新高考苏教版数学理大一轮复习训练2.9函数的图象(含答案解析)

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《苏教版》2019—2020年高中数学必修一《函数的概念和图像》课时练习及解析.docx

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第2章函数§2.1 函数的概念2.1.1 函数的概念和图象课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个________，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的________．2．若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的________．3．函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则．一、填空题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有________个．①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是________． ①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2； ④f(x)＝(x )2x和g(x)＝x (x )2.4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个． 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________．6．函数y ＝x ＋1的值域为________．7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：x1 2 3f(x) 2 3 1x1 2 3g(x)1 3 2x 1 2 3 g[f(x)]填写后面表格，其三个数依次为：________.8．如果函数f(x)满足：对任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2 011)f (2 010)＝________. 9．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f(x)的值域为________．10．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋23)的定义域为________．二、解答题11．已知函数f(1－x1＋x )＝x ，求f(2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应法则是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应法则所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应法则，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念和图象2．1.1 函数的概念和图象知识梳理1．函数定义域 2.值域作业设计1．2解析①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．2．②③解析①的定义域不是集合M；②能；③能；④与函数的定义矛盾．3．④解析①中的函数定义域不同；②中y＝x0的x不能取0；③中两函数的对应法则不同．4．9解析由2x2－1＝1,2x2－1＝7得x的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．5．{x|0≤x≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.6．[0，＋∞) 7．3 2 1解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 8．2 010解析由f(a ＋b)＝f(a)f(b)，令b ＝1，∵f(1)＝1， ∴f(a ＋1)＝f(a)，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2 011)f (2 010)＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f(2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ， ∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大， ∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}． (3)函数图象如下确定．由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．。

江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数2.8函数的图象教案含解析

江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数2.8函数的图象教案含解析§2.8 函数的图象考情考向分析函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度．1．函数的图象将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f (x 0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 3．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示 f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，则f (x )，g (x )的关系是______________．提示 g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × ) 题组二教材改编2．[P30练习T3]若f (x )的图象如图所示，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈(0，2]3．[P31习题T6]方程|x －1|＝1x的正实数根的个数是________．答案 14．[P87习题T14改编]任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，为凸函数图象的是________．(填序号)答案 ④ 题组三易错自纠5．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案 y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 6．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是________．(填序号)答案 ③7．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案 (0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的变换例1作出函数f(x)＝x2＋2x－3的图象，然后根据f(x)的图象作出函数y＝－f(x)的图象，并说明两函数图象的关系．解f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y＝－f(x)的图象如图(2)．两图象关于x轴对称．引申探究本例中，通过图象的变换分别画出函数y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)，y＝f(x)＋1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系．解各个函数图象如下图实线部分所示：各图象和y＝f(x)的图象关系如下：(1)函数y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y ＝－f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称；(3)函数y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，即在y 轴上及其右侧图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将y 轴右侧图象作y 轴的对称图象可得x <0时的图象；(4)函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥0，－f (x )，f (x )<0，即在x 轴上及其上方的图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将x 轴下方的图象作x 轴的对称图象可得f (x )<0时的图象； (5)函数y ＝f (x ＋1)的图象是将y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的； (6)函数y ＝f (x )＋1的图象是将y ＝f (x )的图象向上平移一个单位得到的．思维升华根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质，在函数图象的应用中经常用到．跟踪训练1若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为________．(填序号)答案 ③解析要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确．题型三函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) ②f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) ③f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) ④f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 ③解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．③正确，其余错误．(2)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________. 答案 9解析作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2， ∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm＝9.命题点2 解不等式例3函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x <0的解集为________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2解析当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y＝cos x>0.当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，y＝cos x<0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1<x<π2时，f(x)cos x<0.又函数y＝f(x)cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f(x)cos x<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f(x)cos x<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.命题点3 求参数的取值范围例4(1)已知函数12log,0,()2,0,xx xf xx≤若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1]解析作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．答案⎝⎛⎭⎪⎫12，1解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，x 3，－1≤x ≤1，若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析在同一个直角坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图象，则函数f (x )max ＝f (1)＝1，设A (1,1)，B (－1,0)，函数y ＝k (x ＋1)过点B ，则由图可知，要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则0<k <k AB ＝12.(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 [－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．答案 92解析由图象可知，函数过点(－3,0)，(0，－2)，所以得⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a (－3＋b )，－2＝log a b 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝4，故a ＋b ＝92.(2)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝________. 答案 e－x －1解析与y ＝e x图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )的图象向右平移一个单位长度，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x的图象向左平移一个单位长度得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.(3)已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，23解析 ①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.二、函数图象的应用例2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是____________．答案 (3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. (2)不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为________．答案 2解析不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x <12log x .设f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，g (x )＝12log x ，在同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是__________．答案 (2,2021)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2020，所以2<a ＋b ＋c <2021.1．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －3)＋2的图象经过的定点为________．答案 (3,2)解析由于函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，故它的图象过原点．又由于y ＝f (x )的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数y ＝f (x －3)＋2的图象，故y ＝f (x －3)＋2的图象过点(3,2)．2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是________．答案 x ＝1解析因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案－12解析由图(图略)知，当且仅当直线y ＝2a 过函数y ＝|x －a |－1图象的最低点(a ，－1)时，符合题意，故2a ＝－1，即a ＝－12.4．方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析画出函数y ＝2－x与y ＝3－x 2的图象(图略)，可知两函数图象有两个交点，故方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为2.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.答案－1解析由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，解得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 6．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝________. 答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________．答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是__________．答案 [1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________．答案 (4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析当x ≤0时，f (x )＝2－x－1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 12．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t)>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0. 14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x >1，－1＋11－x ，x <1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≥0，1，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x ＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，5－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.15．已知函数213,1,()log ,1,x x x f x x x≤g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察213,1,()log ,1,x x x f x x x≤的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，则实数k 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，16解析由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16.。

高考数学专题《函数的图象》习题含答案解析

专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg 1y x =-的图象是（）A ．B．练基础C ．D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5x f x x x e =-⋅的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令()x f x b a =×，()()log a g x bx =，对于A 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ．6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n x f x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3t y =，所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确；浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f = ，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f = ，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f = ，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f = ，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 练提升【解析】令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m=，由图象知1l 0n x mn =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断.【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln 8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确；故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞ ，排除AB 选项；对函数ln x y x=求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>.所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞，当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项.故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果.【详解】由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =∴当x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '<；当x ∈时，0y '>；2x x x y e +∴=在⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，在上单调递增，可排除AB ；当0x >时，0y >恒成立，可排除C.故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x xe e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项.故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可.【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠，即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛ ⎝上，()0g x '<，则()g x在区间⎛ ⎝上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上，()0g x '>，则()g x在区间⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，0g=，则()g x存在极小值3g a =-=，此时()g x存在极大值()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与图象交点个数说法正确的是（）A ．当时，有两个交点B ．当时，没有交点C ．当时，有且只有一个交点D ．当时，有两个交点【答案】B2(1)mx -y =[]m 0,1∈(]m 1,2∈(]m 2,3∈()m 3,∞∈+设f （x ）=，g （x ），其中x∈[0，1]A ．若m=0，则与在[0，1]上只有一个交点，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，即当m∈（1，2]时，函数y=的图象与x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，，时，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）＞1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B ．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xax -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果.2(1)mx -()1f x =()g x =(1,1)111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<2(1)mx -y =2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-()()f x g x <由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<.故选：A9.对、，记，函数．（1）求，．（2）写出函数的解析式，并作出图像．（3）若关于的方程有且仅有个不等的解，求实数的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵，函数，∴，．a b ∈R {},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R (0)f (4)f -()fx x ()f x m =3m {},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥{}2()max ||,24f x x x x =--+{}(0)max 0,44f =={}(4)max 4,44f -=-=（2）（3）或10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x x x =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】5m =m =（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数在的图像大致为（）3222x xx y -=+[]6,6-练真题A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又排除选项D ；，排除选项A ，故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根32()22x x x y f x -==+332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x 34424(4)0,22f -⨯=>+36626(6)722f -⨯=≈+即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ． C ． D ．【答案】B【解析】∵，．∵时，；∴时，，；∴时，，，如图：当时，由解得，，若对任意，都有，则.则m 的取值范围是.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f (x )=|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x 2+a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[―2,2]B ．[―23,2]C ．[―2,23]D ．[―23,23]【答案】A ()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(1) 2 ()f x f x +=()2(1)f x f x ∴=-(0,1]x ∈1()(1)[,0]4f x x x =-∈-(1,2]x ∈1(0,1]x -∈1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦(2,3]x ∈1(1,2]x -∈()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-(2,3]x ∈84(2)(3)9x x --=-173x =283x =(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-73m ≤7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x 2+a |下方，当a =23时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =―23时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。

2024届新高考数学复习：专项(函数的图象)历年好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项（函数的图象）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )A B C D2．为了得到函数y ＝log 2x －1 的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的( )A ．纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，再向左平移1个单位 C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位3．函数f (x )＝e x －e －xx 2 的图象大致为( )4．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )5．[2022ꞏ全国乙卷(文)，8]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )A ．y ＝－x 3＋3x x 2＋1 B ．y ＝x 3－xx 2＋1C ．y ＝2x cos xx 2＋1D ．y ＝2sin x x 2＋1 6．对于函数f (x )＝x ＋2x ＋1的图象及性质的下列表述，正确的是( )A ．图象上点的纵坐标不可能为1B ．图象关于点(1，1)成中心对称C ．图象与x 轴无交点D ．图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点7．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－|x |)C ．y ＝|f (x )|D ．y ＝－f (|x |)8．[2022ꞏ全国甲卷(理)，5]函数y ＝(3x －3－x )cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2 的图象大致为( )9．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象的所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题10．若函数y ＝f (x )的图象经过点(2，3)，则函数y ＝f (－x )＋1的图象必定经过的点的坐标为________．11．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集为________.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[能力提升]13．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图象的形状大致是( )14．(多选)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．则下列函数是一阶整点函数的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3C ．h (x )＝(13 )x D ．φ(x )＝ln x15．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x ＋1)是增函数，则不等式f (x －3)－f (x )>0的解集为________.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.参考答案1．D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin (－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵ f (x )＝－f (－x )，∴ f (x )为奇函数．∴ f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2 (k ∈Z )，∴ 当k ＝1时，x ＝π2 ，故排除C. 故选D.2．A 把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，得到函数y ＝12 log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12 log 2(x －1)的图象，即函数y ＝log 2(x －1)12＝log 2x －1 的图象．3．B ∵ y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2 是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11 ＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12 ，∴ e －1e >1，排除C 选项．故选B.4．D ∵f (－x )＝sin （－x ）－x cos （－x ）＋（－x ）2 ＝－sin x ＋xcos x ＋x 2 ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ；∵f (π)＝sin π＋πcos π＋π2 ＝π－1＋π2>0，∴排除C ；∵f (1)＝sin 1＋1cos 1＋1 ，且sin 1>cos 1，∴f (1)>1，∴排除B.故选D.5．A 对于B 选项，当x ＝1时，y ＝0，与图象不符，故B 不符合题意．对于C 选项，当x ＝3时，y ＝6cos 310 ＝35 cos 3.因为cos 3>－1，所以35 cos 3>－35 ，与图象不符，故C 不符合题意．对于D 选项，当x ＝3时，y ＝2sin 310 >0，与图象不符，故D 不符合题意．综上，用排除法选A.6．A 函数f (x )＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1 ，∵1x ＋1 ≠0，∴f (x )≠1.故A 正确；显然f (x )的图象关于(－1，1)成中心对称，故B 不正确；∵当x ＝－2时，f (x )＝0，故图象与x 轴有交点，C 不正确；由函数的概念知D 不正确．7．B 图②是由图①y 轴左侧图象保留，左右关于y 轴对称得，故图②对应的详细解析式为y ＝f (－|x |).8．A 设函数f (x )＝(3x －3－x )cos x ，则对任意x ∈[－π2 ，π2 ]，都有f (－x )＝(3－x －3x )cos(－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因此排除B ，D 选项．又f (1)＝(3－3－1)cos 1＝83 cos 1＞0，所以排除C 选项．故选A.9．D 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1 的图象是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ ＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.故选D. 10．(－2，4)详细解析：由题意得f (2)＝3，又y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (－x )过点(－2，3)，∴y ＝f (－x )＋1的图象过点(－2，4).11.⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π2 详细解析：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4 时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图象知，当1<x <π2 时，f （x ）cos x <0.又函数y ＝f （x ）cos x 为偶函数，∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ，所以f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π2 . 12．(0，1)∪(1，4)详细解析：根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）. 在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示，根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．13．Ay ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52，画出分段函数的大致图象，如图所示．故选A.14．AD 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，A 正确；对于函数g (x )＝x 3，它的图象经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，B 错误；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x ，它的图象经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，C 错误．对于函数φ(x )＝ln x ，它的图象只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，D 正确．故选AD.15.⎝⎛⎭⎫－∞，32 详细解析：由题意得f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，由f (x －3)－f (x )>0得f (x－3)>f (x )，∴|x －3|>|x |，得x <32 .16．(3，＋∞) 详细解析：f (x )的大致图象如图所示，若存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.。

