2.4.1函数的零点学生版
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计(表格式)
2.4.1《函数的零点》教学设计课题：函数的零点教材：人教B版新课标高中数学必修1教学内容：第二章函数2.4.1函数的零点教材分析：一．教材的地位和作用本课时主要学习函数的零点，通过研究二次函数的图象性质归纳函数的零点的性质。
本节课的内容起到了承上启下的作用。
本节课重点在于研究函数的零点概念及其存在性，函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系。
难点是理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图。
通过本节课的学习进一步加深学生对函数概念及性质的理解和认识，使学生能够整理出较为系统的函数知识体系和完整的思维方式方法，并由此及彼，帮助后面函数的学习。
二．教学目标：1.知识目标：(1)理解函数零点的定义，能判断二次函数零点的存在性；(2)会求简单函数的零点。
理解函数零点和方程的根的关系。
(3)理解函数零点存在的判定条件。
2.能力目标：通过充分运用函数与方程，数形结合的数学思想方法教学，体验函数零点概念的形成过程，体会数形结合、等价转化的数学思想．同时注重培养学生对于解题方法的灵活性和多样性的掌握。
3.情感态度与价值观目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识三．教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系难点：理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图.教学关键点：从实际出发，在学生获得一定感性认识的基础上，通过观察，比较，归纳进一步提升到理性认识，逐步形成完整的概念，在此基础上结合图象，运用数学结合的数学思想解决问题。
学情分析：学生已经学习过函数的基本性质，本节课函数关系的建立做好了知识准备，在此基础上进行函数的零点的学习，可以将对函数的认识进一步系统化和完善化。
教法分析：(一)教学方式教师引导，学生讨论，与启发探究相结合。
(二)教学手段借助几何画板和函数编辑器等教学软件和投影仪等，展示学生的做图结果，并演示高次函数的图像。
【K12小初高学习】高中数学人教B版必修一练习：2.4.1 函数的零点
2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围. 解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。
2.4.1函数的零点
判别式△ =b2－4ac △＞0
△=0
△＜0
没有实数根
y
有两个相等的 两个不相等 方程 ax2 +bx+c=0(a>0)的根 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
y
函数 y= ax2 +bx+c(a>0) 的图象
y
x2 x
x1
0
0
x1
x
0
x
函数的图象与 x 轴的交点 函数零点的个数
(x1,0) , (x2,0)
方程f ( x) 0的实数根
函数图象与x轴交点的横坐标
两条性质： 函数零点的性质 三种思想： 函数与方程的思想
转化与化归的思想 数形结合思想
【随堂检测】
x2 2x 3 1.函数f ( x) 的零点为（） x 1
A.3，-1 B. 3
2
C.-3，1
D.-1 ）
2．函数 y ax 2 x 1 没有零点，则实数a 的范围为（ a 1 A． B． 0 a 1 C． a 1且a 0 D． a 1
高一数学组
知识链接 温故知新
求方程x 2 x 6=0的实数根, 并画出函数y=x 2 x 6的简图.
解：因为x 2 x 6=0 ( x 2)( x 3) 0 所以x 2或x 3
o
函数图像与x轴有几个交点？ 2个
交点坐标是什么？ (2,0) , (3,0)
两个零点
x1 ，x2
(x1,0)
一个零点x1 （二重零点）
没有交点
无零点
二次函数零点的性质
思考
(1)当函数的图像通过零点且穿过x轴时， 函数值的符号有何变化规律？ 变号.
高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点bb高一数学
内容(nèiróng)总结
第二章 函 数。课后拔高(bá ɡāo)提能练。| 学 习 目 标 |
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即 k＋ x＋2＝x，
∴k＝x－
x＋2＝x＋2－
x＋2－2＝
x＋2－122－94.
∴只需 y＝k 与 y＝x－ x＋2的图象有两个交点，
∴－94<k≤－2，故选 A．
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二、填空题 7．若集合{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}，则实数 a，b 的和 a ＋b＝________. 解析：由题得－ －11＋ ×33＝ ＝－ b，a， ∴a＝－2，b＝－3，∴a＋b＝－5. 答案：－5
令 h(x)＝x2－5x＋4，当 x∈[0,3]， h(x)的图象如图示．h(0)＝4，h(3)＝－2，h52＝－94.
