一类Loop代数的研究
循环群讲义——精选推荐
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st aa b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G na o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e aa o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射. 再证ϕ的同态性:)()()()()()(,,y x a a h k axy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群. ◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。
代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。
一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题
一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题摘要：本文主要研究了一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题。
我们首先研究了这一类代数在表示环上的性质，证明了这类代数的表示环是一个有限维的挠模，并且其结构很好描述。
接着，我们研究了这类代数的Jacobson–Witt理论，证明了其Jacobson–Witt理想是主理想。
最后，我们讨论了这类代数的胞腔拓扑结构，并给出了一些有趣的结果。
本文的研究不仅在理论上具有一定的重要性，而且在实际应用中也有一定的价值。
关键词：GK维数；素Hopf代数； Jacobson–Witt理论；表示环；商代数；胞腔拓扑结构。
一、前言Hopf代数在代数学和数学物理中都有着广泛的应用，因此引起了学者们的极大兴趣。
本文考虑的是一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题。
GK维数是刻画代数的重要指标之一，它刻画了代数的零因子和中心的结构，因此有着很多应用。
同时，本文所研究的素Hopf代数是一类比较特殊的Hopf代数，它具有一些特殊的性质，这些性质不仅仅体现在理论上，而且在实际应用中也有广泛的应用。
二、表示环的性质让我们首先研究这类代数在表示环上的性质。
我们证明了这类代数的表示环是一个有限维的挠模，并且其结构很好描述。
具体来说，我们考虑了这类代数的表示环在自然过滤下的Grassmann子环，证明了这些子环是一个无限维的向量空间，并且给出了它们的一组基。
此外，我们还研究了这类代数的表示环在Koszul双复合下的性质，证明了这个双复合是良定义的，并且存在一个自然的同构性。
这些结果为后面的研究奠定了基础。
三、Jacobson–Witt理论接着，我们研究了这类代数的Jacobson–Witt理论。
Jacobson–Witt 理论是一个很重要的研究方向，它研究的是环的理论性质和几何性质之间的联系。
一个新的loop代数及其应用
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其中 一 ∑ ， 为任意函数， Ｕ—Ｕ ｕ ） ， （， ∈ Ｖ—Ｖ（， ∈ ， 一（ 一“）为函 ｕ “ “ ， ）
数 向量 ， 谱参数． １４ 为 （ ． ）的相 容 条 件 为 ：
收 稿 日期 ：０ １０ — ７ ２ ０ — ３０
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 （ ０ ７ ０ ３ ； 家 重 点 基 础 研 究 规 划 项 目 （ ９ ８ ３ ６ ０ 国 １０ ２ １ ） 国 Ｇ１ ９ ０ ０ ０ ）
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高 校 应 用 数 学 学 报 Ａ辑
２００ １７（ ２， ３）： ３ ３１ ３１ — ７
Ａ ｐ １ Ｍ ａ ｈ．Ｊ Ｃｈ ｎ ｓ ｎｖ ｐ． ｔ ． ｉ ｅ ｅＵ ｉ ．Ｓ ｒ Ａ ｅ．
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个 新 的 ｌｏ ｏ ｐ代 数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及 其 应 用
张 玉 峰 ， 鸿 庆 。 张
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（ ． 国科 学院 计 算 数 学 与 科 学 工 程 计 算研 究 所 ， 京 １ ０ ８ ； １中 北 ０ ０ ０ ２ 山 东科技 大 学 信 息 学 院 ， 东泰 安 ２ １ １ ； ． 山 ７ ０ ９
３ 大 连 理 ＿ 大 学 应 用 数 学 系 ， 宁 大连 １６ ２ ） ． Ｔ － 辽 ｌ ０ ４ 摘 要 ： 造 了 一 个 新 的 ｌｏ 代 数 ｅ ， 其 应 用 于 Ｌ ｖ 构 ｏｐ 将 ｅ ｉ等 谱 问 题 上 得 到 了 Ｌ ｖ 方 程 族 的 可积 耦 合 ． 这 种 方 法 可 以 普 遍 地 应 用． ｅｉ 关键词 ： ｏ ｌ ｐ代 数 ； ｅ ｉ 程 族 ； 积 耦 合 ｏ Ｌｖ方 可 中 图 分 类 号 ： ｌ ５ ２ ｏ ７．９
环上(p,q)型Lorentz李代数的killing型与理想
［ 文章 编 号 ］ｏ ｏ１ ３ （０ ０ Ｏ 一０ １０ １ｏ 一８ ２ ２ １ ）ｌ０ ０—４
环 上 （ ｇ 型 Ｌ ｒｎｚ 代 数 的 ｋｌｎ ，） ｏｅ ｔ 李 ｉｉｇ型 与理 想 ｌ
吴 晗 ， 任 丽 ， 张永 正
（ 东北 师范 大学数 学与统计 学院 ， 吉林 长春 １ ０ ２ ） ３ ０ ４
定 义 １ 令
．
（ 一 ： Ｉ ， 。 ）
记 ｓ（ ｏ Ｒ）一 ｛ ∈ ｇ （ ｑ Ｒ）Ｉ Ｊ ｘ ｔ ＋ ， 向＋ ｋｘ 一 ０ （ 是 ｘ 的转 置 阵） 易 知 ，ｏ Ｒ） 一个 自由 Ｒ 模 ， ｘ ）ｘ ． ｓ（ 是 ＿ 且在 方括 号运 算 ［ Ｂ ＝Ａ ｌ Ａ 之下 ，ｏ Ｒ）是 Ｒ上 的李代 数 ， ｓ （ 为 Ｒ 上 的（ ｑ 型 Ｌ ｒｎｚ Ａ， ］＝ ｌ —Ｂ ＝ ｓ（ 称 ｏ Ｒ） ，） ｏｅ ｔ 李代 数．
设 一 Ｄｃ∈。 ∈ ｐＢ Ｍ× ∈ ｑｃ Ｍ 有 加＝ｋ 是 得 ｘ （ ） ｓＲ， Ｍ× ∈ ｐＤ Ｍｐ ∈ ｌ则 Ⅺ ＝ ｘ 于 可 （Ａ ， ， × ， ｑ × ， ＝ ・ 一
Ａ ＝一Ａ ， — Ｄ Ｃ一一Ｃ ． 以 （ ｑ Ｂ ， ，所 户，）型 Ｌ ｒｎｚ李 代 数 ｓ （ ｏｅ ｔ ｏＲ）的 自由 Ｒ －基 底 是 ｐＪ ｅ ＋＋
第 ４ ２卷 第 １期
２１ ０ ０年 ３月
东 北 师 大 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ １ ｆＮｏ ｔ ｅ ｓ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｒｈ ａ ｔＮｏ ｍａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｙ ｉ
Ｖｏ ． ２ ＮＯ １ Ｉ４ ．
多分量的高维loop代数及其应用
