北师大版高中数学选修3-1微积分练习
高三数学微积分专项练习题及答案
高三数学微积分专项练习题及答案1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
解：首先，我们需要求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，解得的x值就是函数的极值点。
求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0，解方程得到3x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式，我们得到x = (6 ± √(6^2 - 4*3*2))/(2*3)。
化简得到x = (6 ± √12)/(6) = (2 ± √3)/(2)。
所以，函数f(x)的极值点为x = (2 + √3)/(2)和x = (2 - √3)/(2)。
2. 求函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值。
解：首先，我们需要求出函数f(x)在区间[0, π]上的导函数f'(x)，然后找到导函数f'(x)=0的所有解，用这些解以及区间端点来确定最大值和最小值。
求导得到f'(x) = cos(x)。
找出f'(x)=0的解，即cos(x) = 0，解方程得到x = π/2。
此外，观察区间端点，当x = 0和x = π时，函数f(x)的值分别为sin(0) = 0和sin(π) = 0。
所以，在区间[0, π]上，函数f(x)的最大值为1（当x=π/2时），最小值为-1（当x=π/2时）。
3. 求函数f(x)=e^x * ln(x)的图像的渐近线。
解：函数f(x)的渐近线可以分为水平渐近线和垂直渐近线。
首先，我们来找水平渐近线。
当x趋向于负无穷或正无穷时，e^x趋向于0或正无穷，而ln(x)函数的定义域为(0,正无穷)，所以e^x * ln(x)的值趋向于0或正无穷。
因此，y = 0是函数f(x)的水平渐近线。
接下来，我们来找垂直渐近线。
垂直渐近线出现的位置取决于ln(x)的定义域。
ln(x)的定义域为(0,正无穷)，所以垂直渐近线会出现在x=0的位置。
北师大版高中数学选修3-1圆周率练习.docx
圆周率练习1．关于圆周率的最早记录出自( )A．《周髀算经》B．《九章算术》C．莱茵德草卷D．《几何原本》2．世界上第一个把π计算到3.141 592 6＜π＜3.141 592 7的数学家是( ) A．刘徽B．阿基米德C．祖冲之D．卡瓦列利3．最早用穷竭法研究圆周率的数学家是( )A．阿基米德B．安提丰C．刘徽D．布里松4．证明π是无理数的数学家是( )A．高斯B．阿基米德C．兰伯特D．林德曼5．圆周率的计算是我国古代数学史上的伟大的成就之一，很久以前我们的祖先就发现圆的周长和直径之比是一个定数，这个定数被命名为圆周率．那么圆周率在不断地精确过程中有哪些突出的成就呢？6．查找资料，了解阿基米德与穷竭法．7. 如图所示，已知直线y=2x+3与抛物线y=x2交于A，B两点，试用阿基米德穷竭法求抛物弓形AOB的面积．参考答案1．答案：C2．答案：C3．答案：B4．答案：C5．答：①《周髀算经》，采用的圆周率是“周三径一”，即π＝3；②魏晋时期刘徽创立割圆术，为计算圆周率建立了严密理论和算法，求出π≈3.141 6，采用了极限思维，是近代微积分思想的萌芽；③祖冲之求出的圆周率，在3.141 592 6和3.141 592 7之间，并且确立两个分数形式的近似值：约率和密率，祖冲之的成果在世界上一直领先了1 000年．6．答：在古希腊，利用穷竭法作出重要贡献的是阿基米德，阿基米德(Archime d es ，公元前287—前212)出生于意大利西西里岛的叙拉古，是古希腊最杰出的数学家、力学家，他的几何著作成为古希腊数学的顶峰，他的数学著作主要有《圆的度量》《论球与圆柱》《抛物线求积法》《论螺线》等．在这些著作中，阿基米德巧妙地将穷竭法与原子论观点结合起来，通过严密的计算，获得了许多重要的结果，例如他在《抛物线求积法》一书中，使用穷竭法求出了抛物线弓形的面积，他的方法简述如下：作三角形ABC ，设其面积为S 1，其中l 1∥AC ，B 是切点，再作抛物线的切线l 2和l 3使之分别平行于AB 和BC ，切点分别是D 和E ，再作三角形ADB 和三角形BEC (如图)，设两个三角形面积之和为S 2，用A 1表示S 1，A 2表示S 1+S 2，那么用完全同样的方法可以得到A n =S 1+S 2+…+S n .很明显，只要取n 足够大，弓形面积S 与A n 的差S -A n 就可以任意小．由抛物线的性质可知S 1=4S 2，∴A n ＝S 1＋1111121141444334n n S S S S S --++⋅⋅⋅+=-⋅. 最后，阿基米德用反证法证明了S ＝143S . 特别要提到的是，阿基米德在计算以他的名字命名的曲线——阿基米德螺线第一周围成的区域的面积时，使用了类似于现代积分学中的大和、小和的概念．他的用法，用今天的符号表示就是：将2π n 等分，在每一部分上作出顶角2nπ的内接圆扇形和外接圆扇形(如下图)，它们的面积之和，分别用A n 与S n 表示，显然所求之面积S 满足不等式A n ＜S ＜S n ，经过计算A n ＝324111132a n n π⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， S n ＝324111132a n n π⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是，对任意的n ，有A n ＜3243a π＜S n .阿基米德经过猜测，并使用反证法进行了证明，得出螺线第一周所围成的面积S ＝3243a π. 阿基米德突破了传统的有限运算，大胆地采用了无限逼近的思想，从而将穷竭法发展到了高峰，但是由于当时没有极限概念，不承认无限，因此，穷竭法仍是有限的形式，并且局限在几何直观上，运算也很烦琐，所以自阿基米德之后，很长时间没有被人重视．尽管这种方法有很大的缺点，但是，他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽．7. 分析：可以求出弦AB 的中点C ，过C 作y 轴的平行线交抛物线与点D ，这样抛物弓形AOB 的面积是△ABD 面积的43，因此我们只要求△ABD 的面积即可．解：设A ，B 两点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则有2,23,y x y x ⎧=⎨=+⎩解得12121,3,1,9.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ∴A (－1,1)，B (3,9)，中点C (1,5)．过中点C(1,5)作y 轴的平行线交抛物线于D(1,1)，再求△ABD 的面积． |AB|=[]223(1)(91)4 5.--+-=点D 到直线AB 的距离为d ＝21134455415⨯-+==+. ∴S △ABD ＝12|AB |·d ＝1454525⨯⨯＝8. ∴抛物弓形AOB 的面积为S ＝43S △ABD ＝432833⨯=.。
北师大版高中数学选修3-1微积分练习
北师大版高中数学选修3-1微积分练习高中数学学习材料鼎尚图文某整理制作微积分练习1．17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是________的诞生．()A．函数B．微积分C．解析几何D．极限思想2．历史上第一篇系统的微积分文献是()A．牛顿的《自然哲学的数学原理》B．牛顿的《流数法与无穷级数》C．牛顿的《流数简论》D．莱布尼茨的《一种求极大值极小值和切线的新方法》3．微分学中的符号d某，dy等，积分符号∫的创立者是()A．莱布尼茨B．阿基米德C．高斯D．牛顿4．十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第________次数学危机．()A．一B．二C．三D．四5．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为2cC．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为2c某1,1某0,6．函数f(某)＝的图像与某轴所围成的封闭图形的面积为()co某,0某231A.B．1C．2D.227．促使微积分产生的科学问题主要有______________，_____________，______________，_______________四类问题．8．如图，函数f(某)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝____________；lim某0f(1某)f(1)＝________.(用数字作答)某9．向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟则当水深为5m时，水面上升的速度为________m/min.10．利用定积分的几何意义计算：83m，34某d某；(2)in某d某.22211．结合史料，谈谈阿基米德对于微积分的创立起到了什么样的重要作用．12．牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝地努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？哪篇是牛顿最成熟的微积分著述？为什么？13．为什么说在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：A4．答案：B5．答案：D解析：∵V(t)＝243πR(t)，3∴c＝V′(t)＝4πR(t)R′(t)．∴R′(t)＝c.24R(t)2∵S(t)＝4πR(t)，∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)某c2c＝.4R2(t)R(t)6．答案：A解析：如图，根据定积分的几何意义可得所求的封闭图形的面积：11某1某1＋2co某d某＝＋in某02213＝inin0.222S＝207．