函数的图象学案附答案高考数学(理科)一轮复习

函数的图象学案附答案高考数学(理科)一轮复习学案10 函数的图象解原方程变形为|x2 —4x+引=x + a,于是，设=|x2 —4x + 3| , =x + a,在同一坐标系下分别作出它们的图象.如图.贝卩当直线= x + a过点(1,0)时a=—1;当直线=x+ a与抛物线=—x2 + 4x—3相切时，由=x + a =—x2 + 4x —3，得，x2 —3x + a + 3 = 0, f(x) 的图象如右图所示．(3) 由图可知，f(x) 的减区间是[2,4] . .............................................................................. (8 分)(4) 由图象可知f(x)>0 的解集为{x|0<x4} .... ..................................................................................... ......... (10 分)(5) v f(5) = 5>4,由图象知，函数在[1,5) 上的值域为[0,5) . .................................................................. (12 分)10.解设f1(x) =(x—1)2，f2(x) = lgax ，要使当x € (1,2)时，不等式(x —1)2<lgax恒成立，只需f1(x) =(x—1)2 在(1,2) 上的图象在f2(x) =lgax 的下方即可．当0<a<1 时，由图象知显然不成立. ....................................... (4分)当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x) = (x —1)2的图象在f2(x) = Igax 的下方，只需f1(2) < f2(2),即(2 —1)2 < Iga2 , Iga2 >1, ...................................................................................... (10 分) 1<a w2. ................................................................................................. ……(12分)11 .解(1)方法一T x>0,「. g(x) = x + e2x>2e2= 2e,等号成立的条件是x = e.故g(x)的值域是［2e，+乂) , ....................................................................................... (4 分)因而只需》2e,则g(x)=就有根.…………………………………………………(6 分)方法二作出g(x) = x + e2x的图象如图：…………… (4 分)可知若使g(x)=有根，则只需》2e. ………………………………………………(6 分)方法三解方程由g(x)=，得x2 —x+ e2= 0.此方程有大于零的根，故2>0A = 2-4e2>0 ............................................................. （4 分）等价于>0>2e或w —2e,故》2e. ..................................................................... （6 分）(2) 若g(x) —f(x) = 0有两个相异的实根，即g(x) = f(x) 数g(x) 与f(x) 的图象有两个不同的交点，作出g(x) = x + e2x(x>0)的图象.•/ f(x) = —x2+ 2ex+—1 = —(x —e)2 + —1 + e2.其对称轴为x = e,开口向下，最大值为— 1 +e2. ............................................................................................ 分)故当一1+ e2>2e,即> —e2 + 2e+ 1 时，g(x) 与f(x) 有两个交点,即g(x) —f(x) = 0有两个相异实根.二的取值范围是(—e2 + 2e+1,+乂) . ................................................................. (14 分)中函（10。

新高考苏教版数学理大一轮复习训练2.3函数的单调性与最值(含答案解析)

