韩信点兵公开课讲义详解
韩信点兵(彭丹)
对项目问题进行准确界定，提高应用算法解决问题的能力。
教学目标
• 理解“韩信点兵”问题的解题思路，了解计算机解决问题的一般过程；
知识与技能
• 学会用自然语言描述问题，掌握穷举法并应用。
• 通过课前的问题预热，让学生了解同一问题的不同解法，从而激发学生的 学习积极性和创造性；
分析
最小值加上3、5、7、13的公倍数 同样满足条件，求出10个这样m值。
小组内部多角度思考解题办法，学生代表用清楚的语言向全班同学阐述。
教学过程六：评价总结
自我评价
教师评价
组内评价
通过客观的多元化的评价提高学生 的学习积极性和学习效果， 通过总结帮助学生梳理知识脉络。
教学过程七：作业巩固
通过作业让学生在课下巩固所学，提高算法思维与创新思维能力。
问题驱动 协作探究
对比迁移 发散思维
任务拓展 巩固创新
讲授与探究相结合 突出思维的训练
主讲人：彭 丹
Huanggang Foreign Language School
学情分析
本课的授课对象为八年级学生，虽然他们还没有在数学中 系统的学习算法，但是这个年龄段的孩子抽象逻辑思维能力开始 快速发展，在恰当的启发诱导下能够依据逻辑关系对问题做出分 析和判断。因此，本节课将抽象的算法描述知识渗透到具体的任 务中，激发学生的学习兴趣，让学生在做中学。同时，由于学生
小学阶段接触掌握算法的水平存在差异，所以教学过程中对全班
教学环境及设备、资源
硬件准备
多媒体网络教室
课前准备
软件准备
PPT播放软件
数学：韩信点兵
Байду номын сангаас创微数课学：文数学化文背化景背景考系题列是3 2017年高考大纲明确提出必考内 容，它涵盖了中华5000年的历史精华，是我们伟大民族 的骄傲。我们必须好好传承我们的数学文化。
《数学文化背景系列》是在这样的背景下，以微课的形
谢谢大家 式和大家共享，一起学习。
多多指导
原创微课：数学文化背景系列3
韩信点兵
原创微课：数学文化背景系列3
民间传说着一则故事——“韩信点兵”，其次有 成语“韩信点兵，多多益善”。
相传，韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人， 站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7 人一排，多出6人。
韩信很快知道人数：1049。 这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形 成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。“鬼 谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算” 等等 。题目与解法都载于我国古代重要的数学著作 《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的著作， 比刘邦生活的年代要晚近五百年 。
原创微课：数学文化背景系列3
这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道 理，我们再来看看原来的题目：韩信带1500名兵士 打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5 人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。可以很 容易地把前面的题目列成算式：
70×2＝140 21×4＝84 6×15＝90 140+84+90 ＝314 因为总人数1500，战死400至500人，那么人数 大概是1000人左右。那么314+105×7 ＝1049 。
原创微课：数学文化背景系列3
算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》， 诗中数字隐含的口诀是这样的：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。
最新人教版五年级数学下册《奥数韩信点兵》精品教学课件
A=15 答：这个数最小为15.
例2、一百多个苹果，3个3个数多2个，5个5个数剩2个，7个7 个数缺5个，则苹果有多少个！
解：设苹果有A个.
A÷3...2
A-2满足3的倍数
A÷5...2
A-2满足5的倍数
A÷7...2
A-2满足7的倍数
3、5和7的最小公倍数是105，
A-2=105×k=105k
练习题3：某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数 最小值。
练习题1：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是 几？（33）
练习题2：某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小 是几？
【答案】除以7余1，除以5余1 ，则这个数除以35也余1，符合条件 的数有36,71,106,141,176,210，…，其中除以12余9的数最小是141.
A-4满足是9的倍数
所以：A-4=20k-2-4
有满足k的值，使20k-2-4能被9整
除
当k=1时，带入式子中 A-4=20×1-2-4=14不符合 当k=2时，带入式子中 A-4=20×2-2-4=34不符合 当k=3时，带入式子中 A-4=20×3-2-4=54 符合
A=54+4 A=58
答：至少有58个老人。
A =105k+2
当k=1时，带入式子中
A=105×1+2
A=107
答：苹果有107个.
