2021年高三3月联考数学理试题含答案
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理(含解析)
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. [﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得11 2a q =⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. 53B.85C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4 i≤，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1s i==，第二次循环，3,22s i==，第三次循环，5,33s i==，第四次循环，8,45s i==，第四次循环，13,58s i==，此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A. 2 B. 1C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.故选：B .1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2-e 2] 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1x e x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x xe x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 【答案】9.14h. 【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则AC ＝450，则有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 22AD DC +=450，22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或1025，1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA 3SB 3，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故212R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，23r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O ，1332r ==⨯.设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角. 故221132OO R r =-=，222232OO R r =-=，1133DO CD ==，2132DO SA ==. 1tan 3ODO ∠=，故13ODO π∠=，2tan 3ODO ∠=，故23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值；（2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）43 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（23 【解析】 【分析】（1）作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=. 22211232222PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，3） （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2p，0），利用FP =（2，，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p ，0），满足FP =（2，）的P 的坐标为（22p +，，P 在抛物线上， 所以（2＝2p （22p+），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y yy yy yy y+⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y0可得y1y2＝12，易知直线k NL124y y=+，则直线NL的方程为：y﹣y1124y y=+（x214y-），即y124y y=+x1212y yy y++，故y124y y=+x1212y y++，所以y124y y=+（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix=∑= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363254x=+ˆa.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆy bx a=+中，11221ˆniiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.（2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】（1）46；（2）1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 （1）直接根据101380ii x==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii i i x y x ybx x ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.（1）证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数.又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 【答案】（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），所以：PO === 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，13-]；（2）[﹣2，1]. 【解析】（1）根据a ＝4时，有f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， （i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii ）当x ≤2时，原不等式可化为﹣3x +7≥8，解可得x 13≤-， 此时不等式的解集（∞，13-]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13-]，（2）（i ）当a ﹣112a =即a ＝2时，f （x ）＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立，（ii ）当a ﹣112a ＞即a ＞2时，()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，， 结合函数的单调性可知，当x 12a =时，函数取得最小值f （12a ）112a =-， 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则211122a a -≥，此时a 不存在，（iii ）当a ﹣112a ＜即a ＜2时，f （x ）3211111213212x a x a x a x a x a x a ⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则121122a a -≥， 解得﹣2≤a ≤1，此时a 的范围[﹣2，1]，综上可得，a 的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2021届浙江省百校高三3月模拟联考地理试题(解析版)
浙江省百校2021届高三3月模拟联考一、选择题Ⅰ（本大题共20小题，每小题2分，共40分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）“碳卫星”能在全球和区域尺度上准确获取碳排放数据，对提升我国在国际气候变化方面的话语权具有重要意义。
由于技术难度极高，目前仅有两颗卫星能够从太空监视地球温室气体排放。
2017年开始，我国发射的“碳卫星”数据正式对外开放共享，我国成为第三个可以提供碳卫星数据的国家。
下图为碳卫星工作流程图。
完成下面小题。
1. 图中各流程应用的地理信息技术有（）A. 遥感地理信息系统B. 全球定位系统遥感C. 地理信息系统全球定位系统D. 地理信息系统2. “碳卫星”数据的正式对外开放有助于我国（）A. 获取各行业的碳排放数据B. 减少二氧化碳排放量C. 提高节能减排措施的针对性D. 减少极端天气的危害『答案』1. A 2. C『解析』『1题详解』卫星获取碳排放信息应用了遥感技术（主要作用是收集信息和监测），对数据进行加工、制图、数据共享等属于地理信息系统（主要作用是分析数据，处理信息）。
故选A。
『2题详解』“碳卫星”能在全球和区域尺度上准确获取碳排放数据，所以，“碳卫星”数据的正式对外开放有助于我国提高节能减排措施的针对性；获取各行业的碳排放数据不是数据对外开放的主要目的；开放共享数据，不能减少二氧化碳排放量，不能减少极端天气的危害。
故选C。
海外仓是指在跨境贸易电子商务中，国内企业将商品通过大宗运输的形式运往目标市场国家，在当地建立仓库、存储商品，然后再根据当地的消费订单，第一时间做出响应，及时从当地仓库直接进行分拣、包装和配送。
德国是我国在欧洲海外仓的首选地。
完成下面小题。
3. 对海外仓选择影响最小的区位是（）A. 运输规模B. 消费市场C. 劳动力D. 信息技术4. 德国成为我国海外仓首选地的主要原因是（）A. 地处中欧位置优越B. 科学技术水平高C. 工业基础雄厚D. 社会协作条件好『答案』3. C 4. A『解析』『3题详解』海外仓采用大规模集中运输，运输规模大，提高效率，降低运费（降低物流成本），A错误；接近市场，提高物流时效，更好地满足消费者需求，B错误；信息技术的发展为海外提供各种数据支持(市场分析、物流追踪)，有利于适应市场变化，D错误。
江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案
上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0，则( ) A. log a c>log b c lnc －c a >b －cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有（ ）个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A ．1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负9.已知x ，y ∈R ，且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)＝1＋log a (x －2)(a>0，a ≠1)的图象经过定点A(m ，n)，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5＋11.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()xf x e ，下列结论错误．．的是( ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 是函数g(x)的极小值点 ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________.15．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y xx x y++的最小值为 。
湖北省七市(州)教研协作体2020-2021学年高三下学期3月联考数学试题 (解析版)
2021年湖北省七市（州）教科研协作体高考数学联考试卷（3月份）一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣2，4）B．（1，2）C．（1，4）D．（2，4）2．设i•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．已知等比数列{a n}中，a3＝4，a2a7＝8a4，则a1＝（）A．1B．2C．±1D．±24．2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利．如图是2015﹣2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报）．根据图表可得出的正确统计结论是（）A．五年来贫困发生率下降了5.2个百分点B．五年来农村贫困人口减少超过九成C．五年来农村贫困人口减少得越来越快D．五年来目标调查人口逐年减少5．已知圆M过点A（1，﹣1），B（1，2），C（5，2），则圆M在点B处的切线方程为（）A．3x+4y﹣2＝0B．3x﹣4y﹣2＝0C．4x﹣3y+2＝0D．4x﹣3y﹣2＝0 6．函数（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的大致图象为（）A．B．C．D．7．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，满足f（x）＞0且f（x）+f′（x）＜0（f′（x）为函数的导函数），若0＜a＜1＜b且ab＝1，则下列不等式一定成立的是（）A．f（a）＞（a+1）f（b）B．f（b）＞（1﹣a）f（a）C．af（a）＞bf（b）D．af（b）＞bf（a）二、多项选择题（共4小题）.9．设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（）A．c2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D．＞0 10．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2B．把y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝2cos2x的图象C．f（x）在区间[，]上单调递减D．（，0）是y＝f（x）图象的一个对称中心11．已知抛物线Γ：x2＝4y的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线Γ于点M，N，则下列说法正确的有（）A．点F坐标为（1，0）B．抛物线Γ的准线方程为y＝﹣1C．线段MN长为4D．直线y＝x﹣2与抛物线Γ相切12．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN所成角的正弦值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三3月模拟数学理试题 Word版含答案
