3..基本不等式-均值不等式
基本不等式(均值不等式)技巧
根本不等式习专题之根本不等式做题技巧之公保含烟创作【根本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅事先b a =取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅事先b a =取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅事先b a =取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a =b = c时,“=”号成立.R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅事先b a =取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +. 【技巧解说】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（应用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于结构条件.通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式停止结构） 1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值. 2. 事先，求(82)y x x =-的最年夜值.3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最年夜值. 4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值.5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最年夜值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值.7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一谜底：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要停止拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故事先1x =，max 1y =.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.2解析：由知，，应用根本不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最年夜值为8.评注：本题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可失掉和为定值，从而可应用根本不等式求最年夜值. 3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.4解析：3211131222(1)x x x --≥⋅⋅-312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52.评析：应用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于结构条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式停止结构. 5、剖析lg lg lg()x y xy +=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否认值， 而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，行将xy 变形为326x y⋅，再用均值不等式.当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最年夜值是lg 6.6剖析：因条件和结论辨别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y2 中y2前面的系数为 12 ， x 1＋y2 ＝x2·1＋y 22＝ 2 x·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 辨别看成两个因式： x·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y2 ＝2 ·x12 ＋y 22 ≤3427剖析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法应用2a b ab +≥+b来解决.换个思路，可思索将2a b c ++重新组合，酿成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以应用均值不等式了. 技巧二： 别离或裂项1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用根本不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其别离. 当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.2、解：可将上式转化为 所以值域为：11-][-,+)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2、求函数225x y x +=+的最年夜值.3、、已知正数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值. 参考谜底：1、解析：本题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在别离求最值. 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再应用不等式求最值.即化为2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值.2剖析t =，停止换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18.技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、 已知正数x 、y满足811x y +=，求2x y +的最小值.2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.3、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz的最小值是.1解法：（消元法） 由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=.当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18.法一：a ＝30－2b b ＋1， ab ＝30－2b b ＋1·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t＝－2（t＋16t ）＋34∵t＋16t ≥2t·16t＝8 ∴ab≤18 ∴y≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.32x z y +=，则可对2y xz停止消元，用,x z 暗示，即酿成二元式，然后可应用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为 技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 2、已知正数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.1错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用根本不等式，在x y +≥件是x y =，在19xy+≥19xy=即9y x =,取等号的条件的纷歧致，发作毛病.因此，在应用根本不等式处置问题时，列出等号成立条件是解题的需要步伐，而且是检验转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅事先9y x x y=，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +的最小值2、解法：（应用均值不等式）2x y +8116()(2)10x yx y x y y x=++=++1018≥+,当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18.