知识点一：加同补
例3、一个自然数除以6余2，除以8余4，则这个数最小为多少 ？
解：设这个最小为A.
A÷6...2
A+4满足6的倍数
A÷8...4
A+4也满足8的倍数
6和8的最小公倍数是24，
韩信点兵--剩余定理
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那么，为了解这个方程组， 那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？ 还有没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现， 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。 带余除法”的式子，都是“余数比除数少1
于是想到，如果把被除数再加1 于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 把被除数再加 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 整除的情况了吗
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对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1， 问题： 今有物不知其数，二二数之剩 ，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩 ，六六 数之剩 ，四四数之剩 ，五五数之剩4， 数之剩5，七七数之剩 ，八八数之剩7， 数之剩 ，七七数之剩6，八八数之剩 ，九九 数之剩8，问物几何？ 数之剩 ，问物几何？
a 整除 ”，这是通常除
” 的另一种表达形式。所以， 的另一种表达形式。所以，
带余 除法是通常除法的推广。 除法是通常除法的推广。
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回到求“ 除余1的数 回到求“用2除余 的数”的问题。设 除余 的数”的问题。 这 样的数为
x
，则
x = 2n1 + 1
n1
。这里
x
是
被除数， 2是除数 被除数，2是除数， 0 ≤ 1 < 是除数， 且 。
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
除余1） 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 除余 5， ， 11， ， 17， ， 23， … ， （ 用3除余 ） 除余2） 除余
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。
历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。
他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。
”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。
韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。
求出了x，y，z以后，M也求求出来了。
而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。
在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。
不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。
我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。
其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。
术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。
一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。
在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。
《“韩信点兵”与中国的剩余定理 》PPT教学课件
2020/12/09
我们现在令Z表示所有的整数集合，给定一个正整 数n，我们看同余≡究竟有什么性质？
首先，对于任何整数a ，我们恒有a≡a（mod n） 因为a－a＝0＝0×n，以上的性质就是“同余具有自 反性。
其次，如果a≡b（mod n），则一定有b≡a（mod n） 因为由a≡b（mod n），我们得a－b=n×k，k是一个 整数，
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因此b－a=－（a－b）＝n×（－k），即b≡a （modn）。我们说“同余具有对称性”。
另外如果有a≡b（mod n），b≡c（mod n）， 则我们可以得到a≡c（mod n）。 这就是“同余具有传递性。
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让我们看看下面的例子：
例1．取n＝2，则我们把整数分成偶数或奇数，就是…… [0]2={0，±2，±4，±6，…±2k，…}包含所有偶数。 [1]2={±1，±3，…±（2k+1)，…}包含所有的奇数。
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我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到斗鸡走 犬。而位于大街的酒家，高朋满座。最热闹的是靠 南城门的墙脚地方，只见许多人围绕在一个竹竿高 挂上写“鬼谷神算”的布条下。挤进去看，我们看 到一个有仙风道骨模样的老人对另一位老观众说： “大爷不需告诉我岁数，只需讲你的岁数除以二、 三、五后的余数是多少，就可以了。”
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这和《孙子算经》的答案：“答曰：二十三”是 符合的。
