云南省2019年中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第17课时 等腰三角形课件
中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形
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【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形 的内角和即可得到结论．
第一部分 教材同步复习
13
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
第一部分 教材同步复习
6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
第一部分 教材同步复习
周长：c＝a＋b＋c；
周长、 面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
第一部分 教材同步复习
知识点四 等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
第一部分 教材同步复习
8
(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么 定 这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第17课时图形的认识及平行线、相交线
1 解(3)如图，MN＝2b cm.理由如下：∵点 M、N 分别是 AC、
1
1
BC 的中点，∴MC＝2AC，NC＝2BC，
111
1
∴MN＝MC－NC＝2AC－2BC＝2(AC－BC)＝2b(cm)．
12/9/2021
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考向探究
第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
∵BD＝2 cm，∴CD＝4 cm.
∵AC＝AD－CD，且 AD＝8 cm，CD＝4 cm，
∴AC＝4 cm.
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第四单元┃ 图形(túxíng)的初步认识与三角形
(3)当 E 在点 A 的左边时，BE＝BA＋EA，且 BA＝6 cm，EA＝3 cm，∴BE＝9 cm. 当 E 在点 A 的右边时，BE＝AB－EA，且 AB＝6 cm，EA＝ 3 cm，∴BE＝3 cm.
命题角度： (1)利用线段中点的意义进行计算； (2)利用角平分线的性质进行计算． 例 1 如图 17－3，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平 分线． (1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD 为多少 度？ (2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB 为多少 度？
(2)∵OD 是∠COE 的平分线，∠COD＝30°， ∴∠EOC＝2∠COD＝60°. ∵∠AOE＝140°，∴∠AOC＝∠AOE－∠EOC＝80°， 又∵OB 为∠AOC 的平分线，
1 ∴∠AOB＝2∠AOC＝40°.
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人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形三、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。
云南省中考数学总复习图形的初步认识与三角形第17课时等腰三角形课件
课前双基巩固
考点四 等边三角形
1.等边三角形 三边都相等的三角形. 2.等边三角形的性质与判定
(1)具有等腰三角形的所有性质. 性质 (2)三边相等. (3)三个内角都相等,且每一个角都等于⑦ 60° (4)是轴对称图形,有⑧ .
三
条对称轴
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形. 判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是⑨ 60° 的等腰三角形是等边三角形
5.如图 17-3,线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D,∠A=50° ,则∠BDC=( B )
图 17-3 A.50° B.100° C.120° D.130°
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探究一 等腰三角形的性质
例 1 如图 17-4,在△ ABC 中,AB=AD=DC,∠B=70° ,∠C 的度数 为( )
高频考向探究
针对训练
[2017· 内江] 如图 17-9,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为 点 D,DE∥AC. 求证:△ BDE 是等腰三角形.
证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3, ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2, ∴∠2=∠3. ∵AD⊥BD, ∴∠2+∠B=90° ,∠3+∠BDE=90° , ∴∠B=∠BDE,
图 17-9
∴△ BDE 是等腰三角形.
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探究三 等边三角形的性质与判定
例 3 如图 17-10,△ ABD 和△ BCD 均是边长为 2 的等边三 角形,E,F 分别是 AD,CD 上的两个动点,且满足 AE+CF=2. (1) 求证:△ BDE≌△BCF; (2) 判断△ BEF 的形状,并说明理由.
[答案] A [解析] ∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70° , ∵AD=DC,∴∠DAC=∠C,∵∠ADB= ∠DAC+∠C=70° ,则∠C= ∠ADB=35° .
中考数学复习方案 第四单元 图形的初步认识与三角形 第17课时 等腰三角形课件
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[答案] 30°或110° [解析]根据题意作出图形(如图),当点P在直线AB的右侧时,连接AP. ∵AB=AC, ∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°. ∵AB=AB,AC=PB,BC=PA, ∴△ABC≌△BAP,∴∠ABP=∠BAC=40°, ∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°. 当点P'在AB的左侧时,同理可得∠ABP'=40°, ∴∠P'BC=40°+70°=110°.
