2011年长宁区高三数学质量调研卷答案
答案与评分标准
闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题） 1．[]0,3；2．12； 3．23； 4．13； 5．3； 6．12-； 7．文16，理4； 8（或b ）；9．文1P -，理30；10．文92；11．文212．9； 13．文3x <-，理1x <-或3x >； 14．2012．二、（第15题至第18题） 15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p 得22(1)42524x x -+≤⇒-≤≤， （4分）由q 得322310xxx -<2230x x ⇒--≤13x ⇒-≤≤， （8分） 由[2 4][1 3]--，，Ý，即p q ⇒，但q p ⇒，∴命题“若p 则q ”是假命题（10分） 而其逆命题“若q 则p ”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，P A ⊥平面A B C D ，底面A B C D是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB = （2分）∴12112A B C S =⋅⋅=△ （4分）故121233P ABC V -=⨯⨯=. （7分） (2)∵//B C A D ,所以E C B ∠或其补角为异面直线E C 和A D 所成的角θ，（2分） 又∵P A ⊥平面A B C D ，∴P A B C ⊥，又B C A B ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴B C P B ⊥,于是在R t C E B ∆中，2B C =，12BE PB === （4分）tan BE BC θ=== （6分） ∴异面直线E C 和A D所成的角是arctanarccos . （7分） E DBCA P（理）(1) 解法一：分别以A B A D A P 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42A D A B ==，，则各点坐标分别是 (0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，， (0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n A B ==， （2分）设直线E C 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅ （6分） ∴直线E C 与平面PAD所成的角为arcsin. （7分） 解法二：∵P A ⊥平面A B C D ，∴C D P A ⊥，又C D A D ⊥,∴C D ⊥平面PAD ，取P A中点G ，C D 中点H ，联结E G G H G D 、、，则E G A B C D ////且1=12E G A B =，E G H C ∴是平行四边形，∴H G D ∠即为直线E C 与平面PAD 所成的角. （2分） 在R t G A D ∆中，GD =在R t G H D ∆中，tan HD HGD GD ∠===，（6分）∴直线E C 与平面PAD所成的角为arctan . （7分）(2)解法一：由（1）解法一的建系得，(1 2 1)AF = ，，,(0 4 0)AD =，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z = ，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅= ，0AD n ⋅=得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-，∴AP n d n⋅===，（2分）又AF FD ==2AFD S =⨯=△（4分）∴1433P AFD V -=⨯=. （7分） 解法二：易证P E 即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE = （2分）底面A F D △边A D 上的高等于A E，且AE =，∴AFD S =△（4分）1144323P AFD V -=⨯⨯⨯=. （7分） 解法三：依题意，//E F 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===（4分） 11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （7分） 21. [解]（1）设两车距离为d ，则22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v=-+=+-+≤≤ （3分）210010002500v v v <<+，∴当21002500vt v =+时，min d =千米； （7分）F E D B CA PH G（2）当两车相距最近时，02100100125002500vt v v v==≤++， （3分） 此时50v =千米/小时. （5分）即当车速50v =千米/小时，两车相距最近所用时间0t 最大，最大值是1小时.（7分）22. [解]（1）由题可得1(0)F，20)F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P则100(,)PF x y =-，200,)PF x y =- ，∴22120021PF PF x y ⋅=+-=，（1分）∵点),(00y x P 在曲线上，则22142x y +=，（2分）解得点P的坐标为. （4分） （2）当直线P A经过点(1时，则P A 的斜率为1-，因两条直线P A P B 、的倾斜角互补，故P B 的斜率为1，由222131)20142y x x x y x -=-+⎧⎪⇒-++=⎨+=⎪⎩得，12x x ==即A x =，故A y =（2分）同理得B x =，B y =-（4分）∴直线A B的方程为23y =- （6分）(3) 依题意，直线P A P B 、的斜率必存在，不妨设B P 的方程为：1(0)y k x k -=->.由221(142y k x y x -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)41)420k x k x k +--+--=，（2分）设),(B B y x B ，则221B x k =+，221B x k =+，同理221A x k =+，则2821A B k x x k -=+，同理2(21A B A B y y k x x k -=-+-=+.（4分）所以：A B的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值. （6分）23. [解]（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且， （2分）311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A （4分）（2）由（1）的结论可得12231||||||n n A A A A A A -+++ 4412711931()()3223n n --=++++=- （2分） n A 点∴的坐标42911(0,())223n --， （3分）1||||n n OB OB --= （2,3,n =）且1||O B ={||}n O B ∴是以23为首项，22为公差的等差数列 （5分）||((2n OB n n ∴=-=+n B 的坐标为(21,21)n n ++.（6分）（3）（文）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ， 则111nn n n n n n AA B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 由1S ，n S ，k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列，332929292()(9)()23223n k n k--+=+++ 即123()36k n n k =⋅-，①（4分）∵111120333n nn n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139nn ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）当2n =时，得23k k -=，易知3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列. 即当3n ≥时，{}n S 中不存在1S ，n S ，k S 三项成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有1S ，2S ，3S 成等差数列. （8分） （理）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ，则111nn n n n n n A AB B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ，，，、、成等差数列， 又12120,3n n n n S S +---=< ,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项，即2n m k S S S =+，∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++，即2333nmkn m k =+1）当1m =,2n =时，得23k k -=,3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列（4分）2）当1m =，3n ≥时，即123()36knn k =⋅-，① ∵111120333n nn n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139nn ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）3）当2m ≥时，2n m k S S S =+不可能成立.∵111120333n n n n n n +++--=<，∴数列{}3n n是递减数列， 当2m ≥时，32(1)m m ≥+，由2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）知，1n m ≥+∴112(1)323333m m m n m m mn +++=≥≥（当且仅当23m n ==，时等号成立） ∴2333m k n m k n+>对任意2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）恒成立， 即当2m ≥时，{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有123S S S ，，成等差数列. （8分）。
2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案
2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案一、1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A 二、11．π12 12．1120 1314．45[,]33ππ15．①[3,)+∞；② 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分 ∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=， 即sin 2cos 23x x +=-2)34x π+=-，…………………………………… 4分与)|4x π+∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分 （Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 222)2)4x x x x x π=+==+，……… 8分∴sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分17．解：（Ⅰ）305350?，205250?，∴男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人． ………………………………4分（Ⅱ）2225C 91C 10-=．…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）333544124128C ()555625´鬃==．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）取AD 中点H ，连EH ，则EH ⊥平面ABCD ．过H 作HF ⊥AC 于F ，连FE ．∵EF 在平面ABCD 内的射影为HF ， ∵HF ⊥AC ，∴由三垂线定理得EF ⊥AC ，∴EFH Ð为二面角E AC B --的平面角的补角．……3分∵EH a =，14HF BD ==，∴tan EHEFH HF?=== ∴二面角E AC B --的正切值为-．……………………………………………6分 （Ⅱ）直线A 1C 1到平面ACE 的距离,即A 1到平面ACE 的距离，设为d ．…………8分∵11A EAC C A AEV V --=，∴11133EAC A AE S dS CD D D ??．C 1D 1 B 1A 1D CE ABHF∵AE==，32CE a=，AC=，∴222592cosa a aEAC+-?∴sin EAC?，∴21324EACS aD=，121224A AEa aS aD=鬃=，∴22344aa d a??，∴3ad=．∴直线A1C1到平面EAC的距离为3a．………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）2()34f x tx x¢=-，令2()34g t x t x=-，则有(1)0,(1)0.gg≥≥ì-ïïíïïî即22340,340.x xx x≥≥ìï--ïíï-ïî……………………………………2分∴40,340.3xx x≤≤≤或≥ìïï-ïïïíïïïïïî∴43x≤≤-．∴x的取值范围为4[,0]3-．……………………………………………………5分（Ⅱ）32()21f x x x=-+，2()34(34)f x x x x x¢=-=-,令()0f x¢>得0x<或43x>．令()0f x¢<得43x<<，∴()f x在(,0)-?和4(,)3+?为递增函数，在4(0,)3为递减函数．又因为(0)1f=，45()327f=-，令()1f x=可得0x=或2x=．……………8分①当30a+<，即3a<-时，()f x在[,3]a a+单调递增，∴32()(3)71510h a f a a a a=+=+++．②当032a≤≤+，即31a≤≤--时，()(0)1h a f==．③当32a+>，即01a>>-时，32()(3)71510h a f a a a a=+=+++，∴321(31)()71510(31)ah aa a a a a≤≤或ìï--ï=íï+++<->-ïî……………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知得11n na a+=+，∴{}na为首项为1，公差为1的等差数列，∴na n=．………………………………………………………………………………3分∵13n n n b b +-=，∴21321()()()0n n n b b b b b b b -=-+-++-+121333n -=+++113(13)313(31)313222n n n---==-=?-， ∴n a n =，13322n n b =?．