《孙子算经》还给出解这题的方法： “术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数 之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之， 得二百三十三，以二百十一减之即得。” 而书中接下来就给这一类问题的一般解法：
韩信点兵问题
韩信点兵问题韩信点兵问题又称“中国剩余定理”或“孙子定理”。
这种问题好多老师的讲解方法很笨拙，同学们做起来也很吃力，不少好学生在考试时，用了大量的时间研究这道题，为了提高我们的解题速度及正确率，现将我的经验和解题技巧提供给大家。
这类问题的解法根据是：1、如果被除数增加除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
例如：19÷7=2 (5)（19+2×7）÷7=4 (5)2、如果被除数扩大若干倍，除数不变，那么余数也扩大同样的倍数。
例如：20÷9=2 (2)（20×3）÷9=6 (6)例1、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合这些条件的最小数。
【5，6】=30 因为30÷7=4……2 不余1，要想余数为1，就得将余数2扩大4倍，即被除数扩大4倍，得30×4=120，所以120除以7余1。
【5，7】=35 因为 35÷6=5……5 ，要想余数为4，就得将余数5扩大2倍，那么被除数30就得扩大2倍，即35×2=70所以70÷6余4.【6，7】=42 因为42÷5=8……2 要想符合题中要求余3的话，余数2就得扩大4倍，即被除数扩大4倍，得42×4=168，168除以5余3.现找到的符合题中条件的一个数为：120+70+168=358 ，但不是最小的数，要想最小，就得减去除数5、6、7的最小公倍数，直到不够减为止。
【5，6，7】=210 ， 358-210=148 ，所以答案为148完整的算式为：【5，6】=30 30÷7=4……2 30×4=120【5，7】=35 35÷6=5……5 35×2=70【6，7】=42 42÷5=8……2 42×4=168【5，6，7】=210120+70+168=358 358-210=148答：符合条件的最小的数是148.注：也可能会出现四个除数，不管有几个除数，都是用其它几个数的最小公倍数除以另外一个数，再找符合该条件的余数的被除数。
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的.积)，然後再加3，得9948(人)。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」
孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。
历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。
他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。
”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。
韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。
求出了x，y，z以后，M也求求出来了。
而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。
在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。
不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。
我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。
其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。
术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。
一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。
在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。
趣味数学教案-韩信点兵
contents
目录
• 课程介绍与目标 • 数学知识储备 • 韩信点兵问题分析与建模 • 趣味数学游戏设计与实践 • 课堂互动环节设置 • 课程总结与拓展延伸
01 课程介绍与目标
韩信点兵故事背景
韩信点兵是中国古代著名的数学故事之一，讲述了韩信如何利用数学知识巧妙地 解决了士兵数量统计的难题。
策略比较
引导学生比较不同策略的 优缺点，加深对问题的理 解。
提问环节：针对疑难问题进行解答
问题收集
鼓励学生提出在小组讨论 中遇到的疑难问题或不解 之处。
问题解答
教师针对学生的问题进行 详细解答，确保学生理解 透彻。
问题延伸
引导学生思考问题的延伸 和拓展，培养学生的发散 性思维。
分享交流：优秀策略和心得体会
故事背景发生在汉朝时期，韩信作为一位杰出的军事将领，通过独特的数学方法 ，准确地计算出了士兵的数量，展现了数学在解决实际问题中的巨大作用。
教学目标与意义
教学目标
通过讲解韩信点兵的故事，引导 学生理解数学在实际问题中的应 用，培养学生的数学思维和解决 问题的能力。
教学意义
通过韩信点兵这一经典案例，让 学生认识到数学的实用性和趣味 性，激发学生对数学的兴趣和热 爱，提高学生的数学素养。
策略展示
邀请部分学生在全班面前展示自 己的优秀策略，分享解题过程中
的心得体会。
互动交流
鼓励其他学生向展示者提问或发表 自己的看法，促进全班学生的互动 交流。
总结提升
教师对学生的分享进行点评和总结， 提炼出共性和规律性的东西，帮助 学生进一步提升思维能力。
06 课程总结与拓展延伸
关键知识点回顾总结
06
第2讲韩信点兵ppt课件
【答案】
多少？ 2020－4＝2016正好是这个两位数的倍数，
进行质因数分解：2016＝2×2×2×2×2×3×3×7，则这个三位数可能
是：672，504，336，288，252，224，228，168，144，126，112。 最大为672.