延庆县xx学年度高考模拟检测试卷高三数学（理科） xx.32021年高三3月模拟数学理试题 Word版含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，，,则（）A. B． C．或 D．2. 下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.3. 设，则的大小关系为（）A. B．C． D．4. 执行右边的程序框图，当输入时，则该程序运行后输出的结果是（）A. B.C. D.5. 在边长为的正方形中，分别为和的中点，则（）A. - B． C．- D．-6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）侧视图主视图A. B.C. D.88. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母时，它的另一面必须是数字. 如图，下面的四张卡片的一个面分别写有，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（）A.第一张，第三张B.第一张，第四张C.第二张，第四张D.第二张，第三张第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.9. 复数在复平面上对应的点的坐标为 .10. 有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务，则不同的抽调方案共有种.与半圆相切于点，．若，，则圆的半径为，．12.已知，集合,，如果,则的取值范围是 .13. 曲线的对称轴方程是，的取值范围是 .14. 是矩形，，，沿将折起到，使平面平面,是的中点，是上的一点，给出下列结论：①存在点，使得平面②存在点，使得平面③存在点，使得平面④存在点，使得平面其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）中，,.（Ⅰ）若，,求的长度；（Ⅱ）若，，求的最大值.16.（本小题满分14分）如图1，在边长为的正方形中，,且,且，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成图所示的三棱柱，在图中. (Ⅰ)求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0-100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100-200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200-400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率； （Ⅱ）设，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率； （Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若,求.18.（本小题满分13分）已知函数（为常数）在点处的切线的斜率为， （Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）若函数在区间上有极值，求的取值范围.CC 1 Q19.（本小题满分14分）两端点分别为.（Ⅰ）求椭圆的方程；是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.20.（本小题满分13分）对于集合，定义函数，对于两个集合,，定义集合已知，.（Ⅰ）写出与的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（Ⅲ）求有多少个集合对满足，且.延庆县xx学年度一模统一考试高三数学（理科答案）xx年3月一、选择题：1．D 2. D 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. ①③；三、解答题：15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ），…………………2分……………………5分……………………6分 （Ⅱ）5,,66BAC ABC BCA ππθθ∠=∠=∴∠=-………………7分 ……………………9分 ， ……………………10分，当 时，即时的最大值为4 …………………………13分 16.（本小题满分14分） (Ⅰ)证明：∵,且是正方形,∴, ………………1分 又∵∴， ………………2分∴平面 ………………3分 ∴ ………………4分 （Ⅱ）∵,以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， ………………5分∴,，，， , ,设平面的法向量，则∴令，则∴ ………………7分∴·cos ,||||3m BC m BC m BC <>===………………9分 ∴与平面所称角的正弦值为 ………………10分(Ⅲ) 过作与交于，连，则 …………………11分 ∵平面, ∴, …………………12分 ∴为矩形, ∴, …………………13分 ∴, ∴. …………………14分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件………………1分则………………3分（Ⅱ）设该生近视程度达到中度或中度以上为事件 ………………4分则………………8分法2：设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 ………………4分∵,∴(0.000520.0010.00240.003)1001b +⨯+++⨯=, ∴, ………………6分 ∴………………8分(Ⅲ) ………………10分010.32(1000.1)30.12000.8,EY a b b =⨯+⨯+⨯⨯++⨯=+………12分∵, ∴,∴. ………………13分18. （本小题满分13分）解： (Ⅰ)， ………………2分 , ………………3分∴ ………………4 分 （Ⅱ）∵， ，∴令, 则,令, 则, 令, 则， 令, 则在上为减函数, 当时， 当时，，∵， ∴ ………………4 分 当时，，∵， ∴ ………………4 分 ∴存在，使得，即：, 并且当时, ,当时, ,∴当时，取得极大值………8 分∴的取值范围是. ………………13 分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ），，，∴ ，∴，…………3分∴ 椭圆方程为 …………5分 （Ⅱ）设，则，， ,000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- ……………………7分令，则 ……………………8分设的中点为,则的坐标为，即：， 半径为，∴ 圆的方程为，………10分 ∵ ，∴ 化为令，则，代入得：， …①………11分 令，则，代入得：，…②…12分 由①②得：，代入得：左=右 ………………13分∴ 圆恒过定点 ………………14分 20. （本小题满分13分） （Ⅰ）， ………3分（Ⅱ）根据题意可知，对于集合,①若且，则, ②若且，则,∴要使的值最小，一定属于集合， 是否属于集合不影响的值；集合不能含有之外的元素. ∴当为集合的子集与集合的并集时， 取到最小值. ………………8分（Ⅲ） 因为，∴，由定义可知：∴对任意元素，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ⊗⊗⊗=⋅=⋅⋅()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ⊗⊗⊗=⋅=⋅⋅∴, ∴, 由知：,∴()()()()()P Q A B A B A B A B ⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗⊗, ∴, ∴, ∴, ∴ 而∴满足题意的集合对的个数为个………………13分`32045 7D2D 紭UOK37934 942E 鐮b29897 74C9 瓉 ?26772 6894 梔 W34362 863A 蘺39274 996A 饪。
山西省太原市2021届高三年级3月一模考试 理科综合 试卷(含答案)
太原市2021年高三年级模拟考试（一模）理科综合能力测试（考试时间：2021年3月26日上午9:00-11:30)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 S32 Ca 40 Fe 56 Ni 59 一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随着全球生产的新冠疫苗越来越多，人们都在讨论新冠疫苗的安全性。
研究表明，引起新冠肺炎的新型冠状病毒为单股正链RNA病毒，病毒表面的S蛋白在病毒表面形成特殊的花冠结构。
下列关于新冠病毒mRNA疫苗成分的相关叙述正确的是A.疫苗中的mRNA可以直接表达为新冠病毒抗体B.可以对人体直接注入经过改变和修饰的新冠病毒mRNAC.低温可以使S蛋白变性，变性后的蛋白质可与双缩脲试剂发生颜色反应D.低温保存新冠病毒mRNA疫苗，是因为mRNA不稳定2.种子收获后，无论是自留种还是做商品种子，都要进行一定时间的贮藏。
下列关于种子贮藏的相关叙述，正确的是A.种子成熟时含水量均较高，储存前均需经过脱水处理B.任何种子在低温、干燥条件下均可长期保存C.要控制好种子自身及周围仓虫、微生物的生理代谢作用，使其维持在尽可能高的水平D.使贮藏的种子保持较强的活力和较高的发芽率，并严防品种混杂而失去良种的真实性3.运动性低血糖症是指在运动中或运动后由于血糖降低导致头晕、恶心、呕吐、冷汗等不适的现象，严重者可能出现休克或者死亡。
下列有关血糖平衡调节的表述正确的是A.运动性低血糖症的形成与胰岛素有关，与胰高血糖素无关B.出现运动性低血糖轻微症状时，可通过饮用糖水得以恢复C.当内分泌紊乱引起胰高血糖素分泌量增加时，易发生运动性低血糖症D.血糖平衡调节过程是神经－体液调节，其神经调节中枢位于大脑皮层4.下列实验中，有关操作时间的长短对实验现象或结果影响的叙述，正确的是A.在“32P标记的噬菌体侵染细菌”实验中，保温时间过长或过短时上清液检测的结果相同B.一定浓度的KNO3溶液浸泡紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞，处理时间长短不同但显微镜下观察的实验现象相同C.在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中，解离时间的长短对实验现象的影响相同D.用标志重捕法调查种群密度时，两次捕获间隔时间的长短对调查结果的影响相同5.已知某植株的高产与低产这对相对性状受一对等位基因控制，生物兴趣小组的同学用300对亲本均分为2组进行了下表所示的实验。
广西壮族自治区柳州市市第三十五中学2021年高三数学理月考试题含解析
广西壮族自治区柳州市市第三十五中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数为非零常数，则的图像满足（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于原点对称 D．关于直线轴对称参考答案：A2. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )A. B.21C. D. 24参考答案：A4. 已知函数的图象与直线恰好有一个交点．设，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．D．参考答案：D5. 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为( ) A． B． C．1 D．2参考答案：C试题分析：根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算．试题解析：解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∴△ABC为正三角形，∴？=2×2cos60°=2∴在方向上的投影为==1，故选：C考点：平面向量数量积的含义与物理意义．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题．6. 在矩形中，，，点为矩形内一点，则使得的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D7.函数图象如图，则函数的单调递增区间为（）A． B． C．D．参考答案：D8. 为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4参考答案：B由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：答案：D10. 已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是．参考答案：412. （6分）（2015?丽水一模）设函数f（x）=则f（﹣log32）= ；若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．参考答案：；【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由﹣1≤﹣log32≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（﹣log32）；通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解：由﹣1≤﹣log32≤1，则f（﹣log32）===，当t∈[﹣1，1]，所以f（t）=3t∈[，3]，又函数f（x）=则f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=﹣?3t，因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤﹣?3t≤1，即≤3t≤3，解得：log3≤t≤1，又t∈[﹣1，1]，由于t=1，f（1）=3，f（f（1））不成立，则实数t的取值范围[log3，1）；当1＜t＜3时，f（t）=﹣?t∈（0，3），由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1或0≤﹣?（﹣t）≤1，解得t∈?或1≤t≤．即有t的取值范围为（1，]．综上可得t的范围是．故答案为：，．【点评】：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．13. 已知数列的最小值为。
2021年河南省高考数学联考试卷(理科)(2021.03)(解析版)