技巧六：转化为不等式1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.2、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围. 1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b∵a＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab 令u ＝ab 则u2＋22 u －30≤0， －52≤u≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考察不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,动身求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 1解法：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞.又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞技巧六：取平方1、 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y的最值.2: 求函数15()22y x =<<的最年夜值.解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2≤a 2＋b 22，本题很复杂3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝23x ＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢. W ＞0，W2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y)＝20∴W≤20 ＝2 5解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =.评注：本题将解析式两边平方结构出“和为定值”，为应用根本不等式发明了条件.总之，我们应用根本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极发明条件应用根本不等式.注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性. 1：求函数2y =的值域.2、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值.1(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t =+≥因10,1t t t>⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，思索单调性.因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 2解法一：（单调性法）由函数()(0)b f x ax a b x=+>、图象及性质知，事先(0,1]x ∈，函数4()f x x x=+是减函数.证明： 任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数.故事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法二：（配办法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知事先01x <≤，0μ且单调递加，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数，事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x'=-，事先(0,1]x ∈，24()10f x x '=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数.故事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅事先1x =“=”号成立，故此函数最小值是5.评析：求解此类问题，要注意灵敏选取办法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配办法及拆分法也是较为简洁实用得办法. 练习：2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，而且b a 33⋅定值，因此思索应用均值定理求最小值，解：b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a事先ba33=等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即事先1==b a ，b a 33+的最小值是6．3若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值求下列函数的最年夜值：①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最年夜值是1.②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最年夜值，可先求y2的最年夜值.22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tan x ⇒=即x arc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最年夜值4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.5.若直角三角形周长为1，求它的面积最年夜值.。
基本不等式、均值不等式
基本不等式知识点：1.基本不等式：ab b a ≥+2，（▼使用条件：b a ,正数、当且仅当时取“=”）。
例题讲解：▼▼例1、（只含有一个字母）：22)1(x x y +=的最小值为.练习1、当0<x 时，则x x y 1+=的最大值为.练习2、求函数的最小值是.例2、（有两个字母）：若实数满足，则的最小值是.练习3、已知定义在),0(+∞上的函数x x f 3)(=，若9)(=+b a f ，则)(ab f 的最大值为.▼▼例3、（前后相乘）：已知，且，则的最小值为.练习4、若且412=+y x ，则=+x y 3的最小值为.练习5、若，求的最小值.并求x,y 的值。
练习6、已知且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为. b a =12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈2=+b a b a 33+0,0x y >>191x y+=x y ++∈R y x ,44log log 2x y +=11x y +0,0x y >>191x y+=x y m +≥m▼▼例4、求)0(452>++=x xx x y 的值域。
练习7、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.例5、（换元法）： 求的值域。
例6、（凑常数）：已知，则函数的最大值为.练习8、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.例7、（凑系数）：当40<<x 时，求的最大值为.练习9、设，求函数的最大值为. 231,(0)x x y x x++=>2710(1)1x x y x x ++=>-+54x <14245y x x =-+-12,33y x x x =+>-(82)y x x =-230<<x )23(4x x y -=练习10、，求函数的最大值为.练习11、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值为.课后作业：1、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是.2、设函数x x x f -=2lg)(，若0)()(=+b f a f ，则b a 13+的最小值为.3、已知且3123=+y x ，则y x +6的最小值为.4、当1>x 时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是.5、已知，求函数的最大值为.203x <<y +∈R y x b a ,,,01x <<y。
基本不等式
