(通用版)高考数学一轮复习阶段规范强化练7不等式
高考数学一轮复习 专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)
第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ） A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2））【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）， 根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：a∵a ＜0，∴-（4a4a故选：D ．【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥=，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（ ）【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.4 D.【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。
2024年高考数学一轮复习大题专练07导数构造函数证明不等式1
一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）1．已知函数()f x alnx x =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()x xf x e <． 解：（1）()f x alnx x =+，(0,)x ∈+∞． ()1af x x'=+， 0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．0a <时，令()0f x '=，解得0x a =->，函数()f x 在(0,)x a ∈-上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增．（2）证明：当1a =时，要证明：()xxf x e <，即证明21xlnx e x x+<， 令()1lnxg x x=+，21()lnx g x x -'=， 令()0g x '>，解得0x e <<；令()0g x '<，解得e x <． ∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．x e ∴=时，函数()g x 取得极大值即最大值，g （e ）11e=+． 令2()xe h x x =，3(2)()xx e h x x -'=，令()0h x '<，解得02x <<；令()0h x '>，解得2x <． ∴函数()h x 在(0,)e 上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．x e ∴=时，函数()h x 取得极小值即最小值，h （2）24e =．221251(1)1044 2.5e e ⋅-+>-->． ()()max min g x h x ∴<，即21xlnx e x x+<，也即()x xf x e <． 2．已知函数()f x x alnx =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程0x alnx -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：0(1)a x a ->．（Ⅰ）解：由()f x x alnx =-，可得()1a f x x'=-， 则f '（1）1a =-，又f （1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--， 即(1)y a x a =-+．（Ⅱ）解：()f x x alnx =-的定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=， 当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，可得x a >，令()0f x '<，可得0x a <<， 所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >， 则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->， 而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立）， 所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->， 令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=， 当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减， 当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增， 所以0()g x g （1）0=，而01x ≠， 所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．3．已知函数()f x alnx x =+，函数2()x g x e bx =+，（1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的极值点；（2）若已知曲线()y f x =和曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1)．求证：当0x >时，()()(1)1xf x g x e x +--．解：（1）2()h x alnx x x =++，22()(0)x x ah x x x++'=>， 记2()2(0)x x x a x ϕ=++>，当0a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞单调递增，无极值点，当0a <时，△180a =->，()x ϕ有异号的两根10)x =<，20)x =>，x ∴∈，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 在单调递减，x ∈，)+∞，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 在，)+∞单调递减，()h x ∴有极小值点x =； （2）证明：()(0)x af x x x+'=>，()2x g x e bx '=+，f ∴'（1）1a =+，()f x 在1x =处的切线方程为1(1)(1)y a x -=+-，过点(0,1)得：1a =-，g '（1）2e b =+，()g x 在1x =处的切线方程为(2)(1)y e b e b x --=+-，过点(0,1)得：1b =-， ()f x lnx x ∴=-+，2()x g x e x =-，要证：()()(1)1xf x g x e x +--，即证：(1)10x e xlnx e x ----， 即证：1(1)0x e lnx e x x---，构造函数1()(1)x e K x lnx e x x =---，则2(1)(1)()x x e K x x --'=，0x >时，10x e ->，(0,1)x ∴∈时，()0K x '<，()K x 在(0,1)单调递减， (1,)x ∴∈+∞时，()0K x '>，()K x 在(1,)+∞单调递增，()K x K ∴（1）0=，故原不等式成立．4．已知函数()()f x ax lnx a R =+∈在1x =处取得极值．（Ⅰ）若对(0,)x ∀∈+∞，()1f x bx -恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1[4，1]上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．（Ⅰ）解：()()f x ax lnx a R =+∈，则1()f x a x'=+， 又()f x 在1x =处取得极值，则有f '（1）10a =+=，解得1a =-， 此时1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 所以()f x 确实在1x =处取得极值， 故1a =-，设()(1)1h x lnx b x =+--，则()1f x bx -在(0,)+∞上恒成立，即()0h x 在(0,)+∞上恒成立， 因为1()1h x b x'=+-， 当10b -，即1b 时，()0h x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意； 当1b <时，令()0h x '=，解得11x b=-， 当101x b<<-时，()0h x '>，则()h x 单调递增， 当11x b>-时，()0h x '<，则()h x 单调递减， 所以当11x b =-时，()h x 取得最大值111()1(1)2111b h ln ln b b b b-=+-=------， 要使得()0h x 在(0,)+∞上恒成立， 则有(1)20ln b ---，解得21b e --，综上所述，实数b 的取值范围为(-∞，21]e --；（Ⅱ）证明：要证(4)(3)0m m ++<，即证明43m -<<-即可， 因为()()(2)(2)x x g x f x x e lnx x x e =+-=-+-， 则111()1(2)(1)()(1)x x x x x g x e x e e x e x x x x-'=-++-=+-=--， 因为1[4x ∈，1]时，10x -恒成立，设1()x M x e x=-，1[4x ∈，1]，则()M x 为单调递增函数，又113205112035()0,()0201153M e M e =-<=->，则存在0113(,)205x ∈，使得0()0M x =，即001x e x =，则当01[,)4x x ∈时，()0M x <，(1)0x -<，则()0g x '>，故()g x 单调递增，当0[x x ∈，1]时，()0M x ，(1)0x -且不同时为0，则()0g x '，故()g x 单调递减，所以()g x 在1[4，1]上的最大值为0000000000()(2)2x x x m g x lnx x x e lnx x x e e ==-+-=-+-，又001x e x =，则00021m lnx x x =-+-，0113(,)205x ∈，设2()1k x lnx x x =-+-，113(,)205x ∈， 则212()10k x x x'=-+>对于113(,)205x ∈恒成立， 故()k x 在113(,)205x ∈上单调递增 故1111114011940()()1420202011202011k x k ln ln >=-+-=+->-， 333103()()1 2.933355535k x k ln ln <=-+-≈-<-，于是43m -<<-， 故(4)(3)0m m ++<．5．已知函数()x f x e x a =--，对于x R ∀∈，()0f x 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．解：（1）由0x e x a --恒成立，得x a e x -对x R ∀∈恒成立， 令()x g x e x =-，()1x g x e '=-， 当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <，()0g x '<，()g x 单调减，()(0)1min g x g ==， 故所求实数a 的取值范围为(-∞，1]； （2）证明：由（1）得1x e x +．欲证cos tan x x x e +，只需证cos tan 1x x x ++即可， 令()cos tan 1h x x x x =+--，222221sin (sin cos )sin (sin sin 1)()sin 1cos cos cos x x x x x x h x x x x x-+-'=-+-==，令2()sin sin 1F x x x =+-，则易知()F x 在[0,]4π单调递增，且(0)0F <，()04F π>，故存在0(0,)4x π∈，使得0()0F x =；当[0x ∈，0)x 时，()0F x <，()0h x '，()h x 单调递减，当0(,]4x x π∈时，()0F x >，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)0h =，()044h ππ<，()(0)0max h x h ==，故当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．6．已知函数()x f x e =，()1g x ax =+． （Ⅰ）已知()()f x g x 恒成立，求a 的值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈211x x+-<． 解：（1）已知()()f x g x 恒成立，即()()0f x g x -恒成立， 令()()()1x h x f x g x e ax =-=--，则有()x h x e a '=-，当0a 时，则恒有()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，并且当x →-∞时，()h x →-∞，不满足题意；0a ∴>，此时令()0h x x lna '=⇒=；()0h x x lna '∴>⇒>；()0h x x lna '<⇒<，即函数()h x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，()()1min h x h lna a alna ∴==--，若要满足题意，则需使10a alna --，恒成立， 令F （a ）1(0)a alna a =-->，则有F '（a ）lna =，由此可得，当01a <<时，F '（a ）0<；当1a >时，F '（a ）0>．F ∴（a ）min F =（1）0=，即得F （a ）0， 1a ∴=．（2）令()1((0,1))x G x e x x =--∈，则有()10x G x e '=->恒成立，故可得()G x 在(0,1)上单调递增，即有()(0)0G x G >=恒成立，故有101x x e x e x -->⇔>+在(0,1)上恒成立； 根据题意，要证2111()lnx x f x x-+-<，即证明1111lnx x x x -+-<+，即证2111x lnx x x x x+-++-<+， 即证2110lnx x x-++>， 令21()H x lnx x x x =-++，则有22111()2(1)2H x x x x x x x'=--=--，(0,1)x ∈，10x ∴-<，20x -<，()0H x '∴<在(0,1)上恒成立，即得函数()H x 在(0,1)上单调递减， ()H x H ∴>（1）10=>，由此得证当(0,1)x ∈时，原不等式成立．7．已知函数()(1)f x x lnx =-，()f x '的反函数为()h x （其中()f x '为()f x 的导函数，20.69)ln ≈． （1）判断函数2()()32g x f x x x '=+-+在(0,)+∞上零点的个数；（2）当(0,1)x ∈31x x >--． 解：（1）由题意得22()()3232g x f x x x lnx x x ='+-+=+-+， 则(21)(1)()x x g x x--'=，由()0g x '=得12x =或1x =， 由()0g x '>，得102x <<或1x >， 由()0g x '<，得112x <<， 当x 在(0,)+∞上变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：根据上表知13()2024g x g ln ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大值，()g x g =极小值（1）0=，121()220416g ln =-<， 根据零点的存在性定理，函数()g x 在1(0,)2上存在唯一零点，又因为g （1）0=，所以根据()g x 的单调性可知，函数2()()32g x f x x x ='+-+在(0,)+∞上零点的个数为2． （2）证明：因为()f x lnx '=，其反函数为()x h x e =， 所以不等式为33(1)1(1)(1)x xx lnx x x x lnx x x e e->--⇔->--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以()f x f >（1）1=-， 设函数3()(1)x G x x x e =--， 则32()(32)x G x x x x e '=+--，设函数32()32p x x x x =+--，则2()361p x x x '=+-， 所以()p x '在(0,1)上单调递增， 因为(0)p p '⋅'（1）80=-<， 所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x '=，所以函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，1)上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，0()(0)2p x p <=-， 当0(x x ∈，1)时，0()0p x <，p （1）0>， 所以存在1(0,1)x ∈，使得1()0G x '=， 所以当1(0,)x x ∈时，()0G x '<， 当1(x x ∈，1)时，()0G x '>，所以函数()G x 在1(0,)x 上单调递减，在1(x ，1)上单调递增， 因为(0)1G =-，G （1）e =-， 所以当(0,1)x ∈时，()(0)1G x G <=-， 所以3(1)(1)x x lnx x x e ->--， 所以3()1()f x x xg x >--．。