2021年河南省高考数学联考试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，A∩（∁R B）＝（）A．（5，7）B．（1，5）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（5，7）2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．63．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A+sin2C﹣sin A sin C ﹣sin2B＝0，则C＝（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法不正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）在区间[，]上单调递增D．g（x）的图象关于点（，0）对称8．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．B．C．D．9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A．B．2C．2D．410．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．D．500π11．已知双曲线D：x2﹣y2＝1，点M在双曲线D上，点N在直线l：y＝kx上，l的倾斜角θ∈（，），且|ON|2＝，双曲线D在点M处的切线与l平行，则△OMN 的面积的最大值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x2）的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．（﹣2，0]C．（﹣，0]D．（﹣，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知平面向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），（2﹣）⊥，则λ＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1，则不等式f （2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0的解集为．16．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．21．已知函数f（x）＝（x+m）e x．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l1的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若直线l1与C交于A，B两点（A点的横坐标小于B点的横坐标），直线l2：θ＝（ρ∈R）与直线l1交于点P，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求a的值；（2）若关于x的不等式f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，A∩（∁R B）＝（）A．（5，7）B．（1，5）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（5，7）解：集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x|﹣1≤x≤5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，∴A∩（∁R B）＝{x|5＜x＜7}＝（5，7）．故选：A．2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．6解：∵＝4﹣bi，∴2+ai＝i（4﹣bi）＝b+4i，则a＝4，b＝2，故a+b＝6．故选：D．3．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．解：已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），整理得2sinα＝3cosα，所以，故sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝＝﹣＝；故选：D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：由cos x≠1得x≠2kπ，k∈Z，则x≠0排除C，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当0＜x＜时，cos x﹣1＜0，则f（x）＜0，排除A，故选：D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大解：A：高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5﹣8.5＝1，所以A错误；B：因为两班的德育分相等，所以除体育外，高三（1）班的各项评价得分不都高于高三（2）班对应的得分（德育分相等），所以B错误；C：（2）班平均分为（9.5+9+9.5+9+8.5）÷5＝9.1；（1）班平均分为（9.5+9.5+9+9.5+a）÷5＝7.5+，故C正确；D：两班的德育分相等，智育分相差9.5﹣9＝0.5，体育分相差9.5﹣9＝0.5，美育分相差9.5一9＝0.5，劳育得分相差9.3﹣8.5＝0.8，劳育得分相差最大，所以D错误．故选：C．6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A+sin2C﹣sin A sin C ﹣sin2B＝0，则C＝（）A．B．C．D．解：因为sin2A+sin2C﹣sin A sin C﹣sin2B＝0，所以由正弦定理可得a2+c2﹣b2＝ac，又a＝2c，所以b2＝4c2+c2﹣2c2＝3c2，可得cos C＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．故选：A．7．函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法不正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）在区间[，]上单调递增D．g（x）的图象关于点（，0）对称解：函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x+）的图象，对于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；当x＝，求得g（x）＝2，为最大值，故它的图象关于直线x＝对称，故B正确；当x∈[，]，2x+∈[﹣，+]，g（x）没有单调性，故C错误；当x＝﹣，求得g（x）＝0，故它的图象关于点（，0）对称，故D正确，故选：C．8．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．B．C．D．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为2l，则该圆锥的侧面积为S侧＝×2πr×2l＝2πrl，截得的小圆锥的底面半径为r，母线长为l，其侧面积为S′侧＝×πr×l＝πrl，从而圆台的侧面积为S圆台侧＝S侧﹣S′侧＝2πrl﹣πrl＝πrl，所以两者的面积之比为＝＝．故选：B．9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A．B．2C．2D．4解：由抛物线的方程可得焦点F（2，0），设P（m，n），n＞0，可得PF的中点的横坐标，由题意可得＝3，所以m＝4，将m＝4代入抛物线的方程可得：n2＝8×4，可得n＝4，即P（4，4），所以k＝＝2，故选：B．10．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．D．500π解：如图所示：作PH⊥平面ABCD，垂足为H，连接BD，则H为BD的中点，设AB＝2m，PB＝PA＝，BH＝，从而PH＝2，故，解得m＝2，设外接球的半径为R，所以R2＝BH2+OH2，解得R＝5，故．故选：A．11．已知双曲线D：x2﹣y2＝1，点M在双曲线D上，点N在直线l：y＝kx上，l的倾斜角θ∈（，），且|ON|2＝，双曲线D在点M处的切线与l平行，则△OMN的面积的最大值为（）A．B．C．D．解：设M（x0，y0），又因为在第一象限，则双曲线D在M处的切线方程为：x0x﹣y0y ＝1，所以k＝，又因为x02﹣y02＝1，联立，解得，点M到直线l的距离d＝＝＝，因为|ON|2＝，所以|ON|＝＝＝，所以S△OMN＝|ON|•d＝••＝，令t＝k2﹣1，则k2＝t+1，因为θ∈（，），所以k＞1，所以t＞0，S△OMN＝•＝•≤＝＝，当且仅当t＝，即t＝时，面积取到最大值．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x2）的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．（﹣2，0]C．（﹣，0]D．（﹣，0]解：因为方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），所以x，x，m∈（﹣1，0]，从而（x2﹣x1）f（x2）＝（e）m＝me，令g（x）＝xe，x∈（﹣1，0]，则g′（x）＝（x+1）e x+1﹣x+1，因为x∈（﹣1，0]，所以x+1＞0，e x+1＞e0＝1，﹣x+1＞0，所以g′（x）＞0在区间（﹣1，0]上恒成立，从而函数g（x）在（﹣1，0]上单调递增，又g（0）＝0，g（﹣1）＝﹣，所以g（x），即（x2﹣x1）•f（x2）•f（x2）的取值范围为（﹣，0]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知平面向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），（2﹣）⊥，则λ＝﹣5．解：根据题意，向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），则（2﹣）＝（6+2λ，3），若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝30+6λ＝0，解可得λ＝﹣5，故答案为：﹣5．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是7．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1，则不等式f（2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．解：函数f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1在[0，+∞）上为减函数，因为函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）在R上为减函数，不等式f（2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0可化为f（2x2﹣10x）＜f（﹣x2+6x+12），所以2x2﹣10x＞﹣x2+6x+12，即3x2﹣16x﹣12＞0，解得x＜﹣或x＞6，即不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．16．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为1296．解：根据题意，分2种情况讨论：①“丝”被选中：不同的方式种数为种；②“丝”不被选中：不同的方式种数为种．故共有N＝720+576＝1296种排课方式，故答案为：1296．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）因为数列{a n}是公差为4的等差数列，所以．又，所以，即（a1+4）（a1﹣2）＝0，解得a1＝2或a1＝﹣4（舍去），所以a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）因为，所以T n＝b1+b2+…+b n﹣1+b n＝＝＝．18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．解：（1）轻度污染以上的行政村共9+6+3＝18个，所以抽样比为：＝，所以从轻度污染的行政村中抽取＝3个，中度污染的行政村抽取＝2个，重度污染的行政村抽取＝1个．（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，∴X的分布列为：X34567P∴E（X）＝3×＝5．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．【解答】（1）证明：记B1C∩BC1＝E，连接DE．由直棱柱的性质可知四边形BCC1B1是矩形，则E为B1C的中点．（1分）因为D是AC的中点，所以DE∥AB1．因为AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D（2）解：因为底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，由直棱柱的性质可知平面ABC⊥平面ACC1A1，则BD⊥平面ACC1A1．取A1C1的中点F，连接DF，则DB，DC，DF两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．设AB＝2，则，从而设平面AB1C的法向量为，则，令x＝4．得．平面ACC1的一个法向量为，则．设二面角B1﹣AC﹣C1为θ，由图可知θ为锐角，则．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．解：（1）由题意可知：，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（2）易知F2（1，0），①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，，∴|AF1|＝＝＝，∴|BF1|＝＝＝，∵|AF1|•|BF1|＝，∴•＝，∴，整理得：，把x1+x2＝，x1•x2＝代入上式得：++2＝，整理得：k2＝1，∴，x1•x2＝0，∴|AB|＝＝，②当直线l的斜率不存在时，点A（1，），B（1，﹣），∴|AF1|＝|BF1|＝＝＝，∴|AF1|•|BF1|，不符合题意，舍去，综上所述，|AB|＝．21．已知函数f（x）＝（x+m）e x．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．解：（1）因为f（x）＝（x+m）e x，所以f'（x）＝（x+m+1）e x（1分）令f'（x）≤0，得x≤﹣m﹣1，则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣m﹣1]因为f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，所以﹣m﹣1≥1，解得m≤﹣2，即m的取值范围是（﹣∞，﹣2]（2）法一：由nxln（nx）≤f（2x），得2xe2x≥nxln（nx）．因为x＞0，n＞0，所以对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．设，则．因为函数y＝e2x和在（0，+∞）上均为单调递增函数，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．当x→0时，h'（x）＜0；当x→+∞时，h'（x）＞0．故存在x0∈（0，+∞），使得，即当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故恒成立．又由，得，所以恒成立．因为和y＝﹣2lnx在（0，+∞）上单调递减，所以函数h（x0）在（0，+∞）上单调递减．因为，所以因为函数y＝4x和y＝e2x在（0，+∞））上单调递增，且4x＞0，e2x＞0．所以函数在上单调递增，所以0＜m≤2e，即实数n的取值范围是（0，2e]．法二：对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，即nxln（nx）≤2xe2x恒成立，亦即e ln（nx）ln（nx）≤2xe2x恒成立因为f（x）＝xe x，所以f'（x）＝（x+1）e x，易知f（x）＝xe x在（0，+∞）上单调递增，且在（﹣∞，0）上f（x）＜0，所以ln（nx）≤2x，即对任意的x∈（0，+∞）恒成立令，则．当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0．则g（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，所以n≤2e，显然n＞0，故实数n的取值范围是（0，2e]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l1的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若直线l1与C交于A，B两点（A点的横坐标小于B点的横坐标），直线l2：θ＝（ρ∈R）与直线l1交于点P，求．解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．（2）把直线l1的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣2x＝0，得到，所以|AB|＝，由于直线l2：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为y＝与直线l1交于点P，故，解得，所以|PB|＝|t|＝2，故，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求a的值；（2）若关于x的不等式f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解，求m的取值范围．解：（1）不等式f（x）≤a，即|2x﹣1|≤a，故﹣a≤2x﹣1≤a，解得：≤x≤，而不等式f（x）≤a的解集是{x|﹣1≤x≤2}，故，解得：a＝3；（2）∵f（﹣1）﹣f（+1）＝|x﹣3|﹣|x+1|，故f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解等价于|x﹣3|﹣|x+1|＜m有解，令g（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，则m＞g（x）min，∵g（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|＝，故g（x）的最小值是﹣4，故m的取值范围是（﹣4，+∞）．。