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）132(3)cos 22n n C n n π=⋅⋅-(33),(33),nnn n n n ⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数,为偶数.……………………8分∴当n 为偶数时123(33)2(33)3(33)(33)n n S n =--+⋅--⋅-++-12345(3233343533)(32333433)n n n =-+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅+-⋅+⋅-⋅+- ． 设23323333n n T n =-+??+?，则23413323333n n T n +-=-??-?，∴23414333333n n n T n +=-+-+-++?131()344n n +=-++⋅，∴11[3(41)3]16n n T n +=-++⋅． ∴1113(41)3243[3(41)3]()16216n n n n n S n n +++⋅--=-++⋅+-=．……………………11分当n 为奇数时 11(41)3242116n n n n n n S S c +--+⋅++=+=，∴11(41)32421,16(41)3243,16n n n n n n S n n n ++⎧-+⋅++⎪⎪=⎨+⋅--⎪⎪⎩为奇数.为偶数.……………………………………13分 21. 解: （Ⅰ）依题意,有点C 到定点M 的距离等于到直线l 的距离，所以点C 的轨迹为抛物线，方程为y x 42=．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）可得直线AB 的方程是0122=+-y x ，由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．…………………………………………………………………………4分由y x 42=得241x y =， 12y x '=， 所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=．设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则222291,63(6)(9)(4)(4).b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩………………………………………………………6分 解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ．……………………………………8分（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB--==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-． 令0=x ，得1421-==x x y ，所以1-=t ．……………………………………………12分 )44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分第21题第三问，1-=t 应为1t =（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB --==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1214x x y =-=，所以1t =．……………………………………………12分)44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分。
上海市长宁区高三下学期质量抽测(数学文含答案)
2010年长宁区高三数学质量检测试卷（文）、填空题（本大题满分 56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分） 1、设i 为虚数单位，则复数1 -i2、若函数f （x ）二a x （a .0,a=1）的反函数的图像过点（2,一1），则a =1 2 肿7-n lim 厂 n 2n 2 -n 14、执行右边的程序框图，若_____________________________ p=9，则输出的S=x —1 25、函数f （X ）= 图像的顶点是（b,c ），且a,b,c,d 成-x x +3等比数列，则ad = ________6、 已知集合 A = {x log 2X E2},B =（—°o,a ），若A G B 则实数a 的取值范围是7、 已知正四棱柱 ABCD —ABQ 1D 1中，AA=2AB, E 为AA 中点，则异面直线 BE 与CD 1所成的角的余弦值为 _________4x y-9 _09、已知实数x 、y 满足条件{x -y-1兰0 则x —3y 的最大值为 _________________.八310、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m,n ，设a = （m, n ），则满足| a|：：： 5的概率为11、已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 _____________ （ cm 3） 12、从抛物线y 2 =4x 上一点P 引其准线的垂线, 垂足为M ，设抛物线的焦点为 F ，且| PF |= 5，8、已知x3：）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则3、则MPF的面积为____________13、棱长为a 的正方体ABCD-ABC .D ,的8个顶点都在 球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 、DD !的中点，则直线EF 被球0截得的线段长是 ____________ .14、已知函数f(x)=』2_1(^0)，若方程f(x) = x+a 有且只有两个不相等的实数根,」(x —1)(x>0).则实数a 的取值范围是 ____________ 二、选择题(每小题 4分，计16分) 15、不等式|2 - x|却的解集是最大值是18、函数y =m|x|与y =］；：'x 2・1在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是A m .2B 、m_、2C 、m _1D 、m 1 三、解答题(本大题共5题，计78分)19、(本题满分14 分 卜，第(1)小题6分，第(2)小题8 分)设函数f (x)二ax 2(b - 2)x 3(a = 0)，若不等式f (x) • 0的解集为(T,3)。
江苏省南通市2011届高三第二次调研考试数学试卷(含参考答案和评分标准)
江苏省南通市2011届高三第二次调研测试数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 3”4． 的27 ▲ ．5． 0 ▲ 分．6．设{N =b 7． n = 38若123123a +则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从 “①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为 结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）． 10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()sin cos 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos 2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点，C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：(d 1314正实数λ15．点G （1（216．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值；(第15题)（2）在△ABC 中，AB =1，()1f C ，且△ABC 求sin A +sin B的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，段2OA （1（2（318．围成，圆（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．（第17题甲） （第17题乙）19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA=()()11x f x ，，()()22OB x f x = ，，OM=(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“（1围；（2似．20．(（1（2 （3123,,n n n a a a ．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答．．．．．．．．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ， 切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引 圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°，∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．（第21—A 题）C 1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应 写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .（1（223．得2分.（1（2江苏省南通市2011届高三第二次调研考试数学试卷试题I 参考答案和评分标准一、填空题（每小题5分，共70分） 1. x －y －2=0 2. 825-3. 真4. 26275. 26. (){}20，7. 128. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 15014. ()2+∞，二、解答题 15．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂又BO （2）连因为E 、所以AO OG=于是AQQF =因为FG ⊄EBO ．【注】16.【解】（1）()f x由(2cos x ()πcos 6x +于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分 因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .由余弦定理得2222π12cos 66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+ ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C ab===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=+． ………………14分（e =（故d（12k =， …………………………10分 设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：20x -+=的对称点为()m n , ， 则1,12022n m n ⎧=-⎪⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=．…………………14分18.【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST =RT SH ⋅21．……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离； ……………………4分 RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．（2）同ADABCD S 四边形分令sin =y cos θ='y 若0='y 又(0θ∈函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为km 2）． …………………16分19.【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN=λBA ，所以B ，N ，A 三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+，故10MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分 （2）对于1e e mm +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p ra a a ，，成等差数列，则1213221r p kpa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112xzy+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设. …………………10分 （3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项，由k ∈ 2. 公比q 21或23数学II 参考答案和评分标准21.选答题。
长宁区2011.4二模试卷(配答案)..