高考理科数学一轮复习《第7章不等式》7.4 基本(均值)不等式及其应用试题
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。
高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本均值不等式课后作业理(1)
学 习 资 料 汇编【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本（均值）不等式课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2 3.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3224．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最大值 e 二、填空题6．(2016·开封模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．7．(2016·东莞模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．8．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[冲击名校]1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．32．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 23．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 4．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 5．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 2．解析：选B f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1. 当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.3解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，－a a ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．4．解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 5．解析：选C ∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.二、填空题6．解析：∵圆关于直线对称，∴直线过圆心(－1,2)，即a ＋b ＝1.∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 7．解析：函数log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时，等号成立．答案：88．解析：由题意知(b,1)到x ＋y ＋a ＝0的距离为2，即b ＋1＋a2＝2，得a ＋b ＝1，a＝1－b ，a 2b ＋1＝－b 2b ＋1＝b ＋2－b ＋＋4b ＋1＝b ＋1＋4b ＋1－4≥0，当且仅当b ＝1，a ＝0时取等号，又a ＞0，b ＞0，所以a 2b ＋1＞0.答案：(0，＋∞) 三、解答题9．解：(1)y ＝x ＋82x －3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号，于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.[冲击名校]1．解析：选Bxy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z＝－1y2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.2．解析：选C ∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．3．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：24．解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2 a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为27.答案：275．解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．敬请批评指正。
2022年高考数学一轮复习《不等式》基础强化练习卷（含答案）
2022年高考数学一轮复习《不等式》基础强化练习卷（含答案）1、2022年高考数学一轮复习《不等式》基础强化练习卷一、选择题若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有( )A.ac＞bdB.ac＜bdC.ad ＜bcD.ad＞bc假如a＞0＞b且a2＞b2，那么以下不等式中正确的个数是( )①a2b＜b3；②＞0＞；③a3＜ab2.A.0B.1C.2 D.3若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件若(x －1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )A.(0，3)B.[－4，－3)C.[－4，0)D.(－3，4]若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不2、等式at2＋2t－3＜1的解集为( )A.(－3,1)B.(－∞，－3)∪(1，＋∞)C.∅D.(0,1)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为( )A.(0，＋∞)B.[－1，＋∞)C.[－1，1]D.[0，＋∞)n若一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(-,)，则a＋b的值是( )A.10B.－10C.14D.－14若x，y 满足约束条件则3x＋5y的取值范围是()A.[－5,3]B.[3,5]C.[－3,3]D.[－3,5]设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x＋5y最大值为( )A.6B.19C.21D.45若2x＋2y=1，则x＋y 的取值范围是3、( )A.[0,2]B.[－2,0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]当x0时,的最大值为( )A.B.1C.2D.4已知a＞0，b＞0，a＋b=＋，则＋的最小值为( )A.4B.2C.8D.16二、填空题不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为________.若x，y满足约束条件则z=x＋y的最大值为________.已知a，b∈R，且a－3b＋6=0，则2a＋的最小值为________.三、解答题已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a ＜0.已知lg(3x)＋lgy=lg(x＋y＋1).(1)求xy的最小值；4、(2)求x＋y的最小值.n已知一元二次不等式(m-2)x2＋2(m-2)x＋4＞0的解集为R.求m的取值范围．若关于x的不等式ax2＋2x＋20在R上恒成立，求实数a的取值范围．n设x，y都是正数且＋=3，求2x＋y的最小值；已知x－2，求函数y=2x＋的最大值.n 答案解析答案为：B；解析：依据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a ＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.答案为：C解析：因为a2b2，b0，所以a2bb3，故①正确；因为a2b2，a0，所以a3ab2，故③错误；所以正确的个数为2，应选C.答案为：A；解析：对于0＜ab＜1，如5、果a＞0，则b＞0，a＜成立，假如a＜0，则b＜0，b＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a=－1，b=2，结论“a＜或b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件.答案为：C；解析：由(x－1)(x－2)＜2解得0＜x ＜3，令f(x)=(x＋1)·(x－3)=x2－2x－3(0＜x＜3)，则f(x)图象的对称轴是直线x=1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，f(x)在x=1处取得最小值－4，在x=3处取得最大值0，故(x＋1)(x－3)的取值范围为[－4，0).答案为：B6、解析：x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，所以Δ=4a2－4a＜0，所以0＜a＜1，所以函数y=ax是减函数，由at2＋2t－3＜1可得t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，应选B.答案为：B；解析：当x=0时，不等式1≥0恒成立，当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－(x+)，又－(x+)≤－2，当且仅当x=1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞).答案为：D解析：因为一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(-,)，所以－，是一元二次方程ax2＋bx＋2=0的两个根，则解得a=－12，b=－2，则a＋b=－14.n答案为：D解析：做出7、如下图的可行域及l0：3x＋5y=0，平行移动l0到l1过点A(0,1)时，3x＋5y有最大值5，平行移动l0至l2过点B(－1,0)时，3x＋5y有最小值－3.应选D.答案为：C.解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y=－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax=3×2＋5×3=21，应选C.答案为：D.解析：∵1=2x＋2y≥2=2，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.答案为：B；答案为：B；解析：由a＞0，b＞0，a＋b=＋=，得ab=1，则＋≥2=2.当且仅当=，即a=，b=时等号成立，应选B.答案为：{x|－a＜x＜3a}解析：∵x2－2ax－3a28、＜0⇔(x－3a)·(x＋a)＜0，a＞0，∴－a＜3a，则不等式的解集为{x|－a＜x＜3a}.n答案为：9解析：由线性约束条件画出可行域(如下图的阴影部分)，由图可知，当直线x＋y－z=0经过点A(5，4)时，z=x＋y取得最大值，最大值为zmax=5＋4=9.答案为：.解析：∵a－3b＋6=0，∴a－3b=－6，∴2a＋=2a＋2－3b≥2=2=2=.当且仅当2a=2－3b，即a=－3，b=1时，2a＋取得最小值.三、解答题解：(1)因为函数f(x)=的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a=0时，1≥0恒成立.当a≠0时，则有解得0＜a≤1，综上可知，a的取值范围是[0，1].(2)因为f(x9、)==，a＞0，所以当x=－1时，f(x)min=，由题意得，=，所以a=，所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.解得－＜x ＜，所以不等式的解集为(－,).解：由lg(3x)＋lgy=lg(x＋y＋1)，得(1)因为x＞0，y＞0，所以3xy=x＋y＋1≥2＋1.所以3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0.n所以(3＋1)(－1)≥0.所以≥1.所以xy≥1.当且仅当x=y=1时，等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y＋1=3xy≤3·()2.所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.所以x＋y≥2.当且仅当x=y=110、时取等号.所以x＋y的最小值为2.解：因为y=(m-2)x2＋2(m-2)x＋4为二次函数，所以m≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m-2)x2＋2(m-2)x＋4＞0的解集为R.所以即解得：所以m的取值范围为{m|2＜m＜6}．解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋20，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得 a.综上，所求实数a的取值范围为.解：2x＋y==(＋)(2x＋y)=(＋＋4)≥(2＋4)=.当且仅当=时等号成立，即y2=4x2.∴y=2x.又∵＋=3，得x=，y=.∴当x=，y=时，2x＋y取得最小值为.解：∵x－2，∴x＋211、0，－(x＋2)0.∴y=2(x＋2)＋－4=－[－2(x＋2)＋]－4n≤－2－4=－2－4.当且仅当－2(x＋2)=(x－2)，即x=－2－时，y取最大值－2－4.。
2025新高考数学一轮复习一元二次方程不等式练习题
≥2
=
3
的解集是[2,2)∪(2,3]
(-2+3)(-3)
2
(-2)
3
x≠2,故解集为[2,2)∪(2,3].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
.
≥0,有(-2x+3)(x-3)≥0 且 x-2≠0,
9.(2024·浙江杭州模拟)已知f(x)=x2-x+1,当x∈[-1,2]时,不等式f(x)>2x+m恒
a<0,
所以
-1 + 3 = - ,
解得
(-1) × 3 = ,
= -2,
= -3,
1
1
1
∴b-c+ =a+ =-(-a- )≤-2(当且仅当
故
1
a= ,即
1
b-c+ 的最大值为-2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
a=-1 时,等号成立),
.
解析 由条件可知“∀x∈R,x2-6ax+3a≥0”为真命题,则Δ=36a2-12a≤0,解得
0≤a≤
1
.
