高中数学2-3-4圆与圆的位置关系同步检测新人教B版必修2
数学新同步课堂人教B必修二学案：第2章 2.3 2.3.4 圆与圆的位置关系 Word版含答案
2.3.4 圆与圆的位置关系学习目标：1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点) 2.了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用．(重点) 3.掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎬⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元 一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或 外切Δ<0⇒外离或 内含[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )[解析] (1)错误，还可能是内切．(2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值． (3)错误，在相交的情况才是．[答案](1)×(2)×(3)×2．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是() A.5B．5C.52D．2 5C[∵两圆外切，∴圆心距d＝(0－2)2＋(0＋1)2＝2r，解得r＝5 2.]3．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切B[两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．][合作探究·攻重难]圆与圆位置关系的判定当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x －14y＋k＝0相交、相切、相离？[思路探究]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a ＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(4)当|C 1C 2|＜3，即0<a ＜3时，两圆内含． 两圆相交有关问题求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长．[思路探究] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r―→弦长＝2r 2－d2[解] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0， 所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0， 圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234， 所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0相交于A ，B 两点，求AB 所在的直线方程和公共弦AB 的长.[解] 由圆C 1的方程减去圆C 2的方程，整理得方程3x －4y ＋6＝0，又由于方程3x －4y ＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x －4y ＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x －4y ＋6＝0是两圆公共弦AB 所在的直线方程．∵圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ∴圆心为C 1(－1,3)，半径r ＝3， ∴圆心C 1到直线AB 的距离d ＝|－3－12＋6|25＝95，∴|AB |＝2r 2－d 2＝29－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245. ∴AB 所在的直线方程为3x －4y ＋6＝0，公共弦AB 的长为245. 圆与圆的相切问题[探究问题]1．圆与圆相切是什么意思？[提示] 两圆相切指得是内切和外切两种情况． 2．两圆相切可用什么方法求解？[提示] (1)几何法，利用圆心距d 与两半径R ，r 之间的关系求得 d ＝R ＋r 为外切，d ＝|R －r |为内切．(2)代数法，将两圆联立消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程，利用Δ＝0求解．求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．[思路探究] 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得． [解] 设所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题知所求圆与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1.①又所求圆过点M 的切线为直线x ＋3y ＝0， 故b ＋3a －3＝ 3.② |a ＋3b |2＝r .③ 解由①②③组成的方程组得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6.故所求圆的方程为 (x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为()A．外离B．相交C．外切D．内切B[圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝5＜r1＋r2＝3，即两圆相交．]2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0A[所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.]3．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________．[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－54．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是________.[解析]圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2，即|4k－2|1＋k2≤2，解得0≤k≤43.∴k max＝43.[答案]435．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？[解]以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y≥0)得：y＝16－2.72＝8.71＞2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2，所以货车要正常驶入该隧道，最大高度为16－a2m．。
2022高中数学2.3.4圆与圆的位置关系优化训练新人教B版必修2
圆与圆的地点关系优化训练1．两圆A．相离2＋2＝9和2＋ 2－8＋6＋9＝0的地点关系是B．订交C．内切D．外切分析： 2＋ 2－8＋6＋9＝0的圆心为外切，则 r 的值是4，－ 3，半径为 4 两圆心之间的距离为5，∵ |3 － 4|0B． 5D． 2错误 !答案： C222224．若圆＋＝4与圆＋－2a＋a－1＝0相内切，则a＝________分析：两圆的圆心和半径分别为O0,0，r ＝2，Oa, 0， r ＝1，由两圆内切可得 dO，O＝112212r 1－ r 2，即| a|＝1，因此 a＝±1答案：±15．点＝ 0 订交，则的取值范围是mA．－ 2,39B． 0,81C．0,79D．－ 1,79分析：选 D 两圆的方程分别可化为－12＋＋ 52＝ 25，－ 12＋＋ 12＝＋2两圆订交，得 |5 －m错误 ! |2 a2a2a3a2a0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是________．分析：∵ ∩中有且仅有一个元素，A B∴圆2＋2＝ 4 与圆－ 32＋－ 42＝r 2 相切．当内切时，错误 ! ＝ |2 －r | ，解得r＝ 7当外切时，错误 ! ＝ 2＋r，解得r＝ 3答案：3或78．若圆2＋2－ 2＋a2＝2 和圆2＋2－2＋b2＝ 1 外离，则、知足的条件是 ____________．a b a b答案： a2＋ b2＞3＋2错误!：－ 32＋2＝ 99．已知动圆M与轴相切且与定圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程是A____________ ．分析：设点 M，，动圆的半径为r ，由题意，得 | MA| ＝r＋3 且r＝ || ，∴错误 ! ＝||＋ 3当>0 时，两边平方化简得2＝ 12>0；当0或＝0<010．求与已知圆2＋ 2－7＋10＝0－ 2,3 ，1,4 的圆的方程．订交，所得公共弦平行于已知直线2－ 3－ 1＝ 0，且过点解：公共弦所在直线斜率为错误 ! ，已知圆的圆心坐标为0，错误 ! ，因此两圆连心线所在直线方程为－错误!＝－错误!，即3＋2－7＝2＋2＋D＋E＋F＝0，则错误!2211．已知两圆2＋ 2－2－6－1＝0和2＋ 2－10－12＋m＝0求：1m取何值时两圆外切；2m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么解：两圆的标准方程分别为2222－1 ＋－ 3 ＝ 11，－ 5 ＋－ 6 ＝61－m半径分别为错误 ! 和错误 !1当两圆外切时，错误 ! 小于两圆圆心间距离 5，故－ 10错误 ! 由于 C 1C 2＝错误 ! ＝错误 ! ，因此两圆公切线的斜率是－ 错误 ! 设切线方程为＝－ 错误 ! ＋ b ，则有错误!＝错误!解得 b ＝错误 ! ± 错误 ! 错误 !简单考证，当 b ＝错误 ! ＋错误 ! 错误 ! ，直线与后一圆订交，故所求公切线方程为＝－ 错误 ! ＋错误 ! － 错误 ! 错误 ! 即 4＋3＋5错误 ! － 13＝012．已知圆 ： 2＋ 2＋2＋ 2－ 2＝ 0，若圆 B 均分圆 A 的周长，且圆 B 的圆心在直线：＝ 2A上，求知足上述条件的半径最小的圆 B 的方程．