高数下)教案第11章
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高数第十一章-高斯公式
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R z d x d y d z R d x d y
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y), 则 z 2 R z ( x, y ) R d x d y d z d x d y 2 z z1 ( x, y ) z d z 3 Dx y
Dx y
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1
3
O
x
Dx y
1 y
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dxy
2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
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在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v v u x 2 y 2 z 2 d x d y d z Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R d x d ydz 注意: 高斯公式 x y z
11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
高数第十一章11-1
n 2n4 1 1
解 (1)
tan
5n
5n
1 而 发散, n 1 n
0
n4
1 x 4 dx
所以
原级数发散
1 n n 3 (2) 4 4 4 2n n 2n 1 n2 1 n 3 收敛， 所以 收敛. 4 n1 2 n 1 2 n 1 n 1 1 2 1 x n n xdx dx (3) 4 0 1 x 0 3 3 n2 1 1 x n 3 收敛， 所以 dx 收敛. 4 0 1 x n1 2 n1 n 1 1 1 2 n 2 收敛 (4) n 2 4 n1 n 1 x 4 dx 0 xdx n
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n 1
数列sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
u
n 1
n
收敛,这时极限 s 叫做级数
u
n 1
n
的和.并
写成 s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数
1. 级数的定义:
一般项 (常数项)无穷级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
n 0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
高等数学(下册)-电子教案 11.6 傅里叶级数
2
简单的周期运动:
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, 为初相 )
复杂的周期运动:
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 得函数项级数 2 n 1
1 π ak f ( x) cos kx d x ( k 1, 2, ) π π 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
ak cos 2 kx d x
π
π
(利用正交性)
1 π bk f ( x)sin k x d x (k 1, 2, π π
？
①
②
由公式 ② 确定的 的傅里叶系数 ; 以
称为函数 的傅里叶
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶级数 .
定理11.6.1 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2
的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; (2) 在一个周期内只有有限个极值点. 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
件比展成幂级数 的条件低得多.
f (x ) f (x ) ,
2
f ( x) ,
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 在
上的表达式为
y
3 π
将 f (x) 展开成傅里叶级数. 解 x (2k 1) π 时, 级数收敛于
简单的周期运动:
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, 为初相 )
复杂的周期运动:
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 得函数项级数 2 n 1
1 π ak f ( x) cos kx d x ( k 1, 2, ) π π 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
ak cos 2 kx d x
π
π
(利用正交性)
1 π bk f ( x)sin k x d x (k 1, 2, π π
？
①
②
由公式 ② 确定的 的傅里叶系数 ; 以
称为函数 的傅里叶
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶级数 .
定理11.6.1 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2
的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; (2) 在一个周期内只有有限个极值点. 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
件比展成幂级数 的条件低得多.
f (x ) f (x ) ,
2
f ( x) ,
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 在
上的表达式为
y
3 π
将 f (x) 展开成傅里叶级数. 解 x (2k 1) π 时, 级数收敛于
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)
( )
10
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1 计算
L
yds, 其中L是抛物线y x 上点
2
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解
L 1
yds
0
1
y
y x2
0
x
2
2 1 ( x ) dx 2
B
x 1 4 x 2 dx
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M A 1
o
x
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
如果当各小弧段的 长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或 第一类曲 线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
