2016高中数学人教B版必修四2.1.2《向量的加法》word导学案
2016高中数学人教B版必修四2.1.1《向量的概念》word导学案
撰稿教师：李丽丽1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长； 3．注意向量的特点：可以平行移动 学习重、难点：2．向量的几何表示79页，找出疑惑之处） 二、新课导学 （一）问题探究：湖面上有三个景点O,A,B ，一游艇将游客从景点O 送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O 到景点A 有一个位移，从景点A 到景点B 也有一个位移。
探究：1、位移和距离的区别2、生活中还有哪些量既有大小又有方向？（二）概念讲解1．向量定义：_____________________________。
2．向量的表示方法：（1）______________； （2）用字母表示：_______3、向量的模：如果AB a =，那么____________________________也叫___________，记作_________．4、两种特殊向量：（1）长度为0的向量叫_______，记为_____，方向是______ （2）长度为１个单位的向量叫__________5、两种特殊关系：（1）平行向量: ______________________________________________.记作：//a b （2）相等向量：______________________________.记作：a b = （3）相反向量：______________________________. （三）反思回顾：1、所有的单位向量都相等吗？2、向量平行是否具有传递性？3、平行向量就是向量所在直线平行吗？4、相反向量：把与向量a _________________的向量，叫做a 的相反向量,记作：_____。
三、※典型例题B （终点）A （起点）123O ABCDEF FE FE OA BC 例1：已知为正六边形的中心，在前图中所标出的向量中：（）试找出与共线的向量；（）确定与相等的向量；（）与相等吗？A45,AB AB AB ⨯例2：在方格纸中有一个向量以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？(AB 除外）例3、一人从O 点出发向西走了100米，到达A 点，然后改变方向向西北方向走了200米到达B 点，然后又改变方向向东走了100米到达C 点，（1）作出向量AB 、BC 、CO （2四、※当堂检测：（1）下列各量中是向量的是（）A ．时间B ．速度C ．面积 D. 长度（2）等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF//AB ，则下列等式正确的是（）A ．AD BC =B ．AC BD =C ．PE PF =D ．EP PF = （3）如图是单位正方形组成的网络，则：||PQ =f = （4）下列说法正确的是 ( )A 、平行向量是方向相同或相反的向量B 、零向量表示为0C 、长度相等的向量叫做相等向量D 、共线向量是在一条直线上的向量E 、向量就是有向线段（5）已知a 、b 是任意两个向量,下列条件: ①a b =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④0a =或0b =；⑤a 与b都是单位向量。
2016高中数学人教B版必修四2.1.2《向量的加法》word学案
2．1．2向量的加法一．学习要点：向量的加法二．学习过程：一、复习：1.向量的定义2.相关概念零向量、单位向量、平行向量、相等向量.二、新课学习：1．向量加法（1）三角形法则：如图，已知非零向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做 ，记作a ＋ｂ，即 .求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.注:首尾顺次连接，首尾连。
（2）平行四边形法则：以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形OACB ,则以O 为起点的对角线OC 就是a 、的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量的平行四边行法则.(力的合成可以看作向量加法平行和四边行法则的物理模型.)注:共起点（3）加法性质：（1）a + 0= 0 + a = a 。
（2）|+|≤||+||当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||（可由三角形三边关系推得）①当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||； a ｂ A Cｂ ａa②当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.+=+（3）交换律:a b b a（4）结合律：(+) +=+ (+)三、应用举例：例1在长江某渡口处,江水以的速度12.5km/h向东流,渡船的速度是25km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?四、课堂练习教材83页练习五、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.课后作业：见作业（14）。
2016_2017学年高中数学2.1.2向量的加法学案新人教B版必修4
2.1.2 向量的加法1.掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.(难点)2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算.(重点)[基础·初探]教材整理1 向量的加法法则阅读教材P 80～P 82以上部分，完成下列问题. 1.三角形法则已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.图216上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则. 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . 2.平行四边形法则已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A ，B ，D 三点不共线，以AB →，AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC →＝a ＋b .这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.图2173.多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →的是________. (1)BA →＋AD →＋DC →；(2)BD →＋DA →＋AC →； (3)AB →＋BD →＋DC →；(4)DC →＋BA →＋AD →.【解析】 在(1)中BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在(2)中BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在(3)中AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；在(4)中DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →.【答案】 (3)教材整理2 向量加法的运算律阅读教材P 81“第12行”～P 82“第13行”以上部分，完成下列问题.交换律结合律a ＋b ＝b ＋a (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＋0＝a .( ) (2)a ＋b ＝b ＋a .( ) (3)AB →＋BA →＝2AB →.( )【解析】 根据运算律知，(1)、(2)显然正确，对于(3)，应为AB →＋BA →＝0.故(3)错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]向量加法运算法则的应用(1)化简AE →＋EB →＋BC →等于( )A.AB →B.AC →C.CE →D.BE →(2)如图218所示，a ＋d ＝________，c ＋b ＝________.图218(3)若正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c.试作出向量a ＋b ＋c ，并求出其模的大小.【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图. 【自主解答】 (1)由向量加法的三角形法则可得： AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.故选B.