2.3函数的单一性与最值一、填空题1．函数f(x＝ 2 x2－x－5)的单一增区间为．)log (4或 x________x＝x2－ x－分析由题意知x2－x－，解得 x －，即函数 f245>0< 1>5( )log (45)的定义域为 ( －∞，－ 1) ∪ (5 ，＋∞ ) ，依据外层函数为单一增函数，而内层函数 u＝x2－4x－5＝( x－ 2) 2－9 在(5 ，＋∞ ) 上单一递加，所以所求函数的单一增区间为 (5 ，＋∞ ).答案 (5 ，＋∞)2．以下函数中，在区间 (0,2) 上为增函数的是 ________．( 填全部正确的编号 )22① y＝－ x＋ 1；② y＝ x；③ y＝x － 4x＋5；④ y＝x.分析y＝－ x＋1在 R 上递减； y＝ x在 R＋上递加； y＝ x2－ 4x＋5 在 ( －∞， 2]，＋∞2上递减，在 [2)x R答案②3．定义在 R 的奇函数 f ( x) 单一递加，且对随意实数a，b 知足 f ( a) ＋f ( b－1)＝0，则 a＋b＝________.分析∵f ( x) 为奇函数，∴ f ( － x) ＝－ f ( x)∴f ( a) ＝－ f ( b－1) ＝ f (1 －b)又∵ f ( x) 单一递加∴a＝ 1－b 即 a＋b＝1.答案14．若函数 f ( x) ＝x2＋ ( a2－ 4a＋1) x＋ 2 在区间 ( －∞， 1] 上是减函数，则 a 的取值范围是 ________．分析由于 f ( x) 是二次函数且张口向上，所以要使 f ( x) 在 ( －∞， 1] 上是单一递减函数，a2－4a＋12－4a＋3≤0，解得 1≤ a≤3.则必有－≥1，即 a2答案 [1,3]5．以下函数：① y＝x3；② y＝ | x| ＋1；③ y ＝－ x2＋1；④ y ＝2－| x|，既是偶函数又在 (0 ，＋∞ ) 单一递加的函数序号是 ________．分析y＝x3是奇函数， y＝－ x2＋1 与 y＝2－| x|在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数．答案 ②6．已知 f ( x) 是定义在 ( －1,1) 上的奇函数，且 f ( x) 在 ( － 1,1) 上是减函数，不等式 f (1 －x) ＋f (1 －x 2) ＜0 的解集为 ________．分析由 f ( x) 是定义在 ( － 1,1) 上的奇函数，及 f (1 －x) ＋f (1 －x 2) ＜0得 f (1 －x) ＜－ f (1 －x 2) ．所以 f (1 － x) ＜f ( x 2－ 1) ．又由于 f ( x) 在 ( － 1,1) 上是减函数，－1＜1－x ＜1，2所以－1＜1－x ＜1，解得 0＜x ＜1.故原不等式的解集为 (0,1) ．答案(0,1)7．已知函数 y ＝f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ≤0时， y ＝ f ( x) 是减函数，若 | x 1| ＜| x 2| ，则结论：① f ( x 1) －f ( x 2) ＜ 0；② f ( x 1) －f ( x 2) ＞0；③f ( x 1) ＋ f ( x 2)＜ 0；④ f ( x 1) ＋f ( x 2) ＞0 中建立的是 ________(填全部正确的编号 ) ．分析由题意，得 f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，且 f ( x 1 ) ＝ f (| x 1 |) ，f ( x 2 ) ＝ f (|x 2 |) ，进而由 0≤ | x 1 ＜ x 2 |，得 f (| x 1 ＜f (|x 2 |)，即 f (x 1 )＜f (x 2 )， f (x 1) | | |)－ f ( x 2) ＜0，只好①是正确的．答案 ①8. 设 a=log5 4 b( log5 3)2clog4 5则a ，b ，c 的大小关系是 _____．分析由于0<log5 3log5 41log45所以b<a<c.答案 b<a<c9．假如对于函数 f ( x) 的定义域内随意两个自变量的值 x 1，x 2，当 x 1＜ x 2 时，都有 f ( x 1) ≤ f ( x 2) 且存在两个不相等的自变量 m 1，m 2，使得 f ( m 1) ＝f ( m 2) ，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数 g( x) 的定义域、值域分别为 A ， B ， A ＝{1,2,3} ，B A 且 g x 为定义域 A 上的不严格的增函数，那么这样的函数 g x)? ( ) ( 共有 ________个．分析分 B 中元素为 1 个， 2 个， 3 个议论． B 中只有一个元素，此时各有一个函数； B 有两个元素，此时各有两个函数； B 有 3 个元素时，不合题意．所以共有 3＋6＝9 个函数．答案 910．已知函数 f ( x) ＝1－ 1－x 2， x ∈ [0,1] ，对于知足 0＜ x 1 ＜x 2＜1 的随意 x 1 、x 2，给出以下结论：① ( x 2－ x 1 )[ f ( x 2) － f ( x 1)] ＜0；② x 2f ( x 1 ) ＜ x 1f ( x 2) ；③ f ( x 2 ) －f ( x 1) ＞ x 2－x 1；④f x 1＋f x 2 x 1 ＋x 22＞f.2此中正确结论的序号是 ________．分析函数 f x ＝－－x 2，x ∈[0,1]的图象如下图，命题①可等价为 ( ) 11x 2－x 1＞0，即 f ( x) 在 x ∈ [0,1] 上是单一递加函数，联合图象可知，f x 2 ＜ f x 1命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为f x 2 －f x 1 x 2－x 1＞ 1，不等式左端的几何意义是图象上随意两点连线的斜率，由图象知斜率不都f x 1＋f x 2＞大于 1，命题③错误；对于命题④，由于图象是凹函数，知足2x 1＋ x 2f2 ，所以命题④正确．答案②④11. 若函数 f ( x)=a| x-b|+2在 [0 ) 上为增函数 , 则实数 a,b 的取值范围为.分析由 f ( x)=a| x-b|+2知其图象对于 x=b 对称 , 且在 [0 ) 上为增函数 , 所以b 0 a 0 .答案 b 0 a 0．设 y ＝ f ( x 是定义在 R 上的偶函数，知足 f (x ＋ 1)＝－ f ( x ，且在 [－ 1,0] 12 ) ) 上是增函数，给出以下对于函数 y ＝f ( x) 的判断：① y ＝ f ( x) 是周期函数；②y ＝ f ( x) 的图象对于直线x ＝1 对称；③ y ＝f ( x) 在[0,1]1上是增函数；④ f 2＝0. 此中正确判断的序号是________(把你以为正确判断的序号都填上 ) ．分析①由 f ( x＋1) ＝－ f ( x) ，得 f ( x＋2) ＝－ f ( x＋1) ＝f ( x) ，即①正确．②由f(1 － x) ＝－ f ( －x) ＝－ f ( x) ＝f (1 ＋x) 知②正确．③由偶函数在 [ －1,0] 与[0,1]1 1上拥有相反的单一性知③不正确．④在 f ( x＋ 1) ＝－ f ( x) 中令 x＝－2，得 f 2＝111－ f －2＝－ f2，所以 f2＝0.答案①②④e－x－2，x≤0，13．已知函数 f ( x) ＝( a 是常数且 a＞0) ．对于以下命题：2ax－1，x＞0①函数f(x的最小值是－；)1②函数 f ( x) 在 R 上是单一函数；③若 f x＞0在1，＋∞上恒建立，则a的取值范围是 a＞；( )21④对随意的x1x2＜ 0且x1x2，恒有f x1＋x2＜＜0，≠2f x1＋f x22.此中正确命题的序号是 __________(写出全部正确命题的序号) ．分析( 数形联合法 ) 依据题意可画出草图，由图象可知，①明显正确；函数 f ( x) 在 R 上不是单一函数，故②错误；若 f ( x) ＞0 在12，＋∞1上恒建立，则 2a×2－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在 ( －∞， 0) 上对随意的 x1＜0，x2＜0且 x1≠x2，恒有 f x1＋x2＜f x1＋f x2建立，22故④正确．答案①③④【评论】采纳数形联合法 . 注意本题中的③和④的理解，本题充足表现了数形结合法的直观性与便利性 .二、解答题14. 已知 t 为常数 , 函数 y =| x 2 2x t | 在区间 [0 3] 上的最大值为 2 ，求 t 的值 .分析明显函数 y=| x 22x t | 的最大值只好在 x=1 或 x=3 时取到 ,若在 x=1 时取到 , 则|1-2-t|=2, 得 t=1 或 t=-3.t=1, x=3 时, y=2;t=-3, x=3 时 , y=6( 舍去 ); 若在 x=3 时取到 , 则|9-6-t|=2, 得 t=1 或 t=5.t=1, x=1 时, y=2;t=5, x=1 时, y=6( 舍去 ), 所以 t=1.215. 设函数 f ( x) ＝ax ＋bx ＋ 1( a 、b ∈R) ．(1) 若 f ( － 1) ＝0，且对随意实数 x 均有 f ( x) ≥0建立，务实数 a 、b 的值；(2) 在 (1) 的条件下，当 x ∈－ 2,2]时， g x ＝f x －kx 是单一函数，务实数 k[ ( ) ( ) 的取值范围．－＝，∴ a －b ＋＝，即 b ＝a ＋分析 (1) f( 1) 1.∵ x 0 x 1 0 a 且a 且又对随意实数均有 f≥0建立，∴＝b 2－ a ≤0恒建立，即( )>04>0( a －1) 2 ≤0恒建立， ∴ a ＝ 1，b ＝2.(2) 由 (1) 可知 f ( x) ＝x 2＋ 2x ＋1， ∴ g( x) ＝x 2 ＋(2 －k) x ＋ 1.∵ g( x) 在 x ∈[ － 2,2] 时是单一函数，∴[ －2,2] ? －∞， k －2或[ －2,2] ? k － 2，＋∞ .22k －2 k －2∴2≤2或2 ≤－ 2，解得 k ≥6或 k ≤－ 2，即实数 k 的取值范围为 ( －∞，－ 2] ∪[6 ，＋∞ ) ．y ＝f x ＋y ，且当 x ＞．已知函数f( x对于随意 x ，y ∈ ，总有 f( x ＋f( 016)R)( ) ) 时， f ( x) ＜ 0， f2(1) ＝－ 3.(1) 求证： f ( x) 在 R 上是减函数．(2) 求 f ( x) 在[ － 3,3] 上的最大值和最小值．分析 (1) 证明法一 ∵函数 f ( x) 对于随意 x ，y ∈R 总有 f ( x) ＋ f ( y) ＝f ( x ＋ y) ，∴令 x ＝y ＝0，得 f (0) ＝ 0.再令 y ＝－ x ，得 f ( － x) ＝－ f ( x) ．在 R 上任取 x 1＞ x 2，则 x 1－ x 2 ＞0，f ( x 1 ) － f ( x 2) ＝ f ( x 1) ＋f ( － x 2) ＝ f ( x 1－x 2) ．又∵ x ＞0 时， f ( x) ＜0，而 x1－x2＞ 0，∴ f ( x1－x2) ＜0，即 f ( x1) ＜f ( x2) ．所以 f ( x) 在 R 上是减函数．法二设 x1＞x2，则 f ( x1) －f ( x2) ＝f ( x1－x2＋x2) －f ( x2 )＝f ( x1－x2) ＋f ( x2) －f ( x2) ＝ f ( x1－x2) ．又∵ x＞0 时， f ( x) ＜0，而 x1－x2＞ 0，∴ f ( x1－x2) ＜0，即 f ( x1) ＜f ( x2) ，∴ f ( x) 在 R 上为减函数．(2)∵f ( x) 在 R 上是减函数，∴f ( x) 在[ －3,3] 上也是减函数，∴ f ( x) 在[ －3,3] 上的最大值和最小值分别为 f ( － 3) 与 f (3) ．而 f (3) ＝3f (1) ＝－ 2， f ( －3) ＝－ f (3) ＝2.∴ f ( x) 在[ －3,3] 上的最大值为2，最小值为－ 2.．函数 f x的定义域为 D＝x x≠0}且知足对于随意x1，x2∈ D，有 f(x1·x217( ){|)＝f ( x1) ＋f ( x2) ．(1)求 f (1) 的值；(2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明；(3)假如 f (4) ＝1，f (3 x＋1) ＋ f (2 x－6) ≤3，且 f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，求 x 的取值范围．分析 (1) 令 x1＝x2＝1，有 f (1 ×1) ＝ f (1) ＋ f (1) ，解得 f (1) ＝ 0.(2)f x) 为偶函数，令x1＝x2f f f( －1) ，解(＝－ 1，有[( －1) ×( － 1)] ＝(－1)＋得 f ( － 1) ＝0令 x1＝－ 1，x2＝ x 有 f ( －x) ＝ f ( －1) ＋f ( x) ，即 f ( －x) ＝ f ( x) ．所以 f ( x) 为偶函数．(3) f (4 ×4) ＝ f (4) ＋f (4) ＝2，f (16 ×4) ＝ f (16) ＋f (4) ＝3.所以 f (3 x＋1) ＋ f (2 x－6) ≤3即 f [(3 x＋ 1)(2 x－6)] ≤ f (64) ①由于 f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，所以①等价于不等式组：x＋x－＞，x＋x－＜，0或0 x＋x－，x－.－ x＋1 1＞或＜－，33或－3＜ x ＜， 73x ≤ ，x ∈R ，－ 3≤5711＜x ＜3.所以 3＜x ≤5或－ ≤ x ＜－或－ 3 3 37 1 1 故 x 的取值范围为 { x| －3≤x ＜－ 3或－ 3＜x ＜3 或 3＜x ≤5} ．118．在区间 D 上，假如函数 f ( x) 为增函数，而函数 x f ( x) 为减函数，则称函数 f ( x)1为“弱增函数”，已知函数f ( x) ＝1－ .1＋x(1) 判断函数 f ( x) 在区间 (0,1] 上能否为“弱增函数”；(2) 设 x 1，x 2∈ [0 ，＋∞ ，且 x 1≠ x 2 ，证明： |f (x 1 )－ f( x 2 ＜ 1 x 1－x 2 ；))| 2||(3) 当 x ∈ [0,1] 时，不等式 1－ ax ≤1 ≤ － bx 恒建立，务实数 a ， b 的取值11＋ x范围．分析 (1)明显1 1 1－1＝f ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数，由于 x f ( x) ＝ x ·＋1 x11＋x －11 xx·x＝x · ＋x＋x ＋1＋ 11＝11x ＋，所以 x f ( x) 为减函数，所以 f ( x) 是“弱增”函数．1＋1112－＋x 1| 1＋ |(2)| f ( x 1 － f ( x 2 )|－1证明＝＝＝x 1)1＋＋x 2| 1＋ x 1 1＋ x 2|1| x 1－x 2|＋x 1＋＋x 2 .1＋ x 1· ＋ x 21 1 1 由于 x 1， x 2∈ (0 ，＋∞ ) ， x 1 ≠x 2，所以＋x 1 · 1 ＋x 2·( ＋x 1＋ 1 ＋x2 ) ＞，1 12 1所以 | f ( x 1 ) －f ( x 2)| ＜ 2| x 1－x 2|.(3) 当x∈[0,1]时，不等式－ax≤1≤ － bx 恒建立．所以当 x＝时，不11＋x11a≥x f x ，1等式明显建立，当 x∈(0,1]时，等于1恒建立由 (1)知x f ( x)b≤x f x为减函数，1－2 112 ≤xf ( x) ＜2，所以1a≥2且b≤1－22 .。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第四节函数的图象教案文解析版

