第7章质点动力学
第7章_理想流体动力学基本方程
④列动量方程求解。
Fx p1A1 p2 A2 cos Rx Qv2x v1x
Fy p2 A2 sin Ry Q v2y v1y
Fx p1A1 p2 A2 cos Rx Qv2 cos v1
Fy p2 A2 sin Ry Qv2 sin 0
Rx p1A1 p2 A2 cos Qv2 cos v1
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质点系的动量定理：
系统的动量对时间的变化率等于作
第7章 理想流体动力学动量方程
粘性流体：实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
主要内容
过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体
Fx Q(2v2x 1v1x ) Fy Q(2v2 y 1v1y ) Fz Q(2v2z 1v1z )
④当沿程有分流和汇流时：
Fx (3Q3v3x 2Q2v2x 1Q1v1x ) Fy (3Q3v3y 2Q2v2 y 1Q1v1y ) Fz (3Q3v3z 2Q2v2z 1Q1v1z )
对1-1，2-2断面列伯努利方程
p1 v12 p2 v22
g 2g g 2g
v1 1.42m / s v2 3.18m / s
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
流体力学_第7章_不可压缩流体动力学基础
（3）涡线微分方程 对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与 涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。 取一微分段
ds
，微分段在空间坐标上的分
量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。
即
dx
x
dy
y
dz
z
（7-2-6）
式（7-2-6）为涡线微分方程。
（四）涡通量 微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相等的,
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ) z ( 2 x y
2 x i y j z k
涡量是空间坐标和时间的矢性
流体质点运动表达式
u x u x 0 x dx z dy y dz z dy y dz u y u y 0 y dy x dz z dx x dz z dx u z u z 0 z dz y dx x dy y dx x dy
1 p dx )dydz （前）( p 2 x
沿x方向的质量力:
1 p ( dx )dydz （后） p 2 x
Xdxdydz
欧拉运动微分方程（推导）
1 p dux X x dt 1 p duy Y y dt 1 p duz Z z dt
s s
切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正
值，反之为负。
（一）斯托克斯定理 斯托克斯公式：
u ds (u dx u dy u dz)
s s x y z
u z u y u x u z u x u y ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy A z z x y x y
第七章 刚体力学
i
rc
mi ri
i
即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
质点系的质心
o惯性系r j
mj fj
2、过程中包括的质点不变
二、 质心（center of mass）
质点系的质心，是一个以质量为权重取平均
的特殊点。
1、质心的位置
NN
rc
m i ri
i1 N
mi
m i ri
i1
M
i1
质点系 mi
ri c质心
rc
o
上式的分量形式:
xc
mi xi
i
M
mi yi
mivix 常量
i
miviy 常量
i
miviz 常量
i
if Fix 0
i
if Fiy 0
i
if Fiz 0
i
（4）反冲运动中的动量守恒
（5）动量守恒律在近代物理学中的意义
物理学家对动量守恒定律具有充分信心。
20世纪初发现原子核
的衰变
实验表明，这个过程 能量不守恒 动量不守恒
三、动量守恒定律
i
i
合外力的冲量
= 质点系动量的增量。
与内力无关。
二、动量守恒定律
若质点系 Fi 0
则 P
i
mivi con. s
i
即：若质点系所受合外力
为零，其动量守恒。
讨论：
（1）内力不会影响系统的总动量 ，但可使系统内的动量一个质点 转移到另一个质点。
（2）动量守恒律是牛顿第二、三 定律的直接结果；是空间平移不 变性的物理表现。
三、能量守恒定律
对于一个不受外界作用的 孤立系统，无论其内部经历任 何变化，该系统所有能量的总 和不变。能量只能从一种形式 转化为另一种形式，或从系统 内一个物体传给另一个物体。
《大学物理教学资料》大物复习资料.doc
