数理统计07第七讲 假设检验

ˆ x,
n 1 2 2 ˆ ( xi x ) n i 1
当 0 已知时， 2 极大似然估计为
n 1 2 ˆ0 ( xi 0 ) 2 n i 1
所以似然比为
1 n 1 2 ( xi x ) exp 2 ˆ i 1 2 ˆ 2 ( x) n 1 1 n 2 exp ( xi 0 ) 2 2 ˆ 0 i 1 ˆ0 2
具体检验过程如下： （1） 将 ( ,) 分成 k 个互不相交的区间 (ai , ai 1 ], i 1, , k , 其中 a1 , a k 1可分别 取 ,.
（2）计算概率
pi F0 (ai 1 ) F0 (ai ) P{ai X ai 1 }
且 ( x ) 是 F 单调增函数，因此由
P{ ( x) c | H 0成立} P{F c1 | H 0成立}
可得临界值为 c1 F1 (1, n 1) 这样检验统计量也可以为 2 ( x 0 ) F 2 S n 拒绝域为 W {F : F F1 (1, n 1)}
E ( ( x )) P { x W } ( 1 )
尽可能大的检验函数。
对给定的 [0,1]，若检验 ( x )对所有的 0，满足E ( ( x )) , 则称 ( x )是一个水 平( Level)为 的检验。 根据这个定义， 水平不唯一。若 ( x )是水平 ( x) 为 的检验， 则对任何满足 1的 ， 也是水平为 的检验。称 sup{ E ( ( x )), 0 } 为检验 ( x ) 的大小(Size)或真实水平。 实用上当提到一个检验的水平时，一般是 指它的真实水平。
错误，其概率为
( ) P { x W } 1 P { x W }, 1 .
定义8.1 一个检验的势(Power)定义为当 H 0不 即 正确时拒绝 H 0的概率， ( ) P { x W } 1 ( ), 1 . 而第一类错误和势可以看成函数 g( ) P { x W } E ( ( x )), 的不同取值，这个函数称为势函数。
2 2 1
2 1
(k 1)。
(k 1) ，则拒绝
(k 1) ，则接受
H0;
H0 .
若
2
四、 似然比检验
设 x1 , x2 , , xn 是来自密度函数（或分布率） 为 p( x, ) ( ) 的总体的简单样本，考虑检验 问题：
H0 : 0 , H1 : 1 (1 0 )
假设，其中 是 的非空真子集。
在一个假设检验中，常涉及两个假设。所
要检验的假设称为原假设或零假设， 记为H 0 。
而与 H 0 不相容的假设，称为备择假设或对立 假设，记为 H 1 。 对参数统计模型 { P , }而
言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体 H 0： 0，H 1： 1 称为假设检验问题。
( x )。在随机化检验时，有了样本 x 后，计算 ( x ), 依 ( x )为成功概率做Minomial 试验， 若 否则接受H 0。 成功就拒绝H 0， 两类错误、势和势函数 由于样本时随机的， 进行检验时可能犯 两类错误，其一是当 H 0为真时，却拒绝 H 0， 称为第一类错误， 其概率为 ( ) P { x W }, 0 . 其二是当 H 0为假时，却接受 H 0， 称为第二类
第七讲 假设检验
一、基本概念
二、正态总体的检验（略） 三、Pearson检验法
四、似然比检验 五、Neyman-Pearson 引理
一、基本概念
在自然科学和社会科学等中，常常要对某 些重要问题做出回答：是或否。如月球比地球 早形成吗？ 一种新药对某种病有效吗？ 某种 股票会张吗？ 新推出的电视节目收视率高吗？
并计算 npi ，称为理论频数。
（3）计算样本 x1 , , xn 落在 (ai , ai 1 ]中的个数 f i 称为实际频数。
（4）计算检验统计量的值
( f i npi ) npi i 1
2 k
2

2
( k 1)
2 1
（5） 对给定的 ，查临界值 （6）推断：若
在假设检验问题中， 0和1是的两个互 不相交的非空子集，但并不要求0 1 一定成立。保留这个的灵活性， 不仅是理论的 需要，也有其实际意义。
则称 如果 0仅包含一个参数，即 0 { 0 }，
H 0为简单假设(Simple Hypothesis)， 否则称为复
合假设(Composite Hypothesis)， 对备择假设也有 简单假设和复合假设。
0
sup{ p( x1 , , xn , )}