解：法一：设圆 B 的半径为 r ，由于圆 B 的圆心在直线：＝ 2 上，因此圆 B 的圆心可设为t, 2t ，则圆 B 的方程是－ t 2＋－ 2t 2＝ r 2，即 2＋ 2－ 2t －4t ＋ 5t 2－ r 2 ＝0①由于圆 A 的方程为 2＋ 2＋ 2＋ 2－ 2＝ 0，② 2＋ r 2－2＝ 0③因此②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为2＋ 2t ＋ 2＋ 4t － 5t 由于圆 B 均分圆 A 的周长，因此圆 A 的圆心－ 1，－ 1 一定在公共弦上，于是将＝－ 1，＝－ 1 代入方程③并整理得 r 2＝ 5t 2＋6t ＋ 6＝5错误 !2＋错误 ! ≥ 错误 ! ，因此当 t ＝－错误 ! 时， r min ＝错误 ! 此时，圆 B 的方程是 错误 ! 2＋错误 ! 2＝错误 !法二：如下图，由已知得 －1，－ 1，B 在直线：＝ 2 上，连结 ，过 A 作 ⊥ ，且 A ABMN ABMN 交圆 A 于 M ， N 两点，因此 MN 为圆 A 的直径．由于圆 B 均分圆 A 的周长，因此只要圆B 经 过 M ，N 两点．由于圆 A 的半径是 2，设圆 B 的半径为 r ，连结 MB ，因此 r ＝ | MB |＝错误 ! ＝错误 ! 欲求 r 的最小值，只要求 | AB | 的最小值．由于 A 是定点， B 是上的动点，因此当 AB ⊥，即 MN2∥时，| AB | 最小．于是，可求得 B 的坐标为 错误 ! ，r min ＝错误 ! ，因此圆 B 的方程是 错误 ! ＋错误 !错误!＝错误!＋错误!解得 m ＝ 25＋10错误 !2 当两圆内切时，因定圆的半径。
高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系教案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2
圆与圆的位置关系示X教案整体设计教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否那么本节课的教学目标完不成．三维目标1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系．教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系．设计 2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法.讨论结果：应用示例思路1例1判断以下两个圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)两圆的方程可分别变形为(x－1)2＋y2＝22，(x－2)2＋(y＋1)2＝(2)2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2，－1)，半径r2＝ 2.设两圆的圆心距为d，那么：d＝|C1C2|＝2－12＋－12＝ 2.r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－ 2.所以r1－r2<d<r2＋r2.因此这两个圆相交．(2)两圆的方程分别变形为：x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.由此可知圆心C1的坐标为(0,1)，半径r1＝1；圆心C2的坐标为(3，0)，半径r2＝3，那么两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．点评：判断两个圆的位置关系．几何法：即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，那么判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当d>R＋r时，圆C1与圆C2外离；②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切；③当|R－r|<d<R＋r时，圆C1与圆C2相交；④当d＝|R－r|时，圆C1与圆C2内切；⑤当d<|R－r|时，圆C1与圆C2内含．变式训练1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系．解：作出两圆，如下图．两圆半径分别记作r1和r2，那么r1＝1，r2＝2，圆心距d＝|C1C2|＝0－12＋0－12＝2，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以两圆相交．2．判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系，并画出图形．解：由得圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，其圆心C1(－1,3)，半径r1＝6；圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1.于是|C1C2|＝2＋12＋－1－32＝5.又|r1－r2|＝5，即|C1C2|＝|r1－r2|，所以两圆内切．如下图．3．x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0(x －1)2＋y 2＝1， 故圆心为(1,0)，半径为1.圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0x 2＋(y －2)2＝4， 故圆心为(0,2)，半径为2.那么圆心距d ＝1－02＋0－22＝ 5. 而2－1<5<1＋2，即两圆相交． 答案：B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．(此题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O 1为坐标原点，使x 轴通过O 1，O 2，且O 2在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy.这样，可设⊙O 2的圆心的坐标为(d,0)．这时两圆的圆心距等于d ，两圆的方程分别为 x 2＋y 2＝r 21 ①(x －d)2＋y 2＝r 22. ②将①②两式联立，研究此方程组的解． ①－②，整理可得x ＝r 21－r 22＋d22d .将x 值代入①，得 y 2＝r 21－r 21－r 22＋d224d2＝2dr 1＋r 21－r 22＋d 22dr 1－r 21＋r 22－d 24d2＝[r 1＋d2－r 22][r 22－r 1－d2]4d2＝r 1＋r 2＋d r 1－r 2＋dr 1＋r 2－dr 2－r 1＋d4d2＝[r 1＋r 22－d 2][d 2－r 1－r 22]4d2.由此可见，如果 |r 1－r 2|<d<r 1＋r 2那么等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解．这时相应的两圆相交于两点(如下图)．如果：r 1＋r 2＝d 或|r 1－r 2|＝d ，那么等式右边分子的因式中至少有一个为0，那么方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切)(上图(2)(3))．如果：r 1＋r 2<d 或|r 1－r 2|>d ，那么方程组无解，这时两圆不相交(相离或内含)(上图(4)(5))．思路2例3圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．解：设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，那么A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，①②①－②，得3x －4y ＋6＝0. 因为A 、B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.又点C 1到直线的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95. 所以AB ＝2r 2－d 2＝232－952＝245，即两圆的公共弦长为245. 点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用．此题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住．变式训练判断以下两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1)(x ＋2)2＋(y －2)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝16，(2)x 2＋y 2＋6x －7＝0与x 2＋y 2＋6y －27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r 1＝1和r 2＝4，两圆的圆心距d ＝[2－－2]2＋5－22＝5. 因为d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x ＋3)2＋y 2＝16，x 2＋(y ＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r 1＝4和r 2＝6， 两圆的圆心距d ＝0－32＋－3－02＝3 2.因为|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，所以两圆相交． 两圆方程相减得公共弦的方程： 6x －6y ＋20＝0，即3x －3y ＋10＝0.例4求过点A(0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．分析：如下图．所求圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．解：将圆C 化为标准方程，得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，那么圆心为C(－5，－5)，半径为5 2.所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0.