2 ( t ) 2 ( t ) 0，则曲线积分 f ( x , y )ds
L
存在，且
L
f ( x , y )ds
曲线积分与曲面积分
定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一 点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,
高等数学教案第十一章
第十一章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和。
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；§1常数项级数的概念和性质、教学目的与要求:1 •理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2 •理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念常数项无穷级数：一般地，给定一个数列U l U2 .U3 ,.： ... ；.：Un .则由这数列构成的表达式U1 U2 U3 亠亠Un : “ “ “Q Q叫做（常数项）无穷级数.简称（常数项）级数.记为x u n.即nVQ0u n =5 u2 U3 亠亠u n….n =1其中第n项U n叫做级数的一般项■Q0级数的部分和：作级数' U n的前n项和nTns n =二U^U i U2 U3 亠亠U ni =1□0称为级数二:U n的部分和n =1QO级数敛散性定义：如果级数''U n的部分和数列｛S n｝有极限Sn 4即lim Si = s .n心QO则称无穷级数7 Un收敛.这时极限S叫做这级数的和.n=1并写成oOS 八比二 U i U 2 U 3E= Un ?nJ如果｛Sn ｝没有极限.则称无穷级数 二U n 发散n=1QO QO余项：当级数a U n 收敛时.其部分和Sn 是级数U n 的和S 的近似值.它们之间的差值n =1nd「n ~S -Sn Fn 2・‘---Q O叫做级数V U n 的余项n =1例1讨论等比级数（几何级数）O0' aq n = a aq aq 2：】 …aq nn =0的敛散性.其中a=0 q 叫做级数的公比解：如果q=1 .则部分和oO当|q| ：：1时.因为lim S n —.所以此时级数、aq n 收敛.其和为戶-n护 1-q心1-q00当|q|>1时.因为lim % -：：所以此时级数aq n 发散nTd n=0oO如果|q|m .则当q=1时.sn=na •：：.因此级数■- aq n 发散- n=000 当q--1时.级数a aq n成为n£a-a a-a时|q| W 时•因为Sn 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零oO所以Sn 的极限不存在.从而这时级数x aq n 也发散n=02n -1 S n =a aq aq 亠 亠aq_ a _aqni-qa i-qQ Q5 / 27cO仅当q|：：1时.几何级数v aq n a=O ）收敛.其和为n4例2证明级数1 3 5；；（ 2n-1） •…是发散的，证 此级数的前n 项部分和为s n =1 3 5圧 ........ 圧(2n -1) = n(n 1).显然.lim 片「：因此所给级数是发散的n ＞：:例3判别无穷级数因此（扛）（＞古十活从而1一)=1 lim s^ =lim (1n 「 所以这级数收敛n （n 1） n n 1二、收敛级数的基本性质QOQO性质1如果级数u n 收敛于和S.则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数7 ku n 也收敛n mn =1和为ks .综上所述 Q Q.如果|q|：：：1.则级数「aq n收敛.其和为a i-q•如果|q| 1 .则级数7 aq n 发散2丄.丄. 1 2 23 341 1 ..…n(n +1)由于Unn(n 1) n n 1n —" n 1提示：u n -证明：设a U n与v kU n的部分和分别为S n与n .则n =1 n =1lim ；「n = lim （kg 癥k®） =k lim （5 氏u n） = k lim % =ksn , n ,n , n >00这表明级数ku n收敛.且和为ksnJ表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。
高数下课件 ch11_4
f (0) = 1，
(n = 1,2,3,)，
f (n)(0=) m(m − 1)(m − n + 1)，
∴ f ( x)的麦克劳林级数为
1 + mx + m(m − 1) x2 + + m(m − 1)(m − n + 1) xn + .
2!
n!
(2) ρ = lim an+1
a n→∞ n
m(m − 1)(m − n)
x ∈[−1,1].
直接展开法的缺点：
(1) 求 f (n)( x0 ) 计算量较大；
(2)
证明
lim
n→∞
Rn
(
x
)
=
0
困难.
2. 间接展开法
利用已知的展开式、幂级数的代数与分析运算以及 变量代换等，将函数展开成幂级数. 因为函数展开 成幂级数是唯一的，所以用此方法与直接法展开具 有相同的结果，其优点在于可以避免对余项的研究， 也不用求高阶导数，从而计算比较简单.
+
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
−
x0
)n
+
，x
∈U
(
x0
).
当 x0 = 0 时，
f ( x=) f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n)(0) xn +
2!
n!
称为 f ( x)的麦克劳林级数.
4. 展开式的唯一性
能
设 f ( x)=a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + ，则展开式唯一， 且就是 f ( x)的麦克劳林级数.
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
第十一章 线性代数
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)
A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算
L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设 、 为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
高数下第十一章曲线积分与曲面积分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
高等数学(下册)第十一章
第二节 第二类曲线积分
•性质
(1) Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L
L1
L2
(L L1 L2 )
(2)L k(Pdx Qdy) k L Pdx Qdy
(3) P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
注 :定积分、二重积分、三重积分的积分域
方程不能代入到被积函数中.而曲线、曲面
的积分，积分域方程可代入到被积函数中.
例 求 xyds : (1)OAB;(2)OB : y x; L
(3)OMB : y x2.
