4.7幂指对复习

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幂、指、对数的大小比较-高考数学复习

B.a<c0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<cm>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a

通用版高一数学指对幂函数高频考点知识梳理

(每日一练)通用版高一数学指对幂函数高频考点知识梳理单选题1、已知函数f(x)=te x−lnx+lnt对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥0，则正数t的最小值为（）A．e2B．1e2C．e D．1e答案：D解析：转化f(x)≥0为e x+lnt+x+lnt≥e lnx+lnx，令g(x)=x+lnx，则g(x+lnt)≥g(lnx)，结合g(x)的单调性分析即得解根据题意得f(x)=te x−lnx+lnt=e x+lnt−lnx+lnt≥0，即e x+lnt+x+lnt≥x+lnx=e lnx+lnx，令g(x)=x+lnx，则g(x+lnt)≥g(lnx)，由于y=x,y=lnx都在(0,+∞)单调递增故g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，所以x+lnt≥lnx，所以lnt≥lnx−x在(0,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=lnx−x,ℎ′(x)=1x −1=1−xx(x>0)令ℎ′(x)>0∴x<1，故函数ℎ(x)在(0,1)单调递增；令ℎ′(x)<0∴x>1，故函数ℎ(x)在(1,+∞)单调递减故ℎ(x)max=ℎ(1)=−1所以lnt ≥(lnx −x)max =−1，即t ≥1e ，所以正数t 的最小值为1e .故选：D2、已知a =ln0.5，b =30.2，c =0.30.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a答案：D解析：本题首先可以结合指数函数与对数函数性质得出a <0、b >1以及0.3<c <1，然后通过对比即可得出结果。

因为a =ln0.5<ln1=0，所以a <0，因为b =30.2>30=1，所以b >1，因为c =0.30.5<0.30=1，c =0.30.5>0.31=0.3，所以0.3<c <1，综上所述，b >c >a ，故选D 。

幂的运算总结知识点

幂的运算总结知识点一、幂运算的基本概念1. 底数和指数在幂运算中，底数表示要进行幂运算的数，指数表示要计算的幂。

例如，在表达式$a^n$中，$a$为底数，$n$为指数。

2. 幂的定义幂的定义是指将一个数与自身相乘若干次的运算。

比如，$a^n$表示$a$与自身相乘$n$次，即$a$的$n$次幂。

3. 幂数的意义幂数的意义是指幂的运算结果。

在数学中，幂的运算结果通常表示一个较大的数，这种表达方式能够简化运算和表示大数，方便计算。

二、幂运算的性质1. 幂运算的乘法法则若$a^m \times a^n = a^{m+n}$，即幂相乘的结果等于底数不变、指数相加的新的指数。

2. 幂运算的除法法则若$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$，即幂相除的结果等于底数不变、指数相减的新的指数。