多少？第二小是多少？
【答案】 余同问题，设这个自然数为a，则a÷8余5；a÷9余5；(a－5)是8
和9的公倍数，则a最小为0＋5＝5；[8，9]＝72，则第二小是5＋72＝77。
（2）一个自然数除以18余5，除以17余4，这个自然数最小是
多少？第二小是多少？
【答案】 缺同问题，设这个自然数为a，则a÷18余5；a÷17余4；因为18
物不知数问题
1．逐步满足条件，找出最小数（枚举大数＋判断） 2．依次加最小公倍数，直到找出答案
小热身
1． 求下列各数：25、110、2019 除以 9、11 的余数分别是多少？
【答案】 25÷9余7；110÷9余2；2019÷9余3 25÷11余3；110÷11余0；2019÷11余6
2． 下列三个数分别是 7、11、15 的倍数：12a ， 234b ， 93834c ，求这三个
（2）用692、608和1126除以同一个数，得到的余数相同，但
余数不为0，这个除数可能是多少呢？
【答案】 利用余数定理，692－608＝84，1126－692＝434，则这个数的正好
是84和434的公因数，84和434的公因数有：1（不符），2（不符），7， 14则这个数可能是：7，14
例题6
陈博士买了63个苹果，90根香蕉，130个桃子平均分给一些同 学，最后一共剩下了25个水果没有分出去，请问剩下最多的水果剩 下多少个？
趣味数学教案韩信点兵
趣味数学教案-韩信点兵一、教学目标：1. 让学生了解并掌握“韩信点兵”的基本方法和技巧。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生学习数学的兴趣，感受数学的趣味性和实用性。
二、教学内容：1. “韩信点兵”的背景故事介绍。
2. “韩信点兵”的基本方法和步骤。
3. “韩信点兵”在实际生活中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握“韩信点兵”的基本方法和技巧。
2. 教学难点：如何引导学生运用“韩信点兵”解决实际问题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解“韩信点兵”的背景故事、基本方法和步骤。
2. 案例分析法：分析“韩信点兵”在实际生活中的应用案例。
3. 实践操作法：让学生分组进行“韩信点兵”的实践操作，培养学生的动手能力。
五、教学准备：1. 教学课件：包括“韩信点兵”的背景故事、方法步骤、实际应用案例等。
2. 教学素材：准备一些关于“韩信点兵”的实际问题，用于课堂练习和拓展。
3. 分组标志：用于学生分组实践操作。
教案一、导入（5分钟）1. 讲述“韩信点兵”的背景故事，引发学生兴趣。
2. 提问：同学们听说过“韩信点兵”吗？你们认为“韩信点兵”是一种什么方法？二、基本方法讲解（10分钟）1. 讲解“韩信点兵”的基本方法和步骤。
2. 通过举例，让学生理解并掌握“韩信点兵”的原理。
三、实际应用案例分析（10分钟）1. 分析“韩信点兵”在实际生活中的应用案例。
2. 让学生思考：如何将“韩信点兵”应用于生活中的问题解决？四、实践操作（10分钟）1. 将学生分成若干小组，每组选择一个实际问题进行“韩信点兵”的操作实践。
2. 教师巡回指导，解答学生疑问。
五、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调“韩信点兵”的方法和技巧。
2. 提出一些拓展问题，激发学生进一步探索的兴趣。
教学反思：通过本节课的教学，学生是否掌握了“韩信点兵”的基本方法和技巧？他们在实际操作中是否能够灵活运用？对于教学中的难点，学生是否能够理解并解决实际问题？这些问题都值得我们反思和改进。
趣味数学教案韩信点兵
趣味数学教案-韩信点兵一、教学目标：1. 让学生了解并掌握“韩信点兵”的基本方法和技巧。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。
二、教学内容：1. 韩信点兵的由来和历史背景。
2. 韩信点兵的基本方法和步骤。
3. 韩信点兵在实际生活中的应用。
三、教学重点与难点：1. 韩信点兵的基本方法和步骤。
2. 如何运用韩信点兵解决实际问题。
四、教学准备：1. PPT课件。
2. 教学素材（如图片、案例等）。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：讲述韩信点兵的由来和历史背景，激发学生的兴趣。
2. 基本概念：介绍韩信点兵的基本方法和步骤，让学生初步了解并掌握。
3. 案例分析：通过分析典型案例，让学生深入了解韩信点兵的应用。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生动手实践，分组讨论，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结韩信点兵的方法和技巧，引导学生思考如何运用韩信点兵解决实际问题。
6. 课堂小结：对本节课的内容进行简要回顾，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学情况进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究韩信点兵的原理和应用。
2. 利用多媒体课件，生动展示韩信点兵的过程，提高学生的学习兴趣。
3. 分组讨论与合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4. 注重个体差异，针对不同层次的学生给予适当的指导和支持。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在团队合作中的表现，包括沟通能力、协作精神等。
4. 课后反馈：收集学生对课堂学习的反馈意见，以便不断改进教学方法。
八、教学素材：1. PPT课件：包括韩信点兵的历史背景、方法介绍、案例分析等内容。
嗨学网一级建造师讲师剖析市政韩信用兵多多益善课件
韩信鼓励团队成员不断寻求改进空间，通过持续创新和优化提高市 政工程的质量和效益。
04
市政工程中的挑战与对策
市政工程中的常见问题
工期延误