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∴当－94<m≤－2 时，y＝m 与 y＝x2－3x＋4 的图象有两个 交点，故选 A．
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6．设 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab 的两个零点分别是－3,2. (1)求 f(x)； (2)当函数 f(x)的定义域为[－1,1]时，求其值域． 解：(1)由题可得－ －33＋ ×22＝ ＝－ －ba－ － aa 8a， b， ∴ab＝ ＝5－. 3， ∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
2．已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 2,4 且 a>0，则 ax2
＋bx＋c>0 的解集是( )
A．{x|2<x<4}
B．{x|x<2 或 x>4}
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题． 判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
高中数学第2章函数2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法__二分法课件新人教B版必修1
x
轴必有一个交点(x2,0),易知
x2=x1
−
������(���������1���1)--������������0(������0)·f(x1),若 f(x2)=0,则 x2 为它的实根.若 f(x2)≠0,则和二分法类
似,根据 f(x)在区间[x0,x2],[x2,x1]两端是否异号而求出区间.若
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归纳总结1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函 数的变号零点,对函数的不变号零点不适用.
2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用 二分法求函数零点时,一次只能求出一个近似值.
记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点.
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1.函数的零点 (1)概念. 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做 这个函数的零点. (2)意义. 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
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名师点拨1.并不是每一个函数都有零点.例如,函数
y=
1 ������
等于
.
解析:依题意知2和3是方程x2+ax+b=0的两个根,
故
2 2
+ ×
3 3
= =
-������, ������,
解得a=-5,b=6,
所以a-b=-11.
答案:-11
【做一做2-2】 已知函数f(x)=ax2+4x+a有二阶零点,则a的值
为
.
解析:由题意可知f(x)是二次函数,且Δ=0,即42-4a2=0,得a=±2.
(新课程)高中数学2.4.1《函数的零点》学案2新人教B版必修1
2.4函数的零点学案【预习要点及要求】1.理解函数零点的概念。
2.会判定二次函数零点的个数。
3•会求函数的零点。
4•掌握函数零点的性质。
5•能结合二次函数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。
6•理解函数零点与方程式根的关系。
7•会用零点性质解决实际问题。
【知识再现】1.如何判一元二次方程式实根个数？2.二次函数y ax2 bx c顶点坐标，对称轴分别是什么？【概念探究】阅读课本70――71页完成下列问题21•已知函数y x x 6 , x_____________ y =0, x ________ y vo, x _________ y>0。
____________ 叫做函数y x2 x 6的零点。
2.请你写出零点的定义。
3.如何求函数的零点？4•函数的零点与图像什么关系?【例题解析】1•阅读课本71页完成例题。
例：求函数y x3 2x2 x 2的零点，并画出它的图象。
2•由上例函数值大于0,小于0,等于0时自变量取值范围分别是什么?3 •请思考求函数零点对作函数简图有什么作用?5 64 .完成72练习E 1、2【总结点拨】对概念理解及对例题的解释 1 .不是所有函数都有零点2 .二次函数零点个数的判定转化为二次方程实根的个数的判定。
3 .函数零点有变量零点和不变量零点。
4. 求三次函数零点，关键是正确的因式分解，作图像可先由零点分析出函数值的正负 变化情况，再适当取点作出图像。
【例题讲解】例1•函数f(x) ax 2 x 1仅有一个零点，求实数 a 的取值范围。
例2 .函数 f(x) lOg 3xx 3零点所在大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2mx 2m 1 0，若方程式有两根，其中一 根在区间(1,0)内，另一根在(1,2)内，求m 的范围。
参考答案:1 a41 综上：a 0或a —时，函数仅有一个零点。
4例2.C 例3.解：由题意知f(0) 2m 1 0f( 1)2 0f(1) 4m 2 0f(2) 6m 5 0m R5 11 m —m622例3.关于x 的二次方程x 2 例1.解：①若a 0 f (x)x 1为一次函数，易知函数仅有一个零点。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学业分层测评 新人教B版必修1(2021年最新整理)
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函数的零点（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．下列函数没有零点的是( )A．f（x)＝0 B．f(x)＝2C．f（x）＝x2－1 D．f(x)＝x－错误!【解析】函数f（x)＝2，不能满足方程f（x）＝0，因此没有零点．【答案】B2．已知f(x）是定义域为R的奇函数,且在（0，＋∞）内的零点有1 003个,则f(x)的零点个数为（)A．1 003 B．1 004C．2 006 D．2 007【解析】因为f（x)是奇函数，则f（0）＝0，且在（0,＋∞）内的零点有1 003个，所以f(x)在（－∞,0）内的零点有1 003个．因此f（x）的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007（个)．【答案】D3．函数y＝x3－16x的零点个数是（)A．0 B．1C．2 D．3【解析】令x3－16x＝0，易解得x＝－4，0，4，由函数零点的定义知，函数y＝x3－16x 的零点有3个．【答案】D4．若二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a〉b>c,则该函数的零点个数为( ）A．1 B．2C．0 D．不能确定【解析】由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c〈0，∴Δ＝b2－4ac>0。