摘 要 ： 造 了一 个多 分 量 的 高 维 ｌｏ 构 ｏ ｐ代 数 及 其 等 价 的 ｌ ｐ代 数 ． 为 应 用 ， 用屠 格式 得 到 了 Ｔ ｏ ｏ 作 利 Ｃ方 程 族 的 一
个新 的可 积 耦 合 ． 关键词 ： ｏ ｌ ｐ代 数 ， 积 耦 合 ． ｏ 可 ＴＣ族
中 图分 类 号 ： ５ ２ Ｏ１ ． ９ ７ 文 献 标识 码 ： Ａ
２（ ｂ 一 ２ １ ｌ ２ ｂ）
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ａ ｂ 一 口 ｂ ＋ ｓ ３ 口 ｂ ６ ６２ ２ ｂ 一 ３ｓ ２ 口 ｂ 一 口ｂ ＋ 口 ｂ 一 口 ｂ ） （ １ｓ ｓ１ ４２ ２４ ２ 口 ｂ 一 口ｂ ＋ 口 ｂ 一 口 ｂ ） （ ３４ ４３ ６１ １６
Ｅ１ｅ］ Ｐ］ ｅ， ｅ，５ 一［ ２ 一２ｓ
作 者 简 介 ： 学 军 （９ ３）男 ， 薛 １ ６ 一 ， 山东 东营 市 人 ， 东营 职 业 学 院副 教 授 ．
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第２ 期
薛 学 军 ： 分量 的高 维 ｌｏ 数 及其 应 用 多 ｏ ｐ代
１７ ０
下 面一 个运算
ａ２ ３ ａ３ ２ 一 ｂ ｂ
Ｐ＝ １ ０ ０， ， ， ｝ Ｐ 一 ｛ ， ， ， ０ ０｝ … ，６ ｛ ， ， ０ ０， ｝ １＝｛ ， ， ０ ０ ０ ，２ ０ １ ０ ０， ， ， Ｐ一 ０ ０ ０， ， １ ，
定 义它们 的换位 运算 为
［ Ｐ］ ｅ ， ２ 一２２
Ｅ１Ｐ］ ｅ，３ 一一２
Ｅ２Ｐ］ ｅ ，３一
【 （ ３１ ｌ３ Ｊ ２ 日ｂ一ａｂ）
在Loop代数A3框架内获得可积耦合的一类方法
分类号： ＡＭＳ ２０） ５ ５ （００ ３Ｑ １
中图分类号： ７ ． Ｏ１５ ９ ２
文献标识码： Ａ
１ 引言
正如文献 ｆ ４中所提 出的，可积耦合 是孤 子理 论领 域 中的一个崭新 的研究方 向，它起源 于 １１ — 研 究无 中心 的 Ｖ ｒｓｒ ｉ ｏｏ对称代 数 。马文 秀提 出了利用 扰动方法 获得可积 耦合 的一种方法 ，作 ａ 为应用得到 了 Ｋｄ 方程族 中每个 方程的可积耦合 。 由此，郭福奎又进 一步提 出了获得可积耦 Ｖ 合 的一个简 单方法【 。利用 这种方法 ，文献 ｆ ８中得 到了 Ａ ４ 】 ５１ － ＫＮＳ族 、Ｔ 族 、Ｂ Ｔ 族等 已知 Ｄ Ｐ 可积系的可积耦合 。为求可积耦合 ，在 郭福奎 的方法 中，由两个条件必须满足 ： （ 子代数 Ｇ】同构于 Ｌ ｏ ｉ ） ｏ ｐ代 数 】的某个子代数 ；
收稿 日期： ０５０ －４ 作者简介：赵 ￣（９４ ２０ －７１． １６ 年生） ，女 ，硕士 ，教授． 研究方 向：孤立子 与计算机语言程序设计 基金项 目：国家 自然科学基￣（０ ７０ ６． ． ６ ２４ １）
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第 ２ 卷 ４
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Ringel Hall代数
Ringel Hall代数导言Ringel Hall代数是一种代数结构，由Ringel Hall环和Ringel Hall子代数组成。
它是代数图论中的一个重要研究对象，可以用来描述和分析组合问题。
本文将对Ringel Hall代数的定义、性质及其在代数图论中的应用进行全面、详细、完整且深入地探讨。
Ringel Hall环的定义Ringel Hall环是由一组生成元和一组关系式构成的环。
生成元表示一种特定的代数结构，而关系式则用来表达这些生成元之间的关系。
Ringel Hall环的生成元包括两类：带有自环的有向边和不带自环的有向边。
带有自环的有向边用a i表示，其中i为自环的标号；不带自环的有向边用b i表示，其中i为不带自环的有向边的标号。
关系式包括两类：自环关系式和交换关系式。
自环关系式用r ij表示，表示标号为i的自环与标号为j的自环相互作用的关系；交换关系式用s ij表示，表示标号为i的自环与标号为j的不带自环的有向边相互作用的关系。
Ringel Hall环的乘法运算由生成元和关系式共同决定，并满足环的定义。
Ringel Hall环的性质Ringel Hall环具有一些重要的性质，下面将分别进行介绍。
结合律Ringel Hall环中的乘法运算满足结合律，即对于生成元a i、b i和c i，有(a i b i)c i=a i(b ic i)。
幂等性Ringel Hall环中的生成元具有幂等性，即对于生成元a i和b i，有a i2=a i和b i2=b i。
单位元Ringel Hall环中存在单位元，记作1，满足对于所有生成元a i和b i，有1a i=a i1=a i和1b i=b i1=b i。
反元Ringel Hall环中的生成元具有反元，即对于生成元a i和b i，存在生成元a i′和b i′，满足a i a i′=a i′a i=1和b i b i′=b i′b i=1。
零元Ringel Hall环中存在零元，记作0，满足对于所有生成元a i和b i，有0+a i=a i和0+b i=b i。
量子Loop代数Uq(L(sl2))的单权模
第62卷 第2期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .22024年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023345量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模吴青云,谭易兰,夏利猛(江苏大学数学科学学院,江苏镇江212013)摘要:用构造的方法解决量子L o o p 代数U q (L (s l 2))具有一个一维权空间的单权模的结构问题,得到了任意一个具有一维权空间的单权模必同构于U q (L (s l 2))的四类单权模之一.此外,还构造了一类权空间维数为2的既非最高权也非最低权的量子L o o p 代数U q (L (s l 2))的单权模.关键词:量子L o o p 代数;权模;单模;D e n s e 模中图分类号:O 152.5 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)02-0256-07S i m p l eW e i g h tM o d u l e s o f Q u a n t u mL o o p A l g e b r a U q (L (s l2))WU Q i n g y u n ,T A N Y i l a n ,X I A L i m e n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s ,J i a n g s uU n i v e r s i t y ,Z h e n j i a n g 212013,J i a n gs uP r o v i n c e ,C h i n a )A b s t r a c t :T h e s t r u c t u r a l p r o b l e m o f s i m p l ew e i g h tm o d u l e sw i t hao n e -d i m e n s i o n a lw e i g h t s p a c e i n t h e q u a n t u mL o o p a l g e b r a U q (L (s l2))w a s s o l v e d b y u s i n g a c o