设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a ，b)在直线x －y ＝0上，那么有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋0－b 2＝r 2，0－a 2＋6－b 2＝r 2，a －b ＝0，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单．变式训练求经过点A(4，－1)，且与圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝5相外切于点B(1,2)的圆的方程．解：如下图，设所求的圆C′的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝R 2.因为C′既在弦AB 的垂直平分线上，又在直线BC 上，AB 中垂线方程为x －y －2＝0，BC 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，所以，圆心C′的坐标应满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，a ＋2b －5＝0.解得a ＝3，b ＝1.因为所求圆C′过点A(4，－1)，所以(4－3)2＋(－1－1)2＝R 2＝5.所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.知能训练1．在(x ＋k)2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2(k≠－1)所表示的一切圆中，任意两圆的位置关系是( )A ．相切或相交B ．相交C ．相切D ．内切或相交 答案：C2．圆x 2＋y 2＋m ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，那么实数m 的取值X 围为( ) A ．－10<m<0 B ．－100<m<－10 C ．m<－100 D ． 答案：C3．半径为5且与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0相切于原点的圆的方程是________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y ＝04．一圆过两圆x 2＋y 2＋6x －3＝0和x 2＋y 2－6y －3＝0的交点，圆心在直线x ＋y ＋6＝0上，求此圆的方程．答案：x 2＋y 2＋9x ＋3y －3＝05．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －3＝0和x 2＋y 2－4y －3＝0的交点的圆的方程．解：设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0(λ≠－1)，那么其圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．∵所求圆的圆心在直线x －y －4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，λ＝－13.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.拓展提升求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)或(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为(0,0)，(－2 3)，(－4,1)三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，E ＝－95，D ＝195.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.解法二：设过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＋λ(x－y ＋5)＝0(λ为参数)． 将原点(0,0)代入上述方程得λ＝－215.那么所求方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.课堂小结本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系，解决与两圆有关的问题．作业本节练习A 1,2题．设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的，所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系．作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，表达的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题．所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解．备课资料圆的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt.①并且对于t 的每一个允许值，由方程①所确定的点M(x ，y)都在一条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间的关系的变数叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．参数方程能把曲线上的点坐标通过参数直接地写出来，因此，能比较清楚地说明曲线上点的坐标的特点，尤其是借助于参数方程，可以使有的问题变得容易解决．这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解的原因．当然在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题．圆的参数方程参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rsinθ.其中，θ为参数，圆心为(a ，b)，r 为半径．需注意的两点：(1)标准方程含有a ，b ，r ，当a ，b ，r 确定下来时，圆的参数方程才唯一地确定下来，确定圆的参数方程同样需要三个独立条件．(2)要掌握圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rcosθ(θ为参数)之间的互化．。
人教B版数学必修2同步练习-2.3.4 圆与圆的位置关系 Word版含答案
．若两圆(＋)＋＝和(－)＋＝相交，则的取值范围是( )．．＜＜．－＜＜－或＜＜．－＜＜－．－＜＜或＜＜．若圆(－)＋(－)＝＋始终平分圆(＋)＋(＋)＝的周长，则、应满足的关系式是( )．．－－－＝．＋＋＋＝．＋＋＋＋＝．＋＋＋＋＝．以圆：＋＋＋＝及圆：＋＋＋＋＝的公共弦为直径的圆的方程为( )．．(－)＋(－)＝．(＋)＋(＋)＝．．．若圆与定圆：＋＋＝相切，且与直线：－＝相切，则动圆的圆心的轨迹方程为．．若圆＋＝与圆＋＋－＝(＞)的公共弦的长为，则＝．．如图，、是直线上的两点，且＝，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧、与线段所围成的图形面积的取值范围是．．已知圆与圆：＋－＝相外切，并且与直线：相切于点(，)，求圆的方程．．已知两定圆：(－)＋(－)＝，：(＋)＋(＋)＝，动圆恒将两定圆的周长平分，试求动圆圆心的轨迹方程．.自原点作圆(－)＋＝的不重合的两条弦、，如果·＝(定值)．试问不论、两点的位置怎样，直线能恒切于一个定圆吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，说明理由．参考答案.答案：.答案：解析：只要两圆的公共弦所在直线始终经过圆(＋)＋(＋)＝的圆心即可．.答案：.答案：＋－＝解析：设动圆圆心为(，)，则＝－，又与圆(＋)＋＝相切，则，化简得＋－＝．.答案：解析：两圆的公共弦所在的直线方程为，圆＋＝的圆心到距离为，又＝，弦长为，∴，解得＝(负值舍去)．.答案：(,］解析：为如图所示的阴影部分面积时，＝，.解：设所求圆的圆心为(，)，半径为．∵(，)在过点且与垂直的直线上，∴．①又∵圆与相切于点，∴．②∵圆与圆相外切，。
2017-2018学年高中数学人教B版必修2练习：2-3-4 圆与圆的位置关系 课堂强化 含解析 精品
1．如果两圆的外公切线有两条，则两圆的位置关系有() A．2种B．3种C．4种D．5种解析：如果两圆的外公切线有两条，则两圆的位置关系有外离、外切、相交三种．答案：B2．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系() A．相交B．外切C．内切D．相离解析：∵两圆的标准方程为：圆C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝10.又圆心距d＝|C1C2|＝(－1－2)2＋(－4＋2)2＝13，r1＝5，r2＝10，∴r1－r2<d<r1＋r2，∴两圆相交．答案：A3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是() A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13；(x－3)2＋y2＝9，∴两圆的圆心分别为O1(2，－3)，O2(3,0)，又∵AB的垂直平分线的方程即为直线O1O2的方程．∴由O1、O2两点式方程得AB的垂直平分线方程为3x－y－9＝0.答案：C4．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦所在的直线方程是________________．解析：由两圆的方程作差得x－y－3＝0.答案：x－y－3＝05．圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 26．求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，∴(a－4)2＋(b＋1)2＝1，①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3，②由①②解得a＝5，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝2－1＝1，③由①③解得a＝3，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上可知，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.。
