27.1.2垂径定理练习课
华师大版九下数学27.第2课时垂径定理教学课件
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D． C E
O
D
B
例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为 AC与BD的大小有什么 关系？为什么？
O
A C G DB
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面 圆心O到水面的距离OC ．
思路：由垂径定理可得M、N分别 是AB、AC的中点，所以MN= BC=2．
A
M ．N
O
B
C
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
B
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重
合．
⌒⌒ ⌒⌒
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
义务教育教科书（华师）九年级数学
下第册 27章 圆
27.1 圆的认识
——垂径定理
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会产生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
1．结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是对称轴．
垂径定理练习
求证：EC=DF
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE ⊥ CD,DF ⊥ CD 求证：AE=BF
变式提高
A B D O C
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接ΔABC 中，AB=AC,AD⊥BC于D,AD+AB=10,求AD 的长。
（2）若D是BC的中点，AD ⊥BC,BC=24,
AD=9,求⊙O的半径。
. O
C
.
.O
D B N
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
5、（2007，定西）如图，⊙O的直径为 20，弦AB=16,P为AB上的一个动点， 那么OP长的取值范围是 6≤OP ≤ 10 。
10 8 c
O
6
A
P
B
6、（2007，江西）如图，点A、B是⊙O上 两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、 B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作 OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
O
A
E
F
B
P
学生练习
B
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF A E C D F O
.
做一做
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
O A
┌
E D
B
600
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和 2 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则 弦MN和EF之间的距离为 14cm或2cm ——. 3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的 5cm 半径为——
圆的垂径定理练习题
圆的垂径定理练习题圆的垂径定理是几何学中的重要定理之一，它给出了圆上的垂径之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对这个定理的理解和应用。
练习题一：给定一个半径为5的圆，其中一条垂径的长度为12。
求另一条垂径的长度。
解析：根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为x，则有12 * x = 5 * 5。
解这个方程可以得到x的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题二：在一个半径为8的圆中，一条垂径的长度为15。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为y，则有15 * y = 8 * 8。
解这个方程可以得到y的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题三：在一个半径为10的圆中，一条垂径的长度为24。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为z，则有24 * z = 10 * 10。
解这个方程可以得到z的值，进而求出另一条垂径的长度。
通过以上三个练习题，我们可以看到圆的垂径定理的应用。
它告诉我们，对于一个圆来说，任意两条垂径的乘积都等于半径的平方。
这个定理在解决一些几何问题中非常有用。
除了上述练习题，我们还可以通过一些实际问题来应用圆的垂径定理。
例如，假设有一个圆形花坛，我们想在花坛中心种一棵树。
为了确保树能够均匀地分布在花坛中，我们可以利用垂径定理来确定每棵树之间的最佳位置。
另一个实际应用的例子是在建筑设计中。
如果我们想在一个圆形庭院中建造一个喷泉，我们可以利用垂径定理来确定喷泉的位置，以确保水能够均匀地喷射到庭院的各个角落。
综上所述，圆的垂径定理是一个重要的几何定理，它给出了圆上的垂径之间的关系。
通过练习题和实际应用，我们可以更好地理解和应用这个定理。
无论是解决几何问题还是在实际生活中应用，垂径定理都发挥着重要的作用。
最新垂径定理及其推论练习题教学讲义ppt课件
脊柱推拿可能的作用机制
❖ 由于研究条件等因素所限，对脊柱推拿治疗 机理研究的相对较少，对其治疗机理大多仅 为推测。
解除滑膜嵌顿
❖ 最早是由欧洲脊柱推拿治疗者提出，认为脊柱小关 节间的滑膜嵌入是造成脊柱活动受限和疼痛的主要 原因。
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么 C到AB的距离等于 1㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
M
A
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 , AC= 4 ,OA= 13
❖ 快速的推拿手法可使神经根和关节周围的粘 连得到一定程度的松解。
纠正关节错位
❖ 脊椎关节位置异常致椎间孔变小和横突孔狭 窄扭转位移，使神经根受压以及椎动脉管腔 狭窄和扭曲，出现神经根和椎动脉受损的症 状。
❖ 推拿可调整椎间盘与神经根的位置，恢复正 常的颈腰椎关节解剖序列，有利于椎间盘、 韧带和关节囊等处组织水肿的消退，静脉回 流的改善，促使神经根周围炎症减退，从而 达到治疗目的。
❖ 脊柱椎间小关节各有自己独立的关节囊，当颈随头 作各个方向的运动，椎间关节间隙增大时，关节囊 内层的滑膜或滑膜皱襞就有可能嵌入，成为疼痛源。
❖ 脊柱推扳或旋转推拿手法可使嵌入的滑膜或滑膜皱 襞得到解除，从而达到治疗目的。
解除肌肉痉挛
❖ 骨骼肌张力的异常升高以及肌肉痉挛时，肌肉的形 态、组织性质、解剖位置和生化等方面并无病理改 变，只是功能上出现非协调性的异常收缩。
九年级数学下册圆27.1.3垂径定理同步练习含答案解析华师版课时作业