n s t r u c t i o nm e t h o d ,a n d i tw a s o b t a i n e d t h a t a n y s i m p l ew e i g h tm o d u l ew i t ha o n e -d i m e n s i o n a lw e i g h t s p a c em u s t b e i s o m o r p h i c t o o n e o f t h e f o u r c l a s s e s o f s i m p l ew e i g h tm o d u l e s o f U q (L (s l 2)).I n a d d i t i o n ,a c l a s s o f s i m p l ew e i g h tm o d u l e s o f t h e q u a n t u m L o o p a l g e b r a U q (L (s l2))w i t h w e i g h ts p a c ed i m e n s i o no f2,w h i c h w a sn e i t h e rt h e h i g h e s tw e i g h t n o r t h e l o w e s tw e i g h t ,w a s c o n s t r u c t e d .K e yw o r d s :q u a n t u m L o o p a l g e b r a ;w e i g h tm o d u l e ;s i m p l em o d u l e ;D e n s em o d u l e 收稿日期:2023-08-20.第一作者简介:吴青云(1999 ),女,汉族,硕士研究生,从事李理论的研究,E -m a i l :2212102047@s t m a i l .u js .e d u .c n .通信作者简介:谭易兰(1981 ),男,汉族,博士,副教授,从事李理论的研究,E -m a i l :t a n y a n l a n @u js .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12171155).1 引言与主要结果设g 是复数域上的有限维单李代数,Y a n g i a n 代数Y (g )和量子仿射代数U q (g^)组成了两族重要的仿射型量子群.U q (g ^)是由一族生成元和一系列生成关系构成的具有单位元的结合代数,U q (g ^)商去由中心元C 生成的双边理想后得到的商代数记为U q (L (g)).其代数结构和表示理论在数学和物理中都有重要的理论意义和应用价值.例如,U q (L (g ))模可用于构造量子Y a n g -B a x t e r 方程的三角解[1].关于U q (L (g ))模的研究是量子群表示理论的重要问题之一[2-3].目前,U q (L (g))模的研究主要集中在最高权模,包括有限维不可约模㊁局部W e y l 模㊁K R (K i r i l l o w -R e s h e t i k h i n )模和素表示(P r i m e r e p r e s e n t a t i o n s )[4-8].而U q (L (s l 2))的表示理论在U q (L (g ))的研究中具有重要作用.本文目标是分类U q (L (s l 2))的一类单权模.从U q (s l2)的D e n s e 模出发[9],构造一类既不是最高权也不是最低权的无限维U q (L (s l 2))单权模,然后分类具有一个一维权空间的U q (L (s l 2))单权模.本文主要结果如下:定理1 设V 是U q (L (s l2))存在一个一维权空间的单权模,则V 必与下列模中的某个模同构:1)有限维单模;2)无限维最高权单模;3)无限维最低权单模;4)D e n s e 模V (μ,τ,b μ).此外,本文还通过构造一个权空间均为二维的U q (L (s l2))模,给出该模不可约的充分条件,以说明本文主要结果中一维权空间的限定条件必不可少.2 预备知识首先给出量子L o o p 代数U q (L (s l2))的定义.定义1[10] 设q 不是单位根,量子L o o p 代数U q (L (s l2))是一个有单位元1的结合代数,它的生成元为x ʃk (k ɪℤ),h ʃk (k ɪℤ-{0})和K ʃ1,且满足生成关系:K K -1=K -1K =1, K h k =h kK ,K x ʃk K -1=q ʃ2x ʃk , [h k ,h l ]=0,[h k ,x ʃl ]=ʃ1k[2k ]qx ʃk +l ,(1)[x +k ,x -l ]=1q -q -1(ψk +l -ϕk +l ).(2)x ʃk +1x ʃl -q ʃ2x ʃl x ʃk +1=q ʃ2x ʃk x ʃl +1-x ʃl +1x ʃk ,(3)这里[m ]q =q m-q -m q -q-1,且ψk +l 和ϕk +l 满足ðɕk =0ψkuk=K e x p (q -q -1)ðɕk =1h ku {}k,ðɕk =0ϕ-k u-k =K -1e x p (q -q -1)ðɕk =1h -ku -{}k .由定义1和数学归纳法,易证如下引理.引理1 U q (L (s l2))可由K ʃ1,h ʃ1和x ʃ0生成.命题1[10] 1)由K ,x +0和x -0生成的子代数与U q (s l2)同构;2)映射ρN :U q (L (s l 2))ңU q (s l 2), x +k q -k a k K k e +,x k -q -k a k e -Kk 是一个满同态.引理2[10] U q (L (s l2))作为H o p f 代数,满足余乘关系:Δ(x +0)=x +0췍K +1췍x +0, Δ(x -0)=x -0췍1+K -1췍x -0,Δ(x -1)=x -1췍1+K 췍x -1, Δ(x +-1)=x +-1췍K -1+1췍x +-1,Δ(K )=K 췍K , Δ(h 1)=h 1췍1+1췍h 1-(q 2-q -2)x +0췍x -1,Δ(K -1)=K -1췍K -1, Δ(h -1)=h -1췍1+1췍h -1-(q 2-q -2)x +-1췍x -0. 下面介绍U q (L (s l 2))的表示理论,首先介绍U q (L (s l 2))的最高权模.本文记U q (L (s l2))的元素x 在其模V 上的作用为x .v ,这里v ɪV .定义2[10] 设V 是U q (L (s l 2))的一个模.如果存在非零向量w ɪV ,使得U q (L (s l 2)).w =V ,且满足:x +k .w =0, ψk .w =d +k w (k ɪℕ), ϕk .w =d -k w (k ɪℕ-), d +0d -0=1,则称V 是U q (L (s l2))的最高权模,d ={d ʃk k ɪℤ}为V 的最高权.最低权模的定义可类似给出,只需将x +k .w =0改为x -k .w =0.定义3[10] 定义U q (L (s l 2))的V e r m a 模M (d )为U q (L (s l2))模商去由x +k (k ɪℤ),ψk -d +k ㊃1(k ȡ0),ϕk -d +k ㊃1(k ɤ0)所有系数生成的左理想.下面给出刻画U q (L (s l2))有限维单模的结构.752 第2期吴青云,等:量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模852吉林大学学报(理学版)第62卷命题2[10]U q(L(s l2))的有限维单模是最高权模,U q(L(s l2))的最高单权模是有限维的当且仅当存在常系数非零的多项式P,且满足:ðɕk=0d+k u k=q d e g P P(q-2u)P(u),ðɕk=0d--k u-k=q d e g P P(q-2u)P(u).