１．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：（１）１确定函数的定义域；２化简函数的解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）．（２）列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（３）描点，连线．２．图象变换（１）平移变换１y＝f（x）的图象错误!y＝f（x—a）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（x）＋b的图象．（２）对称变换１y＝f（x）的图象错误!y＝—f（x）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（—x）的图象；３y＝f（x）的图象错误!y＝—f（—x）的图象；４y＝a x（a＞0且a≠１）的图象错误!y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象．（３）伸缩变换１y＝f（x）的图象２y＝f（x）的图象错误!y＝af（x）的图象．（４）翻转变换１y＝f（x）的图象错误!y＝|f（x）|的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（|x|）的图象．[小题体验]１．f（x）的图象如图所示，则f（x）＝________.答案：f（x）＝错误!２．函数f（x）的图象向右平移１个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝________.解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e—x，将函数y＝e—x的图象向左平移１个单位长度即得y＝f（x）的图象，所以f（x）＝e—（x＋１）＝e—x—１.答案：e—x—１３．（２0１8·扬州期末）若函数y＝f（x）的图象经过点（１,２），则函数y＝f（—x）＋１的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得函数y＝f（—x）＋１的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（１,２）关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得点（—１,３），故函数y＝f（—x）＋１的图象必定经过的点的坐标是（—１,３）．答案：（—１,３）１．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（—２x）的图象到f（—２x＋１）的图象是向右平移错误!个单位，其中是把x变成x—错误!.２．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f（|x|）的图象属于自身对称，而y＝f（x）与y ＝f（—x）的图象关于y轴对称是两个函数．[小题纠偏]１．函数y＝５x与函数y＝—错误!的图象关于________对称．答案：原点２．把函数y＝f（２x）的图象向右平移________个单位得到函数y＝f（２x—３）的图象．答案：错误!错误!错误![题组练透]分别画出下列函数的图象：（１）y＝|lg x|；（２）y＝２x＋２；（３）y＝x２—２|x|—１．解：（１）y＝错误!图象如图１．（２）将y＝２x的图象向左平移２个单位．图象如图２．（３）y＝错误!图象如图３．[谨记通法]作函数图象的３种常用方法错误!错误![典例引领]１．若函数f（x）＝错误!的图象如图所示，则f（—３）＝________.解析：由图象可得—a＋b＝３，ln（—１＋a）＝0，得a＝２，b＝５，所以f（x）＝错误!故f（—３）＝２×（—３）＋５＝—１．答案：—１２．（２0１9·启东检测）若函数f（x）＝|a x＋b|（a＞0，a≠１，b∈R）的图象如图所示，则a＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f（x）的零点为错误!，即错误!＋b＝0．由图可得，当x＞错误!时，函数f（x）为增函数，故a＞１，所以a＋b＝a—错误!＝错误!２—错误!∈（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）[由题悟法]识图３种常用的方法[即时应用]１．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的值域为________．解析：由图象易知f（x）的值域为（—∞，—１]∪（１,３）．答案：（—∞，—１]∪（１,３）２．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（１,２），（３,１），则f错误!＝________.解析：由图象知f（３）＝１，所以错误!＝１，所以f错误!＝f（１）＝２．答案：２错误!错误![锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有：（１）研究函数的性质；（２）求参数的值或范围；（３）研究不等式；（４）确定方程根（零点）的个数．（详见本章第八节考点二）[题点全练]角度一：研究函数的性质１．已知函数f（x）＝|x２—４x＋３|.（１）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（２）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．解：f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．（１）由图知函数f（x）的单调递增区间为[１,２]和[３，＋∞），单调递减区间为（—∞，１]和[２,３]．（２）由图象可知，若y＝f（x）与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜１，所以集合M＝{m|0＜m＜１}．角度二：求参数的值或范围２．（２0１9·苏州实验中学测试）定义min{a，b}＝错误!已知函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，则实数m的取值范围为________．解析：设g（x）＝min{x，x２—４x＋４}，则f（x）＝g（x）＋４，故把g（x）的图象向上平移４个单位长度，可得f（x）的图象，函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，可得m的取值范围为（４,５）．答案：（４,５）角度三：研究不等式３．（２0１8·启东中学测试）如图所示，函数y＝f（x）的图象是圆x２＋y２＝２上的两段弧，则不等式f（x）＞f（—x）—２x的解集是________．解析：由图象可知，函数f（x）为奇函数，故原不等式可等价转化为f（x）＞—x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x的图象，由图象可知不等式的解集为（—１,0）∪（１，错误!]．答案：（—１,0）∪（１，错误!]４．若不等式（x—１）２＜log a x（a＞0，且a≠１）在x∈（１,２）内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：要使当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，只需函数y＝（x—１）２在（１,２）上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜１时，显然不成立；当a＞１时，如图，要使x∈（１,２）时，y＝（x—１）２的图象在y ＝log a x的图象的下方，只需（２—１）２≤log a２，即log a２≥１，解得１＜a≤２，故实数a的取值范围是（１,２]．答案：（１,２][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略（１）研究函数性质：１根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．２从图象的对称性，分析函数的奇偶性．３从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．４从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．（２）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．（３）研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]１．已知函数f（x）＝错误!若f（３—a２）＜f（２a），则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f（x）的图象，由图象易得f（x）在R上单调递减，因为f（３—a２）＜f（２a），所以３—a２＞２a，解得—３＜a＜１．答案：（—３,１）２．（２0１9·扬州中学高三调研）已知函数f（x）＝错误!的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．解析：若x＞0，则—x＜0，∵x＜0时，f（x）＝sin错误!—１，∴f（—x）＝sin错误!—１＝—sin错误!—１，则若f（x）＝sin错误!—１，x＜0关于y轴对称，则f（—x）＝—sin错误!—１＝f（x），设g（x）＝—sin错误!—１，x＞0，作出函数g（x）的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g（x）＝—sin错误!—１，x＞0与f（x）＝log a x，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜１，且满足f（１7）＞g（１7）＝—２，f（２１）＜g（２１）＝—２，即—２＜log a１7，log a２１＜—２，解得错误!＜a＜错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知函数f（x）＝x２＋１，若0＜x１＜x２，则f（x１）与f（x２）的大小关系为________．解析：作出函数图象（图略），知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x１）＜f（x２）．答案：f（x２）＞f（x１）２．（２0１8·常州一中期末）将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移２个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e２x，再向右平移２个单位，可得y＝e２（x—２）＝e２x—４.答案：y＝e２x—４３．（２0１8·前黄中学月考）设函数y＝f（x＋１）是定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）的偶函数，在区间（—∞，0）是减函数，且图象过点（１,0），则不等式（x—１）f（x）≤0的解集为________．解析：y＝f（x＋１）向右平移１个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝１，过定点（２,0），且函数在（—∞，１）上递减，在（１，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．不等式（x—１）f（x）≤0可化为错误!或错误!由图可知符合条件的解集为（—∞，0]∪（１,２]．答案：（—∞，0]∪（１,２]４．使log２（—x）＜x＋１成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１,0）．答案：（—１,0）５．若关于x的方程|x|＝a—x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝错误!图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞0．答案：（0，＋∞）6．设函数f（x）＝错误!若f（f（a））≤２，则实数a的取值范围是________．解析：函数f（x）的图象如图所示，令t＝f（a），则f（t）≤２，由图象知t≥—２，所以f（a）≥—２，当a＜0时，由a２＋a≥—２，即a２＋a＋２≥0恒成立，当a≥0时，由—a２≥—２，得0≤a≤错误!，故a≤错误!.答案：（—∞，错误!]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知f（x）＝错误!x，若f（x）的图象关于直线x＝１对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．解析：设g（x）上的任意一点A（x，y），则该点关于直线x＝１的对称点为B（２—x，y），而该点在f（x）的图象上．所以y＝错误!２—x＝３x—２，即g（x）＝３x—２.答案：g（x）＝３x—２２．如图，定义在[—１，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．解析：当—１≤x≤0时，设解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），则错误!解得错误!∴当—１≤x≤0时，f（x）＝x＋１．当x＞0时，设解析式为f（x）＝a（x—２）２—１（a＞0），∵图象过点（４,0），∴0＝a（４—２）２—１，∴a＝错误!，∴当x＞0时，f（x）＝错误!（x—２）２—１＝错误!x２—x.故函数f（x）的解析式为f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!３．（２0１9·江阴中学检测）方程x２—|x|＋a＝１有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y＝x２—|x|的图象与直线y＝１—a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知—错误!＜１—a＜0，所以１＜a＜错误!.答案：错误!４．（２0１9·启东中学期中）设奇函数f（x）的定义域为[—５,５]，若当x∈[0,５]时，f（x）的图象如图，则不等式错误!≤0的解集为________．解析：不等式错误!≤0，等价于错误!或错误!由图象可知：当１＜x≤５时，由f（x）≤0，解得２≤x≤５．当0≤x＜１时，由f（x）≥0，解得0≤x＜１，因为f（x）为奇函数，当—２＜x＜0时，由f（x）≥0，此时无解，当—５≤x≤—２时，由f（x）≥0，解得—５≤x≤—２，故不等式的解集为[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]．答案：[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]５．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝错误!若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析：x≤0时，f（x）＝２—x—１，0＜x≤１时，—１＜x—１≤0，f（x）＝f（x—１）＝２—（x—１）—１．故x＞0时，f（x）是周期函数，如图所示．若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜１，即a的取值范围是（—∞，１）．答案：（—∞，１）6．（２0１9·镇江中学测试）已知函数f（x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是________．解析：作出函数f（x）的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则b＋c＝２×１２＝２４，a∈（１,１0），则a＋b＋c＝２４＋a∈（２５,３４）．答案：（２５,３４）7．（２0１9·徐州调研）设函数f（x）＝错误!其中[x]表示不超过x的最大整数，如[—１．２]＝—２，[１．２]＝１，若直线y＝kx＋k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：∵函数f（x）＝错误!∴作出函数f（x）的图象如图所示．∵y＝kx＋k＝k（x＋１），故该直线的图象一定过点（—１,0），若y＝kx＋k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）＝kx＋k有三个不同的根，∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点（２,１）时，k＝错误!，当y＝kx＋k过点（３,１）时，k＝错误!，要使f（x）＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是错误!.答案：错误!8．（２0１9·金陵中学月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[—π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是________．解析：f（x）·g（x）＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为错误!.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴当x∈[—π，0）时，两者异号的区间为错误!，∴f（x）·g（x）＜0的解集是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!9．（２0１8·盐城一中测试）已知函数f（x）＝x|m—x|（x∈R），且f（４）＝0．（１）求实数m的值；（２）作出函数f（x）的图象并判断其零点个数；（３）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（４）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集；（５）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有三个不相等的实根}．解：（１）因为f（４）＝0，所以４|m—４|＝0，即m＝４．（２）因为f（x）＝x|４—x|＝错误!即f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图象知函数f（x）有两个零点．（３）从图象上观察可知：f（x）的单调递减区间为[２,４]．（４）从图象上观察可知：不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜４或x＞４}．（５）由图象可知若y＝f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜４，所以集合M＝{m|0＜m＜４}．１0．已知函数f（x）＝２x，x∈R.（１）当m取何值时方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？（２）若不等式f２（x）＋f（x）—m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．解：（１）令F（x）＝|f（x）—２|＝|２x—２|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m＜２时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解．（２）令f（x）＝t（t＞0），H（t）＝t２＋t，因为H（t）＝错误!２—错误!在区间（0，＋∞）上是增函数，所以H（t）＞H（0）＝0．因此要使t２＋t＞m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（—∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校解析：因为函数f（x）＝lg（|x—２|＋１），所以函数f（x＋２）＝lg（|x|＋１）是偶函数；由y＝lg x错误!y＝lg（x＋１）错误!y＝lg（|x|＋１）错误!y＝lg（|x—２|＋１），如图，可知f（x）在（—∞，２）上是减函数，在（２，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以１２正确．答案：２２．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋错误!＋２的图象关于点A（0,１）对称．（１）求f（x）的解析式；（２）若g（x）＝f（x）＋错误!，且g（x）在区间（0,２]上为减函数，求实数a的取值范围．解：（１）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,１）点的对称点P′（—x,２—y）在h （x）的图象上，即２—y＝—x—错误!＋２，所以y＝f（x）＝x＋错误!（x≠0）．（２）g（x）＝f（x）＋错误!＝x＋错误!，g′（x）＝１—错误!.因为g（x）在（0,２]上为减函数，所以１—错误!≤0在（0,２]上恒成立，即a＋１≥x２在（0,２]上恒成立，所以a＋１≥４，即a≥３，故实数a的取值范围是[３，＋∞）．命题点一函数的概念及其表示１．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．解析：由log２x—１≥0，即log２x≥log２２，解得x≥２，所以函数f（x）＝错误!的定义域为{x|x≥２}．答案：{x|x≥２}２．（２0１6·江苏高考）函数y＝错误!的定义域是________．解析：要使函数有意义，需３—２x—x２≥0，即x２＋２x—３≤0，得（x—１）（x＋３）≤0，即—３≤x≤１，故所求函数的定义域为[—３,１]．答案：[—３,１]３．（２0１6·浙江高考）设函数f（x）＝x３＋３x２＋１，已知a≠0，且f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２，x∈R，则实数a＝____，b＝________.解析：因为f（x）＝x３＋３x２＋１，所以f（a）＝a３＋３a２＋１，所以f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２＝（x—b）（x２—２ax＋a２）＝x３—（２a＋b）x２＋（a２＋２ab）x—a２b＝x３＋３x２—a３—３a２.由此可得错误!因为a≠0，所以由２得a＝—２b，代入１式得b＝１，a＝—２．答案：—２１４．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）设函数f（x）＝错误!则满足f（x＋１）＜f（２x）的x的取值范围是________．解析：法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x），即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x），即为１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１,0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．法二：∵f（x）＝错误!∴函数f（x）的图象如图所示．结合图象知，要使f（x＋１）＜f（２x），则需错误!或错误!∴x＜0．答案：（—∞，0）命题点二函数的基本性质１．（２0１6·江苏高考）[—１,１）上，f（x）＝错误!其中a∈R.若f错误!＝f错误!，则f（５a）的值是________．解析：因为函数f（x）的周期为２，结合在[—１,１）上f（x）的解析式，得f错误!＝f错误!＝f错误!＝—错误!＋a，f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误!＝错误!.由f错误!＝f错误!，得—错误!＋a＝错误!，解得a＝错误!.所以f（５a）＝f（３）＝f（４—１）＝f（—１）＝—１＋错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１３·江苏高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x２—４x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．解析：由于f（x）为R上的奇函数，所以当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝x２＋４x＝—f（x），即f（x）＝—x２—４x，所以f（x）＝错误!由f（x）＞x，可得错误!或错误!解得x＞５或—５＜x＜0，所以原不等式的解集为（—５,0）∪（５，＋∞）．答案：（—５,0）∪（５，＋∞）３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f （１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝________.解析：法一：∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．答案：２４．（２0１7·全国卷Ⅱ改编）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是________．解析：由x２—２x—8＞0，得x＞４或x＜—２．因此，函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的定义域是（—∞，—２）∪（４，＋∞）．注意到函数y＝x２—２x—8在（４，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．（２0１7·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝２x３＋x２，则f（２）＝________.解析：由已知得，f（—２）＝２×（—２）３＋（—２）２＝—１２，又函数f（x）是奇函数，所以f（２）＝—f（—２）＝１２．答案：１２6．（２0１7·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋４）＝f（x—２）．若当x∈[—３,0]时，f（x）＝6—x，则f（9１9）＝________.解析：因为f（x＋４）＝f（x—２），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期为6，因为9１9＝１５３×6＋１，所以f（9１9）＝f（１）．又f（x）为偶函数，所以f（9１9）＝f（１）＝f（—１）＝6．答案：6命题点三函数的图象１．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝________.解析：因为f（—x）＝２—f（x），所以f（—x）＋f（x）＝２．因为错误!＝0，错误!＝１，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,１）对称．函数y＝错误!＝１＋错误!，故其图象也关于点（0,１）对称．所以函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m）成对出现，且每一对均关于点（0,１）对称，所以错误!i＝0，错误!i＝２×错误!＝m，所以错误!（x i＋y i）＝m.答案：m２．（２0１５·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），则a＝________.解析：因为f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），所以４＝a×（—１）３—２×（—１），解得a＝—２．答案：—２。