2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评：第2
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )A．外离B．外切C．相交D．内切【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】 B2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )【导学号：45722115】A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.【答案】 B3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.【答案】 C4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( ) A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0.∴a ＋b ＝10，ab ＝17，∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.∴|C 1C 2|＝2 a －b 2＝32×2＝8.【答案】 C5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B. 【答案】 B二、填空题6．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条.【导学号：45722116】【解析】 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心C 1(－2,2)，圆心C 2(2,5)，r 1＝3，r 2＝4.则|C 1C 2|＝ －2－2 2＋ 2－5 2＝5<3＋4，故r 2－r 1<|C 1C 2|<r 2＋r 1，两圆相交，则有两条公切线．【答案】 两7．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 8．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c的值为________．【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，且k AB ＝41－m＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上， 所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3. 【答案】 3三、解答题9．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0， ②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．设P (x ，y )，由2|PA |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0， 所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．1．已知0＜r ＜2＋1，则两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的位置关系是( )A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含 【解析】 设圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心为O ′，则O ′(1，－1)．圆x 2＋y 2＝r 2的圆心O (0,0)，两圆的圆心距离d OO ′＝12＋ －1 2＝ 2.显然有|r －2|＜2＜2＋r .所以两圆相交．【答案】 B2．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.【答案】 B3．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．【解析】 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设圆心C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.【答案】 (x －2)2＋(y －2)2＝24．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程．(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程.【导学号：45722117】【解】 (1)由两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2 r 2＝|O 1O 2|－r 2＝2(2－1)故圆O 2的方程及(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程： 4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2， O 1H ＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得|r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
高中数学人教B版必修2学业测评2.3.4 圆与圆的位置关系 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知两圆的圆心距是，两圆的半径分别是方程－＋＝的两个根，则这两个圆的位置关系是( )．外切．外离．内切．相交【解析】由已知两圆半径的和为，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】．半径为且与圆＋－＋＝相切于原点的圆的方程为( )．＋－－＝．＋＋－＝．＋＋＋＝．＋－－＝或＋－＋＝【解析】已知圆的圆心为(，－)，半径为，所求圆的半径也为，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－)，可知选.【答案】．点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是( )．．．＋．－【解析】圆：＋－－＋＝，即(－)＋(－)＝，圆心为()；圆：＋＋＋＋＝，即(＋)＋(＋)＝，圆心为(－，－)，两圆相离，的最小值为－(＋)＝－.【答案】．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点()，则两圆心的距离＝( )．．．．【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点()，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(，)，(，)，则有(－)＋(－)＝，(－)＋(－)＝，即，为方程(－)＋(－)＝的两个根，整理得－＋＝.∴＋＝，＝，∴(－)＝(＋)－＝－×＝.∴＝＝＝.【答案】．过点()向圆：＋＝上作两条切线，，则弦所在的直线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝【解析】弦可以看作是以为直径的圆与圆＋＝的交线，而以为直径的圆的方程为(－)＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦所在的直线方程为：(－)＋－－(＋－)＝，整理可得＋－＝，故选.【答案】二、填空题．两圆：＋＋－－＝，：＋－－＋＝的公切线有条. 【导学号：】【解析】圆：(＋)＋(－)＝，圆：(－)＋(－)＝，圆心(－)，圆心()，＝，＝.则＝＝<＋，故－<<＋，两圆相交，则有两条公切线．【答案】两．过两圆＋－－－＝与＋＋－－＝的交点和点()的圆的方程是．【解析】设所求圆的方程为(＋－－－)＋λ(＋＋－－)＝(λ≠－)，将()代入得λ＝－，故所求圆的方程为＋－＋＋＝.【答案】＋－＋＋＝．两圆相交于两点()和(，－)，两圆圆心都在直线－＋＝上，则＋的值为．【解析】由题意知，线段的中点在直线－＋＝上，且＝＝－，即＝，又点在该直线上，。
2018版高中数学人教B版必修二学案第二单元 2.3.4 圆与圆的位置关系 Word版含答案
．圆与圆的位置关系
学习目标.理解圆与圆的位置关系的种类.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定
方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点两圆的位置关系
思考圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？
思考已知两圆：＋＋＋＋＝和：＋＋＋＋＝，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
梳理圆与圆位置关系的判定
()几何法：若两圆的半径分别为、，两圆心连线的长为，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含
图示
与、的关
系
()代数法：设两圆的一般方程为
：＋＋＋＋＝(＋－＞)，
：＋＋＋＋＝(＋－＞)，
联立方程，得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数组组组
两圆的公共点个数
两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含
类型一两圆的位置关系
例
已知圆：＋－＝(＞)截直线＋＝所得线段的长度是，则圆与圆：(－)＋(－)＝的位置关系是() ．内切．相交．外切．外离
反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤
()将两圆的方程化为标准形式(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．
()分别求出两圆的圆心坐标和半径，.