2021年高三3月高考模拟试考试数学(理)试题 含解析
2021年高三3月高考模拟试考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，=（）A． B． C． D． 2i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：===﹣．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，“f（x）是奇函数”是“|f（x）|是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行判断即可．【解析】：解：若f（x）是奇函数，则|f（﹣x）|=|f（x）|为偶函数，即充分性成立，若f（x）=2，满足|f（x）|是偶函数，但f（x）是奇函数不成立，故“f（x）是奇函数”是“|f（x）|是偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3．（5分）{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=（）A．2 B．C．1 D．【考点】：等差数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意和等差中项可得a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得答案．【解析】：解：∵{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得a3﹣a1=2d=4﹣2，解得d=1故选：C【点评】：本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属基础题．4．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）在区间（，）上单调递增，常数φ的值可能是（）A．0 B．C．π D．【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据三角函数的单调性进行求解即可．【解析】：解：由2kπ﹣≤x+φ≤2kπ+，k∈Z，则2kπ﹣φ﹣≤x≤2kπ+﹣φ，k∈Z，若在区间（，）上单调递增，则，即，即2kπ﹣≤φ≤2kπ﹣，k∈Z，若k=1，则≤φ≤，此时φ=满足条件．，故选：D【点评】：本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件先求出函数的单调递增区间，结合k的取值进行求解即可．5．（5分）双曲线C：﹣y2=1的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则tanθ=（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到．【解析】：解：双曲线C：﹣y2=1的两条渐近线分别为y=x，则斜率分别为，．由两直线的夹角公式可得，tanθ=||=．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键．6．（5分）一个四面体如图，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V=（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，利用体积公式，即可得出结论．【解析】：解：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以体积V=1=，故选：C．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．7．（5分）（﹣）16的二项展开式17个项中，整式的个数是（）A． 1 B． 3 C． 5 D．7【考点】：二项式定理的应用．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：展开式的通项为：T r+1=，即可得出结论．【解析】：解：展开式的通项为：T r+1=，由题意，r=6，8，10，故选：B．【点评】：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）设a＞b≥1，集合A={x|x∈Z，0＜x＜a}，B={x|x∈Z，﹣b＜x＜b}，记“从集合A中任取一个元素x，x∉B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x∈B”为事件N．给定下列三个命题：①当a=5，b=3时，P（M）=P（N）=；②若P（M）=1，则a=2，b=1；③P（M）+P（N）=1恒成立．其中，为真命题的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：概率与统计．【分析】：①，当a=5，b=3时，可求得集合A与集合B，继而可得事件M={3，4}，事件N={1，2}，从而可求得P（M）=P（N）=，可判断①；②，依题意知，1≤b＜a≤2，b=1，可判断②；③，利用对立事件的概率公式可判断③．【解析】：解：对于①，当a=5，b=3时，集合A={1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，事件M={3，4}，事件N={1，2}，所以P（M）==，P（N）==，即P（M）=P（N）=，故①正确；对于②，若P（M）=1，则1≤b＜a≤2，b=1，故②错误；对于③，因为“从集合A中任取一个元素x，x∉B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x∈B”为事件N，所以，事件M与事件N为对立事件，所以P（M）+P（N）=1恒成立，故③正确，综上所述，①③为真命题，故选：B．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，理解题意，正确分析、解答是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：对x分x＜﹣1，﹣1≤x≤2与x＞2范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集．【解析】：解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔﹣x﹣1+2﹣x≤5，解得：﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+2﹣x=3≤5恒成立，∴﹣1≤x≤2；当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+x﹣2=2x﹣1≤5，解得：2＜x≤3．综上所述，不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．故答案为：[﹣2，3]．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|=8，则点P的坐标为（6，4）．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y【解析】：解：设该点坐标为（x，y）根据抛物线定义可知x+2=8，解得x=6，代入抛物线方程求得y=±4，∵P在第一象限，∴P（6，4）．故答案为：（6，4）．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．11．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值M=．【考点】：简单线性规划．【专题】：数形结合；不等式的解法及应用．【分析】：由题意画出可行域，数形结合得到使z=x+2y取得最大值的直线x+2y﹣z=0的位置，由点到直线的距离公式求得z=x+2y的最大值M．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当直线与圆相切时直线在y轴上的截距最大，z最大，化目标函数z=x+2y为x+2y﹣z=0，由原点到直线x+2y﹣z=0的距离等于半径得：，即z的最大值M为．故答案为：．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．12．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的结果S=62．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故答案为：62．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．（5分）已知x与y之间的几组数据如下表：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则＜b，＞a．（填“＞”或“＜”）【考点】：线性回归方程．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求，的值，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得a，b，即可得出结论．【解析】：解：由系数公式可知，=4.5，=3.5，由于参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，∴==0.7，=3.5﹣0.7×4.5=0.35，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得b=1，a=﹣1，∴＜b，＞a，故答案为：＜；＞【点评】：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=2上到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为1的点的个数是3．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，最后利用圆心到直线的距离，来确定点的个数．【解析】：解：极坐标方程ρ=2，转化成直角坐标方程为：x2+y2=4直线ρcos（θ﹣）=1转化成直角坐标方程为：x+y﹣=0则：圆心到直线的距离：d=恰好平分圆的半径，所以圆上得点到直线的距离为1的点的个数为：3故答案为：3【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离的应用．属于基础题型．（几何证明选讲选做题）15．如图，圆O的弦AB、CD相交于点P，若AC=AD=2，PB=3，则AB=4．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：连结PD，由已知推导出△PAD∽△DAB，从而，由此能求出AB的长．【解析】：解：连结PD，∵AC=AD=2，∴由已知得∠ADP=∠ABD，∠DAP=∠BAD，∴△PAD∽△DAB，∴，即∵AC=AD=2，PB=3，∴，解得AP=1，∴AB=AP+PB=1+3=4．故答案为：4．【点评】：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和三角形相似的性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别是A（3，5）、B（0，1）、C（8，﹣7）．（1）求cosB的值；（2）若=（﹣2，﹣5），证明：B、C、D三点共线．【考点】：余弦定理；直线的斜率．【专题】：解三角形；平面向量及应用．【分析】：（1）（方法一）由两点间距离公式可求AB，AC，BC的值，由余弦定理即可求cosB；（方法二）求出两个向量，由向量的夹角公式即可得解．（2）（方法一）求出向量，，可得，从而得证．（方法二）先求直线BC的方程，设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）可解得D点坐标，从而可求得B、C、D三点共线．【解析】：解：（1）（方法一）AB==5，AC=13，…（3分）…（6分）（公式2分）（方法二），…（2分）…（6分）（公式2分）（2）（方法一），…（9分）∵，∴、共线…（11分）∵、有共同的始点，∴B、C、D三点共线…（12分）（方法二）经过B（0，1）、C（8，﹣7）两点的直线BC的方程为（即x+y=1）…（9分）设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）得（x﹣3，y﹣5）…（10分）解得D（1，0）…（11分）∵（或1+0=1），∴（D在BC上）B、C、D三点共线…（12分）【点评】：本题主要考查了余弦定理，直线的方程，向量的夹角公式以及两点间距离公式的应用，熟练记忆和使用公式是解题的关键，属于中档题．17．（13分）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：组距频数频率[100，102）17 0.17[102，104）18 0.18[104，106）24 0.24[106，108）a b[108，110）6 0.06[110，112）3 0.03合计100 1（1）求上表中a、b的值；（2）估计该基地榕树树苗平均高度；（3）基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112）范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112）内的有X株，求X的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）由频率分布表，能求出a和b．（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度．