电磁场理论基础 第4章

l
1t
l E2 t l 0
所以
E1t E2 t
此式说明分界面上电场强度的切向分量连续。 又因为Jt=σEt, 并应用第三章推导电位边界条件的方法可得
1
J 1t

2
J 2t
1 2
第四章 恒定电流的电场和磁场
1E1 cos1 2 E2 cos 2
E1 sin1 E2 sin 2
J v v ( A / m2 )
式中ρv(C/m3)为某点的电荷密度, v为该点电荷运动速度。
第四章 恒定电流的电场和磁场 2. 焦耳定律的微分形式
一般通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电
场对电荷所作之功, 即功率是
P VI I 2 R (W )
图4-3中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔSΔl, 它的热损耗功率是
p EJ
上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定电流和时变电流的情况 下都成立, 但对运流电流不适用, 因为运流电流中电场力对电荷所
作的功不变成热量, 而变成电荷的功能。
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.2 恒定电场的基本方程
1.电流连续性方程, 恒定电场的散度
图 4-4 电流的连续性
第四章 恒定电流的电场和磁场 根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等 于单位时间内S面内电荷的减少量。因而得
图 4-3 推导欧姆定律微分形式
第四章 恒定电流的电场和磁场
U El I JS l R S
所以J=σE。在各向同性媒质中, 电流密度矢量J和电场强度E方向 一致, 都是正电荷运动方向, 故有
J E
运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空
或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。其电流密度是
所以
a≤r≤c
c≤r≤b
C1 1 C2 r D1 2 D2 r
第四章 恒定电流的电场和磁场 (2) 由边界条件确定常数:
C1 r a处, 1 ( a ) C2 U 0 a D1 r b处, 2 (b) D2 0 b C1 D1 r c处, 1 ( c ) 2 ( c ), C2 D2 c c 1 1 r 2 2 r C1 D1 即 1 2 2 2 c c r c
在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为#;
微分形式
J 0 E 0
积分形式

S
J ds 0 E dl 0
l
媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为
J E
由于▽×E=0, 故电场强度与电位的关系满足E=- ▽ φ。在载 有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得
导体也不是等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电
场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂 直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场 与静电场有根本的区别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直 至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。
第四章 恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
§4.2 恒定电场与静电场的比拟
§4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件
§4.7 电感的计算
§4.8 恒定磁场的能量和力
第四章 恒定电流的电场和磁场
dQ S J ds dt
然而, 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间
变化,故dQ/dt=0所以得
J ds 0
s
恒定电流连续性方程的微分形式
J 0
第四章 恒定电流的电场和磁场
E ds 0
S
如果导体的导电性能均匀, σ是常数, 则得
E ds 0
强度的单位为(A=C/s)。
第四章 恒定电流的电场和磁场
图 4-2 电流密度矢量
第四章 恒定电流的电场和磁场
I dI J lim S 0 S dS
式中J是体传导电流密度, 单位为A/m2。如果所取的面积元的法
线方向
ˆ n 与电流方向不平行, 而成任意角θ, 如图4-2(b)所示, 则通
s 5 10 En 0.565 12 0 0 8.85 10
Dn
12
V/m
导体表面上总的场强为
E E E 0.565
2 t 2 n
V/m
电场强度与导体表面的夹角为
Et a arctg 19.5 En
V/m
第四章 恒定电流的电场和磁场
上两式相除得
tg1 1 tg 2 2
此式表明分界面上电流线和电力线发生曲折。 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电 场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。如两种金属媒质
(通常认为金属的介电常数为ε0)的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
第四章 恒定电流的电场和磁场
dI J ds Jds cos
过该面积的电流是
所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是
ˆ I J ds J n ds
S S
第四章 恒定电流的电场和磁场
1.欧姆定律的微分形式
由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和
导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律
b
I
区域②(c≤r≤b)中任一点的电位是
2
b
r
1 1 E2dr 4 1 r b I
第四章 恒定电流的电场和磁场
解法2: 根据恒定电场电位方程求解。
(1) 方程与解的形式: 由球对称性, φ仅是r的函数, 得
1 2 1 r 0 2 r r r 1 2 1 r 0 2 r r r
第四章 恒定电流的电场和磁场
例 4.1 设直径为2mm的导线, 每100 m长的电阻为1 Ω, 当导线
中通过电流20 A时, 试求导线中的电场强度。如果导线中除有上述 电流通过外, 导线表面还均匀分布着面电荷密度为ρs=5×10-12
(C/m2)的电荷, 导线周围的介质为空气, 试求导线表面上的场强大小
§4.1 恒定电流的电场
图 4-1 导体中的恒定电流
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律
它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数 学表示式为
Q dQ i lim t 0 t dt
所以恒定电流的电流强度定义为
Q I t
上式中Q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷, I是常量。电流
P UI ElJS EJV
当ΔV→0, 取ΔP/ΔV的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是 单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位 是W/m３。表示式是
第四章 恒定电流的电场和磁场
P p lim EJ E 2 V 0 V
或
(4-19)
所以
J 1n J 2 n
又由Jn=σEn和E=-▽φ, 式(4-19)可表示为
1E1n 2 E2 n
1 2 1 2 n n
(4-20)
பைடு நூலகம்
第四章 恒定电流的电场和磁场 根据式(4-16), 仿第二章节在交界面上取一扁矩形闭合路径, 即可得
E dl E
s E1n E2 n 0
式中ρs是分界面上自由电荷面密度。将式(4-20)代入上式得
1 s 0 1 E1n 2
(4-26)
可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。如果导电 媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。
S
根据高斯定理,上式说明导体内部任一闭合面S内包含的净电荷 Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电
荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的
电荷产生的。 在均匀导体内部
E 0
第四章 恒定电流的电场和磁场 2. 恒定电场的旋度 因为在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定, 所以恒
第四章 恒定电流的电场和磁场 解法1: 设流过两区域的任一同心球面的电流为I。 则两区域 中任一点的电流密度为
I ˆ J r 2 4r
导电媒质①和导电媒质②中的电场强度分别为
E1 E2
J
1
J

I 4 1r I 4 2 r
2 2
ˆ r ˆ r
2
第四章 恒定电流的电场和磁场
r c
第四章 恒定电流的电场和磁场 联立求解上述四个方程得
C1
和方向。
图 4-7 导线表面的电场
第四章 恒定电流的电场和磁场
解 (1) 在导体内部只存在Et, 如图4-7所示。
E dl E l IR
l t t
IR 20 1 Et 0.2 l 100
V /m
第四章 恒定电流的电场和磁场 (2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是
E ( ) 2 0
所以电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.3 恒定电场的边界条件
1. 两种导电媒质的边界
图 4-5 恒定电场不同媒质分界面
第四章 恒定电流的电场和磁场
J ds J
S
1n
s J 2 n s 0
定电场与静电场相同也遵循守恒定理, 所以
E dl 0