普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修1第二章2.3.1 幂函数(共32张PPT)
人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函数
1 2
y=x 定 义 域 值 域 奇 偶 性 单 调 性 公 共 点
y=x2
y=x3
yx
1 2
y=x-1 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
R R
奇
在R上是 增函数
R
[0,+∞) 偶
x ∈(-∞,0)时,减 x ∈(0,+ ∞)时,增
R R
奇
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶
奇
在R上是 在[0,+∞)上 x ∈(-∞,0)时,减 增函数 是增函数 x ∈(0,+ ∞)时,减
(1,1)
(1)所有幂函数在(0,+ ∞)都有意义,并且图象都通 过点(1,1),所有图象都不过第四象限; (2)当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时, 幂函数为偶函数; (3)当α>0,则幂函数的图象过原点,并在区间[0,+ ∞) 上是增函数; (4)当α>1,幂函数在第一象限的图象是下凹的, 当0<α<1,幂函数在第一象限的图象是上凸的; (5)当α<0,则幂函数在区间(0,+ ∞)上是减函数; 在第一象限内,函数的图象向上与y轴无限接近,向 右与x轴无限接近,且|α|越大,向右越接近x轴.
例1 如图所示是五个幂函数y=xα在第
1 ,2,则图中 3
曲线1,2,3,4,5对应的α的值分别为
y C5
.
C4 C3 C2 C1
O
x
例2 函数 y x
n2 2n3
(n Z )如图所示,试求n的值.
y
O
x
yx 0 1 1.414 1.732 2 2.236 2.449 2.646 2.828 3 3.162 3.317 3.464 3.606 3.742 3.873 4
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.3幂函数》教案(1)
幂函数
教学目标
理解和掌握幂函数的图象和性质．
重点难点
幂函数的图象和性质．
教学过程
幂函数的图象、性质和应用
幂函数y=x n随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取
例1图2为幂函数y=x n在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为[ ]．
A．C1＞C2＞C3＞C4
B．C2＞C1＞C4＞C3
C．C1＞C2＞C4＞C3
D．C1＞C4＞C3＞C2
应选C．
评述幂函数y=x n在第一象限内的图象均过点(1，1)，在区间(1，+∞)上，n的值越小，图象越靠近x轴．
例2 比较下列各组数的大小：
(1)分析底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．
(3)分析为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数．
即
评述此例充分显示了化归转化思想在比较幂型数大小中的运用．。
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人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2空间几何体的三视图和直观图1．3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式必修三：第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型3．3几何概型阅读与思考概率与密码必修四：第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象与性质1．5函数y=Asin（ωx+ψ）1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换必修五：第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3实习作业第二章数列2．1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2充分条件与必要条件1．3简单的逻辑联结词1．4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2双曲线2．3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修2-1:第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法选修2-2:第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1:第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4:第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1:第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2:第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5:第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4-7:第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 2.3幂函数
MN＝NA.那么αβ等于( A )
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
解析 由条件知，M(13，23)、N(23，13)，
∴13＝(23)α，23＝(13)β，
∴(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13，
∴αβ＝1.故选A.
解析答案
类型三 幂函数性质的综合应用
例3
(1)探讨函数
f
x
＝x
1 2
的单调性.
第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
2.3 幂函数
学习目标
1.理解幂函数的概念； 2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法； 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方 法处理幂函数有关问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 幂函数的概念 思考 y＝1x，y＝x，y＝x2 三个函数有什么共同特征？ 答案 底数为x，指数为常数. 一般地， 函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
类型一 幂函数的概念
例1 已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3 是幂函数，求m，n的值.
m2＋2m－2＝1， 解 由题意得m2－1≠0，
普通高中数学课程标准新版
普通高中数学课程标准（实验）解读人民教育出版社章建跃zhangjy@一、数学课程的性质、地位和作用二、课程的十大理念•1．构建共同基础，提供发展平台•2．提供多样课程，适应个性选择•3．倡导积极主动、勇于探索的学习方式•4．注重提高学生的数学思维能力•6．与时俱进地认识“双基”•7．强调本质，注意适度形式化•8．体现数学的文化价值•10．建立合理、科学的评价体系三、课程目标•总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
•具体目标：• 1.获得“双基”。
• 2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
• 3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
• 4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
• 5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
• 6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
四、课程结构•必修课程5个模块，各36课时•数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；•数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；•数学3：算法初步、统计、概率；•数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；•数学5：解三角形、数列、不等式。
•必选模块（各36课时）•系列1：文科必选•选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；•选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。
•系列2：理科必选•选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；•选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；•选修2-3：计数原理、统计案例、概率。
人教A版(老课标)数学必修1- 第二章 基本初等函数-2.3 幂函数
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
幂函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0，＋∞)， _增___ x∈(－∞，0]， _减___
_增___
x∈(0，＋ _增___ ∞)，_减___
性质，并会应用
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
问题导学 预习课本 P77－79，思考以下问题： (1)幂函数的定义是什么？ (2)幂函数的解析式有什么特点？ (3)幂函数的图象有什么特点？ (4)幂函数的性质有哪些？
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1．幂函数的概念 函数 y＝__x_α_叫做幂函数，其中__x__是自变量，__α__是常数．
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
若幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，14，则 f13＝________． 解析：因为幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，14，所以 2α＝14， 则 α＝－2，所以 f(x)＝x－2，所以 f13＝13－2＝9. 答案：9
＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数
为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(2)若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，
则 m 的值为( )
A．1
B．－3
C．－1
D．3
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x－45是幂函数．()(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y ＝x －( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y ＝x α的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2＝1，12m2＋m<0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． [探究共研型]探究1 幂函数y ＝x 【提示】 当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12，1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13， ∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52.1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12，∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【导学号：97030118】A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。
人教A版高中数学必修一教学课件2.3幂函数
7
，从而－8－8
＜－1978
.