2023届新高考一轮复习苏教版函数的图象作业

一轮分层练案(十二) 函数的图象A级——基础达标1．函数y＝－e x的图象()A．与y＝e x的图象关于y轴对称B．与y＝e x的图象关于坐标原点对称C．与y＝e－x的图象关于y轴对称D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称【答案】D由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()【答案】C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C.3．为了得到函数y＝lg x＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C由y＝lg x＋310＝lg (x＋3)－1.故选C.4.(必修第一册102页复习参考题13题改编)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y ＝f(t)的大致图象为( )【答案】B 因为△OAB 是边长为2的正三角形，当0<t ≤1时，f(t)＝12 ×t × 3 t ＝32t 2；当1<t ≤2时，f(t)＝12 ×2× 3 －12 ×(2－t)× 3 (2－t)＝－32(t －2)2＋ 3 ，所以f(t)＝⎩⎨⎧32t 2（0<t ≤1），－32（t －2）2＋3（1<t ≤2）.只有选项B 中图象符合，故选B.5．(多选)将函数f(x)的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)不能满足条件的是( )A ．f(x)＝1x ＋1B ．f(x)＝e x －1－e 1－x C ．f(x)＝x ＋2xD ．f(x)＝log 2(x ＋1)＋1【答案】ACD 由题意知f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，②f(1＋x)＝－f(1－x).对于选项A 、C 、D ，f(1)均不为0，不满足条件；对于选项B ，f(1)＝e 0－e 0＝0，f(1＋x)＝e x －e －x ，f(1－x)＝e －x －e x ＝－f(1＋x).故选A 、C 、D.6．(多选)若函数f(x)＝a x －2，g(x)＝log a |x|，其中a>0，且a ≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是( )【答案】AD 当0<a<1时，f(x)＝a x －2单调递减，g(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上递减，此时A 选项符合题意；当a>1时，f(x)＝a x －2单调递增，g(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意，故选A 、D.7．(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x)＝log 2(x ＋1)，f 2(x)＝log 2(x ＋2)，f 3(x)＝log 2x 2，f 4(x)＝log 2(2x)，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)【答案】AC f 3(x)＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合，故排除选项B 、D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x ，将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位长度得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位长度可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象，可知选项A 是“同形”函数；将f 1(x)＝log 2(x ＋1)的图象沿着x 轴向右平移一个单位长度得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位长度可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象，可知选项C 是“同形”函数，故选A 、C.8．设函数y ＝f(x)的图象与y ＝⎝⎛⎭⎫13 x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f(－3)＋f ⎝⎛⎭⎫－13 ＝4，则实数a ＝________．解析：设f(x)上任意一点为(x ，y)，则(x ，y)关于直线y ＝－x 对称的点为(－y ，－x)，把(－y ，－x)代入y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋a，得－x ＝⎝⎛⎭⎫13－y ＋a，∴f(x)＝log 3(－x)＋a ，x ＜0， ∵f(－3)＋f ⎝⎛⎭⎫－13 ＝4， ∴1＋a －1＋a ＝4，解得a ＝2. 【答案】29．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1，则f(f(0))＝________；若f(m)＞1，则实数m 的取值范围是________．解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1).若f(m)＞1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞).【答案】0 (－∞，0)∪(e ，＋∞)10．设a 为实数，且1<x<3，试讨论关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.如图，作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －52 2＋134(1<x<3)的图象，得当a>134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a ＝134 或1<a ≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3<a<134时，原方程的实数解的个数为2.综上，a>134 或a ≤1时有0个解；a ＝134 或1<a ≤3时有1个解；3<a<134时有2个解．B 级——综合应用11．函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P(x ，y)满足x 2－y 2＝1，则给出以下四个命题，其中正确的命题是( )A ．函数y ＝f(x)一定是偶函数B ．函数y ＝f(x)可能是奇函数C ．函数y ＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增D ．若y ＝f(x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)【答案】B 由题意可得，函数y ＝f(x)的图象是双曲线x 2－y 2＝1的一部分．由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．其中，图①④表示的函数为偶函数，图②③表示的函数是奇函数，所以命题B 正确，命题A 错误；由图②④可知函数y ＝f(x)可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题C 错误；由图④可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题D 错误．综上可知，故选B.12．若直角坐标系内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在f(x)的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A ，B)与(B ，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x ＜0），2e x（x ≥0），则f(x)的“和谐点对”有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 如图，作出函数y ＝x 2＋2x(x ＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B.13．(多选)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有( ) A ．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B ．函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f(x 1)＝f(x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f(x)有且仅有两个零点【答案】ABD 函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f(x 1)＝f(x 2)，则x 1＋x 2的值不一定等于4，C 错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D 正确．14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x>1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c<2 020，所以2<a ＋b ＋c<2 021. 【答案】(2，2 021)15．已知函数f(x)＝|x|(x －a)，a ＞0. (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞ ；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a2 . (3)由图象知，当a2 ＞1，即a ＞2时，f(x)min ＝f(1)＝1－a ；当0＜a 2 ≤1，即0＜a ≤2时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2 ＝－a 24 .综上，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.C 级——迁移创新16．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x>1，g(x)＝|x －k|＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，求实数k 的取值范围．解：对任意的x 1，x 2∈R ，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，即f(x)max ≤g(x)min .如图，作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x>1 的图象，观察图象可知，当x ＝12 时，f(x)max ＝14.因为g(x)＝|x －k|＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g(x)min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14 ，解得k ≤74 或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74 ∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞ .。

新高考苏教版数学理大一轮复习训练2.1函数及其表示(含答案解析)