总加速度:1 .牛顿第一定律：当豆外=0时, V =怛矢量O2 .牛顿第二定律：F = ma =m— dtdPdt期末考试说明第1章质点运动学9分，重点：求导法和积分法，圆周运动切向加速度和法向加速度；第2章质点动力学3分，重点：动量定理、动能定理、变力做功；第3章刚体6分，重点：转动定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律；第5章振动17分，重点：旋转矢量法、振动方程、速度方程、加速度方程、振动能量、振动合成。
第6章波动14分，重点：波动方程以及波动方程的三层物理意义、相位差与波程差的关系；大学物理1期末复习提纲第一•章质点运动学主要公式：1.质点运动方程(位矢方程)：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k(x = x(t)参数方程：y = y(f) T消去f得轨迹方程。
Z — Z(02.速度：v =K,加速度：a = ^dt dt3.平均速度—Ar:V =——，平均加速度：5 =—4.角速度:口 =岑，5.线速度与角速度关系：v 角加速度：/3(a)=—dt =0)r6.切向加速度：a T = — = r(3 ,dt ra =』a；第二章质点动力学主要公式：3.牛顿第三定律(作用力和反作用力定律)：F = -F^4.动量定理：I = \ 2 F dt = mAv = m(v2~v{) = AP5.动量守恒定律：当合外力理外力=O,AP = Ocx口16 动能定理：W= -dx = \E k =-m（v22-vf）J*】口 27.机械能守恒定律：当只有保守内力做功时，AE =08.力矩：M = rxF大小：M = Fr sin 0方向：右手螺旋，沿了x产的方向。
9.角动量：L = rxP大小：L = mvr sin 3方向：右手螺旋，沿rxP的方向。
淤质点间发生碰撞：完全弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒。
完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能不守恒，且具有共同末速度。
一般的非弹性碰撞：动量守恒，机械能不守恒。
第7章-基本动力学过程-扩散
C 2 C x J x ( D x x 2 ) 6 . 5 5 7 1 1 2 0 m 1 m 7 m 2 / s 3 . 0 5 1 0 1 6 个 / m 3
cx=2.5×1023个/m3
C2=Cx−3.05×10H16≈2.5×1023个/m3
25
7.6在钢棒的表面，每20个铁的晶胞中含有一个碳原子，在离表面1mm处每30个铁的晶胞 中含有一个碳原子，知铁为面心立方结构(a=0.365nm),1000 ℃时碳的扩散系数为3×101m2／s ，求每分钟内因扩散通过单位晶胞的碳原子数是多少 ?
7 基本动力学过程—扩散
此章以前是本书的重点，此章以后是本书的难点！
重点内容： 1、固体中质点扩散的特点和扩散动力学方程：扩散第一、第二定律、 扩散方程的求解； 2、扩散驱动力及扩散机制：间隙扩散、置换扩散、空位扩散； 3、扩散系数、扩散激活能、影响扩散的因素。
H
1
§7.1 概述
（1）扩散的概念： 指当物质内有梯度（化学位、浓度、应力梯度等）存在时，由于热运动而导 致的质点定向迁移。
✓ Fick第一、第二定律均表明， 扩散使得体系均匀化，平衡化。
H
19
§7.3 菲克定律的应用
在扩散系统中，若对于任一体积元，在任一时刻注入的物质量与流出的 物质量相等，即任一点的浓度不随时间而变化，即：
C 0 t
，则称这种状态为稳态扩散。
涉及扩散的实际问题有两类：
一、求解通过某一曲面（如平面、柱面、球面等）的通量J，以解决单位时间通过该 面的物质流量；
（2）晶体中原子或离子依一定方式所堆积成的结构有一定的对称性和周期性，限 制着质点第一步迁移的方向和自由行程。迁移的自由程则相当于晶格常数大小， 且质点扩散往往具有各向异性，其扩散速率也远低于流体中的情况。
(教参)第7章专题九 带电粒子在电场中运动的综合问题含解析
专题九 带电粒子在电场中运动的综合问题考点一 带电粒子在交变电场中的运动考法① 直线运动问题如图甲所示，两平行正对的金属板A 、B 间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处。
若在t 0时刻释放该粒子，粒子会时而向A 板运动，时而向B 板运动，并最终打在A 板上。
则t 0可能属于的时间段是( )A ．0<t 0<T4B.T 2<t 0<3T 4C.3T4<t 0<T D.T <t 0<9T 8B [设粒子的速度方向、位移方向均以向右为正。
依题意得，粒子的速度方向时而为负，时而为正，最终打在A 板上时位移为负，速度方向为负。
作出t 0＝0、T 4、T 2、3T4时粒子运动的速度—时间图象，如图所示。
由于v -t 图线与t 轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象可知0<t 0<T 4、3T4<t 0<T 时释放的粒子在一个周期内的总位移大于零；T 4<t 0<3T4时释放的粒子在一个周期内的总位移小于零；因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零。