3. 幂运算的乘方法则若$(a^m)^n = a^{m \times n}$，即幂的幂等于底数不变、指数相乘的新的指数。

4. 幂运算的指数为0的规定$a^0=1$，任何数的0次幂都等于1。

5. 幂运算的指数为1的规定$a^1=a$，任何数的1次幂都等于自身。

6. 幂运算的负指数$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即负指数等于底数的倒数。

7. 幂运算的零指数若底数不为0，$0^n=1$，即0的任何次幂都等于1。

8. 幂运算的整数指数当指数为正整数时，幂运算就是简单的重复乘法运算；当指数为负整数时，幂运算就是简单的重复除法运算。

9. 幂运算的分数指数当指数为分数时，幂运算需要借助对数来处理，得到的结果为底数的对数值的指数次幂。

10. 幂运算的根式化简对于幂运算中的根式，可以通过化简和变形得到更简单的表达式。

三、幂运算的应用1. 幂运算在几何中的应用在几何中，幂运算常常用来表示面积和体积。

比如，计算正方形的面积、长方形的面积、立方体的体积等等。

2. 幂运算在代数中的应用在代数中，幂运算常常用来表示变量的幂。

幂指对函数专题复习总结

幂指对函数复习专题讲座一．幂函数幂函数的定义及性质：二．指数函数和对数函数 1.幂的有关概念：(1)规定：① ∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *);② )0(10≠=a a ;③∈=-p aap p(1Q ）;④m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n (2)指数运算性质： ①r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a aa s r s r∈>=-；③r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）;④∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ）;⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s∈>>=⎪⎭⎫ ⎝⎛.2．对数的概念：(1)定义：⇔=N a b ,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. ①常用对数N lg ，②自然对数N ln (2)基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ;③1log =a a ;④对数恒等式：N a Na =log .(3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=;②N M NMa a alog log log -=;③M n M a n a log log =; ④n a na =log ; ⑤N nN a a n log 1log =；⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a N N m m a⑦1log log =⋅a b b a ，⑧ N mnN a na m log log =3.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. （2）指数函数的图象OxyOxy y =a x 11a > ）1y =ax ((0＜a ＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（3）指数函数的性质①定义域：R ；②值域：),0(+∞；③过点)1,0(；④当1>a 时，R 上递增；当10<<a 时，R 上递减. 4. 对数函数（1）对数函数的定义函数)1,0(log ≠>=a a x y a 叫做对数函数. （2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质:①定义域：),0(+∞；②值域：R ；③过点)0,1(；④当1>a 时),0(,+∞上递增；当10<<a 时，递减.5.指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象和性质如表．三．典型例题【例1】图中曲线是幂函数nx y =在第一象限的图象，已知21,2±±=n ，则相应于曲线4321,,,C C C C 的n 依次为（）O xyy = l o g x a >Oxy<a <ay = l o g x a 11110( ( ))A.2,21,21,2--B.2,21,21,2--C.1,2,2,1--【例2】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）计算：1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.（3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--（4）已知：36log ,518,9log 3018求==ba 值.【例3】已知函数)1,0)(1(log 2≠>++=a a mx x y a .(1)若定义域为,R 求m 的取值范围；(2)若值域为,R 求m 的取值范围. 【例5】函数)1(||>=a a y x 的图象是（）【例5】若,)(2b x x x f +-=且)1(2)]([log ,)(log 22≠==a a f b a f .（1）求)(log 2x f 的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时)1()(log ,2f x f >且)1()]([log 2f x f <. 幂指对函数练习题一．选择题：1o1y xC 1 C 2C 3C 41.若210,5100==ba ，则b a +2= （）A 、0B 、1C 、2D 、32.若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是（）A 、0,0>>y xB 、0,0<>y xC 、0,0><y xD 、0,0<<y x 3.已知,0>ab 下面四个等式中，正确命题的个数为（） ①b a ab lg lg lg +=；②ba lg=b a lg lg -；③b ab a lg )lg(212=；④ab lg =10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．3 4.已知,12+=x 则=--)6(log 34x x （）A ．23 B ．45C ．0D ．215.已知0>m 时,1lg)10lg(10,mm x+=则x 的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－16.若,5log log 3=⋅a b a 则=b ( )A ．3aB ．5aC ．53D ．357. 若(10)xf x =，则(5)f = （）A 、510B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 8. 已知0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（）①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。

幂指对复习函数

指、对数函数复习导学案一、知识梳理：（一）、指数式与对数式 1、指数幂的运算法则： =βαa a ()=βαa()=αab2、对数的概念（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作，其中a 称对数的底，N 称真数。

①指对互化②以10为底的对数称常用对数，记作N lg ；③以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，记作N ln ；（2）基本性质：① ；② ；③ ；对数恒等式：。

（3）运算法则：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①=)(log MN a ；②=NMa log ；③=n a M log （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a结论①=⋅a b b a log log ；②=na b m log ③=+5lg 2lg(二)基本初等函数1、指数函数：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，2、对数函数：函数)1,0(log ≠>=a a x y 且称对数函数，典例一指对幂化简计算：（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+ （2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+2．（1）已知11223x x-+=，求32122-+-+--x x x x 的值。

（2）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）典例二、指对函数定义以及图象的应用3.（1）函数2()3x f x a -=-的图象恒过定点______（2）函数1)2(log --=x y a ，()1,0≠>a a 恒过点______ 典例三、指对函数的定义域和值域4.（1）函数x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域是________,值域________. （2）函数)23(log )(21-=x x f 的定义域是（3）已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，求函数))34((log 3-x f 的定义域典例四、指对幂函数性质的综合应用5.已知函数xx xx e e e e x f --+-=)(，判断()f x 的奇偶性和单调性。

4、高三一轮复习：幂指对函数

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =；（2）4x y =；（3）31x y =；（4）3-=x y ；（5）32x y =；（6）2-=x y ；（7）21-=x y ；（8）23x y =；（9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×）（2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√）（3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×）（4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×）（5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；（8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意；当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意；当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