(2)由向量求和的三角形法则可知a ＋d ＝DA →，c ＋b ＝CB →. 【答案】 (1)B (2)DA → CB →(3)根据平行四边形法则可知，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →.根据三角形法则，延长AC ，在AC 的延长线上作CE →＝AC →，则a ＋b ＋c ＝AC →＋AC →＝AC →＋CE →＝AE →(如图所示).所以|a ＋b ＋c|＝|AE →|＝212＋12＝2 2.1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.2.利用向量的两种加法法则作图的方法：法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的始点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和[再练一题]1.如图219所示，设O为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：图219(1)OA→＋OC→；(2)BC→＋FE→.【解】(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，∴由向量加法的平行四边形法则， 得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.向量加法运算律的应用(1)下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A.②③ B.② C.①D.③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确.【答案】 B(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.[再练一题]2.化简：(1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.【解】 (1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →. (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.向量加法的实际应用如图2110所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.【导学号：72010042】图2110【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt △ABC ，求出|AC →|和∠BAC ，最后结合图形作答.【自主解答】 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km).其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题. [再练一题]3.为了调运急需物资，如图2111所示，一艘船从江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.图2111(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) 【解】 (1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速.易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度. (2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5，|BC →|＝53， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝52＋532＝100＝10.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.[探究共研型]向量加法的多边形法则探究1 在△ABC 中，若AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，那么a ＋b ＋c ＝0一定成立吗？ 【提示】 一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则AB →＋BC →＝AC →，所以AB →＋BC →＋CA →＝0，那么a ＋b ＋c ＝0.探究2 如果任意三个向量a ，b ，c 满足条件a ＋b ＋c ＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？【提示】 若任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a ＋b ＋c ＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.探究3 设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A n →＝A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n .当A 1与A n 重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n 满足什么关系？【提示】 当A 1与A n 重合时，有A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝0.如图2112，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图2112A.0B.BE →C.AD →D.CF →【精彩点拨】 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将BA →＋CD →＋EF →变形为CD→＋DE →＋EF →就可以利用向量加法的多边形法则求和向量.【自主解答】 因为ABCDEF 是正六边形，所以BA ∥DE ，BA ＝DE ，所以BA →＝DE →，所以BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.【答案】 D三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.[再练一题]4.如图2113，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：图2113(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.【解】 (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.1.化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →【解析】 OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →. 【答案】 B2.下列命题中正确的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么(a ＋b )∥a ； (2)在平行四边形ABCD 中，必有BC →＝AD →；(3)若BC →＝AD →，则A ，B ，C ，D 为平行四边形的四个顶点； (4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |≤|a |＋|b |. A.0 B.1 C.2D.3【解析】 (1)正确；(2)在平行四边形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以BC →＝AD →，正确；(3)A ，B ，C ，D 可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确.【答案】 D3.在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( )【导学号：72010043】A.四边形ABCD 是矩形B.四边形ABCD 是菱形C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形【解析】 根据题意，由于在四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形.【答案】 D4.若|a|＝|b|＝1，则|a ＋b|的取值范围为________.【解析】 由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a ＋b|≤2. 【答案】 [0,2]5.已知向量a ，b ，c ，如图2114，求作a ＋b ＋c .图2114【解】 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得 OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c ，OC →即为所作向量.