高中数学必修二课件 2.3.2 圆的一般方程
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人教B版数学必修二2.3.2
数
学 必 修 ②
＋12)2＝52，即 x2＋y2－3x＋y＝0.
人 教 B
版
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·
第二章 平面解析几何初步
3．圆 x2＋y2－2y－1＝0 关于直线 y＝x 对称的圆的方程是 导学号 92434785
(A) A．(x－1)2＋y2＝2 C．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝4
第二章 平面解析几何初步
命题方向1 ⇨二元二次方程表示圆的条件
典例 1 m 是什么实数时，关于 x、y 的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2 ＋m＋2＝0 表示一个圆？ 导学号 92434788
[解析] 由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，
数
即m2＋2m－3＝0，
学
必 修
解得m＝－3或m＝1.
[解析] ∵方程 x2＋y2－2x＋4y＋m＝0 表示圆，
∴(－2)2＋42－4m>0，
∴m<5.
数
又∵圆与 x 轴相切，∴ －22＋2 42－4m＝2，
学
必 修
∴m＝1.
②
人 教
B
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·
第二章 平面解析几何初步
5．(2016·浙江文，10)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示 圆，则圆心坐标是__(－__2_，__－__4_)____，半径是____5___. 导学号 92434787
②
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B
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·
·
第二章 平面解析几何初步
当 m＝1 时，原方程化为 2x2＋2y2＋3＝0.
不合题意舍去；
当 m＝－3 时，原方程化为 14x2＋14y2－1＝0，
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
2.3.2圆的一般方程课件高二上学期数学人教B版选择性
解析：
若方程 x2 y2 4x 8y 2a 0 表示圆，则 (4)2 82 4 2a 0 ，即 A×
a 10 ，故 A 错误.
B √ 当 a 10 时，方程表示的圆的圆心为 (2, 4) .
C √ 当 a 0 时，方程表示的圆的半径为 1 (4)2 82 2 5 . 2
当 a 8时，方程表示的圆的半径为 1 (4)2 82 416 2 ，等于圆 2
即 x2 y2 6x 6 y 8 0 .故选 C.
7.（多选）已知圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 关于直线 2ax by 2 0(a,b R) 对称，
ABCD 则下列结论正确的是( )
A.圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的圆心坐标是 (1, 2)
B.圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的半径是 2
标为 (a, 2a) ，半径为 3，因为圆 x2 y2 2ax 4ay 5a2 9 0 上所有点都在第
a 0,
二象限，所以
2a 0, a 3,
解得
a
3
，故选
A.
2a 3,
4.一束光线从点 P(1, 2) 出发，经 x 轴反射到圆C : x2 y2 8x 6 y 23 0 上的最
6.已知圆 C 经过两点 A(0, 2) ， B(4, 6) ，且圆心 C 在直线l : 2x y 3 0 上，则圆
C C 的方程为( )
A. x2 y2 6x 6 y 16 0
B. x2 y2 2x 2y 8 0
C. x2 y2 6x 6y 8 0
D. x2 y2 2x 2 y 56 0
一般地，圆的标准方程 ( − )2 + ( − )2 = 2 可以化为 2 + 2 − 2 − 2 + 2 + 2 − 2 = 0. 在这个方程中，如果令 =− 2 ， =− 2 ， = 2 +
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3.2ppt课件全省公开课一等奖
跟踪训练 1 关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置
解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆 心距 d＝ 42＋1＝ 17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交． 答案：B
类型二 两圆的公共弦的问题 [例 2] 已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－ 8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
2．两圆 C1，C2 有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系
两圆相离
0 两圆内含
d>r1＋r2 d<|r1－r2|
图示
两圆相交
2
|r1－r2|<d<r1＋r2
两圆内切 1
两圆外切
d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( × ) (2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．( √ ) (3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．( √ ) (4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．( × )
北师大版高中数学必修二课件2.2圆的一般方程
1 D2 + E2 - 4F 为半径的圆. 2
（ 2 ） 当 D2 + E2 - 4F = 0 时 ， 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解
x = - D , y = - E ，所以方程 (*) 表示一个点 (- D ,- E ) .
2
2
22
（3）当 D2 + E2 - 4F < 0时，方程 (*) 没有实数解，所以方程 (*) 不
1.掌握圆的一般方程，会由圆的一般方程确定圆的 圆心、半径．（重点） 2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准 方程,会用待定系数法求圆的方程.（重点、难点）
探究点圆的一般方程
将圆的标准方程 (x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 展开得 x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
表示任何图形.
圆的一般方程
方程 x2 y 2 Dx Ey F 0 (D 2 E 2 4F 0)
称为圆的一般方程.
圆心为,半(径D ,为 E )
22
1 D2 E2 4F. 2
思考:圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点?