由于项目规划不合理 、施工过程中的问题 以及外部因素的影响 ，如天气、交通等， 可能导致工期延误。
预算超支
不准确的预算估计、 额外的工程变更以及 材料价格上涨等因素 可能导致预算超支。
启示
在市政项目管理中，应注重借鉴历史经验，结合实际情况灵活运用韩信用兵策略，不断提升项 目管理水平。同时，要勇于面对失败案例，深入分析原因，总结经验教训，为今后的项目管理 提供借鉴。
06
结论与展望
结论
韩信在市政工程中善于运用兵法，通过巧妙的策略和布局，实现了工程的 高效推进和优质完成。
嗨学网一级建造师讲师通过深入剖析韩信的用兵之道，总结出了一系列实 用的工程管理方法和技巧，为实际工作提供了有益的参考和借鉴。
市场化
市政工程建设将更加注重市场化运作 ，通过引入社会资本和专业化管理团 队，提高市政工程的建设效率和运营 效益。
03
韩信在市政工程中的应用
韩信的管理理念
01 知人善任
韩信善于发掘和利用人才，能够根据每个人的特 长和能力合理分配任务，实现团队整体效益最大 化。
02 灵活调度
韩信在管理上注重灵活性和适应性，能够根据实 际情况调整战略和资源分配，确保工程顺利进行 。
02 市政工程建设是城市发展的重要支撑，也是政府 履行公共服务职能的重要体现。
市政工程的重要性
01
市政工程是城市基础设施的重要组成部分，对于保障城市居民 的基本生活需求和提高生活质量具有重要意义。
02
市政工程建设能够促进城市经济发展，提高城市的综合承载能
韩信点兵公开课讲义详解
韩信点兵一．减同余、加同补：【第一题】炒饭老师非常喜欢吃炒饭。
有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭。
他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗。
问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？【第二题】炒饭老师非常喜欢吃炒饭。
有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭。
他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下1碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下3碗。
问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？【练习1】一个两位数除以4余3，除以7余3，问这个两位数至少是多少？【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。
这堆糖至少有多少块？【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？二．逐级满足：【第三题】1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
【第四题】（2008“奥数网杯”）三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？三、杯赛真题：【第一题】（第十八届华杯赛决赛）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。
那么这筐苹果至少_______个。
【解析】设有x 个苹果。
因为11除以3余2，所以x 除以3余2；因为10除以4余2，所以x 除以4余2；因为12除以5余2，所以x 除以5余2。
韩信点兵算法及其原理
韩信点兵算法及其原理【问题】求最小非负整数N，使他在除以3,5,7以后所得余数分别是a,b,c。
【韩信点兵法的口诀】三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。
【韩信点兵法口诀的释义】前三句意思较为明确，假如说一个非负整数N，在除以3,5,7以后所得余数分别是a,b,c。
那么70a+21b+15c 一定是符合题意要求的数。
第四句“除”字作“减”字解。
因为符合要求的最小数N必满足0≤N＜105，但是70a+21b+15c 却有可能大于105，甚至大于210，所以还不一定是符合要求的最小数。
那么当他大于或等于105时，还必须减去105，可能还要再减去105，直到比105小为止，才可以得到符合题意要求的最小数。
【说明】这里105是3,5,7的最小公倍数，70a+21b+15c + 105k 也一定满足“除以3,5,7以后所得余数分别是a,b,c”。
【例如】a=b=c=2，70a+21b+15c=212，70a+21b+15c-105=107＞105。
而符合题意要求的最小数是 2，即 212-105-105=2.【再如】a=2,b=4,c=6，70a+21b+15c=314，314-105=209＞105。
而符合题意要求的最小数是 104，即 314-105-105=104.【韩信点兵法口诀的原理】①能被5,7除尽数是35k,其中k=2，即70除3正好余1，70a 除3正好余a。
②能被3,7除尽数是21k,其中k=1，即21除5正好余1，21b 除5正好余b。
③能被3,5除尽数是15k,其中k=1，即15除7正好余1，15c 除7正好余c。
这样——根据①可知 70a+21b+15c 除3正好余a。
根据②可知 70a+21b+15c 除5正好余b。
根据③可知 70a+21b+15c 除7正好余c。
【韩信点兵法口诀的局限性】只适宜于如题所示的一个极为特殊的问题，要推广到同类问题必须另行制作口诀（即公式）。
2014年暑期第4讲韩信点兵六年级优秀A版学生版