（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．【解析】：解：（1）由频率分布表，知：a=100﹣17﹣18﹣24﹣6﹣3=32，b==0.32．…（2分）（2）估计该基地榕树树苗平均高度为：=105.02（cm）…（6分）（列式（2分），求值（1分），文字说明与单位完整（1分）．）（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3…（7分）P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，…（11分）∴X的分布列为：X 0 1 2 3P…（12分）X的期望为EX==．…（13分）（列式正确1分）【点评】：本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．（14分）设数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*（1）求a1的值．（2）求数列{a n}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有+…．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）令n=1直接计算即可；（2）根据S n与a n的关系，即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用=并项即可计算．【解析】：解：（1）a1=S1==1；（2）a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n（2n﹣1）；显然，当n=1时，a1=1×（2×1﹣1）=1，故数列{a n}的通项公式为a n=n（2n﹣1）．（3）根据（2）可得：a n=n（2n﹣1），故===，所以+…＜=∵当n=1时，原式=1，当n=2时，原式=，∴原式，故对一切正整数n，有+…．【点评】：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．19．（13分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，由已知得，，，从而AE⊥CE，由直四棱柱性质得C1C⊥ABCD，从而AE⊥平面BCC1B1，由此能证明平面AC1E⊥平面BCC1B1．（2）过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH，由已知得∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【解析】：（1）证明：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴…（1分）由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，得，…（2分）∵，∴AE2+CE2=AC2，AE⊥CE…（3分）∵ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴C1C⊥AE，∵CE∩CC1=C，∴AE⊥平面BCC1B1…（4分）∵AE⊂平面AC1E，∴平面AC1E⊥平面BCC1B1…（5分）（2）解：过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH…（6分）由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1=C1E，CH⊥平面AC1E…（7分）∴CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH=C，∴AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角…（9分）在Rt△ACC1中，，CC1=a，AC1=2a，，在Rt△ECC1中，，CC1=a，，，、，求得任何一个给（2分），两个全对给（3分）…（12分）GH==，cos∠CGH==．∴二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值是．…（13分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆Σ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与Σ相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）根据题意求出焦点F2的坐标，的c的值，利用离心率e求出a、b的值；（2）（方法一）假设存在满足条件的直线CD，由直线CD的方程与椭圆方程联立，消去y，得方程①，计算△＞0；再由F1C=F1D，E为CD的中点，推导出△＜0，从而得出结论．（方法二）设出C、D以及线段CD的中点E的坐标，利用差值法求出中点满足的关系式，再由F1C=F1D，得出直线CD的方程，它与椭圆方程联立，判断方程组是否有解即可．【解析】：解：（1）∵直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，∴F2（2，0），即c=2；又e==，∴a=；∴b==，∴椭圆∑的方程为+=1；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵CD∥AB，∴k CD=k AB=﹣1，设直线CD的方程为y=﹣x+m，由，得x2+3（﹣x+m）2﹣6=0；即4x2﹣6mx+（3m2﹣6）=0，∴△=（﹣6m）2﹣4×4（3m2﹣6）=96﹣12m2＞0；（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=；由已知F1C=F1D，若线段CD的中点为E，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；F1（﹣2，0），E（，），即E（，）；由==1，解得m=﹣4；当m=﹣4时，96﹣12m2=﹣96＜0，这与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD．（方法二）假设存在C（x1，y1），D（x2，y2），且线段CD的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=，=﹣1；由，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，代入、化简得：x0﹣y0=0，①由已知F1C=F1D，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；由==1，得y0=x0+2，②由①②解得x0=﹣3，y0=﹣1，即E（﹣3，﹣1）直线CD的方程为：y=﹣（x+4），联立方程组，消去y得4x2+24x+42=0，∵△=242﹣4×4×42=﹣96＜0，∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．【点评】：本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合性题目．21．（14分）设函数f（x）=e x（lnx﹣a），e是自然对数的底数，e≈2，718，a∈R为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线l的斜率为2e，求a的值；（2）在（1）的条件下，证明切线l与曲线y=f（x）在区间（0，）至少有1个公共点；（3）若[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求出函数的导数，得到方程e（ln1﹣a+1）=2e，解出即可；（2）先求出切线l的方程，得到g（e﹣4）g（）＜0，y=g（x）在（e﹣4，）内有零点，从而证出结论；（3）先求出a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，再通过比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而求出a的范围．【解析】：解：（1）f′（x）=e x（lnx﹣a+），依题意，k=f′（1）=e（ln1﹣a+1）=2e，解得：a=﹣1，（2）由（1）f（1）=e，直线l的方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，作g（x）=f（x）﹣（2ex﹣e）=e x（lnx+1）﹣2ex+e，则g（）=（1﹣ln2）＞0，g（e﹣4）=﹣3﹣2e﹣3+e＜﹣3+e＜0（用其他适当的数替代e﹣4亦可）因为y=g（x）在（e﹣4，）上是连续不断的曲线，g（e﹣4）g（）＜0，y=g（x）在（e﹣4，）内有零点，而（e﹣4，）⊂（0，），从而切线l与曲线y=f（x）在区间（0，）至少有1个公共点；（3）f′（x）=e x（lnx﹣a+），[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e x＞0，作h（x）=lnx+h′（x）=﹣，由h′（x）=﹣=0得x=1，x [ln2，1）1 （1，ln3]h′（x）﹣0 +h（x）↘最小值↗h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小由23＜32＜e3，2＜＜e，ln2＜ln3＜1以及h（x）在[ln2，1）上单调递减得h（ln2）＞h（ln3），h（ln2）﹣h（ln3）＞h（ln3）﹣h（ln3）=ln+=，ln3ln＜（ln3+ln）2=＜（ln7）2＜（lne2）2=1，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当a≥lnln2+时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[lnln2+，+∞）．【点评】：本题考查了函数的单调性，曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道综合题．%34430 867E 虾35238 89A6 覦25862 6506 攆] 25777 64B1 撱38364 95DC 關33090 8142 腂xDWcu37555 92B3 銳。
新疆慕华优策2021届高三第三次联考数学(理科)试卷 含解析
2021年新疆慕华优策高考数学第三次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2x﹣8＜2﹣3x}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∪B＝（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，3）D．（1，3）2．若复数z满足z（1﹣i）2022＝（2i）2022，则|z|＝（）A．1B．22022C．21011D．2﹣10113．命题“x≥1，都有lnx+x﹣1≥0”的否定是（）A．x≥1，都有lnx+x﹣1＜0B．∃x0＜1使得lnx0+x0﹣1＜0C．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1≥0D．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1＜04．a＝log，b＝log，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c5．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，如设勾为2n+1（n＝1，2，3，4，5，……），则弦为（）A．2n2﹣2n+1B．4n2+1C．2n2+2n D．2n2+2n+16．曲线x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0上的点到直线3x﹣4y+19＝0的最大距离为（）A．10B．11C．12D．137．在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩z服从正态分布N（a，0.04），若P（z≥100）＝0.5，且P（z≥120）＝0.2，则p（z≤80）＝（）A．0.2B．0.3C．0.35D．0.48．底面为正三角形的直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．9．“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌．声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12ω/m2）之比的常用对数称作声强m的声强级，记作l（贝尔），即l＝lg．取贝尔的15倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（m）满足关系式y＝3x，现知甲同学大喝一声激起的涌泉高度为60m．若甲同学大喝一声声强大约相当于10个乙同学同时大喝一声的声强，则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（）A．40m B．45m C．50m D．55m10．将函数f（x）＝sinωx（cosωx﹣sinωx）+1（ω＞0）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得y＝g（x）的图象，若g（x）在[，]上单调递减，则ω的取值范围为（）A．0＜ω≤2B．＜ω≤2C．≤ω≤D．＜ω≤211．已知椭圆T：＝1（a＞3）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆T上存在四个点P i（i＝1，2，3，4）使得△P i F1F2的面积为9，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（，1）C．（，）D．（，1）12．已知锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A＝b（sin B+sin C），则的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（）D．[1，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的顶点为原点，始边为x的正半轴，其终边上一点的坐标为（﹣1，2），则cos2α﹣sin2α＝．14．已知向量＝（1，），||＝2，与夹角为，则+与2的夹角的余弦值为．15．学校举行秋季运动会，高二（6）班选出5人参加跳高、跳远、跳绳、100m短跑四个项目比赛，每个项目都要有同学参加，且每个同学只参加一项比赛，则同学甲不参加跳高比赛的安排方法种数为．16．不等式x1﹣a e x﹣alnx≥0对任意x∈（1，+∞）恒成立，则正实数a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，S9＝144，a3是a1与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足+log2b n＝0，若c n＝a n b n，求数列{c n}前n项和为T n．18．如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC 沿BC边折起如图（2），使____，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝．②AC为四面体ABDC外接球的直径．③平面ABC⊥平面BCD．