解 (1) xyds xyds 1 ydy 1
OA
AB
0
记作
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
第二节 第二类曲线积分
定义 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
n
极限
lim
0
P(k
k 记1 作
, k )xk Q(k
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : ,类似有
z (t)
P
[
(t),
(t)
,
(t)]
(t
)
(t)
(t )
第二节 第二类曲线积分
例 求L xydx ydy,
2π a2 k 2 (3a2 4π 2k 2 ) 3
高等数学下第十一章第八节-PPT课件
1l n x f( x ) cos dx , n 0 , 1 , 2 , … , 其中 a n l l l 1l n x b f( x ) sin dx , n 1 , 2 , … 。 n l l l x , 显然 l x l z ； 证 作变量代换 z l lz 设 f( x )f( ) ˆF ( z ) , 则F(z)以2 为周期且满足收敛
2
n x f ( x 0 ) f ( x 0 ) b sin , n 2 2 n 1
nx bn sin , 但此级数不一定收敛于f(x)。 2 n1
1 例3 已 x 知 a cos n x ,x [ 0 , 1 ], 求 a . n n 2n 1 解 实际上是求 f(x) x 在[0, 1]上的余弦级数的系数。
解 f(x)满足收敛定理的条件，l 2。
10 12 a 0 dx kdx k . 0 2 2 20 12 n x a k cosdx 0 , n 0 2 2
n 1 ,2 1 n x k b k sin dx ( 1 cos n ) n 0 2 2 n
定理的条件，可展成傅里叶级数：
a F ( z 0) F ( z 0 ) 0 ( a cos nz b sin nz ) . n n 2 2 n 1
注意到F(z 0) f(x 0)，得 a n x n xf ( x 0) f ( x 0 ) 0 ( a cos b sin ) , n n 2 l l 2 n 1
其中系数
l 1 1 n x a F ( z ) cos nzdz f ( x ) cos dx , n l l l
高数下册第11章
幂 级 数 a n x 的 和 函 数s( x ) 在 收 敛 区 间
n n0
( R , R )内 可 导 , 并 可 逐 项 求 导 任 意 次 .
7、幂级数展开式
(1) 定义
如 果 f ( x ) 在 点 x 0 处 任 意 阶 可 导 ,则 幂 级 数
f
(n)
( x0 )
n0
x ( , )
ln( 1 x ) x
1 2
x
2
1 3
x ( 1)
3
n1
x
n
n
x ( 1 ,1 ]
(1 x )
1 x
( 1)
2!
x
2
( 1)( n 1)
n!
x
n
x (1,1)
f
(n)
( x0 )
;
(n)
n!
(x) M ,
( 2 ) 讨论 lim R n 0 或 f
n
则级数在收敛区间内收
敛于 f ( x ).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e 1 x
如 果 级 数 a n x 在 x x 0 处 发 散 ,则 它 在 满 足
n n0
不等式 x x0 的一切 x 处发散.
推论
如果 幂级 数 an x 不 是 仅在 x 0 一 点 收敛 ,也
n n0
不 是 在 整 个 数 轴 上 都 收 敛 ,则 必 有 一 个 完 全 确 定 的 正 数 R 存 在 ,它 具 有 下 列 性 质 :
n n0
( R , R )内 可 导 , 并 可 逐 项 求 导 任 意 次 .
7、幂级数展开式
(1) 定义
如 果 f ( x ) 在 点 x 0 处 任 意 阶 可 导 ,则 幂 级 数
f
(n)
( x0 )
n0
x ( , )
ln( 1 x ) x
1 2
x
2
1 3
x ( 1)
3
n1
x
n
n
x ( 1 ,1 ]
(1 x )
1 x
( 1)
2!
x
2
( 1)( n 1)
n!
x
n
x (1,1)
f
(n)
( x0 )
;
(n)
n!
(x) M ,
( 2 ) 讨论 lim R n 0 或 f
n
则级数在收敛区间内收
敛于 f ( x ).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e 1 x
如 果 级 数 a n x 在 x x 0 处 发 散 ,则 它 在 满 足
n n0
不等式 x x0 的一切 x 处发散.
推论
如果 幂级 数 an x 不 是 仅在 x 0 一 点 收敛 ,也
n n0
不 是 在 整 个 数 轴 上 都 收 敛 ,则 必 有 一 个 完 全 确 定 的 正 数 R 存 在 ,它 具 有 下 列 性 质 :
《高等数学下教学资料》11-3.0
n
un
0,
则交错级数 (1)n1un收敛且余和的绝对值 n1
rN 电气学(院1学)n习1u部n 资料uN库1 . nN 1
证明: un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) 数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1 数列 s2n是有界的 ,
例1. 判断交错级数 (1)n1
1 的敛散性.
n2
ln n
解: 1 单调递减, 且 lim 1 =0,
ln n
n ln n
故由Leibnitz判别法知交错级数 (1)n
1 收敛.
n2
ln n
i
例2. 讨论级数 (1)n1(1 - e n )的敛散性.