4+韩信点兵GP知识本讲内容理解“韩信点兵”这类题目的实质；灵活运用逐级满足法解决“韩信点兵”问题这类题目的相关技巧. 前铺知识同余——五年级春季第4讲（第10级下）不定方程——五年级春季第5讲（第10级下）后续知识数论中的组合——六年级暑期第9讲（第11级上）数论中的规律——六年级秋季第5讲（第11级下）课前加油站难度1 3,5,7的最小公倍数为______.难度3 12×11除以9的余数是______.难度3 枚举尝试:除以3余1,除以5余2的最小自然数为______.版）A（韩信点兵讲4第六年级1减同余、加同补知识剖析今有物不知其数，“在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：按照今天的话来说：”三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？，求这个数．这样的问题，有人称为余，除以余，除以一个数除以余227533．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所”“韩信点兵．“中国剩余定理”以被称为,余”题，也就是找出一个数，满足除以我们在解决类似“物不知其数AN a把余数问“四大绝招”,除以余．在解决这一类问题的时候，我们有除以余BCb c“整除问题”:题转化为第一类：减同余．; ，而的值是,例如则有d?,B],B]kkN?[AdN??[AN?d?A?a?Bb第二类：加同补．的值是例如：;则有，而e]k?N?[A,[N?e?A,B]kBN?be?A?aB?大宽特别爱吃小馒头，每次吃馒头都要数一数，则这包小.1）第一包小馒头，三个三个吃，刚好吃完；四个四个吃，也刚好吃完；五个五个吃又刚好吃完（._____个馒头最少有则这个，.11个；四个四个吃剩个；五个五个吃还是剩12（）第二包小馒头（多于1个），若三个三个吃剩. _____个包馒头最少有则这包小馒头最.个；五个五个吃还是少1个1（3）第三包小馒头，若三个三个吃少1个；四个四个吃又少. 个少有_____3个，艾迪和薇儿去采摘园摘草莓，最后放在一起数了数，若三个三个的数多2个，若四个四个的数多个，聪明的同学们，你知道他们最少摘了多少个草莓吗？七个七个的数多6韩信点兵（A版）讲第六年级 4 2问学生版仅有前2 ，问满足条件的最小两位数是多少？7余31）一个自然数除以4余3，除以（余1，这个数最小是多少？一个自然数，它除以5余2，除以4（2）逐级满足法知识剖析第三类：逐级满足法．当我们处理三个数或多个数的剩余问题时，可以先找一个满足其中两个条件的数，再. 逐级满足另几个条件第四类：中国剩余定理．________. 1，那么这个数最小7）一个自然数除以4余3，除以余（1_____. 5，除以9余，那么这个数最小是3 （2）一个自然数除以5余韩信点兵 4 六年级第讲A（版）3余1，求满足条件的最小的自然数．21，除以4余，除以5(1)一个数除以3余余，求满足条件的最小的自然数.)一个数除以余，除以余，除以(2227533743153.，求满足条件的最小的自然数余，除以，除以余一个数除以余综合计数模块问符合条件的数有多少个？被7除余3,且被3除余1,被5除余2,,一个自然数在1000和2000之间笔记整理: 韩信点兵问题的处理方式第一类：减同余．; 则有，而的值是例如,d],BkA,B]k?N?[A?N?d[N?B??dbaA?第二类：加同补．则有例如：，而的值是;e]k?kA[,B],N?[AB??NeNA?b??eBa?第三类：逐级满足法．第四类：中国剩余定理．韩信点兵A讲第六年级 4 （版）4综合应用，将年份用十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地”在中国经常使用的“干支纪年法年就是“甲子”年，则18651864支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）来表示. 年是一个丁卯”年……““乙丑”年，依次往下是“丙寅”年、1）用干支纪年法，1870年是什么年？（）某年是甲年，再过多少年是下一个甲年？若某一年是子年，再过多少年是下一个子年？若某年是一（2 年呢？甲子”“个甲子”年，再过多少年是下一个“年爆发了中日战争，你知道这一年是干支纪年的哪一年吗？）1894（3 2014年按照干支纪年是什么年？4（）今年. 也余1.某个两位自然数除以除以4余1，除以51，则这个数最小是______. 8，除以余3，这个数是2.一个小于60的数，它除以7余2________ 5，那么这个数最小6一个自然数除以5余3，除以余3.4，求满足条件的最小的自然数.，除以，除以一个数除以3余25余47余4.韩信点兵版）A（讲4第六年级5. ____人人，排成9行少1人，问上体育课的同学最少35.五年级同学早晨来到操场做操，排成4行多333 1.___???1?44?77?102.4×4×7的大长方体表面涂上红色后被切割为112个1×1×1的小正方体,则没被涂色的小正方体有____个.111a?，……，，；求. ；有如下规律：、3.有一串数：、、……?aaaa?aa3123121511?1?1 111? 1在中国经常使用的“干支纪年法”，将年份用十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）来表示.1984年是“甲子”年，聪明的小朋友，你知道你生日的年份按干支纪年法是哪一年吗？赶紧去算算吧！韩信点兵（A版）讲第六年级4 6。
趣味数学教案—韩信点兵
韩信点兵教学目标：一、让学生在故事中学会带余除法的算法，掌握剩余定理。
二、帮助学生开拓逻辑思维，提前掌握用未知数列方程。
三、在学习中玩，在玩中学习，让学生体验到学习的快乐。
教学重点：剩余定理，带余除法教学难点：多方程解未知数课前准备：教学PPT教学步骤：一、韩信点兵汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。
现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。
”韩信满不在乎地说：“可以可以。
”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。
”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。
”“刘邦又传令：“每五人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有三人。
”刘邦再传令：“每七人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有二人。
”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。