2.1 函数及其表示一、填空题1－x 2， x ≤1， 1 ) ＝________. 1. 设函数 f ( x) ＝ x 2＋ x －， x ，则 f (2 >1 f (2) 分析此题主要考察分段函数问题．正确利用分段函数来进行分段求值．∵ f (2) ＝4，∴ f ( 1) ＝f ＝ 1－＝ .f (2)416 16111515答案 16xx，2 ，<0则函数 y ＝ f ( f ( x)) 的值域是 ________． 2. 若函数 f ( x) ＝－ x x，－2 ，>0分析当 x<0 时， f ( x) ＝ 2x ∈(0,1) ，故 y ＝f ( f ( x)) ＝－ 2－ f ( x ) ∈ －1，－ 1 ；2 当 x>0 时， f ( x) ＝－ 2－x ∈( －1,0) ，故 y ＝f ( f ( x)) ＝2f (x )∈12， 1 ，进而原函数1 1的值域为－1，－ 2 ∪ 2，1 .1答案 ∪ 2，111－2x x， a 的值是3．设函数 f ( x) ＝若 f ( a) ＝ a ，则实数 1＜，xx________．12分析当 a ≥0时， 1－2a ＝a ，因此 a ＝3.1 当 a ＜0 时， a ＝a ，因此 a ＝－ 1.2答案3或－ 14．设会合 M ＝{ x|0 ≤x ≤2} ， N ＝{ y|0 ≤ y ≤2} ，那么下边的 4 个图形中，能表示会合 M 到会合 N 的函数关系的序号有 ________．分析由映照的定义，要使函数在定义域上都有图象，而且一个 x 对应着一个 y ，据此清除①④，③中值域为 { y|0 ≤ y ≤3} 不合题意．答案 ②5. 以下函数中与函数 y x 同样的是． =_______2；② y3t 3 ；③ y2； ④ yx 2① y ( x )xx分析因为 y 3 t3t 因此应天② .答案 ②1 216．已知 f x －x ＝x ＋x 2，则 f (3) ＝________. 分析 ∵f x － 1＝ x － 1 2＋2，x x∴ f ( x) ＝x 2 ＋2( x ∈R) ，∴ f (3) ＝32＋2＝11.答案11x ＋ a ， x ＜，．已知实数 a ≠ ，函数 fx 21－a ＝f＋ a ，则( ＝若 f(1(17)－x －a ， x ≥ ，))21a 的值为．________分析当 1－a ＜，即 a ＞时， a ＋＞，由 f (1 － a ＝f (1 ＋ a ，得 2(1 －a ＋11 1 ) ) )3a ＝－ (1 ＋a) － 2a ，解得 a ＝－ 2( 舍去 ) ．当 1－a ＞1，即 a ＜ 0 时， a ＋1＜1，由 f (1 －a) ＝f (1 ＋a) ，得 2(1 ＋ a) ＋a ＝－3(1 －a) －2a ，解得 a ＝－ 4.3答案－48．若 f ( x) ＝1，则 f ( x) 的定义域为 ________．1log x ＋211分析因为 log 2(2x＋1) ＞ 0，因此 0＜ 2x＋1＜1，解得－2＜x＜0.1答案－2，09. 设函数 f ( x)=x2bx c x0若 f (-3)= f (0), f (-1)=-2, 则对于x 的方程2 x0f (x)=x的解的个数为 ______．解析由 f(-3)=f(0),f(-1)=-2可得 b=3,c=0,从而方程 f(x)=x等价于x0x 0x0x f( x) 2 或 x23x x解x23x x获得 x=0或 x=-2, 进而得方程f(x)=x的解的个数为 3.答案 3a，a－b≤，．对实数 a 和 b，定义运算“”： a b＝1设函数f x＝x2 10??( )(b，a－b＞1.－ 2) ?( x－1) ， x∈ R. 若函数 y＝f ( x) －c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ________．2解析当( x－2)－( x－1)≤1时，－1≤ x≤2，所以 f ( x)＝x2－2，－ 1≤ x≤2，f ( x) 的图象如下图．x－1，x＜－ 1或x＞2，y＝f ( x) －c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，即方程 f ( x) ＝c 恰有两个解，由图象可知当－1] ∪(1,2] 时知足条件．答案( －2，－1]∪(1,2]11．对于使－ x2＋2x≤M建立的全部常数 M中，我们把 M的最小值 1 叫做－ x2＋2x 的上确界，若 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则－1－2的上确界为 ________．a b212125a b5分析因为a，b∈＋，a＋b＝，因此a＋b·＋＝＋＝＋b＋a≥ ＋R1 a b ()2a b2222a b591291292b·a＝＋2＝，因此－a－b≤－，因此－a－b的上确界为－ .22222229答案－2．设函数 f(x)对于随意实数 x 知足条件 f(x＋2)＝1，若 f(1)＝－，则12f x5 f ( f (5)) 的值为 ________．分析x＝， f(3) ＝f 11令1＝－5.由 f ( x＋2) ＝1得 f( x＋ 4) ＝1＝f ( x) ，f x f x＋因此 f(5) ＝f(1) ＝－ 5，则 f ( f (5))＝f ( －5) ＝f ( － 1)＝f1＝f11－＋＝－ . 151答案－52＋ x x213．设 f ( x) ＝lg2－ x ，则f 2＋f x的定义域为 ________．2＋x＋ x2分析 f ( x) ＝lg2－x存心义，则－x＞ 0，即 ( x＋2)( x－2) ＜0，∴－ 2＜ x＜2.2xx2－2＜2＜2，对 f2＋ f x存心义，则2?－ 2＜x＜ 2－4＜x＜4，x＜－ 1或x＞1.∴－ 4＜x＜－ 1，或 1＜ x＜ 4.答案( －4，－ 1) ∪(1,4)二、解答题314．已知函数 f ( x) ＝log 2 x＋x－a 的定义域为 A，值域为 B.(1)当 a＝4 时，求会合 A；(2)当 B＝R 时，务实数 a 的取值范围．3x2－4x＋ 3x－x－分析(1) 当 a＝ 4 时，由 x＋x－4＝x＝x＞ 0，解得 0＜x ＜1 或 x ＞ 3，故 A ＝{ x|0 ＜x ＜1 或 x ＞ 3} ．3(2) 若 B ＝R ，只有 u ＝x ＋x －a 可取到全部正实数，则 x ＞0 及 u min ≤0，∴u min ＝2 3－ a ≤0.解得 a ≥2 3.实数 a 的取值范围为 [23，＋∞ ) ．2a ＋1115．已知函数 f ( x) ＝a －a 2x ，常数 a ＞0.(1) 设 m ·n ＞0，证明：函数 f ( x) 在 [ m ，n] 上单一递加；(2) 设 0＜m ＜n 且 f ( x) 的定义域和值域都是 [ m ，n] ，求常数 a 的取值范围．分析 (1) 证明任取 x 1 x 2 m nx 1 ＜ x 2， ∈[ ， ]，且，则1 x 1－x2 f( x 1 ) － f ( x 2) ＝ a 2 · x 1x 2 .因为 x 1＜ x 2，x 1 ，x 2∈[ m ，n] ，因此 x 1x 2 ＞0，即 f ( x 1) ＜f ( x 2) ，故 f ( x) 在 [ m ，n]上单一递加．(2) 因为 f ( x) 在 [ m ，n] 上单一递加，f x 的定义域、值域都是 m ，nf m ＝ m ，f n2 a ＋ 11( [ ] ? ＝n ，即 m ，n 是方程a2)( )( )－a x＝ x 的两个不等的正根?a 2x 2－(2 a 2＋ax ＋＝有两个不等的正根．)1 0222a 2＋a12因此＝(2 a ＋a) －4a ＞0， a 2 ＞0? a ＞2. 即常数 a 的取值范围是1，＋∞ .211＋xx ，16．已知函数 f ( x) ＝ x 2＋－ ≤ x ，x ＋ x 1－2<1(1) 求 f 1－ 2－1 ，f ( f ( f ( － 2))) 的值；(2) 求 f (3 x －1) ；3 (3) 若 f ( a) ＝2，求 a 的值．1分析 (1) ∵1－＝1－( 2＋1) ＝－ 2<－1，2－11∴ f 1－ 2－ 1 ＝f ( － 2) ＝－ 2 2＋3，又∵ f ( －2) ＝－ 1，f ( f ( －2)) ＝ f ( －1) ＝2，1 3∴ f ( f ( f ( － 2))) ＝ f (2) ＝ 1＋ 2＝ 2.2(2) 若 3x － 1>1，即 x>3，1 3x则 f (3 x －1) ＝1＋3x －1＝3x － 1；2若－ 1≤3x －1≤1，即 0≤ x ≤3，则 f (3 x －1) ＝(3 x － 1) 2＋ 1＝ 9x 2－ 6x ＋2；若 3x － 1<－1，即 x<0，则 f (3 x －1) ＝2(3 x －1) ＋3＝6x ＋ 1.3x 2，3x －1x> 3∴ f (3 x －1) ＝229x － 6x ＋2 0≤ x≤3 ，x ＋x63(3) ∵ f ( a) ＝2，∴ a>1 或－ 1≤a ≤1. 1 3当 a>1 时，有 1＋a ＝2，∴ a ＝ 2；当－ 1≤ a ≤1时，有 2 3 a ＋1＝2，∴ a ＝±2. 22∴ a ＝ 2 或± 2 .17．已知函数 f ( x) ＝a x － 2 4－a x － 1( a>0 且 a ≠1) ．(1) 求函数 f ( x) 的定义域、值域；(2) 务实数 a 的取值范围，使得函数 f ( x) 知足：当定义域为 [1 ，＋∞ ) 时，f ( x) ≥0恒建立．分析(1) 由 4－ a x ≥0，即 a x ≤4，当 0<a<1 时， x ≥log a 4，当 a>1 时， x ≤log a 4，故 f ( x) 的定义域为：当 a>1 时，为 ( －∞， log a 4] ，当 0<a<1 时，为 [log a 4，＋∞ ) ．令 t ＝－a x ，则 t ∈ [0,2) ，因此 y ＝－t2－ t －＝－ t ＋ 1)2.4 42 14(当 t ∈[0,2) 时， y ＝ 4－ ( t ＋1) 2 是减函数，因此函数的值域为 ( － 5,3] ．(2) 由 (1) 知，若 a ，f x 是增函数，当 x ∈[1 ，＋∞ 时，f ( x ≥f (1) ＝a －－a >1 ( ) ) ) 2 4－ 1，因为 f ( x) ≥0恒建立，∴ a － 2 4－a －1≥0，解得 3≤ a ≤4.若 0<a<1，f ( x) 在[1 ，＋∞ ) 上是减函数， f ( x) max ＝ a － 1－ 2 4－a<0，即 f ( x) ≥0 不建立．综上知，当 3≤ a ≤4时，在 [1 ，＋∞ ) 上 f ( x) ≥0恒建立．18．据气象中心察看和展望：发生于 M 地的沙尘暴向来向正南方向挪动，其挪动速度 v( km/h) 与时间 t (h) 的函数图象如下图，过线段 OC 上一点 T t, 0) 作横轴的垂线 l ，梯形 OABC 在直线 l 左边部分的面积即为 (t(h) 内沙尘暴所经过的行程s k ．( m)(1) 当 t ＝4 时，求 s 的值；(2) 将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3) 若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km ，试判断这场沙尘暴能否会侵袭到 N 城，假如会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？假如不会，请说明原因．分析 (1) 由图象可知；当 t ＝ 4 时， v ＝3×4＝ 12，1＝因此＝× ×2412 24.132(2) 当 0≤ t ≤10 时， s ＝2·t ·3t ＝ 2t1当 10＜ t ≤20 时， s ＝ 2×10×30＋ 30( t －10) ＝30t －150；11当 20＜ t ≤35 时，s ＝2×10×30＋10×30＋ ( t －20) ×30－ 2×(t －20) ×2( t －20)＝－t 2t＋70 －550.32，t ∈ [0 ，10] ，t综上可知 s＝230t －150，t ∈，20] ，－t2＋70t －，t ∈，35].550当t ∈32＝＜(3)[0,10]时，s max＝×10650.2150当 t ∈(10,20] 时， s max＝30×20－ 150＝ 450＜650. 当 t ∈(20,35] 时，令－ t 2＋70t －550＝ 650.解得 t 1＝30，t 2＝40,0 ＜t ≤35 故 t ＝30，因此沙尘暴发生30 h 后将侵袭到 N 城．。

高考数学一轮复习 2.8 函数的图象理苏教版

2.9 函数的图象一、填空题1.函数21x y x -=-的图象可由1y x=的图象向右平移个单位,再向下平移个单位而得到. 解析因为(1)11111x y x x --+==-+,--所以填1,1.答案 1 1 2．函数f (x )＝x ＋1x的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－x ，y 0＝y .∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2.答案 g (x )＝3x －24. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________．解析y ＝f (x ＋1)是由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，故为②. 答案 ②5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．解析 (数形结合法)根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.答案 4【点评】本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观6．若函数f(x)在区间[－2,3]上是增函数，则函数f(x＋5)的单调递增区间是________．解析∵f(x＋5)的图象是f(x)的图象向左平移5个单位得到的．∴f(x＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2]．答案[－7，－2]7. 观察相关的函数图象，对下列命题中的真假情况进行判断．①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x＞x在x∈R上恒成立；④10x＞x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；⑤10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析正确画出相关函数的图象即可判断，y＝10x与y＝x的图象如图(1)；y＝10x与y＝x2的图象如图(2)；y＝10x与y＝－x的图象如图(3)．答案②③④8．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如右图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.答案 69．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)．甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为________．解析从A 地到B 地，甲用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝v 1＋v 22v 1v 2s ，乙用的时间t 乙满足：t 乙2(v 1＋v 2)＝s ，∴t 乙＝2s v 1＋v 2，t 甲－t 乙＝v 1－v 22s2v 1v 2v 1＋v 2＞0.∴t 甲＞t 乙，即甲、乙不会同时达到B 地，∴排除③④，当甲前一半路程速度是v 1，后一半路程速度是v 2，乙前一半时间速度是v 1，后一半时间速度是v 2时，①正确．当甲前一半路程速度是v 2，后一半速度是v 1，乙前一半时间的速度是v 2，后一半时间的速度是v 1时，②正确．答案 ①②10．任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的有________．答案 ④11．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称．答案 x ＝1212．若0＜a ＜1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第____象限．答案一13．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )，图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．解析由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))的连线斜率大小1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1x 1＞f x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案 ②③ 二、解答题14. 作出函数y ＝1－|x ||1－x |的图象．解析函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}．当x <0时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1＋x1－x＝－x －2x －1＝－1－2x －1；当0≤x <1时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1－x 1－x ＝1；当x >1时，y ＝－1.综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－2x －1，x <0，1，0≤x <1，－1，x >1.函数的图象由三部分组成：当x <0时函数的图象由函数y ＝－2x的图象向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度得到；当0≤x <1时，函数的图象是线段y ＝1(0≤x <1)，不含点(1,1)；当x >1时，函数的图象是射线y ＝－1(x >1)，不含射线的端点(1，－1)．15．利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解析设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k ＜0时，方程没有实数根；当k ＝0或k ＜－1或k ≥1时，方程只有一个实数根；当0＜k ＜1时，方程有两个不相等的实数根．16．已知函数f (x )＝1－x 2，g (x )＝x ＋2，若方程f (x ＋a )＝g (x )有两不同实根，求a 的取值范围．解析 y ＝f (x ＋a )＝1－x ＋a2，方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，1－x ＋a 2≥0，y 2＝1－x ＋a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋a 2＋y 2＝1.∴函数y ＝f (x ＋a )的图象为以(－a,0)为圆心，半径为 1的圆在x 轴上和x 轴上方的部分，如右图．设过(－2,0) 点和与直线相切的半圆方程分别为y ＝f (x ＋a 1)和y ＝f (x ＋a 2)，则可求出a 1＝1，a 2＝2－ 2.由图象可观察出当－a 1≤－a ＜－a 2，即a 2＜a ≤a 1时，y ＝f (x ＋a )的图象与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，即2－2＜a ≤1时，方程f (x ＋a )＝g (x )有两个不同的实根．17．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．思路分析分别作出函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象，观察它们的交点个数．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，(2,3)． (2)由题意|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图所示．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根．【点评】数形结合思想是高考每年必考内容，它对填空题、解答题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步骤还要有适当数学语言来表示． 18．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解析 ∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ＞0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为： (－∞，－1)，(1，＋∞)．函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．。