2.4.1函数的零点教案学生版
§2.4函数与方程2.4.1 函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，会求函数的零点；2.会判定二次函数零点的个数；3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系．【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.填一填：知识要点、记下疑难点1.零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点的横坐标叫做这个函数的零点．函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．当Δ＝b2－4ac>0时，二次函数有_2_个零点；Δ＝b2－4ac＝0时，二次函数有_1_个零点；Δ＝b2－4ac<0时，二次函数有_0_个零点．3.如果函数y＝f(x)在实数集R上有零点a，b (a<b)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(－∞，a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义导引考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.问题1 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？问题2“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？问题3 在“导引”中，当x的值为－1,3时，函数y＝x2－2x－3的值为0，我们把－1,3叫做函数y＝x2－2x－3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？问题4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？问题5函数的零点与函数图象上的点有什么区别？例1 已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac<0，则函数f(x)的零点个数有 ( )A．0 B．1 C．2 D．不确定小结：求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论．跟踪训练1 函数y＝x2－2x－8的零点是 ( )A．(－2,0)，(4,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．－2和4探究点二函数零点的性质问题1 二次函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？问题2 观察f(x)＝x2－2x－3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？问题3 二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间(－2,1)上有零点x＝－1，而f(－2)>0，f(1)<0，即f(－2)·f(1)<0，在区间(2,4)上有零点x＝3而f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？问题4 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么f(a)·f(b)<0是否一定成立？问题5 如果函数y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？例2 求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是 ( )A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2 C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；22.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值 ( )A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断3.如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是 ( )A．(－2,6) B．[－2,6] C．(－∞，－2)∪(6，＋∞) D．{－2,6}4.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝______，b＝________.课堂小结：1.函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点．2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
课件4：2.4.1 函数的零点
1．数形结合思想 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的 根 的 分 布 问 题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解决， 利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合 的思想，一般要考虑四个因素： (1)二次项的系数； (2)判别式； (3)对称轴； (4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解 决． 我们知道函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根．
求下列函数的零点： (1)y＝x－1； (2)y＝x2－x－6. [分析] 把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之 积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解．
[解析] (1)令y＝x－1＝0，得x＝1， ∴函数y＝x－1的零点是1. (2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)， 令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3， ∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3.