答案：瞬时速度问题切线问题函数的最值问题面积、体积、曲线长、重心和引力的计算8．答案：2－2解析：∵f(某)＝2某4,0某2,某2,2某6,∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2.又根据导数几何意义可知lim9．答案：某0f(1某)f(1)＝f′(1)＝－2.某8812解析：设t分钟时，水深为h米，则由体积相等，得thh，7533213所以h＝2t，h′(t)＝，33t2128当h＝5时，t＝，81258所以v＝h′(t)|t＝(m/min)．87510．解：(1)如图①，224某d某等于图中阴影部分的面积，∴2224某2d某＝1某22＝2π.2(2)如图②，∴in某d某等于图中阴影部分的面积和，其中，在某轴下方的面积为负，in某d某＝0.11．答：在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分．但微积分的原理，却可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法．远在阿基米德那个时代(公元前二百多年)，没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣．直到今天，在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西．正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积公式，以及抛物线的弓形面积公式，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算．后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工．下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积公式为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法．设有一抛物线f(某)，求其与横轴某及直线某＝p(p＞0)所围的面积，即曲边三角形OPM(如下图阴影部分)的面积S.阿基米德是这样想的：设OP＝1，将OP分成n等份．曲边三角形OPM被分割成n个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带子”的宽度是1/n，第k条带子的高是某＝1kk处抛物线的纵坐标．所以第k条带子的面积是f，各条矩形带子的面nnn积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当n→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S.曲边三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了．正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学．阿基米德当时也曾预言：“我认为在现在或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式，牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的方法，并且给了一个恰当的名词：积分．12．答：这三篇论文是(1)《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》；(2)《流数法与无穷级数》，简称《流数法》；(3)《曲线求积术》，简称《求积术》．《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述．因为牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小量的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数的概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比．确切地说，它们构成增量的最初比．”牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．牛顿在《曲线求积术》中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号．。
2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：3.1 从经验几何到演绎几何 Word版含答案
第三章几何学进展史§1从阅历几何到演绎几何一、非标准1.主见“对几何学的陈述不能凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反,必需要经过严密的规律证明”,并且第一个提出“知其然”,同时还要“知其所以然”的学者是().A.毕达哥拉斯B.柏拉图C.欧几里得D.泰勒斯答案:D2.在西方最早证明白“勾股定理”的是().A.毕达哥拉斯学派B.柏拉图学派C.古埃及人D.古巴比伦人答案:A3.古希腊人在几何学上提出的三大作图问题有().①三等分任意角②化圆为方③立方倍积④黄金分割⑤三等分圆周A.②③⑤B.①②③C.①③④D.②③④答案:B4.虽然没有认真于几何学,但是在雅典成立学院并且在学院门口写着格言“不懂几何者不得入内”的人是().A.柏拉图B.欧几里得C.毕达哥拉斯D.亚里士多德答案:A5.使欧几里得名垂不朽的著作是().A.《把握论》B.《工具论》C.《原本》D.《圆锥曲线论》答案:C6.欧几里得、和阿波罗尼奥斯是公元前3世纪的3个数学巨人.答案:阿基米德7.《原本》中包含的4种不同的概念是.答案:定义、公理、公设、命题8.搜集有关解决古希腊三大几何作图问题的资料,体会演绎几何的进展.答案:2000多年来,三大几何作图问题因其独特的魅力吸引了很多数学家投入其中,百折不挠,虽屡战屡败仍前赴后继.古希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,西方文艺复兴时期大师们的睿智,都曾倾注于此,但最终还是没有解决.不是由于这些数学家不够聪慧,也不是由于他们不够睿智.实在是由于当时的条件还不成熟.就像再锋利的刀也削不到自己的柄一样,一个学科的问题,往往需要借助其他学科的学问才能解决.笛卡儿的解析几何创立之后,尺规作图的可能性才有了准则.这样,很多几何问题就可以转化为代数问题来争辩.由于用圆规、直尺作图的每一步都需要找一个交点,这个点或者是属于两条直线的,或者是一条直线和一个圆的.由于引进了解析几何,人们生疏到,用代数术语说,这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程,或一个线性方程和一个二次方程,或两个二次方程.到19世纪中叶,由于新的数学工具的应用,数学家最终明白三大几何作图问题实际上是不行解的.首先取得突破的是法国数学家旺策尔(P.L.Wantzel,1814—1848),他在1837年给出了三等分任意角及立方倍积不行能用尺规作图的严格证明.1882年,德国数学家林德曼(C.L.F.Lindemann,1852—1939)证明白π的超越性,所谓超越性就是说π不行能是任何整系数代数方程的根.化圆为方的不行能性也得以证明.在伽罗瓦建立群论之后,人们发觉,除了化圆为方,把伽罗瓦理论应用到另两个问题时也格外奏效.化圆为方与另两个问题性质不同,它涉及一个超越数π.与旺策尔的证明相比,伽罗瓦的理论更具一般性,不仅完全回答了哪些方程可以用代数运算求解,而且给出了一个一般的判别法来判定几何图形是否可以用直尺和圆规来作图.9.搜集《原本》在中国传播的有关资料,体会《原本》对我国数学进展的意义和影响.答案:前六卷的翻译工作《原本》传入中国,首先应归功于明末科学家徐光启.徐光启(1562—1633),字子先,上海吴淞人.他在加强国防、进展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当大的贡献,对引进西方数学和历法更是不遗余力.他生疏意大利传教士利玛窦之后,打算一起翻译西方科学著作.利玛窦主见先译天文历法书籍,以求得天子的赏识.但徐光启坚持按规律挨次,先译《原本》.对徐光启而言,《原本》有严整的规律体系,其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同.这种区分于中国传统数学的特点,徐光启有着比较清楚的生疏.他还充分生疏到几何学的重要意义,他说“窃百年之后,必人人习之”.他们于1606年完成前6卷的翻译,1607年在北京印刷发行.徐光启翻译中的重要贡献徐光启和利玛窦《原本》中译本的一个宏大贡献在于确定了争辩图形的这一学科中文名称为“几何”,并确定了几何学中一些基本术语的译名.“几何”的原文是“geometria”,徐光启和利玛窦在翻译时,取“geo”的音为“几何”,而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思.用“几何”译“geometria”,音义兼顾,确是神来之笔.几何学中最基本的一些术语,如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名,都是这个译本定下来的.这些译名始终流传到今日,且东渡日本等国,影响深远.后7卷的翻译工作就在他们想连续把《原本》的后7卷翻译完的时候,发生了一件意想不到的事情,就是徐光启的父亲不幸去世了.徐父去世的精确日子是5月23日.当时徐光启尽管已经入教,但作为一名始终在传统文化熏陶。
北师大版高中数学选修3-1数学史选讲习题 4--2
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微积分创立的历史意义：
（1）提供了定量处理与运动、变化等有关的多 种现实问题的强有力方法； （2）解析几何与微积分的建立，标志着数学由 初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要 转变； （3）以极限方法为主要特征的微积分方法蕴涵 着基本却又十分重要的数学思想；