提示：(1)形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0） (2)圆的一般方程的特点: (a)x2,y2的系数为1 (b)没有xy项 (c)D2+E2-4F＞0
不是圆
是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
总结：
方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹
【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1） 可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（ ）配方得（x 1 D 2 ) (y
2
E 2
)
2
D E 4F
2 2
(2)
4
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2
y 2x 4y 6 0____
2
2
y 2ax b
2
2
0________
1 1的 圆 .
2 2
( 2 )圆 心 为 ( 1, 2 ), 半 径 为
(3)当a, b不同时为0时，圆心为(a, 0), 半径为 a b 的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
C O ①
A x
化简得 x2+y2+2x3＝0 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A(3，0)距离的比为 1 的点的轨迹，求此曲 2 线的方程，并画出曲线。
y
M
2 2
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习： 求过三点
A ( 0 , 0 ), B ( 6 , 0 ), C ( 0 ,8 ) 的圆的方程
2 2
.
设圆的方程为
x y Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
6
2
6D F 0
新教材高中数学第2章平面解析几何圆的一般方程课件新人教B版选择性必修第一册
示任何图形．
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则 其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 06 _外__ 点 M 在圆 07 _上__ 点 M 在圆 08 _内__
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
89＋8D＋5E＋F＝0， 由题意知73＋3D＋8E＋F＝0，
9＋3E＋F＝0，
D＝－8， 解得E＝－8，
解
(3)两边同除以 2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径 r＝12
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
解
题型二 求圆的一般方程
例 2 已知 Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为 B(3,8)，顶点 C 在 y 轴 上，求：
半径长．
[跟踪训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半 径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)．
判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0；或直接配方变 形，判断等号右边是否为大于零的常数．
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则 其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 06 _外__ 点 M 在圆 07 _上__ 点 M 在圆 08 _内__
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
89＋8D＋5E＋F＝0， 由题意知73＋3D＋8E＋F＝0，
9＋3E＋F＝0，
D＝－8， 解得E＝－8，
解
(3)两边同除以 2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径 r＝12
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
解
题型二 求圆的一般方程
例 2 已知 Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为 B(3,8)，顶点 C 在 y 轴 上，求：
半径长．
[跟踪训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半 径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)．
判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0；或直接配方变 形，判断等号右边是否为大于零的常数．
高中数学同步教学课件 圆的一般方程 (2)
∴r2＝a2＋4
2
3
2
，代入⑤并将两端平方得 a2－6a＋5＝0，解得 a1＝1，a2＝5，
∴r1＝ 13 ，r2＝ 37 .
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13 或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
通性通法
求圆的一般方程的两种常见方法 (1)直接法：即根据条件直接求出圆心坐标和半径，得到圆 的方程．这种方法一般用在圆心比较明确，易于确定圆心 坐标的题目； (2)待定系数法：先设圆的方程(标准方程或一般方程)，根 据条件列出三个关于系数的独立方程，求出待定系数，即 可求出圆的方程．
当 a＝－1 时，方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心坐标为(－2，－4)，半径是 5. 答案：(－2，－4) 5
2．已知曲线 C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. 求证：当 m≠2 时，曲线 C 是一个圆，且圆心在一条直线上． 证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 又 m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0， 即曲线 C 是一个圆． 设圆心坐标为(x，y)，则由yx＝＝－2mm， 消去 m，得 x＋2y＝0， 即圆心在直线 x＋2y＝0 上．
(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m .
通性通法
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程可以通过 配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆； (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断 D2＋E2－4F 是否 为正，确定它是否表示圆． [提醒] 在利用 D2＋E2－4F>0 来判断二元二次方程是否表示圆时， 务必注意 x2 及 y2 的系数．
高中数学必修课件第二章圆的标准方程
基本元素
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
高中数学必修二课件：圆的一般方程
问题引入：
直线方程有五种不同的形式，
它们之间可以相互变通，每一
y
M(x,y) O
种形式都是关于x,y的一次方程，
我们学习了圆的标准方程，它 的方程形式具备什么特点呢？ 还有其他形式吗？
C
x
圆的一般方程
1.圆的标准方程
展开得
x y 2ax 2by a b r 0
2 2 2 2 2
练习2.证明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆, 并求出此圆的圆心和半径. 解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A、B、D三点坐标代入得