由二次函数 f(x)＝3x2－5x＋a 的图象可得
f－2>0
3×4－5×－2＋a>0
f0<0 f1<0
，即a3<－05＋a<0
，
f3>0
27－15＋a>0
解得－12<a<0. ∴实数 a 的取值范围是(－12,0)．
2．零点分析法 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且 在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b) 内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)＝0 在区间 (a，b)内至少有一个实数解．这种利用函数性质判定方程实数 解的方法也叫零点分析法． 零点分析法的几何意义是，在闭 区间[a，b]上有连续曲线 y＝f(x)且连 续曲线的始点(a，f(a))与终点(b，f(b)) 分别在 x 轴的两侧，则此连续曲线与 x 轴至少有一个交点(如图所示)
教学设计2：2.4.1函数的零点
2.4.1函数的零点教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：”数形结合”思想和”转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确”方程的根”与”函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握”由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验”数学语言”的严谨性，”数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.教学过程导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3=0的根，画函数y=x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x+1=0的根，画函数y=x2－2x+1的图象.③求方程x2－2x+3=0的根，画函数y=x2－2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图3－1－1－2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3－1－1－3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3－1－1－4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用”转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过”平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)、(x2，0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f (x )=x 2－2x －3的图象，我们发现函数f (x )=x 2－2x －3在区间［－2，1］ 上有零点.计算f (－2)与f (1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2，4］同样如此.可以发现，f (－2)f (1)<0，函数y =x 2－2x －3在区间(－2，1)内有零点x =－1，它是方程x 2－2x －3=0的一个根.同样地，f (2)f (4)<0，函数y =x 2－2x －3在(2，4)内有零点x =3，它是方程x 2－2x －3=0的另一个根.图3－1－1－2 图3－1－1－3 图3－1－1－4应用示例例1若方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. ③有两种情况：a .a =0;b .a ≠0，Δ≥0. 解：令f (x )=2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内恰有一个解时，f (0)·f (1)<0或a ≠0且Δ=0， 由f (0)·f (1)<0，得(－1)(2a －2)<0，所以a >1.由Δ=0，得1+8a =0，a =81- ∴方程为41-x 2－x －1=0，即x =－2∉(0，1)(舍去).综上可得a >1. (2)当方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a容易解得实数a 不存在.综合(1)(2)，知a >1. 变式训练若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a =0时，x =0满足题意. (2)当a ≠0时，设f (x )=ax 2+3x +4a .方法一:若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a ≤43. 综上(1)(2)，得0≤a ≤43. 方法二:若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，则⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a aa 解得0<a ≤43. 综上(1)(2)，得0≤a ≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组. (2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2，满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x ∈(0，x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f (x )－x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x ∈(0，x 1)时，有f (x )－x =a (x －x 1)(x －x 2)=a (x 1－x )(x 2－x )>0，即f (x )－x >0. 又∵f (x )－x =a (x 1－x )(x 2－x )<a ·a1(x 1－x )=x 1－x ，即f (x )－x <x 1－x ，故0<f (x )－x <x 1－x ，即x <f (x )<x 1.(2)∵f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c ，且f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2， ∴二次函数f (x )－x 的对称轴为x =221x x +=a b 21--.∴21x=22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1，∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0，即x 0<21x.变式训练1.已知二次函数f (x )满足f (3－x )=f (3+x )，且其两零点分别为x 1、x 2，求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f (3－x )=f (3+x )，∴函数f (x )的图象上有两点(3－x ，y )、(3+x ，y )关于x =3对称.∴二次函数f (x )的对称轴为x =3. ∵x 1、x 2为二次函数f (x )的两个零点， ∴x 1+x 2=6.2.若函数f (x )满足f (3－x )=f (3+x )，且函数f (x )有6个零点，求所有零点的和. 解：同理函数f (x )的对称轴为x =3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a ，两个根为x 1、x 2，则二次函数解析式为f (x )=a (x －x 1)(x －x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f (x )的对称轴为x =221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y =e x +4x －4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f (a )f (b )<0及函数的单调性.(2)作出y =e x 和y =4－4x 的图象，把函数y =e x +4x －4的零点的个数转化为方程e x =4－4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数. 解：(方法一)利用计算机作出x ，f (x )的对应值表：由表和图可知，f (0)<0，f (1)>0，则f (0)f (1)<0，这说明f (x )在区间(0，1)内有零点，由于函数在定义域(－∞，+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y =e x 和y =4－4x 的图象(图3－1－1－10)，即可直观地看出零点的个数为1.图3－1－1－10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f (a )f (b )<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的. 拓展提升1.已知m ∈R ，设P:x 1和x 2是方程x 2－ax －2=0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立；Q ：函数f (x )=3x 2+2mx +m +34有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，∴|x 1－x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+. 当a ∈［1，2］时，8a 2+的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m ≤8. 由已知得Q 中:f (x )=3x 2+2mx +m +34的判别式Δ=4m 2－12(m +34)=4m 2－12m －16>0，得m <－1或m >4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4，8］.2.如果函数y =f (x )在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )f (b )>0，那么函数y =f (x )在区间(a ，b )内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［－3，3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3－1－1－11).图3－1－1－11 图3－1－1－12(2)可能有一个零点如图(图3－1－1－12).(3)可能有两个零点如图(图3－1－1－13).图3－1－1－13 图3－1－1－14(4)可能有三个零点如图(图3－1－1－14).(5)可能有n(n∈N*)个零点，图略.点评：在区间［－3，3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.。
原创1：2.4.1 函数的零点（导学式）
探究点1 方程的根与函数和相应的方程f(x)=0的根有何 关系呢？
结论: 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根. 即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点.