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（4）微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数 学领域，其后数学分析大厦逐步建立； （5）微积分的建立，使得数学的基本格局发生 了变化，在这之前，数学主要有代数(包括算术) 与几何两大领 域，而微积分的建立，形成了代 数、几何与分析三足鼎立的局面。
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1．微积分学是微分学和积分学的总称。它是一 种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求 和”就是积分。十七世纪后半叶，在许多数学家 工作的基础上，__牛__顿____和_莱__布__尼__茨___分别独立 地创立了微积分学。
2．从牛顿的读书笔记可以看出，就数学思想的 形 成 而 言 ， 笛 卡 儿 的 _《__几__何__学__》_ 和 沃 利 斯 的 《__无__穷__算__数__》_对他影响最深，正是这两部著作引 导牛顿走上创立微积分的道路。
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二、微积分基本定理及其应用 牛顿在《流数简论》中提出了微积分的基本问题， 并在此基础上建立了微积分基本定理．几乎与此 同时，德国数学家莱布尼茨在其《数学笔记》中，
创立了积分符号∫和微分符号dy，dx，并明确指
出了积分和微分是互逆过程。因而，后人把微积 分基本定理也称作“牛顿—莱布尼茨定理”．微 积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系， 同时它也提供了计算积分的一种有效方法。
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牛顿还开始研究重力问题，并把重力理论推广到 月球的运行轨道上去。这两年是牛顿一生的重大 科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667年，牛 顿 重 返 剑 桥 上 学 .1668年3月1日选为三一学院的 正院侣.1669年3月16日接替巴罗教授，任卢卡斯 讲座教授。写下了光学讲稿、算术和代数讲稿、 《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的一部 分及《宇宙体系》等手稿。
北师大版高中数学选修3-1解析几何练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作解析几何练习1．解析几何的创始人是( )A．欧几里得B．高斯C．欧拉D．笛卡儿和费马2．下面的叙述体现解析几何的意义的有( )①以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学②以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学③使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化④为人们认识更为广泛的新空间带来了可能A．①B．②③C．①②D．①②③④3．第一次出现了变量和函数的概念的著作是( )A．《方法论》B．《圆锥曲线论》C．《解析几何的发展》D．《几何学》4．法国数学家费马给出了许多命题，其中最著名的就是________，又称________：______________________________________________________________________________.5．16世纪末，法国数学家________提出了应用代数方法解决几何问题的思想，他是________的创始人，他的代数专著是________．6．在解析几何中，“纵坐标”一词是________首先使用的，“横坐标”一词由________首次引进．而“解析几何学”这个名词却是直到18世纪末才由________国数学家________正式采用．7．解决下列问题，体会解析几何的基本思想及重要作用．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位．如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A，B型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台时，才能使利润最大？8．解决下列问题，体会解析几何的基本思想．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4 s．已知各观察点到该中心的距离都是1 020 m．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s；相关点均在同一平面内)参考答案1．答案：D2．答案：D3．答案：D4．答案：费马大定理 费马猜想 当n ＞2时，方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解5．答案：韦达 符号代数 《分析五篇》6．答案：莱布尼茨 沃尔夫 法 拉克鲁瓦7．解：设生产A 型x 台，B 型y 台，依题意得约束条件为23100,42120,5,10,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z ＝6x ＋4y . 据已知条件画出可行域和直线3x ＋2y ＝0并平移可得最优解为x ＝y ＝20.8．解：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，因正东比正西晚4 s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立平面直角坐标系，设A ，B ，C 分别是西、东、北观察点，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0,1 020)．设P (x ，y )为巨响发生点，∵A ，C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y ＝－x .①又∵B 点比A 点晚4 s 听到巨响声，∴|PB |－|PA |＝4×340＝1 360 m.由双曲线定义知，a ＝680，c ＝1 020，∴b ＝3405. ∴P 点满足的双曲线方程为22226805340x y -⨯＝1(x ≤－680)．② 联立①②求出P 点坐标为(6805-，6805)，即巨响在正西北方向68010m 处．。
北师大版高中数学选修3-1从变量数学到现代数学练习.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作从变量数学到现代数学练习1．作为变量数学的第一个标志性发明的是( )A．微积分B．解析几何C．函数D．高等几何2．笛卡儿的著作________是变量数学发展里程碑的标志．( )A．《方法论》B．《几何学》C．《笛卡儿坐标系》D．以上都不对3．被称为“计算机之父”的是( )A．笛卡儿B．柯西C．图灵和冯·诺依曼D．华罗庚4．微积分的起源主要来自两方面的问题：一方面来自力学中的一些问题，如已知路程对时间的关系，求________；已知速度对时间的关系，求________．另一方面来自几何学中的一些古老的问题，如如何作曲线的切线，如何确定面积和体积等问题．5．17世纪后半叶形成了极限的概念，极限不仅是________的基础，而且是进一步发展的整个分析的基础．6．从________世纪开始，近代数学开始逐渐走上历史舞台，引进________是近代数学与初等数学的本质区别．7．收集非欧几何学的资料，领略非欧几何的新奇．8．举例说明数学在生活上的应用．9．法国青年数学家伽罗瓦为现代代数理论的形成作出了重大贡献，他被称为才华横溢的传奇少年，收集相关资料了解一下．10．20世纪初，著名数学家希尔伯特对数学的发展有何影响？参考答案1．答案：B2．答案：B3．答案：C4．答案：速度路程5．答案：微积分6．答案：17 变量7．答：假定地球是一个理想球体，一个穿过这个球心的平面与球表面相交成一个大圆，这个大圆对应于平面上的直线．在欧氏几何中，平面上两条不平行的直线恰好交于一点；但在球面上，任何两条直线总是交于两点．另外，在一个平面上，任何两条直线都不能封闭一块区域；在球面上，任何两条直线总能封闭一块区域．假如我们要以最短的路程从球表面的A点走到B点，那么过A点、B点及球心的平面(有且仅有一个这样平面)割球面成一个大圆，沿着这个大圆的劣弧(一弦把圆分为两部分，每一部分都叫做弧．如果这条弦不是圆的直径，分成的两弧就会一大一小，其中较长的叫做优弧，较短的叫做劣弧)．从A点走到B点就是最短的路线．如果A点和B点恰好位于一条直径的两端，我们则可以沿着两条弧中的任意一条去走．在欧几里得几何中，两点之间的直线段最短．因此，球面上两点的“直线段”就是经过这两点的大圆的一段劣弧．相应地，连接这两点的最长路程就是同一大圆所剩下的优弧．如果两个点恰好位于球的一条直径的两端，此时最短路线和最长路线相等．在航空、航海上，不能把海洋看成是一个欧几里得平面，而应看成是球面的一部分．可见欧氏几何并非人类实际所需要的唯一几何学．8．答：如在工业上应用统计进行质量管理，并由此产生了抽样检验、管理图等方法；电子计算机的广泛使用，使得过去停留在理论上的方法得以付诸实施，而这又反过来促进人们提出和解决一些理论上的问题．数理统计学在应用和理论两方面获得了深入发展．9．答：伽罗瓦最主要的贡献是提出了“群”(group)的概念，用群论彻底解决了代数方程可解性的问题．为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程公式解的理论称为伽罗瓦理论，它已成为近世代数的最有生命力的理论．伽罗瓦提出的“群”是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深远的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要应用．群的概念经过进一步严格化，发展成为一般的抽象定义：设G是一个集合，集合内的元素之间定义一个二元运算*.如果G满足如下的四条性质：ⅰ(封闭性)集合中任意两个元素的积仍属于该集合；ⅱ(结合性)运算满足结合律，即(a*b)*c＝a*(b*c)；ⅲ(存在单位元)集合中存在单位元e，对集合中任意元素a满足e*a＝a*e＝a；ⅳ(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a－1，使得a－1*a＝a*a－1＝e，则G连同它的运算*称为一个群，记作(G，*)．按照群的定义可以判断，整数集连同数的加法构成一个群，其中单位元是零，每个整数a都有逆元－a；去掉零的实数集连同数的乘法也是一个群，其中单位元是1，每个实数a都有逆元1a.在伽罗瓦提出群论，解决了代数方程求解问题之后，人们赫然发现，使用伽罗瓦群这个强有力的工具，萦绕人们心头的、两千多年悬而未决的古希腊三大几何问题竟然也可以迎刃而解．10．答：他提出了23个重要的数学问题，随着这些问题的解决，推动了许多数学分支的深入发展，促进了一些新的数学分支的形成，揭示了不同数学分支之间的内在联系．。