”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。
”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法.二、唐僧师徒摘桃子一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。
不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。
师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？八戒憨笑着说：师父，我来考考你。
我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘了多少个？沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。
我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘了多少个？悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。
六年级下册数学试题-能力提升：第05讲 韩信点兵(解析版)全国通用
第05讲 韩信点兵一：带余除法1：了解“除法算式——a b q r b r ÷=>L L ()” 及应用（1）两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=L L L L 法一： 法二：若设为，则为 则2：余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： 999910019911999910[0199(]1)1)(a a b b c c d d e e c a b b d c a d ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+++⎩+-()()()()()()()()()()a c m e a mc eb c n f b nc f a b mc e nc f m n c e f a b c e f a b mc e nc f m n c e f a b c e f a b mc e nc f ÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+L L L L L L L L 对于（1） （2） 余数可加可减余数可加性可乘 余数可减性 （3） 2()()1192259732953295mnc mcf nec ef a b c e f ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=+++⎪⇒⨯÷⨯⇒⎪⎪÷÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷÷⎩⎩⎩L L L L L L L L L L 举例或者余数可乘性71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C DABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++M M M 证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴Q 能被和整除（1）将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（2）求20172017201720172017L 144424443个除以9的余数.{201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡L L 144424443个个（3）今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒L L 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一二：同余问题1：化余数为整除（余数相同） （1）余数已知某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=L L L L L L L L Q 是、、的公因数是最大公因数的因数，且、（2）余数未知某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？41(4111)030030302153105611b r b b b b b r÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩L L L L 是的因数，、、、、、2：化余数为整除（余数不同） （1）余数已知某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b b b b b b b b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=L L L L L L Q 是、的公因数是最大公因数的因数，且、（2）余数未知某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=L L L L L L L L L L L L Q 是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=L L L L L L L L L L L L L L L 舍去舍去舍去综上，、【二】韩信点兵一：余同加余，差同减差，和同加和2021217430313265a a a a a a a a ÷÷÷÷⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨÷÷÷÷⎩⎩⎩⎩L L L L L L L L 从同余问题引入，直接举例： 、 、 、 引入三同1：小强家有很多巧克力:。