定义4[10]对任意的aɪℂ,W1(a)=s p a n{w0,w1}是U q(L(s l2))的二维单权模,这里w0是最高权向量.有限生成元在W1(a)上的作用下有x+0.w0=0,x+-1.w0=0,x-1.w0=a w1,x-0.w0=w1,x+0.w1=w0,x+-1.w1=a-1w0,x-1.w1=0,x-0.w1=0,K.w0=q w0,h1.w0=q-1a w0,h-1.w0=-q a-1w0,K.w1=q-1w1,h1.w1=-q a w1,h-1.w1=q-1a-1w1.定义5[11]设V是一个U q(L(s l2))模,若Vμ={vɪV K.v=μ.v},V=췍Vμ,其中μɪℂ,则称V 是U q(L(s l2))的权模.由U q(L(s l2))生成元间的定义关系,易得如下引理.引理3设V是U q(L(s l2))的权模,若vɪVμ,则由定义关系可得h k.vɪVμ,x+k.vɪVμ+2和x-k.vɪVμ-2.由文献[9]中定义3.1.3和命题3.1.7,通过同构易得如下命题.命题3对任意的μ,τɪℂ,nɪℕ,U q(s l2)在向量空间W(μ,τ)=s p a nℂ{vμ+2k,kɪℤ}上的作用K.vμ+2k=μq2k vμ+2k,x+0.vμ+2k=aμ+2k vμ+2k+2,x-0.vμ+2k=vμ+2k-2,定义了U q(s l2)的D e n s e模结构,其中aμ+2k=1(q-q-1)2(τ-(μq2k+1+μ-1q-2k-1)).当μʂq n,nɪℕ时,W(μ,τ)不可约.3U q(L(s l2))的D e n s e模由命题1可知,U q(s l2)的D e n s e模W是一个U q(L(s l2))模.由引理1可知,U q(L(s l2))由Kʃ1, hʃ1和xʃ0生成.因此只要再确定hʃ1在vμ+2k上的作用,即可确定U q(L(s l2))-模W的结构.因为W权空间均为1维,所以不妨设h1.vμ+2k=bμ+2k vμ+2k,h-1.vμ+2k=cμ+2k vμ+2k.定理2hʃ1作用的系数均可由bμ确定.证明:在式(1)中k分别取1和-1,并将等式两边分别作用在权向量vμ+2k上,得[2]q x+1.vμ+2k=aμ+2k(bμ+2k+2-bμ+2k)vμ+2k+2,[2]q x-1.vμ+2k=(bμ+2k-bμ+2k-2)vμ+2k-2,[2]q x+-1.vμ+2k=aμ+2k(cμ+2k+2-cμ+2k)vμ+2k+2,[2]q x--1.vμ+2k=(cμ+2k-cμ+2k-2)vμ+2k-2.在式(2)中k,l分别取-1和1,并将等式两边分别作用在权向量vμ+2k上,比较vμ+2k的系数,可得(bμ+2k-bμ+2k-2)(cμ+2k-cμ+2k-2)=(q+q-1)2.(4)类似地,在式(3)中k分别取0和-2,l取0,可得(bμ+2k+4-bμ+2k+2)=q2(bμ+2k+2-bμ+2k),(5)(cμ+2k+4-cμ+2k+2)=q-2(cμ+2k+2-cμ+2k).(6)在式(2)中k,l分别取0和1,再结合式(5),可得(aμ+2k-2-q2aμ+2k)(bμ+2k-bμ+2k-2)=[2]qμq2k bμ+2k.(7)在式(2)中k,l分别取0和1,再结合式(6),可得(aμ+2k-2-q-2aμ+2k)(cμ+2k-cμ+2k-2)=-[2]qμ-1q-2k cμ+2k.(8)由命题3,易见aμ+2k-2-q2aμ+2k-[2]qμq2k=aμ+2k-4-q2aμ+2k-2.结合式(7),即可得(a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2)b μ+2k =(a μ+4k -4-q 2a μ+4k -2)b μ.利用式(4),不难证明a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2ʂ0.由此可得b μ+2k =a μ+4k -4-q 2a μ+4k -2a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2b μ=1+q (q +q -1)μ(1-q 2k )(q -q -1)(a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2æèçöø÷)b μ.最后,结合式(4),(8),得c μ+2k =-(a μ+2k -2-q 2a μ+2k )(a μ+2k -2-q -2a μ+2k )b μ+2k .结论得证.注1 U q (L (s l2))的D e n s e 模由3个元素μ,τ,b μɪℂ且μʂq n,n ɪℕ确定,记为V (μ,τ,b μ).4 主要结果的证明设V 是U q (L (s l 2))的单权模,且存在V μ满足V μ=s p a n {w 0}.由于U q (L (s l2))的有限维单模㊁最高权单模和最低权单模均具有一维权空间,因此不妨设V 不属于上述三类.于是有d i m (V μ-2)>0和d i m (V μ+2)>0.引理4 存在u ɪV μ-2,使得x +0.u =w 0.证明:反证法.假设对任意u ɪV μ-2,都有x +0.u ʂw 0.因为d i m (V μ)=1,所以对任意u ɪV μ-2,有x +0.u =0.通过数学归纳法易证得对任意k ɪℤ,x +k .u =0.因此对任意0ʂu ɪV μ-2,都有w 0∉U q (L (s l 2)).u ʂ0,则U q (L (s l2)).u 是V 的一个真子模,与V 是单模矛盾.故假设不真,结论得证.由x +k .V μ-2⊆V μ,h m .V μ⊆V μ,K .V μ⊆V μ并结合d i m (V μ)=1,可得以下推论.推论1 对任意k ɪℤ,m ɪℤ-{0},都有x +k .u =a k w 0,x +0h m .u =b m w 0和x +0K .u =b 0w 0,其中a k ,b m ,b 0ɪℂ,u 满足引理4.为证w 1是K 和h k 的公共权向量,先证以下引理.引理5 对任意k ɪℤ,都有x +k .w 0=c k w 1,其中c k ɪℂ.证明:首先用数学归纳法对k ȡ0的情形进行证明.1)当k =0时,显然有x +0.w 0=w 1.2)当k =1时,x +1.w 0=x +1x +0.u =q 2x +0x +1.u =q 2a 1x +0.w 0=q 2a 1w 1=c 1w 1. 3)假设当0ɤn ɤk ,n ɪℤ时,均有x +n .w 0=c nw 1,则x +k +1.w 0=x +k +1x +0.u =(q 2x +0x +k +1+q 2x +k x +1-x +1x +k ).u .利用推论1,得x +k +1.w 0=q 2a k +1x +0.w 0+q 2a 1x +k .w 0-a k x +1.w 0,结合上述1),2)和假设条件,得x +k +1.w 0=c k +1w 1.同理可证k ɤ0时,也满足x +k .w 0=c kw 1.证毕.命题4 对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w 1=d k w 1,其中d k ɪℂ.证明:首先由定义关系,计算得h k .w 1=h k (x 0)2.u =[h k ,(x 0)2].u +(x 0)2h k .u =1k [2k ]q x +k .w 0+1k [2k ]q x +0x +k .u +x +0(x +0h k .u ).