(3)－23－23 ＝23－23 ，－π6－32 ＝π6－23 .
2
函数 y＝x－3 在(0，＋∞)上为减函数，
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又23＞π6，
所以－32－32 ＝23－23 ＜π6－23 ＝－π6－23 .
2
2
2
2
(4)4.15 ＞15 ＝1；0＜3.8－3 ＜1－3 ＝1；
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由图象可知：(1)当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＞g(x)； (2)当 x＝±1 时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x＜0 或 0＜x＜1 时，f(x)＜g(x)．数学 Leabharlann 必修1(A版)课前自主预习
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1．作幂函数图象的原则和方法 (1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性等． (2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据 奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象．
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奇偶
非奇
奇
偶
奇
奇
性
非偶
单调 性
x∈[0，＋∞)_增__
增
增
x∈(－∞，0]_减__
x∈(0，＋∞)_减__ 增
x∈(－∞，0)_减__
定点 (1,1)， (1,1)，(0,0) (1,1)，(1,1)，
(1,1)
(0,0)
(0,0) (0,0)
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人教A版数学必修一2.3.1幂函数(一)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作幂函数（一）[自学目标]1.了解幂函数的概念2.会画出几个常见的幂函数的图象3.了解几个常见的幂函数的性质,并能简单应用[知识要点]1. 幂函数的定义．2. y=x, y=x 2, y=x 3, x y 1=, 21x y =的图象． 3 .幂函数的性质．[预习自测]例1：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。
（1）3x y = （2）21x y = （3）2-=x y （４）32-=x y变式引申： 求函数3241)2()1(-++=-x x y 的定义域。
例2：画出下列函数2x y =，3x y =，21x y =的图象例3：比较下列各组数的大小（1）253-和251.3- （2）32)32(--和32)6(--π例４：求出函数2)3(--=x y 的定义域和单调区间．例５：已知1222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 为正比例函数；（2）)(x f 为反比例函数；（3）)(x f 为幂函数。
[课内练习]1.求下列幂函数的定义域，并指出它们的奇偶性。
（1）32x y =（2）65x y =（3）54-=xy （4）23-=x y２.已知幂函数y=f(x)的图象经过（3，33），则f(x)= ３.下列函数图象中,表示函数31-=x y 的是（ ）４.画出函数31x y =的图象，并指出其单调区间。
５.比较下列各组数中两个值的大小：（1）212124.5,23.5（2）1127.0,26.0--（3）33)75.0(,)72.0(--[归纳反思]１.关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较②异底同指，用幂函数单调性比较③异底异指，构造中间量（同底或同指）进行比较２.性质：对于幂函数a x y =：①当a>0时，图象经过点（１，１）和（０，０），在第一象限内是增函数.②当a ＜0时，图象经过点（１，１），在第一象限内是减函数，并且图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近.[巩固提高]1.在下列函数中，定义域为R 的是（ ）A 23x y = B 3x y = C x y 2= D 1-=x y2.下面给出了5个函数○112+=x y ○221-=x y ○322x y =○432-=x y ○5131+=x y ，其中是幂函数的是（ ）A ○1○5 B ○1○2○3 C ○2○3 D ○2○3○5 3下列命题中正确的是（ ）A 当m=0时,函数m x y =的图象是一条直线B 幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C 幂函数m x y =图象不可能在第四象限内D 若幂函数m x y =为奇函数,则m x y =是定义域内的增函数4. 下列函数中,既是奇函数，又在),0(+∞上是减函数的是（ ）A x y =B x y -=2C 3x y -=D 3x y -=5.函数3x y =与函数31x y =的图象（ ）A 关于原点对称B 关于y 轴对称C 关于x 轴对称D 关于直线y=x 对称6.函数32x y =图象的大致形状是（ ）A B C D7.如图,曲线21,C C 分别是函数m x y =和n x y =在第一象限的图象,那么一定有 A n<m<0 B m<n<0C m>n>0D n>m>08.用“〈”或“〉”连接下列各式6.032.0 5.034.0 528.0- 326.0-9.幂函数的图象过点( 2 , 41),则它的单调递增区间是10.函数43-=x y 在区间 上是减函数11.比较下列各组数的大小(!)3232)2.1(,3.1--- (2)323132)4(,)4.2(,1.2---(3)733243)8.0(,5.2,3.6--12.函数)1()24(2241+-++++=-mx x m x mx y 的定义域是全体实数,求实数m 的取值范围?幂函数（一）课内练习答案：1）（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）非奇非偶函数2） 21)(-=x x f 3） D 4）图略5） （1）212124.523.5< （2）1127.026.0-->（3）33)75.0()72.0(->- 巩固提高答案：1） C2） （2）（4）3） C4） C5） D6） D7） A8） <<;9） )0,(-∞10）),0(+∞ 11） （1）3232)2.1(3.1---< （2）323231)4(1.2)4.2(-<<-- （3）4332736.35.2)8.0(<<-- 12）解：由题得 0242>+++m x mx 对x 恒成立（1）当0>m 时，0<∆08416)2(4162<--=+-m m m m0422>-+m m得：51+->m 或51--<m又因为0>m 51+->∴m（2）当0<m 时 不可能（3）当0=m 时 不可能综上所述：51+->m。
人教A版数学必修一第1部分第二章2.3幂函数
<(3－2a)
－m 3
的
a
的取值范围．
[思路点拨] 由函数在(0，＋∞)上递减，及图象关于 y
轴对称求出正整数 m 的值，然后利用单调性求解．
[精解详析] ∵函数 y＝x3m－9 在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0.解得 m<3.