图17-7
(方法二):∵AB=AC,∠C=42°, ∴∠B=∠C=42°. ∵AD⊥BC 于点 D, ∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.
2.[2019·重庆B卷]如图17-7,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D. (2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.
【失分点】 忽视等腰三角形的腰与底边的区别,底角与顶角的区别导致错误;受片面思维的 影响,忽视等腰三角形腰上的高的不同情况导致漏解.
5.[2019·广安]等腰三角形的两边长分 [答案] 32
别为6 cm,13 cm,其周长为
cm. [解析]由题意知,应分两种情况:(1)当腰
长为6 cm时,三角形三边长分别为6,6,13,
(2)方法一:∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, ∴△EDC为等边三角形, ∴DE=CD=2. ∵∠DEF=90°,∠F=30°, ∴DF=2DE=4.
图17-9
方法二:∵△ABC为等边三角形,DE∥AB, ∴∠EDF=∠B=∠A=∠DEC=60°,∴CE=CD=2. ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, ∴∠CEF=90°-∠DEC=30°=∠F, ∴CF=CE=CD=2. 故DF=CD+CF=4.
2019年中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 与角平分线有关的基本模型练习
方法技巧训练（一） 与角平分线有关的基本模型 方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC＝90°＋12∠A.图1 图2 图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P＝12∠A. 解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O＝90°－12∠A. 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】 若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D＝20°．第1题图 变式1图 变式2图 变式3图【变式2】 若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°．【变式3】 如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α2． 方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD 是∠ABC 的平分线，点O 是BD 上一点，OE∥BC 交AB 于点E ，则△BOE 是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO 是∠ABC 的平分线，过点O 作OE⊥AB 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F ，则OE ＝OF ，△BEO≌△BFO.图4 图5 图6 图7②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO 是∠ABC 的平分线，在BA ，BC 上取线段BE ＝BF ，则△BEO≌△BFO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形． ③过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形．如图7，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是BD 上一点，过点E 作BD 的垂线，则△BGH 是等腰三角形且BD 垂直平分GH.2.如图，在△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作BC 的平行线MN 交AB 于点M ，交AC 于点N ，则△AMN 的周长为(D )A ．10 cmB ．28 cmC ．20 cmD ．18 cm第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．(2018·河北)如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为(B )A ．4.5B ．4C ．3D ．24．(2018·大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M 是BC 的中点，OM 平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B )A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°5．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点N ，且AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3，则AC 的长是16．6.如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD ，CE 相交于点O ，试说明BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以说明．解：BC ＝BE ＋CD.理由如下：在B C 上取点G ，使得CG ＝CD.∵∠BOC＝180°－12(∠ABC＋∠AC B)＝180°－12×(180°－60°)＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝60°.∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，∴∠EBO＝∠GBO，∠OCG＝∠OCD.在△COD 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DCO＝∠GCO，CD ＝CG ，∴△COD≌△COG(SAS )．∠COG＝∠COD＝60°.∴∠BOG ＝120°－60°＝60°＝∠BOE.在△BOE 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE＝∠BOG，BO ＝BO ，∠EBO＝∠GBO，∴△BOE≌△BOG(ASA )．∴BE＝BG.∴BE＋CD ＝BG ＋CG ＝BC.7．感知：如图1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD＋∠ACD ＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB ＝DC.应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示),图1) ,图2) ,图3)证明：过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF ＝DE ，∴△DFC≌△DEB(AAS )．∴DC＝DB.。
2019年中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形第17课时图形的认识及平行线相交线课件湘教版2
课前双基巩固
角的大小比较 (1)叠合法;(2)度量法 角平分线 以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角,那么这条射 线叫作这个角的平分线
角的度量单位 (1)角的度量单位:度(° ),分('),秒(″); 与换算 (2)换算:1° =60'=3600″,1'=60″,1″=
1 60
解:∵在△ EFG 中,∠EFG=90° ,∠E=35° ,∴∠EGF=90° -∠E=55° . ∵GE 平分∠FGD,∴∠EGF=∠EGD=55° . ∵AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55° . 又∵∠EHB=∠EFB+∠E,∴∠EFB=∠EHB-∠E=55° -35° =20° .