高中数学 3.2投影画与射影几何同步精练 北师大版选修3-1-北师大版高二选修3-1数学试题
投影画与射影几何练习1．“做一个合格的画家首先要精通几何学”，是由《绘画》一书的作者提出的，他的重要功绩是大量地应用了欧几里得几何学的原理，抓住了透视学的关键，提出了“没影点”的思想．这位伟大人物是( )A．达·芬奇B．阿尔贝蒂C．拉斐尔D．丢勒2．下图所示的作品利用了______原理．( )A．射影几何学 B．素描C．透视学 D．平面几何学3．“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”，这句名言的作者对透视学作出了最大贡献，他是( )A．达·芬奇 B．阿尔贝蒂C．拉斐尔 D．丢勒4．下面的作图方法利用了______原理．( )A．平面几何学B．透视学C．素描D．射影几何学5．利用透视学原理画自己的房间．6．利用射影几何的基本思想画一个正四棱柱．7．阅读下面有关达·芬奇的资料，欣赏他的作品体会透视学的原理，简述透视学的发展与数学的联系．达·芬奇(Leonardo Da Vinci,1452—1519)作为文艺复兴时期最卓越的代表人物，他的成就和贡献是多方面的．达·芬奇出生在佛罗伦萨附近的一个小镇——芬奇镇．他是一位天才，他一面热心于艺术创作和理论研究，他研究如何用线条与立体造型去表现形体的各种问题；另一方面他也同时研究自然科学．达·芬奇是意大利文艺复兴时期最伟大、最著名的巨匠，他不仅是一位天才的画家，并且是大数学家、科学家、力学家和工程师，是一位多才多艺、全面发展的人．他有着多方面的才能，对人类作出过多方面的贡献．他不仅会画画、雕塑、建筑房屋，还会发明武器，设计过世界上第一架飞行机，他又是一个医学家、音乐家和戏剧家，而且在物理学、地理学和植物学等其他科学的研究上也很有成就．他道德高尚，举止文雅，且体格健壮，力量过人，据说他一只手就能轻易地折断马蹄铁．他左右手都会写字、作画，他用左手写的字是反向的，人们只有在镜子里才能看懂．人们一般认为，艺术不是科学．但是按照达·芬奇的界定，艺术，尤其是绘画，不但是一种科学，甚至是“所有科学之后”．达·芬奇既能发现事物表面迷人的美感，又不丧失物理学者与解剖学者的视角．他同时具有科学家的观察力与艺术家的表现力，是艺术史上第一位对人体和动物的比例做过系统研究的艺术家．他研究解剖长达40年之久，还亲自解剖了三十几具各种年龄的尸体．他不但熟悉人体外部的比例，而且了解人体的内部构造，因此笔下人物的比例、结构、动态都十分准确，无懈可击．达·芬奇对几何比例与构图十分着迷．《蒙娜丽莎》除了那永恒的神秘微笑外，还创造性地解决了半身肖像的构图问题．此后，西方那些卓越的半身像无一不受这幅画的影响．他还丰富和发展了前人的金字塔形构图，《岩间圣母》中群像以圣母的头部为顶点，形成的等腰三角形，如金字塔般稳定而和谐．与其他作品一样，《最后的晚餐》以几何图形为基础设计画面，体现出数学的对称美．有人评价这幅画是科学与艺术成了婚，而哲学又在这种完美的结合上留下了亲吻．达·芬奇最大的艺术贡献是运用明暗法使平的画面呈现出空间感和立体感．在文艺复兴初期，画家一般都用线条来表现透视，单线平涂，色彩较单调．而达·芬奇研究光影学，首创明暗渐进法，用光线和阴影的技巧来描绘人物、景致，使之呈现逼真的立体感．一直到印象派出现的几百年内，无人能够逾越达·芬奇建立的三度空间绘画体系．由他首创的明暗法使这一时期的绘画为之一变，艺术史家普遍认为它是绘画艺术的一个转折点．他的艺术成就直接影响了后来的米开朗琪罗、拉斐尔等艺术大师．从《最后的晚餐》起，西方绘画才真正进入了文艺复兴的鼎盛时期．达·芬奇还进一步归纳整理了解剖、透视、明暗和构图等零碎的技法知识，并从科学的角度进行审视．在他的《论绘画》手稿中，最初是想记录下对物理世界的客观描述，但不久就转而注意到透视、比例、几何与光学，之后是解剖学与机械学，最后则是探索宇宙本身的机械功能问题．《论绘画》是后人从达·芬奇十八本笔记中抽取出来编撰而成的，有人称它是整个艺术史上最珍贵的文献．尽管有的时候，对科学的兴趣浓厚到使他不愿提笔作画，但绘画毕竟是他最初的事业．达·芬奇就像研究别的学问一样，努力把绘画当成一种科学，终其一生都在孜孜不倦的探索中．参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：略6．答案：略7．答：由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，人们渴望描述真实的世界，数学成为了反映世界和描述艺术的工具，借助数学的帮助，自然界将变得更加真实．。
微积分-北师大版选修3-1数学史选讲教案
微积分-北师大版选修3-1 数学史选讲教案一、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几点：1.让学生了解微积分的历史发展过程；2.让学生了解微积分的基本概念和定义；3.让学生了解微积分在实际应用中的作用。
二、教学内容本节课将围绕微积分的历史发展、基本概念和应用展开讲解，具体的教学内容包括：1. 微积分的历史发展微积分是十七世纪后期到十八世纪初期欧洲数学家对无穷小和无限小的研究而发展出来的。
在这一部分，我们将从以下三个方面介绍微积分的历史发展过程：1.微积分的前身——无穷小与无限小；2.微积分的两大创始人——牛顿和莱布尼茨的贡献；3.微积分的发展与应用。
2. 微积分的基本概念和定义这一部分我们将介绍微积分的基本概念和定义，包括：1.限制性条件和无限小；2.极限的定义；3.关于微积分的进一步说明。
3. 微积分的应用在这一部分，我们将介绍微积分在实际应用中的作用。
其中，我们将以以下三个方面作为例子：1.牛顿第二定律的推导；2.面积与体积的计算；3.速度、加速度以及相关函数的计算。
三、教学方法本节课将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：通过PPT、黑板等方式介绍微积分的基本概念和定义，并讲解微积分在实际应用中的作用；2.互动式教学法：鼓励学生积极参与讨论，并通过答题互动等方式检验学生的学习情况；3.经验分享法：介绍一些微积分相关的科学家和学者的经验和成果，激发学生的兴趣和动力。
四、教学流程本节课的教学流程分为以下几个环节：1.引入微积分的历史和背景，让学生初步了解微积分的起源；2.给出微积分的基本概念和定义；3.通过讲解微积分在实际应用中的作用，引出微积分的应用部分；4.结合实例，讲解微积分在一些具体问题中的作用；5.总结本节课的教学内容，并布置课后作业。
五、教学评估本节课的教学评估将分为两个部分：1.课堂测验：通过课堂测验检验学生对微积分基本概念和定义的掌握情况；2.课后作业：通过布置课后作业来检验学生对微积分在实际应用中的作用的理解和应用能力。
金优课高中数学北师大选修课时作业： 微积分基本定理 含解析
选修2-2 第四章 §2 课时作业21一、选择题1．⎠⎛02π|sin x |d x 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－4解析：∫2π0|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x＝(－cos x )⎪⎪⎪π0＋cos x ⎪⎪⎪2ππ＝1－(－1)＋1－(－1)＝4.故选C.答案：C2． (1－2sin 2θ2)dθ的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：(1－2sin 2θ2)dθ＝cosθdθ＝sinθ⎪⎪⎪⎪π30＝32，故选D.答案：D3． 下列各式中错误的是( )A ．sinφdφ＝1B ．cosφdφ＝1C ．⎠⎛1e e x d x ＝－1D ．⎠⎛1e 1xd x ＝1解析：sinφdφ＝(－cosφ)⎪⎪⎪⎪π20＝－0－(－1)＝1，cosφdφ＝sinφ⎪⎪⎪⎪π20＝1－0＝1，⎠⎛1e e x d x ＝e x ⎪⎪⎪e 1＝e e －e ， ⎠⎛1e 1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪ e 1＝lne －0＝1.故选C. 答案：C4． 已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ， ⎠⎛01f (x )d x ＝(a 2x 2＋bx )⎪⎪⎪10＝a 2＋b ＝5， ① ⎠⎛01xf (x )d x ＝(a 3x 3＋b 2x 2)⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2＝176，②联立①②得⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 故选A. 答案：A 二、填空题5．[2013·湖南高考]若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3.答案：36．⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝__________.