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(十四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】 依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 【答案】 A2.如图2115所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )图2115A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →【解析】 OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 【答案】 B3.如图2116所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图2116A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】 设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.【答案】 C4.下列结论中，正确结论的个数为( )【导学号：72010044】①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】 当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.【答案】 B5.在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形D.不确定【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →|， |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|，∴▱ABCD 是矩形. 【答案】 B 二、填空题6.若a 表示“向东走8 k m”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________.【解析】 如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →.所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向7.(2016·济南高一检测)当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角.【解析】 当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角.【答案】 |a|＝|b| 三、解答题8.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 【解】 如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形.连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . ∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3， ∴在Rt △BDC 中，CD ＝332，∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.9.如图2117，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点.求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.图2117【证明】 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝FA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.[能力提升]1.在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A.1 B.2 C.3D.4【解析】 如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →| ＝2|AB →|＝2.故选B. 【答案】 B2.如图2118，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.图2118【解】 如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°. 设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力， 则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300(N)， ∴|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法课堂导学案 新人教B版必修4
2.1.2 向量的加法课堂导学三点剖析一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则学习这部分内容时要注意:①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的.②两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0.③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一.④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的,和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.具体做法是:把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=AB,b=BC,则a+b=AB+BC=AC.⑤当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.如下图表示求两个平行向量和的特殊情况.【例1】设a表示“向西走2 km”,b表示“向北走2 km”,则a+b表示向哪个方向行走了多少?思路分析：画图求解.解:如图,作=a,=b,则OB=OA+=a+b.∵△ABO为直角三角形,且||=||=2,2且∠AOB=45°.∴|OB|=22 km.∴a+b表示向西北方向走了2各个击破 类题演练 1已知向量a 和非零向量b ,求作向量a +b .思路分析:已知中明确了b 是非零向量,没有明确a 是否是非零向量,所以,应就a =0和a ≠0两种情况分类讨论.解:(1)若a =0,则a +b =b ,见图(1).(2)若a ≠0,则①当a 与b 不共线时,a +b ,见图(2). ②当a 与b 共线时,有(ⅰ)a 与b 同向共线,a +b ,见图(3). (ⅱ)a 与b 反向共线, |a |<|b |,a +b ,见图(4); |a |=|b |,a +b ,见图(5); |a |>|b |,a +b ,见图(6). 变式提升 1如图所示,向量AB +BC +CD +DE +EF =________.解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即. 答案: 温馨提示更一般地,n n n A A A A A A A A A A 14131211-++++=Λ.特别地当A 1和A n 重合时,n n A A A A A A 13221-+++ΛΛ=0.二、向量加法的平行四边形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和.三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法.但在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,可用向量加法的平行四边形法则.【例2】 两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上,其中F 1=40 N,方向向东,F 2=30 N,方向向北,求它们的合力.解：如图,OA 表示F 1,OB 表示F 2. 以OA,OB 为邻边作ABCD,则OC 表示合力F .在Rt△OAC 中,|OA |=|F 1|=40,|AC |=|OB |=|F 2|=30. 由勾股定理,得|F |=|OC |=22223040||||+=+AC OA =50.设合力F 与F 1的夹角为θ, 则tanθ=43||||||||12==F F OA AC =0.75. 所以θ≈37°.所以合力大小为50 N,方向为北偏东53°. 类题演练 2已知向量a 、b (如图),求作a +b .