数学专题指对幂比较大小必刷100题

专业专心专注µ专题指对幂比较大小必刷100题1任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1已知a =53-12，b =log 25，c =log 37，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a【答案】D【解析】因为a =53 -12=3512<1，b =log 25>log 24=2，1=log 33<c =log 37<log 39=2，所以b >c >a 故选：D2已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】∵a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，0=log π1<c =log π3<log ππ=1，∴b >c >a .故选：D .3已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】因为a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，c =log π3∈0,1 所以b >c >a 故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4设a =34-34，b =432，c =log 232，则a ，b ，c 的大小顺序是A.b <a <c B.c <a 1,且4334<432=b ,又c =log 232<log 22=1.故c <a 2-b=log12b，而2a=log12a，∴log12a>log12b，∴a<b．又12c=log2c且12 b=log12b，由图象可知c>1，0<b<1，故a<b<c，故选D．考点：利用函数图象比较大小.6若a=0.20.8，b=0.80.2，c=1.10.3，d=lg0.2，则a，b，c，d的大小关系是()A.c>b>a>dB.c>a>b>dC.b>c>a>dD.a>c>b>d【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.2>0.20.8，1.10.3>1.10=1由幂函数的单调性知：0.80.2>0.20.2，所以c>1>b=0.80.2>0.20.2>0.20.8=a>0，又由对数函数的单调性可知：d=lg0.2<lg1=0综上有：c>b>a>d.故选：A7设a=log3π，b=2log32，c=4ln1e，则a，b，c大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】解：因为ln1e<ln1=0，所以0<4ln1e<40=1，即0<c<1，又2log32=log322=log34>log3π> log33=1，即b>a>1，所以b>a>c；故选：B8已知5a=2,b=ln2,c=20.3，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b【答案】B【解析】由5a=2⇒a=log52=log54<log55⇒a<12，由ln e2>ln4>ln e⇒1>b>12，c=20.3>1，所以c>b>a，故选：B9已知a=454.1,b=45 -0.9,c=54 0.1，则这三个数的大小关系为()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【答案】B第2页共31页专业专注专心专业专心专注【解析】b =45-0.9=540.9，因为y =54x在R 上单调递增﹐则b >c >1，又a =454.1<45=1.故b >c >a .故选：B .10若a =225,b =325,c =12 25,d =1325，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.a >b >c >dB.b >a >d >cC.b >a >c >dD.a >b >d >c【答案】C【解析】解：a =225>20=1,b =325>30=1,c =1225<12=1,d =1325<13=1，另外a b =225325=2325<23=1，则b >acd =12 251325=3225>32=1，则c >d故b >a >c >d 故选：C .11已知a =12-0.8，b =log 1223，c =40.5则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.a b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由3a =2可得，a =log 32=ln2ln3，因为ln3>1>ln2>0，所以ln2ln3<ln2<1，又因为c =20.3>20=1，所以c >b >a .故选：B .13已知a =43，b =log 34，c =3-0.1，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b【答案】A 【解析】因为a =43=log 3343，343 3=34=81>43=64，所以log 3343>log 34，即a >b .第3页共31页又因为b=log34>log33=1，c=3-0.1<30=1，即b>c，所以a>b>c.故选：A14设0<x<π2，记a=lnsin x，b=sin x，c=esin x，则比较a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a 【答案】A【解析】因为0<x<π2，所以b=sin x∈0,1，a=lnsin x<0，c=e sin x>1，所以a<b<c，故选：A15若a=2 23，b=323，c=1223，d=13 23，则a，b，c，a的大小关系是()A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c 【答案】C【解析】∵23>0∴幂函数y=x23在0,+∞上单调递增，又∵3>2>12>13>0，∴323>223>1223>13 23，∴b>a>c>d故选：C.16已知a=0.31.7，b=1.70.3，c=log0.31.7，则a，b，c的大小关系为() A.a<c1.70=1所以0<a<1<b；根据对数函数的性质知，log0.31.7<log0.31=0，所以c<0；所以a，b，c的大小关系是c<a<b.故选：C.17已知a=log262，b=log3142，c=232，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】A【解析】解：c=232>20=1，0<a=log262<log22=12，12=log33<log3142=b<1，∴a<b<c.故选：A．18已知a=1.20.5，b=0.51.5，c=22，则这三个数的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a第4页共31页专业专注专心专业专心专注【答案】D【解析】因为a =1.20.5>1.20=1，所以a >1.因为b =0.51.5<0.51=12，所以0<b <12.而c =22，所以12<c <1，故b <c <a .故选D .19已知a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 0，所以a >c ，所以c <a log 22=1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c <1，∴a <c b >aB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【答案】D【解析】因x ∈(e -1,1)，且函数y =ln x 是增函数，于是-1<a <0；函数y =2x 是增函数，-1<ln x <0<-ln x <1，而12ln x=2-ln x ，则1<12ln x<2，12<2ln x <1，即12<c <1c >a 故选：D22已知a =log 32,b =15 35,c =13-23，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a 13 0=1, 因此b <a <c故选：B 第5页共31页23设a=4323,b=43 34,c=32 34，则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a 【答案】C【解析】因为函数y=43x在R上是增函数，所以43 23<43 34，即a<b，又因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数，所以4334<32 34，所以b<c，故a<b<c.故选：C24已知a=ln12020+20192020，b=ln12021+20202021，c=ln12022+20212022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】构造函数f x =ln x+1-x，f x =1x-1=1-xx，当0<x<1时，fx >0，f x 单调递增，所以f12020>f12021>f12022，a>b>c.故选：A25已知a=log35,b=1213,c=log1316，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】c=log1316=log36，因为函数y=log3x在0,∞上单调递增，所以log33=1<a=log35<log36<log1316=c，因为函数y=12x在R上单调递减，所以b=12 13<12 0=1，所以c>a>b故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量(通常找0和1)进行比较.26已知1<1a<1b,M=a a,N=a b,P=b a，则M,N,P的大小关系正确的为()A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M 【答案】B【解析】解：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1，∴指数函数y=a x在R上单调递减，∴a b>a a，即N>M，又幂函数y=x a在0,+∞上单调递增，∴a a>b a，即M>P，∴N>M>P，第6页共31页专业专注专心专业专心专注故选：B .27已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】因为π2<3<π，所以a =sin3∈0,1 ，b =log 3sin3<log 31=0，c =3sin3>30=1，所以c >a >b .故选：C28设a =315，b =153，c =log 315，则a ，b ，c 的大小关系为().A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.c 0,3>0，则315>30>153>0，对数函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，0<15<1，则log 315<log 31=0，所以有315>15 3>log 315，即c <b <a .故选：D 29已知e a =π，2b =3，c =sin2021∘，则a ，b ，c 大小关系为()A.c <a <bB.c log 222=32，又c =sin2021∘=sin 5×360∘+221∘ =sin221∘<0，所以c <a b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【解析】b =log 4232=log 43<log 44=1，所以0<a 103 log 55=103>1，所以c >b >a .故选：D31已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b第7页共31页。