（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角A﹣MN﹣B的正弦值．19．元旦期间某牛奶公司做促销活动．一箱某品牌牛奶12盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动，但其中只有一些中奖．已知购买一盒牛奶需要5元，若有中奖，则每次中奖可以获得代金券8元（可即中即用）．顾客可以在一箱牛奶中先购买4盒，然后根据这4盒牛奶中奖结果决定是否购买余下8盒．设每盒牛奶中奖概率为p（0＜p＜1），且每盒牛奶是否中奖相互独立．（1）若p＝，顾客先购买4盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率．（2）设先购买的4盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为p0，以p0为p值．某顾客认为如果中奖后售价不超过原来售价的四折（即40%）便可以购买如下的8盒牛奶，据此，请你判断该顾客是否可以购买余下的8盒牛奶．20．已知定点O2（2，0），点P为圆O1：（x+2）2+y2＝32（O1为圆心）上一动点，线段O2P 的垂直平分线与直线O1P交于点G．（1）设点G的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若过点O2且不与x轴重合的直线l与（1）中曲线C交于D，E两点，M为线段DE 的中点，直线OM（O为原点）与曲线C交于A，B两点，且满足|MD|2＝|MA|•|MB|，若存在这样的直线，求出直线l的方程，若不存在请说明理由．21．记f″（x）＝（f′（x））′，f′（x）为f（x）的导函数．若对∀x∈D，f″（x）＞0，则称函数y＝f（x）为D上的“凸函数”．已知函数f（x）＝e x x3﹣ax2﹣1，a∈R．（1）若函数f（x）为R上的凸函数，求a的取值范围；（2）若函数y＝f（x）﹣x在（1，+∞）上有极值点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[4-4坐标系与参数方程] 22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）若曲线C为双曲线，求实数m的取值范围；（2）以极点为原点，极轴为x正半轴建立直角坐标系．当m＝﹣1时，过点P（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若||＝4，求直线l的倾斜角．[4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|ax﹣3|．（1）当a＝2时，若f（x）≤2m2﹣m﹣1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）关于x的不等式f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x﹣8＜2﹣3x}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∪B＝（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，3）D．（1，3）解：∵2x﹣8＜2﹣3x，∴x＜2，∴A＝（﹣∞，2），∵x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B＝（1，3），∴A∪B＝（﹣∞，3）．故选：C．2．若复数z满足z（1﹣i）2022＝（2i）2022，则|z|＝（）A．1B．22022C．21011D．2﹣1011解：∵z（1﹣i）2022＝（2i）2022，∴z＝＝（﹣1+i）2022，∴|z|＝＝21011，故选：C．3．命题“x≥1，都有lnx+x﹣1≥0”的否定是（）A．x≥1，都有lnx+x﹣1＜0B．∃x0＜1使得lnx0+x0﹣1＜0C．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1≥0D．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1＜0解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0≥1，使得lnx0+x0﹣1＜0，故选：D．4．a＝log，b＝log，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c解：a＝＝log23，∵1＝log22＜log23＜log24＝2，∴1＜a＜2，∵b＝log＝log25＞log24＝2，∴b＞2，∵c＝（）＝＜1，∴b＞a＞c，故选：B．5．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，如设勾为2n+1（n＝1，2，3，4，5，……），则弦为（）A．2n2﹣2n+1B．4n2+1C．2n2+2n D．2n2+2n+1解：设斜边（弦）为x，则股为x﹣1，∴x2＝（2n+1）2+（x﹣1）2，解答x＝2n2+2n+1，故选：D．6．曲线x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0上的点到直线3x﹣4y+19＝0的最大距离为（）A．10B．11C．12D．13解：由题意，x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0的圆心（1，﹣2）半径5，圆心到直线的距离d＝＝6，∴圆x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0上的点到直线l的最大距离是5+6＝11，故选：B．7．在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩z服从正态分布N（a，0.04），若P（z≥100）＝0.5，且P（z≥120）＝0.2，则p（z≤80）＝（）A．0.2B．0.3C．0.35D．0.4解：由已知得：a＝100，由正态分布的性质有：P（z≥120）＝P（z≤80）＝0.2．故选：A．8．底面为正三角形的直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，||＝||＝＝2，＝（）•（）＝（）•（）＝+＝36+＝28，∴异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为：＝．故选：C．9．“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌．声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12ω/m2）之比的常用对数称作声强m的声强级，记作l（贝尔），即l＝lg．取贝尔的15倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（m）满足关系式y＝3x，现知甲同学大喝一声激起的涌泉高度为60m．若甲同学大喝一声声强大约相当于10个乙同学同时大喝一声的声强，则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（）A．40m B．45m C．50m D．55m解：由题意可知y＝15lg＝3x，∴x＝5lg，又x甲＝60，∴＝12，而乙的声强为甲的，∴x乙＝5lg＝60﹣5＝55m，故选：D．10．将函数f（x）＝sinωx（cosωx﹣sinωx）+1（ω＞0）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得y＝g（x）的图象，若g（x）在[，]上单调递减，则ω的取值范围为（）A．0＜ω≤2B．＜ω≤2C．≤ω≤D．＜ω≤2解：由题意知f（x）＝sinωx•coωx﹣sin2ωx+1＝＝，∴，令，则，∵g（x）在[，]上单调递减，∴k∈Z，∴且ω＞0，当k＝0时，，当k＝1时，，不成立，舍，∴，故选：C．11．已知椭圆T：＝1（a＞3）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆T上存在四个点P i（i＝1，2，3，4）使得△P i F1F2的面积为9，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（，1）C．（，）D．（，1）解：当c为定值时，P为椭圆短轴的端点时，三角形PF1F2的面积最大，∵b＝3，∴，即c＝3．此时仅有两个P使得，椭圆的离心率为，当c越大时，以原点为圆心，以c为半径的圆必与椭圆相交，且有四个交点满足题意，此时椭圆越扁，离心率越大，∴＜e＜1，故选：B．12．已知锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A＝b（sin B+sin C），则的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（）D．[1，]解：因为a sin A＝b（sin B+sin C），由正弦定理可得a2＝b2+bc，显然a＞b，A＞B，可得cos A＝＝＝＞0，由cos A＝，可得2b cos A＝c﹣b，可得2sin B cos A＝sin C﹣sin B＝sin（A+B）﹣sin B，所以sin（A﹣B）＝sin B，由A，B，C为锐角，所以A﹣B＝B，A＝2B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B，所以0＜2B＜，0＜π﹣3B＜，可得＜B＜，可得cos B∈（，），所以＝＝2cos B∈（，）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的顶点为原点，始边为x的正半轴，其终边上一点的坐标为（﹣1，2），则cos2α﹣sin2α＝1．解：依题意有，cosα＝﹣，∴cos2α﹣sin2α＝﹣2×＝1，故答案为：1．14．已知向量＝（1，），||＝2，与夹角为，则+与2的夹角的余弦值为．解：根据题意，设+与2的夹角为θ，向量＝（1，），则||＝＝2，又由||＝2，与夹角为，则•＝2×2×cos＝2，则|+|2＝2+2•+2＝4+4+4＝12，则有|+|＝2，|2|2＝42﹣4•+2＝16﹣8+4＝12，则有|2|＝2，（+）•（2﹣）＝22+•﹣2＝8+2﹣4＝6，故cosθ＝＝；故答案为：．15．学校举行秋季运动会，高二（6）班选出5人参加跳高、跳远、跳绳、100m短跑四个项目比赛，每个项目都要有同学参加，且每个同学只参加一项比赛，则同学甲不参加跳高比赛的安排方法种数为180．解：根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，有C52＝10种分组方法，②甲所在的组不参加跳高，有3种选择，剩下3组有A33＝6种选择，4组分别参加4项比赛有3×6＝18种情况，则有10×18＝180种安排方法，故答案为：180．16．不等式x1﹣a e x﹣alnx≥0对任意x∈（1，+∞）恒成立，则正实数a的取值范围为（0，e]．解：不等式x1﹣a e x﹣alnx≥0对任意x∈（1，+∞）恒成立，即不等式xe x≥x a lnx a≥0对任意x∈（1，+∞）恒成立，令f（x）＝xe x，f′（x）＝e x（1+x）＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（lnx a）等价于x≥lnx a＝alnx，又因为x＞0，lnx＞0，alnx＞0，所以a≤对任意x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，可得x＞e，令g′（x）＜0，可得1＜x＜e，所以g（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（e）＝e，所以a≤e，所以正实数a的取值范围为（0，e]．故答案为：（0，e]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，S9＝144，a3是a1与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足+log2b n＝0，若c n＝a n b n，求数列{c n}前n项和为T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由S9＝144，可得9a1+d＝144，即为a1+4d＝16，由a3是a1与a8的等比中项，可得a32＝a1a8，即为（a1+2d）2＝a1（a1+7d），即4a1＝3d，解得a1＝4，d＝3，所以a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（2）+log2b n＝0，即为n+log2b n＝0，解得b n＝（）n，所以c n＝a n b n＝（3n+1）•（）n，则T n＝4•+7•（）2+11•（）3+...+（3n+1）•（）n，T n＝4•（）2+7•（）3+11•（）4+...+（3n+1）•（）n+1，两式相减可得T n＝2+3[（）2+（）3+...+（）n]﹣（3n+1）•（）n+1＝2+3•﹣（3n+1）•（）n+1，化简可得T n＝7﹣（3n+7）•（）n．18．如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC 沿BC边折起如图（2），使____，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝．②AC为四面体ABDC外接球的直径．③平面ABC⊥平面BCD．（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角A﹣MN﹣B的正弦值．解：（1）选①，AD＝，在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝1，则BD＝，又AB＝2，∴AB2+BD2＝AD2，则AB⊥BD，又AB⊥BC，BC∩BD＝B，∴AB⊥平面CBD，∴AB⊥CD，又CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；选②，AC为四面体ABDC外接球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，又CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；选③，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，又AB⊥BC，∴AB⊥平面CBD，则AB⊥CD，又CD⊥BD，AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD，M、N分别为AC、AD的中点，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；（2）由（1）知，MN⊥平面ABD，则MN⊥AN，MN⊥BN，∴∠ANB为二面角A﹣MN﹣B的平面角，∵△ABD为直角三角形，且AD＝，BD＝，∴cos∠DAB＝，在△ABN中，AN＝，BN＝，∴cos∠ANB＝．故二面角A﹣MN﹣B的正弦值为．19．元旦期间某牛奶公司做促销活动．一箱某品牌牛奶12盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动，但其中只有一些中奖．已知购买一盒牛奶需要5元，若有中奖，则每次中奖可以获得代金券8元（可即中即用）．顾客可以在一箱牛奶中先购买4盒，然后根据这4盒牛奶中奖结果决定是否购买余下8盒．设每盒牛奶中奖概率为p（0＜p＜1），且每盒牛奶是否中奖相互独立．（1）若p＝，顾客先购买4盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率．