思路分析:在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点,然后把两个向量平移,使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合.解:在平面内任取一点O,如图,作OA =a ,B O =b ,则C O =a +b .变式提升 2已知|a |=6,|b |=8,且|a+b |=|a -b |,求|a -b |.思路分析:从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征.解:如图,设||=a ,||=b ,以AB,AD 为邻边作ABCD,则AC =a +b ,DB =a -b . ∵|a +b |=|a -b |, 即|AC |=|DB |, ∴ABCD 为矩形,故AD⊥AB.在Rt△DAB 中,||=6,||=8, 由勾股定理,得|222286||||||+=+=AD AB =10.∴|a +b |=|a -b |=10.三、向量加法的运算性质(1)对于零向量与任一向量a 的和有a +0=0+a =a . (2)向量加法的交换律:a+b =b +a .(3)向量加法的结合律:(a +b )+c =a +(b +c ).(4)三角形不等式:对于任意两个向量a ,b ,都有||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |.注意:(1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A 出发先位移向量a ,接着再位移向量b 与先位移向量b 再位移向量a 一定会达到同一终边C.这也就说明了向量加法交换律成立.(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了. 【例3】 化简: (1)+; (2)BC CD DB ++;(3)FA BC CD DF AB ++++. 解:(1)=+=+.(2)+=++=++)(=0.或+=++=++=++)()(=0. (3)FA DF CD BC AB FA BC CD DF AB ++++=++++FA AF FA DF AD FA DF CD AC +=++=+++==0.类题演练 3如图所示,已知△ABC 中,D,E,F 分别是BC,CA,AB 的中点,且AD 与BE 交于O 点.求 证:++=0.思路分析:解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质,把题目变形后求得. 证明:BD AB AD +=, 又CD AC AD +=,∴AC AB CD BD AC AB AD +=+++=2, 同理,可证BA BC BE +=2,CB CA CF +=2, ∴)(21CB CA BA BC AC AB CF BE AD +++++=++=0. 变式提升 3 下列命题:①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反,那么a +b 的方向必与a ,b 之一的方向相同; ②△ABC 中,必有CA BC AB ++=0;③若CA BC AB ++=0,则A,B,C 为一个三角形的三个顶点; ④若a ,b 均为非零向量,则|a +b |与|a |+|b |一定相等. 其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3 解析:①假命题.当a +b =0时,命题不成立. ②真命题.③假命题.当A,B,C 三点共线时也可以有CA BC AB ++=0. ④假命题.只有当a 与b 同向时相等,其他情况均为|a |+|b |>|a +b |. 答案:B【例4】 已知A,B,C 是不共线的三点,G 是△ABC 内一点,若GC GB GA ++=0,求证:G 是△ABC 的重心.证明：如图所示,因为GC GB GA ++=0, 所以)(GC GB GA +-=.以GB ,GC 为邻边作平行四边形BGCD, 则有GD =GB +GC , 所以GD =GA -. 又因为在BGCD 中,BC 交GD 于点E,所以ED GE EC BE ==,. 所以AE 是△ABC 的边BC 的中线, 且|GA |=2|GE |.所以G 是△ABC 的重心. 温馨提示(1)解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义;(2)把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.通过本例题知,若G 为△ABC 的重心,则有GA +GB +GC =0.类题演练 4在重300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子的拉力大小.解:作OACB,如图所示,使∠AOC=30°,∠BOC=60°, 在△AOC 中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.||=||cos30°=3150(N), |AC |=|OC |sin30°=150(N). |OB |=|AC |=150(N),∴与铅垂线成30°角的绳子拉力是3150 N,与铅垂线成60°角的绳子拉力是150 N. 变式提升 4用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平形四边形.已知:如图所示,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于O,且AO=OC,DO=OB. 求证:ABCD 是平行四边形.证明:根据向量加法的三角形法则, 有OC DO DC OB AO AB +=+=,. 又∵=∴==,. ∴AB 与DC 平行且相等. ∴ABCD 为平行四边形.。
导学案2：2.1.2 向量的加法
必修四第二章平面向量2．1. 2向量的加法使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：向量加法的定义及几何意义。
学习难点：向量加法的定义及几何意义学习过程一．自学目标向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足 律和 律．二.合作探讨如何理解向量加法的定义及几何意义巩固练习1．设O 为原点，(3,1),(1,2),,,OA OB OC OB BC OA ==-⊥试求满足OD OA OC +=的OD 的坐标．2．设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量122a e e =+和1232b e e =-+的夹角．3．已知|| 5.6,|| 4.2,AC BC AC ==与AB 的夹角为40°，求AC AB -与CB 的夹角||BC AC -（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．个人收获与问题知识：方法：我的问题：答案：巩固练习1.(11,6)OD 坐标为2.θ＝120°．3. ||BC AC =6.453。
数学人教B版必修4：2.1向量的加法 导学案 Word版缺答案
§2.1.2向量的加法（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：一、新知导学1.已知向量a ，b 在平面上任取一点A ，作AB = ，BC =，再作向量AC ，则向量 叫做a 与b 的和（或 ），记作 ，即a +b =AB +BC =AC ，上述求两个向量和的作用法则，叫做向量求和的 法则。
2.已知向量a ，b ，分别用三角形 法则和平行四边形法则做出a +b 。
3.用向量求和的多边形法则做出a +b +c +d4.当a 与b 同向时，|a +b | |a |+|b |；不共线时，|a +b | |a |+|b |，反向时，|a +b | |b |-|a |（|b |>|a |）5.向量加法的运算律（1）交换律：_________________；(2)结合律：____________________ 二、课前自测1、在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，则（ ）A 、ABCD 一定是矩形B 、ABCD 一定是菱形C 、ABCD 一定是正方形 D 、ABCD 一定是平行四边形2、如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ） A 、,AB CD BC AD == B 、AD OD DA += C 、AO OD AC CD +=+ D 、AB BC CD DA ++=a babcd：化简下列各式： ）AB CD BC ++；（2）()()MA BN AC CB +++； ）()AB BD CA DC +++. 如图所示，AB BC CD DE EF FA +++++=（ 、0 C 、2AD D 、-2AD 如图，梯形ABCD 中，，则OA AB BC ++= ()()AB MB BO BC OM ++++等于（ ） 、BC 、AB 、AC 、AM向量a 、b 是非零向量，下列说法错误的是（、向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则a +b 与a 同向 、向量a 与b 同向，且|a |<|b |，则a +b 与a 同向、向量a 与b 同向，则a +b 与a 同向 D 、向量a 与b 反向，则a +b 与a 反向 ①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么，a +b 的方向必与a 、b 中，必有0AB BC CA ++=； ③若0AB BC CA ++=，则A 、为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_17