()求两圆的圆心距.
()比较与－，＋的大小关系．
()根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练已知圆：＋－＋＋＝和圆：＋－＋＋＝，则这两个圆的公切线的条数为() ．或．．．
例当为何值时，两圆：＋－＋＋－＝和：＋＋－＋－＝：
()外切；()相交；()外离．。
2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试：2.3.4《圆与圆的位置关系》(含答案)
2.3.4《圆与圆的位置关系》双基达标(限时20分钟)1．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()．A．外离B．外切C．相交D．内切解析圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1；圆x2＋y2＋4y＝0的圆心为(0，－2)，半径为2.因为圆心距为5，且2－1＜5＜1＋2，所以两圆相交．答案 C2．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有()．A．1条B．2条C．3条D．4条解析C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,5)，r2＝4，|C1C2|＝(－2－2)2＋(2－5)2＝5，r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2，圆C1与圆C2相交，故选B.答案 B3．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为()．A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定解析圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有(－2－m)2＋(m＋1)2＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.答案 C4．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．解析∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝a2＋b2＝2＝r1＋r2，两圆外切．答案外切5．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．解析如下图．设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.答案 16．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0，圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，则两圆有几条公切线？解两圆化为标准方程分别为：圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9，∴两圆圆心为C1(－1，－3)，C2(3，－1)．半径r1＝1，r2＝3.∵|C1C2|＝25＞1＋3，∴两圆相外离，∴两圆有四条公切线．综合提高(限时25分钟)7．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B 两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值为()．A．24 B．16C．8 D．4解析∵四边形P AOB的面积S＝2×12|P A|×|OA|＝2OP2－OA2＝2OP2－4，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．此时|OP|＝105＝25，S min＝8答案 C8．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为()．A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h解析如右图所示，在△OBC中，BC＝40×22＝202，而BE＝30.∴EC＝302－(202)2＝10.∴EF＝20(km)，∴B城市处于危险区域的时间为2020＝1(小时)．答案 B9．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．解析由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则3＋11－m＝－1，得m＝5，∴弦中点坐标为(3,1)，∴3－1＋c＝0，得c＝－2，∴m＋c＝3.答案 310．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离为________．解析A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，A′与圆心的距离为32＋42＝5，最短距离为5－1＝4.答案 411．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B 两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程，并求其半径最小时的圆M的方程．解两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0，由于A，B两点平分圆N的圆周，所以A，B为圆N直径的两个端点，即直线AB过圆N的圆心N，而N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)，由于圆M的圆心M(m，n)，从而可知圆心M的轨迹方程为(x＋1)2＝－2(y＋2)(y≤－2)，又圆M的半径r＝n2＋1≥5(n≤－2)，当且仅当n＝－2，m＝－1时半径取得最小值，∴圆M的方程为x2＋y2＋2x＋4y＝0.12．(创新拓展)已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2．5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y＞0)．将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y＞0)得：y＝16－2.72＝8.71 ＞2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y＞0)得，y＝16－a2，所以货车要驶入该隧道，最大高度为16－a2m.。
高中数学2.3圆的方程2.3.4圆与圆的位置关系自我小测新人教B版必修2(2021学年)
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２。
３.4 圆与圆的位置关系自我小测1．已知0<r<，则两圆x2+ｙ2＝ｒ2与(x－1）2＋（y+1）2=2的位置关系是（ )A.外切B.相交C．外离Ｄ．内含２．内切两圆的半径长是方程ｘ2+ｐx+q=０的两个根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于（)Ａ。
1 B．5 C.1或5 Ｄ．以上都不对3.已知圆Ｃ1:x2+y2-４ｘ+6y=0和圆C2:ｘ２+y2-６x＝０交于A，B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为( )Ａ.x+y＋3=０Ｂ．2x-y－5=0 C．3x-ｙ-9=0 D．4x-3y+7=04.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1）,则两圆心的距离|C1C2|＝( ）A.4 ．8 D.５.若集合Ａ=｛(x,y）｜x2＋y2≤1６},B＝{(x,ｙ)｜x2＋(y－2)2≤a－1},且Ａ∩B＝B，则a的取值范围是( )Ａ．ａ≤1Ｂ.ａ≥5 C.1≤a≤5 D．ａ≤56.若圆(x－a)２＋(ｙ-b)２=b2+１始终平分圆(x＋1）２+(y＋１）２=４的周长,则a，b应满足的关系式是( ）Ａ。
a２-2ａ－2ｂ-3＝0 Ｂ．a2＋2a＋2b＋5=0C．a2+2ｂ2+２a＋2b+１＝0 D.3a2+2b2＋2a＋２b+1＝0７.若ａ2+b2=１，则圆(ｘ-a)2＋y2=１与圆x2＋(y－ｂ)2=1的位置关系为＿__＿_＿＿___．8.与圆C1：(x－１）2＋ｙ2＝1,圆C2:(x-4）2＋(y+4)2＝４均外切的圆中，面积最小的圆的方程是＿__＿_＿_＿_＿．９．已知圆C1：ｘ2+ｙ2－2mx+4y＋m2-５＝0,圆C２:x2+ｙ2＋2ｘ－2mｙ+m2－３＝0，m为何值时,(１）圆C1与圆C2外切;(２)圆C1与圆C2内含？1０.已知一个圆和圆C1：x2+y２－2x=0相外切，并与直线l：x＋相切于点M（3，求该圆的方程.1１.如图所示,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O２｜＝4，过动点P分别作圆O1，圆Ｏ2的切线PM，PＮ（M,N分别为切点),使得｜ＰN|。
必修2数学2.3.4圆与圆的位置关系同步练习人教B版附答案
