趋势曲线模型预测

1.经验公式
,有三个系数K，a, b(双层指数) 取常用对数lg yt =lgK + bt lg a 2.参数k,a,b的确定（三和法） l y 假定有若干原始数据，取△t = 1,t = 1,2,3,…….3n 且满足 y Ka b t 即：lg yt =lgK + bt lg a
n t 1 g t
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二、案例 某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业多项 式模型，并预测1980、1981年工业产值 年 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 产值 7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 INSERT LOGO 13.78 解：（1）描点，观察，做趋势图。
yt = K/[1+a e(-bt) ]
a = e-ck （C为积分常数） b = kK 书中公式为 是变形的一种。 1 (1/2005/4/04) yt k ab t 其中
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uk
8

i 1
n
yi xik , i 1 2...8, k 0,1 2 , ,
8
8
2 . u0 yi xi0 83.09 u1 yi xi1 410.74 u2 yi xi 2458 38
i 1
i 1
i 1
INSERT 83.09 LOGO U 410.74 2458 38 .
lg a
( 2) (1) n
1 n
由5
( l g yt l g yt )(b 1) (b 1)
2
......(6)
INSERT LOGO
l y l y ( l y ) 1 带6入1得 l k n l y l y 2 l y
g t g t g t (1) ( 3) ( 2) g g t g t g (1) ( 3) ( 2)
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三、 拟合多项式的次数确定 1、作图法 利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点， 观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式趋势线
。
若趋势线出现拐点： 由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次多项式 拟合； 若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。
INSERT LOGO
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1980:x = 9 y9 = 7.1602 + 0.4447×9 + 0.0480×92 = 15.0505 1981:x = 10: y10 = 7.1602 + 0.4447×10 + 0.0480×102 INSERT LOGO = 16.4072 绝对误差 相对 误差 与实际值比较:1980年为14.77 0。2809 –1。9% 1981年为15.64 0。7672 -4。 9%
lg y2n+1
INSERT LOGO 2n+3
共有3n个数据，平均分为3组，
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第一组：求和：
l
t 1
n
g
yt
= nlg K + ( b1 + b2 +…… bn )lg a
……①
第二组：求和：
∑lg yt = nlg K + (
( 2)
bn+1 + bn+2 +…… b2n )lg a ②
一．正规方程组 所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当预 测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟时 ，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并用于 预测。 设实际值为（xi,yi）,为方便多项式次数测定，数据 ˆ 选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为(xi, )yi 就有 yi = f(x) = a0 + a1x + a22x +……+ amx. m ˆ 显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据 为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n.
2.差分判断法 ①差分定义：当自变量呈等距分布时，即 xi = xi-1 + △x 则 ▽yi = yi – yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 称为当 x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。 所有更高阶的差分由进一步的差分得到: 二阶差分 INSERT LOGO ▽2yi =▽(▽yi ) =▽(yi – yi-1) =▽yi - ▽yi-1 = (yi – yi-1) - (yi-1 – yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2
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可类推至 yi 的k阶差分 ▽k yi =▽(▽k-1 yi ) =……… k! = (k j)!(1) y
k j j 0 i k j
②差分对多项式判断中的应用 例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t) INSERT LOGO t 0 1 2 3 4 5 yt 0 2 4 6 8 10 一阶差分 2 2 2 2 2 二阶差分 0 0 0 0
:
记为矩阵式：
:
:
:
sma0+sm+1a1+……..+s2mam = um (k = m)
s0 s1
sm
s1 s2
s2 …… sm s3 …… sm+1
×
a0 u0 a1INSERT LOGO u2
=
sm+1
s0 … s2m
am
um
记为S 记为 A 记为 U 则：U = SA → A = S(-1) U = 1/|S| S*U 有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是预测方程可 以求得。 {2004/11/1}
t→-∞ yt →0 t→+∞ yt →K t→0 yt →Ka
b) b > 1
动植物生命衰减
以上“K”称为最大步长值，或饱和点值 如 ：家电生产及销售，农田亩产，机器工作效率等，耐 用消费品 ③Gompert曲线是双层指数，又称双指数模型。
二.Logistic曲线 该曲线为美国生物学家，人口统计学家 R.Pearl 博士通过利用微分方程表示生物生长速度，求解得 到的公式，为Logistic增长曲线。 1.数学模型 微分方程形式为：dy/dt =k y(K - y) 其中k, K>o 常数 且0 <y<k, 为可分离变量一阶微分方程。 解出为
3051.31.1
3051.3
1.1t
4.关于Gompert曲线的讨论 ①. a>1 a) 0 < b <1
b)
b>1
细胞分裂 核爆后继
t→0, yt →Ka t↗, yt↘ t→+∞ yt →K
t→0, yt →Ka
无抑制上升
t↗,
yt↗
t→-∞ yt →K
② .a>1 a) 0 < b <1
2
由图所示，用二次曲线描述合理。 即预测模型可取为 y = a0+a1x+a2x
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（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1) U ∵Sk =∑Xik i = 1,2,………,8. K = 0,1,2,3,4. 0 1 2 S0 = ∑xi =8; S1 = ∑xi =36; S2 = ∑xi =204; 4 3 S3 = ∑xi =1296; S4 = ∑xi =8772 INSERT LOGO 8 36 204 ∴ S = 36 204 1296 204 1296 8772
2
......(7)
t
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3.例：某厂产品销售总额历史数据：（万元） 年份(t) 1968 1969 1970 1971 1973
1972 463
yt
407
418
432
447
485 log yt 2.61 2.69 年份(t) 1974 1979
2.62
1975 535 2.73 1981
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例:二次曲线 y = ax2 + bx + c x 0 1 2 3 4 5 yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c 一 阶差分 a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b 二阶差分 2a 2a 2a 2a INSERT LOGO 三阶差分 0 0 0 由此可得出判据 若一批自变量为等距分布的数据，经 n次差分之后，形 成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多项 式拟合此批数据变动趋势。 3. 在利用数据确定曲线时，要排除偶然发生的那一类数 据。
n i 1
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi ˆ 且ei = yi－yi 由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei2 = Q min 利用最小二乘法，对系数求偏导数，有 (Q/ak)’ = 0 →2∑ei(ei)’ak = 0 其中 k = 0,1,2,3,……,m INSERT LOGO 因为ei = yi－yi = yi－ a0－ a1x － ……akxik……amxim 所以有：∑(yi－ a0－ a1x1-- ……amxim)(-xik)= 0 得 yi x ik =a0 ∑xik +a1∑ xi(k+1)+……am∑xik+m
INSERT LOGO
第三组：求和: yt = nlg K+( b2n+1 + b2n+2 +…… b3n )lg a ③ ∑lg ( 3) ③-②: lg yt- lg yt = bn (b+ b1 + b2 +…… bn )( bn - 1)lg a ( 3) ( 2) …4