2.1.2向量的加法一、教材分析向量的加法是《普通高中课程标准试验书》人教B版必修4第二章2.1.2的内容，设置为1课时.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它最突出的特色是对它可以实施运算，而向量的加法正是运算中最基本的运算，它为后续学习向量减法、数乘向量以及平面向量基本定理等知识奠定了基础，并在选修2-1空间向量有普遍的应用.所以本课对“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位，起着承上启下的重要作用.向量的加法具有很好的“化繁为简”的特性，利用求和法则，既能使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又使得学生能从繁琐的问题中快速解脱出来.加法运算教材主要体现的是符号语言运算和图形语言运算两种，不同求和法则在解题的通用性和有效性上略有异同.教材在对培养学生逻辑思维和形象思维相互转化的能力和提高学生应用意识、创新意识方面有着重大的意义，同时渗透了分类讨论、从特殊到一般，类比推理、归纳等数学思想方法.二、学情分析1、知识储备：由于之前物理已学过力、速度、位移等矢量的合成和分解，因此学生对向量加法的学习已具有一定的基础.2、学生情况：我所任教的班级是年级的平行班，学生的思维方式和思维水平差异较大，多数学生能主动参与小组的研究和讨论，少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动，且在知识细节的处理上略微粗糙.根据上述分析，制定如下教学目标和重点难点.三、教学目标1、知识与技能：①理解向量加法的定义及其几何意义，能灵活运用向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量求和的多边形法进行运算.②会用向量加法的交换律和结合律简化过程，能够利用向量的符号语言和图形语言两种方式进行加法运算.③会用向量方法处理简单的物理问题.2、过程与方法：①经历概念的形成过程，培养学生用运动变化的位移观点理解向量，并将实例通过建模抽象为向量符号语言的能力；培养学生观察、抽象的能力，提高学生形象思维（几何图形）与逻辑思维（数学符号）相互转化的能力.②经历运算律证明的过程，提高学生的推理论证能力，培养学生对分类讨论、从特殊到一般、类比推理、归纳的数学思想方法的运用.③通过例题的训练，提高学生应用向量理解问题，解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：①通过实例，体会向量在解决数学问题和实际问题中的工具作用.②通过本节课的学习，感知引入向量解题的简单美和结构美,提升数学学习的幸福感，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.四、教学重点和难点学的重点：掌握向量加法的法则，加法运算时时法则的选取.学的难点：向量加法的三角形法则的定义，反向共线向量和的运算.教的重点：向量求和法则的区别和联系.教的难点: 向量的图形语言和符号语言进行加法运算.五、学法、教法及教学用具1、学法：a b +（1）合作学习：学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题，培养学生团队合作意识，和竞争意识. （2）自主学习：引导学生通过独立思考，亲身经历，动口、动脑、动手主动参与到教学中. （3）探究学习；引导学生发挥主观能动性，主动探索新知，掌握认识和解决问题的方法和步骤. 2、教法：本着“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想.教法采用“创设情境，引入新课——合作探究，层层剖析——典例剖析，成果展示——归纳小结，内化知识——布置作业，能力提升”的教学模式.把位移放在新鲜好奇的情境中，引出向量加法，激发学生学习的兴趣，拓展学生的视野.通过设问的方式，对加量求和的概念层层设疑，进行剖析，引导学生合作探究，互帮互助，充分调动学生的积极性.通过适当引导，学生对例题进行自主探究，懂得发现和应用解题技巧，展示学生的解题过程，规范解题步骤．教学中突出位移对向量加法的重要地位，突出向量的工具性特点，和应用的广泛性.培养学生的解题能力，提高解题速度，发现向量加法的的简单美和结构美，最后让学生独立概括总结向量加法的法则间的不同和相同之处. 3、教学用具：《向量的加法》学案、多媒体课件、投影仪 六、教学过程 我们发现向量之间也能像数与式那样进行加法计算的符号表达式 abBabba向量加法的三角形法则的和（或和向量），记作a b +BC AC +=强调“任取”的意义，分层加深理解法则内涵. (1) 适合对象 ，作出向量①向量加法的三角形法则具有“任意性”.0a +=?谈谈你的看法教a b bab量求和的平行四边形法则的作图法则. 符号语言：AB AD+A的向量AC a b=+.(1)适合对象符号语言行四边形法则，强念ab a b +Ba b a b +① 除了具有交换律还有结合律呢？：向量加法满足结合律AB AD CD ++= AC BA DA ++= ba ab c++=DE CD AC+++AB ED DB BE：某人先位移向量a：“向东走”,求a b+. 课堂总结。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_11
《向量加法运算及其几何意义》教学设计教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．一、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．二、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．三、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节：一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，活动设计：学生参与讨论来看一个问题：在两岸通航之前，要从北京到达台湾，我们需要从北京乘飞机抵达香港，然后转机才能到达，如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大量的时间和金钱．从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和．同学们，请思考问题1：【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的——向量．那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：二、实践探究 总结规律我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，我深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的障碍，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案：生：“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．此时，教师鼓励学生自己给出定义：加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，a b a b a b OA B作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b O A A B O +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平行四边形法则．我创设了情景：“观察小猴过河的动画短片”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？生：是平移两个向量至共起点．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切． 完成了这个探究，接着，我进入第三个环节．三、 类比联想 探究性质首先我设计了问题5：【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论．