解析：⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 220－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2221＝116. 答案：1167．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________．解析：⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ⇒x 0＝33⎝⎛⎭⎫由0≤x 0≤1，则x 0＝－33舍去. 答案：33三、解答题8．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)(sin x －sin2x )d x .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21 ＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln1 ＝143－ln2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x ＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x 32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32. (3)∵(－cos x ＋12cos2x )′＝sin x －sin2x ，∴(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋⎪⎪12cos2x )π30＝⎝⎛⎭⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝⎛⎭⎫－cos0＋12cos0 ＝－12－14＋1－12＝－14.9．设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意知：⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，所以 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－t .－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，所以2t 3－6t 2＋6t －1＝0， 即2(t －1)3＋1＝0.于是t ＝1－132.。
北师大数学选修作业：第3章 变化率与导数31 含解析
第三章 3.1A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( D )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点(32，314)及邻近一点(32＋Δx ，314＋Δy )，则Δy Δx＝( D ) A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3[解析] ∵Δy ＝f (32＋Δx )－f (32)＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx .故选D ． 3．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( A )A ．12B ．24C ．2D ．－12[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A ． 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( B )A ．④B ．③C ．②D ．① [解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.5．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( C ) A ．1 B ．2C ．13D ．32[解析] Δy ＝21.5－22＝13. 6．(2019·杭州高二检测)设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[解析] ∵函数f (x )＝x 2－1的自变量x 由1变成1.1，所以Δx ＝1.1－1＝0.1，Δy ＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，∴Δy Δx ＝0.210.1＝2.1.故选A ． 二、填空题7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是__2＋Δx __.[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是__2.2__.[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2，故填2.2. 三、解答题9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s (t )＝t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．求小球在5到6秒间的平均速度和5到5.1秒间的平均速度，并与匀速直线运动速度公式求得的t ＝5时的瞬时速度进行比较．[解析] v －1＝s (6)－s (5)6－5＝36－25＝11(m/s)， v －2＝s (5.1)－s (5)5.1－5＝5.12－520.1＝10.1(m/s)． 由于小球做匀速直线运动，且初速度为0，故s ＝12at 2＝t 2，∴a ＝2，5秒时的速度v ＝at ＝2×5＝10(m/s)．∴5到5.1秒间的平均速度更接近5秒时的瞬时速度．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( A )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A ．2．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( D )A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－(Δx )2＋3Δx .∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3. 3．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8 m/s ，则9.8 m/s( C )A ．是物体从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B ．是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．二、填空题4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为28π3. [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 5．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为__30.5m/s__.(g 取10 m/s 2) [解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3＝30.5(m/s)． 三、解答题6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，Δs Δt＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.7．试计算余弦函数f (x )＝cos x 在自变量x 从0变到π3和从π3变到π2时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[解析] 自变量x 从0变到π3时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为：f (π3)－f (0)π3－0＝cos π3－cos0π3＝－32π. 自变量x 从π3变到π2时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π2)－f (π3)π2－π3＝cos π2－cos π3π6＝－3π. 因为|－32π|<|－3π|，所以函数f (x )＝cos x 在自变量x 从π3变到π2时函数值变化得较快．。
北师大版高中数学选修3-1积分思想的渊源练习