分析各选项可知只有B 正确。
]考法② 偏转运动问题如图甲所示，A 、B 为两块相距很近的平行金属板，A 、B 间电压为U AB ＝－U 0，紧贴A 板有一电子源，不停地飘出质量为m ，带电荷量为e 的电子(初速度可视为0)。
在B 板右侧两块平行金属板M 、N 间加有如图乙所示的电压，电压变化的周期T ＝Lm2eU 0，板间中线与电子源在同一水平线上。
已知金属板M 、N 间距为d ，极板长为L ，距偏转极板右边缘s 处有荧光屏，求：(1)电子进入偏转极板时的速度；(2)T4时刻沿中线射入偏转极板间的电子刚射出偏转极板时与板间中线的距离(未与极板接触)。
解析：(1)设电子进入偏转极板时的速度为v，由动能定理有eU0＝12m v2解得v＝2eU0m。
大学物理：第一章 质点运动学-位矢、速度和加速度
7
2) 质点
2)质点 在某些问题中，物体形状 和大小可忽略，可看成一个只有 质量、没有大小和形状的点。
2.质点位置和运动描述
1)质点的位置和位置矢量
它的位置还可以用从参考点O到 质点所在位置的有向线段来表示
质点的
位矢
位置矢量 r op 矢径
坐标系中，质点P的位置
由三个坐标 x、y、z 确定
z
z
质点P
第2节
位移和速度
Displacement and Velocity
§1.2 位移和速度 1. 位移
1.位移
位置的变化 r p1p2
位移 矢量
r r (t t) r (t)
大小 r ：P1P2间直线距离
方向：由 P1 P2
注意 r r r(t t) r(t)
路程 一般
S
S
： P1Pr2，间但曲d线S距离d，r 标量
r r(t)
质点在空间运动时，位置 矢量和坐标均随时间变化
x x(t)
质点运动方程
或
y
y (t )
它们给出任一时刻质点位 置，表示质点的运动规律
z z(t)
f (x, y, z) 0 运动方程，联立消去t 质点轨道方程
y f (x) 轨道是直线的称为直线运动 轨道是曲线的称为曲线运动
11
P1 r s
r (t)
P2
r
O r (t t)
13
2.速度
运动路径
表示质点运动快慢和方向的物理量
1）平均速度
r
P(t1)
r
v r
大小：
t
O
t 方向：r 方向
Q(t2 )
瞬时速度的方向就是
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
理论力学 第7章质点动力学习题解答
1第七章 质点动力学 习题解答7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = 0.8 kN ，如图所示。
求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。
解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式F x m = ，0=ym ，mg z m -= 初始条件为000====t t y x ，3.00==t z ；000====t t z x，v y t ==0 解得质点的速度方程为t mFx= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =，vt y =，3.022+-=t gz 当0=z 时，小球到达xy 平面，由03.022=+-=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为m/s 7.494811===t mFxt t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211-=-==gt z t t . 各坐标为m 2.6122211===t m F x t t ，m 979.111===vt y t t ，m 137.23.02211-=+-==t gz tt .7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。
运动开始时，两物体的高度差为h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。
求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。
解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有TB TA F F =，B A x x -=，B A xx -= 初始条件00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x，00==t B x . 解以上初值问题，得题7-2图题7-2受力图2g m m m m xBA B A A +-= ， ()22gt m m m m x B A BA A +-=g m m m m x B A B A B +--= ， ()h gt m m m m x B A BA B ++--=22令B A x x =，即()()h gt m m m m gt m m m m B A BA B A B A ++--=+-2222解得当两物体达到相同高度时 ()()gm m h m m t B A B A -+=...7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = -k 2m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为β，如图所示。
