2017年河南省安阳市高考数学二模试卷(文科)

2017年河南省安阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|2x﹣x2≥0}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A．[0，1） B．[1，2]C．（2，4]D．[2，4]2．（5分）设复数z满足=（其中i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C． D．3．（5分）设命题p：函数f（x）=ln为奇函数；命题q：∃x0∈（0，2），x＞2，则下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∨（￢q）4．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的一个对称中心为（）A．（，﹣1）B．（，﹣1） C．（，0）D．（，0）5．（5分）已知变量x，y满足则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．16．（5分）已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2，且|PF1||PF2|=2a2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s=（）A．﹣1008 B．﹣1007 C．1010 D．10118．（5分）已知变量x与y的取值如表所示，且2.5＜n＜m＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.8x+2.3 B．=2x+0.4 C．=﹣1.5x+8 D．=﹣1.6x+109．（5分）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，动点P在圆C2：x2+y2﹣4x﹣12=0上，则△PC1C2面积的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．2010．（5分）北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S=[（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（）A．83 B．84 C．85 D．8611．（5分）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则sin2θ=（）A．B．C．﹣ D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{3}B．[3，5]∪{}C．[，）∪{5}D．[3，7）∪{}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）⊥（﹣），则k=．14．（5分）已知函数f（x）=若f[f（x0）]=1，则x0=．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC﹣a=c﹣2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为．16．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1的中点为E，棱B1C1的中点为F，平面AEF与平面AA1C1C的交线与AA1所成角的正切值为，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为．三、解答题17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，2S n=a n+1﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求数列{}的前n项和．18．（12分）2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在[50，100]内，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y=（负值为企业上缴的罚金），试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机抽取2家企业座谈环保经验，求抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率．19．（12分）如图，在几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；（Ⅱ）求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积．20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1的直线l，交椭圆E于A、B两点，过点F2的直线l2交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，当CD⊥x轴时，|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=e x lnx﹣1，g（x）=．（Ⅰ）若g（x）=a在（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x）+＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（﹣θ）．（Ⅰ）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M为曲线C1上任意一点，过M作圆C2的切线，切点为N，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求函数f（x）的图象与直线y=1围成的封闭图形的面积m；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（a，b）（a≠b）是函数g（x）=图象上一点，求的取值范围．2017年河南省安阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2017•安阳二模）已知集合A={x|2x﹣x2≥0}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A．[0，1） B．[1，2]C．（2，4]D．[2，4]【解答】解：由2x﹣x2≥0得0≤x≤2，则集合A={x|2x﹣x2≥0}=[0，2]，所以B={y|y=2x，x∈A}={y|1≤y≤4}=[1，4]，即A∩B=[1，2]，故选B．2．（5分）（2017•安阳二模）设复数z满足=（其中i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C． D．【解答】解：∵复数z满足=（其中i为虚数单位），∴z==，则z的共轭复数=．故选：D．3．（5分）（2017•安阳二模）设命题p：函数f（x）=ln为奇函数；命题q：∃x 0∈（0，2），x＞2，则下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）=ln，x∈R，f（﹣x）+f（x）=ln+ln=ln1=0，因此函数f（x）为奇函数，为真命题；命题q：不存在x0∈（0，2），x＞2，因此是假命题．则下列命题为假命题的是（￢p）∧q．故选：C．4．（5分）（2017•安阳二模）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的一个对称中心为（）A．（，﹣1）B．（，﹣1） C．（，0）D．（，0）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g（x）=sin[2（x+）+]﹣1=cos（2x+）﹣1的图象，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得g（x）的一个对称中心为（，﹣1），故选：A．5．（5分）（2017•安阳二模）已知变量x，y满足则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．