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
8.(2024·陕西商洛模拟)不等式
-1
(-2)2
(-1)-2(-2)2
解析 原不等式可化为
3
解得2
≤x≤3 且
2
(-2)
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为
<
1
- 或
4
高考数学一轮复习第七章 不等式
第七章 不 等 式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.§7.1 不等关系与不等式1.比较原理 两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________；a ＝b ⇔__________.2.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________.(5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒ac ______b d； (9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.自查自纠：1.a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd(8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ab <b 2C.－ab <－a 2D.－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b，∴－1a<－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A.f (x )＞g (x )B.f (x )≥g (x )C.f (x )＝g (x )D.f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a的大小关系为( )A.a a b b ≥a b b aB.a a b b ＜a b b aC.a a b b ≤a b b aD.与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0，故a a b ba b ba小关系是点燃导火线后要在燃放前转移到已知导火线的燃烧速度为4m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，得每次钉N*)，已知一个铁钉受击且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的③bc>ad.则可组成几个正确命题？则一定有(A.ac＞bdC.ad＞bc的取值范围是解：由 α－β的取值范围是解：∵－＜β＜π＞0)的大小解法一：a ＋m b ＋m若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________.①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2)；②(－a )2<(－ab 2)2；③(－a )－1>(－ab 2)－1；④0.5－a >0.5－ab 2.解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2＜1，∴－a ＞－ab 2＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2)，①成立；对于②，由①知－a ＞－ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab2⇔1＞1b2⇔b 2＞1，与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2)＝log 0.51b2＜0，从而①正确，其余类似可解.故填①.1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n 次(n ∈N ＋，n ＞1)方(开n 次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.1.设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若a ＞1，则1a ＜1成立；反之，若1a＜1，则a ＞1或a ＜0.即a ＞1⇒1a ＜1，而1a＜1a ＞1，故选A.2.已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A.恒为正B.恒为负C.与n 的奇偶性有关D.与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，不妨设a >b ，则a n >b n ，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n＋1<0恒成立.故选B.3.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB.a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1D.a ||c ＞b ||c 解：用排除法.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D.显然1c 2＋1＞0，对不等式a ＞b 的两边同时乘以1c 2＋1，得a c 2＋1＞b c 2＋1成立.故选C. 4.(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题.故选C.5.(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6.如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A.cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB.cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mc c§7.2 一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 .若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a无实根ax 2＋bx ＋c＞0 (a ＞0)的解① ② R 集ax 2＋bx ＋c＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x＜x 2}∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠：1.(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03.(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x30的解集为)x＋b－解：由(解：(1)①当m＝－②当m＝(2)当m(1)x2－(3)x2－解：(1).而y＝－x＋1，x－1，x1)≤1的解集是A.{x|－1≤解集是{x|－5≤解：∵不等式≤1}，∴x1＝－＜x＜3}解：∵不等式，∴a＜0，且根，由根与系数的关系得.解：(1)＞0，不等式的解集为(2)当a∈R).解：不等式整理为当a＝0当a≠0解：x －2x x ＋2x ＋1≥0|x －2x ≤0A.{x |－1≤C.{x |0≤解：易知⎦⎥⎤0，12成立，则A.0 B.图1 图2 图3综上 ①②③，≥－52.故选(2)已知对于任意的a ∈[－11]，函数f (x )＋(a －4)x ＋2a 的值总大于，则x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或 3C.1＜x ＜2D.x ＜1或 2解：记g (a )x －2)a ＋x 2－＋4，a ∈[－1，依题意，只须（1）＞0，（－1）＞0⇒－3x ＋2＞0，－5x ＋6＞0＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a (x ))型恒成立问题，再利用＞f (x )max (a ＜∈[－2，解法一：当－a2＜－且仅有一解，则A.a <－C.－1<解法一：，即－1×(2点的关系.本书2.4节有较详细的讨论，可参看.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.－2<m< 2B.－2<m<0C.－2<m<1D.0<m<1解：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，结合二次函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧f（－1）＜0，f（1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m2－m＜0，m2＋m－2＜0，解之，得实数m的取值范围是0＜m＜1.故选D.类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x－162＋6112.故x＝6时，y max＝457 500元.点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是教材中的重点，这也是将实际生活和数学相结合的切入点，是考查能力的好载体，应予以重视.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为时，日获利不少于1300元.解：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，化简得x2－65x＋900≤0，解之得20≤x≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.故填20件至45件.1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.2.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式).3.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.5.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6.对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1.不等式x－2x＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x－2x＋1≤0⇔()x＋1()x－2≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D.2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m＜x＜2，则m的取值范围是单位：m)的取值范围是B.[12，25]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m，依题意得§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B.点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C.点(1，0)在区域y≥2x内D.点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立.故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2014·湖北)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是( )A.2B.4C.7D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C.点()－2，t在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是.解：()－2，t在2x－3y＋6＝0的上方，则2×()－2－3t＋6＜0，解得t＞23.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t＞23.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，4x＋3y＜12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.≥0，＋3y ≥4，＋y ≤4与D 有公共点，则x ＋1)恒过定点C (－BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线D 有公共点，则12＋y －2≥0，＋2y －4≤0，＋3y －2≥0________.|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，和n ，则＝－2x ＋z 经过点B 时，z 1)，则n ＝z min ＝2×(－1)故选C.)A.有最小值B.有最小值C.有最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A (2，0)时，z 取得最小值为z min ＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y ＝－x ＋z 向右上方移动时，z ＝x ＋y 也趋于无穷大，所以z ＝x ＋y 无最大值，故选B.类型三 含参数的线性规划问题(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D即可，此时D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，代入可得k ＝73.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A.－5B.1C.2D.3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D.点拨：此类问题综合性较强，注意到y ＝kx ＋43，ax －y ＋1＝0都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化.(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－4，2)C.(－4，0]D.(－2，4)解法一：z ＝ax ＋2y 的斜率为－a2，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率－a 2满足：－1＜－a2＜2⇒－4＜a＜2，所以参数a 的取值范围是(－4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，由于目标函数的最小值仅在A 点处取得，z A ＝a ，z B ＝3a ＋8，z C ＝2，依题意，z A ＝a ＜z B ＝3a ＋8，z A ＝a ＜z C ＝2，所以参数a 的取值范围是(－4，2)，故选B.(2)(2014·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ， 且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.当x ，y 取何值时，x 2＋y 2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分)，可行域是封闭的△ABC (包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得顶点A (2，3)，同理可得B (0，2)，C (1，0)，因为x 2＋y 2是可行域内一点P (x ，y )到原点的距离的平方，所以，当P (x ，y )和A (2，3)重合时，(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，显然，原点到直线BC ：2x ＋y －2＝0的距离d 最小，这里d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝25，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝45， 此时点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝45，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 综上可知，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值，最大值是13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值，最小值是45.点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a 2＋b 2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f (x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)b －2a －1的值域； (2)(a －1)2＋(b －2)2的值域.解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0).如图所示.(1)设b －2a －1＝k ⇒b ＝k (a －1)＋2，则k 表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)连线的斜率，因为A (－3，1)，C (－1，0)，则k AQ ＝14，k CQ ＝1，k AQ ＜k ＜k CQ ，14＜k ＜1.∴b －2a －1的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)(a －1)2＋(b －2)2表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)的距离的平方，显然，当动点P (a ，b )和点C (－1，0)重合时距离最小，最小值为22，而P (a ，b )和点A (－3，1)重合时距离最大，最大值为17，所以(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17).