2 D 2 E F 8 0, D 8, 5 D 3E F 34 0, 解得 E 2, 6 D F 36 0. F 12.
2
2
D E 圆心 - , 2 2
D 2 E 2 4F r 2
注：圆的一般方程的特点:
(1)x2 , y2 的系数为1 (2)没有xy项
(3)D2 +E2 -4F＞0
思考问题:当D=0，E=0或F=0时，圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别有什么特点？
方法二：几何法 由两条弦的中垂线的交点得到圆 心，由圆心到圆上一点得到半径
C(2,-8)
方法三：待定系数法
2 解：设所求圆的方程为： x 2
待定系数法
y Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上
D 4 5 1 5D E F 0 2 E 6 2 7 (1) 7 D E F 0 F 12 2 2 82 2 D 8 E F 0
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
2 2
2
2
（1）当
D E 4F 0
2 2
时，表示圆，
D E 4F
2 2
E D 圆心 - , 2 2
r
2
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
E D - , 2 2
D E 4F 0
2 2
时，不表示任何图形
8
2
8E F 0
D 6, E 8， F 0.
所求圆的方程为：
2 y2 6x 8y 0 x
若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
设方程为
2 2 2
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
( x a ) ( y b) r
2 2
(或x y Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
.
.
（-1，0）
O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用] (1)已知圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 (D)
( A ) 4 , 6 ,3
( B ) 4 , 6 ,3 ( C ) 4 , 6 , 3
( D ) 4, 6, 3
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
＋2y－8＝0.
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x
[例1]
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时， (1)圆C1与圆C2外切； (2)圆C1与圆C2内切． [思路点拨] 两圆外切时，|C1C2|＝r1＋r2；内切
时，|C1C2|＝|r1－r2|.
[精解详析] 圆C1，圆C2的方程，经配方后为
(2)常见的圆系方程有：
①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2
＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋
λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两相交圆交点
的圆(不包括C2)；当λ＝－1时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个
圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
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(2)x2 y2 2ax y a 0是圆 的充要条件是:_a__12
(3)圆x2 y2 8x 10y F 0与x轴相 切, 则这个圆截y轴所得的弦长是_6__ (4)点A(3,5)是圆x2 y2 4x 8y 80 0的一 条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是_x_ y 8 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6,
E
8，
F 0.
所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
思考探究二：
用待定系数法求圆的方程， 何时设标准方程？ 何时设一般方程？
若已知条件涉及圆心和半径， 设圆的标准方程比较简洁. 若已知圆上三点求圆的方程， 设一般方程更便于求解.
圆的一般方程
复习回顾
圆的标准方程的形式是怎样的？
(xa)2 (yb)2 r 2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b r
想一想，若把圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r2
展开整理，会得到怎样的形式？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D, 2b E, a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx Ey F 0
思考探究一：
1.形如x2 y2 Dx Ey F 0的方程 是否都表示圆？如何判断？
2.下列方程表示什么图形？
圆，圆心（1，-2）
（1）x2 y2 2x 4 y 1 0 半径2 （2）x2 y2 2x 4 y 5 0 点（1，-2） （3）x2 y2 2x 4 y 6 0 不表示任何图形
（1）x2 y2 2x 4 y 4 0
能，圆心（1，-2） 半径3
（2）2x2 2 y2 12x 4 y 0 能，圆心（3，-1）
半径 10
（3）x2 2 y2 6x 4 y 1 0 不能
（4）x2 y2 12x 6 y 50 0 不能
（5）x2 y2 3xy 5x 2 y 0 不能
圆的标准方程和一般方程各自的特点
（1）方程中均含有三个参数
且a D ,b E , r 1 D2 E2 4F
2
22
（2）标准方程易于看出圆心与半径；
一般方程更突出形式上的特点：
（1）x2与y2系数相同且不为0
（2）没有xy这样的项
例2.求过点A(5, 1),圆心为(8, 3)的圆的方程， 并化一般方程。
课堂小结：
知识方面：
(1)圆的一般方程
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? 配方法 (4)学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
方法方面： 1、换元法 2、配方法 3、待定系数法
课堂练习：
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心为
(2,3),半径为4,则D _4__ E __6_ F __3_
判定一个二次方程是否是圆的方法： 配方， 判断等式右边的数与0的关系
x2 y 2 Dx Ey F 0
将上式配方整理可得：
(x
D
2 )
(
y
E2 )ຫໍສະໝຸດ D2 E2 4F2
2
4
(x
D
2 )
(
y
E
2 )
D2 E2 4F
2
2
4
(1)当D2 E 2 4F 0时,
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
解：设圆的方程为 (x 8)2 ( y 3)2 r 2
把点(5,1)代入得r2 13,
(x 8)2 (y 3)2 13
故圆的一般方程为x2 y2 16x 6 y 60 0
例3.求过三点A(0, 0), B(6, 0),C(0,8)的圆的方程.
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
D 2
,
E )为圆心， 2
1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E) 2
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y2 Dx Ey F 0不表示任何图形.
例1.判断下列方程能否表示圆，若能写出圆
心和半径