3x －x-3的定义域均为R ，则( )A. f (x)与g(x)均为偶函数B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数C. f (x)与g(x)均为奇函数D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数考点：② 由奇偶性的条件求函数的解析式例题1 若函数f(x)＝x ＋mx2＋nx ＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，求f(x)的解析式.例题2 已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数，求a ，b 的值.考点：③ 函数奇偶性的应用例题1 设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x ＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6.(1) 求证：函数f(x)为奇函数；(2) 求证：函数f(x)在R 上是增函数； (3) 在区间[－4,4]上，求f(x)的最值.（函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.）例题2 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩⎨⎧>---≤-,0),2()1(,0,21x x f x f x x 则f(－1)＝ ，f(33)＝ .2、 指数函数（1） 有理指数幂的含义 （2） 实数指数幂的含义 （3） 幂的运算 考点：幂及其运算例题1 计算：(1) 214- ∙2133231)()1.0()4(---b a ab；(2) (0.027)31-－(－17)－2＋(279)21－(2－1)0.例题2 已知a ，b 是方程9x2－82x ＋9＝0的两根，.（4） 指数函数的概念、图象及其性质 考点：① 指数函数性质的应用 例题1 已知函数，其中x ∈R. (1) 试判断函数f(x)的奇偶性； (2) 证明f(x)是R 上的增函数. 例题2 函数的图象大致为()考点：② 指数函数的综合应用例题1 已知函数.(1) 若f(x)＝2，求x 的值；(2) 若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.例题2 已知函数f(x)＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( ) A.B.C.D.3、 对数函数（1） 对数的概念及其运算性质 考点：① 对数的运算 例题1 计算下列各题：(1) 2(lg 2)2＋lg 2∙lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1； (2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40.例题2 已知log89＝a ，log25＝b ，用a ，b 表示lg 3为 . 考点： ② 对数函数性质的应用 例题1 设函数f(x)＝(a ＞0，且a≠1).例题 2 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log ,1,1)2(x x x x a a 若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 . （2） 换底公式（3） 对数函数的概念、图象及其性质 考点：① 对数函数综合应用例题1 已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1) 当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.例题2 给出下列四个命题：① 函数f(x)＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点； ② 若f ′(x0)＝0，则函数y ＝f(x)在x ＝x0处取得极值；③ 若m≥－1，则函数y ＝21log(x2－2x －m)的值域为R ；④ “a＝1”是“函数f(x)＝a －ex1＋aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上). （4） 指数函数与对数函数互为反函数4、 幂函数（1） 幂函数的概念 （2） 幂函数的图象与性质考点： ① 幂函数的图象与性质例题1 点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上.(1) 求f(x)、g(x)的解析式；(2) 问当x 为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).例题2 函数f(x)＝(m2－m －1) 322--m m x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.考点：② 作函数图象例题1 作下列函数图象：(1) y ＝1＋log2x ；(2) y ＝2|x|－1；(3) y ＝|x 2－4|.例题2 在下列图象中，二次函数y ＝ax2＋bx 与指数函数y ＝(ba的图象只可能是( )考点：③用数形结合思想解题 例题1 已知f(x)＝|x 2－4x ＋3|. (1)求f(x)的单调区间；(2)求m 的取值范围，使方程f(x)＝mx 有4个不同实根.例题2 若不等式x2－logax ＜0对x ∈(0，12)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.0＜a ＜1B.116≤a＜1 C.a ＞1D.0＜a≤116考点： ④有关图象的对称问题例题1 设函数f(x)＝x ＋1x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1) 求函数y ＝g(x)的解析式，并确定其定义域；(2) 若直线y ＝b 与C2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标.例题2 函数f(x)的定义域为R ，且满足：f(x)是偶函数，f(x －1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )A.－9B.9C.－3D.0（本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键.） 5、 函数的模型及其应用 （1） 函数的零点考点：① 确定函数零点所在的区间例题1 已知函数f(x)＝x ＋log2x ，问方程f(x)＝0在区间[144]上有没有实根，为什么？例题2 若x 0是函数f(x)＝x ＋2x －8的一个零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)＝ . 考点： ② 判断函数零点的个数 例题1 判断下列函数的零点个数.(1) f (x)＝x 2＋mx ＋(m －2)；(2)（判断函数的零点个数有以下两种方法：(1)方程f(x)＝0的根的个数即为函数f(x)的零点个数；(2)函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；特殊情况下，还可以将方程f(x)＝0化为方程g(x)＝h(x)，然后再看函数y＝g(x)与y＝h(x)的交点个数.）例题2 问a为何值时，函数f(x)＝x3－3x＋a有三个零点，二个零点，一个零点？考点：③利用导数工具研究函数零点问题例题1 设函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a的取值范围.例题2 已知函数f(x)＝x33＋12＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a－1的取值范围为( )A.(－1，－14B.(－∞，14)∪(1，＋∞) C.(14，1) D.(14，2)（2）二分法（3）函数模型的应用考点：①运用指数模型求解例题1 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？例题2 某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( )A.(1＋p)12－1B.(1＋p)12C.(1＋p)11D.12p考点：②分段函数建模求解例题 1 在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2 000元.(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？（解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义.）例题2 国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？考点：③生活中的优化问题例题1 (2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1) 求k 的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.例题2 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为x ＝ ，y ＝ .（4）函数的综合应用典例精析 考点：① 抽象函数的计算或证明例题1 已知函数 f (x)对于任何实数x ，y 都有 f(x ＋y)＋f(x －y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证： f(x)是偶函数. 例题2 已知函数f(x)对任意的x ，y 有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定义域为R ，请判定f(x)的奇偶性.考点：② 函数与导数的综合应用例题1 已知函数f(x)＝x 3＋2x 2－ax ＋1.(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a 的取值范围.例题2 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且其顶点在第四象限，则a ＋b ＋c 的取值范围为 .考点：③ 化归求函数的最大值和最小值问题例题1 某个体经营者把开始6个月试销售A 、B 两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表：帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字).例题2 求函数y ＝222++x x x的值域.三、 三角函数、三角恒等变形、解三角形 1、 三角函数（1） 任意角的概念和弧度制 考点：象限角与终边相同的角例题1 若α是第二象限角，试分别确定2α、2α的终边所在的象限.