高一数学学习单不等式的解法(1)完全解析

高一数学学习单 不等式的解法（一） 姓名________________班级___________2011年10月13日
一、自我诊断：
1．解关于x 的不等式：()210x m x m +--≥；
解：1x m =-，21x =
①当1m =-时，解集是{}1x x ≠
②当1m >-时，1m -<，解集是{}1x x x m ≥≤-或
③当1m <-时，1m ->，解集是{}1x x m x ≥-≤或
2．解不等式：21
11x x +≤-； 解：21101x x +-≤-，2
01x x +≤-，口上，两根之间[]2 1-，．
3．解不等式：ax b >；
解：①若0a >，则解集是b
x a >
②若0a =，且0b <，则解集是任意实数；若0a =，且0b ≥，则解集是∅． ③若0a <，则解集是b
x a <
4．若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为{|2x x <-或1
}2x >-，
求关于x 的不等式
02>+-c bx ax 的解集．
二、问题讨论：
1．解一元二次不等式的基本思路；
2．含参不等式需要注意的问题；
3．分式不等式的解题技巧；
4．不等式恒成立问题．
三、例题分析：
例1、解关于x 的不等式：()2110ax a x -++<．
（1）若0a =，则1x >；
（2）若0a ≠，则11x =，21x a =
①当1a =时，121x x ==，口上，∅
②当10a >>时，12x x <，口上，11 a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
③当0a <或1a >时，12x x >，口下，()1 1 a ⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，
例2、不等式()2
110mx m x --+>对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围． 解：当0m =时，10x -+>没有恒成立；
()20140m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩
，解得：(0 3+，． 四、巩固练习：
1．不等式22322
1x x m x x ++≥++对任意实数x 都成立，求自然数m 的值．
解析：因为210x x ++>恒成立，所以原式可以转化为：22322x x mx mx m ++≥++，
即：()()2
3220m x m x m -+-+-≥，需要恒成立，故()()()23024320m m m m ->⎧⎪⎨∆=----≤⎪⎩ 解得：2m ≤
因为取自然数，所以m =0，1，2．
五、课后作业：
1．解下列不等式：
（1）21
4602x x -+<；（2）21
1
11x x ≥--；（3）3224x x +≥-．
解：（1）()2 6，
（2）(]()1 01 -+∞ ，
， （3）(]() 104 -∞-+∞ ，
， 2．解关于x 的不等式：()2
10x a x a -++>． 解：原不等式因式分解得()()10x x a -->，
若1a >，则不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞ ；
若1a <，则不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞ ；
若1a =，则不等式的解集为实数集(,1)(1,)-∞+∞ ；
3．解关于x 的不等式()2
2140ax a x -++> 解：若0a =，原不等式化为240x -+>，从而解集为(,2)-∞； 若0a ≠，原不等式因式分解得()()220x ax -->；
若1a >，2
2a <，则不等式的解集为2
(,)(2,)a -∞+∞ ；
若1a =，原不等式化为()220x ->，从而解集为(,2)(2,)-∞+∞ ； 若01a <<，
22a >则不等式的解集为2(,2)(,)a -∞+∞ ； 若0a <，2
2a <，则不等式的解集为2
(,2)a ；
4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为()m n ，，且0n m >>，求不等式20cx bx a ++>的解集． 解：由题知两个信息：①方程20ax bx c ++=的两根分别是m 、n ，所以b m n a -=+，c m m a =，②0a <， 所以20cx bx a ++>可变为：
210c b x x a a ++<，即()210mnx m n x -++<，其中0n m >>，0m n > 1
1n m <，所以解集是11 n
m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 5．关于x 的不等式()2310mx m x -+-<对于任意实数x 均成立，求实数m 的取值范围．
解析：若0m =，则310x --<没有恒成立；
若0m ≠，则：
()20
340
m m m <⎧⎪⎨∆=++<⎪⎩，解得：()9 1--，．。