气垫导轨上弹簧振子振动的研究

气垫导轨上弹簧振子振动的研究力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。

气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。

利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。

一、必做部分：简谐振动 [实验目的]1．测量弹簧振子的振动周期T 。

2．求弹簧的倔强系数k 和有效质量0m 。

[仪器仪器]气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。

[实验原理]在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。

如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。

设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受弹性力)(01x x k +-与)(01x x k --的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。

根据牛顿第二定律，其运动方程为 xm x x k x x k =--+-)()(0101（1） 令 12k k =方程（1）的解为 )sin(00ϕω+=t A x （2）说明滑块是做简谐振动。

式中：A —振幅；0ϕ—初相位。

m k=0ω （3）0ω叫做振动系统的固有频率。

而01m m m += （4）式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。

0ω由振动系统本身的性质所决定。

振动周期T 与0ω有下列关系：k m m k mT 010222+===ππωπ（5）在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。

图13-1简谐运动原理图[实验内容]1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。

2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是01m m m +=，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质量。

3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T ，这时系统的有效质量02m m m +=，其中 m 2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。

4．再用03m m m +=和04m m m +=测量相应的周期T 。

式中：+=13m m “4块砝码的质量”；+=14m m “6块砝码的质量”。

（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自的质量。

）5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。

6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。

7．求出弹簧的倔强系数k 和有效质量0m ，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。

[数据处理]1．用逐差法处理数据。

由下列公式：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+=+=)(4)(4)(4)(404224032230222201221m m k T m m k T m m kT m m kT ππππ （6）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--='-=---='-=-2224242242222421231321322123)(4)(4)(4)(4T T m m k m m kT T T T m m k m m k T T ππππ（7）故 )(21k k k ''+'= （8）如果由（7）式得到k k '''和的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明（5）式中T 与m 的关系是成立的。

将平均值k 代入（6）式，得ii oi m T k m -=224π （i=1, (4)（9）∑==41041i oim m（10）平均值0m 就是弹簧的有效质量。

2．用作图法处理数据以2i T 为纵坐标，m i 为横坐标，作i i m T -2图，得直线。

其斜率为k 24π，截距为024m k π，由此可求出k 和m 0。

[思考题] 仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？二、选做部分：阻尼振动 [实验目的]1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩Λ、驰豫时间τ、品质因数Q 的方法；2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b 。

[实验仪器]气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。

[实验原理]一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。

在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC 振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。

本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。

此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。

在滑块速度较小时，粘性阻力F 阻和滑块的速度成正比，即dt dxbbv F ==阻 （11）图13-2阻尼振动原理图式中b 为粘性阻尼常量。

气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx 和阻尼力F 阻作用下，滑块的运动方程为dt dx b kx dt x d m --=22 （12）式中m 为滑块质量。

令m k m b ==20,2ωδ，其中常数δ称为阻尼因数，0ω为振动系统的固有频率，则式（12）可改写为022022=++x dt dx dt x d ωδ （13）当阻力较小时，此方程的解为)cos(0ϕωδ+=-t e A x f t （14）其中220δωω-=f ，而阻尼振动周期T 为22022δωπωπ-==fT （15）由以上可知，阻尼振动的主要特点是：1．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即te A A δ-=0。

显然，振幅衰减的快慢和阻尼因数δ的大小有关，而m b2=δ，因而和粘性阻尼常量b 及振子质量m 有关。

2．阻尼振动周期T 要比无阻尼振动周期)2(0ωπ=T 略长，阻尼越大，周期越长。

为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩Λ、弛豫时间τ及品质因数Q 来表示。

在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量b 的动态测量方法。

（1）对数减缩Λ是指任一时刻 t 的振幅A （t ）和过一个周期后的振幅A （t+T ）之比的对数，即T e A e A T t tδΛδδ==+--)(00ln （16）将m b2=δ代入上式，得T m b Λ2=（17）即测出Λ，就能求得δ或b 。

（2）弛豫时间τ它是振幅A 0衰减至初值 e -1(=0.368) 倍所经历的时间，即图13-3100--=e A e A r δ所以ΛδτT==1（18）（3）品质因数Q一个振动系统的品质因素又称Q 值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。

品质因数是指振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗的能量∆E 之比的2π 倍，用Q 表示，则E E Q ∆π2=（2-19）阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv 乘以运动速率v ，即等于bv 2。

在振动时，bv 2是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。

这样，一个周期中的能量损耗∆E 等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以T bv E 平均)(2=∆而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即E kx mv 21)21()21(22==平均平均m Ev =平均)(2因而Tm E b E =∆（20）综合式（20）、（17）、（19），得出Λπ=Q （21）从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如、Q b 、τ。

[实验内容]1．利用半衰期法求Λ。

测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩Λ，弛豫时间τ及品质因数Q 。

半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A 0减到A 0/2时所经历的时间，记为T h ，则hT e A A δ-=002由此可得δ2ln =h T参照式（16）可得，h T T 2ln =Λ （22）用停表测出阻尼谐振子的振幅从A 0减小到A 0/2的时间T h 及周期T ，计算对数减缩Λ，进而求出τ和Q 值以及阻尼常量b 值。

2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k 对阻尼振动各常数的影响。

在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测Q b 、及τ值，从对比中分析其影响。

[思考题]1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？2．讨论在振动系统的m 和k 相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩Λ及品质因数Q 的影响。

3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。

研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b 将如何变化？b 值和圆板面积大小有何关系？。