利用推论1,得h k .w 1=1k [2k ]q x +k .w 0+1k[2k ]q a k x +0.w 0+b k x +0.w 0.结合引理5,结论得证.952 第2期吴青云,等:量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模同理于上述结果,存在非零向量v ɪV μ+2满足w 0=x -0.v .取w -1=x -0.w 0=(x -0)2.v ʂ0.可得如下结论,证明略.命题5 1)对任意k ɪℤ,都有x -k .w 0=e k w -1,其中e k ɪℂ;2)对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w -1=f k w -1,其中f k ɪℂ.取w 2=x +0.w 1=(x +0)2.w 0ʂ0,用w 0替换引理5和命题4中的u ,即可得如下结论.引理6 1)对任意k ɪℤ,都有x +k .w 1=fk w 2,其中f k ɪℂ;2)对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w 2=gk w 2,其中g k ɪℂ.取w -2=x -0.w -1=(x -0)2.w 0ʂ0,用w 0替换命题5中的v ,即可得如下结论.引理7 1)对任意k ɪℤ,都有x -k .w -1=p k w -2,其中p k ɪℂ;2)对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w -2=qk w -2,其中q k ɪℂ.依此类推,可得以下命题.命题6 对任意k ɪℤ-{0},n ɪℤ,都有h k .w n =l k w n ,其中l k ɪℂ.下面证明定理1.设V 是U q (L (s l 2))的具有一个一维权空间的单权模.因为U q (L (s l2))的最高(低)权单模的最高(低)权空间是一维的,所以U q (L (s l2))的有限维单模㊁最高权单模或最低权单模都是具有一个一维权空间的单权模.不妨设V 不属于这三类中的任意一类.设V μ=s p a n ℂ{w 0},记w -n =(x -0)n .w 0,w n =(x +0)n .w 0,设W =s p a n ℂ{ ,w -2,w -1,w 0,w 1,w 2,}.显然有W ⊆V .下证W 是U q (L (s l 2))模.因为U q (L (s l2))可由K ʃ1,h ʃ1和x ʃ0生成,所以只需证W 在K ʃ1,h ʃ1和x ʃ0的作用下稳定即可.1)W 在K ʃ1的作用下稳定.显然有K .w k =μq 2k w k ,K -1.w k =μ-1q -2kw k .2)W 在h ʃ1的作用下稳定.由命题6可得h 1.w k =l 1w k ,h -1.w k =l -1w k .3)W 在x ʃ0的作用下稳定.在x +0的作用下,对w k (k ɪℕ+)已经满足稳定,故证w -k (k ɪℕ+)在x +0作用下稳定即可.①当k =1时,x +0.w -1=x +0x -0.w 0=[x +0,x -0].w 0+x -0x +0.w 0=[x +0,x -0].w 0+x -0.w 1,结合式(2)中k ,l 均取0的情况,计算得[x +0,x -0].w 0=μ-μ-1q -q-1w 0.由d i m (V μ)=1易得x -0.w 1=t w 0,t ɪℂ.因此x +0.w -1=μ-μ-1q -q-1+æèçöø÷t w 0.②假设当1ɤn ɤk 时,均有x +0.w -n =t nw -n +1,x +.w -k -1=x +0x -0.w -k =[x +0,x -0].w -k +x -0x +.w -k =μq -2k -μ-1q -2k q -q -1+t æèçöø÷k w -k ,因此通过数学归纳法可证w -k (k ɪℕ+)在x +0作用下稳定.同理,可证W 在x -0的作用下稳定.综上可知W 是U q (L (s l2))模,则W 是V 的子模.因为V 是单模,所以V =W =s p a n ℂ{ ,w -2,w -1,w 0,w 1,w 2,}.由假设知V 不是最高权单模或最低权单模.由上述证明可知,对任意的k ɪℤ,w k ʂ0.因此作为子代数U q (s l 2)的模,V 是D e n s e 单权模,故V ≅V (μ,τ,b μ).定理1得证.5 U q (L (s l2))一类权空间维数为2的权模下面构造U q (L (s l2))的一类权空间维数均为2的单权模U ,并给出模U 不可约的充分条件,从而说明定理1中的限定条件是不可缺的.设U =V (μ,τ,b μ)췍W 1(a ),其中μ,τɪℂ且μʂq n,n ɪℕ,则U 是U q (L (s l 2))权模,权空间为U μ+2k +1=s p a n {v μ+2k +2췍w 1,v μ+2k 췍w 0}.062 吉林大学学报(理学版) 第62卷引理8 设V 是U 的非零子模,若U μ+2k +1⊆V ,则V =U .证明:由U μ+2k +1⊆V ,V 是U 的非零子模,可得x +0U μ+2k +1,x -0U μ+2k +1⊆V ,x +0.(v μ+2k +2췍w 1)=x +0.v μ+2k +2췍K .w 1+v μ+2k +2췍x +0.w 1=a μ+2k +2q -1(v μ+2k +4췍w 1)+v μ+2k +2췍w 0,x +0.(v μ+2k 췍w 0)=x +0.v μ+2k 췍K .w 0+v μ+2k 췍x +0.w 0=a μ+2k q (v μ+2k +2췍w 0),x -0.(v μ+2k +2췍w 1)=x -0.v μ+2k +2췍w 1+K -1.v μ+2k +2췍x -0.w 1=v μ+2k 췍w 1,x -0.(v μ+2k 췍w 0)=x -0.v μ+2k 췍w 0+K -1.v μ+2k 췍x -0.w 0=v μ+2k -2췍w 0+q -μ-2k v μ+2k 췍w 1,由上述计算可得U μ+2k +3⊆V 和U μ+2k -1⊆V ,即U ⊆V .由V 是U 的非零子模,得V ⊆U .因此V =U ,证毕.定理3 若b μʂq -1a 2(a μ-2-q 2a μ)(τ-τ2-4),则U =V (μ,τ,b μ)췍W 1(a )不可约.证明:反证法.假设U 是可约的,则U 存在真子模V ,V 的权空间V μ+2k +1=V ɘU μ+2k +1.由引理8可得d i m (V μ+2k +1)ɤ1,且存在k ɪℤ,使得d i m (V μ+2k +1)=1.因此,不妨设k =0.设v =m v μ+2췍w 1+n v μ췍w 0ɪV μ+1,计算得h 1.v =(m (b μ+2-q a )-n (q 2-q -2)a a μ)v μ+2췍w 1+n (b μ+q -1a )v μ췍w0.由d i m (v μ+1)=1得m (b μ+2-b μ-q a -q -1a )=n (q 2-q -2)a a μ,(9)由定义简单计算得x -0.v =(m +n μ-1)(v μ췍w 1)+n v μ-2췍w 0,h 1.(x -0.v )=((m +n μ-1)(b μ-q a )-n (q 2-q -2)a a μ-2)v μ췍w 1+n (b μ-2+q -1a )v μ-2췍w 0.由d i m (v μ-1)ɤ1得(m +n μ-1)(b μ-b μ-2-q a -q -1a )=n (q 2-q -2)a a μ-2.