解:
i
由于e n
n1
cos
1
i sin
1
,故
级数
1
发散,由比较判别法知级数
1 发散,
n1 n
n1 ln n
所以
in
也发散.
n1 ln n
电气学院学习部资料库
另一方面,
in
(1)k
1
i (1)k
1,
n1 ln n k 1
ln(2k ) k0
ln(2k 1)
而
1 和 1 关于k单调减少,
ln(2k) ln(2k 1)
lim 1 0, lim 1 =0,
1 n
in
(1) sin , (2)
n1 n
2
n1 n
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二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意
un
0,
则交错级数 (1)n1un收敛且余和的绝对值 n1
rN 电气学(院1学)n习1u部n 资料uN库1 . nN 1
证明: un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) 数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1 数列 s2n是有界的 ,
例1. 判断交错级数 (1)n1
1 的敛散性.
n2
ln n
解: 1 单调递减, 且 lim 1 =0,
ln n
n ln n
故由Leibnitz判别法知交错级数 (1)n
1 收敛.
n2
ln n
i
例2. 讨论级数 (1)n1(1 - e n )的敛散性.
解:
i
由于e n
n1
cos
1
i sin
1
,故
级数
1
发散,由比较判别法知级数
1 发散,
n1 n
n1 ln n
所以
in
也发散.
n1 ln n
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另一方面,
in
(1)k
1
i (1)k
1,
n1 ln n k 1
ln(2k ) k0
ln(2k 1)
而
1 和 1 关于k单调减少,
ln(2k) ln(2k 1)
lim 1 0, lim 1 =0,
1 n
in
(1) sin , (2)
n1 n
2
n1 n
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二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意
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• 11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶级数
• 11.12 傅里叶级数的复数形式ห้องสมุดไป่ตู้
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11.1 无穷级数的概念及基本性质
设有半径为R的圆，作圆内接正六边形，其面积
记为a1，可作为圆面积S的一个近似值。
为了提高精确度，以正六边形的每条边为底边作 顶点在圆周上的6个等腰三角形，它们的面积记为a2， 则a1+a2是圆内接正十二边形的面积，它是圆面积S的 比a1较精确的近似值。
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还可以用另一种方法求Sn(若把q视为变量)：
Sn 1 2q 3q 2 nq n 1
d (1 q q 2 nq n ) dq
当q≠1时，
d 1 q n 1 Sn dq 1 q (1 q)[(n 1)q n ] (1 q n 1 )(1) (1 q) 2 1 (n 1)q n nq n 1 (1 q) 2
S lim(a1 a2 an ) lim ai
n n i 1
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n
或
S a1 a2 an
除了计算圆面积时需要讨论形如
a1 a2 an
的“和”之外，还可以举出大量的例子说明我们经
常要研究形如式(1)的“和”。初等数学中的循环小
1 故级数 (1 ) 发散 n n 1
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n
1 1 1 例6 证明调和级数 1 是发散的 2 n n 1 n 解：把调和级数按下列方式加括号
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 ( k 1 k 1 k ) 2 1 2 2 2
如果极限 lim S n不存在，则称级数是发散的。 n
例1 讨论级数 1 1 1 1 n(n 1) 1 2 2 3 n(n 1) n 1 的收敛性。 解：此级数的部分和为
1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 n(n 1) k 1 k ( k 1)
n 1
的敛散性。 S 1 2q 3q 2 nq n 1 n 解： qS q 2q 2 (n 1) q n 1 nq n
n
两式相减得 故当q≠1时，
(1 q) Sn 1 q q 2 q n 1 nq n
1 q q 2 q n 1 nq n Sn 1 q 1 q 1 (n 1)q n nq n 1 (1 q) 2
数
0.34 0.34 0.0034 0.000034
2 1 0.4 0.01 0.0004
与无限不循环小数
都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知道 1 1 1 1 e 1 e (0< <1) 1! 2! n ! (n 1)!
则把它们依次相加得 这式子成为无穷级数(简称为级数)，简记为 un
n 1
u
n 1
n
u1 u2 un
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以上设式中的每一项称为级数的项；其中un称为级
数的通项或一般项
设
Sn u1 u2 un uk ,
k 1
aq n 1 a aq aq 2 aq n 1
n 1
的敛散性。 解：级数的部分和为
a (1 q n ) , q 1 2 n 1 S n a (1 q q q ) 1 q na, q 1 n 当|q|<1时，由 lim q 0 知
和数列{Sn}有上界。
n 1
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11.2.1 比较判别法
定理2 设 un 和 vn均为正项级数，且
n 1 n 1
un≤vn(n=1,2,3,…)
v
n 1
n
1. 若 vn 收敛，则 un也收敛
n 1 n 1
2. 若 un发散，则
n 1
1 1 1 1 1! 2! n!