新高考数学理一轮总复习知能演练2.8函数的图象(含答案详析)

一、选择题x1) 1．函数 y＝ 5 与函数 y＝－x的图象对于(5A． x 轴对称 B ． y 轴对称C．原点对称1D ．直线 y＝ x 对称分析：选 C.因 y＝－－ xx＝－5，因此对于原点对称．5 2．把函数 y＝f(x)＝21 个单位，所得(x－ 2) ＋ 2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移图象对应的函数的分析式是()A． y＝ (x－ 3)2＋ 3 B ． y＝ (x－ 3)2＋1C． y＝ (x－ 1)2＋ 3 D ．y＝ (x－ 1)2＋ 1分析：选 C. 把函数 y＝ f(x)的图象向左平移 1 个单位，即把此中 x 换成 x＋ 1，于是获得y＝ [( x＋ 1)－ 2]2＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 2，再向上平移 1个单位，即获得y＝ (x－ 1)2＋ 2＋ 1＝ (x－ 1)2＋ 3.3． (2013 ·岭质检铁 )已知图①是函数y＝ f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A． y＝ f(|x|) B ． y＝ |f(x)|C． y＝ f( －|x|) D ．y＝－ f(－ |x|)分析：选 C.由题图②知，图象对应的函数是偶函数，且当 x<0 时，对应的函数是y＝f(x)，应选 C.2，当 x∈ [－ 1,1] 时 f(x)＝ x2，那么4． (2011 高·考课标全国卷 )已知函数 y＝ f(x)的周期为函数 y＝ f(x)的图象与函数y＝ |lg x|的图象的交点共有 ()A．10 个B．9 个C．8 个D．1 个分析：选 A. 如图，作出图象可知y＝ f(x)与 y＝ |lg x|的图象共有 10 个交点．e x＋e－ x5．函数 y＝e x－e－x的图象大概为()e x＋e x e x＋ e x－－分析：选 A. ∵ f(－ x)＝－x x＝－ x－x＝－f( x)，e－ e e－ e∴ f(x)为奇函数，清除 D.e x ＋ e－ x e 2x ＋ 1 e 2x － 1＋ 2 2又∵ y ＝ x－ x＝ 2x ＝2x－ 1 ＝ 1＋ 2x－ 1e － e e － 1 e e 在 (－ ∞， 0)、 (0，＋ ∞ )上都是减函数，清除 B 、 C. 二、填空题6．已知函数 y ＝1x ，将其图象向左平移 a(a>0) 个单位，再向下平移 b(b>0) 个单位后图象过坐标原点，则 ab 的值为 ________ ．分析：图象平移后的函数分析式为y ＝1－ b ，由题意知 1－ b ＝0，∴ ab ＝1.x ＋ a a答案： 1 7.函数 y ＝ f( x)(x ∈ [ － 2,2]) 的图象以下图，则分析：由图象可知 f( x)为定义域上的奇函数． ∴ f(x)＋ f(－ x)＝ f(x)－f(x)＝ 0. 答案： 0f( x)＋ f(－ x)＝ ________.8.如图，函数 f(x)的图象是曲线段 OAB ，此中点 O ，A ，B 的坐标分别为 (0,0)，(1,2)，(3,1)，1的值等于 ________．则 ff 3分析：由图知 f(3)＝ 1，1f f ＝ f(1)＝ 2.3答案： 2 三、解答题9．作出以下函数的大概图象(1)y ＝ x 2－ 2|x|；1 (2)y ＝ log 3[3(x ＋ 2)] ； (3)y ＝ 1－ x.x 2－ 2x ， x ≥ 0解： (1)y ＝图象如图 (1).x 2＋ 2x ， x ＜ 01 11(2)y ＝ log 33＋ log 3(x ＋ 2)＝－ 1＋ log 3(x ＋ 2)其图象如图 (2)．(3)y ＝－ x －1 ，其图象如图 (3)．3－x2，x∈ [ － 1， 2]，10．已知函数f(x)＝x－3， x∈ 2， 5].(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x) 的图象；(2)写出 f(x)的单一递加区间．解： (1)函数 f(x)的图象以下图：(2)函数的单一递加区间为[ － 1,0] ， [2,5] ．一、选择题1.(2013长·春质检)定义在R 上的函数y＝ f(x＋1)的图象以下图，它在定义域上是减函数，给出以下命题：()① f(0)＝ 1；② f(－ 1)＝ 1；③若x＞ 0，则 f(x)＜ 0；④若x＜ 0，则f(x)＞ 0，此中正确的选项是A．②③ B ．①④C．②④ D ．①③分析：选 B.由 y＝ f(x＋ 1)的图象向右平移一个单位获得函数y＝f(x)的图象以下图，联合图象知①④正确，②③错误，应选 B.2．(2013 日·照质检 )若函数 f(x)＝ log a (x＋ b)的图象如图，此中a，b 为常数，则函数g(x)＝ a x＋b 的大概图象是()分析：选 D.由函数 f(x) ＝log a (x＋ b)的图象知0＜a＜ 1,0＜b＜ 1，故 g(x)＝ a x＋ b 是由 y＝a x的图象向上平移0＜ b＜ 1 个单位获得的，应选 D.二、填空题23．已知函数f( x)＝ 2－ x ，g(x)＝ x.若 f(x)* g(x)＝ min{ f(x)，g(x)} ，那么 f( x)* g(x)的最大值是 ________． (注意： min 表示最小值 )分析：画出表示图2－x2，x≤ － 2，f(x)* g( x)＝ x，－ 2＜ x＜ 1，22－ x ， x≥ 1其最大值为 1.答案： 14.已知定义在区间[0,1] 上的函数y＝ f(x)，图象以下图．对知足0＜ x1＜ x2＜ 1 的随意 x1，x 2，给出以下结论：① f(x 1) － f(x 2) ＞x 1 －x 2；② x 2f(x 1)＞ x 1f(x 2)；③f x 1 ＋ f x 2 ＜ f x 1＋ x 2 .22此中正确结论的序号是 ________． (把全部正确结论的序号都填上 )分析：图象上随意两点x 1， x 2 所在直线的斜率的变化范围为(0，＋ ∞ )，故①错；观察两点 (x 1， f(x 1))，( x 2， f(x 2 ))连线的斜率，从图象上简单得出当0＜ x 1＜x 2 ＜1 时，应用斜率关系为f x 1 ＞ f x 2，即 x 2f(x 1)＞ x 1f(x 2)，因此②正确；在区间 [0,1] 上任取两点 A 、B ，过 A 、 B 分 x 1x 2别作 x 轴的垂线，与曲线交点分别为 M 、 N ，取 AB 中点 C ，过 C 作 x 轴的垂线，与曲线交点为 P ，与线段 MN 交点为 Q ，则f x 1 ＋ f x 2 ＝ CQ ，f x 1＋ x 2＝ CP ，从图象 (图略 )易知 CP ＞ 22x 1＋ x 2CQ ，故有f x 1 ＋ f x 2，因此③正确．2＜ f2答案： ②③三、解答题1115．已知函数 f(x)＝ m(x ＋ x ) 的图象与 h(x)＝ 4(x ＋ x )＋ 2 的图象对于点 A(0,1)对称． (1)求 m 的值； a在(0,2] 上是减函数，务实数a 的取值范围． (2)若 g(x)＝ f(x)＋ 4x解： (1)设 P(x ， y)是 h(x) 图象上一点，点 P 对于点 A(0,1) 的对称点为 Q(x 0， y 0)，则 x 0＝－ x ， y 0＝ 2－ y.∴ 2－y ＝ m(－ x － 1)，1x1∴ y ＝m(x ＋x )＋ 2，进而 m ＝ .41 1a 1a ＋ 1(2) g(x) ＝4(x ＋ x )＋ 4x ＝ 4(x ＋ x )．设 0<x 1<x 2≤ 2，1＋a ＋ 11a ＋ 1则 g(x 1)－ g(x 2) ＝ (x 1x 1)－ (x 2＋)44x 21 1x 2－ x 1＝ (x 1－ x 2)＋(a ＋ 1) ·44x 1x 21x 1x 2－ a ＋ 1＝ (x 1－ x 2) ·x 1x 2>0 ，4而且在 x 1， x 2∈ (0,2] 上恒建立， ∴ x 1x 2－ (a ＋ 1)<0 ，∴ 1＋a>x 1x 2,1＋ a ≥ 4，∴ a ≥ 3.。

2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数的图象含解析

2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数的图象含解析
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一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
A B C D
B[y＝|f(x)|＝|2x－2|＝
易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，
A．(1,3)B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)
C[作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．]
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝ [当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，则得
∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
－19m[∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)＝x3f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．
又函数G(x)＝－＝－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，
∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，
法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.]