《幂指对》微专题系列-教师

当 x 1 时， y (0, )
当 0 x 1时， y (0, )
（5）在（0,+ ）上为增函数
（5）在（0,+ ）上为减函数
注：确定图中各函数的底数 a，b，c，d 与 1 的大小关系
提示：作一直线 y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数:指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数，它们的图象关于 y=x 对称。
新人教版·必修 1 数学·巩固复习专题
《幂函数、指数函数、对数函数》
◆知识要点：
微专题系列
（一）指数与指数函数 1．根式（1）根式的概念
根式的概念
如果 xn a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数
当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为
（1，1）
◆经典例题：
考点一：指数运算【例 1】设 a＞0，则下列运算中正确的是（）
A．
B．
C．【解答】故选：D．【例 2】若
A．a∈R
【解答】故选：D．
D．
＝
，则实数 a 的取值范围是（
B．a＝0
C．a＞
） D．a≤
第3页
【例 3】已知 a＞0，则
＝（）
A．
B．
【解答】故选：B．
【例 4】下列式子成立的是（
③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域

指对幂复习

x
(2)对数的运算性质 M log a ( M N ) = _________; log a ( ) = _______ N n log a ( M ) = ________( a > 0, a ≠ 1, n ∈ R )
4、对数函数的图像和性质对数函数y = loga x(a > 0，a ≠ 1)的图像过定点______, 其定义域为__________, 值域为________,当______ 时，函数为增函数；当______ 时，函数为减函数.
1 2
的图像过定点_________. 指数函数 y=a x (a>0 ,a=1)的图像过定点定义域是__________.当_______时函数为增函数；当时函数为增函数；定义域是时函数为增函数当________时，函数为减函数。时函数为减函数。
3、对数及其运算（1）若a = N ( a > 0, 且a ≠ 1)，则x = _____
函数的值域为
{y y
≥ 0
}
题型三：指数函数、题型三：指数函数、对数函数的性质及应用
1 − mx 例1已知函数f(x)=log a (a > 0, a ≠ 1, m ≠ 1)是奇函数 x −1 （）求实数m的值； 1 （2）判断函数f ( x)在（，∞)上的单调性. 1+
1 − mx 解：（ 1）函数 f ( x ) = log a Q 是奇函数 x −1 ∴ f (− x) = - f ( x) 1+ m x 1 − mx x −1 即 log a =- log a = log a -x − 1 x −1 1 − mx 1+ m x x −1 ∴ = ∴ 1-m 2 x 2 = 1 − x 2 ∴ m 2 = 1 ∴ m = ± 1 -x − 1 1 − mx 又 m ≠ 1∴ m = − 1 1+ x x −1+ 2 2 （）（） f (x) = loga 2 由 1 知 = loga = loga (1+ ) x −1 x −1 x −1 2 在 1+∞）是函（，上减数 Qt =1+ x −1 时减数 y = loga t当 >1 增数 0 < a <1 是函 a 是函，