活动设计：师生探究、课件演示通过和实数加法性质进行类比，学生很容易得出向量加法的性质，对于交换律的验证我让学生通过画图自己动手验证，而对于结合律的验证，则由师生借助于多媒体共同完成． )()c a b c +=++至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：四、 数学运用 深化认识在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念： 例1：如图，已知a 、b ，作出a b +通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．例2：根据图示填空（1）a b +=； （2）c d += ；（3）a d b ++= ；（4）DE CD AC ++= ；（5）AB BC CD DE +++= ．在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n 个向量相加的形式．即n n n A A A A A A A A A A 01322110=++++-例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A 点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）（2） 求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）五、 回顾反思 拓展延伸本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：课堂小结：【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？ab b a a b新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．作业布置：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．（1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？。
人教版高中必修4(B版)2.1.2向量的加法教学设计
人教版高中必修4(B版)2.1.2向量的加法教学设计一、教学目标1.理解向量的概念和表示方法。
2.掌握向量的加法及其性质。
3.熟练运用向量的加法求解几何问题。
二、教学重难点1.向量的加法概念和表示方法。
2.证明向量的加法满足交换律、结合律和分配律。
3.运用向量的加法解决几何问题。
三、教学过程设计1. 概念理解1.引入向量的概念，引导学生讨论向量的定义和特点。
2.通过多媒体演示向量的表示方法，包括数列表示法、有向线段表示法和坐标表示法。
3.通过例题引导学生了解向量的模长和方向。
2. 向量的加法1.引入向量的加法概念，讲解向量和向量相加的方法，及其性质。
2.通过多媒体演示向量的加法计算方法和几何意义。
3.引导学生进行加法计算，检查答案。
4.证明向量的加法满足交换律、结合律和分配律。
3. 运用向量的加法解决几何问题1.引例说明如何利用向量的加法解决几何问题，如求线段的中点、判断三角形的中线和角平分线。
2.给学生几道练习题，让他们运用向量的加法解决几何问题，加深对向量的认识和理解。
4. 拓展应用1.引导学生思考向量在实际生活和工作中的应用，如向量的力学应用、向量的图形变换应用等。
2.给学生提供相关阅读资料，深入理解向量的应用。
四、教学方法1.讲授法：通过多媒体和示范讲解，帮助学生理解向量和向量的加法及其应用。
2.引导探究法：通过提问和讨论，引导学生主动参与探究和学习，提高学生的思维能力和创新能力。
3.实践演练法：通过大量的练习，巩固学生的学习成果，提高学生的解决问题的能力。
五、教学评估1.开展小组活动和竞赛，激发学生的学习积极性和合作精神。
2.定期进行课堂小测和作业评估，及时发现学生的学习问题，调整教学内容和方法。
3.鼓励学生自主学习，提高他们的学习兴趣和自我评估能力。
六、教学反思向量是高中数学中比较抽象的概念之一，学生在学习过程中往往难以理解和掌握。
本次教学我采取了多媒体与示范讲解、引导探究和实践演练等多种教学方法，充分调动学生的积极性和主动性，培养了他们的思维能力和创新能力，教学效果较好。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_4
深化认识 实际应用问题：
学生自主练习
在实际 生活中，抽 象、识别出 向量加法的 模型，通过 对应用题的 讨论，拉近
一艘船从 A 点出发，以 2 3km/ h
了学生和抽
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同 学 生 板 演 并 讲 象的数学知
解
时河水以 2km/ h 的速度向东流，求船
识之间的距
实际航行速度的大小与方向？
探究：向量加法的平行四边形法则
独思共议、 总结法则
类比位移的合 成学生小组讨 论力的合成带 来的启发
力的合成体现 了“共起点” 的两个向量如 何相加；学生 在具体、直观 的问题中观 察、体验，形 成对向量加法 概念的感性认 识，为突破难 点奠定基础。
三个力的关系：F1+F2=F 思考：类比位移的合成看成向量的加
必做：P85A2,3；
选做：P86B2,3；
布置作业
拓展探究： 1.在三角形 ABC 中，若平面内一点
G 满足 AG BG CG 0 ，则 G 为
三角形 ABC 的重心。
2．比较 a b ， a b 和 a b 的
大小关系？
在布置 作业环节中， 使不同层次 的学生都可 以获得成功 的喜悦，看到 自己的潜能， 从而激发学 生饱满的学 习兴趣．
C
教师归纳总结 向量加法的三 角形法则
合成体现了 “首尾相接” 的两个向量如 何相加；学生 在具体、直观 的问题中观
察、体验，形
A
B
成对向量加法 概念的感性认
向量表示： AB BC AC 独思共议、 口诀：首尾相接，首尾连 总结法则 做法：在平面任取一个点 A 做 AB=a
教师带领学生 一起画不共线 的两个向量求 和向量
高中数学人教B版必修4 2.1 教学设计 《向量的加法》(人教B版)
《向量的加法》◆教材分析向量加法这一节主要是讲了向量加法所满足的法则以及规律，主要包括：向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量加法的交换律和结合律。
并通过图形的方式加以验证，使学习者的印象更为深刻，也为做题中的应用打好了铺垫。
◆教学目标【知识与能力目标】1.理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律；2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和。
【过程与方法能力目标】1.通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力；2.培养分析问题解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过学习向量的加法，并与以往所学的普通加法进行对比，找出异同，提高学生归纳总结的能力。
【教学重点】 向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量加法的交换律和结合律。
【教学难点】对平面几何向量加法图形的讲述。
多媒体课件。
一、温故而知新对上节课所学知识进行复习师生之间一问一答形式进行，增强课堂氛围。
向量的含义是什么？既有大小又有方向的量向量的大小叫做向量的长度（或模）判断：零向量的方向是任意的 是正确的长度等于1的向量叫做单位向量二、新课导入小学的时候我们就已经学习了加减法运算，那么，向量是否也可以进行运算呢？如果可以，又将遵循设呢运算法则呢？（设问，为后面要讲述的内容埋下伏笔）由于2006年大陆和台湾没有直航，因此当年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少？（以题带点）三、探求新知1.已知向量a ⃗,b ⃗⃗，在平面上任取一点A ，记作AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，再做向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫作a ⃗与b ⃗⃗的和（或和向量），记作a ⃗+b ⃗⃗，即a ⃗+b⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即向量求和三角法则，要点：尾首相连，首位相连。
2.用图讲解如何求两个平行向量的和，对于零向量与任一向量a ⃗的和有：a ⃗+0=0+a ⃗=a ⃗3.向量加法的交换律：已知不共线向量a ⃗，b ⃗⃗，作出a ⃗+b ⃗⃗和b ⃗⃗+a ⃗，作图可知：a ⃗+b ⃗⃗=b ⃗⃗+a ⃗4.习题：在平面内任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗◆教学重难点 ◆ ◆课前准备◆ ◆教学过程。
人教B版高一数学必修四导学案：2.1.2.向量的加法