2011 年长宁区高三物理教学质量调研试卷本试卷分第I卷（1—4页）和第II卷（5—8页）两部分．全卷共8页．满分150分．考试时间120分钟．第I卷（共56分）考生注意：1．答第I卷前，考生务必在试卷和答题卡上用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔清楚填写学校、班级、姓名、考号（填八位），并用2B铅笔在答题卡上正确涂写考号．2．第I卷（1—20题）由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上．考生应将代表正确答案的小方格用2B铅笔涂黑．注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位．答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择．答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分．一．单项选择题（共16分，每小题2分．每小题只有一个正确选项．答案涂写在答题卡上．）1．物理学中的“质点”，是一种理想化模型，研究下列物体的运动时可视为质点的是（）（A）计算轮船在海洋中的航行速度（B）研究车轮边缘的速度（C）研究运动员跳高的过杆动作（D）研究乒乓球的接发球技术2．人们对“光的本性”的认识，经历了漫长的发展过程．下列符合物理学史实的是（）（A）在波动说之后牛顿提出光是一种高速粒子流（B）惠更斯认为光是机械波，并能解释一切光的现象（C）为了解释光电效应爱因斯坦提出了光子说（D）麦克斯韦提出了光的波粒二象性3．用分子动理论的观点看，下列表述正确的是（）（A）物体的内能就是分子的平均动能和势能的总和（B）一定质量100℃的水转变成100℃的水蒸汽，其分子的平均动能增加（C）一定质量的理想气体，如果压强不变而体积增大，其分子的平均动能增加（D）如果气体温度升高，物体中所有分子的速率都一定增大4．对α粒子散射实验，下列描述正确的是（）（A）绝大多数α粒子穿过金箔时都会明显改变运动方向（B）少数α粒子穿过金箔时会被反向弹回（C）散射角度大的α粒子受原子核的作用力也大（D）无论散射角度大小，α粒子的机械能总是守恒的5．下列是关于运动和力的关系的认识，其中正确的是（）（A）加速度的大小由合外力大小决定（B）加速度的方向一定是合外力的方向（C）速度的改变量由加速度大小决定（D）当物体受力改变时速度立刻发生改变6．关于不同射线的性质，下列说法中正确的是（）（A）阴极射线是原子核发生衰变形成的电子流，它是一种电磁波1高三物理试卷共8页第页高三物理试卷 共8页 第 页2 （B ）x 射线是电磁波，它在真空中传播的速度等于光速（C ）α射线是原子核发生衰变时放射出的氦核流，它的电离作用非常弱（D ）β射线是原子的外层电子电离形成的电子流，它具有较强的穿透能力 7．关于光的衍射，下列说法中错误的是 （ ） （A ）光的衍射是光在传播过程中绕过障碍物的现象 （B ）只有两列频率相同的光波叠加后才能发生衍射 （C ）光的衍射没有否定光直线传播的结论 （D ）光的衍射现象为波动说提供了有利的证据8．用单分子油膜测分子的直径时，对其所用实验方法的正确认识是（ ） （A ）用量筒测得油酸酒精溶液的体积V ，计算油酸分子直径时要用到d =V /s （B ）用透明方格纸，是为了便于估算一滴油酸溶液形成的油膜面积 （C ）在水面上撒些痱子粉，是为了让油膜尽量散开并呈现圆形 （D ）在水面上撒些痱子粉，是为了围住油膜形成规则形状 二．单项选择题（共24分，每小题3分．每小题只有一个正确选项．答案涂写在答题卡上．） 9．三个原子核X 、Y 、Z ，X 核放出一个电子后变为Y 核，后用质子（H 11）轰击Y 核生成Z 核并放出一个氦核（He 42），则下面说法正确的是（ ）（A ）X 核电荷数比Y 核电荷数多1 （B ）X 核与Y 核的中子数相同 （C ）X 核的质量数比Z 核质量数大3 （D ）X 核的质量数比Z 核质量数大4 10．甲乙两辆汽车同时从同一地点由静止出发沿同一直线运动，它们的速度图线如图示．下列说法正确的是（ ） （A ）乙车在0-b 时间内始终作匀减速运动（B ）乙车在a -b 时间内加速度方向不变（C ）两辆汽车在a 时刻相距最远 （D ）甲车在c 时刻被乙车追上11．水平放置的平板表面有一个圆形浅槽，如图所示．一只小球在水平槽内滚动直至停下，在此过程中（ ）（A ）小球受四个力，合力方向指向圆心 （B ）小球受三个力，合力方向指向圆心（C ）槽对小球的总作用力提供小球作圆周运动的向心力（D ）槽对小球弹力的水平分力提供小球作圆周运动的向心力 12． 如图所示的自动控制电路中含有一逻辑电路A ，L 为小灯泡．光 照射光敏电阻R ＇时，其阻值迅速减小，则在该控制电路中（ ）（A ）A 是非门，当R ＇受到光照时，它输入高电平输出低电平（B ）A 是或门，当R ＇受到光照时，它可以使得L 发光（C ）增大可变电阻R 的阻值，可使R ＇受到光照时L 更容易发光 （D ）可变电阻R 对L 是否发光没有控制作用A高三物理试卷 共8页 第 页3 13. 一定质量的理想气体从状态A 变化到状态B ，其变化过程反映在p -T 图中是一条直线，如图所示，则此过程中该气体 （ ）(A) 体积不变内能增加 (B) 对外界做功并放出热量 (C) 不吸热也不放热 (D) 吸收热量并对外界做功14．物体作平抛运动，速度v ，加速度a ，水平位移x ，竖直位移y ，这些物理量随时间t的变化情况是（ ） （A ）v 与t 成正比 （B ）a 随t 逐渐增大（C ）比值y /x 与t 成正比 （D ）比值y /x 与t 2成正比15．如图所示电路，电源内阻为r ，定值电阻R 1的阻值小于变阻器R 的总阻值，闭合K ，当滑片P 在变阻器的中点时，电压表○V 的示数为U ，电流表○A 的示数为I ，则当滑片P 从变阻器中点向上滑动的过程中 （ ）（A ）U 一直减小， I 一直增大 （B ）U 先增大后减小，I 先减小后增大（C ）流过r 的电流先减小后增大，I 一直增大（D ）U 与I 的乘积一直增大16．如图所示，在匀强磁场中水平放一电阻不计的平行金属导轨，导轨上放二根导线ab 和cd ，导轨跟大线圈A 相接，A 内有一闭合小线圈B ．磁感线垂直导轨所在的平面向上（俯视图），现要使得cd 与ab 间距离减小，下列操作可行的是（ ）（A ）导线ab 加速向右运动，B 中产生逆时针方向的电流（B ）导线ab 匀速向右运动，B 中产生逆时针方向的电流（C ）导线ab 匀速向左运动，B 中不产生感应电流（D ）导线ab 加速向左运动，B 中产生顺时针方向的电流 三．多项选择题（共16分，每小题4分．每小题有二个或三个正确选项．全选对的，得4分；选对但不全的，得2分；有选错或不答的，得0分．答案涂写在答题卡上．） 17．节日挂在树上或商店门口的小彩灯通电后发出绚丽的色彩，众多小彩灯是先和电阻 R 并联后再串联接到220 v 电源上的，其简化的电路如图所示．下面对此电路正确的认识是（ ）（A ）当某小彩灯灯丝断时由于R 的导电作用仍保持整个电路通路，其他灯仍能发光（B ）R 的作用是分流，使小彩灯的电流不至太大 （C ）R 的作用是分压，使得小彩灯不被烧坏（D ）为了节能，R 的阻值要大于小彩灯的灯丝电阻18．如图所示，一竖直平面内光滑圆形轨道半径为R ，小球以速度v 0经过最低点B 沿轨道上滑，并恰能通过轨道最高点A ．以下说法正确的是（ ） （A ）v 0应等于2gR ，小球到A 点时速度为零（B ）v 0应等于gR 5，小球到A 点时速度和加速度都不为零 （C ）小球在B 点时加速度最大，在A 点时加速度最小220v vL 1 L 2L 3 R R R BT高三物理试卷 共8页 第 页4 （D ）小球从B 点到A 点，其速度的增量为()gR 51+19．如图所示，L 形直角细管，管内两水银柱长度分别为56cm 和20cm ，竖直管和水平管各封闭了一段气体A 和B ，长度分别为19cm 和28cm ，且上端水银面恰至管口，外界大气压强为76cmHg ．现以水平管为轴缓慢转动使L 形管变为水平，此过程中（ ） （A ）气体B 的长度变化量为28cm （B ）气体A 的长度变化量为33cm（C ）溢出的水银柱长度为42cm （D ）溢出的水银柱长度为14cm20．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在x 轴上-3m~3m 区间， t 时刻与（t ＋0.6）时刻的波形图正好重合，如图所示．则下列说法中正确的是 （ ） （A ）质点振动周期可能为0.9s（B ）该波的波速可能为20m/s （C ）从（t+0.3）时刻开始计时，x ＝1m 处的质点可能比x ＝-1m 处的质点先到达波峰位置（D ）在（t ＋0.4）时刻，x ＝-2m 处的质点位移可能为零第II 卷（共94分）考生注意：1．第II 卷（21—33题）由人工阅卷．考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将第II 卷所有试题的答案写在试卷上，用铅笔答题或将答案涂写在答题卡上一律不给分（作图可用铅笔）．2．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分．有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位．四．填空题（共20分，每小题4分．答案写在题中横线上的空白处或指定位置．）本大题中第2lA 、21B 小题为分叉题，考生可任选一题答题．若两道试题均做，一律按21A 题计分．21A ．已知地球自转周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，则地球同步卫星的速度大小为_______________；地球的质量为 ___________．21B ．水平面上质量为m 的滑块A 以速度v 碰撞质量为2m/3的静止滑块B ，碰撞后AB 的速度方向相同，它们的总动量为_______；如果滑块B 获得的初速为v 0，碰撞后滑块A 的速度为_________．22．一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后又返回到斜面底端，已知小物块的初动能 为E ，它返回到斜面底端时共克服摩擦力做功为E/2，若小物块以4E 的初动能冲上斜面，则返回斜面底端时的动能为_______；小物块在前后两次往返过程中所经历的时间之比是________ ．得 分 评卷人 19cm高三物理试卷 共8页 第 页5 23．如图所示，一根均匀导体棒OA 长为L ，质量为m ，上端与水平固定转轴O 连接，下端与圆弧金属导轨MN 良好接触，不计摩擦和导轨电阻．匀强磁场的磁感强度为B ，方向水平．闭合电键K ，OA 从竖直方向偏离角度为θ后静止，则电路中的电流为________；现使OA 从竖直方向偏离角度为2θ后静止，若其它条件不变，则磁感强度应变为___________．24．如图所示，气缸竖直放置于水平地面，缸壁和活塞均绝热，活塞横截面积为S ，重力为G ，活塞下方A 气体初温为T A ，上方B 气体初温为T B ，对活塞的压力为G ．若气体初温满足____________条件，当A 、B 升高相同的温度时可使得活塞向上移动；现A 气体温度升高△T ，活塞上移使A 气体的体积增大1/4，此时A 的压强为_______．25．带帆的滑块质量为2kg ，运动时帆所受的空气阻力与滑块的速度成正比，即f=Kv ，滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25．现让滑块沿倾角为37o 的斜面由静止下滑，最大速度为1m/s ．若使斜面倾角变为53o ，由静止释放滑块，当下滑速度为1m/s 时位移为0.3m ，则此时滑块的加速度为__________ m/s 2，克服空气阻力做的功为____________J ． 取重力加速度g =10m/s 2．五．实验题（共24分．答案写在题中横线上的空白处或括号内．）26．（5分）（单选）图示中用刀片在涂有墨汁的玻璃片上划出有很小间隙的双缝． （1）双缝的作用是当激光照射它时（ ） （A ）在双缝处形成明暗相间等间距的条纹（B ）形成相干光并在光屏上出现中间宽两边窄的条纹 （C ）形成两束增强的光并进行叠加形成明暗相间的条纹 （D ）形成振动情况相同的两束光并在光屏上形成明暗相间等间距的条纹（2）实验时如果增大双缝屏到光屏的距离，条纹间距______，条纹亮度_______． 27．（7分）在研究电磁感应现象和磁通量变化时感应电流方向的实验中，所需的实验器材如图所示．现已用导线连接了部分实验电路． （1）请画实线作为导线从箭头１和２处连接其余部分电路；（2）实验时，将L 1插入线圈L 2中，合上开关瞬间，观察到检流计的指针发生偏转，这个现象揭示的规律是______________________________； （3）（多选）某同学设想使一线圈中电流逆时针流动，另一线圈中感应电流顺时针流动，可行的实验操作是（ ）（A ）抽出线圈L 1 （B ）插入软铁棒（C ）使变阻器滑片P 左移 （D ）断开开关得 分 评卷人P28．（6分）某同学想利用DIS测电风扇的转速和叶片长度，他设计的实验装置如左下图所示．他先在某一叶片边缘粘上一小条弧长为△l的反光材料，当该叶片转到某一位置时，用光传感器接收反光材料反射的激光束，并在计算机屏幕上显示出矩形波，如右下图所示，屏幕横向每大格表示的时间为 5.00×10-2s．则矩形波的“宽度”所表示的物理意义是___________________；电风扇的转速为______转/s；若△l为10cm，则叶片长度为________m．29.（6分）某实验小组利用如图所示的装置测量温度：A是容积较大的玻璃泡，A中封有一定量的空气，B是一根很细的与A连接的均匀玻璃管，管壁有温度刻度标志，管下端开口插入水银槽中，管内外水银面高度差为h．（1）h越大，温度读数越______（填“大”或“小”）；（2）试用相关物理规律证明此装置的温度刻度线间距是均匀的；（3）利用此装置测温度时，如果大气压强增大△P（cmHg），读出的温度值变大还是变小？如何进行修正？六．计算题（共50分）30．（10分）如图所示，T形金属支架与固定转轴O相连，AB水平，CO与AB垂直，B端由竖直细线悬吊，AC=CO=0.2m，CB=0.3m，支架各部分质量均匀分布．小滑块质量m=0.5kg，静止于A端时细线恰不受力．现给小滑块初速使其水平向右滑动，．取重力加速度g=10m/s2，求：（1）支架的重力相对转轴O的力矩；（2）小滑块滑至C点时细线对B的拉力．得分评卷人高三物理试卷共8页第页6高三物理试卷 共8页 第 页7 31．（12分）如图所示，质量为m 的木块压缩轻质弹簧静止在O 点，水平面ON 段光滑，长为L 的NN /段粗糙，木块与NN /间的动摩擦因数为 ．现释放木块，若木块与弹簧相连接，则木块最远到达NN /段中点，然后在水平面上做往返运动，且第一次回到N 时速度大小为v ；若木块与弹簧不相连接，木块与弹簧在N 点即分离，通过N /点时以水平速度飞出，木块落地点P 到N /的水平距离为s ．求： （1）木块通过N /点时的速度；（2）木块从O 运动到N 的过程中弹簧弹力做的功； （3）木块落地时速度v p 的大小和方向．32．（13分）如图所示，电源电动势E =50V ，内阻r =1Ω， R 1=3Ω，R 2=6Ω．间距d =0.2m 的两平行金属板M 、N 水平放置，闭合开关S ，板间电场视为匀强电场．板间竖直放置一根长也为d 的光滑绝缘细杆AB ，有一个穿过细杆的带电小球p ，质量为m =0.01kg 、带电量大小为q =1×10-3C （可视为点电荷，不影响电场的分布）．现调节滑动变阻器R ，使小球恰能静止在A 处；然后再闭合K ，待电场重新稳定后释放小球p ．取重力加速度g =10m/s 2．求：（1）小球的电性质和恰能静止时两极板间的电压； （2）小球恰能静止时滑动变阻器接入电路的阻值； （3）小球p 到达杆的中点O 时的速度．得 分评卷人得 分 评卷人d33．（15分）如图所示，MN与PQ是两条水平放置彼此平行的金属导轨，质量m=0.2kg，电阻r=0.5Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感线垂直于导轨平面，导轨左端接阻值R=2Ω的电阻，理想电压表并接在R两端，导轨电阻不计．t=0时刻ab受水平拉力F的作用后由静止开始向右作匀加速运动，ab与导轨间的动摩擦因数 =0.2．第4s末，ab杆的速度为v=1m/s，电压表示数U=0.4V．取重力加速度g=10m/s2．（1）在第4s末，ab杆产生的感应电动势和受到的安培力各为多大？（2）若第4s末以后，ab杆作匀速运动，则在匀速运动阶段的拉力为多大？整个过程拉力的最大值为多大？（3）若第4s末以后，拉力的功率保持不变，ab杆能达到的最大速度为多大？（4）在虚线框内的坐标上画出上述（2）、（3）两问中两种情形下拉力F随时间t变化的大致图线（要求画出0—6s的图线，并标出纵坐标数值）．得分评卷人VM N R mQra高三物理试卷共8页第页8长宁2011-04高三质量抽测物理试卷参考答案及评分标准本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．满分150分第Ⅰ卷（共56分专用机器阅卷）4分．第Ⅱ卷（共94分网上阅卷）四．（20分）填空题本大题有5小题，每小题4分．21A．14πR / T；1372π2R3/ GT221B．mv；v– 2v0/322．2E；1:223. mgsinθ/ BL；Bsin2θ/ sinθ24．T A＜2T B；8G(T A+△T) / 5ST A；25. 2.5； 2.9五．（24分）实验题本大题有4小题.26．（5分）（1）D （2分）（2）增大（2分）变暗（1分）27．（7分）（1）图略（2分）（2）闭合电路中磁通量发生变化时，闭合电路中产生感应电流。
上海市长宁区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题 含答案( 2013高考)