垂径定理27.1.3一．选择题（共5小题）1．如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．8D．52．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（）A．CE＝DE B．＝C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 3．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB的弦心距OC为6cm，则AB的长是（）A．16cm B．10cm C．8cm D．6cm 4．在⊙O中，弦AB垂直且平分一条半径，则劣弧的度数等于（）A．30°B．120°C．150°D．60°5．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共10小题）6．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是．7．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6cm，则OD＝cm．8．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，BC＝8，则⊙O的半径为．10．如图，⊙O的直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件：，使得＝．11．AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，则△AOB的面积是cm2．12．如图，∠P AC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是cm．13．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝．14．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10，AB＝16，则CD的长是．15．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．三．解答题（共6小题）16．在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，＝，求DE的长．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB 于D，求AD的长．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm，求DC的长．19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，CD⊥AB于D，AB＝12，DB＝4，求CD的长．20．如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC （1）求∠A的度数．（2）求AB的长．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．垂径定理27.1.3参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．8D．5解：连接OA，如图所示：∵OC⊥AB，OC＝3，OA＝5，∴AB＝2AC，∵AC＝＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故选：C．2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（）A．CE＝DE B．＝C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误．故选：2．D．3．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB的弦心距OC为6cm，则AB的长是（）A．16cm B．10cm C．8cm D．6cm 解：连接OA，∵弦AB垂直OC，⊙O的半径为10cm，∴OA＝10cm，OC＝6cm，由勾股定理得：AC＝＝8cm，∴AB＝2AC＝16cm，故选：A．4．在⊙O中，弦AB垂直且平分一条半径，则劣弧的度数等于（）A．30°B．120°C．150°D．60°解：如图所示：连接OA，OB，∵AB垂直且平分OD，∴AB＝2AE，OA＝2EO，∴∠OAE＝30°，∴∠AOE＝60°，同理，∠BOE＝60°，∴∠AOB＝∠AOE+∠BOE＝120°．故选：4．B．5．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：C．二．填空题（共10小题）6．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是3≤OP≤5．解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM＝BM，∵AB＝8，∴AM＝4，在Rt△AOM中，OM＝，OM的长即为OP的最小值，∴6．3≤OP≤5．7．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6cm，则OD＝3cm．解：∵OD⊥AC于点D，∴AD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD＝BC，∵BC＝6cm，∴OD＝3cm．故答案为3．8．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是．解：∵OC⊥弦AB于点C，∴BC＝AC＝AB＝×4＝2，在Rt△OBC中，OC＝1，BC＝2，∴OB＝＝．故答案为9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，BC＝8，则⊙O的半径为．解：过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3∴AD＝3设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB＝x，OD＝x﹣3根据勾股定理，得：OB2＝OD2+BD2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝．故答案是：．10．如图，⊙O的直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件：AB⊥CD，使得＝．解：∵CD为⊙O的直径，AB为弦（非直径），∴可添加AB⊥CD，或AB平分CD即可，故答案为AB⊥CD，或AB平分CD（答案不唯一）．11．AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，则△AOB的面积是100cm2．解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，如图所示，则C为AB的中点，即AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，在Rt△AOC中，OA＝20cm，∠A＝30°，∴OC＝OA＝10cm，根据勾股定理得：AC＝＝10cm，∴AB＝2AC＝20cm，则S△AOB＝AB•OC＝×20×10＝100cm2．故答案为：10012．如图，∠P AC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是6cm．解：过O点作OH⊥EF于H，连OF，如图则EH＝FH，在Rt△AOH中，AO＝AD+OD＝3+5＝8，∠A＝30°，则OH＝OA＝4，在Rt△OHF中，OH＝4，OF＝5，则HF＝＝3，则EF＝2HF＝6cm．故答案为6．13．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝30°．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；∵CD＝4，∴DH＝2；又∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，∴OA＝OD＝3（⊙O的半径）；∴OE＝2；∴在Rt△ODH中，OH＝＝1（勾股定理）；在Rt△OEH中，OH＝OE，∴∠OEH＝30°，即∠AED＝30°．