2.1.2向量的加法教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B C A B C A B C２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + →0= →0 + a３．例1、已知向量、，求作向量+练习：已知向量a 、b ，求作向量a +b（1）a（2）（3）abA BC a +b a +baa bb a ｂ ｂａa ab探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？（2）当向量与不共线时，|+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，当向量a与b不共线时，a，b，a+b的方向不同，且|a+b|<|a|+|b|；当向量与共线时，①当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|a+b|=|b|-|a|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加４．加法的交换律和平行四边形法则已知向量、，求作向量+，+问题：上题中+的结果与+是否相同？从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。
高中数学人教B版必修四学案：2.1.2 向量的加法
2.1.2 向量的加法[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答 不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).要点一 向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.(3)▱ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O . 则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A → ＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式： (1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二 利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形． 证明 ∵AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系． 跟踪演练2 下列命题①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 三点可能共线，③错误．④错误．要点三 向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝ |AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答． 跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km /h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度． 设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°， ∴小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反 答案 A解析 a ∥b 且|a |>|b |>0，∴当a 、b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a 、b 反向时，∵|a |>|b |，∴a ＋b 的方向仍与a 相同． 2．下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③ 答案 B解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确．DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确． 3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式： (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．。
高中数学(人教B版)必修四导学案：2.1.3 向量加法 Word版缺答案
2.1.3课题：向量的加法 (自学自测)【学习目标】1.弄清楚向量加法的定义，知道向量加法满足哪些运算律；2.会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量以及多个向量的和向量。
【学习重点】向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
【学习难点】向量加法定义的理解。
【自主学习】学习教材80-84页，完成下列问题。
问题1：如图，游艇先从景点O航行到景点A，所得位移为OA，接着从景点A航行到景点B，所得位移为AB，两次航行的位移之和为 ______ ，这三个向量之间有什么关系？问题2：平面向量的三角形法则是什么？用三角形法则作和向量时应注意什么？思考后完成下列题目：①如图1，请分别作出向a和b的和；++++=；②如图2，求AB BC CD DE EF?AB BC CA= 。
③三角形ABC中++问题3：平面向量的平行四边形法则是什么？用平行四边形法则作和向量时应注意什么？思考后完成下列题目：+吗？①如图，你能用平行四边形法则作出a b②知O为平行四边形ABCD的对角线交点，则下面结论中正确的有（1）.+=AB CB AC （2）AB D +=A AC（3）.+=AD CD BD （4）AO CO OB OD +++≠2.1.3课题：向量的加法 (自研自悟)例1：向量的加法满足哪些运算律？你能通过作图证明他们吗？交换律 结合律例2：用向量求和的多边形法则计算：（1）+++OA AB BC CD = （2）+++AB MB BO OM = 例3 正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++___(自练自提)1．AB CA BD ++＝（）A ．B ．C ．D ． 2．已知ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是（ ） A AB BC CA += B．AB AC BC+=C．AC BA AD+=D ．AC AD DC +=3．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC AD DC +++为（）A ．1B ．2C ．3D ．224．若O 是正方形ABCD 的中心，则AB +CB +OD 表示的向量是（）A ．B ．C ．D ．A(选做部分)1．一艘船从A 点出发以3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶的速度大小为2km/h ，则河水流速的大小为。
人教版高中数学必修四导学案：2.1.2向量的加法 Word版
普兰店市第一高一年级数学导学案§2.1.2向量的加法编制人：刘莹 校对：刘莹 2015.4.3学习目标1. 掌握向量加法的定义.2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算.重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法定义的理解活动一：知识回顾向量的定义，共线向量，零向量活动二：自主学习1、如何求a 与b 的和？2、向量的加法： 叫做向量的加法。
规定：零向量与任一向量a ，都有 ．活动三：合作探究1、向量加法的法则：（1）三角形法则： 的方法，称为向量加法的三角形法则。
（2）什么是平行四边形法则？2、向量的运算律：（用向量表示） 交换律：结合律：活动四：1已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++32AB BC CA =2、在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是1）+=AB BC CA 2）+=AB AC BC3）+=AC BA AD 4）+=AC AD DC3、已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则++||a b c =4、当向量a 与b _______________________时，+=+||||||a b a b ;当向量a 与b _______________________时，+=-||||||a b a b ; 当向量a 与b _______________________时，+=-||||||a b b a ; 当向量a ，b 不共线时，+||a b _______________-||||a b ;同理:+||a b _____ _________b a +。