指、对、幂的大小比较学生版--2025年高考数学一轮复习重难点

指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1=log 22<log 23<log 24=2，进而可估计log 23是一个1~2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质1(2024·全国·模拟预测)已知a =30.6，b =log 25，c =log 323，则实数a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.b >c >aD.a >c >b【变式训练】1(2024·四川德阳·二模)已知a =4ln3π,b =3π,c =4lnπ3，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.a <b <c2(2023·甘肃平凉·模拟预测)已知幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，设a =f m ,b =f n ,c =f ln2 ，则a 、b 、c 的大小用小于号连接为．3(2023·黑龙江哈尔滨·三模)若a =log 23+log 32,b =log 2e +ln2,c =136，则实数a ,b ,c 由小到大排列为<<.命题点2　找中间值1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a =ln5，b =log 35，c =5-0.3，则()A.b <c <aB.c <a <bC.c <b <aD.b <a <c【变式训练】1(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知a =log 53,b =log 43,c =0.4-0.3，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b2(2024·四川成都·三模)2-3,213,sin 32,log 213四个数中最大的数是()A.2-3 B.213C.sin32D.log 2133(2024·北京石景山·一模)设a =20.3，b =sin π12，c =ln2，则()A.c 1，则下列不等式一定成立的是()A.a>bB.ab<a+b-1C.a+1b >b+1aD.a-1b<b-1a【变式训练】1(多选)(2024·福建龙岩·一模)下列命题正确的是()A.若a<b<0，则a2>ab>b2B.若a<b<0，则ac2<bc2C.若0<a<b<c，则ca >cbD.若0<a<b，则2a+b2>2ab2(多选)(2023·全国·模拟预测)下列说法正确的有()A.若0<a<1，则ln a+1ln a≤-2 B.若lg a<lg b，则a2<b2C.若a<b<c,a+b+c=0，则c-ab2>0 D.若2a<2b a,b∈N*，则a-b≤-1 3(2024·上海静安·二模)在下列关于实数a、b的四个不等式中，恒成立的是．(请填入全部正确的序号)①a+b≥2ab；②a+b22≥ab；③|a|-|b|≤|a-b|；④a2+b2≥2b-1．题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．1(2024·天津·一模)已知a=30.3，b=log43，c=12-0.3，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<cb>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>a>c3(2024·四川攀枝花·二模)若a=323,b=log3e,c=1e-13，则()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．1(2024高三·全国·专题练习)若a=1.1,b=ln 1110e，c=e0.1，则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b【变式训练】1(2024·辽宁·二模)若a=1.01+sin0.01,b=1+ln1.01,c=e0.01，则()A.b>c>aB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b2(2023·辽宁·模拟预测)已知a=1e1e,b=ln22 ln22,c=ln33 ln33，试比较a,b,c的大小关系()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a3(2023·湖南·模拟预测)设a=52-ln5e2，b=1e，c=ln44，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【课后强化】基础保分练一、单选题1(2024·天津·二模)若a=log131.9，b=log215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c2(2024·北京顺义·二模)已知a=log42，b=12e，c=π12，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b3(2024·全国·模拟预测)若a=2π2，b=π22，c=logπ2cosπ5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a4(2024·全国·模拟预测)若a=log83,b=0.132,c=ln cos22023，则下列大小关系正确的是()A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a二、多选题5(2024·贵州遵义·一模)已知正实数a，b满足sin a+ln a=b+ln b，则()A.2a>bB.a-12>b-12C.log1e a<log1eb D.e1a>e1b6(2024·全国·模拟预测)已知a>0，b>0，且a+b=2，则()A.a2+b2≥2B.14<2a-b<4 C.log2a+log2b≥0 D.a2-b>0三、填空题7(2023·吉林长春·模拟预测)已知a=log3322，b=22-33，c=ln1e，则a，b，c的大小关系为．8(2023·全国·模拟预测)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：①a<2b；②a+b>3ab；③b-a<-ab.则正确的说法有.(横线上填写正确命题的序号)四、解答题9(22-23高三·全国·对口高考)(1)比较a a b b与b a a b(a>0,b>0)的大小；(2)已知a>2，比较log(a-1)a与log a(a+1)大小10(2020高三·上海·专题练习)设a>5-12，且a≠1，记x=log a2,y=log a+12,z=log a+22，试比较x,y,z的大小.综合提升练一、单选题1(2024·天津河东·一模)设a=23,b=log23,c=log33，则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c2(2024·河南·模拟预测)设a=log32,b=log333,c=log222,d=20.49，则()A.a<b=c<dB.d<c=b<aC.a<d<b=cD.c<a<d<b3(2024·陕西安康·模拟预测)若a=11232,b=ln20232024,c=log2738，则()A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a4(2024·四川·模拟预测)已知a=ln 32,b=13,c=e-2，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a5(2023·天津河北·一模)若a=37-38,b=log1737,c=log1838，则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a6(2024·全国·模拟预测)已知a>b>1，则下列各式一定成立的是()A.log a b>1B.ln a-b>0 C.2ab+1<2a+b D.b⋅a b<a⋅b a 7(2024·宁夏银川·二模)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，若a=f(1)，b=f(ln10)，c=f354，则a，b，c的大小关系为() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b8(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a二、多选题9(2023·广东广州·模拟预测)下列是a>b>c(a，b，c≠0)的必要条件的是()A.ac>bcB.ac2>bc2 C.2a-c>2a-b D.7a+b>7b+c10(2024·全国·模拟预测)已知实数a,b,c，其中a,c c>a>0是函数f x =e xx-m m>e的两个零点．实数b满足b=log73a+22cb>1，则下列不等式一定成立的有()A.a+c<b+1B.c-a>b-1C.ca>b D.aclg bB.a+b=abC.12a>12 b D.a+b>4三、填空题12(23-24高三上·北京昌平·阶段练习)①在△ABC中，b=2，c=3，B=30°，则a=；②已知a=90.1，b=30.4，c=log40.3，则a、b、c的大小关系是13(22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习)已知a=log372,b=1413,c=log135，则a，b，c的大小关系为.14(2023高三上·全国·专题练习)若n∈N*，n>1，则log n n+1与log n+1n+2的大小关系为.(用“<”连接)四、解答题15(22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习)比较下列两组数的大小(写出详细理由)．(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4(2)a=log26，b=log312，c=log51516(2020高三·全国·专题练习)比较大小：①5.25-1，5.26-1，5.26-2；②0.53，30.5，log30.5；③log0.7 6，0.76，60.7．17(2022高三·全国·专题练习)已知a,b均为正实数，且a≠1．(1)比较ab2+ba2与1a+1b的大小；(2)比较log a b3+1和log a b2+1的大小．18(22-23高三下·全国·开学考试)已知函数f x =e x-ax-1a∈R的最小值为0．(1)求实数a的值；(2)设m1=1.1+ln0.1，m2=0.1e0.1，m3=19，判断m1，m2，m3的大小．19(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=ax ln(x-1)-x2+x．(1)当a=2时，讨论g(x)=f(x)-x的单调性．(2)若f(x)有两个零点x1,x2，且x1<x2，证明：ln x1-1x2-1>4 a．拓展冲刺练一、单选题1(2024·北京东城·一模)已知a,b∈R,ab≠0，且a<b，则()A.1a >1bB.ab<b2C.a3<b3D.lg a <lg b2(2024·天津·一模)已知函数f x =x -1e x，若a=f12-0.6,b=f log1229，c=f413 ，则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3(2024·安徽阜阳·一模)设a=log23,b=log812,c=lg15，则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<ca>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c5(2024·河南郑州·模拟预测)已知a=110+111，b=ln65，c=log67-1ln5，则()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b二、多选题6(2023·山东青岛·三模)已知实数a，b，满足a>b>0，ln a ln b=1，则()A.ab>e2B.log a2<log b2C.12ab+1<12 a+b D.a a b b>a b b a 7(2023·云南大理·模拟预测)若12a=3，12b=4，则()A.ba >1 B.ab>14C.a2+b2>12D.2a-b>12三、填空题8(22-23高三·全国·对口高考)将0.32,log20.5,log0.51.5由小到大排列的顺序是：．9(23-24高三上·新疆喀什·期中)已知a=log20.2,b=0.20.2,c=0.20.3，则a,b,c的大小关系是(用“<”表示)10(2023高三上·全国·竞赛)已知a=eπ，b=πe，c=(2)eπ，则这三个数的大小关系为．(用“<”连接)四、解答题11(2024·辽宁抚顺·三模)设函数f x =x2+3x+2e x+1,g x =x-ln x+1．(1)讨论f x 的单调性．(2)证明：g x ≥0．(3)当x>e-1时，证明：f x <ln x+2．。