长宁区2012-2013学年第一学期高三期终质量调研试卷数学理一、填空题（本大题满分56分）1、计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+=2、记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点)2,1(,那么函数1()1y fx -=+的图像过点.__________3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0）4、8)2(x -展开式中含4x 项的系数为 .5、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数）， 则(1)f -=6、（理）已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0zz z =（i 是虚数单位），则z = ．7、从数列)}(21{*N n n ∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为8、阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为._________9、已知ABC ∆的面积为3,3,3AC ABC π=∠=，则ABC ∆的周长等于._______ 10、给出下列命题中① 非零向量 a b 、满足a b a b ==-，则与a a b +的夹角为030； ② a ⋅b ＞0，是 a b 、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =1-x 的图象按向量a =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x ；④ 在ABC ∆中，若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅•→-→-AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。
2011学年第二学期高三年级质量调研考试理科数学试卷及答案
闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式128x ≤≤的解是 ． 2．计算23lim(2)n nn n →∞+++=+L ．3．在等差数列{}n a 中，33a =，45a =，则13a = ． 4．已知复数z =（i为虚数单位），则z z ⋅= ． 5．已知两条直线1l ：230ax y --=，2l ：0164=-+y x ． 若1l 的一个法向量恰为2l 的一个方向向量，则=a ． 6．函数2cos cos y x x x =的最小值为 ． 7．设二项式1)nx的展开式的各项系数的和为p ，所 有二项式系数的和为q ，且272p q +=，则n 的值为 ．8．如右图，若输入的 5.54a b c =-==-，，则执行该 程序框图所得的结果是 ． 9．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随 机变量101ξ+的均值是 ．10．极坐标系中，点(1,)A π到曲线cos sin 10ρθρθ+-=上的点的最短距离是 ．11．设P 为双曲线2221x y a-=虚轴的一个端点，Q 为双曲线上的一个动点，则PQ 的最小值为 ．12．已知曲线C ：922=+y x )0,0(≥≥y x 与函数ln y x =及函数xy e =的图像分别交于点1122()()A x y B x y ，，，，则2221x x +的值为 ．13．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ． 14．若1)(+=x xx f ，)()(1x f x f =，()[]()*1()2n n f x f f x n n -=≥∈N ，,则()()++21f f …()()()()1220122012111f f f f +++++L = ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知向量a b r r 、都是非零向量，“||||a b a b ⋅=⋅r r r r”是“//a b r r ”的 [答]（ ）（A ）充分非必要条件． (B) 必要非充分条件．（C ）充要条件． （D ）既非充分也非必要条件． 16．要得到sin(2)3y x π=-的图像,只需将sin 2y x =的图像 [答]（ ）(A) 向右平移3π个单位． (B) 向左平移3π个单位． (C) 向右平移6π个单位． (D) 向左平移6π个单位．17．如图，三棱锥的四个顶点 P A B C 、、、在同一个球面上， 顶点P 在平面ABC 内的射影是H ，若球心在直线PH上，则点H 一定是ABC ∆的 [答]（ ）(A) 重心． (B) 垂心． (C) 内心． (D) 外心． 18．方程||||1169y y x x +=-的曲线即为函数)(x f y =的图像，对于函数)(x f y =，有如下结论：①)(x f 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③(||)y f x =的最大值为3；④若函数()g x 和)(x f 的图像关于原点对称，则()y g x =由方程||||1169y y x x +=确定．其中所有正确的命题序号是 [答]（ ） (A) ③④． (B) ②③． (C) ①④． (D) ①②．AC BHP三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）已知p ：(1)4z x i =-+ (其中x ∈R ，i 是虚数单位)的模不大于5，和3223100x q x x -<：，若利用p q 、构造一个命题“若p ，则q ”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB PD 、与平面ABCD 所成的角依次是45︒和1arctan2，2AP =，E F 、依次是PB PC 、的中点. （1）求直线EC 与平面PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示)；（2）求三棱锥P AFD -的体积.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，两铁路线垂直相交于站A ，若已知AB =100千米，甲火车从A 站出发，沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B 站出发，沿BA 方向以v 千米/小时的速度行驶，至A 站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）. （1）求甲、乙两车的最近距离（用含v 的式子表示）； （2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为0t 小时，问v 为何值时0t 最大？AB CFED B C A P22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知椭圆22142x y +=的两焦点分别为12F F 、，P 是椭圆在第一象限内的一点，并满足121PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA PB 、分别交椭圆于A B 、两点. （1）求P 点坐标；（2）当直线PA 经过点(12)，时，求直线AB 的方程； （3）求证直线AB 的斜率为定值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．如图，在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A L L 、、、、，其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2(Λ=n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点12n B B B L L 、、、、,点1B 的坐标为（3，3），且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2(Λ=n .（1）求||1+n n A A （用含n 的式子表示）； （2）求点n A 、n B 的坐标（用含n 的式子表示）； （3）设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ，问{}n S 中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由.B n+1 B nB 2B 1A +1 A n A 2A 1 Oy闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题） 1．[]0,3；2．12； 3．23； 4．13； 5．3； 6．12-； 7．文16，理4； 8b ）； 9．文1P -，理30；10．文921112．9；13．文3x <-，理1x <-或3x >； 14．2012．二、（第15题至第18题） 15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p 得22(1)42524x x -+≤⇒-≤≤， （4分）由q 得3223100x x x -<2230x x ⇒--≤13x ⇒-≤≤， （8分）由[24][ 1 3]--，，Ý，即p q ⇒，但q p ⇒，∴命题“若p 则q ”是假命题（10分） 而其逆命题“若q 则p ”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB = （2分）∴12112ABC S =⋅⋅=△ （4分） 故121233P ABC V -=⨯⨯=. （7分） (2)∵//BC AD ,所以ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，（2分）又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴BC PB ⊥,于是在Rt CEB ∆中，2BC =，12BE PB ===， （4分）tan BE BC θ===， （6分）∴异面直线EC 和AD所成的角是arctan（或. （7分） EDB CAP（理）(1) 解法一：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42AD AB ==，，则各点坐标分别是 (0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，(0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 41)EC =-u u u r，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==r u u u r ， （2分）设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅u u u r ru u u r r （6分） ∴直线EC 与平面PAD所成的角为. （7分）解法二：∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥，又CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PAD ，取PA 中点G ，CD 中点H ，联结EG GH GD 、、，则EG AB CD ////且1=12EG AB =，EGHC ∴是平行四边形，∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角. （2分） 在Rt GAD ∆中，GD =在Rt GHD ∆中，tanHD HGD GD ∠===，（6分） ∴直线EC 与平面PAD 所成的角为arctan . （7分） (2)解法一：由（1）解法一的建系得，(1 21)AF =u u u r ，，,(0 4 0)AD =u u u r ，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z =r ，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅=u u u r r ，0AD n ⋅=u u u r r 得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-r ，∴AP n d n⋅===u u u r r r （2分）又AF FD ==u u u r u u u r2AFD S ==△（4分）∴1433P AFD V-=⨯=. （7分） 解法二：易证PE 即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE = （2分）底面AFD △边AD 上的高等于AE ，且AE=AFD S =△（4分） 1144323P AFD V -=⨯⨯=. （7分）解法三：依题意，//EF 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===（4分） 11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （7分）21. [解]（1）设两车距离为d ，则22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v=-+=+-+≤≤ （3分）210010002500v v v <<+，∴当21002500v t v=+时，min d = （7分）F ED B CA PH G（2）当两车相距最近时，02100100125002500v t v v v==≤++， （3分） 此时50v =千米/小时. （5分）即当车速50v =千米/小时，两车相距最近所用时间0t 最大，最大值是1小时.（7分） 22. [解]（1）由题可得1(F，2F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P则100(,)PF x y =-u u u r，200,)PF x y =-u u u r ，∴22120021PF PF x y ⋅=+-=u u u r u u u r，（1分）∵点),(00y x P 在曲线上，则220012x y +=，（2分）解得点P 的坐标为. （4分） （2）当直线PA经过点(时，则PA 的斜率为1-，因两条直线PA PB 、的倾斜角互补，故PB 的斜率为1， 由222131)20142y x x x y x -=-+⎧⎪-+++=⎨+=⎪⎩得，12x x ==即A x =，故A y =（2分）同理得B x =，By =4分）∴直线AB的方程为23y x =- （6分）(3) 依题意，直线PA PB 、的斜率必存在，不妨设BP 的方程为：1(0)y k x k -=>.由221(142y k x y x -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)41)420k x kx k +--+--=，（2分）设),(B B y x B ，则241)21B k x k -+=+，22421B k x k --=+，同理22421A kx k +=+， 则2821A B kx x k -=+，同理2(21A B A B y y k x x k -=-+-=+.（4分） 所以：AB 的斜率2A B AB A B y y k x x -==-为定值. （6分） 23. [解]（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且Θ， （2分） 311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A （4分）（2）由（1）的结论可得12231||||||n n A A A A A A -+++L 4412711931()()3223n n --=++++=-L （2分）n A 点∴的坐标42911(0,())23n --， （3分）1||||n n OB OB --=Q 2,3,n =L ）且1||OB ={||}n OB ∴是以23为首项，22为公差的等差数列 （5分）||((2n OB n n ∴=-=+n B 的坐标为(21,21)n n ++.