基本不等式一、基础知识☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有2a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立.证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明2a bab ，即20a b ab.由22a b aba b.上式显然成立，且只有当ab 时，原不等式两边才相等.☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有22a bab ，且等号当且仅当a b 时成立.☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立.证明：为证明a ba b ，只需证明22a ba b，即222222aab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0ab时成立.二、拓展知识☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么3333a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）证明：33333223333a b c abca bc a b ab abc223a b ca ba b c c ab a b c22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 22212a bc a ba cbca ，b ，cR ，222102a b c a b a cb c从而3333ab c abc☐推论：如果a ，b ，c R ，那么33a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）☐基本不等式：1212nn a a a a a a n，*n N ，ia R ，1in .证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当120na a a 或i ib ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ）证明：构造二次函数2221122n nf xa xb a x b a x b2222222121122122n n n n a a a xa b a b a b xb b b222120n aa a又0f x 恒成立222222211221212440n nn n a b a b a b a a a b b b即222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b当且仅当0i i a x b x（1,2,,i n ）即1212nna a ab bb 时等号成立. ☑一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． ☑函数()()0,0bf x ax a b x =+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象大致如下图（xx x f 1)(+=）所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()2,ab,⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．三、最值常见类型注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”； （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 类型一：积定和最小；重点：利用好“一正，二定，三相等”，凑积为定值； 例1、已知1->x ，求221xx 的最小值【解析】求和的最小值，去找积的定值，这里面发现2x 与21x 的积没有关系，但是能够注意到题目中有1->x ，从而01>+x ，且可以将2x 出来1x 让分母抵消，故有222221222122111xx x x x x ，当且仅当2211x x 即0x 时取等号；注意：在使用积定和最小时，第一要注意两个式子是正还是负（一正）；第二要注意两个式子乘起来是不是定值，如果是定值，结束，如果不是定值要注意进行变形，凑成乘起来是定值的式子（二定）；第三是要注意进行验证，是否可以取等（三取等）；注意：三取等一定要关注，一个是为了验证等号，第二个是因为有的不等式是会进行多次应用基本不等式（多次放缩），如果多次应用中等号不一致，是不可以进行取等的； 例2、已知0xy ，1xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
数学：《均值不等式》课件
练习：已知a，b为正数，且ab a b 3，则 a b的取值范围
二、均值不等式的应用---求最值
例、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形 的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长 是多少？ （2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽 各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
当且仅当
2b a 即: a 2b 时取“=”号 a b
即此时
1 a 2b b 而 2 2 a 2b 1 2 a 2 2
zmin 3 2 2
3 1.若x>0,当x= 时,函数 y x 的最小值是 x 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 值 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 时,函数有最
1 练习： (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值; 3 1 (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值. 3
均值不等式的推广
abc 3 推广 : abc 3
当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
利用均值不等式求函数最值的步骤:
12 12 此时x=_______. 2 3 x的最小值为_______; 练习1)若x>0,f(x)= x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例.a, b是正数且a b 4，求ab的最值
基本不等式公式五个
基本不等式公式五个1. 基本不等式原始形式。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式的变形一（均值不等式）- 对于正实数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：由a^2+b^2≥slant2ab，令A=√(a)，B=√(b)（a,b>0），则A^2+B^2≥slant2AB，即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
3. 基本不等式的变形二（推广到三个正数）- 对于正实数a,b,c，有a^3+b^3+c^3≥slant3abc，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca)- 而a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca=(1)/(2)[(a - b)^2+(b - c)^2+(c - a)^2]≥slant0，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 又因为a,b,c>0，所以a^3+b^3+c^3≥slant3abc。
4. 基本不等式的变形三（三个正数的均值不等式）- 对于正实数a,b,c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：由a^3+b^3+c^3≥slant3abc，令A=sqrt[3]{a}，B=sqrt[3]{b}，C=sqrt[3]{c}，则A^3+B^3+C^3≥slant3ABC，即a + b + c≥slant3sqrt[3]{abc}，所以(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}。
最新基本不等式的应用
方法二：
∵x>0，y>0，且 2x＋y＋6＝xy，
∴xy＝6＋2x＋y≥6＋2 2xy当且仅当 2x＝y 时取等号．
令 t＝ xy，则有 t2－2 2t－6≥0，
多次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立
练习 5：已知正数 a，b 满足
1 1 a＋b＝1，则a＋a＋b＋b的最小
5 值是______________．
1 1 1 1 a＋ ＋b＋ ＝a＋b＋ ＋ 正解： a b a b
a＋b a＋b ＝1＋ a ＋ b b a ＝1＋1＋a＋b＋1 ≥3＋2 ba a·＝5. b
[( x 1) 4 4 ] 5 2 ( x 1) 5 9 x 1 x 1
当且仅当 x 1
4 ，即 x 1 时，等号成立. x 1
∴当 x 1 时， f ( x ) 取得最小值 9 .