所表示的平面区域为和纵坐标均为整数的点的通项公式为＋2y －5＞＋y －7＞≥0，y ≥0小值为( z ，y ＝－34x ＋z4，过x ，(3，0)，(4，0)，(5＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(2，4)，(4，1)逐个试验积不超过50植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量黄瓜≤50，.9y ≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图所示.两类产品，甲种设备每天能生产类产品10件，类产品20设备乙每天的租赁费为类产品300y 对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数ZP i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值.1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －y ≥0所表示的平面区域是( )解：画出直线x ＝2，在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身)；再画出直线x －y ＝0，取直线的右侧部分(包含直线本身)，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－12x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点(1，1)时，z 取得最小值3.故选B.3.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，10]C.[2，9]D.[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C.4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43 B.0＜a ≤1C.1≤a ≤43D.0＜a ≤1或a ≥43解：如图，由条件可知，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝43右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a ≥43时，可行域可以组成一个△OAB ；当0＜a ≤1，可以组成一个三角形，所以0＜a ≤1或a ≥43，故选D.解：作出可行域如图阴影部分所示，－ax得y＝ax＋z.当AB重合时，z取最大值直线y＝ax＋z与直线，此时a＝－1.故选D.z＝x＋y，则y＝－知可行域只可能是△ABC，且x＋y的最大值只在点x－y－3＝0，－my＝－1解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得，1)，C(5，2).－3y⇔y＝43x－z13，易知平移如图，作出可行域，作直线l ：6x 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域且与原点距离最大，此时z ＝解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200得M (20，C 三点的坐标分别为0).，则直线b ＝2a －取得最小值，经过点C 时，z 取得最大值，即，又A ，B ，C 三点不在可行域内，1)的光线经x 轴反射后的光线所，－1)，由图可知，区域3，1)，所以所求直线＋2y －4≤0，§7.4 基本不等式及其应用1.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号).4.基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6.求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7.拓展：若a＞0，b＞0时，21a＋1b≤≤a＋b2≤，当且仅当a＝b时等号成立.自查自纠：1.a＋b22.ab3.2ab4.a＋b2≥ab5.最小值2ab2ab6.ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22ab≤14(a＋b)2ab≤a2＋b227.aba2＋b22设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )A.6B.42C.2 2D.2 6解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )A.12B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2x2≥22，当且仅当x＝±42时等号成立.故填22.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，∴log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故4t＋1t的最小值为解：∵t，解集是M，则对任意实常数A.2∈MC.2∈M解法一：求出不等式的解集：k然对数的底数(0，＋∞)上恒成立，求实数解：由条件知∞)上恒成立要求矩形场地的一面利用旧墙其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为维修费用为用的旧墙的长度为x 的函数； 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.如图，设矩形的另一边长为180(x －2)＋180·2，得a ＝360x，3602－360(x ≥2)要制造一个底宽孔流入，经沉淀后从 m ，高度为分数与a ，b ，b 各为多少为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝k ab，其中k 最小，只需ab 最大＋2ab ＋2a ≤60(a ab (a ＞0，b ＞0)ab ，ab ≤30，得0＜时取“＝”号，＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.4.求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.1.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A.2 B.a C.3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )A.ab ＜1＜a 2＋b 22B.ab ＜1≤a 2＋b 22C.1＜ab ＜a 2＋b 22D.ab ≤a 2＋b 22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝5－4x ＋x22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ，4xm ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋80x≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x≥22x·2－x＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C错；对于D ，若x ≤0，则2x＋2－x≥22x ·2－x＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2 3B.7＋2 3C.6＋4 3D.7＋4 3 解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号.故选D.7.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a的取值范围是.解：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥15. 8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有36 m长网的材料，宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋设每间虎笼长为x m，宽为36，即2x＋3y＝设每间虎笼的面积为S，则S＝( 21解：问题转化为求△ABC中∠BCAAB的延长线于点米，看A，B的视角最大，＝α，∠ACD＝β一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( ) A.{x |0≤x ＜3} B.{x |0≤x ≤3} C.{x |0≤x ≤1} D.{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔(x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}.故选A.2.不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3.(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：令a ＝2，b ＝－3，则“a >b ”推不出“a 2>b 2”；反之，令a ＝－1，b ＝0，则“a 2>b 2”推不出“a >b ”.综上知，故选D.4.若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A.a 2B.12a 2C.aD.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形.故选B.5.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－4 B.－3 C.3 D.4解：函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号.故选C.6.(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S 的最大值为2.故选C.7.(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.故选D.8.(2014·湖南模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A.(3，4)B.(－2，－1)∪(3，4)C.(3，4]D.[－2，－1)∪(3，4]解：由题意得，原不等式为(x －1)(x －a )＜0.当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4].故选D.9.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A.2B.3C.4D.5。
走向高考一轮课后强化作业北师大：第七章 不等式 1 含解析
基础达标检测一、选择题1．已知条件p ：x >1，条件q ：1x ≤1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当x >1时，一定有1x <1，因而一定有1x ≤1；但当1x ≤1时，可以推得x <0或x ≥1，所以p 是q 的充分不必要条件．2．(文)x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .(理)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C. 3．(2013·天津高考)设a 、b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0， 即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0， 所以(a －b )a 2<0是a <b 的充分不必要条件．4．设a 、b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b[答案] C[解析] a <b <0时，a 2>b 2排除A ； 当a ＝1，b ＝2时ab 2>a 2b ，排除B ； 当b >a >0时，b a >ab 排除D ；因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2，a 2b 2>0，又a <b ，所以a －b <0， 即1ab 2－1a 2b <0，所以1ab 2<1a 2b ，故选C. 5．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1B ．2a <2bC ．lg ab <0 D ．0<b a <1[答案] D[解析] ∵a >b >0 ∴0<ba <1.故选D.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定 [答案] B[解析] 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 1)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．二、填空题7．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________．[答案] a <b <c[解析] ∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0， ∴a <b <c .8．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．[答案] ②④[解析] 若x >y ，a >b ，则－x <－y ，∴a －y >b －x . 若x >y ，a >b ，则－b >－a ， ∴x －b >y －a ，即a ＋x >b ＋y ； 若x >y ，a >b ，则推不出ax >by . 若x >y ，a >b ，推不出a y >bx . 综上，①③⑤错误，②④正确．9．已知a 1，a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是M ________N .[答案] >[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， ∵a 1、a 2∈(0,1)，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N . 三、解答题10．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．[解析] a b 2＋b a 2－(1a ＋1b ) ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )(1b 2－1a 2) ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0， ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .能力强化训练一、选择题1．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2D ．a >b 2[答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确． 若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确． 当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确． ∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．2．(文)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ] D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ][答案] D[解析] 本题考查对取整函数的理解．可用排除法． 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A 错； 令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，B 错； 令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，C 错；选D.(理)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] [答案] D[解析] 取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A 、B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 错．二、填空题3．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解． 令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎨⎧2＝m ＋n －3＝m －n，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152， ∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．4．(文)(2012·西安模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1. (理)(2012·宜春模拟)已知0<x <y <a <1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由0<x <y <a <1知0<xy <a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故m >2.三、解答题5．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且ab ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝(b －a )c(b ＋c )b. 因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a <b ， 故有a b <a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c>a b ≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。
(新课标)高考数学大一轮复习-第七章 不等式及推理与证明 7 一元二次方程根的分布专题研究课件 文