高三指对幂函数精品讲义

幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log aa a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且（5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数；当1n =时，2234n n --=-为偶数；当1n =-时，2230n n --=为偶数；当2n =时，2233n n --=-不是偶数；当3n =时，2230n n --=为偶数；所以n 为1-，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．例2已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<．又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．正解（分类讨论）：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<；（2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何．练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是。

2025届高中数学一轮复习课件《幂函数与指、对数式的运算》PPT

3．(多选)下列运算正确的是( ) A．4 3－π4＝π－3 B．e2x＝(ex)2 C．3 a－b3＝a－b D． ab＝ a· b
解析：对于 A，4 3－π4＝|3－π|＝π－3，故 A 正确；对于 B，e2x＝(ex)2 成立，故 B 正确；对于 C，3 a－b3＝a－b 成立，故 C 正确；对于 D，当 a<0 且 b<0 时， a和 b无意义，故 D 错误．故选 ABC．
＝1＋3lg 5＋2lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋3lg 5＋3lg 2＝1＋3(lg 5＋lg 2)＝4.
(2)原式＝log22－14 ×log5[9log9
5
－(3
3 2
)
2 3
＋7log73]＝－14×log5(
5－3＋3)＝－14×12＝
高考一轮总复习•数学
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01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材强基固本
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一幂函数
1．幂函数的定义函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数． 2．五种幂函数图象的比较
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又∀x≥0，f(x)<f(x＋1)，则函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此 α 可以为正偶数，所以此函数可以是 f(x)＝x2，f(x)＝x4，….故答案为 x2(答案不唯一)．
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幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数 α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． (3)当 α＞0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递减．