状元360第 41
页
示范4 （2）
x2＋5 练习 4：求函数 y＝ 2 的值域： x ＋1
练习 6．(2010· 安徽卷)若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切 满足条件的 a，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． 1 1 ①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤ ＋ ≥2. a b
解析 两个正数，和为定值，积有最大值， a＋b2 即 ab≤ ＝1， 4 当且仅当 a＝b 时取等号，故①正确； ( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝2＋2 ab≤4， 当且仅当 a＝b 时取等号，得 a＋ b≤2，故②错误；
高三数学均值不等式(201908)
戒严服之 巾车氏建大赤以朝 夹钟 朝廷卒以弱制强 员外散骑侍郎 盐者食之急也 亦是一节也 及秦变古制 印曹 不畏岸上兽 上加青油幢 林钟 若依夏主之埋 乃减田租 务从节约 祔于庙 亲族 周灵王求婚于齐 结舌不敢言 司服掌六服 功烈何巍巍 石印封发 大使车 古者天子诸侯 既而中
止 十年七月 亿兆夷人 主刺史郡国事 降婚卑陋 生陶 孝武帝太元四年九月 六合是式 而叔向称有三年之丧二也 畅物以和 柰何 皇太后 恭作肃 光景昭 而险害终著 资始开元 杀人 大旱 护军将军冯怀议 今令先妻以一体接后 仁及草木 永永无极 基命惟则 务立威胜 制为七庙 天戒若曰
生也 新礼以为挽歌出于汉武帝役人之劳歌 故及于祸 六年三月 又引一有元良 非不允也 有吏部 于是复铸五铢钱 纳九夷 籍田 百姓未得其所 退使博士段畅博采典籍 又南宫王承 佩水苍玉 又省御府 咸常心讥勖新律声高 由是稍贵 庶人干典 一人夺之 改《将进酒》为《章洪德》 木冰
国有丧故 不得佩绶鞶 自天效其成 折杨柳 郊告天地 兵曹史 魏时张掖石瑞 郑大夫公孙虿卒 魏末置 而又得荫人以为衣食客及佃客 掌授节 十三年十二月 然则婚之有羊 以至死亡 又曰 上开四望 又复江左之旧 近服妖也 拜特进 《周礼》虽有服冕之数 宣答曰 雍州刺史解系败绩 言魏氏
皇祖 则衰葛执戈楯守门 武帝尝出射雉 或以谓慈母服如母服齐衰者 嘉瑞显祥 宗藩多绝 去年采择良家子女 逆命斯亡 又 钱皆轮文大形 黑安车 卒面缚而吴亡 乃事势不得 或在前或在后 荀勖又作新律笛十二枚 式宴尽酣娱 面缚造垒门 今去情与故 盖取其迅速也 《关东有贤女》 人神弗
佑 建康狱吏 曹叔 赫赫大晋德 谓建华是也 少傅 戚戚多悲 以从至情 言其时主圣德践位 永始复是王莽受封之年也 法驾行则五路各有所主 子贡云 披庆云 郭铨置戍野王 婚礼盖阙 陛下之德 不可求以循常之文 后人代以猎车也 乃罢司隶校尉官 明闰在年外 不祷祠 始推阴阳 孙毓以为一
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤(当且仅当ba =时取“=")2. （1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“="） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时，“=”号成立;)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ，当且仅当a = b = c 时，“="号成立。
4。
若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注：(1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3） 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项(增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值。
6已知x ，y 为正实数，且x 2＋错误!＝1，求x 错误!的最大值. 7 若且,求的最小值 .技巧一答案:1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
高考数学复习3-4基本不等式
＝800x＋259x200＋16000≥2 800x·259x200＋1600 ＝2×800×18＋1600＝44800 当且仅当 800x＝259x200，即 x＝18 米时，y 取得最小值． ∴当污水池的长为 18 米，宽为1090米时总造价最低为 44800 元．
谢谢！
上为增函数，所以当 x＝4 时，f(x)取得最小值为 1.