（6分） （3）（文）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ， 则111n n n n n nn A A B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 由1S ，n S ，k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列，332929292()(9)()23223n k n k--+=+++即123()36k n n k =⋅-，①（4分） ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139n n ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）当2n =时，得23k k -=，易知3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列. 即当3n ≥时，{}n S 中不存在1S ，n S ，k S 三项成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有1S ，2S ，3S 成等差数列. （8分） （理）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ，则111n n n n n n n A A B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()]2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ，，，、、成等差数列， 又12120,3n n n nS S +---=<Q ,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项，即2n m k S S S =+，∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++，即2333n m k n m k=+1）当1m =,2n =时，得23k k -=,3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列（4分）2）当1m =，3n ≥时，即123()36k n n k =⋅-，① ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139n n ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）3）当2m ≥时，2n m k S S S =+不可能成立. ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴数列{}3n n 是递减数列， 当2m ≥时，32(1)m m ≥+，由2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）知，1n m ≥+ ∴112(1)323333m m m n m m m n +++=≥≥（当且仅当23m n ==，时等号成立） ∴2333m k n m k n+>对任意2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）恒成立， 即当2m ≥时，{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有123S S S ，，成等差数列. （8分）。
2011年2月三校联考答案
2011届高三下学期2月联考·理科数学参 考 答 案一、选择题二、填空题 9、360; 10、815; 11、3； 12、419-n ； 13、π41； 14、22； 15、548三、解答题16.解：（Ⅰ）21)6sin(232)6cos(1)(-+++-=ππx x x f …………2分 )6cos(21)6sin(23ππ+-+=x x …………3分 x x sin )66sin(=-+=ππ…………5分所以f(x) 的值域为[-1,1] …………6分 （Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知2221π=+x x ，22243ππ+=+x x 2)1(22,212ππ+-=+-n x x n n 。
…………9分ππππ)34(9521221-++++=++++∴-n x x x x n n …………10分πππ)2(4)1(212n n n n n -=⋅-+= …………12分17解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC ⊂平面PBC, 平面PBC ⋂平面ADE=DE∴BC//ED …………2分∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ∴PA ⊥BC . ………3分 又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∵PA ⋂AC=A, ∴BC ⊥平面PAC . …………5分 ∴D E ⊥平面PAC . …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角， …………8分∴90AEP ︒∠=，即AE ⊥PC ， …………9分 ∵AP=AC, ∴E 是PC 的中点，ED 是∆PBC 的中位线。
………10分13==∴--PED BCED PDE A BCED A S S V V ………12分18解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得 …………3分所以学生小张选修甲的概率为0.4 …………4分 （Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0 …………5分当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选. …………6分)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ …………7分 24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=∴事件A 的概率为24.0 ………… 8分（Ⅲ）依题意知20，=ξ ………… 10分则ξ的分布列为…………12分∴ξ的数学期望为52.176.0224.00=⨯+⨯=ξE …………14分19．解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝ …………1分所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F …………2分 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ……3分 设),(11y x M 则1214x y =，直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y ……4分 代入抛物线C 得212121221)1(4)1(4,)1(4)1(+=++=+x x x x x x x y 即M F x x x x x 112121,0)1( =++-∴与抛物线C 相切，04)121221=-+∆∴x x ＝（，)2,1(,11±=∴M x …………7分（Ⅱ）设AB 的方程为1+=ty x 代入x y 42=，得0442=--ty y ，…8分设),(),(2211y x B y x A ，则t y y t y y 2242121=+=+，………9分242)(22121+=++=+t y y t x x ，122221+=+t x x ………10分 所以)2 12(2t t F ， +，将t 换成)212(12t t N t -+-，得 …………12分 由两点式得FN 的方程为3)1(=--y tt x …………13分当3 0==x y 时，所以直线FN 恒过定点)0, 3( …………14分 20解：(Ⅰ)连接OP ，设,AOP α∠=则323παπ≤≤. … …1分 在△AOP 中，由余弦定理得22212212cos 54cos x αα=+-⨯⨯=-，……2分 在△BOP 中，由余弦定理得22212212cos()54cos BP παα=+-⨯⨯-=+，………3分∴2210BP x =-.则2222141410y AP BP x x =+=+-. …………4分 ∵323παπ≤≤，则11cos 22α-≤≤，∴354cos 7α≤-≤，x ≤≤………6分221410y x x x =+≤-…………7分 (Ⅱ)令2,t x =14(37)10y t t t=+≤≤-. …………8分 ∴222214(10)(310)(10)(10)t t y t t t t -+-'=+=--. 由0y '=，得103t =，或10t =-（舍去）. …………10分 当103,03t y '<<<，函数在10(3,)3上单调递减； 当107,03t y '<<>，函数在10(,7)3上单调递增； …………12分 ∴当103t =时，即x = 也即当APkm ）时，“总噪音影响度”最小. …………14分21解：()I 分，及由已知得1112111 nn x x x +==+2113,138,85,53,3265432=====x x x x x 求得 由246x x x >>猜想：数列{}2n x 是递减数列 …………3分 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +> 易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=-=++++ =22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++即2(1)2(1)2k k x x +++>也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 …………6分 (Ⅱ) 数列{}n x 是B-数列。
高三数学1123质量调研答案
由q得 2 而其逆命题“若 q 则 p ”是真命题. （12 分） P 20. [解]（文） (1) 依题意， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形，高 PA 2 ， BC AD 2 , AB 1 （2 分）
1 ∴ S△ ABC 2 1 1 （4 分） A 2 B 1 2 故 VP ABC 1 2 . （7 分） C 3 3 (2)∵ BC / / AD ,所以 ECB 或其补角为异面直线 EC 和 AD 所成的角 ， （2 分）
闵行区 2011 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准
说明： 1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同， 可参考解答中的评分精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该 题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改 变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后 面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、 （第 1 题至第 14 题） 1． 0, 3 ； 5． 3 ； 6． 2． ； 7．文 16，理 4；
（2）当两车相距最近时， t0
100v 100 1 ， v 2 2500 v 2500 v
（3 分）
此时 v 50 千米/小时. （5 分） 即当车速 v 50 千米/小时，两车相距最近所用时间 t 0 最大，最大值是 1 小时.（7 分） 22. [ 解 ] （ 1 ） 由 题 可 得 F1 ( 2, 0) ， F2 ( 2, 0) ， 设 P0 {| OBn |} 是以 3 2 为首项， 2 2 为公差的等差数列
2011届高三数学综合检测卷及答案
Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
【精品】2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.文)含答案
2011年上海市高考数学试题（文科 2011-6-7）一、填空题（56分）1、若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。
2、3lim(1)3n nn →∞-=+ 。
3、若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 。
4、函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
5、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为6、不等式11x<的解为 。
7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是 。
8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。
9、若变量x 、y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为 。
10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。
若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。
11、行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。
12、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=。
13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
14、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 。
二、选择题（20分）15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（ ） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 16、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）A 222a b ab +> Ba b +≥ C11a b +>D 2b a a b +≥ 17、若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗（ ）A E F ØB E F ÙC E F =DEF =∅18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为〖答〗（ ）A 0B 1C 2D 4 三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
上海八校2011届高三联合调研考试数学(文)试题及答案