例题2 若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( )A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角考点：② 弧长公式，面积公式的应用例题1 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.例题2 已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.（2） 弧度与角度的互化（3） 任意角的正弦、余弦、正切的定义（4） 用单位圆中的三角函数线表示弦、余弦和正切例题1 (1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x ≤32的角x 的集合. 例题2 函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 .（5） 诱导公式考点： 三角函数式的化简问题 例题1 化简例题2 已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .（6） 同角三角函数的基本关系式考点：① 三角函数式的求值问题例题1 已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2).(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |，0＜θ＜π，求 θ的值.例题2 已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos2α等于( )A.45B.85C.65D.2考点：② 三角函数式的简单应用问题例题1 已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2x)的值.例题2 化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.（7） 周期函数的定义、三角函数的周期性 考点：① 三角函数的周期性与奇偶性例题1 已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)＝f(x ＋π3)，判断g(x)的奇偶性.例题2 函数y ＝sin2x ＋sin xcos x 的最小正周期T 等于( )A.2πB.πC.π2 D.π3考点：② 求函数的值域例题1 求下列函数的值域：(1)f(x)＝sin 2xsin x 1－cos x ； (2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.例题2 求y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 的值域. （8） 函数的图象和性质（9） 函数的图象 考点：①五点法”作函数图象例题1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.例题 2 函数的图象如图所示，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12φ＝π3考点：② 三角函数的单调性与值域例题1 已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f(x －π4)，求函数g(x)的单调递增区间. 例题2 使函数y ＝sin(π6－2x)(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3] B.[π12，7π12] C.[π3，5π6]D.[5π6，π] 例题3 已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间.例题4 若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4 考点：③ 三角函数的综合应用例题1 已知函数y ＝f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求φ的值；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008).例题2 已知函数f (x )＝A cos 2ωx ＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (20)＝ .（10） 用三角函数解决一些简单的实际问题 2、 三角恒等变形（1） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （2） 二倍角的正弦、余弦、正切公式 考点：① 三角函数式的化简例题1 化简θθθθθ cos 22)2cos 2)(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π).例题2 化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).考点： ② 三角函数式的求值例题1 已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.例题2 2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .考点： ③ 已知三角函数值求解例题1 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.（由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.）例题2 若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( )A.α＝βB.α＜βC.α＞βD.以上都有可能（3） 简单的恒等变换考点：① 三角函数的求值例题1 已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.例题2 如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.723D.318 考点：② 等式的证明例题1 求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β).例题2 已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0. 考点：③ 三角恒等变换的应用例题1 已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ；(2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B ；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值.例题2 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan Btan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan Atan B ，试判断△ABC 的形状.3、 解三角形（1） 正弦定理、余弦定理 （2） 解三角形考点：① 利用正、余弦定理解三角形例题1 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求sin A 的值；(2)求BC∙CA的值.例题2 在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a 2＋b 2－c 24，则∠C ＝ .考点：② 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题例题1 设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值； (2)若AB∙AC＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c ).例题2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小； (2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 考点：③ 正、余弦定理在实际问题中的应用例题1 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？例题2 如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险. 四、数列1、 数列的概念和表示法考点：① 归纳、猜想法求数列通项例题1 根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：(1)7,77,777,7 777，…(2)23，－415，635，－863，…(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，… 例题2 如下表定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (n －1 2 008( ) A.1B.2C.3D.4考点: ② 应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n S n n求数列通项例题1 已知数列{a n }的前n 项和S n ，分别求其通项公式：(1)S n ＝3n －2；(2)S n ＝18(a n ＋2)2 (a n ＞0).例题2 已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A.2n －1B.(n ＋1nn －1C.n 2D.n考点：③ 利用递推关系求数列的通项例题1 已知在数列{a n }中a 1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式：(1)a n ＋1＝a n1＋2a n；(2)a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1.例题2 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)²a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求a n .2、 等差数列的概念、通项公式和前n 项和公式 考点：① 等差数列的判定与基本运算 例题1 已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n .(1)求证：{a n }为等差数列；(2)记数列{|a n |}的前n 项和为T n ，求 T n 的表达式. 例题2 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，若记b n ＝1391122a a a--，则数列{b n }( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列考点：② 公式的应用例题1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由.