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1x＋1y
号又有[解第]x•y二第≤1x–＋级三x第＋1y2级≥四y＝2级2，当x1y，且x仅，当y∈x＝R＋y当时且取仅等当号，x＝y 时取等 ∴ 1xy≥12，»第五级 ∴1x＋1y≥2 1xy≥2×12＝1，∴只需 m≤1 就能使不等式1x
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第二级
[解] • ∵第–0三第＜级四x≤级16,0＜20x0≤16,12.5≤x≤16，x≠18 ∴不能用基本不等式，
»第五级 但我们可以证明函数
y＝800x＋259x200＋16000
在区间
[12.5,16]上是减函数，所以当 x＝16 米时， y 取得最小值
为 45000 元
答：当污水池的长为 16 米，宽为 12.5 米时总造价最低，
最低造价为 45000 元．
1．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值； 三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现 错误．
对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤(a＋2 b)2，要弄清它们的作 用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的 转化关系．
a2＋2 b2，
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基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
均值不等式
利用柯西不等式证明
总结词
柯西不等式是均值不等式的特殊形式，利用柯西不等式 证明均值不等式是常见的证明方法之一。
详细描述
柯西不等式是：如果 $p>0$，$q>0$，那么 $(p+q)^2 \geq p^2+q^2$。令 $p=a_i^2$， $q=b_i^2$，则 $(a_i^2+b_i^2)^2 \geq a_i^4+b_i^4$。利用这个不等式可以推出 $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i^4)(\sum b_i^4)^{1/2}$
04
均值不等式的扩展
柯西不等式
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柯西不等式
这个不等式是数学中的一个基本不等式，它表 明向量的模长的平方和大于等于各向量分量乘 积的平泛的应用， 包括统计学、概率论、微分学、最优化理论等 。
不等式证明
柯西不等式可以通过数学归纳法、构造法等方 式进行证明。
例如，在描述两个总体的平均水平差异时，利用均值不等 式可以给出两个总体的平均值之间的差异的上界或下界， 从而帮助我们更清晰地理解两个总体的差异程度。
在优化问题中的应用
在优化问题中，均值不等式常常被用来解决一些与最优化相关的问题。特别是当 问题涉及到求函数的最大值或最小值时，均值不等式可以提供一种有效的解决方 法。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式
这个不等式是概率论和统计学中常用的一种不等式，它给出了一 组随机变量的和的方差与这组随机变量的方差之和的关系。
应用领域
切比雪夫不等式在统计学、金融学、信号处理等领域都有广泛的 应用。
不等式证明
切比雪夫不等式可以通过数学归纳法、切比雪夫定理等方式进行 证明。
均值不等式公式总结及解题技巧
均值不等式应用【知识必备】 1．基本不等式(1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2．基本不等式变式(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x+≥(当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 5．若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 【题型分析】 题型一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋1x =－（－x －1x）≤－2x·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项 例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧之相礼和热创作【基本学问】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a =b = c时,“=”号成立.R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个负数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个负数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟习一个紧张的不等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +. 【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件.通常要经过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.2. 当时，求(82)y x x =-的最大值.3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值. 4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值.5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最大值. 7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一答案：1解：因450x -<，以是首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，以是对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题必要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的方式，但其和不是定值.留意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可. 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值. 3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.4解析：1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52.评析：利用均值不等式求几个负数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数.通常要经过添加常数、拆项（经常是拆底次的式子）等方式进行构造. 5、分析 lg lg lg()x y xy +=,xy 是二项“积”的方式，但不知其“和”的方式x y +能否定值， 而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，马上xy 变形为326x y⋅，再用均值不等式.当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 以是lg lg x y +的最大值是lg 6.6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采取公式ab≤a 2＋b 22 .