2020年高中物理讲义(第7章)-库仑定律(附详解)
.内容要求要点解读物质的电结构、电荷守恒Ⅰ不直接命题，可能会渗透到其他模型考查，相对简单。
静电现象的解释Ⅰ低频考点，知道并能合理解释静电现象。
点电荷Ⅰ必考点，但不单独命题，而是把带电体等效为点电荷命题，考查其他核心考点。
库仑定律Ⅱ很少单独命题，往往结合求解场强或带电体的平衡考查。
静电场Ⅰ不单独命题，而是创设静电场场景考查其他核心考点。
电场强度、点电荷的场强Ⅱ高频考点，直接考查或综合考查。
以选择题形式考查场强的计算和叠加，也在力电综合题中结合动力学知识考查，难度较大。
电场线Ⅰ不单独命题，多考查电场线的方向，知道几种典型电场的电场线分布特点。
电势能、电势Ⅰ常考点，选择题和计算题均有考查。
结合电场力做功判断电势能的变化，比较电势的高低，涉及电场力做功和电势能的关系，电势能变化与电势变化的关系，结合动能定理等。
电势差Ⅱ可直接考查，选择题和计算题均可命题，涉及电场力做功和电势差的关系，电势与电势差的关系。
常见电容器Ⅰ低频考点，了解电容器的构造及充、放电过程，知道工作电压和击穿电压。
电容器的电压、电荷量和电容的关系Ⅰ常考点，弄清楚电容的定义式和决定式，知道影响电容的因素，结合场强表达式掌握平行板电容器的两类动态分析：电荷量Q不变型和电压U不变型。
7 库仑定律一、电荷性质及其描述1．电荷（1）物体带电：物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说它带了电，或有了电荷。
（2）两种电荷：正电荷和负电荷，由美国科学家富兰克林命名。
相互作用规律是同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
（3）物体带电的实质：电子的得失。
（4）电荷量：物体带电的多少叫做电荷量，常用符号Q或q表示。
在国际单位制中，电荷量的单位是库仑，简称为库，用符号C表示。
通常正电荷量用正数表示，负电荷量用负数表示。
2．三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电。
（1）摩擦起电本质：摩擦起电时，电荷并没有凭空产生，其本质是电子在相互摩擦的两个物体间发生了转移，所以两个相互摩擦的物体一定是同时带上性质不同的电荷，且电荷量相等。
力学答案——漆安慎,07章
v' = ω r =
vG = v B = ω AB = 10 × 1.5 = 15m / s ，方向指向右下方，与水
平方向成 45º；
2000×2π 60
× 1.5 = 314m / s
⑵桨尖相对地面的速度：v = v '+ v机地 ，飞机相对地面的速度与 螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的， v机地 = 所以， v =
∫
dm
3 L3
∫
ρ0
L
L
0
x 3 dx = 3 4 L
证明：⑴取图示坐标，在坐标 x 处取一线元， dm = 对 y 轴的转动惯量为： dI =
m l
m l
dx ，它
x l/2
x 2 dx ，
-l/2
y dx
⑵ρ =
h −x ρ 0 (1 − L ) = ρ 0 (1 − LL )=
x
整个细杆对 y 轴的转动惯量：
n1 =
0.909 v 2πR
=
0.909×166×103 2×3.14×0.26
= 9.24 × 10 4 rev / h = 1.54 × 10 3 rev / min
7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。 ⑴圆 锥体为匀质；⑵密度为 h 的函数：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0 为正常数。 解：建立图示坐标 o-x,据对称性分析， L 质心必在 x 轴上,在 x 坐标处取一厚为 dx o r a x 2 的质元 dm=ρπr dx，∵r/a=x/L，r=ax/L h ∴ dm=ρπa2x2dx/L2 ⑴圆锥体为匀质，即ρ为常数， 总质量： m = dm =
1 且与杆垂直的轴线的转动惯量等于 12 ml ；⑵用积分法证明：质量 2
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
第七章 胶体的动力学性质
20
kT kT RT D f 6 r 6 π η r N A
X
RTt 3πη rN A
2
第七章 胶体的动力学性质
7.2 扩散
- 胶粒自发的从高浓度区向低浓度区迁移的现象
- 原因: 布朗运动
7.2.1 Fick 第一扩散定律 c1 > c2 dt 时间内通过 A 的量为:
dm= -D A
多分散体系无清晰的界面, 不可测 ν.
10
③ 测定粒度分布 - 沉降分析法
7.3 沉降
(2) 沉降平衡
沉降速度 = 扩散速度
粒子浓度在某一高度上保持不变, 但随高度的增加而降低.