幂指对三种含数知识点总结

幂指对三种含数知识点总结幂指对是数学中常见的一类运算，它可以用来表示数的大小、比较数的大小以及数的运算等。

在幂指对的理解和运用过程中，我们可以从以下三个方面来总结相关的知识点。

一、幂指对的定义和基本运算： 1. 幂指对的定义：幂指对是由底数和指数两个要素组成的，用底数的n次方表示，表示为a^n，其中a表示底数，n表示指数。

2. 幂指对的基本运算：幂指对的基本运算包括幂指对的乘法和除法。

- 幂指对的乘法：若幂指对a n和a m的底数相同，则它们的乘积为a^(n+m)。

- 幂指对的除法：若幂指对a n除以a m，且a不为0，则它们的商为a^(n-m)。

二、幂指对的性质和运算规律： 1. 幂指对的性质： - 幂指对的底数为正数时，幂指对的值大于0。

- 幂指对的底数为负数时，幂指对的值可能是正数或负数，取决于指数的奇偶性。

- 幂指对的底数为0时，幂指对的值为0。

- 幂指对的指数为0时，幂指对的值为1。

2. 幂指对的运算规律： - 幂指对的乘方运算法则：(a n)m = a^(n m)。

- 幂指对的除方运算法则：(a n)/a m = a^(n-m)。

- 幂指对的分配律：a^n a^m = a^(n+m)。

- 幂指对的乘方运算与乘法运算的关系：(a * b)^n = a^n * b^n。

三、幂指对的应用： 1. 幂指对的大小比较：对于不同的底数和指数，可以通过幂指对的大小比较来判断数的大小关系。

- 当底数相同时，指数越大，幂指对的值越大。

- 当指数相同时，底数越大，幂指对的值越大。

- 当底数和指数都不同时，可以通过对底数和指数进行换算，比较它们的值大小。

2. 幂指对的数值计算：幂指对可以用于数值的计算，例如求幂指对的值或实现数值的逼近等。

- 对于已知的底数和指数，可以通过幂指对的定义和基本运算进行计算。

- 对于特定的问题，可以利用幂指对的性质和运算规律进行数值计算，简化计算过程。

指对幂函数复习提纲

指对幂函数复习提纲一、基础知识：1、幂：（1）na 叫做a 的n 次幂。

（2）运算公式：（1）mn m n aa a += （2）()nm mn a a = （3）mm nn a a a-= （4）()mm mab a b = （5）()010a a =≠ （6）()10nn a a a-=≠ （7）1na =（8）m mna ==（9{a a =当n 为奇数当n 为偶数2、指数和指数函数的定义及性质（P91）3、对数和对数函数的定义及性质（P95和P103）（1（2）常用对数和自然对数（3）运算公式①对数恒等式：log a yay =②积商幂的对数：()log log log a a a MN M N =+；log aMN=log log a a M N -；log log n a a M n M =③换底公式：log log log a b a N N b =4、反函数：（1）定义；（2）求反函数的步骤：①先求出x ②x 与y 互换③写出定义域（即原函数的值域）；（3）原函数与反函数的图像关于y =x 对称,原函数过（a,b ）,反函数过(b,a)5、幂函数：定义及性质P108-P109注：指、对数函数的增减性取决于底数a ，而幂函数的增减性取决于指数α6、函数的应用：P112-113(注意例1和例3的取对数解指数方程的方法，例3的复利计算)二、专题练习1、下列函数一定是指数函数的是（）Ａ、12+=x y B 、3x y = C 、x y -=3 D 、xy 23⋅=2、若函数xa a a y ⋅+-=)33(2是指数函数，则有（） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且3、下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y =D ．13-=x y4、指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是A ．log c a =bB ．log c b =aC ．log a b =cD ．log b a =c1、若210,5100==ba，则b a +2= （） A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是（）A 、0,0>>y xB 、0,0<>y xC 、0,0><y xD 、0,0<<y x 3、若2<x ，则|3|442x x x --+-的值是___________. 4、设1052==b a,则=+ba 11_________. 5、若3log 41x =，则44xx-+= 。