上海八校2011届高三联合调研考试数学试题（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数21x y =+的反函数为 ．2． 平面上的点(3,4)A 绕原点顺时针旋转π2后, 所得点B 的坐标为 ． 3． 设m 是实数．若复数1i i m +-的实部为0（i 表示虚数单位）, 则m = ． 4． 若复数z 是方程2240x x -+=的一个根, 则||z = ．5． 在右边所示流程图中, 若输入的x 值是3, 则最后输出的n 的值为 ． 6． 设m 是正实数．若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8, 则 m = ．7． 设k 是实数．若方程22144x y k k -=-+表示的曲线是双曲线, 则k 的取值范围为 ．8． 已知命题“a A ∈”是命题“132110111aa =”的充分非必要条件, 请写出一个满足条件的非空集合A , 你写的非空集合A是 ．9． 设全集U R =．若集合11A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭, 则U A =ð ． 10．设A 是三角形的内角．若1sin cos 5A A -=, 则sin A = ． 11．设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则a = ．12．在数列{}n a 中, 11a =, 当*n N ∈时, 111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2lim n n nS S →∞= ． 13．设平面向量(1,2)a = ．当b 变化时, 22m a a b b =+⋅+ 的取值范围为 ．14．设1,,,,a b S a b c d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭． 已知矩阵2468A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 其中1A S ∈, 2B S ∈．那么B = ． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15．根据以下各组条件解三角形, 解不唯一．．．的是 （ ）A ．60A ︒=, 75B ︒=, 1c =． B ．5a =, 10b =, 15A ︒=．C ．5a =, 10b =, 30A ︒=．D ．15a =, 10b =, 30A ︒=．16．对于数列{}n a , 如果存在正实数M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于M , 那么称该数列为有界的, 否则称它为无界的．在以下各数列中, 无界的数列为（ ）A ．12a =, 123n n a a +=-+．B ．12a =, 12n n a a +=．C ．12a =, 1arctan 1n n a a +=+．D ． 12a =, 1n n a a +=-．17．设,,a b k 是实数, 二次函数2()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)f k +与()f k 异号．在以下关于()f x 的零点的命题中, 真命题是（ ）A ．该二次函数的零点都小于k ．B ．该二次函数的零点都大于k ．C ．该二次函数的两个零点之差一定大于2．D ．该二次函数的零点均在区间(1,1)k k -+内． 18．将图中的正方体其余6个顶点标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A BC D -, 不同的标字母方式共有 （ ）A ．1种．B ．2种．C ．4种．D ．12种．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）已知a 是实数, 直线250x y -+=与直线40x y a -++=的交点不在椭圆22211x y +=上, 求a 的取值范围．20．（本题满分12分）某学生解下面的题目时, 出现了错误．指出该学生从哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开始改正他的解答．【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为40cm的正方形CDEF 截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE , 其中AF 长等于12cm, BF 长等于10cm,如图所示．现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在,CD DE 上．请问如何截取, 可以使得到的矩形面积最大? （图中单位: cm ）21．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数1π()sin cos sin 2222x x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1） 写出()f x 的最小正周期以及单调区间;（2） 若函数5π()cos 4h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 求函数2log ()())(y f x h x =⋅的最大值, 以及使其取得最大值的x 的集合．22．（本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()2f x x x m =-, 常数m R ∈．（1） 设0m =．求证: 函数()f x 递增;（2） 设1m =-．求关于x 的方程(())0f f x =的解的个数;（3） 设0m >．若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值为2m , 求正实数m 的取值范围．23．（本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333(12)12n n +++=+++ 成立．下面尝试推广该命题:（1） 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3}n ∈有23331212()n na a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列; （2） 设数列{}n a 每项均非零, 且对任意的*n N ∈有23331212()n na a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S ．求证: 2112n n na a S ++-=, *n N ∈; （3） 是否存在满足（2）中条件的无穷数列{}n a , 使得20112009a =? 若存在, 写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）; 若不存在, 说明理由．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.文)含答案
2011年上海市高考数学试题（文科 2011-6-7）一、填空题（56分）1、若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。
2、3lim(1)3n nn →∞-=+ 。
3、若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 。
4、函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
5、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为6、不等式11x<的解为 。
7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是 。
8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。
9、若变量x 、y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为 。
10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。
若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。
11、行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。
12、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=。
13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
14、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 。
二、选择题（20分）15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（ ） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 16、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）A 222a b ab +> Ba b +≥ C11a b +>D 2b a a b +≥ 17、若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗（ ）A E F ØB E F ÙC E F =DEF =∅18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为〖答〗（ ）A 0B 1C 2D 4 三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷(理科)
2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2012.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知2111n na n n=+，则=∞→n n a lim .2、已知集合7|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，则A B ⋂=.3、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是.（精确到0.01）4、若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿＿＿.5、若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a +=.6、53223(xx -的二项展开式中，常数项的值是.7、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________.（结果用最简分数表示）8、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式为n a =.*()n N ∈9、函数()2sin sin()3f x x x π=⋅-的值域是.10、如图：底面直径为2的圆柱被与底面成030二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为.11、在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =.12、若函数()y f x =（x R ∈）满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数成绩人数401150602213708090()lg(1)110001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为______.13、已知函数()1x f x x=+,在9行9列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛999392912923222119131211a a a a a a a a a a a a中，第i 行第j 列的元素()ij ia f j=,则这个矩阵中所有数之和为_______________.14、如图，点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=.某同学用以下方法研究OM ：延长2F M 交1PF 于点N ，可知2PNF ∆为等腰三角形，且M 为2F N 的中点，得112OM NF a === .类似地：点(,)(0,0)P x y x y >>是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、条件甲：函数)(x f 满足()1()f x f x -=；条件乙：函数)(x f 是偶函数，则甲是乙的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点，O 为坐标原点。
2011年福州高三质检数学参考答案
2011年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1. C2. A3. B4. D5. D6. A7. B8. C9. C 10. C 二、填空题 11. 638-12.3 13. 6 14.14π- 15. 21n-三、解答题16. 解：（Ⅰ）∵1()cos 2f x x x ππ=+ =sin()6x ππ+··· 2分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1． ············ 4分 （Ⅱ）解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N - ······ 6分由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴ 1(,1),3P ······· 8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=- ················ 10分∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅35= ············· 13分 解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ··············· 6分||||2PM PN ===, ·················· 8分 由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅ ······ 10分=521345524⨯-=⨯． ··········· 13分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ·················· 6分||||PM PN ===··················· 8分 在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===········· 10分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-232(155=⨯-=． ······················ 13分 17. 解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本事件， ··········· 3分 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==． ······ 6分 （Ⅱ）X 的可能取值分别为0，1，2，3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()333112327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．