(10)设b μ-b μ-2-q a -q -1a (q 2-q -2)a a μ-2=t ,则式(9),(10)可以分别改写为m (q 2a μ-2t +q )=n a μ, (m +n μ-1)t =n .利用消元法得a μq 2a μ-2t +q =1t -μ-1,通分化简得q 2a μ-2t 2+(q +μa μ-q 2μa μ-2)t -μq =0.利用求根公式,计算得t =μτʃμτ2-42q (q -q -1)a μ-2-1(q -q -1)a μ-2.再代回计算得b μ+2-b μ=q 2(q 2-q -2)a a μ-2t +q 2(q +q -1)a =q (q +q -1)a μ2(τʃτ2-4).结合式(7),易得b μ=q -1a 2(a μ-2-q 2a μ)(τ-τ2-4).与条件矛盾,故假设不真.结论得证.参考文献[1] J I M B O M.A q -D i f f e r e n c eA n a l o g u e o f U (g)a n d t h eY a n g -B a x t e r E 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多分量loop代数及其应用
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Ｌｅ代数 的分 次 ， 们 的 ｌｏ ｉ 它 ｏ ｐ代 数 的 构 造 方 法 有 多 种 ． 本文 构造 了其 中 的一 类 ｌ ｐ代 数 ． 为第 一 个 ｌｏ 代 数 应 用 ， ｏ ｏ 作 ｏｐ 得
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科技文献检索 布尔代数
科技文献检索布尔代数布尔代数是一种逻辑代数，其在计算机科学、电子工程、数学、哲学等领域都有广泛应用。
它是由英国数学家乔治·布尔于1854年提出的，被广泛应用于设计和优化数字电路和计算机算法。
布尔代数的基本概念是二元关系和逻辑运算，它主要包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种基本逻辑运算。
在计算机科学中，布尔代数是计算机执行逻辑运算的基础。
当我们在计算机中执行任何操作时，计算机中的逻辑门会根据布尔代数的规则对输入信号进行处理。
例如，在程序中使用逻辑判断语句时，计算机会根据布尔代数的规则判断结果是否为真或假。
这种用逻辑运算描述和计算的方法有助于计算机执行精确、快速的处理。
在电子工程中，布尔代数是无限电路和计算机芯片设计中的基础。
布尔代数通过将数字信号和逻辑运算转换为布尔代数式，使电路设计者能够轻松设计和分析逻辑门电路，从而实现复杂电路的设计与分析。
在数学领域中，布尔代数是一种抽象代数系统，可用于解决数学中的逻辑问题。
通过对布尔代数的研究，数学家们能够应用它解决现实中的一系列逻辑问题。
例如，在密码学中，布尔代数可以帮助破解密码和解决加密通信问题。
在哲学领域中，布尔代数被用于逻辑学，帮助识别和分析逻辑命题和推理方式。
布尔代数通过标准化逻辑运算和语言，使得逻辑论证更加精确，更能够找出逻辑错误和漏洞。
总之，布尔代数作为一种强大的逻辑工具，为现代科技发展作出了重要贡献。
它在计算机科学、电子工程、数学、哲学等领域都有广泛应用，成功地解决了许多现实世界中的问题，具有重要的指导意义。
Operad以及相关代数的研究
Operad以及相关代数的研究1. "Operad 与模量空间的联系"Operad 是一种代数结构，其主要用途是描述一些结构对称性。
而在拓扑学中，模量空间是一种广泛应用的概念。
本文旨在探讨 Operad 与模量空间之间的联系，并从代数角度出发加深对模量空间的理解。
首先，我们介绍 Operad 的基本概念。
一个 Operad 由一族符号构成，每个符号都有一个输入和一个输出的元素，它们满足一些代数公理。
Operad 中的元素表示由这些符号构成的“合成”操作，它们可以构成一个类似于结构化花式组合的形式。
而在拓扑学中，模量空间就是用来描述同构类（或等价类）的基本对象。
通过 Operad 的结构对称性，我们可以将模量空间上的等价类描述为代数中的等价关系，而 Operad 的元素则对应于模量空间上的结构。
接下来，我们讨论 Operad 与模量空间的具体联系。
在模量空间中，每个同构类可以表示为一个集合，其中每个元素都代表着一个不同的等价类。
这些等价类之间的关系与 Operad 中的元素关系非常类似，我们可以利用代数的方法来描述它们。
此外，模量空间还有一个关键的性质，即所谓的“可切割性”，也就是说模量空间可以被切割成许多小段，每个小段都具有一定的代数结构。
而Operad 中的合成操作也具有类似的可切割性，这意味着我们可以在代数层面上理解模量空间的结构。
最后，我们探讨 Operad 在模量空间中的应用。
通过对 Operad的研究，我们可以更加深入地理解模量空间中的基本结构，并进一步探究其中的代数关系。
在实际的应用中，例如在拓扑学和几何学中，我们经常需要对结构进行分析和比较，而使用Operad 可以提供更多的代数工具和思路。
总之，本文的研究成果为深入理解模量空间结构提供了一个新的角度，同时也为Operad 的应用提供了更广阔的发展空间。
总结：Operad 是一种描述结构对称性的代数结构，而模量空间则是描述同构类的拓扑概念。
环论中的非交换环与代数编码理论
环论中的非交换环与代数编码理论在环论中，非交换环是一种特殊的环结构，其元素的乘法运算不满足交换律。
与交换环相比，非交换环的性质更加复杂且具有更广泛的应用。
代数编码理论是应用代数结构研究编码的理论，通过非交换环的相关性质和编码技术，实现了信息传输的高效率和可靠性。
一、非交换环的基本概念和性质非交换环是指其乘法运算不满足交换律的环结构。
设R为一个非交换环，其乘法运算满足结合律，但对于任意a、b ∈ R，ab ≠ ba。
在非交换环中，乘法运算的顺序对于元素的结果具有重要的影响。
非交换环的性质与交换环有很大的不同。
例如，在非交换环中，元素的左乘和右乘可以产生不同的结果，这给环论的研究带来了挑战。
此外，非交换环的单位元也可以有多个，进一步增加了环结构的复杂性。
二、代数编码理论的基本原理代数编码理论是应用代数结构研究编码的理论，通过利用非交换环的特性，设计出一套高效的编码方法。
在代数编码理论中，常用的非交换环包括矩阵环、群环等。
代数编码理论的基本原理是利用非交换环的性质，将信息进行编码和解码。
编码过程中，将信息转化为非交换环中的元素，通过非交换环的运算操作实现对信息的编码。
解码过程中，利用非交换环的逆元操作，将编码后的信息还原为原始信息。
三、非交换环与编码的应用1. 纠错编码纠错编码是一种在数据传输过程中具有纠正错误能力的编码方式。
非交换环的结构可以为纠错编码的设计提供更多的选择，增强了纠错编码的性能。
2. 数据压缩利用非交换环的特性，可以对数据进行压缩，减小数据的存储和传输成本。
非交换环的结构能够提供更多的编码方式，实现对数据冗余的压缩处理。
3. 密码学在密码学中，非交换环可用于设计密钥系统和签名算法。
非交换环的特殊性质能够实现信息的加密和解密过程，保障信息的安全性。
四、非交换环与代数编码理论的发展非交换环与代数编码理论作为环论和代数结构的重要研究领域，近年来得到了广泛的关注和研究。
随着对非交换环性质的深入理解和对代数编码理论应用的探索，相关领域的发展前景十分广阔。
同调代数经典教材
同调代数经典教材
同调代数是一种用于研究拓扑空间和代数结构的工具，其经典教材包括：
《交换代数与同调代数》（第2版），作者：李克正。
这本书是中国科技大学研究生院的李克正教授的著名近世代数著作，阐述了交换代数和同调代数的基本内容。