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作积分思想的渊源练习1．“并不是任意两条线段都是可公度的”这一事实的证明最早出现的著作的作者是( )A．欧几里得B．阿基米德C．泰勒斯D．伊诺皮迪斯2．阿基米德在他的著作中用“平衡法”证明了球的体积公式，这部著作是________．3．半径为1的圆内接正六边形的边长为______，周长为______，面积为________．4．由魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰的《________》，不仅纠正了《九章算术》中的错误，整理了书中的各种解题思想体系，而且包含着他的许多创造性工作．5．魏晋时期数学家刘徽对于割圆术是这样描述的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”试解释这句话的意思．6．除了“割圆术”之外，刘徽还有哪些伟大的成就？参考答案1．答案：B2．答案：《论球和圆柱》3．答案：1 6 33 24．答案：九章算术注5．答：割圆术是刘徽应用极限思想给出了求圆面积公式和计算圆周率的一种方法．他用圆内接正多边形的周长、面积来近似代替圆的周长、面积，从圆内接正六边形开始，在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为两段，作出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长要比正六边形的周长更接近圆周．如果把圆周再继续分割，作成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周．这就表明，把圆周分割得越细，误差就越少，其内接正多边形的周长越接近圆周．如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了．刘徽用这种方法一直算到圆内接正192边形，他得到的圆周率是3.143 16.刘徽提出的计算圆周率的科学方法奠定了此后千余年中中国圆周率计算在世界上的领先地位．6．答：刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，也是世界古代最伟大的数学家之一．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产．公元263年，刘徽注释《九章算术》，在《九章算术注》中不仅对原书的方法、公式和定理进行了一般的解释和推导，还系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，他还撰著《海岛算经》，发展了勾股测量术——重差术．。
北师大版高中数学选修3-1实数集的基数练习
实数集的基数练习1．集合论的创始人是( )A．美国人B．英国人C．俄国人D．德国人2．康托指出了有理数和无理数的一个重要区别是( )A．无理数集是有理数集的补集B．有理数集和无理数集都是无穷集合C．有理数集是可数的，无理数集是不可数的D．有理数集的基数大于无理数集的基数3．康托在用反证法证明实数集合是不可数的时，构造了一个不在序列中的数b，这种构造方法是( )A．康托归谬法B．康托区间套法C．康托斜线法D．康托对角线法4．如果集合A与集合B的某个子集是对等的，而不与B对等，则( )A．集合A的数量有可能等于集合B的数量B．集合A的数量有可能多于集合B的数量C．集合A的数量一定少于集合B的数量D．集合A的数量与集合B的数量无法比较大小5．1873年11月29日到12月7日这短短的几天里，康托给数学家________写了两封信，奠定了无限理论的基础．6．如果一个集合的整体可以与它的一部分建立一一对应关系，则该集合一定是________集合．7．若A1，A2是可数集，证明：A1∪A2也是可数的．8．证明：实数集上的任何开区间(a，b)(a＜b)都不可数．9．0与1之间满足下述条件的实数：它们的十进制小数表示中只有1,2,3,4,5,6,7，而不含其他数字，例如：0.314265743…，0.1467321754…，0.4567733215…，等等．证明：所有这样实数的集合是不可数的．10．上网搜集并整理数学家戴德金的生平资料．参考答案1．答案：D2．答案：C3．答案：D4．答案：C5．答案：戴德金6．答案：无限7．证明：设A1＝{a11，a12，a13，…}，A2＝{a21，a22，a23，…}，按a11→a21→a12→a22→a13→a23→…排序后，分别对应1,2,3,4,5,6，…也可用下图表示：如果A1与A2中的元素有重复，则去掉重复的元素再按照上述规则数下去，则可得到A1∪A2和Z＋的一个一一对应关系，所以A1∪A2也是可数的．8．证明：首先建立(0,1)到(a，b)的一一对应．令对应法则f：x→y＝(b－a)x＋a，按照对应法则f，对于(0,1)内的任一元素x，在(a，b)中都有唯一的一个元素y＝(b－a)x＋a 与之对应，反之，对于(a，b)内的任一元素y，按照对应法则f，在(0,1)内存在唯一的元素x与之对应．故(0,1)与(a，b)对等，因为(0,1)是不可数的，所以(a，b)也是不可数的．9．证明：假设满足条件的实数是可数的，这样我们总可以按照给定的一一对应关系，b＝0.b1b2b3…，其中b i＝3,3, 4, 3.iiiiaa≠⎧⎨=⎩显然这样构造的实数满足上述已知条件．但是，由于b1≠a11，所以b不同于序列中的第一个数0.a11a12a13…；由于b2≠a22，所以b不同于序列中的第二个数0.a21a22a23…；同样的方法，数b不同于序列中的任何一个数，这与假设该集合可数矛盾．所以满足条件实数的集合是不可数的．10．答：参考材料如下：戴德金(Dedekind，JuliusWilhelmRichard,1831—1916，德国数学家),1831年10月6日生于不伦瑞克，1916年2月12日卒于同地.1850年入格丁根大学，成为C.F.高斯的学生，1852年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识.1854年起在格丁根大学任讲师．在格丁根他与任教的P.G.L.狄利克雷和B.黎曼结为好友．后来狄利克雷和黎曼的全集都是由戴德金编辑的.1858年他应聘到瑞士苏黎世综合工科学校任教.1862年回到不伦瑞克综合工科学校教书．戴德金在数学上有很多新发现．不少概念和定理以他的名字命名．他的主要贡献有以下两个方面：在实数和连续性理论方面，他提出戴德金分割，给出了无理数及连续性的纯算术的定义.1872年，他的《连续性与无理数》出版，使他与G.康托、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人．在代数数论方面，他建立了现代代数数和代数数域的理论，将E.E.库默尔的理想数加以推广，引出了现代的理想概念，并得到了代数整数环上理想的唯一分解定理．今天把满足理想唯一分解条件的整环称为戴德金整环．他在数论上的贡献对19世纪数学产生了深刻影响．。
北师大版数学高二选修1试题 3.3.1综合法
知能巩固提升（九）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.b d p m n ==+(m,n,a,b,c,d 均为正数)，则p,q 的大小为( ) (A)p≥q(B)p≤q (C)p ＞q (D)不确定2.如果x ＞0,y ＞0，x+y+xy=2，则x+y 的最小值为( )(A)32(B)2 (C)1+ (D)2-3.在△ABC 中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C 的对边，如果2A b c cos22c+=，则 △ABC 的形状为( )(A)等腰三角形(B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)锐角三角形 4.(易错题)定义运算：12142334a a a a aa a a =-，将函数()sinx f x cosx -= 向左平移m 个单位(m>0)，所得图像对应的函数g(x)为偶函数，则m 的最小值是( )(A)6π (B)3π (C)56π (D)23π 二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知点A n (n,a n )为函数y =图像上的点，B n (n,b n )为函数y=x 图像上的点，其中n ∈N *,设c n =a n -b n ,则c n 与c n+1的大小关系为______.6.已知函数()1x f x lg 1x-=+，若f(a)=b ，则f(-a)=_____. 三、解答题(每小题8分，共16分) 7.设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc=1，求证：111a b c ++>.8.在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=4a n -3n+1，n ∈N *.(1)证明数列{a n -n}是等比数列;(2)求数列{a n }的前n 项和S n ;(3)证明不等式S n+1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立.【挑战能力】(10分)抛物线y 2=4x 的焦点为F,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(0<x 1<x 2)在抛物线上，(1)存在实数λ,使AF BF +λ=0,25AB 4= ,求直线AB 的方程； (2)以AB 为直径的圆过O 点,证明直线AB 过定点,并求出定点坐标.答案解析1.【解析】选B. q ==p.===2.【解析】选B.由x ＞0,y ＞0,x+y+xy=2，则()2x y 2x y xy ()2+-+=≤, ∴(x+y)2+4(x+y) -8≥0,∴x y 2+≥或x y 2+≤--∵x ＞0,y ＞0,∴x+y 的最小值为2.3.【解析】选B.∵2A b c cos 22c+=, ∴1cosA b c 22c++=, 即b cosA c =. 由正弦定理得sinB cosA sinC=，即cosAsinC=sin(A+C), 整理得sinAcosC=0,∵sinA≠0,∴cosC=0,∴C=90°.【一题多解】本题还可用以下解法. 同上述方法得cosA=b c ，由余弦定理得222b c a b 2bc c +-=, 整理得a 2+b 2=c 2,故△ABC 为直角三角形.4.【解题指南】利用给出的定义将函数f(x)转化为三角函数图像平移问题，结合奇偶性进行求解.【解析】选A.由题意可知，sinx 2sin(x )3π+=+，向左平移m 个单位得()g x 2sin(x m)3π=++，∵函数()g x 2sin(x m)3π=++为偶函数，所以m 的最小值为6π.5.【解析】由条件得c n =a n -b n n∴c n 随n 的增大而减小,∴c n+1＜c n .答案：c n+1＜c n6.【解析】由函数f(x)=1x lg1x -+知其定义域为(-1,1)，且满足f(-x)=-f(x)，即此函数为奇函数，∴f(-a)=-f(a)=-b.答案：-b7.【证明】∵a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc=1, ∴111bc ac ab a b c++=++.