适用精选文件资料分享2017 年必修 2 数学圆与圆的地点关系同步练习（人教 B 版附答案）1．若两圆 (x ＋1)2 ＋y2＝4 和(x －a)2 ＋y2＝1 订交，则 a 的取值范围是() ． A ．0＜a＜2B．－ 4＜a＜－ 2 或 0＜a ＜2 C．－ 4＜a＜－ 2 D．－ 2＜a＜0 或 2＜a＜4 2．若圆 (x －a)2 ＋(y －b)2 ＝b2＋1 一直均分圆 (x ＋1)2 ＋(y ＋1)2 ＝4 的周长，则 a、b 应满足的关系式是 () ． A ．a2－2a－2b－3＝0 B ．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 3．以圆 C1：x2＋y2＋4x＋1＝0 及圆 C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 的公共弦为直径的圆的方程为 () ． A ．(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝ 1 B．(x ＋1)2＋(y ＋1)2 ＝1 C． D． 4 ．若圆 M与定圆 C：x2＋y2＋4x＝ 0 相切，且与直线 L：x－2＝0 相切，则动圆 M的圆心的轨迹方程为．5 ．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a ＞0) 的公共弦的长为，则a＝________．6．如图，A、B是直线 l 上的两点，且 AB＝2，两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A、B 两点， C是这两个圆的公共点，则圆弧 AC、CB与线段 AB所围成的图形面积 S 的取值范围是 ____________． 7 ．已知圆 C 与圆C1：x2＋y2－2x＝0 相外切，而且与直线l ：相切于点 P(3， ) ，求圆 C的方程． 8 ．已知两定圆 O1：(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝1，O2：(x ＋5)2 ＋(y ＋3)2 ＝4，动圆 P 恒将两定圆的周长均分，试求动圆圆心 P 的轨迹方程． 9. 自原点 O作圆 (x －1)2 ＋y2＝1 的不重合的两条弦 OA、OB，假如 |OA|?|OB| ＝k( 定值 ) ．试问不论 A、B两点的地点如何，直线 AB能恒切于一个定圆吗？若能，求出这个定圆的方程；若不可以，说明原由．参照答案 1. 答案： B 2. 答案： B 分析：只要两圆的公共弦所在直线一直经过圆 (x ＋1)2 ＋(y ＋1)2 ＝4 的圆心即可． 3. 答案：B 4. 答案： y2＋12x－12＝0 分析：设动圆圆心为 M(x，y) ，则 r ＝|x －2| ，又与圆 (x ＋2)2 ＋y2＝4 相切，则，化简得 y2＋12x－12＝0． 5. 答案：1 分析：两圆的公共弦所在的直线方程为，圆 x2＋y2＝4 的圆心到距离为，又r＝2，弦长为，∴ ，解得a＝1(负值舍去)． 6.适用精选文件资料分享答案：(0, ］分析：S 为以下列图的暗影部分面积时， r ＝1， 7. 解：设所求圆的圆心为 C(a，b) ，半径为 r ．∵C(a，b) 在过点 P且与 l 垂直的直线上，∴ ．①又∵圆 C与 l 相切于点 P，∴ ．② ∵圆 C与圆 C1相外切，∴ ③由①得．将其代入③得，解得或此时，r ＝2 或 r ＝6．∴所求圆 C的方程为 (x －4)2 ＋y2＝4 或 x2＋ (y＋)2 ＝36． 8. 解：设动圆 P 的方程为 (x －a)2 ＋(y －b)2 ＝r2 ，即x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2 ＝0，将此方程与圆 O1，圆 O2的方程分别相减得公共弦所在直线方程为 (2 －2a)x ＋ (2 －2b)y ＋a2＋b2－r2 －1＝0，(10 ＋2a)x ＋(6 ＋2b)y ＋30－a2－b2＋r2 ＝0．因为圆P均分两定圆的周长，则公共弦分别过两圆圆心，从而有消去r2得 12a＋8b＋35＝0，将(x ，y) 替代 (a ，b) 得点 P 的轨迹方程为 12x＋8y＋35＝0． 9. 解：设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则|OA|?|OB| ＝＝＝，因此．又设直线 AB的方程为 y＝mx＋b，代入圆的方程，得(1 ＋m2)x2＋2(mb－1)x ＋b2＝0，则．又原点 O到直线 mx－y＋b＝0 的距离为为定值．当 AB斜率不存在即 x1＝x2＝± 时，直线AB的方程为 x＝± ，原点 O到直线 AB的距离为，∴直线 AB恒切于定圆．。
人教新课标版数学高一- 数学(B)必修2练习圆与圆的位置关系
2.3.4圆与圆的位置关系一、基础过关1．已知0<r<2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是() A．外切B．相交C．外离D．内含2．两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是() A．(－2,39) B．(0,81)C．(0,79) D．(－1,79)3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有() A．2条B．3条C．4条D．0条4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝95．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为() A．±3 B．±5C．3或5 D．±3或±56．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．7．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．二、能力提升9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝010．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是() A．a≤1 B．a≥5C．1≤a≤5 D．a≤511．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．12．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．三、探究与拓展13．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．答案1．B 2.D 3.B 4.D 5．D 6．3或77．解 方法一 圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0， ①x 2＋y 2－4x －4y －2＝0 ②①－②，得x ＋2y －1＝0，即y ＝1－x 2，将y ＝1－x2代入①，并整理，得x 2－2x －3＝0.由Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，所以，x 2－2x －3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，把x 1，x 2分别代入方程x ＋2y －1＝0，得到y 1，y 2.因此圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即圆C 1与圆C 2相交．方法二 把圆C 1的方程化成标准方程，得(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25.圆C 1的圆心是点(－1，－4)，半径长r 1＝5.把圆C 2的方程化成标准方程，得(x －2)2＋(y －2)2＝10.圆C 2的圆心是点(2,2)，半径长r 2＝10.圆C 1与圆C 2连心线的长为(－1－2)2＋(－4－2)2＝35，圆C 1与圆C 2的两半径长之和是r 1＋r 2＝5＋10，两半径长之差r 1－r 2＝5－10.而5－10＜35＜5＋10，即r 1－r 2＜35＜r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相交． 8．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9， (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)， 半径长是2. 所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5. 9．B 10．D 11．412．解 对圆C 1、C 2的方程，经配方后可得：C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4，C 2(2a,1)，r 2＝1， ∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a ，(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切． 当|C 1C 2|＝|r 1－r 2|＝3，即a ＝3时，两圆内切． (2)当3<|C 1C 2|<5，即3<a <5时，两圆相交． (3)当|C 1C 2|>5，即a >5时，两圆外离． (4)当|C 1C 2|<3，即0<a <3时两圆内含．13．解 设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，所以圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2， 即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① 因为圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③因为圆B 平分圆A 的周长，所以圆A 的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215， 所以当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。