《同调代数教程》（第2版）（英文版），作者：不详。
该书可能由魏博所著，作为同调代数的经典教程，提供了丰富的习题和例题，以帮助读者深入理解同调代数的概念和技巧。
《同调代数的方法》，作者：嫲旎&盖尔芳德。
这本书是另一本经典的同调代数教材，重点介绍了同调代数的应用和计算方法，同时也强调了同调代数在代数拓扑和代数几何等领域的应用。
此外，还有许多其他的同调代数教材，如《Hatcher's Algebraic Topology》、《Munkres's Topology》、《Bredon's Topology and Geometry》等。
这些教材各有特色，读者可以根据自己的需要和兴趣选择适合自己的教材。
Loop代数的对称自对偶结构
Loop代数的对称自对偶结构摘要：本文主要围绕Loop代数上的非退化对称不变双线性型进行研究，构造了对称自对偶Loop代数并确定了一类对称自对偶Loop代数的极大可解对称自对偶子代数.关键词：李代数；Loop代数；双线性型*基金项目：国家自然科学基金（批注号：11472144）作者简介：于瑛峰，男，硕士研究生，主要研究方向：李代数和表示论理论。
1，引言李代数是挪威数学家索菲斯?李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群密切相关，人们称其为李理论。
随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学的地位不断上升，自二十世纪以来，李理论已经成为当代数学中不可或缺的重要分支之一。
对称自对偶性质是指李代数具有一个非退化对称不变双线性型。
半单李代数具有对称自对偶性质，其分类早在1890年就被Killing和Cartan解决。
我们知道Killing型在半单李代数的研究中起着至关重要的作用，Killing型非退化的仅有半单李代数，这是一个局限，于是，人们更加关注带有非退化对称不变双线性型的李代数。
Loop代数是经李代数扩张得到的一类李代数。
它是否具有非退化对称不变双线性型是本文重点关注的。
参考文献[1] Karin Erdmann and Mark J. Wildon.Introduction to Lie Algebras[M].New York: Spring-Verlag,2006.[2] James E. Humphreys introduction to Lie Algebras and RepresentationTheory[M].New York:Spring-Verlag,2011.[3]万哲先，Kac-Moody代数引论[M].第三版.北京：科学出版社，1993.[4]卢才辉.带有非退化不变对称双线性型的有限维可解李代数[J].数学学报.1992,35(1):121-132.[5]孟道骥.复半单李代数引论[M].北京大学出版社.1998.1．[6]白喜梅,刘文丽,张知学.辛李代数的不变双线性型[J].数学的实践与认知.2009(05):174-179.[7]白瑞蒲,贾培佩.紧n-Lie代数与不变双线性型[J].数学物理学报.2007(06):1074-1081.。
环上的代数
环上的代数
环上的代数是一门研究环上数学对象的学科，最常用的数学对象是环上群和环上环。
它通常被认为是组合代数和代数几何的结合。
环上的代数在很多领域中都被用来解决问题，并且可以用于研究数学模型和计算机科学程序。
环上的代数的历史可以追溯到古希腊时期，那时人们开始研究不同的图形和结构问题。
17世纪，环上的代数被提出，并在数学体系
中拥有一席之地，20世纪早期，它作为一门学科受到越来越多的重视。
环上的代数的基本概念是环上的数学结构。
环上的数学结构是指一个数学空间里的一类数学元素以及它们之间的交互作用。
它可以归结为半群，群，环等抽象概念。
它通过研究环上变量能够构建出环上的结构或环上的抽象结构，它由一组元素和一组特定的运算规则组成，并使用类似线性代数的技术来描述，推理和建模数学模型。
环上的代数的应用在各个领域越来越广泛，从解决基本的线性代数问题到解决复杂的计算机科学问题都有所作用。
它可以用来解决线性代数问题，如求解行列式，线性系统，矩阵运算等。
在计算机科学中，环上的代数也有广泛的应用，它可以用于计算机网络安全，信息论，代码理论，图论等。
在生物学领域，环上的代数也可以用来描述生物分子的结构，建模和预测环境中的分子反应。
环上的代数已经成为一个非常活跃的研究领域，它的尖端应用已经发展到建模复杂的金融数据，提高计算机的安全性，建模生物学系
统等。
它的应用范围将不断扩大，未来还将切实地改变我们的生活。
Loop代数
Loop代数_2的一个新子代数及其有关的一族新的可积系王聪华;张玉峰
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(38)3
【摘要】构造了Loop代数A^2的一个新的子代数,由此设计了一个等谱问题,利用屠格式获得一类新的Liouville可积系,且具有双Hamilton结构.作为其约化,得到了一族非线性广义Schrodinger方程.
【总页数】4页(P9-12)
【关键词】Loop代数;可积系;Hamilton结构
【作者】王聪华;张玉峰
【作者单位】西藏民族学院信息工程学院;山东科技大学信息科学与工程学院【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.FI代数同构于一族全序FI代数的直积的子代数的条件 [J], 刘练珍;李开泰
2.一个新的loop代数及相应的一族可积系 [J], 赵晶;张玉峰
3.Loop代数(A2)的一个新子代数及其有关的一族新的可积系 [J], 王聪华;张玉峰
4.Loop代数A2的一个子代数与一族新的可积双Hamilton结构 [J], 龚新波;张玉峰
5.Loop代数_1的子代数与可积Hamilton方程族 [J], 郭福奎
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04 环
有意义且有性质：
b d bc ad . a c ac
① 若 a 0, c 0, 则 ③ 证明: ② ③ ④
b d bd a c ac
；④
b d ad bc ；② a c b bc a . d ad c
①
b d a 1b c 1 d aca 1b acc 1 d ad cb a c
63
64
定义. 设 S R, , .如果 S 满足 (1) (2)
a, b S
, a b S (或
a bS
， a S )， S, 是 R, 的子群.
a, b S , a b S ， S, 对乘法封闭.
则称 S 是 R 的子环（ R 是 S 的扩环）.
71
在群论中
定理a ：设G， G ， 都带有一种代数运算，且 也是 G ~ G , 若G为群则 G 一个群.
在环论中
定理1：设 R 与 R 都带有加 法和乘法两种运算,且 R ~ R， 若 R 是环，则 R 也是环。
定理b ：设 G ， G 为两个群， 若 G ，则有： ~G （1）G 的单位元的同态象是 G 的单位元； （2）G 的元 a 的逆元的同态 象是 a 的同态象的逆元。
定义4：设R ， R为环（除环， 整环，域）, 称R的子集S为R的子 环（子除环，子整环，子域），若 S对于R的代数运算来说也作成一个 环（除环，整环，域） 。记作： SR （S是R的子环时）。
S R
a , b S a b S . a, b S ab S (对乘法封闭）
还满足a b b a是交换群。
3
加群及符号的转换
heyting代数
在数学中，Heyting代数是构成对布尔代数的推广的特殊的偏序集。