例题2 在等差数列{a n }中，公差d ＞0，a 2 008，a 2 009是方程x 2－3x －5＝0的两个根，S n 是数列{a n }的前n项的和，那么满足条件S n ＜0的最大自然数n ＝ .考点：③ 性质的应用例题1 某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？例题2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为 . 3、 等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式 考点：① 等比数列的基本运算与判定例题1 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…).求证： (1)数列{S n n}是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .例题2 等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1a 2…a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10考点：② 性质运用例题1 在等比数列{a n }中，a 1＋a 6＝33，a 3a 4＝32，a n ＞a n ＋1(n ∈N *).(1)求a n ； (2)若T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，求T n .例题2 在等差数列{a n }中，若a 15＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 29－n (n ＜29，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 19＝1，能得到什么等式？考点：③ 综合运用例题1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，则求出a 1的值；若不存在，说明理由.例题2 已知命题：若{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现在已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N *)，类比上述结论得b m ＋n ＝ .4、 数列求和考点：① 错位相减法求和例题1 求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .例题2 数列{2n －32n －3}的前n 项和为( )A.4－2n －12n －1B.4＋2n －72n －2C.8－2n ＋12n －3D.6－3n ＋22n －1考点：② 分组并项求和法例题1 求和S n ＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n －1例题2 数列1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为( )A.2n －1B.n ²2n －nC.2n ＋1－nD.2n ＋1－n －2 考点：③ 裂项相消法求和例题1 数列{a n }满足a 1＝8，a 4＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1n (14－a n )(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，若对任意非零自然数n ，T n ＞m32恒成立，求m 的最大整数值.例题2 已知数列{a n }，{b n }的前n 项和为A n ，B n ，记c n ＝a n B n ＋b n A n －a n b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和为( )5、数列的综合应用考点：① 函数与数列的综合问题例题1 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)设a 是常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .例题2 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n ＋1D.n ＋1n考点：② 数列模型实际应用问题例题1 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化面积为a n ＋1，求证：a n ＋1＝45a n ＋425；例题2 规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )A.P (2 006)＝402B.P (2 007)＝403C.P (2 008)＝404D.P (2 009)＝405考点：③ 数列中的探索性问题例题1 {a n }，{b n }为两个数列，点M (1,2)，A n (2，a n )，B n (n －1n ，2n为直角坐标平面上的点. (1)对n ∈N *，若点M ，A n ，B n 在同一直线上，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足log 2C n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b na 1＋a 2＋…＋a n，其中{C n }是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b 1)，(2，b 2)，…，(n ，b n )在同一直线上，并求此直线方程.例题2 已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *).若a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9，则通项公式a n ＝ .五、不等式1、 解一元二次不等式考点： ① 一元二次不等式的解法 例题1 解下列不等式：(1)x 2－2x －3＞0；(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(∁R A )∩B .例题2 设函数f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0()0(22x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)考点：② 解含参数的一元二次不等式问题例题1 解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 例题2 解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0. 考点：③ 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系例题1 已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 例题2 若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝ . 2、 线性规划（1） 用一元二次不等式组表示平面区域 （2） 简单的线性规划问题考点：① 平面区域例题1 已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y＝f ′(x )的图象如图所示，则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )A.2B.4C.5D.8例题2 若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( )A.12B.π4C.1D.π2考点：② 利用线性规划求最值例题1 求 (1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.例题2 已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求a ＋b 的最小值.考点：③ 线性规划的实际应用例题1 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m 3，第二种有56 m 3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m 3，第二种木料0.08m 3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m 3，第二种木料0.28 m 3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？例题2 某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元. 3、用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 考点：① 利用基本不等式比较大小例题1 (1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A.x ＋y ≥2(2＋1)B.x ＋y ≤2(2＋1)C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b2，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是 . 例题2 设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c恒成立，则λ的取值范围是 . 考点：② 利用基本不等式求最值例题1 (1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为 ；(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数f ′(x )，f ′(0)＞0，对任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) A.3 B.52 C.2 D.32例题2 已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2cd的取值范围.考点：③ 应用基本不等式解实际应用问题例题1 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.例题2 已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值. 六、 推理与证明 1、 合情推理与演绎推理 （1） 合情推理。