探究点2 零点的概念
归纳：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标. 零点是对于函数而言，根是对于方程而言． 由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y= f(x)的零点.
对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数 y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.
第二章 函数
§2.4.1 函数的零点
高中数学必修1·精品课件
学习目标
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系； 2.掌握函数零点存在性判定定理； 3.能结合图象求解零点问题．
引入课题 方程解法时间图 · 中国
公元50年—100年
11世纪·北宋·贾宪
13世纪·南宋 秦九韶
7世纪·隋唐·王孝通
1 2 3x
1
–2
–2
–4 –3 –2 –1O
–1
–3
–3
–2
1 2 3x
x1=−3, x2=1
x1=x2=−1
无实根
(−3,0),(1,0)
(−1,0)
无交点
探究点1 方程的根与函数图象的关系
引申： 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系？
此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否 有实根，有几个实根．
高中数学：2.4.1函数的零点
2．4．1函数的零点1．了解函数零点的定义．2．理解函数零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的判定方法．1．函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．二次函数零点的性质(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点．( ) (2)任何函数都有零点．( )(3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )＜0．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．函数f (x )＝x －1x 的零点是( )A ．1B ．－1C ．1，－1D ．(1，－1)答案：C3．函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点与函数y ＝f (x )的零点有什么联系？ 解：函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点．求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4． 【解】 (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是－3．(2)令x 2＋2x ＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点．函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．1．若2是函数f (x )＝x 2－m 的一个零点，则m ＝________．解析：因为2是函数f (x )＝x 2－m 的一个零点， 所以f (2)＝0，即22－m ＝0，所以m ＝4． 答案：42．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，求函数g (x )＝bx 2－ax 的零点．解：由于函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，得2a ＋b ＝0，则g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ，令－2ax 2－ax ＝0，可得x ＝0或－12，故g (x )的零点为0和－12．零点个数的判断分别判断下列函数零点的个数，并说明理由：(1)f (x )＝x 2＋6x ＋9；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0．【解】 (1)函数f (x )＝x 2＋6x ＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x 轴有唯一的公共点(－3，0)，所以函数f (x )＝x 2＋6x ＋9有一个零点．(2)法一：当x ≥0时，令f (x )＝0得x ＋1＝0， 解得x ＝－1，与x ≥0矛盾； 当x <0时，令f (x )＝0得x －1＝0， 解得x ＝1，与x <0矛盾．所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0没有零点．法二：画出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0的图象，如图所示，因为函数图象与x 轴没有公共点，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0没有零点．判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f (x )＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一平面直角坐标系内作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，由f (a )·f (b )＜0即可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是单调函数，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？(1)f(x)＝x2＋2x＋3；(2)f(x)＝－x2＋2x－1；(3)f(x)＝x2－5x＋6．解：(1)令f(x)＝x2＋2x＋3＝0，所以Δ＝4－12＝－8<0，方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以此函数没有零点．(2)令－x2＋2x－1＝0⇒－(x－1)2＝0⇒x1＝x2＝1，故此函数有一个二重零点1．(3)令x2－5x＋6＝0⇒(x－3)(x－2)＝0⇒x1＝2，x2＝3．故此函数有两个零点2，3．函数零点性质的应用已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1．若b ＝a＋2，且函数f (x )在(－2，1)上恰有一个零点，求a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，令f (x )＝0， 得x ＝12，符合题意．当a ≠0时，因为b ＝a ＋2，所以f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a >0， 函数f (x )＝ax 2－bx ＋1必有两个零点， 又函数f (x )在(－2，1)上恰有一个零点， 故f (－2)·f (1)<0， (6a ＋5)×(－1)<0， 所以6a ＋5>0，所以a >－56，又因为a ≠0，所以a >－56且a ≠0．综上a >－56．方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活应用．当二次函数解析式中含有参数时，要注意讨论各种情况，不要遗漏．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2则x1x2<0，所以a－2<0，所以a<2．法二：因为函数f(x)的图象开口向上，零点分布在x＝0两边，所以f(0)<0，即a－2<0，所以a<2．答案：a<21．正确理解函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．3．关于判断函数零点个数的方法总结(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．