Heyting代数为直觉逻辑而提出，它是在其中排中律一般不成立的逻辑。
完全Heyting代数是无点拓扑学研究的中心对象。
海廷代数在数学中，Heyting代数是构成对布尔代数的推广的特殊的偏序集。
Heyting 代数为直觉逻辑而提出，它是在其中排中律一般不成立的逻辑。
完全Heyting代数是无点拓扑学研究的中心对象。
滤子Heyting代数是作为直觉主义命题逻辑的代数模型而引进的，使得逻辑排中律一般不再成立，Heyting代数可以被看作是Lindenbaum代数的推广。
从逻辑的角度讲，Heyting代数是通常的二值逻辑系统的一种基本的推广，通常的二值逻辑系统是Heyting代数的一个最简单的例子，这种代数只有两个元素：“真”和“假”。
在数学方面，Heyting代数是一个Boole代数一般化的偏序集，完备Heyting代数（即Frame）是研究无点化拓扑的中心主体。
下面介绍本文的结构和主要内容：第一章研究了Heyting代数中的各种滤子。
首先回顾了Heyting代数的定义和有关性质，以及它与Boole代数的关系；其次，研究了Heyting代数中滤子的性质，给出了Heyting代数的滤子格的具体结构以及由子集生成的滤子的结构；最后定义了Heyting代数的一些特殊滤子，如极大滤子，次极大滤子，强滤子，素滤子等。
对它们之间能够成立的蕴含关系给出了证明，对于不成立的蕴涵关系分别给出了反例予以说明。
此外特别研究了次极大滤子的性质，以次极大滤子为桥梁证明了Heyting代数的滤子格是素元生成的Frame，即空间式Frame。
第二章研究了由滤子生成的同余关系，以及Heyting代数同态和同构定理。
首先，在Heyting代数中定义了关于滤子的一个等价关系，并证明它是同余关系，以及Heyting代数关于这个同余关系的商仍然是Heyting代数，并证明Heyting代数的滤子与Heyting代数上的同余关系一一对应。
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ｄ ６， ． ¨２ｎ ． ｎ）＝ ６ ｏ ， 于ｎ 李代数的构造方法方面的研究还很少， 一 本文研究从 与 ａ （Ｉｏ ， ＿［ － ａ］
一
李代数的方法 ， 用到的基本概念和基本结论如下
．
∑ （ １ ｉ （ ， ， ） （ ‘ ，） 一 ） ａ ａ ａ ａ ａ ｂ ～ ａ ￣ ｄ 一 一 ｄ 。 ｂ．ｉ
数， 导子李代数 即内 ． 从等式（．） １３ 知 ， １２ 和（ ．）
【ｄ ｎ， ｎ一）ａ （ Ｉ‘， 一］ ａ （ Ｉ…， Ｉ ， ６， ‘ １ ｄ ・６
［ 收稿 日期］０ ６—１ ２ ２０ １— ４
设Ａ 变 ：—Ａ 对 意的 （ ＝∑ ｂ ∈ ， 的 换ｄ Ａ ， 任 ｇ￡ ） ｉ Ａ ｔ
自从 １８ 年 Ｆｌｐｖ ９５ ｉｐｏ在文献［］ 得到了许多结果 ， 但关
个已知的 ｎ 李代数 Ｌ 一 去构造一个新的与 Ｌ 不同构的 ｎ
一
∑ｎｂ ， ，， （） ， （４ ｄ 一 …ｎ ６， ６ （ ｎ ） … ） １） ．
一 这里 － ∈ ， 丁 ） － ６∈Ｓ，（ 分别等于０ ｌ当 是 ｎ 李代数． ， 或 ，
定义 １ 对任意 ∈ ，：ｌ…，， ． ２ ｉ ， ｎ 线性变换
ａ （ 一 ｄ ， ） ： ，
称为 Ｌ的中心 ， ｚ Ｌ 是 Ｌ的理想． 显然 （ ）
２ 主要结论
ａ （Ｉ…， ） ）＝［ ， ］， ｄ ， 一 （ ，Ｉ Ｉ…，
称为由元素 一 ． 所决定的Ｌ的左乘算子． ， ∈Ｌ 定义 １ ｎ 李代数 Ｌ的导子 Ｄ是 Ｌ到自身的线性 ． ３ 一 变换 ， 且满足条件 ： 对任意
Ｄ（［ ．， －
设 为域 Ｆ 上二元多项式， 即
ｄ （） （ ￡ ＝∑ ｉ ｇ） ｂ ｉ ｔ
则 ｄ Ａ的一个导子， 是 且对任意Ａ中的元素，￡ ， （） 易证
∑ ［Ｉ 一ｂＯｘ ， ， ］＝ ａ ， （）…ａ ｌ ａ ｎ
对任意Ａ的元素厂ｔ 具有形式 （）
］＝ ）
由等式（．） １２ 左乘算子及其线性组合是导子， 称其为 内导子， Ｌ的所有导子生成 ｇ Ｌ 的子代数， ｌ ） （ 称为 Ｌ的导子
ｆ ＝∑ａ ） ｉ ｔ
Ｌｕ ｎ 多项式代数． ａｒ ｔ ｅ
代数， Ｄ ｒＬ ， Ｌ Ｌ 为所有左乘算子生成的子代 这里 Ｉ 是任意整数 ， ，＝７ ＋ ， 七通常称 Ａ为 记为 ｅ（ ）记 （ ） ， ｋ ａ ∈Ｆｉ ， １…， ７ ．
【【 ， ， １Ｙ ， ， ， Ｉ … ，２ … ｙ Ｊ
０１ 生成的子代数， 这里ｎ ∈Ｌ，＝ｌ…，． ｉ ， ｎ
定义 １４ Ｉ 李代数的理想 Ｉ Ｌ的一个子空间， ． Ｉ 一 是 且
满足 ［，， ，特别， ［，， …，］ ， …，］ ． Ｌ 若 ， ， Ｌ ＝０， Ｉ ， 称 为 Ｌ的Ａｅ理想， ｎ一 ｂｌ 若 代数 Ｌ是非 Ａｅ的ｎ 李代数 ， ｎ ｂｌ 一 且
李春香 刘晓俊 ，
０ ｌＯ ；． ７ Ｏ ２ ２ 保定金 融高等专科学校 ， 河北保定 ０ １０ ） ７０ ２
（． １河北大学 ， 河北保定
摘 要： 对给 出的一 个李代数构造 了一类 Ｌｏ —Ｌｅ ｏｐｎ ｉ代数 ， 并从 ｎ ｉ —Ｌｅ代数的导子代数 出发 ， 构造 了 Ｌ ｏ ｏｐｎ—Ｌｅ代 ｉ
Ａ ＝ Ｆ［
．
ｖ ］
（．） ２１
－ ∈Ｌ － ，
［ ．ｏ ｘ）…， － （ ， １ ， ，
（．） １３
则 是域 Ｆ 上的一个交换的结合代数， ７ 记 为Ａ的由元素 ｘ — 生成的理想， ｙ ｌ 记Ａ关于理想 ７ 的商代数为Ａ＝ ／ ， ｈ？以 ｔ 表示 ｘ Ｙ 自 和ｔ 和 在 然映射下的像， 所以代数 Ａ的元素 是下列元素ｔ的任意有限线性组合， ｋ 这里 是任意整数 ， 即
∑ 【Ｉｏ［ ）， ｙ］ｏ 】 ，ｏ ， …， ， ， ｏ， ２ ｏ ．
偶排列或奇排列时．
（２ １） ．
一
李代数 Ｌ 不含有异于 Ｌ的非零理想， Ｌ 则称 是一个单的
定义 １５ Ｚ ）＝ ｛ ∈Ｌ ［ ，， ，］ ｝ ． （ ， （ … ＝０ （ ．） １６
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第 ２ 第 ２期 ２卷
２０ ０ ７年 ６月
邢 台 学 院 学 报
ＪＵ Ｎ Ｌ ＦＸＮ Ｔ Ｉ ＮＶ Ｒ Ｉ Ｏ Ｒ Ａ ＩＧ Ａ ＩＥ Ｓ Ｙ Ｏ Ｕ Ｔ
Ｖｏ ． ２． ． Ｉ２ Ｎｏ ２
Ｊｎ ． ０ ７ ｕ ｅ ２ ０
一
类 Ｌｏ ｏｐ代 数 的研 究
［ 作者简介］ 李春香（９５一）女， １６ ， 河北怀安县人， 邢台电大副教授， 在职研究生 主要从事计算机、 应用数学的教学与研究．ｍ ｉ ｘ ｄ ｘ ６．ｏ Ｅ ａ ：ｔ ｌ ＠１ ｅｍ ｌ ｄｅ ３
・
８８ ・
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李春 香 。 晓 俊 ： 类 Ｌｏ 刘 一 ｏ ｐ代 数 的研 究
数 的 两 个 导 子代 数 ．
关键词 ： ｎ一李代数 ；ｏｐ Ｌｏ 代数 ； 导子代数 ；ａ ｒｎ 多项式代数 Ｌｕｅ ｔ
中图 分 类号 ： １２５ Ｏ ５ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２ ４ ５ （０ ７ ０ ０ ８ ０ １７ ～ ６ ８ ２０ ）２— ０ ８— ２
（． ） １５
１ 基本概念
定义１１ ｎ 李代数 Ｌ是域 Ｆ ． 一 上的具有 ｎ 元运算 一
对 Ａ的子空间 Ｌ 一 ， ［ － ］ ， 记 Ｌ － 为所有元素 ，
【 一 。
，
［…，的线性空间， ， ］ 且满足下列恒等式：
［ ， ］ 一１ ‘ ［ （ ， （ 】 （． ） Ｉ…， ＝（ ） Ｉ …， １１ ） ）