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负 根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0， 依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（ （kk12） ）><00， ，或ff（ （kk12） ）<>00， ， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．
2021版文科数学全国通用版一轮复习第七章 不等式第2节
3.会解一元二次不等式，对给定的一
以选择题的形式考查，属于低档题，
元二次不等式，会设计求解的程序框
若在导数的应用中考查，难度较高.
图.
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课 前 ·基 础 巩 固
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‖知识梳理‖ 1．一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数 1 __不__等__于___ 0.
综上，实数 a 的取值范围为－2，65. 答案：－2，65
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2
课 堂 ·考 点 突 破
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考点 不含参数的一元二次不等式的解法
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|题组突破| 1．不等式 2x2－x－3>0 的解集为( ) A.x－1<x<32 B.xx>32或x<－1 C.x－32<x<1 D.xx>1或x<32
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6．已知关于 x 的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0 的解集为空集，则实数 a 的取值 范围为________．
解析：当 a2－4＝0 时，a＝±2.若 a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题 意；若 a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a≠±2 时，要使不等式的解 集为空集，则aΔ2＝－（4<a0＋，2）2＋4（a2－4）<0，解得－2<a<65.
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2020版数学新攻略大一轮浙江高考专用：专项强化练七 不等式综合应用
专项强化练七不等式综合应用1.(2018浙江名校协作体高三上学期测试)若变量x,y满足约束条件则2x+y的最大值是( )-A.3B.2C.4D.5答案 A 作出可行域如图阴影部分所示.由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大,由-解得-即C(2,-1),则所求最大值为2×2-1=3,故选A.2.若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x、y都成立,则实数a的取值范围是( )A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3答案 C a≥-y2-2y-x2-2x,而-y2-2y-x2-2x=-(y+1)2-(x+1)2+2≤2 ∴a≥2.故选C.3.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2和8(单位:万元),那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处答案 A 由已知得y 1=,y2=0.8x,x为仓库到车站的距离(单位:千米).费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2.=8,当且仅当0.8x=,即x=5时,等号成立,故选A.4.已知实数a>0, b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B ∵a>0 b>0 +=1,∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)] -3=() -3≥3+2-3=2,当且仅当()=,即a=,b=时取等号.故选B.5.(2018浙江台州高三上学期期末)当x>0时, x+(a>0)的最小值为3,则实数a的值为.答案4解析因为当x>0时,x+=x+1+-1≥2-1,x+(a>0)的最小值为3,所以2-1=3,解得a=4,故答案为4.6.已知当x∈[0 1]时,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,则m的取值范围是.答案m<0解析令f(x)=x(m2-1)-(2m-1),由f(x)在[0,1]上恒大于0,知()()得-(-)-则m<0.7.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则a的取值范围是.答案解析f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x∈[-1,2]时, f(x)的值域A=[-1 3].∵a>0 ∴g(x)=ax+2是增函数 ∴当x∈[-1,2]时,g(x)的值域B=[2-a 2+2a].∵对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0) ∴B⊆A,∴--∴a≤,又a>0 ∴a的取值范围是.8.不等式a2+3b2≥λb(a+b)对任意 a b∈R恒成立,则实数λ的最大值为.答案2解析由题意知a2-λba+(3-λ)b2≥0对任意a b∈R恒成立,当b≠0时,两边同时除以b2,得-λ+(3-λ)≥0恒成立,故Δ≤0 即λ2-4(3-λ)≤0 解得-6≤λ≤2.当b=0时,a2≥0恒成立,λ∈R.综上,λ的取值范围为-6≤λ≤2 故λ的最大值是2.9.已知函数f(x)=x2-1.(1)若对于任意的1≤x≤2 不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x-1)|恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对任意实数x1∈[1 2] 存在实数x2∈[1 2] 使得f(x1)=|2f(x2)-ax2|成立,求实数a的取值范围.解析(1)对于任意的1≤x≤2 不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x-1)|恒成立,即4m2(|x2-1|+1)≤4+|x2-2x|恒成立,由1≤x≤2 可得4m2≤-,令g(x)=- x∈[1 2] 则g(x)=-=4-,当x=2,即=时,g(x)取得最小值,且为1,即有4m2≤1 解得-≤m≤.(2)可设f(x)在[1,2]上的值域为A,h(x)=|2f(x)-ax|在[1,2]上的值域为B,可得A⊆B.由f(x)在[1,2]上递增,可得A=[0,3].当a<0时,h(x)=|2x2-ax-2|=2x2-ax-2(1≤x≤2) 在[1,2]上递增,可得B=[-a,6-2a],可得-a≤0<3≤6-2a,不成立;当a=0时,h(x)=2x2-2(1≤x≤2) 在[1,2]上递增,可得B=[0,6],可得0≤0<3≤6 成立;当0<a≤2时,由h(x)=0,解得2>x=>1(负的舍去),h(x)在上递减,在上递增,则易知h(x)的值域为[0,h(2)],即[0,6-2a],由0≤0<3≤6-2a,解得0<a≤;当2<a≤3时,h(x)在上递减,在上递增,易知h(x)的值域为[0,h(1)],即[0,a],由0≤0<3≤a 解得a=3;当3<a≤4时,h(x)在[1,2]上递减,可得B=[2a-6,a],则2a-6≤0<3≤a 无解,不成立;当4<a≤6时,h(x)在上递增,在上递减,可得B=-,则A⊆B不成立;当6<a≤8时,h(x)在上递增,在上递减,可得B=,则A⊆B 不成立;当a>8时,h(x)在[1,2]上递增,可得B=[a,2a-6],A⊆B不成立.综上可得,a的取值范围是0≤a≤或a=3.。
南方新高考高考数学大一轮总复习 第七章 不等式同步训练 理
第七章 不等式第1讲 不等关系与不等式的性质、基本不等式A 级训练(完成时间：15分钟)1.若a >b ，则下列各式中正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3>b 3C.1a <1bD ．log 2a <log 2b2.“a ＋b >2c ”的一个充分非必要条件是( ) A ．a >c 或b >c B ．a >c 或b <c C ．a >c 且b >c D ．a >c 且b <c3.小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b24.b g 糖水中有a g 糖(b ＞a ＞0)，若再添m g 糖(m ＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式________________．5.若x ＞0，则x 2＋2x的最小值为________．6.若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值范围是 (－3,3) .7.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 20 m.8.设实数a ，b ，c 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6－4a ＋3a 2c －b ＝4－4a ＋a 2，试比较a ，b ，c 的大小．B 级训练(完成时间：20分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]设a ＞2，p ＝a ＋2a －2，q ＝2－a 2＋4a －2，则( ) A ．p ＞q B ．p ＜qC ．p ＞q 与p ＝q 都有可能D ．p ＞q 与p ＜q 都有可能2.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围为( )A ．(0，a 2] B ．(0，a ]C ．(0，1a ]D ．(0，1a2]3.[限时2分钟，达标是( )否( )]某工厂第一年年产量为A ，第二年的年增长率为a ，第三年的年增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＜a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 24.[限时2分钟，达标是( )否( )]用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k(k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件事实中提炼出一个不等式组是______________________．5.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·上海)设常数a ＞0，若9x ＋a 2x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________________．6.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n的最小值为________． 7.[限时3分钟，达标是( )否( )](2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．8.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]x ，y ＞0，x ＋y ＝1，则(x ＋1x )·(y ＋1y)的最小值为________．2.[限时4分钟，达标是( )否( )](2014·广东东莞一模)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋ac2的最小值为 .第2讲 不等式的解法A 级训练(完成时间：15分钟)1.不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞.－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)2.已知集合M ＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( ) A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7} B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7} C ．{x |x ≤－2或x ＞3} D ．{x |x ＜－2或x ≥3}3.已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ＞0的解集是R ，q ：－1＜a ＜0，则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4.已知a ＝(x ，－1)与b ＝(1，1x)，则不等式a ·b ≤0的解集为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥1}B ．{x |－1≤x ＜0或x ≥1}C ．{x |x ≤－1或0≤x ≤1}D ．{x |x ≤－1或0＜x ≤1}5.不等式2x 2＋1－x ≤1的解集是 [0,2] .6.不等式2x 2＋2x －4≤(12)－4的解集为 [－4,2] .7.解关于x 的不等式log 3a x ＜3log a x (a ＞0，且a ≠1)．B 级训练(完成时间：22分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2.[限时2分钟，达标是( )否( )]不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B．－4＜a ＜4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a ＜－4或a ＞4 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊙(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜124.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·重庆)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________________．5.[限时4分钟，达标是( )否( )]解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．6.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．[限时5分钟，达标是( )否( )]购买某种汽车，购车的总费用(包括缴税)为5万元，每年应交保险费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2000元，…，依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？(商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用＝年平成本费的分摊＋年均维修费的分摊)C级训练(完成时间：8分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是______________．2.[限时5分钟，达标是( )否( )](2013·浙江)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab等于－1 .第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 级训练(完成时间：15分钟)1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( ) A ．m <－5或m >10 B ．m ＝－5或m ＝10 C ．－5<m <10 D ．－5≤m ≤102.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3.若不等式ax ＋(2a －1)y ＋1<0表示直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0的下方区域，则实数a 的取值范围是( )A ．(12，＋∞) B．(－∞，12)C ．(－12，＋∞) D．(－∞，－12)4.已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤6x －y ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为 9 .5.某人年初投资不多于5万元用于买股票和开一个小书店，希望这笔钱至少可以带来1万元的收益，其中要从股票中获益20%，从开小书店中获益13%.那么，则资金分配应满足不等式组__________________．6.已知z ＝2x －y ，式中变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥1x ≤2，则z 的最大值为 5 .7.画出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥－1x ＋y ≤1表示的平面区域，并求出平面区域的面积．B级训练(完成时间：17分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·福建)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2x≥1y≥0，则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )A．4和3 B．4和2C．3和2 D．2和02.