压缩数列

第26讲:压缩数列 217

第26讲:压缩数列

压缩映射(函数)是高等数学中的重要函数,它在数学分析、微分方程、积分方程、代数方程的研究中都有重要作用. 压缩函数定义:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1 -x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,λ叫做压缩系数.

判定定理:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x ∈[a,b],|f '(x)|≤k<1,则f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max .

证明:由拉格朗日中值定理:∀x 1,x 2∈[a,b],x 1≠x 2,∃ξ∈[a,b],使得:

2

121)

()(x x x f x f --=f '(ξ)⇒|f(x 1)-f(x 2)|=

|f '(ξ)||x 1-x 2|<|x 1-x 2|⇒f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max . 性质定理:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,则f(x)=x 有且只有一个解.

证明:存在性:构造函数g(x)=f(x)-x,由|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|⇒|f(a)-f(b)|g(b)⇒g(a)≥0,g(b)≤0,由连续函数的介值性定理知必存在一点x 0∈[a,b]满足g(x 0)=0,即f(x 0)=x 0;

唯一性:假设存在两点x 1,x 2满足:f(x 1)=x 2,f(x 2)=x 2,则由已知条件有|x 1-x 2|=|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|<|x 1-x 2|,矛盾. 压缩函数可以用于迭代求方程的根、研究数列的极限等.证明数列的极限存在,常采用两种方法:①利用单调有界原理; ②利用压缩函数原理.

压缩数列定义:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,数列{x n }满足:初始值x 1∈[a,b],x n+1=f(x n )(n ∈N +),则称数列{x n }是压缩数列.

性质定理:如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1

|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤

λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 1

1||<λ-11

|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1

|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤

λ

λ-1n

|x 1-x 0|. 证明:①由|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤λ|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤λn-1

|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+ (x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤λ

n+k-2

|x 2-x 1|+λ

n+k-3

|x 2-x 1|+…+λn-1|x 2-x 1|=λn-1|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2

)<

λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 1

1||<|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λ-11|x 2-x 1|;④由|x n -x 0|=|f(x n-1)-f(x 0)|≤λ|x n-1-x 0|⇒|x n -x 0|≤λn-1

|x 1-x 0|;⑤由|x n+k -x n |≤

λ

λ--11n |x 2-x 1|⇒|x n+k -x n |≤λλ-1n |x 1-x 0|,令k →+∞,则x n+k →x 0⇒|x n -x 0|≤λλ-1n

|x 1-x 0|;

例1:压缩数列的初始例子.

[始源问题]:(2006年广东高考试题)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数f(x)组成的集合:①对任意的x ∈[1,2],

都有f(2x)∈(1,2);②存在常数L(0

(Ⅱ)设f(x)∈A,如果存在x 0∈(1,2),使得x 0=f(2x 0),那么这样的x 0是唯一的;

(Ⅲ)设f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),令x n+1=f(2x n ),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|x k+p -x k |≤

L

L k --11

|x 2-x 1|. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=31x +⇒f(2x)=321x +,x ∈[1,2]⇒f(2x)∈[f(2),f(4)]=[33,35]⊂(1,2);当x 1≠x 2时,

|||)2()2(|2121x x x f x f --=|||

2121|223231x x x x -+-+=2323231231)21(2121)21(2x x x x +++⋅+++<23)

3(32<1⇒f(x)∈A; (Ⅱ)反证:假设存在x 1,x 2∈(1,2),x 1≠x 2,使得x 1=f(2x 1),x 2=f(2x 2),则|x 1-x 2|=|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒L ≥1,矛盾.故结论成立;

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(Ⅲ)由f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),x n+1=f(2x n )⇒|x n+1-x n |=|f(2x n )-f(2x n-1)|≤L|x n -x n-1|⇒|x n -x n-1|≤L n-2

|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |= |(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+…+(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤L k-1

|x 2-x 1|(1+L+…+L p-1

)<

L

L k --11

|x 2-x 1|. 本题是2006年广东高考数学压轴题,高考数学压轴题,总给人一种望而生畏的感觉.很多考生一看这个题目,就被它“复杂”的形式吓倒了,望而却步,乖乖缴“械”;而不少考生压根儿就没去看这道题.本题满分12分,全省仅有3人获得满分,10分以上也才区区几十号人,平均分只有分,得分率(难度)为.

[原创问题]:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,

则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数.给出函数f(x)=3

21+x .

(Ⅰ)求证:f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;

(Ⅱ)数列{x n }满足:x 1=3,x n+1=f(x n ),求证:|x k+p -x k |≤(

2

1)k+1

. [解析]:(Ⅰ)当x 1≠x 2时,|||)()(|2121x x x f x f --

=|||11|2232

2321x x x x -+-+=2322322321232121)1(11)1(|

|+++⋅++++x x x x x x <23)

2(34<1⇒∀x 1,x 2

∈[1,2],|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,其中,λ=

2

3

)2(34<1⇒f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;

(Ⅱ)由f(x)=3

2

1+x ⇒f '(x)=

3

)

1(23

2

2

-

+x x >0⇒f ''(x)=92(x 2+1)35

-(3-x 2

)⇒0

2

1⇒|f(x 1)-