故答案为：30°．14．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10，AB＝16，则CD的长是4．解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，在Rt△OAD中，OD＝＝6，∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4．故答案为4．15．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为16．解：如图，OA＝16，则OC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝8，∴弦AB＝16．故答案为：16．三．解答题（共6小题）16．在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，＝，求DE的长．16．解：∵＝，∴CE＝3DE，∴CD＝CE+DE＝4DE，∴OD＝CD＝2DE，∴OE＝OD﹣DE＝DE，∴OA＝OD＝2DE，∴OA＝2OE．∵CD垂直平分AB，∴AE＝AB＝×6＝3，∠AEO＝90°，∴∠OAE＝30°，∴OA＝＝＝2，∴DE＝OA＝×2＝．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB 于D，求AD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝＝25．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CM＝＝12，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即225＝AM2+144，解得：AM＝9，∴AD＝2AM＝18．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm，求DC的长．18．解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝4，由勾股定理得，OD＝＝3，∴DC＝OC﹣OD＝2cm．19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，CD⊥AB于D，AB＝12，DB＝4，求CD的长．19．解：连接OC．∵AB是半圆O的直径，∴OC＝OB＝AB＝×12＝6．∴OD＝OB﹣DB＝6﹣4＝2，∴在直角△OCD中，CD＝＝＝4．20．如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC （1）求∠A的度数．（2）求AB的长．解：（1）连接OB，∵AO＝OB，OC＝BC，∴∠A＝∠B＝∠BOC．∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°．∵∠A+∠B+∠BOC+∠AOC＝180°，∴3∠A+90°＝180°，∴∠A＝30°；（2）∵∠A＝30°，OA＝5cm，∴AC＝＝＝cm，BC＝OC＝AC＝cm，∴AB＝AC+BC＝+＝5（cm）．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．。
27.1.2 第2课时 垂径定理(课件)九年级数学下册(华东师大版)
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
垂径定理练习题
垂径定理练习题垂径定理练习题垂径定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在解决平面几何问题中起到了重要的作用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用垂径定理。
练习题一：在平面直角坐标系中，给定三个点A(2, 3)，B(-1, 4)，C(5, -2)。
求证：三角形ABC是直角三角形。
解析：为了证明三角形ABC是直角三角形，我们可以利用垂径定理来证明其中一个角是直角。
根据垂径定理，如果一个角的两条边与另一个角的两条边垂直，则这两个角是互为对顶角的。
我们可以计算出AB和BC的斜率，然后判断这两个斜率是否互为负倒数。
如果是，则可以证明角ABC是直角。
首先，计算AB的斜率。
根据两点间的斜率公式，斜率m_AB = (y_B - y_A) /(x_B - x_A) = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。
接下来，计算BC的斜率。
斜率m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (-2 - 4) / (5 - (-1)) = -6/6 = -1。
由于斜率m_AB和m_BC互为负倒数，所以角ABC是直角。
因此，三角形ABC是直角三角形。
练习题二：在平面直角坐标系中，给定一个直线L: 2x - 3y + 6 = 0，以及一个点P(4, 1)。
求证：点P到直线L的距离为5。
解析：要求点P到直线L的距离，我们可以利用垂径定理来解决。
根据垂径定理，点到直线的距离等于点到直线上的垂线的长度。
因此，我们需要找到直线L上与点P垂直的垂线，并计算这条垂线的长度。
首先，我们可以求出直线L的斜率。
直线L的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别为方程的系数。
将直线L的方程转化为斜截式方程，得到y= (2/3)x + 2。
由此可知，直线L的斜率为2/3。
由于点P到直线L的垂线与直线L垂直，所以这条垂线的斜率为直线L斜率的负倒数，即-3/2。
我们可以通过点斜式方程y - y_1 = k(x - x_1)来表示这条垂线，其中k为斜率，(x_1, y_1)为直线上的一点。
浙教版数学九年级上册_《垂径定理(2)》一课一练
3.3垂径定理第2课时垂径定理逆定理基础知识训练知识点垂径定理逆定理1. 下列命题错误的是（ B ）A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B．平分弦的弦垂直于这条弦C．垂直于弦的直径平分这条弦D．弦的中垂线经过圆心2.如图，CD为弦，AB⊥CD于点A，点B为CD的中点，则下列说法不正确的是（ D ）A.线段AB所在的直线经过圆心B.线段AB所在的直线平分优弧CDC.点A为弦CD的中点D.以上都不正确3. 如图，在⊙O中，半径OC与弦AB相交于点D，点C是AB的中点，且AB=8，OC=5，则OD 的长是（ A ）A．3 B．2.5 C．2 D．14.如图所示，O的半径为2，∠AOB=60°，则三角形AOB的面积为.BB OA5. 如图，是一个隧道的横断面的示意图，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，如果M 是⊙O 弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交圆O 于点E ，并且CD=4，EM=6，则⊙O 的半径为________．103综合技能训练7. （2017•青海中考）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ D ）A．1 B．7 C．4或3 D．7或18. 如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ C ）A.9. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是．（1，1）10. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．解：（1）如图1所示；（2）连接OA．如图2．