又bc+ac≥=,同理：ab+ac≥=ab+bc≥=∵a ，b ，c 为不全相等的正数,∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立,∴2(bc+ac+ab)>2, 即,故111a b c ++>.【方法技巧】巧用“1”的代换“1”的代换是在计算求值或证明等式、不等式的问题中常用到的一种解题技巧，代换的前提是在已知条件中给出了有关“1”的代换体，代换的方式有：乘法代换、除法代换、加法代换等；代换时要结合所给式子的结构灵活选择代换方式，如分子或分母都可以进行这种代换；类似于“sin 2α+cos 2α=1,tan 4π =1”这样的一些隐含的“1”的代换式也要合理运用. 8.【解题指南】证明一个数列是等比数列常用定义法，即n 1n a a +=q,对于本题(1)适当变形即可求证.求前n 项和S n ,直接套用公式即可.另外证明不等式问题常用作差法.【解析】(1)由a n+1=4a n -3n+1，得a n+1-(n+1)=4(a n -n),n ∈N *,又a 1-1=1，故数列{a n -n}是首项为1，且公比为4的等比数列.(2)由(1)可知,a n -n=4n-1，于是数列{a n }的通项公式为a n =4n-1+n.故数列{a n }的前n 项和S n =()nn n 14132+-+. (3)对任意的n ∈N *,()()()n 1n n 1n n 1n 2n n 14141S 4S 43232+++++---=+-+［］ =()213n n 42-+-≤0. 故不等式S n+1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立.【挑战能力】【解析】(1)抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,AF BF+λ=0, ∴A,B,F三点共线,由抛物线的定义,得AB=x1+x2+2,设直线AB:y=k(x-1),由()2y k x1,y4x,⎧=-⎨=⎩得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∴x1+x2=()222k2k+,x1x2=1,则()21222k225 AB x x22k4+=++=+=,解得k=±43,直线AB的方程为4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.(2)以AB为直径的圆过点O即OA⊥OB,若点A,B在x轴同侧,则∠AOB<90°,所以AB必与x轴有交点,设AB过点M(m,0),直线AB方程为y=k(x-m)(k≠0)，代入y2=4x,得24yy4m0k--=,y1y2=-4m,x1x2=2212y y16=m2,代入x1x2+y1y2=0,得m=4, 即直线AB恒过点M(4,0).。
北师大版高中数学选修3-1数的扩充练习
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）数的扩充练习1．1629年，古拉尔出版的著作______中明确主张：负数和正数具有同等的地位；负数可以作为方程的根．( )A．《算学启蒙》B．《算术三篇》C．《代数新发现》D．《大法》2．中国是世界上对负数认识最早的国家，负数是在《________》中首先出现的．3．________发明了“0”，“0”的发明对世界文明作出了杰出贡献．4．阐述高斯在复数方面作出的贡献．5．收集数码“0”产生的曲折传奇过程．6．毕达哥拉斯学派基本的信条是“万物皆数”，你能收集到相关的一些内容吗？参考答案1．答案：C2．答案：九章算术3．答案：印度4．答：高斯提出了所有复数都可以用复平面上的点来表示，所以后人把“复平面”也称作高斯平面．高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系，阐述了复数的几何加法与乘法，为向量代数学奠定了基础．5．答：“0”起源于古印度．早于公元前2000年，印度一些古文献便有记载．在古印度，“0”读作“苏涅亚”，表示“空的位置”的意思．可见，古印度人把一个数中缺位的数字称为“苏涅亚”之后，“0”这个数从印度传入阿拉伯，阿拉伯人把它翻译成“契弗尔”，仍然表示“空位”的意思．后来又从阿拉伯传入欧洲．直到现在，英文的“cipher ”仍有“0”的含义．“0”这个数码在传入欧洲的过程中，还有一段十分生动而又令人气愤的故事呢！大约在公元7世纪，一位罗马学者从印度记数法中发现了“0”这个符号，他高兴得不得了，逢人便说这是个好办法，并把印度人使用“0”的方法向大家介绍．后来一段时间，这件事被罗马教皇知道了，教皇大发雷霆，严厉地斥责道：神圣的数是上帝创造的．在上帝创造的数中没有“0”这个怪物．如今谁要是把它引进来，这是明目张胆地亵渎上帝！于是便传令把这位罗马学者抓起来，对他施以残酷的夹指的刑罚，使这位学者的手再也不能握笔了．就这样“0”被反动保守的罗马教皇明令禁止了．但是使用“0”确实有许多方便之处，尤其是在记数、运算、读数、列式等数学实践中．为此罗马的数学家们不顾皇家法律约束，仍然在实践中偷偷地使用“0”，这才使罗马数学的进展没有推迟得太晚. 相对来说，我国在“0”的引入却比较顺利．这是因为我国使用十进制记数法的历史比较悠久，对“0”的认识也特别早．我国古代没有“0”这个数码．当遇到有表示“0”的意思时也遵照很多国家和民族的通用办法，采用“不写”或者“空位”的办法来解决．如把101记作“一百□一”，可见当时是用“□”表示空位的．后来为了书写方便，便将“□”顺笔改写为“0”形进而表示“0”的数码．根据史料记载，到南宋时期的一些数学家已开始使用“0”来表示数字的空位了．由此可见，“0”这个符号的产生，最初不是为了表示“无”而是为了弥补十进位值记数法中的缺位．6．答：“万物皆数”的信念使毕达哥拉斯学派相信，“数”是宇宙的来源，自然现象可以通过数学来理解．他们对数进行深入的研究，认为数是音乐和谐的基础，阐明了单弦的调和乐音与弦长的关系，成为音乐理论的始祖．毕达哥拉斯学派非常注意数与图形的关系，认为数的多寡及形状决定着一切自然物体．他们研究的“形数”包括三角形数、正方形数、五边形数等，这些数被看作是某些几何图形中点的数目，如图所示．三角形数为1,1＋2,1＋2＋3，…，或由序列1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n 表示的数．正方形数为1,1＋3,1＋3＋5，…，或由序列1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2表示的数．五边形数为1,1＋4,1＋4＋7，…，或由序列1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝(31)2n n 表示的数． 这是一些等差序列．用同样的方式可以定义所有的多边形数．毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，充分体现出数与形的结合，强烈地反映出他们将数作为几何思维元素的精神，并且由于数形结合的观点而推动了几何学的抽象化倾向．不可公度量的发现对古希腊的数学观点有极大的冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比表示，反之数却可以由几何量来表示．毕达哥拉斯学派所推崇的“万物皆数”此时遇到了前所未有的困难，整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位．同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的．从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立起几何学体系．这可以说是第一次数学危机的自然产物，同时更是数学思想上的一次巨大革命．。
2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：6.1 费马大定理 Word版含答案
第六章名题赏析§1费马大定理一、非标准1.毕达哥拉斯学派是的一个集政治、学术、宗教三位一体的组织.()A.古希腊B.古埃及C.古巴比伦D.古印度答案:A2.丢番图的一本著作以解不定方程著称,这本著作是().A.《原本》B.《算术》C.《海岛算经》D.《代数学》答案:B3.世界有名的业余数学家,且被誉为“业余数学家之王”的是().A.狄利克雷B.欧拉C.费马D.勒让德答案:C4.证明费马大定理在“n=3”时成立的数学家是().A.费马B.欧拉C.狄利克雷D.拉梅答案:B5.指出费马大定理是“一只会下金蛋的鹅”的数学家是.答案:希尔伯特6.1983年,德国数学家证明白莫代尔猜想.答案:法尔廷斯7.1955年左右,日本数学家和提出了谷山—志村猜想.1986年美国数学家里贝特证明白弗雷命题,并指出,只要能解决谷山—志村猜想,就能解决费马大定理.答案:谷山丰志村五郎8.1996年3月,维尔斯因证明白费马大定理荣获奖.答案:沃尔夫9.简述维尔斯证明费马大定理的艰辛历程,并谈谈我们从中受到的启示.答案:1993年6月23日,在英国剑桥牛顿争辩所的演讲厅里,在普林斯顿高校任教的英国数学家维尔斯宣布了一个震惊的消息,费马大定理被证明白.但是事情消灭了反复,经过专家审查发觉,维尔斯的证明中存在着一些漏洞,维尔斯很快承认了他的证明存在着问题.1994年9月,维尔斯经过一年多的努力,漏洞最终被补上,并通过了权威的审查.1995年5月,世界权威学术期刊《数学年刊》发表了维尔斯修正后的证明.1996年3月,维尔斯因此荣获沃尔夫奖.维尔斯证明费马大定理的艰辛历程正如我国数学家华罗庚所说的,科学的灵感,绝不是坐等可以等来的.假如说,科学上的发觉有什么偶然的机遇的话,那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人,给那些擅长独立思考的人,给那些具有锲而不舍的精神的人,而不会给懒汉.所以我们在学习数学时,要打好数学基础,要擅长独立思考,要有锲而不舍的精神.10.上网查找有关丢番图的资料.答案:丢番图(Diophantus)是希腊代数学家,代数学的创始人,对他的生平事迹人们知道得很少.他的最重要的著作是《算术》,《算术》原有13卷,长期以来,大家都以为只有1464年J.雷格蒙塔努斯在威尼斯发觉的前6卷希腊文手抄本保存下来.但后来又在马什哈德(伊朗东北部)发觉4卷阿拉伯文译本.《算术》是讲数的理论的,但大部分内容可以划入代数的范围.它的特点是完全脱离了几何的形式,与欧几里得时代的经典大异其趣.另一个特点是引入了很多缩写符号,如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示.这在代数进展史上是一个巨大的进步.很多问题导致一、二次方程或三次方程,还有大量的不定方程.虽然丢番图已知符号的运算法则,然而解方程却排解负根.在解不定方程时运用了很多奇妙的手法,千年以后,还无出其右者.不过各个题都用特殊的方法去解,很少给出一般的法则,这是丢番图最大的缺点.关于数论的论题,直到17世纪才受到重视和推广,从而建立起近代的数论.为了纪念丢番图的功劳,对于具有整系数的不定方程,假如只考虑其整数解,这类方程就叫做丢番图方程.而丢番图靠近、丢番图分析是指只考虑变数取整数值的某些问题或方法.。