单位体积中的粒子数
高度越高，质量越小的粒子越多 高度越低，质量越小的粒子越少
7.3.2 离心力场中的沉降 (1) 沉降速度
2 1 z c 2 R T c M 4 M [ M X ] P X P X Z Z
c
c 作图成直线
z2 斜率求 A 2 2 4MPX [MX] Z
19
7.5 Donnan (陶南) 平衡
消除 Donnan 效应的方法：
♦ 加入大量小分子电解质； ♦ 聚电解质浓度要小，以稀溶液为宜； ♦ 调节 pH 值在聚电解质的等电点附近。
x M+ m1 P z+ (zm1 + x) X 膜内 膜 膜外 ( m2 - x ) X ( m2 - x ) M +
膜内 膜 膜外
平衡时：
M X M X
aM a X M X
R T l n a R T l n a M X M X
a a a a M X M X
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第7章 质点动力学
7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度 40.2km/h，忽略 摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离 斜面到再落水时的水平长度。 解：接触跳台时
v0 40.2 103 11.17 m/s 3600
n
ga l
2π l ga
习题 7-11 图
..
..
aτ r
mg
FI e
习题 7-11 解图
周期 T
2π
n
7-12 图示圆盘绕轴 O 在水平面内转动，质量为 1kg 的滑块 A 可在圆盘上的光滑槽中运动。 盘和滑块在图示位 置处于静止，这时圆盘开始以等角加速度 =40rad/s2 转 动，已知 b=0.1m。试求圆盘开始运动时，槽作用在滑块 A 上的侧压力及滑块的相对加速度。 解：运动开始时， ω 0 ， vr 0
m x mg Fk
..
(3)
(1)、(2)代入(3)，得
m x kx 0 .. k x x 0 m k 2 ，则 记 n m x As i n ( nt )
..
(4)
(5)
初始条件： t 0 时， x a ， x 0 (6)代入(5)，得
k π xa a s i n ( t ) ； m 2
mg
(f)
xb a sin(
k π mg t ) m 2 k
— 2 —
(c)受力图(f)
m x Fk mg
Fk k ( st x)
..
代入上式，即
m x kx 0 .. k x x 0 m xc As i n ( nt )
0 当 t 0 时， x a ， x
0.332 s
v y v0
θ
O
1 2 (h1 h0 ) gt2 2
t2
2(h1 h0 ) g
2(0.541 2.44) 0.780 s 9.8
习题 7-1 解图
t t1 t 2 1.112 s x vx t 8.1411.112 9.05 m
7-2 图示消防人员为了扑灭高 21m 仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基 15m、距地面高 1m 处，如图所示。水柱的初速度 0 25 m/s，若欲使水柱正好能越过屋顶边 缘到达屋顶平台， 且不计空气阻力， 试问水龙头的仰角 应为多少？水柱射到屋顶平台上的 水平距离 s 为多少？ 解：(1) t1
fg π t ) d 2
3
7-6 图示升降机厢笼的质量 m=3×10 kg，以速度 v =0.3m/s 在矿井中下降。由于吊索 上端突然嵌住，厢笼中止下降。如果索的弹簧刚度系数 k=2.75kN/mm，忽略吊索质量，试求 此后厢笼的运动规律。 解：图（a） ：
st
..
mg K
（1） （2） （3）
..
令 n 则理学
k 3EI 260 rad/s m ml3
x As i n Biblioteka ( nt )（6） （7）
— 4 —
当 t = 0 时， x st ， x v 2 gh 3.13 m/s
tan
.