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·四川)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤82y－x≤4x≥0y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )A．48 B．30C．24 D．163.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y－6≥0x－y－2≤0y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为( )A．－7 B．－4C．1 D．24.[限时2分钟，达标是( )否( )]给出平面区域G，如图所示，其中A(5,3)，B(2,1)，C(1,5)．若使目标函数z＝ax＋y(a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )A．4 B．2C.12D.235.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知变量x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y≤0x＋y－3≤03x＋y－3≥0，则z＝2x－y的值域是( ) A．[0,3] B．(0,3)C．(－3，32) D．[－3，32]6.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则直线|OM |的最小值为________．7.[限时5分钟，达标是( )否( )]某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A 、B 两种设备每月有效使用台时数为a (400≤a ≤500)．求生产收入最大值的范围．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4x －y ≤2x ≥0y ≥0，则其目标函数z ＝mx ＋y 仅在点(3,1)处取得最大值，则m 的取值范围是 .2.[限时4分钟，达标是( )否( )](2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3第4讲绝对值不等式A级训练(完成时间：15分钟)1. 满足不等式|4x＋5|<10的整数解的集合是( )A．{－3，－2，－1,0,1,2}B．{0,1,2}C．{－3，－2，－1,0,1}D．{－3，－2，－1,0}2.若x∈R，则|x－1|＋|x＋1|______2( )A．> B．≥C．≤ D．不能确定3.(2014·广东广州一模)若不等式|x－a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数a的值为 2 .4.(2014·广东揭阳二模)不等式|2x＋1|≤2的解集为______________．5.(2014·广东佛山二模)不等式|x－1|＋|x|≥3的解集为______________．6.(2013·陕西)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是.7.解下列关于x的不等式：(1)|2x＋1|＋|x－2|>4；(2)1<|2x＋1|≤3.B级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是( ) A．k≥1 B．k>1C．k≤1 D．k<12.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知函数g(x)＝|x－1|－|x－2|(x∈R)，若关于x的不等式g(x)≤a恒成立，则实数a 的取值范围是{a|a≥1}.3.[限时2分钟，达标是( )否( )]函数f(x)＝|x|－|x－3|的最大值为 3 .4.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知∀x∈R，使不等式log2(4－a)＋3≤|x＋3|＋|x－1|成立，则实数a的取值范围是[2,4) .5.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知t是常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝ 1 .6.[限时5分钟，达标是( )否( )]解关于x的不等式：(1)解关于x的不等式|mx－1|＜3；(2)|2x＋3|－1＜a(a∈R)．C级训练(完成时间：6分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·广东深圳二模)已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋a2x对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．42.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·广东揭阳一模)从[0,10]中任取一个数x，从[0,6]中任取一个数y，则使|x－5|＋|y－3|≤4的概率为.第七章 不等式第1讲 不等关系与不等式的性质、基本不等式【A 级训练】1．B 解析：因为a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)，注意到a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b 2)2＋34b 2>0(因为a >b )，此结构经常用，要记住．所以a 3－b 3＝(a －b )[(a ＋b 2)2＋34b 2]>0，故选B.2．C 解析：由同向不等式的可加性，应选C. 3．A 解析：设从甲地到乙地所走路程为S ，则v ＝2S S a ＋S b ＝21a ＋1b＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，因为a <b ，所以v ＝21a ＋1b >21a ＋1a＝a ，所以a <v <ab ，选A.4.a b ＜a ＋m b ＋m5．2 2 解析：当且仅当x ＝2x，即x ＝2时取等号，最小值为2 2.6．(－3,3) 解析：由－4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，－4＜－|b |≤0，又1＜a ＜3.所以－3＜a －|b |＜3.所求范围为(－3，3)．7．20 解析：设矩形高为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x ＞0，y ＞0，x ＜40，y＜40⇒40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20 m 时，矩形的面积S ＝xy 取最大值400 m 2.8．解析：先令a ＝0得b ＝6，c ＝10，可推测c ≥b ≥a . 下面有目的地作比较：由已知条件得b ＝6－5a ＋3a 2，c ＝4a 2－9a ＋10，c －b ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，则c ≥b .又b －a ＝6－6a ＋3a 2＝3(a －1)2＋3>0，则b ＞a . 所以a ，b ，c 间的关系为c ≥b ＞a . 【B 级训练】1．A 解析：因为a ＞2，所以a －2＞0.所以p ＝a ＋2a －2＝a －2＋2a －2＋2≥2＋22，当且仅当a ＝2＋2时，等号成立． 而q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2≤4<2＋22，故选项A 正确．2．A 解析：因为0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1，所以log a x ＞0，log a y ＞0，所以log a x ＋log a y＝log a (xy )≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当log a x ＝log a y ＝1时取等号．所以0＜xy ≤a 2.3．B 解析：由题得A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2⇒(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2.又因为(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b24，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2⇒x ≤a ＋b2.4.⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k<147＋47k ＋47k 2≥1k ∈N*解析：依题意47＋47k <1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k2≥1.5．{a |a ≥15} 解析：常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，故(9x ＋a2x )min ≥a＋1,9x ＋a 2x ≥6a ，当且仅当9x ＝a 2x ，即x ＝a 3等号成立，故6a ≥a ＋1，解得a ≥15.6．2 2 解析：点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上， 则m ＋2n ＝1， 2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n＝22m ＋2n＝2 2. 7.34 解析：因为a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以12|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，因为b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥1(当且仅当b 2＝4a 2时取等号)，所以12|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋1，故当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值为34.8．解析：因为f (x )＝mx x －1＝m (x －1＋1x －1)＝m (1＋1x －1)，所以f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)，f (a )－f (b )＝m (1＋1a －1)－m (1＋1b －1)＝m b －aa －1b －1，因为a >b >1，所以a －1>0，b －1>0，b －a <0.(ⅰ)当m >0时，f (a )－f (b )<0，所以f (a )<f (b )； (ⅱ)当m ＝0时，f (a )－f (b )＝0，所以f (a )＝f (b )； (ⅲ)当m <0时，f (a )－f (b )>0，所以f (a )>f (b )． 综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )； 当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m <0时，f (a )>f (b )． 【C 级训练】 1.254 解析：(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋x y ＋y x ＋1xy ＝x 2y 2＋x 2＋y 2＋1xy ＝x 2y 2＋x ＋y 2－2xy ＋1xy＝xy ＋2xy－2.因为x ＋y ＝1，所以xy ≤(x ＋y2)2＝14， 令xy ＝t ，则0<t ≤14，所以(x ＋1x )(y ＋1y )＝t ＋2t－2， 因为t ＋2t －2在(0，14]上递减，所以当t ＝14最小值为254.2.32解析：A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＞3或x ＜－1}，设m ，n 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根(m ＜n )， 因为A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，所以4，－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a ＞0，所以－1＋4＝－b a ＝3，－1×4＝c a＝－4， 所以b ＝－3a ，c ＝－4a ，a ＞0，所以b 2a ＋a c 2＝－3a 2a ＋a －4a 2＝9a 2a ＋a 16a 2＝9a ＋116a≥29a ·116a ＝2916＝2×34＝32. 当且仅当9a ＝116a ，即a ＝112时取等号．第2讲 不等式的解法【A 级训练】1．A 解析：原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解为－12<x ≤1，故选A.2．A 解析：因为N ＝{x |x 2－x －6＞0}，所以N ＝{x |x ＞3或x ＜－2}． 又因为M ＝{x |－4≤x ≤7}，所以M ∩N ＝{x |3＜x ≤7或－4≤x ＜－2}．3．C 解析：依题意得Δ＝4a 2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0，即p ：－1＜a ＜0，又因为q ：－1＜a ＜0，所以p 是q 的充分必要条件．4．D 解析：因为a ＝(x ，－1)与b ＝(1，1x )，所以a ·b ＝x －1x，故不等式a ·b ≤0可化为：x －1x≤0，解得：x ≤－1或0＜x ≤1，故不等式a ·b ≤0的解集为{x |x ≤－1或0＜x ≤1}．5．[0,2] 解析：(方法一)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1≤x ＋12x ＋1≥0，解得0≤x ≤2.(方法二)2x 2＋1－x ≤1⇒2x 2＋1≤1＋x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1≤1＋x21＋x ≥1⇒0≤x ≤2⇒{x |0≤x ≤2}．6．[－4,2] 解析：原不等式化为x 2＋2x －8≤0，解得－4≤x ≤2. 7．解析：原不等式转化为：(log a x －3)(log a x ＋3)log a x <0， 即log a x <－3或0<log a x < 3. ①当0<a <1时，不等式的解集为：{x |x >a －3}∪{x |a 3<x <1}； ②当a >1时，不等式的解集为：{x |0<x <a －3}∪{x |1<x <a 3}．综上：①当0<a <1时，{x |x >a －3}∪{x |a 3<x <1}；②当a >1时，{x |0<x <a －3}∪{x |1<x <a 3}． 【B 级训练】1．A 解析：2x 2＋x －1＞0⇔x ＞12或x ＜－1.所以x ＞12⇒2x 2＋x －1＞0，但2x 2＋x －1＞0⇒/ x ＞12.因此“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．2．D 解析：因为x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，所以x 2＋ax ＋4＝0有两个不同的实数根，则需Δ＝a 2－16＞0，所以a ＜－4或a ＞4.3．C 解析：因为(x －a )⊙(x ＋a )＜1，所以(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0，因为任意实数x 成立，故Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，所以－12＜a ＜32.4．[0，π6]∪[5π6，π] 解析：由题意可得，Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0，得2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，所以sin 2α≤14，－12≤sin α≤12，因为0≤α≤π，所以α∈[0，π6]∪[5π6，π]．5．解析：原不等式变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0. ①a ＝0时，x ≤－1；②a ≠0时，不等式即为(ax －2)(x ＋1)≥0，当a ＞0时，x ≥2a或x ≤－1；由于2a －(－1)＝a ＋2a，于是当a ＝－2时，x ＝－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤2a，综上，当a ＝0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥2a，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤2a.6．解析：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1， 则g (x )＝0的两根为x 1和x 2. (1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩⎪⎨⎪⎧g 2<0g 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<016a ＋4b －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －34a <0－4－2·b 2a ＋34a<0.两式相加得b2a<1，所以x 0>－1.(2)由(x 1－x 2)2＝(b －1a)2－4a，可得2a ＋1＝b －12＋1.又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．所以|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于：⎩⎨⎧0<x 1<2<x 22a ＋1＝b －12＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<02a ＋1＝b －12＋1.即⎩⎨⎧ g 2<0g 0>02a ＋1＝b －12＋1或⎩⎨⎧g－2<0g 0>02a ＋1＝b －12＋1，解之得b <14或b >74.7．解析：设这种汽车使用n 年报废合算，则每年的维修费用平均为1000n . 由题意可知，每年的平均消耗费用f (n )＝50000＋6000n ＋1000＋2000＋…＋1000n n＝50000n＋500n ＋6500≥250000n·500n ＋6500＝16500，当且仅当50000n＝500n ，即n ＝10时，等号成立．