由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，∴AD=12AB=20．∵CD=10，∴OD=R-10．在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=202+（R-10）2．解得：R=25．即桥弧AB所在圆的半径R为25米．拓展提高训练11. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？解：（1）连结OA，由题意得：AD=12AB=30，OD=（r-18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r-18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP-PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．链接中考训练12. （2017·舟山中考）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，AB m＝ 90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．答案：32（cm）2解析：连接AO，OB，作OD⊥AB于D．因为90ABm=︒，所以∠AOB＝90°，所以S扇形ACB＝S⊙O－S△OAB＝34×π×82+12×8×8＝48π+32（cm）2.。
(完整版)垂径定理典型例题及练习(学生版)
垂径定理典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4.已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5.如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.A E F例题3、度数问题1.已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2.已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.A B D CE O。
第02讲 圆-垂径定理(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版)
第02讲圆-垂径定理1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.知识点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）A．5B．6C．8D．10【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．4B．5C．6D．7【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（）A．B．C．1D．2【题型2 垂径定理在格点中的运用】【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（）A．点D B．点E C．点F D．点G【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B 点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．【题型3 垂径定理与方程的综合应用】【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．2B．3C．4D．5【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO 的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5B．6C．4D．2【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【题型4 同心圆与垂井定理综合】【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的长；（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．【题型5 垂径定理的实际应用】【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．米C．3米D．米【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB ＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB ＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D 为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．1．（2023秋•洞头区期中）如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC 的长为（）A．5B．6C．7D．8 2．（2023秋•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，直径AB⊥CD垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段AE的长为（）A．5B．4C．3D．2 3．（2022秋•中山市期末）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则OP的长为（）A．8B．2C．5D．4 4．（2023秋•绥阳县期中）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB 上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）A．4B．5C．7D．9 5．（2023秋•硚口区期中）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径是（）A．24厘米B．26厘米C．28厘米D．30厘米6．（2023秋•鼓楼区校级月考）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米7．（2022秋•曲靖期末）下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．平分弦的直径垂直于弦8．（2023秋•滨江区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．9．（2023秋•无锡月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2，CD＝8，则⊙O半径为（）A．2B．3C．5D．8 10．（2023•衢州二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 11．（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16 12．（2023秋•思明区校级期中）如图，当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为（）A．B．C．5cm D．4cm 13．（2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A．B．πC．2πD．4 π14．（2023秋•南京期中）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．15．（2023秋•福州期中）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P 是弦CD的中点．（1）依题意作弦CD；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）（2）若AP＝8，CD＝32，求⊙O的半径．16．（2023秋•萧山区期中）已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度AB为18m，过O作OC⊥AB于点D，CD＝3m．（1）求该圆弧形拱桥的半径；（2）现有一艘宽6m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？17．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N 离地面的高度相等，都为17m．（1）求圆弧形拱顶的半径的长度；（2）求MN的长度．。