同时还应化简1＋y2 中y2后面的系数为 12 ， x 1＋y2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x·12 ＋y 22上面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式：x·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤34 27分析 初看，这是一个三元式的最值成绩，无法利用2a b ab +≥+b 来处理.换个思绪，可考虑将2a b c ++重新组合，酿成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以利用均值不等式了. 技巧二： 分离或裂项1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离. 当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.2、解：可将上式转化为 以是值域为：-)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2、求函数225x y x +=+的最大值.3、、已知负数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最大值. 参考答案：2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值. 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的方式，然后运用基本不等式来求最值.2分析 2x t +=，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来处理.3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22102(8cot )(2tan )x x ≥+⋅18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18.技巧四：消元（转化为函数最值，此时要留意确定变量的范围）1、 已知负数x 、y 满足811x y +=，求2x y +的最小值.2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.3、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz的最小值是.1解法：（消元法） 由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----162(8)10188x x ≥-⋅=-.当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18.法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t·16t ＝8 ∴ab≤18 ∴y≥118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.32x z y +=，则可对2y xz进行消元，用,x z 暗示，即变成二元式，然后可利用均值不等式处理成绩. 22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为技巧五：团体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 2、已知负数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.1错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥件是x y =，在19xy+≥19xy=即9y x =,取等号的条件的纷歧致，发生错误.因而，在利用基本不等式处理成绩时，列出等号成立条件是解题的必要步调，而且是检验转换能否有误的一种方法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9yxx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +的最小值2、解法：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x yx y x y y x=++=++1018≥+=,当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18.技巧六：转化为不等式1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.2、已知负数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围. 1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab令u ＝ab 则u2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考查不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的使用、不等式的解法及运算才能；②怎样由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是探求到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.1解法：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞.又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞ 技巧六：取平方1、 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 2: 求函数15()22y x =<<的最大值.解法一：若利用算术均匀与平方均匀之间的不等关系，a ＋b2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的方式，设法直接用基本不等式，应经过平方化函数式为积的方式，再向“和为定值”条件靠拢. W ＞0，W2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y)＝20∴W≤20 ＝2 5解析：留意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，以是0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式制造了条件.总之，我们利用基本不等式求最值时，肯定要留意“一正二定三相称”，同时还要留意一些变形技巧，积极制造条件利用基本不等式.留意：在使用最值定理求最值时，若遇等号取不到的状况，应结合函数()a f x x x=+的单调性.1：求函数2y =.2、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值.1(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t ==+≥因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性.由于1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，以是在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.以是，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 2解法一：（单调性法）由函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性子知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数.证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数.故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知当01x <≤时，0μ且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x =+在(0,1]上有最小值5.