故这种汽车使用10年报废合算． 【C 级训练】1．{t |t ≥2或t ＝0或t ≤－2} 解析：若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，由已知易得f (x )的最大值是1，所以1≤t 2－2at ＋1⇔2at －t 2≤0，设g (a )＝2at －t 2(－1≤a ≤1)，欲使2at －t 2≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0g 1≤0⇔t ≥2或t ＝0或t ≤－2.2．－1 解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0， 当x ＝0时，可得0≤b ≤1， 结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0，令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0，又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ″(x )＝12x 2－6x ，令f ″(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在[0，12]上递减，在[12，＋∞)上递增，又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ≤0，f ′(1)＝1＋a ≥0，又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点， 故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1.第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【A 级训练】1．C 解析：由已知两点在直线的两侧， 则(2＋3＋m )(－8－2＋m )<0，即(m ＋5)(m －10)<0，所以－5<m <10，选C. 2．B3．A 解析：将不等式ax ＋(2a －1)y ＋1<0化为：(2a －1)y <－ax －1，要使它表示直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0的下方区域，必需⎩⎪⎨⎪⎧－a <02a －1>0，解得a >12.所以，实数a 的取值范围是(12，＋∞)．4．9 解析：作出可行域可知z ＝3x ＋y 过点(3,0)时，z 的最大值为9.5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤520x ＋13y ≥100x ≥0y ≥0解析：设用于买股票的资金为x 万元，用于开小书店的资金为y 万元，(1)由于资金总额不超过5万元，所以x ＋y ≤5；(2)由于预计股票创收20%，开小书店创收13%，共获益1万元， 所以(20%)·x ＋(13%)·y ≥1，即20x ＋13y ≥100； (3)考虑到两部分资金不能为负数，所以x ≥0，y ≥0.故资金分配应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤520x ＋13y ≥100x ≥0y ≥0.6．5解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得A(2,2)，B(12，12)，C(2，－1)，作出目标函数直线y＝2x－z，当直线过点C(2，－1)时，z取最大值，z max＝5. 7.解析：画出图象(如图)，上述二元一次不等式组表示的是以A(2，－1)、B(0,1)、C(0，－1)为顶点的直角三角形内部区域(包括边界)，所以三角形的面积S＝12×2×2＝2.【B级训练】1．B 解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2x≥1y≥0的可行域如下图所示．在坐标系中画出可行域，平移直线2x＋y＝0，经过点N(1,0)时，2x＋y最小，最小值为2，则目标函数z＝2x＋y的最小值为2.经过点M(2,0)时，2x＋y最大，最大值为4.2．C 解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤82y－x≤4x≥0y≥0的可行域如下图所示，在坐标系中画出可行域，平移直线5y－x＝0，经过点B(8,0)时，5y－x最小，最小值为－8，则目标函数z＝5y－x的最小值为－8.经过点A(4,4)时，5y－x最大，最大值为16，则目标函数z＝5y－x的最大值为16.z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是24.3．A 解析：画出可行域，设z＝y－2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z＝y－2x，过可行域内的点(5,3)时取最小值，从而得到z 最小值即可．4．A 解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z.故目标函数值z是直线族y＝－ax＋z的纵截距，当直线族y＝－ax＋z的斜率与边界BC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，此时，－a＝5－11－2＝－4，即a＝4，故选A.5．D 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y≤0x＋y－3≤03x＋y－3≥0表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(0,3)，B(32，32)，C(34，34)，设z＝F(x，y)＝2x－y，将直线l：z＝2x－y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值，可得z最大值＝F(32，32)＝32，当l经过点A时，目标函数z达到最小值，可得z最小值＝F(0,3)＝－3，因此，z的取值范围为[－3，32]，即z＝2x－y的值域是[－3，32]．故选D.6. 2 解析：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d＝22＝2，则|OM|的最小值等于 2.7．解析：设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤a2x＋y≤ax≥0y≥0，目标函数是z＝3x＋2y，由约束条件画出可行域，如图．将z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，这是斜率为－32，随z 变化的一族直线，z2是直线在y轴上的截距，当z2最大时z 最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝a 2x ＋y ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3y ＝a3.在这个问题中，使z ＝3x ＋2y 取得最大值的(x ，y )是两直线2x ＋y ＝a 与x ＋2y ＝a 的交点(a 3，a3)． 所以z ＝3·a 3＋2·a 3＝53a .又因为400≤a ≤500，所以20003≤z ≤25003.【C 级训练】1．(1，＋∞) 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4x －y ≤2x ≥0y ≥0，表示的平面区域，得到如图的四边形OABC 及其内部，其中A (2,0)，B (3,1)，C (0,4)，O (0,0)，设z ＝F (x ，y )＝mx ＋y ，将直线l ：z ＝mx ＋y 平移，可得，若当且仅当直线l 经过B (3,1)时，目标函数z ＝mx ＋y 取得最大值，则直线l 的斜率－m ＜0且－m ＜k BC ＝－1，解之得m ＞1，因此，m 的取值范围是(1，＋∞)．2．C 解析：根据程序框图给出的流程求解．当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1，当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.第4讲 绝对值不等式【A 级训练】1．C 解析：|4x ＋5|<10⇔－154<x <54， 即－334<x <114. 因为x ∈Z ，所以x ＝－3，－2，－1,0,1，故选C.2．B 解析：|x －1|＋|x ＋1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2.故选B.3．2 解析：因为|x －a |＜1，所以－1＜x －a ＜1，所以a －1＜x ＜a ＋1，所以不等式|x －a |＜1的解集为{x |a －1＜x ＜a ＋1}．因为不等式|x －a |＜1的解集为{x |1＜x ＜3}，所以a －1＝1且a ＋1＝3，解得：a ＝2.4．{x |－32≤x ≤12} 解析：因为|2x ＋1|≤2， 所以－2≤2x ＋1≤2，解得：－32≤x ≤12. 所以不等式|2x ＋1|≤2的解集为{x |－32≤x ≤12}． 5．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：因为|x －1|＋|x |≥3，所以当x ＜0时，1－x －x ≥3，解得x ≤－1；当0≤x ≤1时，1－x ＋x ≥3，解得x ∈∅；当x ＞1时，x －1＋x ≥3，解得x ≥2；综上所述，x ≤－1或x ≥2.6．R 解析：函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |的值域为[|a －b |，＋∞)，因此，当∀x ∈R 时，f (x )≥|a －b |>2，所以，不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集为R .7．解析：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12－2x －1－x ＋2>4或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x ≤22x ＋1－x ＋2>4或⎩⎪⎨⎪⎧ x >22x ＋1＋x －2>4，即x <－1或1<x ≤2或x >2.所以原不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)原不等式可化为1<2x ＋1≤3或－3≤2x ＋1<－1，即0<x ≤1或－2≤x <－1，所以原不等式的解集为{x |0<x ≤1或－2≤x <－1}．【B 级训练】1．D 解析：|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－x －1|＝1，由此可得k ＜1，故选D.2．{a |a ≥1} 解析：由绝对值的几何意义，g (x )可看作数轴上的点x 到点1和点2的距离的差．利用数形结合，知|x －1|－|x －2|≤1，所以g (x )≤a 恒成立⇔a ≥1.3．3 解析：①若x ＜0，f (x )＝|x |－|x －3|＝－x －(3－x )＝－3；②0≤x ≤3，f (x )＝|x |－|x －3|＝x －(3－x )＝2x －3，所以－3≤f (x )≤3；③x ＞3，f (x )＝|x |－|x －3|＝x －(x －3)＝3，综上－3≤f (x )≤3，故答案为3.4．[2,4) 解析：令g (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，则g (x )≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以g (x )min ＝4.因为∀x ∈R ，使不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|成立⇔log 2(4－a )＋3≤g (x )min ， 所以log 2(4－a )＋3≤4，所以log 2(4－a )≤1，所以0＜4－a ≤2，解得：2≤a ＜4.所以实数a 的取值范围是[2,4)．5．1 解析：因为y ＝|x 2－2x －t |＝|(x －1)2－1－t |，绝对值里面是一元二次函数，其图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以y 在[0,3]上的最大值可能在x ＝1或x ＝3取到，当x ＝1时，由|1＋t |＝2，得t ＝1或t ＝－3，若t ＝－3，则y ＝|x 2－2x －t |＝|(x －1)2＋2|≥2，不合题意，若t ＝1，则y ＝|x 2－2x －1|＝|(x －1)2－2|，所以0≤y ≤2，适合题意，当x ＝3时，由|3－t |＝2，得t ＝1或t ＝5，若t ＝5，则y ＝|x 2－2x －t |＝|(x －1)2－6|在[0,3]的最大值不是2，不合题意，所以t ＝1.6．解析：(1)原不等式可化为－3＜mx －1＜3，即－2＜mx ＜4，当m ＝0时，x ∈R ；当m ＞0时，－2m ＜x ＜4m； 当m ＜0时，4m ＜x ＜－2m. (2)原不等式可化为|2x ＋3|＜a ＋1，当a ＋1≤0时，无解；当a ＋1＞0时，－a －1＜2x ＋3＜a ＋1，即－a 2－2＜x ＜a 2－1. 故当a ≤－1时，无解；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－a 2－2＜x ＜a 2－1}． 【C 级训练】1．D 解析：令f (y )＝|y ＋4|－|y |，则f (y )≤|y ＋4－y |＝4，即f (y )max ＝4.因为不等式|y ＋4|－|y |≤2x ＋a 2x 对任意实数x ，y 都成立， 所以2x ＋a 2x ≥f (y )max ＝4， 所以a ≥－(2x )2＋4×2x ＝－(2x －2)2＋4恒成立；令g (x )＝－(2x )2＋4×2x ，则a ≥g (x )max ＝4，所以常数a 的最小值为4.2.12 解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤100≤y ≤6|x －5|＋|y －3|≤4对应的平面区域是图中阴影部分．所以根据几何概型的概率公式可得所求的概率为S 阴影6×10＝4×12×1＋4×360＝12.。
近年高考数学一轮复习第七章不等式学案理(2021年整理)
（通用版）2019版高考数学一轮复习第七章不等式学案理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2019版高考数学一轮复习第七章不等式学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质； 2.一元二次不等式。
突破点（一) 不等式的性质错误!1．比较两个实数大小的方法（1)作差法错误!（2）作商法错误!2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b〈a⇔传递性a〉b，b>c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c〉b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc同向可加性错误!⇒a＋c〉b＋d⇒同向同正可乘性错误!⇒ac〉bd>0⇒可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a〉b〉0⇒错误!>错误!（n∈N，n≥2）(1）倒数的性质①a>b，ab>0⇒错误!〈错误!.②a<0〈b⇒错误!〈错误!。
③a〉b〉0，0<c<d⇒错误!〉错误!。
④0〈a<x<b或a〈x〈b〈0⇒错误!〈错误!〈错误!.(2)有关分数的性质若a〉b>0,m>0，则:①错误!<错误!;错误!〉错误!（b－m〉0）．②错误!〉错误!;错误!〈错误!(b －m〉0)．错误!1．判断题(1）a〉b〉0,c>d>0⇒错误!〉错误!.( )（2)若错误!〉错误!，则a〉b.（)(3）若a〉b,c>d，则ac>bd.（)答案:（1)√（2）×(3)×2．填空题(1）若ab〉0，且a>b，则错误!与错误!的大小关系是________．答案：错误!<错误!(2）a，b∈R，a＜b和错误!＜错误!同时成立的条件是________．解析：若ab＜0,由a＜b两边同除以ab得,错误!＞错误!,即错误!＜错误!；若ab＞0，则错误!＞1b。
高三数学一轮复习：第七章 不等式7.2
2019年5月13日
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18
解：由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2
＝0 的两根，且 a＜0.
由韦达定理得 －1＋2＝－ba，⇒a＝－1， （－1）×2＝a2 b＝1.
所以不等式 2x2＋bx＋a<0，即 2x2＋x－1<0. 解得－1＜x＜12.故选 B.
关系，得 1＋b＝3a， 解得a＝1，
1×b＝2a.
b＝2.
(Ⅱ)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即 x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当 c>2 时，不等式的解集为{x|2<x<c}；
②当 c<2 时，不等式的解集为{x|c<x<2}；
③当 c＝2 时，不等式的解集为∅.
第第七一章章
集不合与等常用逻式辑用语
7．2 一元二次不等式及其解法
2019年5月13日
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1
1．解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是
；
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这
种变形称为不等式的
；
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2019年5月13日
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15
(1)解下列不等式： (Ⅰ)－x2－2x＋3≥0； (Ⅱ)x2－2x＋2＞0.
解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为 x2＋2x－3≤0. 方程 x2＋2x－3＝0 的解为 x1＝－3，x2＝1. 而 y＝x2＋2x－3 的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0 的 解集是{x|－3≤x≤1}． (Ⅱ)因为 Δ＜0，所以方程 x2－2x＋2＝0 无实数解，而 y＝x2－2x＋2 的图象开口向上，可得原不等式 x2－2x＋2＞0 的解集为 R.