通过习题巩固对幂指对函数的掌握——幂指对函数练习教案

幂指对函数是高中数学中非常重要的一个概念，也是学习微积分的基础。

在讲授幂指对函数的基本概念和性质后，接下来就需要进行大量的练习巩固学生对幂指对函数的掌握和应用能力。

在这里，我们将介绍一些适合幂指对函数的练习方式和方法，帮助学生更好地掌握这个重要的数学概念。

一、练习内容的选择在进行幂指对函数的练习时，需要选择合适的练习题。

一般来说，可以将练习题分为以下几类：1、基本函数的求导幂指对函数是由幂函数和指数函数组合而成的，因此，掌握幂函数和指数函数的求导公式是非常重要的。

学生在掌握了基本函数的求导方法后，可以通过练习基本函数的求导问题来提高对幂指对函数的应用能力。

2、函数的构造除了基本的求导问题外，将不同的幂函数和指数函数组合构造成各种函数也是非常有用的练习方式。

这能够帮助学生深入理解函数的构造和变化，提高对幂指对函数的理解和应用能力。

例如，可以构造一些“奇怪的函数”来练习，如$f(x)=\sqrt{5}x^{\frac{5}{3}}e^{2x}$。

3、综合性练习综合性练习是非常重要的一类练习题目，可以帮助学生用各种方法综合应用所学知识，对幂指对函数进行深层次的练习。

常见的综合性练习题目包括：求出函数$f(x)=x^2e^{-x}$的最大值和最小值等。

二、练习难度的分级为了逐步提高学生的练习水平，需要将练习分为不同的难度级别。

初级练习题较为简单，注重对概念和基本方法的应用，并提供详细的解题步骤和解答。

中级练习题难度逐渐增加，需要学生更深入地理解和运用概念、方法与技巧。

高级练习题则注重提高学生的分析和应用能力。

不仅考察了所学知识，难度更高，需要学生提出新的思路或方案。

三、教学设计教师需要对所选练习题进行设计。

基于学生的掌握程度和能力，教师应适时适度地调整练习题的难度、数量和结构。

此外，教师还可以通过一些小技巧来激发学生的兴趣，如增加幽默元素和趣味性的问题。

四、教学实施幂指对函数的练习教学需要将“练习”当作一种行动，通过连续不断地练习，学生才能够真正掌握幂指对函数的求导方法和应用技巧。

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１.所有幂函数在（0，+∞）上都有意义，所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.如果α>0时,幂函数的图像通过原点，并且在
【0,+∞)上为增函数;
α>1
0a<=α1<1
3.如果α<0,幂函数在(0,+∞)上为减函数。 α<0
课后作业
课本P87习题四
(5) (ab)r ar ar (2 3)2 22 32
概念
指数函数
y ax
a 0,a 1
对数函数
y log a x a 0,a 1
幂函数
y xα R
指数函数 y = ax (a＞0, 且a≠1) 的图像及性质
a>1
y y=ax
图
●(1,a)
0<a<1
y=ax
y
y=1 (0,1)●
y=1 (0,1)●
象
●(1,a)
当 x > 0 时，y >01. x=1
x
0 x=1 x
性值定义域域 :: 当 x < 0 时，. 0< y < 1
x∈R 当 x < 0 时，y > 1； y∈（0 , +当∞）x > 0 时， 0< y < 1。
质过定点( 0 , 1 )
在 R 上是增函数
当性0<x
<1
时,
y<
0定。值义域域
: :
( 0,+∞) 当0< x < 1 时，y > 0；
R
当 x > 1时， y < 0。
质
过定点: (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是：增函数在(0,+∞)上是减函数
小结：幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
在 R 上是减函数
指数函数性质补充 y=ax
（1）当指数函数的底数互为倒数时，图像关于y轴对称（2）当a>1时，底数越大图像越靠近y轴
当0<a<1时，底数越小图像越靠近y轴
对数
指对互换：重点：
指数式
对数式
ab N
(a 0, a
1,
lNoga
N
0)
b
负数和零没有对数
两个重要的对数：
(1)常用对数：log10N=lgN (2)自然对数：logeN=lnN
,a 0 ,a 0
分数指数幂和实数指数幂运算：
m
2
(1) a n n am (a 0, m, n N , 且n 1) 53 3 52
(2)
3 m
a n
1
m
(a
0, m, n
N ,且n
1)
4
5
an
1
4
35
1 5 34
(3) ar as ars
33 32 332 35
(4) (ar )s ars (30.5 )2 30.5*2 31
特别地：当c=b时，有：②
ln b loga b lna
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图 y x =1
y x =1
象O
y log a x (a 1)
(1,0)
X
O
(1,0) X
y log a x (0 a 1)
当 x > 1 时，y > 0；
loga 1 0 loga a 1
(a 0, a 1, N 0)
（e =2.71828 ······）
对数的基本性质：
（1）底的对数等于1，即 loga a 1.
（2） 1的对数等于0，即 loga 1 0.
（3）零和负数没有对数，即
N 0,
（4）对数恒等式
aloga N N
实数指数
规定：
a0 1
an
1 an
1
an n a
(a 0) (a 0)
1 (a 0, n N ) an
1.指数与指数幂的运算
一.根式：
n
a
如果 xn a
1.当n为奇数，x= n a
2.当n为偶数，x= ± n a
3.当a=0，即
n
0 0
a0
4. ①当n为奇数，n an a
a
②当n为偶数， n an | a | = a
loga an n
对数运算：
(1) loga (M N ) loga M loga N
(2)
loga
M N
loga M
loga
N
(3) loga M n n loga M
(4)
log am
bn
n m
log a
b
(5)换底公式：
log b
N
log a N log a b
①
lg b log a b lg a