检验的拒绝域为 其中临界值 c 可由
W {x : ( x) c}
P{ ( x ) c | H 0成立}
确定。 下面也通过例子说明其具体应用。
例 对正态总体，方差未知，检验问题
H 0 : 0 , H 1 : 0
p ( x1 , , x n , 1 ) 似然比为 ( x ) p ( x1 , , x , 0 )
1 n 1 2 ( x i 1 ) exp 2 2 i 1 2 n 1 n 1 2 ( xi 0 ) exp 2 2 2 i 1
n
n ( 1 0 ) n( 1 0 ) 2 ( x ) exp U 2 2
2 , , 因为 0 1 均已知且 1 0 ，所以 ( x ) 是 U
的单调增函数，故由等式
P{ ( x ) c | H 0成立} P{U c1 | H 0成立}
等等。为了回答这些问题，我们需要对感兴趣
的问题进行试验或观察获得相关数据， 根据这
些数据决定是或否的过程称为假设检验。
(Hypothesis Testing)
在这节，给出一般的Neyman-Pearson假设
检验构架。 原假设和备择假设
设{ P , }是统计模型，关于总体X的分
即H： 称为 布或关于参数 的推测，
三、 Pearson( )检验法
2
2 Pearson检验法亦称为 检验法，用于检验
假设总体服从某个预先给定的分布 F0 ( x ) 。 考虑总体分布的检验问题
H 0 : F ( x ) F0 ( x )
假设分布函数 F0 ( x ) 的形式已知，但包含 个 未知参数， 用极大似然法给出未知参数估计。
当 0时，g( ) ( )； 而当 1时， g( ) ( )。
(Power Function)
检验的水平 当样本容量 n 固定时，要减少犯第一类错 误的概率，就会增大犯第二类错误的概率；反 之，若要减少犯第二类错误的概率，就会增大 犯第一类错误的概率。即就是说当样本容量固 定时，不可能同时减少犯两类错误的概率， 这 是一对不可调和的矛盾。 Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一
P{ ( x) c | H 0成立} P{| T | c1 t
1

2
(n 1)
这样检验统计量为
T
x 0 S n
拒绝域为
W {T :| T | t
1

2
(n 1)}
这是通常的双边 t 检验。
( x 0 ) 2 当然也可令 F ，则 2 S n n F 2 ( x ) 1 n 1 当 H 0 成立时， F ~ F (1, n 1)
拒绝域、接受域、检验统计量和检验函数
检验一个假设，就是根据某一法则在原
假设和备择假设之间做出选择，而基于样本x
做出拒绝 H 0 或接受 H 0所依赖的法则称为检验。
这样一个检验就等同于将样本空间分成 两个互不相交的子集 W 和W c，当x W时就拒 绝 H 0，认为备择假设H 1成立；当x W c时就接
2 n( x 0 ) 2 ˆ0 1 2 2 ˆ ( n 1 ) S n 2 n 2
n
若令 T
x 0 S n
，则
n 2
T2 ( x) 1 n 1 x 0 当 H 0 成立时， T ~ t (n 1) S n 且 ( x ) 是 | T | 单调增函数，因此由
(Rejection Region) 为接受域(Acceptance Region)。 这样检验和拒绝
c 称 W 称 为拒绝域， W 受H 0，认为H 0成立。
域就建立起一一对应关系。 为了确定拒绝域，往往根据问题的直观背
景，寻找合适的统计量T ( x )，当H 0为真时，要
能由统计量 T ( x )确定出拒绝域 W ，这样的统 计量T ( x ) 称为检验统计量(Test Statistic)。 为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要， 有必要引入函数 1, x W ( x) , 0, x W 它是拒绝于上的示性函数，称其为检验函数。 当 ( x ) 1时拒绝H 0，当 ( x ) 0时接受H 0。 这 种检验函数也称为非随机化的， 而随机化的检 验函数的定义是：在[0,1]上取值的样本的函数
可得 c1 u1 。 这样检验统计量可取为
U x 0

n
拒绝域为
W {U : U u1 }
这是通常的单边 u 检验。
对一般的假设检验问题 H 0 : 0 , H1 : 1 定义似然比检验统计量为
( x)
sup{ p( x1 , , xn , )}