《测量平差习题》word版
第一章观测误差与传播率
第一节观测误差
1、在下列情况下用钢尺丈量距离，使量得的结果产生误差，时判别误差的性质与符号：
（1）尺长不准确；
（2）尺长检定过程中，尺长与标准尺长比较产生的误差；
（3）尺不水平；
（4）尺反曲或垂曲；
（5）尺端偏离直线方向；
（6）估读小数不准确；
2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差，试判别误差的性质与符号：
（1）视准轴与水准轴不平行；
（2）仪器下沉；
（3）读数不准确；
（4）水准尺下沉；
（5）水准尺竖立不直。
第二节衡量精度的指标
3、为检定某经纬仪的测角精度，对已知精确测定的水平角α=58002’00.0”（无误差）进行10次观测，其结果为：
58002’03” 58002’01” 58001’58” 58001’57” 58002’04”
58001’59” 58001’59” 58002’05” 58002’01” 58001’57”
试求测角中误差σ。
4、设有两组观测值X i和Y i，它们的真误差分别为：
△x:2,-3,+1,0,+2 △y:0,+3,+1,-2,+3
试求观测量X与Y的方差σx2和σy2,哪个测量观测精度高?
5、某距离在相同的观测条件下观测20次，得独立观测值（单位：m）为：
437.59 437.61 437.60 437.55 437.59 437.62 437.64 437.62
437.64 437.61 437.69 437.63 437.61 437.62 437.61 437.60
437.56 437.68 437.65 437.58
试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。
6、有两段距离S1和S2，经多次观测得观测值及其中误差分别为300.00±2cm和600.00±2cm,试问哪段距离观测精度高?二距离各次观测值的观测真误差是否相同?
7、有一段距离，其观测值及其中误差为652.48m±9mm。（1）试估计该观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？（2）试求该观测值的相对中误差。
8、设有观测值L1的权P1=2，其方差为σ12=4,又知观测值L2的方差σ22=1,试求其权P2及协因数Q11和Q22。
9、在相同的观测条件下（每一测回观测精度相同）观测两个角度得∠A=30°00′00″，∠B=60°00′00″设对∠A观测9个测回的权为P A=1,则对∠B观测16个测回的权P B为多少?
10、在相同的观测条件下，作了4条线路的水准测量，它们的中误差分别为σ1=±2mm, σ
2=±1.5mm, σ3=±1mm, σ4=±0.5mm,令单位权方差为σ0=±1mm，试求各线路观测高差的权P i(I=1,2,3,4)。
第二章 广义传播律与系统误差的传播
第一节 随机向量的协方差阵、协因数阵与权阵
一、
定义
1、 设有观测值向量L=[ L 1 ,L 2 ,L 3]T
的方差阵为：
试写出L 1，L 2及L 3的方差及协方差σL1 L3，σL2 L3，σL1 L2。 2、 已知观测值向量L=[L 1，L 2，L 3]T
的权阵为：
又知单位权方差σ02=
32/5，试求协因数阵Q L 。与协方差阵D L 。
3、 已知观测值L 1与L 2的协因数与互协因数Q 11=0.17908,Q 22=0.16123, Q 12=Q 21=0.1321,试写出出其协因数阵Q L 。
4、 已知测站点坐标X 和Y 的中误差分别为σx =±4.0cm, σy =±3.0cm 。
（1） 若已知X 和Y 的协方差σxy =9.0cm 2
，试写出出向量 = 的方差阵D Z 和X 与Y 的相关系数ρxy ；
（2） 若已知相关系数ρxy = -0.50,试求x 和y 的协方差σxy 和方差阵D Z ； （3） 设单位权方差为σ02
=9cm 2
，求以上两种情况下的协因数阵与权阵。
5、 设测站点的平面位置由角度θ和距离S 给出,已知其中误差θσ = ±20″, σS = ±0.10,相关系数ρ=0.50。
（1）试求向量Z= 的协方差阵D Z ;
（2）权方差σ02
=0.0010m 2
,试求向量Z 的协因数阵Qz 和权阵Pz 。
6、 设某点平面位置由极坐标r 和θ给出，其中，r 为边长，θ为角度，已知方差σr 2
=0.0001m 2
, σθ2
=4.125,
协方差σr θ=0.0371m. (″)2
, 令Y= 。 （1）试求D Y
；
（2）若取σ02
=0.0001m 2
时，求Q Y ；
????
?
?????=0.13.01.03.07.02.01.02.08.0L D ????
??????--=210131012L P ?
?
?
???y x ??
????S θ??