1【解答】解：目标函数z==1+，作出不等式组对应的平面区域如图：则的几何意义是区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最大，则由得x=0，y=2，即B（0，2），此时BD的斜率k BD==，∴目标函数z=的最大值为1+=，故选：A．6．（5分）（2017•安阳二模）已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2，且|PF1||PF2|=2a2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：设P为双曲线右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得m﹣n=2a，点P满足PF1⊥PF2，可得m2+n2=4c2，即有（m﹣n）2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，则离心率e==．故选：A．7．（5分）（2017•安阳二模）执行如图所示的程序框图，则输出的s=（）A．﹣1008 B．﹣1007 C．1010 D．1011【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+…+2016﹣2017=1﹣1008=﹣1007故选：B8．（5分）（2017•安阳二模）已知变量x与y的取值如表所示，且2.5＜n＜m＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.8x+2.3 B．=2x+0.4 C．=﹣1.5x+8 D．=﹣1.6x+10【解答】解：由题意，=3.5，=∈（3.5，5.5），代入选项，可得A满足．故选A．9．（5分）（2017•安阳二模）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，动点P在圆C2：x2+y2﹣4x﹣12=0上，则△PC1C2面积的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．20【解答】解：圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣2）2=11，圆心为（﹣2，2），C2：x2+y2﹣4x﹣12=0，即（x﹣2）2+y2=16，圆心为（2，0），半径为4，∴|C1C2|==2，∴△PC1C2的面积的最大值为=4，故选：B．10．（5分）（2017•安阳二模）北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S=[（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（）A．83 B．84 C．85 D．86【解答】解：由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，∴S=[（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）=85，故选C．11．（5分）（2017•安阳二模）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则sin2θ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：函数f（x）=2sinx﹣cosx=sin（x+α）取得最大值时，此时x=θ，其中，cosα=，sinα=，∴θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，那么：sinθ=sin（2kπ+﹣α）=cosα=cosθ=cos（2kπ+﹣α）=sinα=∴sin2θ=2sinθcosθ=．故选：D12．（5分）（2017•安阳二模）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{3}B．[3，5]∪{}C．[，）∪{5}D．[3，7）∪{}【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，∴函数y=log a x，与y=|x﹣5|﹣1上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣1）点时，a=，当对数函数的图象过（3，1）点时，a=3，当对数函数的图象过（7，1）点时，a=7，故a[3，7）∪{}，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2017•安阳二模）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）⊥（﹣），则k=0．【解答】解：向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），则﹣=（3﹣k，3），﹣=（2，﹣2），又（﹣）⊥（﹣），∴（﹣）⊥（﹣）=2（3﹣k）+3×（﹣2）=0，解得k=0．故答案为：0．14．（5分）（2017•安阳二模）已知函数f（x）=若f[f（x0）]=1，则x0=﹣1或1．【解答】解：∵函数f（x）=，f[f（x0）]=1，∴当x0≤0时，，当f（x0）=时，f[f（x0）]=f（﹣1）=，无解，当＞0时，=1，解得x0=﹣1，成立；当x 0＞0时，f（x0）=＞0，∴f（f（x0））=f（）==1，解得x0=1，成立．综上，x0的值为﹣1或1．故答案为：﹣1或1．15．（5分）（2017•安阳二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC﹣a=c﹣2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为6．【解答】解：∵2acosC﹣a=c﹣2ccosC，∴2（a+c）cosC=a+c，∴cosC=，C∈（0，π），解得C=．由余弦定理可得：9=c2=a2+b2﹣2abcos，∴9=（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3×，化为a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号．∴a+b的最大值为6．故答案为：6．16．（5分）（2017•安阳二模）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1的中点为E，棱B1C1的中点为F，平面AEF 与平面AA1C1C的交线与AA1所成角的正切值为，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为．【解答】解：如图，连接EF并延长交CC1的延长线于G，连接AG，在平面ACC1内过G作GH交AA1的延长线于H，则AH=，GH=AC=4，∴，得a=4．把原直三棱柱补形为正方体，则正方体的棱长为4．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径r=．故答案为：．三、解答题17．（12分）（2017•安阳二模）设数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，2S n=a n+1﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）a1=1，2S n=a n+1﹣1，=a n﹣1，（n≥2），可得2S n﹣1两式相减可得，2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n+1﹣a n，即有a n=3a n（n≥2），+1由2a1=2S1=a2﹣1，可得a2=3，则a n=a2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1，对n=1也成立，则{a n}的通项公式为a n=3n﹣1；（Ⅱ）b n=log3a n+1=log33n=n，则前n项和为T n=n（n+1），可得==2（﹣），则数列{}的前n项和为2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=．18．