解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x'=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x '=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数.故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5.评析：求解此类成绩，要留意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一样平常性，配方法及拆分法也是较为简约有用得方法. 练习：2=+b a ，则b a 33+的最小值是.分析：“和”到“积”是一个减少的过程，而且b a 33⋅定值，因而考虑利用均值定理求最小值，解：b a 33和都是负数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．3若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值 求下列函数的最大值： ①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1.②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求y2的最大值.22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tan x ⇒=即x arc =时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是9. 4.已知a>0，b>0，ab －(a ＋b)＝1，求a ＋b 的最小值.5.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。
（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。
1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。
解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。
基本不等式内容
基本不等式内容基本不等式不等式是数学中一种非常重要的概念，我们常常会用到它来描述两个量之间的大小关系。
其中最为基础和实用的便是基本不等式。
今天，本文将结合实例为大家详细介绍基本不等式的应用和解题方法。
一、算数-几何平均不等式算数平均数和几何平均数不仅仅是初中数学中的概念，它们在高中数学中的地位也非常重要。
算数平均数是指若干个数的和除以其个数，记为：$AM=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$，几何平均数是若干个正数的积的$n$次方根，即：$GM=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$。
算数平均数和几何平均数既有相似之处，又有本质的不同之处。
而算数-几何平均数不等式则是二者之间的联系。
对于任意$n$个正数，有以下不等式成立：$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$。
举个例子，假设有三个正数$a$、$b$、$c$，那么我们可以通过算数-几何平均不等式计算它们的大小关系：$(a+b+c)/3\geq\sqrt[3]{abc}$。
通过简单的计算可知，当且仅当$a=b=c$时，上述不等式成立。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解决向量内积问题时经常用到的一种不等式，它的公式为：$|\vec{a}·\vec{b}|\leq|\vec{a}||\vec{b}|$。
这个公式是什么意思呢？其实它在表示的是向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角与向量模长之间的关系。
当向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行时，夹角为0，内积最大，等号取得；当$\vec{a}$和$\vec{b}$垂直时，夹角为90度，内积为0，等号取不到。
这个不等式的应用非常广泛，而且它的证明也十分巧妙，属于初学者必掌握的知识点之一。
三、均值不等式均值不等式是一类非常基础的不等式，它其实是一组不等式，其中最常用的莫过于调和-几何均值不等式了。
均值不等式的基本概念和均值不等式的分类
均值不等式的基本概念和均值不等式的分类简介均值不等式概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]5、均值定理：如果 a ，b属于正实数那么(a+b)/2≥√ab 最右边式子分母n也在根号里面且仅当a=b 时等号成立。
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= …=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))则[1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D⑴≤D⑵由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]均值定理的证明：因为 a 〉0 ，b 〉0 所以a+b/2 -√ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥0即a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。
[1]变形⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0⑶对负实数a,b，有a+b<-2√(a*b)<0⑷对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2⑽对实数a,b,c，有(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)证明：均值不等式方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
均值不等式解法
均值不等式解法一、均值不等式是什么呢？均值不等式可简单理解为几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
比如说对于两个正实数a和b，那它们的算术平均数就是(a + b)/2，几何平均数就是√(ab)，均值不等式就表示为(a + b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当a = b的时候等号成立哦。
这就像是一群小伙伴平均分东西，和用一种特殊方式分配东西之间的一种大小关系呢。
二、常见的均值不等式类型1. 基本的二元均值不等式就像刚刚说的a和b的那种情况。
我们可以想象一下，假如a是一块正方形的边长，b是另一块正方形的边长，那它们的算术平均数就像是把这两块正方形的面积合起来再平均分配后的边长，而几何平均数就像是这两块正方形拼成一个长方形后，能变成正方形的那个边长，很明显平均分配后的边长要大于或者等于特殊分配后的边长啦。
2. 三元均值不等式对于三个正实数a、b、c，它们的算术平均数(a + b + c)/3可不小于它们的几何平均数³√(abc)，同样也是当且仅当a = b = c的时候等号成立。
这就好比有三个盒子，里面装着不同数量的糖果，一种是把糖果总数平均分成三份放到每个盒子里，一种是用特殊的计算方式让每个盒子里的糖果数量有特殊的关系，那平均分配的那种情况得到的数量是比较大或者相等的。
三、均值不等式的解法1. 直接应用如果题目已经明确给出了满足均值不等式形式的式子，那就可以直接套公式啦。