234圆与圆的位置关系含同步测试卷分析详解人教b版必修2数学.doc
恋I千里之行｛于足下—亠1.若两圆(X+1)2+/=4和(x—d)2+『=i相交，则Q的取值范围是().A.0<a<2B. ~4<a<~2或0GV2C. —4GV—2D. —2<a<0 或2<aV42.若圆(x-af+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+l)2+(y+l)2=4的周长，则°、b应满足的关系式是().A. /—2a—2/?—3 = 0B. <72+2«+2/?+5 = 0C. a2+2b2 + 2a+2b+\=0D. 3/+2尸 + 2。
+2/?+1 =()3.以圆Ci：<+『+4兀+1= 0及圆C2：”+),2+2卄2歹+1= 0的公共眩为直径的圆的方程为().A.(x-l)2+(^-l)2=lB.U+l)24- ()，+1尸=1z3“ z 6辽4C.(x + —)~ + (兀—)〜=—5 5 5/ 3、2 / 6 2 4D.(x—)" + (y —) =_5 5 54.若圆M与定圆C： ?+/+4x=0相切，.且与直线厶兀一2 = 0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为 _________________________ .5.若圆x2+y2=4与圆X+),2+2a),_6=0(d>0)的公共弦的长为2爲，贝9 d= __________ •6.如图，A、3是直线/上的两点，且A3=2,两个半径相等的动圆分别与/相切于A、B 两点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC、CB与线段A3所围成的图形面积S的取值范围是7.已知圆C与圆G： ,+;/—2尤=0相外切，并且与直线/：x + V3y = 0相切于点P(3, -JJ),求圆C的方程.8.已知两定圆0］：(兀一1)2+®-1尸=1, 02： (x+5)2+(y+3)2=4,动圆P恒将两定圆的周长平分，试求动圆圆心P的轨迹方程.!处＞t应尺竿头灵进一步9•自原点0作圆9一1)2+)，= 1的不重合的两条弦04、0B,如^\OA\ \OB\ = k(定值).试问不论A、B两点的位置怎样，直线AB能恒切于一个定圆吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，说明理由.参考答案1.答案：B2.答案：B解析：只要两圆的公共弦所在直线始终经过圆(x+l)2+(y+1尸=4的圆心即可.3.答案：B4.答案:护+12兀一12=0解析：设动圆圆心为M(x, y),则r=|x-2|,又与圆(x+2)2+y2=4相切，贝!]7(x + 2)2 + y2=2 + \x~2\=4-x,化简得护+12兀一12=0.5.答案：1解析：两圆的公共眩所在的直线方程为y = ~,圆?+/=4的圆心到)=丄距离为d=-,又尸2,弦长为2JL・••丄=22-(的)2,解得。
2017-2018学年高中数学人教B版2练习：2.3.4圆与圆的位置关系课下检测含解析
一、选择题1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( ）A．相离B．相交C．外切D．内切解析：将两圆方程化为标准形式得：O1：(x－1）2＋y2＝1，圆心O1(1，0），半径r＝1,O2：x2＋(y－2)2＝4，圆心O2（0，2），半径R＝2，∴圆心距d＝|O1O2｜＝错误!＝错误!，又∵R＋r＝3＝9〉5，R－r＝1〈5，∴R－r〈d〈R＋r,∴两圆相交．答案：B2．两圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0与x2＋y2＋12x＋6y－19＝0的公切线条数是（)A．4条B．3条C．2条D．1条解析：⊙O1为(x－2)2＋(y－3）2＝4，⊙O2为（x＋6)2＋（y＋3)2＝64，∴两圆圆心O1(2，3)、O2(－6，－3），∴｜O1O2|＝2＋62＋3＋32＝10，r＋R＝2＋8＝10，∴｜O1O2｜＝R＋r,∴两圆相外切．∴公切线条数有3条．答案：B3．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是( ）A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x2＋y2＋4y－6＝0C．x2＋y2－2x＝0D．x2＋y2＋4x－6＝0解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3）＝0，即x2＋y2＋（λ－2)x＋2λy－3λ＝0,依题意得－错误!＝0,∴λ＝2。
故圆的方程为x2＋y2＋4y－6＝0.答案：B4．(2011·大纲全国卷)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4错误!C．8 D．82解析:依题意，可设圆心坐标为（a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2,由圆过点（4,1)得(4－a)2＋（1－a）2＝a2,即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标,|C1C2｜＝2×错误!＝8。
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2.3.4 圆与圆的位置关系一、选择题1．(2010·锦州市高一期末测试)两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．外离[答案] B[解析] 圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，两圆心距离d＝|C1C2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，∴r2－r1<d<r1＋r2，故选B.2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] C[解析] x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )A．(1，－2) B．(3，－2)C．(2，－1) D．(2＋2，2－3)[答案] B[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x－y－5＝0上，故选B.4．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝1－x2[答案] B[解析] 直接法，设P(x，y)，由k PA＝yx＋1，k PB＝yx－1及题设条件yx＋1·yx－1＝－1(x≠±1)知选B.5．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36[答案] D[解析] 由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36， 由题意，得a 2＋9＝5，∴a 2＝16，∴a ＝±4.6．两圆x 2＋y 2＝r 2，(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外切，则正实数r 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 两圆心的距离d ＝5，由题意，得r ＋2＝5，∴r ＝3.7．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C[解析] 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB 的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C 正确．8．过圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0内的点M (3,0)作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋4y －3＝0D ．