2020高考数学一轮复习第七章不等式7
【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章不等式7时间：45分钟基础组1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是( )A ．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x ＋≥4B ．若a<0，则a ＋≥－4 lga·lgblgb≥2＋lga ，则b>0，a>0．若C D ．若a<0，b<0，则＋≥2答案 D解析 当sin2x ＝1时，1＋1＝2<4，所以A 错；若a<0，则a ＋≤－4，B 错；因为lg a ，lg b 可以小于零，C 错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D 正确．2．[2016·武邑中学一轮检测]若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22B. C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1D. 答案 D 解析 ＝，而t ＋在(0,2]上单调递减，故t ＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t ＝2时等号成立)，＝＋＝22－，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为.3．[2016·武邑中学月考]设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac ＋25c2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2D ．5 答案 B解析 原式＝a2＋＋＋a2－10ac ＋25c2＝a2＋＋(a －5c)2≥a2＋＋0≥4，当且仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a2＝，即a ＝2b ＝5c ＝时等号成立，故原式的最小值为4.故选B.4．[2016·衡水中学热身]已知a>0，b>0，且2a ＋b ＝4，则的最小值为( )A.B ．4 C.D ．2 答案 C解析 由4＝2a ＋b≥2，得ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．5. [2016·枣强中学期中]已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则的最小值为________．答案 9解析 由已知得＝1，则＝＋＝＝10＋＋≥(10＋2)＝9，当且仅当x ＝，y ＝时取等号．6．[2016·衡水二中预测]已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 －4<m<2解析 根据题意，x>0，y>0，则>0，>0，所以＋≥2＝8，当且仅当＝时，即y ＝2x 时等号成立，即＋的最小值为8.若＋>m2＋2m 恒成立，必有m2＋2m<8恒成立，所以m2＋2m<8，m2＋2m －8<0，即－4<m<2.7．[2016·枣强中学期末]已知点P(x ，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________． 24 答案 解析 由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥2＝2＝4，当且仅当x ＝2y ＝时，等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4.8．[2016·衡水二中模拟]已知x ，y∈R，满足x2＋2xy ＋4y2＝6，则z ＝x2＋4y2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，∴6－(x2＋4y2)≤，∴x2＋4y2≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12.综上可得4≤x2＋4y2≤12.9．[2016·武邑中学预测]已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：>8.证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以－1＝＝> ①1y，② >＝＝1－ 1z，③ >＝＝1－ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8. 10．[2016·冀州中学仿真]证明：＋a≥7(a>3)．证明 因为a>3，所以＋a ＝＋(a －3)＋3≥2＋3＝2×＋3＝7.当且仅当＝a －3，即a ＝5时，等号成立．11．[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)＋lg y ＝lg (x ＋y －1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解 由lg (3x)＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0，3xy ＝x ＋y ＋1.得 (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x ＋y ＋1≥2＋1.∴3xy －2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y ＋1＝3xy≤3·2.∴3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0，∴[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.12. [2016·衡水二中期末]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?解 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)，所以b ＝(0<a<30)．30a －a22＋a＝a×＝ab 所以 642＋a－32＋a ＝－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2＋64a ＋2－34＝ ≤34－2＝18.当a ＋2＝时取等号，y 达到最小值．此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)，即2b ＋ab ＋a ＝30.因为a ＋2b≥2，所以30－ab ＝a ＋2b≥2.所以ab ＋2－30≤0.因为a>0，b>0，所以0<ab≤18，当a ＝2b 时取等号，ab 达到最大值18.此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．能力组13.[2016·冀州中学预测]若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22B.C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1D. 答案 D解析 ＝，而y ＝t ＋在(0,2]上单调递减，故t ＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t ＝2时等号成立)，＝＋＝22－，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为.14. [2016·衡水二中期中]设M ＝，N ＝()x ＋y ，P ＝3(x ，y>0，且x≠y)，则M ，N ，P 大小关系为( )A ．M<N<PB ．N<P<MC ．P<M<ND ．P<N<M 答案 D解析 由基本不等式可知≥＝＝3≥3，因为x≠y，所以等号不成立，故P<N<M.15．[2016·衡水中学热身]若实数x ，y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．233答案 解析 (x ＋y)2＝x2＋2xy ＋y2＝x2＋xy ＋y2＋xy ＝1＋xy ，要使其有最大值，不妨设x ，y 均为正数，故有x2＋y2＋xy ＝1≥2xy＋xy ＝3xy ，即xy≤，当且仅当x ＝y时取等号，所以(x ＋y)2＝1＋xy≤，则x ＋y 的最大值是.16. [2016·武邑中学月考]某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x ＝3－(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2015年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2015年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x＝3－，每件产品的销售价格为 1.5×(元)，∴2015年的利润y ＝1.5x×－8－16x －m ＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，＋(m ＋1)≥2＝8，∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2015年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。
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阶段规范强化练(七) 不等式
一、选择题
1．(2015·威海模拟)若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a
>0.3b
C ．a 12
>b 12
D.3a>3b
【解析】 当0>a >b 时，选项A 、C 无意义，又y ＝0.3x
是减函数，所以 0.3a
<0.3b,
故选D.
【答案】 D
2．(2015·郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x≥1， 目标函数z
＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 不等式组表示的可行域如图，A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)，
∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得．
∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；
②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时z ＝－x －y 在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故选B.
【答案】 B
3．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2,0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0
上的一个动点，则|AM |的最小值是( )
A ．5
B ．3
C ．2 2
D.
65
5
【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
3x －y －3≤0
表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |
的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×－2＋0－2|5
＝65
5.
【答案】 D
4．(2016·广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )
A ．3 000元
B ．3 300元
C ．3 500元
D ．4 000元
【解析】 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )， 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x ) ≤50⎝
⎛⎭
⎪⎫58＋x ＋70－x 22，
当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为 3 000＋300＝3 300(元)，故选B.
【答案】 B
5．(2016·重庆模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1
的最小值是( ) A ．1 B.9
4 C ．9 D ．16
【解析】
1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1a ＋1＋b ＋1
4
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋4a ＋1b ＋1≥14(5＋24)＝9
4
， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4a ＋1
b ＋1，即b ＋1＝2(a ＋1)时，取等号，故选B.
【答案】 B
6．(2015·江南十校模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 是由所有
满足AP →＝λAB →＋μAC →
(1≤λ≤a,1≤μ≤b )的点P (x ，y )组成的，若区域D 的面积为8，则
4a ＋b 的最小值为( )
A ．5
B ．4 2
C ．9
D ．5＋4 2
【解析】 如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得|AN |＝a |AB |，|AM |＝b |AC |，作CH ∥AN ，BF ∥AM ，NG ∥AM ，MG ∥AN ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．
由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF .
∵AB →＝(3,1)， AC →＝(1,3)， BC →
＝(－2,2)， ∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →
|＝2 2.
则cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝4
5.
∴四边形EHGF 的面积为 (a －1)10×(b －1)10×4
5＝8.
∴(a －1)(b －1)＝1，即1a ＋1
b ＝1，
故4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a
b
＝9. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝3
2，b ＝3时，等号成立，故4a ＋b 取得最小值为9.
【答案】 C 二、填空题
7．(2016·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 2
－4mx ＋4m 2
－1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 易知函数f (x )的Δ＝4>0，所以函数f (x )<0的解集为A ＝(2m －1,2m ＋1)，同时函数f (x )的值域为B ＝[－1，＋∞)．要使不等式f (f (x ))<0的解集为空集，即等价于A ∩B ＝∅，则2m ＋1≤－1，即m ≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
8．(2015·潍坊模拟)已知a >b >0，ab ＝1，则a2＋b2
a －
b 的最小值为________．
【解析】 ∵a >b >0，∴a －b >0. ∴
a2＋b2a －b ＝a －b 2＋2ab
a －b
＝(a －b )＋
2
a －b
≥2a －b ·2
a －b
≥2 2.
当且仅当a －b ＝2
a －
b ，即a ＝b ＋2时等号成立．
【答案】 2 2 三、解答题
9．(2016·孝感模拟)“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k
50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的
费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1) 试解释C (0)的实际意义，请建立y 关于x 的函数关系式并化简； (2) 当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 【解】 (1) C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元． ∵C (0)＝k
250
＝4，∴k ＝1 000.
∴y ＝0.2x ＋ 1 00050 x ＋250×4＝0.2x ＋80
x ＋5(x >0)．
(2)y ＝0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5＋400x ＋5－5，
当x ＋5＝20，即x ＝15时，y min ＝7，
∴当x 为15平方米时，y 取得最小值7万元．
10．(2016·湛江模拟)已知函数g (x )＝ax 2
－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)在区间[2,3]上有
最大值4，最小值1，对称轴为x ＝1.设函数f (x )＝g x
x
，
(1)求a ，b 的值及函数f (x )的解析式；
(2)若不等式f (2x )－k ·2x
≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)由于二次函数g (x )＝ax 2
－2ax ＋1＋b 的对称轴为x ＝1， 由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a>0，g 2＝1＋b ＝1，
g 3＝3a ＋b ＋1＝4
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a<0，g 2＝1＋b ＝4，g 3＝3a ＋b ＋1＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝3>1
(舍去)．
∴a ＝1，b ＝0.
故g (x )＝x 2
－2x ＋1，f (x )＝x ＋1x －2.
(2)不等式f (2x
)－k ·2x
≥0， 即2x ＋12x
－2≥k ·2x
，
∴k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋1. 在x ∈[－1,1]时，设t ＝12x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，
∴k ≤(t －1)2
，
由题意得，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 故t ≠1，即 1
2≤t ≤2，且t ≠1.
∵(t －1)2m in ＞0，∴k ≤0， 即实数k 的取值范围为(－∞，0]．。