????θr 1,2z
（3）若取σ02
=4125(″)2
时,求Q Y 。 二、
协方差估值的计算
7、设有两组观测值Xi 与Yi(I=1,2, …9)的真误差分别为:
△ X i : +2.5, -1.5, -3.5, +3.5, -2.5, -0.5, +5.5, +2.5, -2.5; △ Y i : -3.0, -7.0, 0.0, +3.0, +2.0, 0.0, -3.0, +8.0, 0.0;
设每组内的观测值勤均为同精度独立观测值勤,试求两组观测值勤的中误差与协方差估值。
8
1i 2i 3i 如下：
试求观测值L 1，L 2，L 3的方差与其各协方差的估值。
9、设 =[L 1，L 2, …,Ln], = [V 1,V 2, …,V n ] T,
若令 试写出方差阵D z 及互协方差阵D v X
?。 10、已知相关观测值 =[L1，L2]T
的权阵为：
试求权P L1与P L2。
11、已知独立观测值L=[L 1，L 2]T
的方差阵
及单位权方差σ02
=2,试求权阵P L 及权P 1,P 2。 12、设有相关观测值X=[X 1，X 2]T
，已知其权阵
1
,n L 1
,n V 1
,2L [
]
T
t
X X
X X ?...???21=????
?
?????=X V L Z ???
?
???--=5225L P ?
?
?
???=80016L D
及单位权方差σ02
=1，试求X 的方差阵及观测值的权P 1,P 2。
13、已知相关观测值 的协因数阵
试求权阵P L 及权P 1,P 2。
14、已知相关观测值 的方差阵
及单位权方差σ02
=2，试求权阵P L 及权P 1和P 2。
15、已知相关观测值 的方差阵
又知L 1的协因数Q 11=3/2，试求观测值的权阵 P L 及权P 1,P 2。
16、已知相关观测值 的方差阵：
及单位权方差σ02
=2，试求方差阵D L 。
17、已知观测向量 =[L 1，L 2]T
，已知其权阵的协方差阵及协因数阵为：
求单位权方差σ02
。
四、随机向量组中各随机向量的权阵及协因数阵的计算
18、设有向量 = ,其中， = ，已知权阵Pz 为：
??
????=3224X P ?
?
????--=4118L Q 1
,2L 1,2L 1
,2L ?
?
????--=2113L D ?
?
????--=3112L D 1,2L ?
?
????--=2112L P 1
,2L ?
?
????--=4226L Q ??
????--=3112L D 1,3Z ????????Y X 1.11
,21,2X ??
????21X X ??
??
?
?????----=211120102Z P
试求Px , P Y 及权Px 1 , Px 2 , Py 。
19、若令Z= ，其中Y=
，已知权阵Pz 为：
试求Px , P Y 及P Y1 , P Y2。
20、已知观测值向量 的权阵为：
（1）试问这三个观测值中有无不相关的观测值，指出哪些是不相关的观测值；
（2）设以L 1，L 2组成观测向量 = ，试写出它的权阵P L ′及权P 3。
21、设已知 = ， = ，Z= ，权阵Pz 为：
试求权阵Px 及Py 。
22、设有观测向量Z= ，其中，X= ，Y= ，已知协因数阵Qz 为：
试求协因数阵Qx,Qy 及权阵Px,Py 。
第二节 广义传播律
一、 线性函数的广义传播律
?????
????
?
Y X 1,21,1?
?
????21Y Y ??
??
?
?????----=211120102Z P 1,3L ????
??????----=52124212581L P 1,2'L ??
?
???21
L L ??
???
?2
1X
X 1,2X 1,2Y ??
?
???21Y Y ??
???
?Y X ?????????
???--=3100120000210011Z P ????????1,21,2Y X ??????21X X ??????21Y Y ????
?
????
???------=3111121111211112
Z Q
23、
在测站A 上以等精度观则了三个方向得观测值 L 1,L 2,L 3(见图2-1)，其方差均为
σ2
试求角度α，β和γ的方差及协方差。 24、 设有观测值向量
的协方差阵为：
（1） 试计算线性函数：X=L 1+3L 2-2L 3及Y=100+5L 1-L 2/3+L 3/4的方差σX 2
、σY 2
及协方差σXY ；
（2） 设单位权方差σ02
=2，试问函数φ1=2L 1+L 2与φ2=4.5L 2+6L 3是否相关。 25、
设有独立观测值L 1和L 2，其中误差为σ1=±2.3cm ，σ2=±1.7cm ，是求它们的和
数与差数的方差及协方差。 26、 已知观测向量 及其协方差阵D L ，试求函数X=AL ，Y=BX 的协方差阵D XL ，D YL ，及D XY 。 27、 已知观测值向量
及其协方差阵为：
将L i 组成函数：
X=AL 1+A
1
,3L ??