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微积分练习
1．17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是________的诞生．( )
A．函数B．微积分
C．解析几何D．极限思想
2．历史上第一篇系统的微积分文献是( )
A．牛顿的《自然哲学的数学原理》
B．牛顿的《流数法与无穷级数》
C．牛顿的《流数简论》
D．莱布尼茨的《一种求极大值极小值和切线的新方法》
3．微分学中的符号d x，d y等，积分符号∫的创立者是( )
A．莱布尼茨B．阿基米德
C．高斯D．牛顿
4．十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第________次数学危机．( ) A．一B．二
C．三D．四
5．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )
A．成正比，比例系数为c
B．成正比，比例系数为2c
C．成反比，比例系数为c
D．成反比，比例系数为2c
6．函数f(x)＝
1,10,
cos,0
2
x x
x x
π
+-≤<
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A.3
2
B．1 C．2 D.
1
2
7．促使微积分产生的科学问题主要有______________，_____________，______________，_______________四类问题．
8．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____________；0(1)(1)lim x f x f x
∆→+∆-∆＝________.(用数字作答)
9．向高为8m ，底面边长为8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟
83
m 3，则当水深为5m 时，水面上升的速度为________m/min.
10．利用定积分的几何意义计算：
(1)2x -⎰
；
(2)sin d x x ππ-⎰. 11．结合史料，谈谈阿基米德对于微积分的创立起到了什么样的重要作用．
12．牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝地努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？哪篇是牛顿最成熟的微积分著述？为什么？
13．为什么说在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：B
5．答案：D 解析：∵V (t )＝
43πR 3(t )， ∴c ＝V ′(t )＝4πR 2(t )R ′(t )．
∴R ′(t )＝24()
c R t π. ∵S (t )＝4πR 2(t )，
∴S ′(t )＝8πR (t )R ′(t )＝8πR (t )×24()c R t π＝2()
c R t . 6．答案：A 解析：如图，根据定积分的几何意义可得所求的封闭图形的面积：
S ＝
12×1×1＋20cos d x x π⎰＝12＋20sin x π ＝13sin sin 0222
π+-=. 7．答案：瞬时速度问题 切线问题 函数的最值问题 面积、体积、曲线长、重心和引力的计算
8．答案：2 －2 解析：∵f (x )＝24,02,2,26,x x x x -+≤≤⎧⎨-<≤⎩
∴f (0)＝4，f (4)＝2，即f (f (0))＝2.
又根据导数几何意义可知0(1)(1)lim
x f x f x ∆→+∆-∆＝f ′(1)＝－2. 9．答案：875 解析：设t 分钟时，水深为h 米，则由体积相等，得28133
t h h =⋅，
所以h ＝2h ′(t )＝
23， 当h ＝5时，t ＝1288
， 所以v ＝h ′(t )|t ＝1258875
=(m/min)．
10．解：(1)如图①，2x -⎰等于图中阴影部分的面积，∴2x -⎰＝12
π×22
＝2π.
(2)如图②，
sin d x x ππ-⎰等于图中阴影部分的面积和，其中，在x 轴下方的面积为负， ∴sin d x x π
π-⎰＝0.
11．答：在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分．但微积分的原理，却可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法．远在阿基米德那个时代(公元前二百多年)，没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣．直到今天，在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西．正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积公式，以及抛物线的弓形面积公式，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算．后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工．下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积公式为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法．设有一抛物线f (x )，求其与横轴x 及直线x ＝p (p ＞0)所围的面积，即曲边三角形OPM (如下图阴影部分)的面积S .阿基米德是这样想的：设OP ＝1，将OP 分成n 等份．曲边三角形OPM 被分割成n 个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带子”的宽度是1/n ，第k 条带
子的高是x＝k
n
处抛物线的纵坐标．所以第k条带子的面积是
1k
f
n n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，各条矩形带子的面
积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当n→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S.曲边三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了．正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学．阿基米德当时也曾预言：“我认为在现在或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式，牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的方法，并且给了一个恰当的名词：积分．
12．答：这三篇论文是(1)《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》；(2)《流数法与无穷级数》，简称《流数法》；(3)《曲线求积术》，简称《求积术》．
《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述．因为牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小量的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数的概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比．确切地说，它们构成增量的最初比．”牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．牛顿在《曲线求积术》中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号．
13．答：牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人．他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相关的问题归结为反切线(微分)运算．应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠牛顿与莱布尼茨的工作．在科学史上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期由不同的探索者相互独立地发现，微积分的创立，情形也是如此．经过调查，特别是对莱布尼茨手稿的分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明．就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨则先于牛顿．从而，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的，故二者需共享荣誉．。