可见计算e时，需要讨论形如式(1)的“和”，e就是 1 1 1 1 当n→∞时的极限。 1! 2! n!
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11.1.1 无穷级数的收敛与发散
设有数列 u1，u2，…，un，… u1+u2+…+un+… 即
n
1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n n 1 n 1
1 1 1 从而 lim S n 1，故 收敛，且 n n 1 n( n 1) n 1 n ( n 1)
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例2 设a≠0，讨论等比级数(或称几何级数)
S n= 故 lim S n 不存在。
n
0，当n为偶数，
a 综上所述，当|q|<1时，级数 aq 收敛于和 ； 1 q n 1
n 1 1 aq n 发散。 当|q|≥1时，级数 n 1
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例3 讨论级数
nq n 1 1 2q 3q 2 nq n 1
S1=u1，S2=u1+u2，…，
其中前n项的和Sn称为级数的第n部分和，或简称为 级数的部分和。如果部分和数列{Sn}的极限 lim S n 存 在且等于S，则称级数是收敛的，且收敛于S，并称
n
S为级数的和，记作
u
n 1
n
u1 u2 un S
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也发散
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1 例1 用比较判别法证明调和级数 发散 n 1 n
1 证：取级数 vn ln(1 )，由于部分和 n n 1 n 1 1 n vk ln(1 ) ln(1 n) k k 1 k 1
n n
1 而 lim n ，故 发散 n n 1 n
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结束
e 由于 lim 0 ，因此 n ( n 1)!
1 1 1 1 e lim 1 e n n ! (n 1)! 1! 2!
1 1 1 lim 1 n n ! 1! 2!
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• 11.1 无穷级数的概念及基本性质
• 11.2 正项级数及其敛散性的判别法 • 11.3 任意项级数 • 11.4 函数项级数 • 11.5 幂级数的收敛半径 幂级数的性质
• 11.6 泰勒级数
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• 11.7 幂级数的应用 • 11.8 复数项级数 欧拉公式 • 11.9 三角级数 欧拉-傅里叶公式 • 11.10 傅里叶级数
也就是从调和级数的第三项起，依次地2项、4项、 ……、2k–1项、……加括号。设此新级数为 vn 则
1 1 1 1 1 1 v0 1, v1 , v2 2 3 4 4 4 2
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n 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 v3 ,, 5 6 7 8 8 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 k 1 k 1 k k k k , , 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1
n 1
n
例4 当|q|≥1，a≠0时，等比级数(几何级数)
aq n 1 a aq aq 2 aq n 1
n 1
是发散的。 证：因为当a≠0时
a, q 1 lim un lim aq n 1 不存在， q 1 n n q 1 ,
n
a(1 q n ) a lim Sn lim n n 1 q 1 q
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lim q n 知 lim S n 不存在； 当|q|>1时，由
n
n
lim 当q=1时， Sn lim na ；
n n
当q= –1时， a，当n为奇数，
n(n 1) S 当q=1时， n 1 2 n ，故 lim S n ； n 2 m, n 2m 1 n 1 S 当q= –1时， n 1 2 3 4 (1) n m, n 2m 故 lim S n 1 n 1 综上所述，当|q|<1时，级数 nq 收敛，其和为 (1 q ) 2 n 1 n 1 当|q|≥1时，级数 nq 发散。
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x 1 qx 0 当|q|<1时，因 lim(n 1)q n lim x lim n x q x ln q 1 n 1 和 lim nq 0 ，故 lim Sn ； 2 n n (1 q)
nq n1 (n 1)q n q n [n(q 1) 1] 当|q|>1时，
n 1
(u
n
vn ) 收敛于S±ζ
由级数敛散性定义很容易证明以上的性质 3. 将级数增加有限项或删减有限项，不改变级数的 敛散性。
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4. 收敛级数具有可结合性，即收敛级数的项任意加 括号后所成的级数仍然收敛，且和不变 5. 级数收敛的必要条件：若级数 un收敛，则 lim un 0
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再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上
的12个等腰三角形，他们的面积记为a3，则a1+a2+ a3