x －4y －3＝0[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心C (1，－2)，当CM ⊥l 时，l 截圆所得的弦最短，k CM ＝－2－01－3＝1，∴k l ＝－1，故所求直线l 的方程为y －0＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 二、填空题9．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于两点，则m 的取值范围是________．[答案] (－35，－5)∪(5，35)[解析] 两圆圆心坐标分别为O 1(0,0)，O 2(m,0)，半径分别为r 1＝5，r 2＝2 5.由两圆相交于两点得r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，即5<|m |<3 5.故m 的取值范围是(－35，－5)∪(5，35)．10．两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．[答案] x ＝23[解析] 两圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x ＝23. 11．⊙O ：x 2＋y 2＝1，⊙C ：(x －4)2＋y 2＝4，动圆P 与⊙O 和⊙C 都外切，动圆圆心P 的轨迹方程为______________________．[答案] 60x 2－4y 2－240x ＋225＝0[解析] ⊙P 与⊙O 和⊙C 都外切，设⊙P 的圆心P (x ，y )，半径为R ，则|PO |＝x 2＋y 2＝R ＋1，|PC |＝(x －4)2＋y 2＝R ＋2， ∴(x －4)2＋y 2－x 2＋y 2＝1，移项、平方化简得：60x 2－4y 2－240x ＋225＝0.12．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是________________．[答案] －7≤m ≤7 2[解析] 由A ∩B ≠∅，即直线y ＝x ＋m 与半圆y ＝49－x 2有交点，如图所示．如图可知，－7≤m ≤7 2.三、解答题13．判断下列两圆的位置关系．(1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0，C 2：x 2＋y 2＋12x ＋6y －19＝0；(4)C 1：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0.[解析] (1)∵C 1：(x －1)2＋y 2＝4，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(2，－1)，半径r 2＝2，d ＝|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，∴r 1－r 2<d <r 1＋r 2，两圆相交．(2)∵C 1：x 2＋(y －1)2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，∴圆C 1的圆心坐标为(0,1)，r 1＝1，圆C 2的圆心坐标为(3，0)，r 2＝3， d ＝|C 1C 2|＝3＋1＝2.∵r 2－r 1＝2，∴d ＝r 2－r 1，两圆内切．(3)∵C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4， C 2：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝64.∴圆C 1的圆心坐标为(2,3)，r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(－6，－3)，r 2＝8，d ＝|C 1C 2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10.∵r 1＋r 2＝10，∴d ＝r 1＋r 2，两圆外切．(4)∵C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －3)2＝16，∴圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(2,3)，r 2＝4， d ＝|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵r 1＋r 2＝6，r 2－r 1＝2，∴r 2－r 1<d <r 1＋r 2，两圆相交．14．过圆O ：x 2＋y 2＝R 2外一点A (a ，b )引圆的两条切线AB 和AC (其中B 、C 是切点)，求经过这两个切点的直线l 的方程．[解析] 解法一：连结OB 、OC ，则AB ⊥OB ，AC ⊥OC ，∴B 、C 两点在以OA 为直径的圆(x －a )x ＋(y －b )y ＝0上∴x 2＋y 2－ax －by ＝0①由已知，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝R 2②②－①得ax ＋by ＝R 2为所求直线l 的方程．解法二：设切点B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则过B 点的切线方程为x 1x ＋y 1y ＝R 2；过C 点的切线方程为x 2x ＋y 2y ＝R 2；又∵切线AB 、AC 交于A (a ，b )点，即点A 在两切线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1a ＋y 1b ＝R 2，x 2a ＋y 2b ＝R 2.这就是说，坐标(x 1，y 1)、(x 2，y 2)适合方程ax ＋by ＝R 2.∴方程ax ＋by ＝R 2为直线l 的方程．15．求经过两圆x 2＋y 2－2x －3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的交点，且圆心在直线2x －y ＝0上的圆的方程．[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A (1，－2)，B (3,0)，设圆心C (a ，b )，则由|CA |＝|CB |及C 在直线2x －y ＝0上，求出a ＝13，b ＝23. ∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.解法二：同上求得A (1，－2)、B (3,0)，则圆心在线段AB 的中垂线y ＝－x ＋1上，又在y ＝2x 上，得圆心坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. ∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.16．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．[解析] (1)将l 的方程整理为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝02x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝1.故直线l 经过定点A (3,1)．∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点A 在圆C 的内部，故直线l 与圆恒有两个交点．(2)圆心M (1,2)，当截得弦长最小时，则l ⊥AM ，由k AM ＝－12，得l 的方程为y －1＝2(x －3)即2x －y －5＝0.17．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0. ①∵圆A 的方程x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0. ②∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0. ③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋352＋215≥215，所以t ＝－35时，r min ＝215.此时，圆B 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝215. 解法二：如图，设圆A 、圆B 的圆心分别为A 、B .则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连结AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M 、N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M 、N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，r min ＝215，故圆B 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝215.。