（12分）（2017•安阳二模）2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在[50，100]内，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y=（负值为企业上缴的罚金），试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机抽取2家企业座谈环保经验，求抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，解得a=0.01，∵[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的频率分别为：0.2，0.25，0.4，0.1，0.05，∴[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的企业家数分别为：8，10，16，4，2，∵该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y=，∴估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值为：=[﹣7×8+0×10+3×16+（4+2）×6]=0.7（万元）．（Ⅱ）这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业有6家，其中[80，90）的有4家，[90，100）的有2家，从中随机抽取2家企业座谈环保经验，基本事件总数n==15，抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内包含的基本事件个数m==6，抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率p=．19．（12分）（2017•安阳二模）如图，在几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA 与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；（Ⅱ）求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．∴A（0，0，0），B1（2，0，4），C（4，4，0），D（0，4，0），D1（0，2，4），P（0，3，2），=（2，0，4），=（4，1，﹣2），•=8+0﹣8=0，∴AB1⊥PC．解：（Ⅱ）=（4，0，0），=（0，﹣1，2），||=，DC⊥DP，||=||==6，||==2，||=，C到直线DD1的距离d=||•=4几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积：+++=++++=42+6+2．20．（12分）（2017•安阳二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1的直线l，交椭圆E于A、B两点，过点F2的直线l2交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，当CD⊥x轴时，|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F2的直线l2交椭圆E于C，D两点，当CD⊥x轴时，|CD|=3，∴，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，若AB与CD中有一条与x轴重合或平行，S==2b2=6．若AB与CD的斜率都存在，不妨设AB的斜率为k，设AB：y=k（x+1）与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，得3x2+4k2（x+1）2﹣12=0，即（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，，，AB===，同理，得BC=，S==72×，令t=∈（0，1），S=g（t）=72×，g（t）在（0，）上是减函数，在[，1）上是增函数，g（0）=g（1），∴四边形ACBD面积的最小值S min=g（）=72×=．21．（12分）（2017•安阳二模）已知函数f（x）=e x lnx﹣1，g（x）=．（Ⅰ）若g（x）=a在（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x）+＞0．【解答】（Ⅰ）解：g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，故g（x）max=g（1）=，而g（0）=0，g（2）=，若g（x）=a在（0，2）上有两个不等实根，则＜a＜；（Ⅱ）证明：要证明f（x）+＞0，即证明xln x＞xe﹣x﹣设函数m（x）=xln x，则m′（x）=1+ln x，所以当x∈（0，）时，m′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，m′（x）＞0．故m（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而m（x）在（0，+∞）上的最小值为m（）=﹣，设函数n（x）=xe﹣x﹣，则n′（x）=e﹣x（1﹣x）．所以当x∈（0，1）时，n′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0．故n（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而n（x）在（0，+∞）上的最大值为n（1）=﹣；因为m min（x）=m（1）=n max（x），所以当x＞0时，m（x）＞n（x），即f（x）+＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（﹣θ）．（Ⅰ）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M为曲线C1上任意一点，过M作圆C2的切线，切点为N，求|MN|的最小值．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（t为参数），相加可得普通方程：x+y=﹣4．圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（﹣θ），展开可得：ρ2=（cosθ+sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2=4x+4y．（Ⅱ）由（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，可得圆心C2（2，2），半径r=2．圆心到直线的距离d==4，则|MN|的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安阳二模）已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求函数f（x）的图象与直线y=1围成的封闭图形的面积m；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（a，b）（a≠b）是函数g（x）=图象上一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|=，它的图象如图所示：函数f（x）的图象与直线y=1的交点为（﹣4，1）、（0，1），故函数f（x）的图象和直线y=1围成的封闭图形的面积m=•4•3=6．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（a，b）（a≠b）是函数g（x）=图象上一点，则b=，故≠a，且===（a﹣）+．当a﹣＞0时，故==（a﹣）+≥2=4，当且仅当（a﹣）=时，取等号．当a﹣＜0时，故==（a﹣）+=﹣[﹣（a﹣）﹣]≤﹣2=﹣4，当且仅当﹣（a﹣）=﹣时，取等号．综上可得，≥4，或≤﹣4．参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；沂蒙松；caoqz；whgcn；双曲线；lcb001；左杰；742048；zlzhan；sxs123；刘老师（排名不分先后）胡雯2017年4月8日。