(4)转化成两个函数图象的交点问题．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2，3B．2，3C．2，－3 D．－2，－3解析：选B．令－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3．故函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点为2，3．2．函数y＝(x－2)(x－3)－12的零点为________．解析：函数y＝(x－2)(x－3)－12＝x2－5x＋6－12＝(x＋1)(x－6)．令y＝0，解方程(x＋1)(x－6)＝0得，x 1＝－1，x 2＝6．所以函数的零点为－1，6．答案：－1，63．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝________，b ＝________． 答案：－6 14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6， 所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13． 答案：－12，－13[A 基础达标]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ．由f (x )的一个零点是2，得2a ＋b ＝0，所以b a ＝－2，而g (x )＝bx 2－ax ＝bx (x －a b )，其零点是0和a b ，即0，－12．故选C ． 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则该函数的零点个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定解析：选B ．因为ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以该函数有两个零点，故选B ．3．函数f (x )＝x 3－2在区间[1，2]内的零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C ．由f (x )在R 上是增函数，且⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0f （2）>0知f (x )在[1，2]上有零点． 又因为f (x )＝x 3－2在[1，2]上单调递增，所以函数在[1，2]内的零点个数为1．4．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时－7<x <－1，则实数m 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．m ＝0时f (x )＝21<0不成立，m ≠0时，f (x )是二次函数，由f (x )<0时－7<x <－1知－7，－1是f (x )的零点，所以－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋21＝0的两根，所以21m＝－7×(－1)＝7． 所以m ＝3．故选C ．5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1，2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C ．若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1，2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．故f (x )在(1，2)上有且仅有一个零点．6．函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一零点为32，则f (1)＝________． 解析：因为32是f (x )＝0的零点， 所以2×(32)2－a ×32＋3＝0，所以a ＝5， 所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，所以f (1)＝0．答案：07．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2，0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在[－2，0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调，所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，解得m ≤－23．所以，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－23． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－23 8．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0．因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0．答案：3 09．若方程mx 2－x ＋1＝0至少有一个大于0的实数根，求实数m 的取值范围．解：设f (x )＝mx 2－x ＋1，当m <0时，由于f (0)＝1，对称轴x ＝12m <0，所以方程有一个正根；当m >0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－1）2－4m ≥0－－12m >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤14m >0⇒0<m ≤14；当m ＝0时，方程为－x ＋1＝0根为x ＝1，符合题意．综上所述m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14．10．已知关于x 的函数 y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1 恒有零点．(1)求 m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求 m 的值．解：(1)当 m ＋6＝0 时，函数 y ＝－14x －5 显然有零点；当 m ＋6≠0 时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，得 m ≤－59．所以当 m ≤－59，且 m ≠－6 时，二次函数有零点．综上可知，原函数有零点时，m 的取值范围是m ≤－59．(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6，因为1x 1＋1x 2＝－4，所以x 1＋x 2x 1x 2＝－4，所以－2（m －1）m ＋1＝－4，解得 m ＝－3．且当 m ＝－3 时，m ＋6≠0，Δ>0 符合题意．所以m 的值为－3．[B 能力提升]11．二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m <0，那么p ，q 满足的条件为() A ．p >0且q <0 B ．p >0且q >0C ．p <0且q >0D ．p <0且q <0解析：选D ．由题意知，方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为m 和1，且－1<m <0．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＝m ＋1>0，q ＝m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧p <0，q <0. 12．关于函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点的叙述：①－2是函数的一个零点；②函数的二重零点是1；③函数f (x )＝g (x )＋4，则函数g (x )的零点是－1，2；④对于任意a ，b ∈(－2，1)，f (a )f (b )≥0．其中，所有叙述正确的序号为________．