(4 分)
又 m∈N*，∴m＝1，2.
又函数图象关于 y 轴对称，
(2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即 根据幂函数在第一象限内的图象（类似于 y＝x－1 或 y＝ x12或 y＝x3）来判断．
3．函数y＝xa，y＝xb与y＝xc在第一象限中的图
象如图所示，则a，b，c的可能取值为( ) A．a＝2，b＝－1，c＝12 B．a＝2，b＝12，c＝－1 C．a＝－1，b＝2，c＝12 D．a＝12，b＝－1，c＝2
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理解 教材 新知
知识点一 知识点二
第 二
2.3
把握 热点
考点一 考点二
章
考向
考点三
应用创新演练
问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？ 提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数． 问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？ 提示：自变量在底数的位置． 问题3：再举出几个这样的函数． 提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.
D．y＝x－2
解析：先判断在(0，＋∞)上的单调性，再利用奇函 数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在 关于原点对称的区间上单调性相反判断在(－∞，0) 上的单调性． 答案：C
7．设 a＝(35)25，b＝(25)35，c＝(25)25，则 a，b，c 的大小
人教A版数学必修一2-3-1幂函数.pptx
答：平均每年需增长11.9%.
[例4] 幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3当x∈(0，＋∞) 时为减函数，求实数m的值．
[例5] 判断幂函数y＝x3的单调性和奇偶性． [分析] 函数单调性的判断：取值——作差——判断 符号——下结论，函数奇偶性的判断：定义域——f(－x)与 －f(x)、f(x)的关系——下结论． [解析] ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， ∴y＝x3是奇函数． 解法一：∵α＝3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又∵f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数． 解法二：在(－∞，＋∞)上任取x1，x2，设x2>x1，
偶
∞)增
观察总结可知幂函数y＝xα(α为常数)的性质： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都 通过点(1,1)； (2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0， ＋∞)上为增函数； (3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上为减函数，在第 一象限内，向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象都过(－1，－ 1)点，当α为偶数时，幂函数为偶函数、图象都过(－1，1) 点．
1
3在第一象限内是减函
数，∴53－31<43－31，∴－323<－233<53－13<43－31<150
32 <23<
2
23.
[解析] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1， 即(m－2)(m＋1)＝0， ∴m＝2，或m＝－1. 当m＝－1时，m2－2m－3＝0不满足题意，舍去． 当m＝2时，m2－2m－3＝－3满足题设条件， ∴m＝2.
高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.3幂函数
6
与①对应;
d.y=
5
x3
=
1
的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),可知与④对应.因此正确对
3 x5
应序号为②③①④,选 A.
(2)假设四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图, 那么a,b,c,d的大小关系是( ) (A)d>c>b>a (B)a>b>c>d (C)d>c>a>b (D)a>b>d>c
故有
2
4. 15
>3.
2
83
>(-1.9)
3 5
.
方法技巧
比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,假设指数相同而底数不同, 那么考虑幂函数;假设指数不同底数相同,那么考虑指数函数;假设底 数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性, 也可以借助幂函数与指数函数的图象.
即时训练 3-1:下列四组数的大小,正确的组数是( )
(A)是偶函数
(B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:(2)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2m-1=1,且m≤0,解得m=-1,那么函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在 定义域上不是减函数,且无最值,应选B.
易错警示
(1)幂函数解析式的结构特征:①解析式是单项式;②幂指数为常数,底 数为自变量,系数为1. (2)幂函数y=xα的图象与坐标轴无交点,那么α≤0,而不是α<0.
7
2 3
<2.70=1,所以
2.
7
2 3
3
<3. 14