6、第一章 质点力学

质点对轴的动量矩： （即动量矩的分量）
mv

o r
kg · 2·-1 m s
J x m yz zy J y m zx xz J z m xy yx
3.动量矩（角动量）定理与动量矩（角动量)守恒定律 • 动量矩（角动量）定理
r2 1 2 1 2 mv2 mv1 F dr V dr V1 x1 , y1 , z1 V2 x2 , y2 , z2 2 2 r1 r1
1 2 1 2 mv2 V2 x2 , y2 , z2 mv1 V1 x1 , y1 , z1 2 2
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy yFx
z Fz
（2）动量矩（角动量）
J rp
定义: 动量对空间某点或某轴的矩, 叫做动量矩, 也叫角动量 质点对O点的动量矩：
L
J r p r mv
J rp sin mvr sin
d dt d dt d dt
m yz zy yFz zFy m zx xz zFx xFz
dJ M dt
动量矩定理 微分形式
意义：质点所受的合力矩就 m xy yz xFy yFx 等于动量矩对时间的变化率.
r
•
动量定理
牛顿第二定律 的常见形式
牛顿运动定律： F ma
微分形式
dp F dt
dp F dt
牛顿第二定 律的普遍形 式，在相对 论中成立
动量定理的微分形式
m
m0 v2 1 2 c
如果力的作用时间从 t1 t2 ，质点动量从 p1 p2
J y m zx xz C5 J z m xy yx C6
以x，y，z分别乘以上3式，相加得
4. 动能定理与机械能守恒定律
dv dr m mdv F dr dr dt dt dr 1 2 F W dr m d v mv dv d mv
间隔）中，表征质点所受作用的过程量均为零，
则描述质点机械运动的相应状态量不会发生变化， 即有动量守恒、角动量守恒、动能守恒。 * 状态过程法
状态1
过程1
状态2
过程2
状态3
例 将一重锤用一轻杆悬挂，并固定其上端．这时锤将被约 束在—竖直圆周上运动，若不计空气阻力作用，则叫单摆。若 单摆从幅角θ0 (θ0 不一定很小)的地方自由落下，试用两种不同 方法(机械能守恒律与运动定律)求摆锤通过最低点时的速度． 解 （1）由机械能守恒定律 取0点为零势能点 初始状态P0 ： k1 0, Ep1 mgl (1 cos0 ) E 末了状态P ：
t
1 mvx mv0 mgt (1 kt ) 2 1 vx v0 gt (1 kt ) 2
或

v
v0
dvx g (1 kt )dt
0
t
1 vx v0 gt (1 kt ) 2
二、矢量矩的概念
• 研究质点运动时，不仅要考虑动量本身的变化，而 且常要考虑动量对空间某点的矩的变化，“矩”是一 个普遍的概念。 1. 矢量对定点的矩 M
Ep2
1 2 0, Ek 2 mv 2
E1 E2 E p1 Ek1 E p 2 Ek 2 1 2 mgl (1 cos 0 ) mv 2
复
• 功与能
习
保守力场的充要条件或判据 F 0
特点 W dU dV
V ( x, y, z ) U ( x, y, z ) C
(C为与零势能点有关的常数)
势能的计算
V (r )
r
ro
ro F dr Fx dx Fy dy Fz dz
dJ M dJ Mdt dt t2 J 2 J1 Mdt
t1 t2
Mdt
t1
为冲量矩
动量矩定理 的积分形式
意义：合力的冲量矩等 于质点动量矩的增量。
•
动量矩（角动量)守恒定律
若 M 0
t2 J 2 J1 Mdt 0
动量矩守恒定 律分量形式
讨论： 动量守恒定律与动量矩（角动量)守恒定律在直角 坐标系中有6个分量形式，但只有5个是独立的。
2 P J mv (r mv ) m r (v v ) 0 CP CJ C1C4 C2C5 C3C6 0
设某矢量 F 作用于矢径为
r
的某一点上
O d
r
F

则矢量 F
对参考原点O 的矩定义为：
M o (F ) r F
M o (F ) r F
O d
M
r
F

单位：
矩的大小：M ( F ) Fr sin Fd o
矩的方向： 符合右手定则
动能定理的 积分形式
r2 x2 , y2 , z2 1 1 2 2 mv2 mv1 F dr Fx dx Fy dy Fz dz r1 x1 , y1 , z1 2 2
当力为保守力时
r2
V V V F V i j k y z x
p2 p1
t2
Fdt 0
t1
动量守恒定律
p mv C
px mvx C1 p y mv y C2 pz mvz C3 Fi 0
即
条件：
意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.
动量守恒定律的分量形式：
如果 F 0
t2
分量形式
t1
p2 y p1 y mv2 y mv1 y I y Fy dt
t1
t2
p2 z p1z mv2 z mv1z I z Fz dt
t1
t2
平均冲力： F 1 t t0

t
to
F dt
F
F(t)
t
2、动量守恒定律
dp F 0 dt
方法二
动量定理
dpx Fx F mg (1 kt )
dpx d (mvx ) mdvx Fx F mg (1 kt ) dvx g (1 kt )dt

p p0
dpx
mv
mv0
dpx mg (1 kt )dt
0
动量 矩守 恒定 律现 象举 例
例： 质点所受的力，如恒通过某—个定点，则质 点必在一平面上运动．试证明之． 解：力所通过的那个定点叫做力心(参看下节)．如取 这个定点为坐标系的原点，则质点的位矢r与F共 线．因而r x F＝0，故J为一恒矢量 J x m yz zy C4
t1 J r p C
则动量矩守恒
意义：若质点不受力的作用,或者虽然受力但是 合力矩为零，则质点的动量矩守恒。
J x m yz zy C4 J y m zx xz C5 J z m xy yx C6
点乘dr
dv m F dt
dt
2

1 1 2 1 d mv md v m dv v mv v v dv dv 2 2 2
1 2 d mv W 2
动能定理的 微分形式
t; x, y, z; x, y, z C
称为运动微分方程的第一积分或初积分，理 论力学中求初积分是非常重要的工作。
• 应注意的基本概念
* 力学中的状态量 三个基本定理的积分形式为：
t2 p2 p1 mv2 mv1 Fdt t1
t2 J 2 J1 Mdt
械运动状态发生了变化，也就是描述质点机械运 动状态的物理量发生了变化，变化的多少，可用 上述的过程量来量度，即机械运动的传递或转移
是用过程量在量度的。
•
反之，也正是由于这些过程量作为力在一段
时间或一段空间内的作用结果，才使得质点的机 械运动的状态发生了变化。 • 如果在任意的无限短的过程（时间间隔或空间
令 有
1 2 mv V x, y, z E 2
T V E C
机械能
机械能守 恒定律
讨论： 动量守恒定律
p mv C1
J r p C2
1 2 mv V x, y, z E 2
角动量守恒定律 机械能守恒定律
以上3个守恒定律都是一阶微分方程，一般形式为
2 d r d r m 2 F r m 2 r F dt dt
2
d r d dr d r m 2 r p r F r m dt dt dt dt
2
2 d dr dr dr d r r m r m 2 m dt dt dt dt dt
但 F
在某个方向上的分量为0，
如Fx=0,则
dpx Fx 0 px mvx C1 dt
即对应方向上的动量守恒. • 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
例:物体沿水平方向平动,设作用力 F mg (1 kt ), 其中 m 为质量,