（2）设先购买的4盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为p0，以p0为p值．某顾客认为如果中奖后售价不超过原来售价的四折（即40%）便可以购买如下的8盒牛奶，据此，请你判断该顾客是否可以购买余下的8盒牛奶．解：（1）依题意购买4盒至少有一盒中奖的概率为P＝1﹣＝．（2）4盒牛奶恰有1盒中奖的概率为p（1﹣p）3＝4p（1﹣p）3，则f′（p）＝4（1﹣p）3﹣3p（1﹣p）2＝4（1﹣p）2（1﹣4p），当p∈（0，）时，f′（p）＞0，f（p）单调递增，当p∈（，1）时，f′（p）＜0，f（p）单调递减，所以当p＝时，f（p）有最大值p0＝4××（1﹣）＝，设余下8盒牛奶中奖为y盒，中奖后实际付款为x元，y～B（8，），E（y）＝，x＝5×8﹣8y＝40﹣8y，E（x）＝E（40﹣8y）＝40﹣8E（y）＝13＜40×40%＝16，该顾客可以买下余下的8盒牛奶．20．已知定点O2（2，0），点P为圆O1：（x+2）2+y2＝32（O1为圆心）上一动点，线段O2P 的垂直平分线与直线O1P交于点G．（1）设点G的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若过点O2且不与x轴重合的直线l与（1）中曲线C交于D，E两点，M为线段DE 的中点，直线OM（O为原点）与曲线C交于A，B两点，且满足|MD|2＝|MA|•|MB|，若存在这样的直线，求出直线l的方程，若不存在请说明理由．解：（1）根据题意，作出简图如下：结合中垂线的性质，和圆的基本性质可得：|GO2|+|GO1|＝|GO1|+|GP|＝|O1P|＝，即得点G到点O1（﹣2，0），O2（2，0）的距离之和为定长，又因为|O1O2|＝4＜，所以可得点G的轨迹是以点点O1（﹣2，0），O2（2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即得a＝，c＝2⇒b＝2，故有曲线C的方程为：．（2）根据题意，作出简图如下：假设存在直线l满足题意，则由图可得，|MD|2＝|MA|•|MB|＝（|AO|+|OM|）（|BO|﹣|OM|）＝|AO|2﹣|OM|2，（*）且由题可知直线l的斜率一定不为0，故可设直线l的方程为x＝my+2．设点D（x1，y1），E（x2，y2），联立椭圆方程组成方程组可得，化简可得，（m2+2）y2+4my﹣4＝0，∴，，⇒，∴|MD|＝|DE|＝，又∵，∴可得点M（），则，|OM|＝，所以直线AB的方程即为：，设点A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），联立椭圆方程可得，化简可得，∴|AB|＝，|AO|＝，∴代入（*）式可得，，化简可得m2＝2，或m2＝﹣1（舍去），∴m＝±，故所求直线l的方程为x+y﹣2＝0，或x﹣y﹣2＝0．21．记f″（x）＝（f′（x））′，f′（x）为f（x）的导函数．若对∀x∈D，f″（x）＞0，则称函数y＝f（x）为D上的“凸函数”．已知函数f（x）＝e x x3﹣ax2﹣1，a∈R．（1）若函数f（x）为R上的凸函数，求a的取值范围；（2）若函数y＝f（x）﹣x在（1，+∞）上有极值点，求a的取值范围．解：（1）∵f′（x）＝e x﹣x2﹣2ax，若函数f（x）为R上的凸函数，∴f″（x）＝e x﹣2x﹣2a＞0，即2a＜e x﹣2x，令y＝e x﹣2x，y′＝e x﹣2，当x＝ln2时，y′＝0，当x∈（﹣∞，ln2）时，y单调递减，x∈（ln2，+∞）时，y单调递增，∴y的最小值是2﹣2ln2，即2a＜2﹣2ln2，解得：a＜1﹣ln2，故a的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．（2）由题意知y＝f（x）﹣x＝e x﹣x3﹣ax2﹣x﹣1，则y′＝e x﹣x2﹣2ax﹣1，由题意得y′＝e x﹣x2﹣2ax﹣1在（1，+∞）有零点，即g（x）＝＝2a在（1，+∞）有解，g′（x）＝，令h（x）＝（x﹣1）e x﹣x2+1，h′（x）＝x（e x﹣2），∵x＞1，∴h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（1）＝0，∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，且x→+∞，g（x）→+∞，∴g（x）∈（g（1），+∞），即2a∈（e﹣2，+∞），故a的取值范围是（，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[4-4坐标系与参数方程] 22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）若曲线C为双曲线，求实数m的取值范围；（2）以极点为原点，极轴为x正半轴建立直角坐标系．当m＝﹣1时，过点P（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若||＝4，求直线l的倾斜角．解：（1）C的极坐标方程为ρ＝，根据，转换为直角坐标方程为mx2+（m+3）y2＝4，若该曲线为双曲线，故m（m+3）＜0，解得﹣3＜m＜0，故m的取值范围为（﹣3，0）．（2）当m＝﹣1时，由（1）得：，设直线l的倾斜角为α，故方程为（t为参数），代入，得到（2sin2α﹣cos2α）t2+4sinαt﹣2＝0，利用△＝16sin2α+8（2sin2α﹣cos2α）＞0，解得4sin2α＞cos2α，所以，由于点P（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点，所以P、A、B三点共线，所以，解得或（舍去），故，故．[4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|ax﹣3|．（1）当a＝2时，若f（x）≤2m2﹣m﹣1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）关于x的不等式f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x﹣3|，因为|2x﹣1|﹣|2x﹣3|≤|2x﹣1﹣2x+3|＝2，所以﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x﹣3|≤2，由题意可得2m2﹣m﹣1≥2，解得m≥或m≤﹣1，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）；（2）f（x）≥3x﹣3，即|2x﹣1|﹣|ax﹣3|≥3x﹣3在x∈[1，2]上有解，即|ax﹣3|≤2﹣x在x∈1，2]上有解．所以x﹣2≤ax﹣3≤2﹣x，则1+≤a≤﹣1在x∈1，2]上有解．所以（1+）min≤a≤（﹣1）max，所以≤a≤4，故a的取值范围是[，4]．。
湖北省十一校2021届高三第二次(3月)联考化学试题(解析版)
鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学2021届高三湖北十一校第二次联考化学试题考试用时：75分钟 全卷满分：100分★祝考试顺利★可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Ca-40 Fe-56 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1. 化学与生产、生活密切相关。
下列说法不正确的是A. 我国成功研制出多款新冠疫苗，采用冷链运输疫苗，以防止蛋白质变性B. 北斗卫星导航系统由中国自主研发、独立运行，其所用芯片的主要成分为SiO 2C. 5G 技术的发展，推动了第三代半导体材料氮化镓等的应用，镓为门捷列夫所预测的“类铝”元素D. 石墨烯液冷散热技术系我国华为公司首创，所使用材料石墨烯是一种二维碳纳米材料 【答案】B2. 下列化学用语表示错误的是 A. 甲烷的比例模型：B. 苯分子的实验式：CHC. 溴乙烷的电子式：D. 聚氯乙烯的链节：2CH CHCl【答案】D3. 用下列装置进行相应实验，能达到实验目的的是A. 实验室用装置①制取蒸馏水B. 向分液漏斗中加适量水，关闭b 、打开a ，检查装置②的气密性C. 用装置③蒸干FeCl 3溶液制备无水FeCl 3固体D. 装置④可用于干燥并收集SO 2气体 【答案】D4. 下列说法错误的是A. 水汽化和水分解的变化过程中，都需要破坏共价键B. CaC 2、Na 2O 2晶体中的阴、阳离子个数比分别为1∶1、1∶2C. 基态碳原子核外有三种能量不同的电子D. 区分晶体Ni 和非晶体Ni 最可靠的科学方法是X-射线衍射法 【答案】A5. 下列过程中，没有发生氧化还原反应的是 A. 铝热反应 B. 皂化反应 C. 银镜反应 D. 置换反应【答案】B6. 醋酸纤维是以醋酸和纤维素为原料制得的人造纤维，因具有弹性好、不易起皱、酷似真丝等优点，是目前市场上广泛采用的一种服装面料。
浙江省之江教育评价2021届高三第二学期3月返校联考化学试题【含答案】
浙江省之江教育评价2021届高三第二学期3月返校联考化学试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分。
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3.可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Ca 40 Fe 56 Cu 64选择题部分一、选择题(每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)1. 水溶液因水解呈酸性的是( )A. NaHSO4B. BaCl2C. CH3COONaD. NH4Cl2. 图中仪器在蒸馏实验中不需要用到的是( )A. B. C. D.3. 在熔融状态下能导电的化合物是( )A. HClB. CuC. CaCl2D. SO34. 下列物质对应的组成不正确的是( )A. 胆矾：CuSO4·5H2OB. 纯碱：Na2CO3C. 硫铵：NH4HSO4D. 干冰：CO25. 下列表示不正确的是( )A. 氯化钙的电子式：B. 乙烯的结构简式：CH2=CH2C. 甲烷分子的比例模型：D. 硫离子的结构示意图：6. 下列说法不正确的是( )A. 废纸、脲醛树脂、旧橡胶制品等均属于有机物B. 石油裂化的主要产物是乙烯等气态短链经C. 玉米经水解和细菌发酵可以制得乙醇D. 液氯可以储存在钢瓶中7. 下列说法正确的是( )A. 正丁烷与新戊烷互同系物B. 金刚石和干冰互为同素异形体C. 乙醇和乙醚互为同分异构体D. 16O和18O是两种不同的元素8. 下列说法不正确的是( )A. 石灰石在高温下可用于消除燃煤烟气中的SO2B. Na2CO3溶液可以除去铁屑表面的油污C. 茚三酮溶液可以检验蛋白质或氨基酸D. 向K2Cr2O7溶液中加入盐酸，溶液由黄色变为橙色9. 下列说法正确的是( )A. CaCO3是水泥生产中不可缺少的原料，它可以调节水泥的硬化速度B. MgO可以作为耐火材料C. 氧化钠可用作呼吸面具中的供氧剂D. 单晶硅可用来制造光导纤维10. 反应3Br2+6NaOH Δ5NaBr+NaBrO3+3H2O中，氧化剂与还原剂的物质的量之比是( )A. 1∶1B. 1∶2C. 1：5D. 5∶111. 下列有关实验说法正确的是( )A. 准确量取25.00 mL的液体可选用移液管、量筒或滴定管等量具B. 在纸层析分离Fe3+和Cu2+的实验中，亲脂性强的成分在流动相中分配得多一些，随流动相移动的速度就快一些C. 将溴乙烷与氢氧化钾混合液加热，再滴加硝酸银溶液，观察有沉淀生成，可证明溴乙烷中含有溴D. 做焰色反应前，铂丝用稀硫酸清洗并灼烧至火焰呈无色12. 下列说法正确的是( )A. 明矾可用作净水剂和消毒剂B. 足量SO2通入Ba(NO3)2溶液中产生白色沉淀C. NH3在足量的氧气中燃烧生成NOD. 过量的铁与少量的氯气反应生成FeCl213. 能正确表示下列反应的离子方程式是( )A. 乙酸乙酯与NaOH溶液共热：CH3COOCH2CH3+OH-ΔCH3COO-+CH3CH2OHB. NH4Fe(SO4)2溶液与足量NaOH溶液反应：Fe3++3OH-=Fe(OH)3↓SO+Cl-+2H+C. 漂白粉溶液吸收少量二氧化硫气体：SO2+H2O+ClO-=2-4D. 氧化铜与稀醋酸溶液反应：CuO+2H+=Cu2++H2O14. 下列说法不正确的是( )A. 将植物的秸杆、树叶、杂草和人畜的粪便加入沼气发酵池中，在厌氧条件下生成沼气B. 等物质的量的乙醇、乙醛、乙酸完全燃烧消耗O2的量依次减少C. 固态氨基酸主要以内盐形式存在，熔点较高，不易挥发，易溶于有机溶剂D. 乙酸乙酯中混有的乙酸，可加入足量的饱和Na2CO3溶液，经分液除去乙酸15. 关于图中物质说法正确的是( )A. 该物质在固态时属于分子晶体，熔点较低B. 可以发生取代、氧化、还原、消去、加聚反应C. 只含两种官能团D. 1 mol该物质与足量NaOH溶液反应，最多消耗2 mol NaOH16. X、Y、Z、M、Q五种短周期元素，原子序数依次增大。
青桐鸣2021-2022学年高三3月质量检测理科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则（）A．B．平面C ．平面D．2.已知正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．3. 若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）A ．2B．C ．或D ．2或4. 设为等差数列，若，则公差（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．25. 在2019年央视举行的主持人大赛中，女选手甲在一场比赛中表现出色，17位专业评打出的分数去掉一个最高分和一个最低分后，按从大到小的顺序排列分别是：98.5，98.5，98.5，98，98，98，97.5，97.5，97.5，97.5，97.5，97.97，96.5，96.5，96.5，则剩余的这15个分数的中位数、众数分别是（ ）A ．97.5，97.0B ．98.0，97.5C ．97.5，97.5D ．98.0，98.06. 设集合，N 是自然数集，则（ ）A．B．C．D．7. 已知实数a ，b ，c 满足，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．8. 已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（ ）A ．直线与直线共面B ．不垂直于C ．直线与直线的所成角为60°D ．三棱锥的体积为9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A．B．C．D．10. 若函数在上为增函数，则（ ）A ．实数a的取值范围为B ．实数a的取值范围为C ．点为曲线的对称中心D ．直线为曲线的对称轴青桐鸣2021-2022学年高三3月质量检测理科数学试题(高频考点版)青桐鸣2021-2022学年高三3月质量检测理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题11. 关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（ ）A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的图象关于直线对称D．的值域为12. 在三棱锥中，已知，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，，则（ ）A ．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形B．平面平面C ．异面直线互相垂直D．