····················· 10分11分812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （或：1~(3,)3X B ，1313EX np ==⨯=）． ·············· 13分18. 【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：在△BCE 中，BC ⊥CF,BC=AD=3,BE=3，∴EC= 在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE ········ 3分由已知条件知，DC ⊥平面EFCB,∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ， ············· 5分 ∴EF ⊥平面DCE ················ 6分 （Ⅱ）过点B 作BH ⊥EF交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC, AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角．······················· 8分 在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=60°，由CE ∥BH ，得∠BHE=60°， 又在RT △BHE 中，BE=3， ∴sin 2BH BE BEH =⋅∠=········ 10分 由二面角A-EF-C 的平面角∠AHB=60°，A BEFCHD在RT △AHB 中，解得9tan 2AB BH AHB =⋅∠=， 所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60° · 13分 方法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ． ·············· 7分设AB=a （a >0），则C(0,0,0)，a )，B0，0），E3，0），F （0，4，0）．从而(,0),(0,3,),EF AE a ==-······ 9分设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由0,0EF n AE n ⋅=⋅= 得， 030y y az ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x=1，则y z ==，即n = ， ··············· 11分不妨设平面EFCB 的法向量为(0,0,)BA a =，由条件，得1|cos ,|2||||n BA n BA n BA ⋅<>===解得92a =．所以以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°． ·································· 13分 19．解：（Ⅰ）依题意N (k,－l )，且∵klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知： ·· 2分M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为()n ly x m n m k-=-+-， ···· 3分 则E nk mlx n l-=-， 同理可得F nk mlx n l+=+ ···················· 5分（Ⅱ）∵M,P 在圆C ：x 2+y 2=R 2上,222222m R n k R l⎧=-∴⎨=-⎩,222222222222222()()E F n k m l n R l R n l x x R n l n l ----⋅===--(定值). E F x x ∴⋅的值与点M 、N 、P 的位置无关. ················· 8分同理∵M,P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上,2222222222a n m a b a lk a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩,2222222222222222222()()E F a l a n n a a l n k m l b b x x a n l n l ----⋅===--(定值).∴E F x x ⋅的值与点M 、N 、P 的位置无关. ················ 11分（Ⅲ）一个探究结论是：0E F x x +=． ················· 13分 证明如下：依题意, E nk ml x n l -=-,F nk mlx n l+=+. ∵M,P 在抛物线C ：y 2=2px (p >0)上,∴n 2=2pm,l 2=2pk.2222222()2(22)0E F n k ml pmk pmk x x n l n l--+===--. ∴E F x x +为定值.20．解：(Ⅰ)F (x )= e x+sinx －ax,'()cos x F x e x a =+-.因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==……………………………2分 又当a =2时,若x <0, '()cos 0xF x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0xF x e x a =+->.（由()sin 0()xF x e x x o ''=->>及'(0)0F =可证）∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意. ……………………………………………4分(Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:121sin x x e x =+,所以12111sin x x x e x x -=+-.令()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立.∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. ……………………………………9分(Ⅲ)令()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-则'()2cos 2.x x x e e x a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--.因为'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立, …………………………………11分 所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增, ……………………………………………………12分∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=.故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立.…………………………………………………………… 13分[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0()()00,21a x x x x x x x x x x F x F x x a a ϕϕϕϕϕϕ><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞∴>∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,24分21. （1）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故3,3.a b c d +=⎧⎨+=⎩···· 3分 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=915⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故29,215.a b c d -+=⎧⎨-+=⎩ ·················· 5分联立以上两方程组解得a =1-，b =4，c =3-，d =6，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ····· 7分 （2）解：曲线C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=， ··········· 3分 因为222x y ρ+=，cos y ρθ=，…5分故曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=． ········ 7分 （3）解：令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥ ···· 3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭， ················· 6分所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，， ············ 7分。
2011年长宁区高三数学质量调研卷答案
2011年长宁区高三数学质量调研试卷答案5三、解答题19、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）解：（1）x x m b a x f 2cos )2sin 1()(++=∙=∵图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，，∴πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =． （2）当1m =时，π()1sin 2cos 2214f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，1)42sin(1≤+≤-πx ， ∴]21,21[)(+-∈x f20、（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分））（理）解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则),0,0(),0,,0(),0,0,(a P a D a B ，)0,,(a a C ，)2,2,2(a a a F ∴，因此)0,,(a a BD -=→；设)0,,(t t G ，则)2,2,2(aa t a t FG ---=→。
0)2()2(=-+--=⋅→→at a a t a BD FG ，BD FG ⊥∴即BD 与FG 能保持垂直。
（2）设平面PBC 的一个法向量为),,(1111z y x n =→，则由→→→→⊥⊥BC n PB n 11,，)0,,0(),,0,(a BC a a PB =-=→→得⎩⎨⎧==-00111ay az ax ，取)1,0,1(1=→n ； 同理可得，平面PBC 的一个法向量为)1,1,0(2=→n 。
设→1n 与→2n 的夹角为θ，则21||||cos 2121=⋅=→→→→n n n n θ，3πθ=∴；由图像可知，二面角D PC B --的大小为32π。
（文）解：根据图形可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，高2=PC 。
（1）.32213131=⨯⨯=⋅=-PC S V ABCD ABCD P（2）连接AC 交BD 于点o ，取EC 中点F ，连接OF ，则AE OF //，21,22,22==∴==CF OC OC AC ，计算得22||,23||==OB OF ，25||=BF ，222||||||BF OB OF =+ ，2π=∠∴FOB ，a n因此异面直线AE 与BD 所成角大小为090。
2011年上海市高三数学教学调研卷(理科)2011.4
2 ，且 0, 2 ，则 2
。
4.已知直线 l1 : ax y 2a 1 0 和 l2 : 2 x a 1 y 3 0 a R ，若 l1 与 l2 平行，则 。 5.已知双曲线的渐近线方程为 y 2 x ，且与
x 1是 4
的奇函数
A．最小正周期为
的偶函数 2 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 17.“ x a ”是“ x 1 ”成立的充分不必要条件 （ ） 1 A． a 的值可以是 8 B． a 的值可以是 2 C． a 的值可以是 1 D． a 的值可以是 3 18.已知等式 ax 2 bx c 0 ，其中 a 3, 4 , b 1,8 , c 1,3 ，使这个等式成立的实数 x
22.已知点 A 2,0 ，点 M 为曲线 y x 2 上任意一点，点 P 为 AM 的中点；点 P 的轨迹为 C ； ⑴求动点 P 的轨迹 C 的方程 F x, y 0 ； ⑵将轨迹 C 的方程变形为函数 y f x ； 请写出此函数的定义域、值域、单调区间、 奇偶性、最值等（不证明） ，并画出大致图像。 ⑶若直线 l : y
an 1 f an n N * ，则称 an 为由函数 f x 导出的数列。
设函数 g x
x 1 与轨迹 C 有两个不同的 10
1 公共点 B, K ，且点 G 的坐标为 ,0 ， 8
求 BG KG 的值。
3
23.已知函数 y f x x D ，方程 f x x 的根 x0 称为函数 f x 的不动点；若 a1 D,
2011届长宁区高三年级数学二模
2011届长宁区高三年级数学二模数学试卷 2011.4（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．1、不等式021<+-x x 的解集是__________． 2、如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么αsin ＝ ．3、若i i ai +=+1)21(，其中i 是虚数单位，则实数a = ．4、（理）在二项式52)1(xx -的展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字表示） （文）在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，2,3,45a b C === ，则边c = ．5、已知函数134()log (2),()4f x fx x-=+=则方程中x 的值是 ．6、（理）右图所示的程序流程图输出I 的结果是______________． （文）在二项式52)1(xx -的展开式中，x 的一次项系数 为 ．（用数字表示）7、（理）随机变量ξ的概率分布列如下，则随机变量ξ的方差D ξ的值是 ．（文）右图所示的程序流程图输出I 的结果是______________． 8、（理）在极坐标系中，点M (4，3π)到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离d ＝ . （文）某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,50岁及以上的有30人．现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查,则35岁到49岁的应抽取_______人。