5、向量a ，b 皆为非零向量，下列说法正确的是 .1）．向量a 与b 反向，且>||||a b ，则向量+a b 的方向与a 的方向相同. 2）．向量a 与b 反向，且>||||a b ，则向量方向相同. 3）．向量a 与b 同向，则向量+a b 与a 的的方向相同.4）．向量a 与b 同向，则向量+a b 与b 的方向相同.作业：P85练习A,B。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_2
§2.1.2《向量的加法》【学习目标】1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．2．能正确表述向量加法的交换律和结合律，并能运用它们进行向量的加法运算． 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.【学法指导】1.重点是理解向量加法的定义．2.弄清数的加法、减法与向量加法、减法的联系及区别．【预习案】1．向量的加法 (1)向量求和的法则①三角形法则：已知非零向量a 、b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量_____叫做a 与b 的和(或和向量)，记作______，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .②平行四边形法则：已知两个不共线向量a ，b .作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以_____，_____为邻边作_________________，则对角线上的向量AC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．③多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量__________，以第一个向量的始点为_____，第n 个向量的终点为_____的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． (2)向量加法的运算律 ①交换律：a ＋b ＝_____ ②结合律：a ＋b ＋c ＝_______＋c ＝a ＋_______【课中案】要点一 利用已知向量求作和向量 例1. 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b +c .要点二 利用已知向量表示其他向量 例2.已知从点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为a ，b ，c ，则向量OD →等于__________． 变式2.如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →；(2)用b ，c 表示DB →；(3)用a ，b ，e 表示EC →；(4)用c ，d 表示向量EC →.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.1.2 向量的加法》9
《向量加法》教学设计一．授课教师：刘丽荣高一5班教学内容和内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教B版必修4第二章《平面向量》第一节《平面向量的线性运算》的第二课时，内容是向量加法。
向量是数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的桥梁。
向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力两个物理模型为背景引入的，主要内容是向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
教科书从几何角度具体给出了通过两个法则作两个向量和的方法，介绍了向量加法满足的运算率，最后举例说明生活中有向量，生活中用向量。
向量加法运算是学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试，学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
因此，本节的教学重点是掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算率。
二．教学目标和目标分析（一教学目标1掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和以及向量加法的运算律。
2理解向量加法及其几何意义。
3通过类比、观察、归纳等方法提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（二）教学目标分析1用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量时，体会在平面内任取一点O的依据，它体现了向量起点的任意性，用平行四边形法则作图时强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连。
2通过对向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其几何意义。
3从位移的合成、力的合成总结出向量加法法则；从向量的大小与方向探究出向量加法性质；从实数加法的运算律类比向量加法的运算律。
三．教学问题诊断分析本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑惑和困难：1对三角形法则的理解，尤其是方向相反的两个向量的加法。
2.在实际生活中，抽象、识别出向量加法的模型。
为此在教学中，让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。
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学习目标
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解
决问题的能力； 一、※课前准备
（预习教材80页~83页，找出疑惑之处） 二、※新课导学： 1，回答以下问题
（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和： AB BC +=
（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和： AB BC += （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和： AB BC += 2、两个加法法则
已知非零向量a 和b ，做出a b + （1）三角形法则：（2）平行四边形法则
规定：对于零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=． 3、 加法交换律和加法结合律（证明）
（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c = 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
三、※典型例题
1、 已知在平行四边形ABCD 中,AB CA BD ++=__________.
2、 在矩形ABCD 中，31AB BC =
=，，则向量()
AB AD AC ++的长度等于（ ）
3、 化简向量AB DF CD BC FA ++++= .
A B
C
A B C
O
a
a
b
b
a
ｂ
4、已知||8,||6a b ==，||a b +的最大值和最小值分别为
5、 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，
则飞行的路程为；两次位移的和的方向为北偏东45， 大小为 千米．
四、※当堂检测：
1、已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中不正确的是( )
A.AB CB AC +=
B. AB AD AC +=
C. AD CD BD +=
D.0AO CO OB OD +++= 2、已知正方形的边长为1，,,,AB a AC b BC c ===则a b c ++=（）
A 、0
B 、3
C 、2
D 、22 3、设点O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，则必有（） A 、点O 是△ABC 的垂心 B 、点O 是△ABC 的外心 C 、点O 是△ABC 的重心 D 、点O 是△ABC 的内心 4、已知梯形ABCD ，AD//BC,O 为对角线交点，则OA +AB +BC = 5、在四边形ABCD 中，AB AD AC +=，则此四边形肯定为 形。
6、向量,a b 满足4,8a b ==，则a b +的最大值和最小值分别为_____________。
7、当,a b 满足________时，a b a b +=+,不共线的两个向量,a b 满足________，a b +平分,a b 之间的夹角。
8、已知平行四边形ABCD 中，,AB a AD b ==，试用,a b 表示,,,CD CB BD CA
五、※课后反思：学习本节课，你有何收获，记下来。
B C
A。