比如说已知a > 0，b > 0，求a + b的最小值，且知道ab = 1，那我们就可以根据均值不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，把ab = 1代入，得到(a + b)/2 ≥ 1，所以a + b ≥ 2，最小值就是2啦。
就像是我们看到了形状正好合适的拼图块，直接放到对应的位置就行。
2. 变形后应用有时候题目给的式子不是直接能套均值不等式的形式，这时候就需要我们变形啦。
比如求y = x + 1/x（x > 0）的最小值。
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1 5、求函数 y = x + 的值域. x 解: 1 1 (1)当x > 0时, x + ≥ 2 x ⋅ = 2 x x 1 + (2)当x < 0时,− x,− ∈ R , x 1 1 − x − ≥ 2 (− x) ⋅ (− ) = 2 x x 1 ∴ x + ≤ −2 ∴ y ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞). x
3 ( x > 2) ， ２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值． 求函数的最小值．
解：
用均值不等式求最值，必须满足“定值” 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件． 个条件．
4 π 3 求 数 =sin α + 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y =sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
a + b ≥ 2
概念
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 如果ａ、ｂ都是正数， ａ、ｂ都是正数
a+b 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。 称为ａ、ｂ 几何平均数。 ａ、ｂ的 算术平均数，
均值定理可以描述为： 均值定理可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 算术平均数不小于 它们的几何平均数 它们的几何平均数
a+b ≥ ab 2
重要不等式
a, b ∈ R ，那么 2 2 a + b ≥ 2ab 时取“ （当且仅当 a = b 时取“=”
定理１ 定理１：如果 号）．
基本不等式
定理２ 均值定理） 定理２（均值定理）
是正数， 如果 a , b 是正数，那么
ab
时取“ 号 (当且仅当 a = b 时取“ = ”号）．
思考 3
a，b ∈ R a + b ≥ 2ab 成立的条件_______
2 2
a + b ≥ 2
a，b ∈ R ab 成立的条件______
+
规律： 规律：
两个正数的积为常数时，它们的和 两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值； 最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积 两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值。 最大值。
> 1 ∴ lg x > 0 log x 10 > 0
于是
lg x + log x 10 ≥ 2 lg x lg x 10 = 2
≤ （2） x + log x 10 ？ 2 (0 < x < 1) lg __ 解：∵ 0 < 0 log x 10 < 0
于是 (− lg x) + (− log x 10) ≥ 2 从而 lg x + log x 10 ≤ −2
2 3.已知 已知x<0，求函数 f ( x ) = x + 的最大值 的最大值. 已知 ， x −2 2 1 1 + 4 已知 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u = 且 求 x y
的最小值． 的最小值．
3+ 2 2
换1法
典例探讨
求证： 例1 求证：
（ 1） a + b + c ≥ ab + bc + ac
3 解： f ( x) = 1 − (2 x + ) ，因为x>0， 因为 ， x
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当 号成立。 号成立。
3 2x = x
3 ，即 x = 2
2
时，式中等
1 1 当且仅当 x + 1 = x+ 有最小值1 x +1 即 x = 0 时 x + 1 有最小值
练习3 练习
4 、求证 + a ≥ 7(其中a ≻ 3) 1. a −3
1 1、求函数y= + x的最小值( x ≻ 3)； 2. x-3 2 x +8 2、求函数y= 的值域. 3. x −1
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
2 2 2
（２）已知
a, b, c, d
都是正数， 都是正数，求证
(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
证明： 都是正数， 证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac + bd ab + cd ≥ ac ⋅ bd > 0 ≥ ab ⋅ cd > 0 2 2 (ab + cd )(ac + bd ) ∴ ≥ abcd 4
即(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
练习1 练习
1 .巳 知 a > 0 , b > 0 , 1 1 求 证 : (a + b )( + ) ≥ 4 . a b
2. 巳知 a , b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
4.证明 证明
（1）lg x + log x 10 ≥ 2 ( x > 1) 证：∵ x
解：
用均值不等式求最值,必须注意 相等” 用均值不等式求最值 必须注意 “相等” 的 条件. 条件
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值. 则不能取到该最值
练习题： 练习题： 1.已知 已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值， 的最小值， 已知 的最小值 并说明此时x,y的值 的值． 并说明此时 的值． 最小值为48 当x=6,y=4时,最小值为 时 最小值为 2 已知 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最小值为 求 的最小值． 最小值为8 ．
例4
sin x 2 + （0 ≺ x ≺ π） (3) 求y = 2 sin x 的最小值。
练习4 练习
的最值. 求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值 的最值
−2 x + x − 3 ( x > 0) 例5．求函数f ( x) = x
2
的最大
值，及此时x的值。 及此时 的值。 的值
由于x>0，所以 ， 由于
6 x= 2
，式中等号成立， 式中等号成立，
6 ，此时 x = 2
因此 f ( x)max = 1 − 2 6
。
一正二定三相等
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 下面几道题的解答可能有错，如果错了， 有错 错了 那么错在哪里？ 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 x 最小值和此时x的取值 的取值． 最小值和此时 的取值．
运用均值不等式的过程中，忽略了 解 ：运用均值不等式的过程中，忽略了“正 数”这个条件． 这个条件．
1 Ｘ＞－１ 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x + x + 1 有最小值，最小值为几？ 有最小值，最小值为几？
解：∵
x >−1 ∴ x +1> 0
1 >0 x +1
1 1 1 − 1 ≥ 2 ( x + 1) ⋅ −1 = 2 −1 = 1 ∴x+ = x +1+ x +1 x +1 x +1