图17-11
(3)如图,MN= b cm.理由如下:∵点 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
2
1
∴MC= AC,NC= BC,
2 2
1
1
∴MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b(cm).
2 2 2 2
1
1
1
1
图17-10
课堂考点探究
探究三 直线的位置关系
【命题角度】
(1)“三线八角”的识别;
课堂考点探究
探究四 互余、互补的计算
【命题角度】
解:(1)∠α 的余角=90° -76° =14° ,∠β 的补角 =180° -∠β=180° -41° 31'=138° 29'.
(1)求一个角的余角;
(2)求一个角的补角; (3)综合利用余角、补角的性质.
例 4 已知∠α=76° ,∠β=41° 31',求: (1)∠α 的余角、∠β 的补角; (2)∠α 的 2 倍与∠β 的 的差.
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第四单元 第17课时 三角形基本性质及分类
第四单元 三角形
第17课时 三角形基本性质 及分类
中考考点清单
考点1 三角形的分类 考点2 三角形的基本性质 考点3 三角形中的重要线段
1. 按边分
考点1 三角形的分类
不等腰三角形
三角形
等腰三角形
“底≠腰”的等腰三角形 ①__等__边__三__角__形____
2. 按角分 锐角三角形
∠ACD =∠A +∠B ,∠ACD >∠B ,∠ACD >∠A.
考点3 三角形中的重要线段Fra bibliotek四线定义
性质
图形
在三角 形 中， 连
接一个顶点和它的 BC = DC
中
对边中点的线段叫 做三角形的中线
线
重心:三角形的三条中线的交点到三角 形顶点的
距离等于它到对边中点距离 的2倍
从三角形的一个顶 AD⊥BC 即 高 点向它的对边作垂 ∠ADB = ∠ADC
35°=85°．
类型二 三角形中位线的相关计算
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是BC、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC =
6，则DF 的长是
（ B）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2.5
【思路点拨】利用中位线的性质定理，得到DE∥
AB ，根据平行线的性质，可得∠BFD ＝∠ABF ，
例2 （’15南充）如图，点D 在 △ABC 边BC 的延长线上,CE 平分 ∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°,则 ∠ACE 的大小是_6_0_度.
【思路点拨】要求∠ACE ,已知CE 平分∠ACD ,故 求出∠ACD 即可，而∠ACD＝∠A +∠B，因而求解.
云南省2019年中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第19课时 锐角三角函数及其应用课件
解:过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D, ∵∠CAB=30°,∴AD= 3CD,
∵∠CBA=60°,∴DB= 3CD,
3
∵AB=AD+DB=30,∴ 3CD+ 3CD=30,
3
∴CD=15 3≈15×1.73≈13.
2
2
∴河的宽度为 13 米.
图 19-11
高频考向探究
2.[2016·昆明 20 题] 如图 19-12,大楼 AB 右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼 DE,在小楼的顶端 D
图19-12
高频考向探究
3.[2018·昆明 19 题] 小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌 CD. 她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为 42°,测得隧道底端 B 处的俯角为 30°(B,C,D 在同一条直线上),AB= 10 m,隧道高 6.5 m(即 BC=6.5 m),求标语牌 CD 的长.(结果保留小数点后 1 位)(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈ 0.74,tan42°≈0.90, 3≈1.73)
图 19-5
课前双基巩固
4.如图 19-6,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(4,3),那么 cosα 的值是( D )
图 19-6
A.34
B.43
C.35
D.45
5.在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,下列等式中不一定成立的是( D )
A.b=atanB C.c= ������
sin ������
B.a=ccosB D.a=bcosA
高频考向探究 探究一 求锐角三角函数值
例 1 如图 19-7,在 4×4 的正方形方格图形中,小正方形的顶 点称为格点,△ ABC 的顶点都在格点上,则图中∠ABC 的余 弦值是( )