9、（理）设圆锥的高为35，母线与旋转轴的夹角是30，则圆锥的侧面积为 ．（文）方程093114212=-x x的解集为_______________． x2π πP )(x =ξ41 21 41 结束输出I 是I ←I+2 否S ←S ×I 开始 S ←1 I ←3S > 100理第6题、10、（理）已知等差数列{}n a 中，,101=a 当且仅当5=n 时，前n 项和n S 取得最大值，则公差d 的范围是.___________（文）已知等差数列{}n a 中，,101=a 公差2-=d ，则前n 项和n S 的最大值为.___________11、（理）若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是 ． （文）已知圆4)(22=+-y a x 被直线1=+y x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为._________ 12、（理）矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n a a an a a a a a a a a a 32333322232211312321中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则_________2lim2=⋅∞→nn n n S ． （文）设圆锥的高为35，母线与旋转轴的夹角是30，则圆锥的侧面积为 ． 13、（理）设等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内的任意一点，且P 到三边CABC AB ,,的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有321d d d ++为定值a 23；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有4321d d d d +++为定值_____．（文）若实数,x y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为.___________14、（理）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有)()4(x f x f =+且当[2,0]x ∈-时，1()()1,(2,6]2x f x =--若在区间内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．yxO 332211y=aBA O O aS (a )123321S (a )aDCO O a321S (a )321S (a )a（文）对于任意的实数b a ,，记{}()().,m a x ⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a 若()()(){}(),,max R x x g x f x F ∈=其中函数()()R x x f y ∈=是奇函数，且当0>x 时，()();212--=x x f 函数()()R x x g y ∈= 是正比例函数，其图象与0>x 时函数()x f y =的图象 如图所示，则下列关于函数()x F y =的说法中，① y=F （x ）为奇函数；②y=F （x ）在（—3，0）上为增函数 ；③y=F （x ）的最小值为—2，最大值为2． 其中不正确的是.___________（填写你认为不正确的所有结论序号）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）15、函数x x x f 22sin cos )(-=是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数．B ．最小正周期为2π的偶函数．C ．最小正周期为π的奇函数．D ．最小正周期为π的偶函数． 16、（理）下列命题中说法正确的是 （ ） A ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件．B ．函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤．C ．三角形ABC 的三内角为A 、B 、C ，则sin sin A B >是A B >的充要条件．D ．对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则222z x y =+成立．（文）设向量)0,1(=a ,)21,21(=b ,则下列结论中正确的是 （ ）A ．b a = ．B ．22=⋅b a ．C ．a ∥b ．D ．a －b 与b 垂直． 17、（理）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数 ()(0)S S a a =≥是图中阴影部分介于平行 线0y =及y a =之间的那一部分的面积， 则函数()S a 的图象大致为（ ）BA O O aS (a )123321S (a )aDCO O a321S (a )321S (a )ayxO332211y=a（文）已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -= ．B ．22154x y -=． C ．22154y x -=． D ．224515x y -= ．18、（理）设1F 、2F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且1||PF λ=2||PF 则λ的值为（ ）A ．2．B ．21． C ．3．D ．31． （文）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数 ()(0)S S a a =≥是图中阴影部分介于平行 线0y =及y a =之间的那一部分的面积， 则函数()S a 的图象大致为（ ）三、解答题（本大题共5小题，共74分） 19、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）设函数b a x f ∙=)(，其中向量)2cos ,(x m a =，)1,2sin 1(x b +=，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值； （2）求()f x 的值域．20、（理）（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分） 如图，在底面是边长为a 的正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，且a PA =，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点．（1）当G 在AC 上移动时，BD 与FG 能保持垂直吗？说明理由； （2）求二面角D PC B --的大小．PABCDFGE（文）（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分） 已知四棱锥P —ABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的中点。
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2011年长宁区高三数学质量调研试卷答案（文）三、解答题19、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）解：（1）x x m b a x f 2cos )2sin 1()(++=∙=∵图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =． （2）当1m =时，π()1sin 2cos 2214f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，1)42sin(1≤+≤-πx ， ∴]21,21[)(+-∈x f 20、（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分））（理）解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则),0,0(),0,,0(),0,0,(a P a D a B ，)0,,(a a C ，)2,2,2(a a a F ∴，因此)0,,(a a BD -=→；设)0,,(t t G ，则)2,2,2(a a t a t FG ---=→。
0)2()2(=-+--=⋅→→at a a t a BD FG ，BD FG ⊥∴即BD 与FG 能保持垂直。
（2）设平面PBC 的一个法向量为),,(1111z y x n =→，则由→→→→⊥⊥BC n PB n 11,，)0,,0(),,0,(a BC a a PB =-=→→得⎩⎨⎧==-00111ay az ax ，取)1,0,1(1=→n ；同理可得，平面PBC 的一个法向量为)1,1,0(2=→n 。
设→1n 与→2n 的夹角为θ，则21||||cos 2121=⋅=→→→→n n n n θ，3πθ=∴；由图像可知，二面角D PC B --的大小为32π。
（文）解：根据图形可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，高2=PC 。
（1）.32213131=⨯⨯=⋅=-PC S V ABCD ABCD P （2）连接AC 交BD 于点o ，取EC 中点F ，连接OF ，则AE OF //，21,22,22==∴==CF OC OC AC ，计算得22||,23||==OB OF ， 25||=BF ，222||||||BF OB OF =+ ，2π=∠∴FOB ，a n 因此异面直线AE 与BD 所成角大小为090。
21、（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分）（理）解（1）∵点（S n ，S n+1）在直线y=1n n+x+n+1（n ∈N *）上，∴S n+1=1n n + S n +n+1,两边同除以n+1,得111n n S Sn n+-=+，…………………2分于是n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列． ………………………………4分 （2）（2）由（1）可知，nS n=3+（n-1）×1=n+2,即S n =n 2+2n （n ∈N *）， ∴当n=1时 31=a ，当n ≥2时，n a =S n - S n-1=2n+1,经检验，当n=1时也成立，∴n a =2n+1（n ∈N *）． 由条件得，4131)12(1++=++++=nn n n n n y n ， ,0)1(131311)1(31>+-=--+++=-+n n n n n n y y n n n n y y >∴+1，{}n y ∴单调递增，当1=n 时n y 的最小值为8.（文）解（1）1=n 时，21=a ；2≥n 时，23)2)(1(62++=++=n n n n n a a a a S ，2361211++=---n n n a a S ，两式相减得，1212336---+-=n n n n n a a a a a ， 0)3)((11=--+∴--n n n n a a a a ，01>+-n n a a ，31=-∴-n n a a ，即{}n a 为等差数列，13-=∴n a n 。
（2）条件为3)12)(13(=--nb n ，得1323log 2-+=n n b n ， 223log 13235825log 2221+=-+⋅⋅⋅=+++=n n n b b b T n n ，{}n T 单调递增，1=∴n 时n T 最小值为25log 2，因此存在常数C 使C T n ≥恒成立，这时C 的取值范围是]15log ,(2--∞。
22、（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 解（1）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时 04x ≤≤…………………………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达8分钟…………… 6分（2）当8=x 时，4311)1)68(816(1)8215(2<=---⨯+⨯-⨯=y ， ∴在第8分钟时已经不能有效去污。
（3）（理）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414a x a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[48],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得2424a -≤≤,所以a 的最小值为24 1.6-≈ ………………14分（文）（3）当610x ≤≤时,)1)6(816(2)215(2---+-=x x y ……………………………………………9分 =61432)14(--+-xx ,因为14[4,8]x -∈,故当且仅当xx -=-143214即2414-=x 时,y有最小值为42.5628>≈-………………………12分∴能使接下来的4分钟中持续去污。
………………14分23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题中①6分、②8分）解（1）→→→=+02221Q F F F ，1F ∴为2QF 的中点.||||,2112F F A F AQ A F =∴⊥ ，即)0,(,21c F c a -=，由条件得a c =+--31|3|，得3,1,2=∴==b c a ，因此椭圆方程为13422=+y x ； （2）)0,1(),0,2(2F B ，设直线l 的方程)1(-=x k y ，代入椭圆13422=+y x 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x N y x M ，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+∴。
①（理）222121431||12||||||k k k x x k y y ++=-=-，726431||6||212221=++=-=∴∆kk k y y S MNB，解得1±=k ， ∴直线l 的方程为：)1(-±=x y 。
（文）)0,1(),0,2(2F B ，直线l 的方程为1-=x y ，代入椭圆13422=+y x 得 08872=--x x ，设),(),,(2211y x N y x M ，则78,782121-==+x x x x 。
,7212||||2121=-=-∴x x y y 因此，726||2121=-=∆y y S 。
②（理）线段MN 中点)433,434(222kkk k D +-+，根据条件得MN PD ⊥， 1-=⋅∴k k PD ，因此1434433222-=⋅+-+k k k m k k，2243k k m +=∴，0≠k ， )41,0(4312∈+=∴km ，因此)41,0(∈m 。
（文）②设直线l 的方程)1(-=x k y ，代入椭圆13422=+y x 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x N y x M ，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+∴。
),2(),,2(2211y x BN y x BM -=-=→→，221221221214))(2()1()2)(2(k x x k x x k y y x x BN BM ++++-+=+--=⋅→→22222224438)2(43124)1(k kk k k k k ++++-+-+= 043522<+-=kk ，,900>∠∴MBN MBN ∆∴不能为锐角三角形。