2017届银川九中高三上学期第四次月考理科数学试题及答案 精品

银川九中2017届高三上学期第四次月考试题数学（理）第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R ，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A ，函数y=22+x 的值域为集合B ，则A ∩(C U B)= （ ）A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)2.已知复数1z i =-，则122--z z z =（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．已知平面向量(12)=，a ，(2)m =-，b ，且∥a b ，则23+=a b （ ） A ．(510)--，B ． (24)--，C ．(36)--，D ．(48)--，4. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，162=，||||-=+,则=||（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．已知数列{}n a 是等差数列，且π2741=++a a a ，则)tan(53a a +的值为（ ） A ．3B ．3-C ．33D ．33-6．若α是锐角，且cos （πα+）=﹣，则sin α的值等于（ ）7. 设>0,>0.a b 3a与3b的等比中项，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．148.在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于（ ）A. 1B.2 C ．3 D ．09.函数2()sin cos f x x x x =在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是（ ）A ．1 B．12+C ．32D．111已知数列{}{}n n b a ,满足11=a 且1,+n n a a 是函数n n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，则10b 等于（ ）A ．24B ．32C ．48D ．6412．若函数()xxf x ka a-=-（a >0且1a ≠）在（,-∞+∞）上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知正项等比数列{na }的前n 项和为S n，且8,23221==a a a a ，则S10= __________14.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=__________15. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边,若222sin A sin C sin B AsinC +-=，则角B 为16．已知()f x 为R 上的偶函数，对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+且当[]12,0,3x x ∈，12x x ≠ 时，有1212()()0f x f x x x ->-成立，给出四个命题：①(3)0f = ② 直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴③ 函数()y f x =在[]9,6--上为增函数 ④ 函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点其中所有正确命题的序号为___________三．解答题（本大题共6小题，共70分．必须写出相应的文字说明、过程或步骤）17（本题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）已知向量1(sin ,1),,)2a xb x =-=- ,函数()()2f x a b a =+⋅- ．（1）求函数()f x 的最小正周期;（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,4a c ==且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S ．19. (本小题满分12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当 年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. (本小题满分12分)已知{}n a 是正数组成的数列，11a =，且点1)()n a n +∈*N 在函数21y x =+的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，12n a n n b b +=+，求证：221n n n b b b ++⋅<．21. (本小题满分12分)已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在 区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图,已知PE 切⊙O 于点E ,割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点, ∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D .求证:(Ⅰ)CEDE =;(Ⅱ)CA PECE PB=.23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设a ，b 是非负实数，求证：3322)a b a b ++．参考答案：13．1023 14．31 15．6π16. ①②④ 三．解答题17(本题满分12分） 解：1）设{}n a 的公差为d .因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d .故()3313n a n n =+-= ，13-=n n b. （2）由（1）可知，()332n n n S +=， 所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭. 故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (18)19.解：（Ⅰ）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得： 当800<<x 时，2501031)100005.0()(2---⨯=x x x x L 25040312-+-=x x .………………………………2分当80≥x 时，25014501000051)100005.0()(-+--⨯=xx x x L =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 100001200.………………………………………………4分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<<-+-=).80(100001200),800(2504031)(2x x x x x x x L …………6分（Ⅱ）当800<<x 时，.950)60(31)(2+--=x x L此时，当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L 万元. ………………8分当80≥x 时，100020012001000021200100001200)(=-=⋅-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-=xx x x x L此时，当xx 10000=时，即100=x 时)(x L 取得最大值1000万元.………………11分 1000950<所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. ………………………………………………………………………………………………12分 20.解法一：（Ⅰ）由已知得11n n a a +=+，即11n n a a +-=，又11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列． 故1(1)1n a n n =+-⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a n =从而12n n n b b +-=，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…122221n n --=++++…122112n n -==--．因为221221(21)(21)(21)nn n n n n b b b ++++⋅-=---- 222221(2221)(2221)n n n n n ++++=--+--+5242n n =-⋅+⋅ 20n =-<，所以221n n n b b b ++⋅<．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为11b =，21221111(2)(2)n n n n n n n n b b b b b b ++++++-=-+-11112222n n n n n n b b ++++=-- 112(2)n n n b ++=- 12(22)n n n n b +=+- 2(2)n n n b =-=…12(2)n b =-20n =-<，所以221n n n b b b ++< ．21、解 （1）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞， 且 1()f x a x'=-， …………2分 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； ……6分（2）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++- 2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩ (9)由题意知：对任意22[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，21515,a m a a a-∴<=-因为[1,2]a ∈ 192m ∴<-对任意[]2,1∈a ，()063263/>++=a m g 恒成立∴a a m 23263266--=-->∵[]2,1∈a ∴332->m 321932m ∴-<<-………………………………12分.22. (Ⅰ)证明:PE 切⊙O 于点E ,A BEP ∴∠=∠PC 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴=(Ⅱ)证明:,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠ ,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆,PE PCPB PD∴=同理PD E ∆∽PCA ∆,PC CAPD DE∴=PE CA PB DE ∴= ,CA PEDE CE CE PB=∴=23解：（Ⅰ）由πcos 13ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得1cos 12ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．从而C 的直角坐标方程为112x y =，即2x =． 0θ=时，2ρ=，所以(20)M ，．π2θ=时，ρ=π2N ⎫⎪⎪⎝⎭，．（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0），N 点的直角坐标为0⎛ ⎝⎭．所以P 点的直角坐标为1⎛ ⎝⎭，则P 点的极坐标为π6⎫⎪⎪⎝⎭，． 所以直线OP 的极坐标方程为π()6θρ=∈-∞+∞，，． 24．解:证明：由a ，b 是非负实数，作差得3322)a b a b a b ++=+ 55]=-当a b ≥时，，从而55≥，得55]0-≥；当a b <<55<，得55]0->；所以3322)a b a b ++．。