高考一轮江苏数学文练习第章热点探究课函数的图象与性质含答案

热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解． [对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x ，x ≥2，若0＜a＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf (c )的范围是________． (1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1，又由图可知12＜f (c )＜1，故1＜1f (c )＜2， ∴ab f (c )＝1f (c )∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.] ☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7 [由f (x ＋2)＝f (x )可知，f (x )在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，且f (x )为偶函数，故f (x )在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y ＝f (x )与y ＝1有7个交点，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________．f(－25)＜f(80)＜f(11)[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．][规律方法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝⎩⎨⎧0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为______．4[令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x，0＜x≤1，－x2＋ln x＋2，1＜x＜2，x2＋ln x－6，x≥2，当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋1x＝1－2x2x＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.][规律方法]解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2]已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2－x－1，x≤0，f(x－1)，x＞0，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.【导学号：62172065】(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]热点探究训练(一)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·镇江期中)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________．(0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0<x ≤10.]2．(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：62172066】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵－x 2＋22≤22，且y ＝log 2x 在(0,22]上单调递增，故log 2x ≤log 222＝log 2232＝32.]3．(2017·如皋中学高三第一次月考)若函数f (x )＝x 2(e x ＋m )e x －1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [由f (－x )＝－f (x )得x 2(e －x ＋m )e －x －1＝－x 2(e x ＋m )e x －1，即1＋m e x ＝e x ＋m ，故m ＝1.]4．若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.【导学号：62172067】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[－1,2) [由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2，由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．]7．(2017·南通第一次学情检测)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤6的解集是________. 【导学号：62172068】[－2,4] [∵f (x )为R 上的偶函数， ∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝2－x －2，即f (x )＝2－x －2. ∵f (x －1)≤6，∴当x －1≥0，即x ≥1时， 2x －1－2≤6，解得1≤x ≤4；当x －1<0，即x <1时，21－x －2≤6，解得－2≤x <1.综上可知，f (x －1)≤6的解集为[－2,4]．]8．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]9．已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．b ＞a ＞c [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c .]10．(2017·南京一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 [由f (x )为R 上的奇函数可知，f (0)＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1， ∴f (x )＝2x －12x ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ，x ＞1，12x －2x，x ≤1.又当x ＞1时，g (x )为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝2－12＝32，当x ≤1时，g (x )为减函数， ∴g (x )≥g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－32.要使g (x )－t ＝0有且只有一解，即函数y ＝g (x )与y ＝t 的图象只有一个交点(图略)，故－32≤t ≤32.]二、解答题11．(2017·镇江期中)已知函数f (x )＝log 2x4log 22x . (1)解不等式f (x )>0；(2)当x ∈[1,4]时，求f (x )的值域．[解] (1)函数f (x )＝log 2x 4·log 22x ＝(log 2x －log 24)(log 22＋log 2x ) ＝(log 2x )2－log 2x －2，x ∈(0，＋∞)．令f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2>0，则log 2x >2或log 2x <－1，故x >4或0<x <12. (2)若x ∈[1,4]，则0≤log 2x ≤2，f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122－94，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (x )min ＝－94；当log 2x ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝0. 故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝－2x ＋m2x ＋1＋n (其中m ，n 为参数)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)如果f (x )是奇函数，求实数m ，n 的值；(3)已知m >0，n >0，在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集．[解] 证明：(1)f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋1，∴f (1)＝－2＋122＋1＝－15， f (－1)＝－12＋12＝14，∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x )不是奇函数． (2)由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x ＋m 2x ＋1＋n 对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得关于x 的恒等式(2m －n )·22x ＋(2mn －4)·2x ＋(2m －n )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n ＝0，2mn －4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2. (3)由题意得m ＝1，n ＝2，∴f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x ＋1，易判断f (x )在R 上递减，∵f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0， ∴f (f (x ))<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14， ∴f (x )>－14，∴2x <3，∴x <log 23，即所求不等式的解集为(－∞，log 23)．B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f (ln x )＋f (ln x )|2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e ＜x ＜e.]2．(2017·泰州中学高三摸底考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [由题意得ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln x x ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ，从而要使ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .] 3．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)． ∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.4．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立．①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x >1，－(x ＋1)，x <1. 因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2，所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]．(2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a 2≤0，即a ≥0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时，h (x )max ＝a ＋3.②当0<－a 2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3. ③当1<－a 2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.④当－a 2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0. 此时h (x )max ＝0.综上：h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。

2022新高考数学(江苏专用)总复习训练-函数的图象-含解析

[A级基础练]1．若函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则()A．a>1，b>1B．a>1，0<b<1C．0<a<1，b>1 D．0<a<1，0<b<1解析：选D.由题图从左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)与y轴的交点(0，1－b)，所以0<1－b<1，则0<b<1.2．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为()解析：选C.将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝ln[1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1，2)，故C正确，选C.3．(2021·苏锡常镇四市联考)函数y＝x2e|x|(其中e为自然对数的底数)的图象大致是()解析：选D.y ＝x 2e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称．当x ≥0时，函数y ＝x 2e x ，y ′＝2x －x 2e x ，当x ∈[0，2)时，y ′≥0，y ＝x 2e x 在[0，2)上单调递增，当x ∈(2，＋∞)时，y ′<0，y ＝x 2e x 在(2，＋∞)上单调递减，所以y ＝x 2e x 在[0，＋∞)上有且只有一个极大值点是x ＝2，故选D.4．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a －x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0且a ≠1)的图象可能是( )解析：选AC.函数y ＝a －x 与y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0且a ≠1)的单调性相反，所以排除B ，D 项；当a >1时，可能的图象是C 项；当0<a <1时，可能的图象是A 项．故选AC.5．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1，3)上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3)．所以x ∈(－1，0)∪(1，3)．6．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝________．解析：由题图知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )的图象与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－x .若f (a )<4＋f (－a )，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象，如图：由图易知a<2.答案：(－∞，2)9．作出下列函数的图象．(1)y＝x＋2 x－1；(2)y＝|log2(x＋1)|.解：(1)因为y＝x＋2x－1＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝x＋2x－1的图象，如图所示．(2)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．10．作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．解：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．[B 级综合练]11.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点P 沿A -B -C -M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图象的形状大致是( )解析：选A.y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52，画出分段函数的大致图象，如图所示．故选A.12．(多选)函数f (x )＝x x 2＋a的图象可能是( )解析：选ABC.函数表达式中含有参数a ，要对参数进行分类讨论．若a ＝0，则f (x )＝x x 2＝1x ，选项C 符合；f ′(x )＝a －x 2（x 2＋a ）2，当a <0时，f ′(x )<0恒成立，故f (x )在(－∞，－－a )，(－－a ，－a )，(－a ，＋∞)上单调递减，A 项符合；当a >0时，f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当f ′(x )>0，即x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递增，当f ′(x )<0，即x ∈(－∞，－a )，(a ，＋∞)时，f (x )单调递减，B 项符合；不可能出现D 项的情形，故选ABC.13．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4，f (x )的图象如图所示．(3)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．14．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即m 的取值范围为(－∞，0]．[C 级创新练]15．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L·E·J·Brouwer)，简单讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．f (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－1，x ≤1|2－x |，x ＞1D ．f (x )＝ln x －1解析：选BC.根据定义可知，若f (x )为“不动点”函数，则f (x )＝x 有解，对于A ，令2x ＋x ＝x ，得2x ＝0，此方程无解，所以f (x )＝2x ＋x 不是“不动点”函数；对于B ，令x 2－x －3＝x ，解得x ＝3或x ＝－1，所以f (x )＝x 2－x －3是“不动点”函数；对于C ，当x ≤1时，令2x 2－1＝x ，解得x ＝－12或x ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≤1|2－x |，x ＞1是“不动点”函数；对于D ，令ln x －1＝x ，得ln x －x －1＝0，设g (x )＝ln x －x －1，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－2，所以方程ln x －x －1＝0无解，所以f (x )＝ln x －1不是“不动点”函数．故选BC.16．(多选)给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .则下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题中是真命题的有( )A ．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12B ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )是奇函数D ．函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12上单调递增解析：选AD.化简函数解析式可得， f (x )＝x －{x }＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…，x ，－12<x ≤12，x －1，12<x ≤32，x －2，32<x ≤52，…，画出该函数的图象，如图所示，由图象可知A ，D 正确．。

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2.9 函数的图象一、填空题1.函数21x y x -=-的图象可由1y x=的图象向右平移个单位,再向下平移个单位而得到.解析因为(1)11111x y x x --+==-+,--所以填1,1.答案 1 12．函数f (x )＝x ＋1x的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝y .∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2.答案 g (x )＝3x －24. 函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________．解析y ＝f (x ＋1)是由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，故为②. 答案 ②5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．解析 (数形结合法)根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为4.答案 4【点评】本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观6．若函数f(x)在区间[－2,3]上是增函数，则函数f(x＋5)的单调递增区间是________．解析∵f(x＋5)的图象是f(x)的图象向左平移5个单位得到的．∴f(x＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2]．答案[－7，－2]7. 观察相关的函数图象，对下列命题中的真假情况进行判断．①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x＞x在x∈R上恒成立；④10x＞x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；⑤10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析正确画出相关函数的图象即可判断，y＝10x与y＝x的图象如图(1)；y＝10x 与y＝x2的图象如图(2)；y＝10x与y＝－x的图象如图(3)．答案②③④8．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如右图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.答案 69．甲、乙二人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1＜v 2)．甲一半的路程使用速度v 1，另一半的路程使用速度v 2；乙一半时间使用速度v 1，另一半的时间使用速度v 2.关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程)，则其中可能正确的图示分析为________．解析从A 地到B 地，甲用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝v 1＋v 22v 1v 2s ，乙用的时间t 乙满足：t 乙2(v 1＋v 2)＝s ，∴t 乙＝2s v 1＋v 2，t 甲－t 乙＝v 1－v 22s2v 1v 2v 1＋v 2＞0. ∴t 甲＞t 乙，即甲、乙不会同时达到B 地，∴排除③④，当甲前一半路程速度是v 1，后一半路程速度是v 2，乙前一半时间速度是v 1，后一半时间速度是v 2时，①正确．当甲前一半路程速度是v 2，后一半速度是v 1，乙前一半时间的速度是v 2，后一半时间的速度是v 1时，②正确．答案 ①②10．任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的有________．答案 ④11．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称．答案 x ＝1212．若0＜a ＜1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第____象限．答案一13．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )，图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．解析由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))的连线斜率大小1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1x 1＞f x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案 ②③ 二、解答题14. 作出函数y ＝1－|x ||1－x |的图象．解析函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}．当x <0时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1＋x1－x＝－x －2x －1＝－1－2x －1；当0≤x <1时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1－x1－x ＝1；当x >1时，y ＝－1. 综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－2x －1，x <0，1，0≤x <1，－1，x >1.函数的图象由三部分组成：当x <0时函数的图象由函数y ＝－2x的图象向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度得到；当0≤x <1时，函数的图象是线段y ＝1(0≤x <1)，不含点(1,1)；当x >1时，函数的图象是射线y ＝－1(x >1)，不含射线的端点(1，－1)．15．利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解析设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k ＜0时，方程没有实数根；当k ＝0或k ＜－1或k ≥1时，方程只有一个实数根；当0＜k ＜1时，方程有两个不相等的实数根．16．已知函数f (x )＝1－x 2，g (x )＝x ＋2，若方程f (x ＋a )＝g (x )有两不同实根，求a 的取值范围．解析 y ＝f (x ＋a )＝1－x ＋a2，方程可化为⎩⎨⎧y ≥0，1－x ＋a 2≥0，y 2＝1－x ＋a 2，即⎩⎨⎧y ≥0，x ＋a2＋y 2＝1.∴函数y ＝f (x ＋a )的图象为以(－a,0)为圆心，半径为 1的圆在x 轴上和x 轴上方的部分，如右图．设过(－2,0) 点和与直线相切的半圆方程分别为y ＝f (x ＋a 1)和y ＝f (x ＋a 2)，则可求出a 1＝1，a 2＝2－2.由图象可观察出当－a 1≤－a ＜－a 2，即a 2＜a ≤a 1时，y ＝f (x ＋a )的图象与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，即2－2＜a ≤1时，方程f (x ＋a )＝g (x )有两个不同的实根．17．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．思路分析分别作出函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象，观察它们的交点个数．解析 f (x )＝⎩⎨⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，(2,3)． (2)由题意|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图所示．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根．【点评】数形结合思想是高考每年必考内容，它对填空题、解答题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步骤还要有适当数学语言来表示．18．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解析 ∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为：f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3，x ＞0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为： (－∞，－1)，(1，＋∞)．函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．。