气垫导轨上弹簧振子振动的研究

气垫导轨上弹簧振子振动的研究

力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的]

1．测量弹簧振子的振动周期T 。 2．求弹簧的倔强系数k 和有效质量

0m 。

[仪器仪器]

气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理]

在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。

设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受

弹性力)(01x x k +-与)(01x x k --的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 x

m x x k x x k =--+-)()(0101（1） 令 12k k =

方程（1）的解为 )sin(00ϕω+=t A x （2）

说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；0ϕ—初相位。

m k

=

0ω （3）

0ω叫做振动系统的固有频率。而

01m m m += （4）

式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。

0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系：

k m m k m

T 010

222+===

ππ

ωπ

（5）

在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。

图13-1简谐运动原理图

[实验内容]

1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。

2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是01

m m m +=，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质

量。

3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T ，这时系统的有效质量

02m m m +=，其中 m 2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。

4．再用03m m m +=和04m m m +=测量相应的周期T 。式中：+=13m m “4块砝码

的质量”；

+=14m m “6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自

的质量。）

5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。

7．求出弹簧的倔强系数k 和有效质量0m ，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。 [数据处理]

1．用逐差法处理数据。 由下列公式：

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪

⎪⎪⎬⎫+=+=+=+=)(4)(4)(4)(40422

4032

2

3022

220122

1

m m k T m m k T m m k

T m m k

T ππππ （6）

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫

--='-=---=

'-=-2

2242422422

2242123132132

2

123

)(4)

(4)(4)

(4T T m m k m m k

T T T T m m k m m k T T ππππ

（7）

故 )

(21

k k k ''+'= （8）

如果由（7）式得到k k '''和的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明（5）式中T 与m 的关系是成立的。将平均值k 代入（6）式，得

i

i oi m T k m -=22

4π （i=1, (4)

（9）

∑==4

1041i oi

m m

（10）

平均值0m 就是弹簧的有效质量。 2．用作图法处理数据

以2i T 为纵坐标，m i 为横坐标，作i i m T -2

图，得直线。其斜率为k 2

4π，截距为02

4m k π，

由此可求出k 和m 0。 [思考题] 仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？

二、选做部分：阻尼振动 [实验目的]

1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩

Λ、驰豫时间τ、品质因数Q 的方法；

2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b 。 [实验仪器]

气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。 [实验原理]

一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC 振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。

本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力F 阻和滑块的速度成正比，即

dt dx

b

bv F ==阻 （11）

图13-2阻尼振动原理图

式中b 为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx 和阻尼力F 阻作用下，滑块的运动方程为

dt dx b kx dt x d m --=22 （12）