解析：f (－2)＝－8＋6＋2＝0，故①正确；f (x )＝(x 3－x )－2x ＋2＝x (x 2－1)－2(x －1)＝(x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)，故②正确；g (x )＝f (x )－4＝x 3－3x －2＝(x 3－x )－2x －2＝x (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝(x ＋1)(x 2－x －2)＝(x ＋1)2(x －2)，故③正确；对于任意a ，b ∈(－2，1)，f (a )f (b )>0，故④不正确． 答案：①②③13．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点；(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．解：(1)因为－1和－3是函数f (x )的两个零点，所以－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×（－3）＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2． (2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝（k －2）2－4×（k 2＋3k ＋5）≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝－k 2－10k －6－4≤k ≤－43，设y ＝－k 2－10k －6＝－(k ＋5)2＋19，所以y max ＝f (－4)＝18，y min ＝f (－43)＝509． 所以α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509．即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509，18． 14．(选做题)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象如图：可知若g (x )＝m 有零点，则有m ≥2e ．故m 的取值范围为{m |m ≥2e}．(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)和f (x )的图象，如图．因为f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，所以m的取值范围是m>－e2＋2e＋1．。
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点精品学案新人教B版必修
5
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即 f ( a) · f ( b) ＜ 0，则在区间 ( a，b) 内，函数 y＝ f ( x) 至少有一个零点，即相应的方程 ＝0 在区间 ( a， b) 内至少有一个实数解 .
f ( x)
6
∴函数有一个零点 .
要点三 函数零点性质的应用 例 3 已知关于 x 的二次方程 ax2－ 2( a＋1) x＋ a－ 1＝ 0 有两个根，且一个根大于
2，另一个
根小于 2，试求实数 a 的取值范围 . 解 令 f ( x) ＝ ax2－ 2( a＋ 1) x＋ a－ 1，依题意知， 函数 f ( x) 有两个零点， 且一个零点大于 2， 一个零点小于 2. ∴f ( x) 的大致图象如图所示：
.
2. 二次函数零点与二次方程实根个数的关系 判别式 y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0)
ax2＋ bx＋ c＝ 0( a≠0)
Δ＞0
两个零点：
－ b± b2－ 4ac
x＝
2a
两不等实根：
－b± b2－ 4ac
x＝
2a
1
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f (0) · f (4) ＜ 0.
3. 如果二次函数 y＝x2＋mx＋ m＋3 有两个不同的零点，则 m的取值范围是 (
)
A.( － 2,6)
B.[ － 2,6]
C.( －∞，－ 2) ∪(6 ，＋∞）
D.{ － 2,6}
答案 C 解析 由题意，得 Δ ＝ m2－ 4( m＋3) ＞ 0，即 m2－ 4m－12＞ 0，∴ m＞ 6 或 m＜－ 2.
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.1函数的零点》课件(1)
2.4.1 函数的零点
Y
M (2,6)
A (0,4)
4m
?
O
B
X
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程
函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
例题：
题型1.求下列函数的零点 例：
（1）f (x) 2x(x 2) 3（2）f (x) x2 x 20
（3）f (x) x2 4x 4 （5）f (x) 1 x
x
（4） f (x) x3 x
（6） f (x) x3 x, x2,3
答案： （1）没有零点 （2）有两个零点4， － 5 （ 3）有一个二重零点 2
y
y
.
.
2
.1 .
－1 0 1 2 3 －1
－2 －3
. －4
.2
.
x
1. .
. －1 0 1 2
x
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
1、函数零点的定
The definition of point
a
b
a· b·
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
一、基础过关
1．函数f(x)＝x －4x
的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个
2．若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝mx 2＋8mx ＋21，当f(x)<0时，－7<x<－1，则实数m 的值为
( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点个数为
( )
A ．1 003
B ．1 004
C ．2 006
D ．2 007 5．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.
6．已知一次函数f(x)＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f(x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．
7．证明：方程x 4
－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
二、能力提升
9．若函数f(x)＝ax ＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是 ( )
A.0，－12 B ．0，12
C ．0,2
D ．2，－12
10．若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足f(1)＝0，且a>b>c ，则该函数的零点个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．0
D ．不能确定 11．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______
个零点，这几个零点的和等于______．
12．已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2
－2x.
(1)写出函数y ＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．
三、探究与拓展
13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．。