第3课时垂径定理练习.doc
（九年级数学）第24章圆（第3课时）垂径定理练习第—周星期班别姓名学号一、定理回顾：垂径定理：垂直于弦的直径平分，平分这条弦所对的几何语言：・.・AB为。
0的直径，AB±CD,・・. DP=, AC=, BC =二、基础练习题组一:1.如图1, OO中, 0C1AB,0A=5, AB=8,贝ij AC= ；oc= OO也2.如图2, OC=5, AB=24,贝lj OA=OC±AB,题组二:4.如图4, (DO 中,O DJLAB 于C,半径是5, AB=8,求CD图4 5.如图5, (DO 中,O DJLAB 于C, CD=4, AB=16,求半径.三、垂径定理的实际应用 例：（课本P82例2）右图是我国隋代建造的赵州桥，它的主拱桥是圆弧形，它的跨度为37米，拱高 为7. 23米，求赵州桥主桥的半径。
（结果保留一位小数）四、巩固练习 1. （2013 -佛山）如图1,半径OB 为3的圆中，一条弦AB 长为4,则圆心O 到这条弦AB 的距离是（ ）A.3B.4C.V5D.V72. 如图2,已知。
O 的直径为10, AB 为弦，ZA0B=120° ,则圆心0到AB 的 距离为 ________3. （2010 •北京）如图3, AB 为。
O 的直径，弦CDLAB,垂足为点E,连接 OC,若 OC=5, CD=8,贝|J AE=4. 如图 4, OO 中，0A=2, AB =2^3 ,则ZA0B=* 05.（2011 •佛山）如图5,已知AB 是G）O 的弦,半径OA = 20cm , ZAOB=120°,求\AOB的面积。
6.（课本P83：练习第2题）如图6,在。
中，AB. AC为互相垂直且相等的两条弦，。
【人8于OE_L AC于E.求证：四边形ADOE为正方形。
7.（课本P90：复习巩固第9题）如图7,两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
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来解决问题.
E A D O B
A
C
C F O E
B D
应用知识:
例3. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
O
A
C
E
D
B
变式. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
O
A
C
M
D
B
证明圆中与弦有关 的线段相等时, 常借 ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解 决问题.
E A C F O D
7、如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP： PB=1；5，求⊙O的半径．
C
A D
P
· O
B
8、如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦， C、D是直线AB上的两点，且 AC=BD，试说明△OCD是等腰三角 形．
·
O B D
C
A
9、如图，⊙O的直径为10，弦 AB=8，P是AB上的一个动点，求 OP长的取值范围．
E
E
O
O
A
A
D
D
B
B
C
C
4．如图，AB为⊙O直径，E是中点， OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则 AC=_____． 5．P为⊙O内一点， O OP=3cm，⊙O半径 A B 为5cm，则经过P点 D 的最短弦长为 E ________；最长弦长 C 第4题图 为_______．
6．如图5，OE、OF分别为⊙O 的弦AB、CD的弦心距，如果 OE=OF，那么_______（只需写 一个正确的结论） B
P A M B D C O N
13、
A E O
F
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
C
例4：如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，
PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长的一半构成直角三角 形，便将问题转化为直角 三角形的问题。
B
M O
A P
例5：已知： ⊙O的半径OA=1,弦AB、AC 的长分别是 ， 3 。求∠BAC的度 数。
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧 所对的弦。 垂径定理可以概括为：若一条直线满足① 过圆心，②垂直弦，③平分弦，④平分弦 所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧5条中 的任意两条，即可得出其他3条。简记为： 知二推三。
推论3：圆中两条平行弦所加的弧相等。
例1、如图所示，在圆O中，AB、AC为互相 垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC， 垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半 径为____________cm。 例2、如图所示，圆O的直径AB 和弦CD交于E， 求圆中有关线段的长度时 ,常借助垂径定 已知 AE=6cm，EB=2cm，∠ CEA=30°，求CD。 理转化为直角三角形 ,从而利用勾股定理
O · A P B
10、如图，⊙O直径AB和弦CD 相交于点E，AE=2，EB=6， ∠DEB=30°，求弦CD长．
D B E A C O
11、已知：⊙O的半径为5 ，弦 AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求： AB与CD间的距离.
A E O C A B
C
E F O
B D
F
D
12、如图， ⊙O中，直径为MN，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并 且∠POM=45° ，若AB=1，求该圆的半径。
赵集一初中 九四班
复习回顾: 垂径定理：垂直于弦的直径平分
C O A
弦，并且平分弦所对的两条弧。
AE BE CD 过圆心 CD 是直径 CD AB
E D
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
B
CD是直径
CD AB AE BE ( AB不是直径)
提高练习: 1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD， AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ． 2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于 点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的 A 长．
M
．
O
N C
B
3.在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。