n st
v
0.012 ， 0.012 rad
15 v0 cos
(1) (2)
v0 sin t1
1 2 gt1 20 2
(1)代入(2)，得
500cos2 375sin cos 44.1 0
500cos2 44.1 375cos 1 cos2
390625 cos4 96525cos2 1944.81 0
习题 7-2 图
61.685 cos2 0.22497, v0 sin (2) t 2 （到最高点所经过时间） g
S (v0 cos t 2 15) 2 23.26 m
7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度 a 向右运动。另一物块置 于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为 f s ，且 tanθ> f s ，开始时 物块在斜面上静止， 如果保持物块在斜面上不滑动， 加速度 a 的最大值和最小值应为多少？
a
FN
Fs
a
FN
mg
(a)
Fs
θ mg
习题 7-3 图
— 1 —
(b)
解：1、物块不上滑时受力图(a)
FN sin Fs cos ma FN cos mg Fs sin 0
临界： Fs f s FN (3)代入(1)、(2)，消去 FN ，得
a max sin f s cos cos f s sin
A
ae a0
A
F Ie
30 FN
习题 7-9 图 (a)
ar
mg
解：滑块 A 为动点，矩形板为动系，牵连加速度 ae a0 ，相对加速度 a r ，A 块受力如图 （a） ，其中 FIe ma0 8 N mg 9.8 N
FI r ma r
由滑块相对“平衡” ：
Fr 0 ， FIr FI e cos 30 mg sin 30 4 3 4.9 11.83 N FN 0 ， FN mg cos 30 FIe sin 30 8.49 4 4.49 N
m x mg Fk
Fk k ( x st )
(1)、(3)代入(2)，得
m x kx 0 .. k x x 0 m x As i n ( nt )
..
习题 7-6 图
（4） （5） （6）
30.3 rad/s
Fk
t=0 时，x=0， x v 0.3 m/s 代入(4)，得
2、图（b） 绳 A 剪断瞬时， an 0
Fn 0 ， FB
2 mg 2
FB m FA 45
FB
m
aτ
习题 7-8 图
mg
(a)
mg
(b)
7-9 质量为 1kg 的滑块 A 可在矩形块上光滑的斜槽中滑动，如图所示。若板以水平的 等加速度 a0=8m/s2 运动，求滑块 A 相对滑槽的加速度和对槽的压力。若滑块相对于槽的初 速度为零，试求其相对运动规律。
(2)
习题 7-5 图
o
F1 FN 1
mg
F2
x
F1 F2 m x
..
FN 2
即
m x
x
..
..
fmg x0 d
fg x0 d
(a)
n
fg d
2π
振动周期： T
n
2π
d fg
— 3 —
运动方程： x A sin( n t ) 0 当 t 0 时， x x0 ， x 运动规律： x x0 sin(
(6)
习题 7-4 图
x
Fk
(b)受力图(e)
m x mg Fk
Fk kx
..
Fk
x
mg
..
k xg m k 令 n ，则 m x mg k 0 初始条件： t 0 时， x a st ， x x A sin( nt )
..
x
(e)
..
xd a sin( k π mg ； t ) m 2 k
7-5 图示质量为 m 的平板置于两个反向转动的滑轮上， 两轮间的距离为 2d， 半径为 R。 若将板的重心推出，使其距离原对称位置 O 为 x0，然后无初速度地释放，则板将在动滑动 摩擦力的作用下作简谐振动。板与两滑轮间的动摩擦因数为 f。试求板振动的运动规律和周 期。 解：1、图(a) (1) Fy 0 , FN1 FN2 mg
st
mgl3 1.4510 4 m 3EI mg k st
（1） （2） （3）
习题 7-7 图
当量刚度： k
3EI l3
任意位置弹性恢复力
Fk k ( st x)
（4） （5）
物体运动微分方程
m x mg Fk
..
将(1)、(2)、(3)代入(4)，得
m x kx 0 .. k x x 0 m
— 5 —
FIr 2 11.83 m/s m 1 相对运动规律： xr ar t 2 5.91t 2 （m） 2
相对加速度： ar
7-10 图示质量为 m 的质点置于光滑的小车上，且以刚度系数为 k 的弹簧与小车相联。 若小车以水平等加速度 a 作直线运动， 开始时小车及质点均处于静止状态， 试求质点的相对 运动方程（不计摩擦） 。 解：设质点 m 对车的相对位移为 x（设向右为正） ， 质点受力： k
x m m a(1 cos t) k k
o
(a)
7-11 图示单摆的悬挂点以等加速度 a 沿铅垂线向上运动。若摆长为 l，试求单摆作微 振动的周期。 解：牵连惯性力 FIe ma 相对运动微分方程：
ml m( g a) s i n
..
1 时，上式为
ml m( g a) 0 .. ga 0 l
2
设运动员在斜面上无机械能损失
v v0 2 gh0 11.172 2 9.8 2.44 8.768 m/s
vx v cos 8.141m/s,
习题 7-1 图
v y v sin 3.256 m/s
h1
t1
v2 y 2g
vy g