??
?
?????--=212140206L D 1
,n L 1
,331,221,11,,n n n L L L ????
?
?????=3332
31
232221
131211D D D D D D D D D D L
3
?L 3
?L ω
Y=BL 2+B 0 Z=CL 3+C 0
式中，A 、B 、C 为系数阵，A 0、B 0、C 0为常数阵，若令向量
试求协方差阵D W 。
28、 设有观测值向量 =[L 1，L 2，L 3]T
，其协方差阵为：
D L =
试求函数F=L 1+3L 2-2L 3的方差。
29 设有观测量值向量=[L 1，L 2，L 3]T 及其函数为 =L 1- ， =L 2- ， =L 3- ，式中， =L 1+L 3-L 2。若令 =[ ]T
，
D L =
试求 的方差阵 。 30、在高级水准点A ，B 间（其高程无误差）进行水准测量，如图2-2。路线长为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每里观测高差的中误差为mm km 0.1±=σ。试求将闭合差ω=(H B -H A )-(h 1+h 2+h 3)，按距离成比例分配后P 1至P 2点间高差的中误差。
31、已知独立观测值L 1，L 2的中误差均为σ，试求函数X=2L 1+5，Y= L 2-2L 2，Z=X+Y 的中误差σX ，σy ，σZ 。 32、设有随机向量
????
??????=Z Y X W 1,3L
????
?
?????----2121412161,3L 1?L 3
ω3
ω3
ωL
?1?L 2
?L 2
?L ??
??
?
?????22
2σσσL
? B
L D ?
Y =AX Z =BY H =CY+GZ
其中，A ，B ，C ，G 为常量矩阵，已知D X ，试求D Y ，D YX ，D YZ ，D Z ，D ZH ，D H 。
33、已知观测值向量 =[L 1，L 2]T
的协因数阵为：
试求其函数 的协因数阵Q Y 。
34、已知观测值向量度 =[L
1，L 2]T
的协因数阵为：
试求函数：
的协因数阵Q Y ，Q YZ ，Q Z ，Q YW ，Q ZW ，Q W 。
38、已知同精度独立观测值 的权阵为：
试求算术平均值X=[L]/n 的权P X 。其中，[L]=L 1+L 2+…+L n 。
39、已知不等精度独立观测值L i 的权为p i （I=1，2，…,n）,试求带权平均值Y=[PL]/[P]的权P Y 。其中，[P]=p 1+p 2+…+p n 。
40、已知随机量X 1，X 2的函数及其协因数阵为：Y=KX 1，Z=FX 2，
，试求协因数阵Q YZ 及Q ZX1。
二、 广义传播律的记忆规则
1
,2L ?
?
?
???=2112L Q L Y Y Y ?
??
???=??????=121121
1
,2L ???
???=1221L Q Z Y W L Z L Y +=??
????=??????=2,1112,12111,21,21,21
,n L ?????
????
??
?=p p p P
??
????=212211X X X X X X X Q Q Q Q Q
41、设有线性函数Z=F 1X+F 2Y+F 0，试用广义传播律的记忆规则求协方差阵D Z 。 42、设有两个函数：
Z=F 1X+F 2Y+F 0 H=AX+BY+C 0
已知Q X ，Q XY ，Q Y ，试用协因数传播律的记忆规则求Q ZH 及Q ZX 。
43、已知相关观测值向量 的协因数阵为：
试用广义传播的记忆规则求函数H=F 1X+F 2Y+F 3Z 的协因数阵Q H 及Q HX 。
44、设有独立观测值向量
，其协因数阵Q LL =I ，设有函数： V=BX-L X=（B T
B ）-1B T
L L=L+V
试用广义传播律的记忆规则求协因数阵Q X ，Q L 及Q VX ，Q VL 。 45、设有线性函数
F=F 1X+F 2Y+F 3Z+F 0
G=G 2Y+G 3Z+G 0
已知Q X ，Q Y ，Q Z ，Q XY ，Q YZ ，Q XZ ，试用广义传播律的记忆规则写出Q FG 的计算公式。
三、 非线性函数的广义传播律
46、已知独立观测值L 1，L 2的中误差为σ1和σ2,试求下列函数的中误差。
（1）X=L 12
/2+L 1L 2;
（2）Y=sinL 1/2+sin （L 1+L 2）。
47、设有函数：
????
?
?????=Z ZY
ZX
YZ Y YX
XZ XY X
W Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 1
,n L ??
??
?
?????=Z Y X W