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【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。这堆糖至少有多少块？
【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？
【挑战题】一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是多少？
【解析】设这个数为x。
4）x除以7余3：最小为3，通式为 ；
5）x除以8余5： 最小为6，则有 ，通式为 。
6）x除以9余7： 最小为8，则有 。
则 。
。
【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
【第四题】（2008“奥数网杯”）三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？
三、杯赛真题：
【第一题】（第十八届华杯赛决赛）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。那么这筐苹果至少_______个。
3）n除以7余1： 最小为4，则有 。
【第六题】三个连续自然数，从小到大依次是8、7、9的倍数，那么这三个数的和至少是多少？
【解析】设这三个数为x， ， 。
1）x除以8余0：最小为0，通式为 ；
2）x除以7余6： 最小为6，则有 ，通式为 ；
3）x除以9余7： 最小为2，则有 。
则这三个数的和至少是 。
【解析】设这个数为x。
1）x除以8余2：最小为2，通式为 ；
2）x除以9余7： 最小为4，则有 ，通式为 。
3）x除以11余3： 最小为4，则有 。
则 。
。
【课后演练】
【第一题】一个数除以2余1，除以3余1，除以4余1，除以5余1，则这个数至少是多少？
【解析】至少为1。
【第二题】一个数除以3、4、5、6的余数分别是2、3、4、5，则这个数至少是多少？
【解析】设有x个苹果。
因为10除以3余1，所以x除以3余1；
因为11除以4余3，所以x除以4余3；
因为12除以5余2，所以x除以5余2。
1）x除以3余1：最小为1，通式为 ；
2）x除以4余3：n最小为2，则有 ；
因为7除以5余2，且x大于12，所以 。
【第三题】（2012年六年级少文杯）一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为_______。
【解析】设有x个苹果。
因为11除以3余2，所以x除以3余2；
因为10除以4余2，所以x除以4余2；
因为12除以5余2，所以x除以5余2。
又因为x大于12， 。
【第二题】（第十八届华杯赛决赛）有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个，那么这箱苹果至少有个。
【答案】设这个自然数是n。
n除以3余2，除以6余5，除以7余6，除以42余41，则n最小为 。
同时41除以4余1，除以12余5，所以n的通式是 。
由题意可得：
则 。
【练习1】一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？
【解析】设这个数为x。
, ，则 。
。
【练习2】一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？
【解析】
1）n除以15余13：最小为13，通式为 ；
2）n除以13余12： 最小为6，则有 ，通式为 。
3）n除以11余0： 最小为5，则有 。
【第四题】（2012年六年级少文杯）小明在学习完有余数除法时，很感兴趣，就自己出数据来试，有一次小明用一个自然数分别除以3、4、6、7、12、42后，得到的余数分别为2、1、5、6、5、41。又知道这6个商的和为709，则这个自然数是多少？
【解析】 。
【第三题】某类数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则小于50的这类数分别是多少？
【解析】设这个数是x。
1）x除以3余2：最小为2，通式为 ；
2）x除以5余 ， 。
【第四题】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？
【解析】设这个数为n。
1）n除以3余2：最小为2，通式为 ；
2）n除以5余3： 最小为2，则有 ，通式为 。
3）n除以7余4： 最小为3，则有 。
【第五题】一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？
【解析】设这个数为n。
1）n除以5余3：最小为3，通式为 ；
2）n除以6余4： 最小为5，则有 ，通式为 。
二．逐级满足：
【第三题】
1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？
2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？
【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？
韩信点兵
一．减同余、加同补：
【第一题】炒饭老师非常喜欢吃炒饭。有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭。他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗。问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？
【第二题】炒饭老师非常喜欢吃炒饭。有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭。他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下1碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下3碗。问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？