一种命题形式系统的等价性证明

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成 了整 个 问题 的核 心 。
个 形 式 系 统 L 其 3 公 理模 式 分 别 为 : , 个
( ) L (—A B ) ( ) ( 一(— c ) (A B一 (— c ) A B )一 (— ) A )
( ) ( A 一 B 一 ( A B 一 A ) ( — ) ) 其推 论 规 则 也 只 有 一 条 分 离 规 则 。 由 于 这 两 个 形 式 系 统 的前 两条 公理 模 式 相 同 , 由 这 两 条 公 理 模 式 足 以 证 明 演 而 绎定 理在 系统 中成 立 , 以 借 助 于 演 绎 定 理 在 系 统 L 所 中 不 难 推 出公 理 模 式 ( 而 在 系 统 L中也 不 难 推 出 公 理 模 式 k)
由于 在 形 式 系 统 L 中有 蕴 涵 传 递 律 ( ) 为 公 理 L 作
模 式 , 以在 证 明 中可 以使 用 如 下 导 出规 则 : 所
R R
卜A —B
卜( —c 一 ( —c B ) A )
卜A B — ,卜B 卜A —c —c
( ) 所 以 , 两 个 命 题 形 式 系 统 是 等价 的 。 , 这
( ) ( —B 一(B C 一(— C ) A ) (— ) A )
2 ( 1在 形 式 系统 L 中的 证 明 L) ”
首先 , ( ) 发 , 据导出规则 R 从 出 根 可 得
第2 3卷 第 6期
Vo . 3 No. 12 6
重 庆 工 学 院 学 报( 社会 科 学 )
Ju a o C ogigIstt o Tcnl y Sc lSi c) or l f h nq tue f eho g ( oi c ne n n n i o a e

些的证明过程 。


词 : 题 形 式 系 统 ; 价 性 ; 明 命 等 证
文献标识码 : A 文 章 编 号 :6 1 9 4 2 0 ) 6 0 9 2 1 7 —0 2 ( 0 9 0 —0 6 —0
中 图 分 类 号 : 8 B1
其推 论 规 则 也 只 有 一 条 分 离 规 则 。 现 在 要 问 : 式 系 统 形
(1 A (—A L) 一 B ) ( ) ( 一(— C ) (A B一 (— C ) A B )一 (— ) A ) (e (- ( ’ B 一 ( — A I) - A 一 _ ) B 1 1 )
L “是 否 与 系 统 L和 L 等 价 ? 由 于 系 统 L和 L 是 完 全 的 ( 一 点 在 许 多数 理 逻 辑 教 科 书 中都 有 证 明 )并 且 L 的 3 这 , “ 个公 理模 式 作 为 公 式 都 是 重 言 式 , 以 L 的 定 理 都 是 系 所 “ 统 L和 L 的 定 理 。但 反 过 来 , 统 L和 L 系 的 定 理 是 否 也 都 是 L 的定理呢?如果从 L ”的 3个 公 理 模 式 出发 , 用 运 分 离 规 则 , 够 推 出 ( 、 ) ( ) 者 ( ) 那 么 这 个 问 能 L) ( 、 或 , 题 的答 案 就 是 肯 定 的 了 。 而 要 在 形 式 系 统 L 中 证 明 ” (1、 ) (e 或 者 ( ) L) ( 、L) 自然 会 使 人 想 到 运 用 演 绎 定 理 ,
其 推 沦规 则 只 有 一 条 分 离 规 则 , m dspnn ; 有 这 么 即 ou oes另

因为 如 果 能运 用演 绎 定 理 , 明 过 程 将 会 大 大 简 化 。但 演 证
绎 定 理 在 系 统 L 尚未 得 到 证 明 , 对 其 的 证 明 反 过 来 *中 而 需 要 用 到 公 理 模 式 ( 1 和 ( ) 者 ( ) ( ) 如 此 一 L) 或 和 。 来 , 形 式 系 统 L 中证 明 ( 1和 ( ) 者 ( ) ( ) 从 L) 或 和 就
1 两 个 命 题 形 式 系统 L和 L
两 个 命 题 形 式 系 统 L和 L 等 价 的 意 思 是 指 : 个 公 式 一 是 L的定 理 当且 仅 当它 也 是 L 的定 理 。 如 , 这 么 一 个 形 有 式 系统 L其 3 公 理 模 式 分 别 为 : , 个
20 0 9年 6月
J n.2 式 系统 的等 价 性 证 明
宋 伟
( 北大学 哲学 学院 , 汉 湖 武 406 ) 302
摘 要 :uai i 提 出 的 一 个命 题 形 式 系 统 与 两 个 常 见 的命 题 形 式 系统 之 间 的 等 价 性 证 明关 键 就 Lks wc e z 在 于 在 L ks wc 系 统 中证 明公 理 模 式 A ( — A 和 ( 一 ( — c ) ( A B 一 ( — c ) 而 要 uai iz e 一 B ) A B )一 (— ) A )。 证 明这 两 个 公 理 模 式 其 关 键 又 在 于 证 明 若 干 重 要 的 中 间公 式 , A ( B B 一 B 以及 皮 尔 士 如 一 ( — ) ) 律 、 收律 、 定 律 等 。就 此 , Lks wc 给 出 的 证 明 的基 础 上 , 论 了 一 种 不 同 的 、 对 简 单 吸 段 在 u a ei i z 讨 相
这 两 条 规 则 是 ( ) 分 离 规 则 的 直 接 后 承 , 以 显 著 地 L 与 可
简化证 明的过程。
L ks wc 在其《 ua e i i z 数理 逻辑要 义》 书 中提 出 了这样一 一
个 命 题 演 算 的 形 式 系 统 , 里 将 其 称 为 L , 3个 公 理 模 这 ” 其 式分别为 :
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