三棱锥外接球的半径为13. 设是抛物线上的两个不同的点，O 为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线恒过定点，定点坐标为______．14. 若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________.15.如图，在正四棱台中，，分别是正方形，的中心.若以为球心，为半径的球与平面相切，且是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为______.16. “五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：抽到的红球个数0123优惠折扣无折扣九折八折七折(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；(2)若李女士在该商场消费金额为x元（），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议.17. 某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（分钟）101112131415等候人数（人）232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）若选取的是后面4组数据，求关于的线性回归方程；（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.18. 已知函数.(1)若a=0，求的极值；(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围.19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD.20. 一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口､鼻及下颌，用于普通医疗环境中阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩.按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品.某部门为了检测一批口罩对细菌的过滤效率，随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中m的值及这200个口罩中优等品的频率；(2)为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从和两组中抽取21个口罩，已知过滤效率百分比低于99%的检测费为每个8元，不低于99%的检测费为每个12元，求这21个口罩的检测总费用.21. 已知直三棱柱中，E，F分别为棱和的中点，，，.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面EFC所成角的正弦值为且，证明：平面平面EFC.。
普通高等学校招生国统一考试数学理试题四川卷,解析
2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕参考公式：假如事件互斥，那么 球的外表积公式()()()P A B P A P B 24S R假如事件互相HY ，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R 在n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n …第一局部 〔选择题 一共60分〕考前须知：1、选择题必须使需要用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目的号的位置上。
2、本局部一共12小题，每一小题5分，一共60分。
一、选择题：每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是〔 〕A 、42B 、35C 、28D 、21[答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7，令k=2，那么2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为 [点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这局部分值，首先需要纯熟掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算才能.2、复数2(1)2i i-=〔 〕 A 、1 B 、1- C 、i D 、i - [答案]B.[解析]2(1)2i i -=12212-=-+ii i [点评]突出考察知识点12-=i ，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以. 3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是〔 〕A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0[答案]A[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 那么sin CED ∠=〔 〕ABC[答案]B1010cos 1sin 10103EC ED 2CD -EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=•+=∠∴==++==+=∴=CED CED ，）（，正方形的边长也为解析 [点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是〔 〕[答案]C[解析]采用排除法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过〔1,0〕，选项只有C 符合，应选C.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比拟常用，且简单易用.6、以下命题正确的选项是〔 〕A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B 、假设一个平面内有三个点到另一个平面的间隔 相等，那么这两个平面平行C 、假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D 、假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行[答案]C[解析]假设两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的间隔 相等，那么这两个平面平行，故B 错；假设两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；应选项C 正确.[点评]此题旨在考察立体几何的线、面位置关系及线面的断定和性质，需要纯熟掌握课本根底知识的定义、定理及公式. 7、设a 、b 都是非零向量，以下四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是〔 〕A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b =[答案]D[解析]假设使||||a b a b =成立，那么方向相同，与b a 选项里面只有D 能保证，应选D. [点评]此题考察的是向量相等条件⇔模相等且方向一样.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.8、抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
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2021年高三3月联考数学理试题含答案
本试卷共150分，考试用长120分钟。
第一部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合,集合,则
A. B. C. D.
2. 函数与在同一直角坐标系中的图象是
A B C D
3. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 关于点对称
D. 关于直线对称
4. 若双曲线的离心率是，则实数的值是
A. B. C. D.
5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为
A. B.
C. D.
6. 设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为
A. B.
C. D.
7. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为
A. B. C. D.
8. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有对，则的取值分别为
A. 15，45
B. 10, 30
C. 12, 36
D. 12 , 48
第二部分
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。
9. 在的二项展开式中，的系数为。
10．在中，角，，的对边分别为，，，角，，成等差数列，则=________；若同时边，，成等比数列，则=________。
11.若实数满足 ,,则的取值范围是。
12．已知圆（为参数）与直线，则直线截圆所得的弦长为。
13. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为主视图，
侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为。
14. 关于曲线，给出下列说法：
①关于坐标轴对称；②关于点对称；
③关于直线对称；④是封闭图形，面积大于.
则其中正确说法的序号是.（注：把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知.
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
16.（本题满分13分）
一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.
(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率；
（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列和
的数学期望.
17.（本题满分14分）如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥. (Ⅰ)若点是棱的中点，求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.
18.（本题满分13分）
已知函数.
(Ⅰ)当时，求的单调区间；
(Ⅱ)求在区间上的最大值.
19.（本题满分13分）
已知直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切.
（Ⅰ）求直线在轴上截距的取值范围；
（Ⅱ）设是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
20.（本题满分14分）在数列和中，，，，其中且，.
（Ⅰ）若，，求数列的前项和；
（Ⅱ）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；（Ⅲ）设，，设.当时，求出相应的集合.
北京市东城区普通校xx 届高三3月联考（零模）
数学理参考答案
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.（若有两空，第
一空3分；第14题多选、错选得0分，少选得3分）
9. -40 10. ； 11. 12. 13. 14. ①②④
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 解：（1）因为，所以， （2分）
因为，所以， （4分）
= （6分）
== （7分）
（2） 5111()cos sin 2cos 2sin 2cos 26222
f x x x x x α∴=-=- （8分） = （10分）
令，解得
， （12分）
所以单调递增区间为[. （13分）
16. 解：（I ）从袋中随机抽取1个球，其编号为3的倍数的概率 （2分）
有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为
（6分）
（II ）随机变量所有可能的取值为. （7分）
， ，
，
所以，随机变量的分布列为:
（11分）
（13分）
17. 解：（Ⅰ）因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以. （2分）
因为平面,平面,所以平面.（4分）
（Ⅱ）由题意,,因为,所以,. （5分）又因为菱形,所以,.建立空间直角坐标系,如图所示..
所以（6分）
设平面的法向量为,
则有即：令,则,所以.（8分）
因为,所以平面.平面的法向量与平行,所以平面的法向量为.（9分）,因为二面角是锐角,
所以二面角的余弦值为.（10分）
（Ⅲ）解：因为是线段上一个动点,设,,
则,所以,、
则,,
由得,即,（12分）
解得或,（13分）（所以点是线段的三等分点,或）（14分）
18. 解：（Ⅰ）,（2分）
在区间上,；在区间上,
故的单调递增区间是,单调递减区间是. （5分）
（Ⅱ）. （7分）
①当时,由（Ⅰ）知在上单调递增,
故在上 （9分）
②当时,, 在区间上,；故在上单调递增
故在上 （11分）
③当时,,在区间上,；在区间上,
在上单调递增,在上单调递减, （9分）
故在上. （13分）
19. 解： （Ⅰ）解：设直线的方程为.由直线与圆相切，
得 ，化简得. （2分）
直线的方程代入，消去，得 .（*） （3分）
由直线与抛物线相交于，两点，得，即 .
将代入上式，得.解得，或. （5分）
注意到，从而有 ，或. （6分）
（Ⅱ）解：设，.由（*）得，.
所以 . 将，代入上式，得
22
221212*********
(1)(1)()()1442164x x FA FB x x x x x x x x ⋅=+--=+-++.
（10分）
将，代入上式，令，得.
所以 ，即 . 解得 ， (舍去).
故 .
所以直线的方程为，或. （13分）
20. 解：（Ⅰ）因为,所以,, （1分）由,得,
所以, （3分）因为且,所以, （4分）
所以 ,是等差数列,
所以数列的前项和. （5分）
（Ⅱ）由已知,假设,,成等比数列,其中,
且彼此不等, 则, （6分）
所以29292p mt ++=+++,
所以, （8分）
可得,与矛盾；假设不成立.
所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. （9分） （Ⅲ）当时,设,则,且,设,,则,所以, （10分）
因为,且,所以能被整除.
（1）当时,
； （11分）
（2）当时,222121[(1)1]1(1)(1)11n n n n a a a C a -=+--=++-++-,
所以能被整除. （12分）
（3）当时,
2121211211[(1)1]1(1)(1)2n n n n a a a C a ++++-=+--=++++-,
所以不能被整除. （13分）
综上, 时,； （14分）
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